全国通用2017年高考数学大二轮专题复习专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能特训课件理
解析
4．[2016· 黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 → → → 圆上存在一点 M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的 离心率为( 2 A. 2 6 C. 3 ) 3 B. 3 2 D. 4
解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2 互相 平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2 ＝ |MF1|2 ＋ |MF2|2 ＋ |NF1|2 ＋ |NF2|2 ，又 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2|MF2| 2 4 ＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝3a，|NF2|＝|MF1|＝3
A.
二、填空题 7．[2016· 唐山统考]焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双 y2 2 曲线 4 －x ＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 x2 y2 5 －20＝1 ______________． y2 2 解析 设所求双曲线的标准方程为 4 －x ＝－λ(λ>0)，
x2 y2 即 λ －4λ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得 λ＝5，所以所求双曲 x2 y2 线的标准方程为 5 －20＝1.
①当 k≠0 时，设直线 l 的倾斜角为 θ， 则|d1－d2|＝|MN|· |tanθ|， 1 1 1 2|m| ∴|MN|＝|k|· |d1－d2|，∴S＝2· · | d ( d 1－d2|· 1＋d2)＝ 2 |k| k ＋1 4|m| 4 ＝ 2 ＝ 1， m ＋1 |m|＋|m| 1 ∵m ＝2k ＋1，∴当 k≠0 时，|m|>1，|m|＋|m|>2，即
8．设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的 9 面积为___________ ． 4
3 3 2 解析 易知直线 AB 的方程为 y＝ 3 x－4 ，与 y ＝3x 联立并消去 x，得 4y2－12 3y－9＝0.设 A(x1，y1)， 9 1 B(x2，y2)，则 y1＋y2＝3 3，y1y2＝－4.S△OAB＝2|OF|· |y1 1 3 3 9 2 －y2|＝2×4 y1＋y2 －4y1y2＝8 27＋9＝4.
A. C.
)
6－ 2 5－1 2 ， 2
5－1 ， 1 2
B.
6－ 2 2 ，1
D. 0 ，
质、直线与圆的位置关
2 2 b b c ， A r＝ a ，由三角形 ， a
9．[2015· 山东莱芜一模]已知圆 G：x2＋y2－2 2x－2y x2 y2 ＝0 经过椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦点及上顶点．过椭圆 2π 外一点 M(m,0)(m>a)，倾斜角为 3 的直线 l 交椭圆于 C，D 两点，若点 N(3,0)在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部，则 m
y2 圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数，将 x＝ 4 代 入①得 a－1 2 －2a2＋4a－3 y －y＋ ＝0， 4a－2 2a－2 a－1 －2a2＋4a－3 判 别 式 Δ ＝ 1 － 4· · ＝1＋ 4a－2 2a－2 a－12a2－4a＋3 2a－22 ＝ 2a－22＋2a3－6a2＋7a－3 2a－22 ＝
3 解析 由题意知 c＝3，∴e＝a，∴a 越大 e 越小，而双 x2 y2 曲线为m－ ＝1，把直线 y＝x－1 代入化简整理得(9－ 9－m 2m)x2＋2mx－10m＋m2＝0，由 Δ＝0 得 m＝5，于是 a＝ 5， 3 3 5 e＝a＝ 5 ，故选 B.
x2 6． [2016· 金版原创]在平面直角坐标系 xOy 中， 以椭圆a2 y2 ＋b2＝1(a>b>0)上一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一 个焦点， 与 y 轴相交于 B， C 两点， 若△ABC 是锐角三角形， 则该椭圆的离心率的取值范围是(
适考素能特训
一、选择题 1．[2015· 陕西质检(一)]已知直线 l：x－y－m＝0 经过抛 物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点．若|AB| ＝6，则 p 的值为( 1 A.2 C．1 3 B.2 D．2 )
p 解析 因为直线 l 过抛物线的焦点，所以 m＝2.联立
x 解析 令点 P(x0， y0)， 因为该双曲线的渐近线分别是 3 x x 0 0 － y ＋ y 0 0 3 3 x －y＝0， ＋y＝0， 所以可取|PA|＝ ， |PB|＝ ， 3 1 1 3＋1 3＋1 π 1 又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos3＝－2， x2 0 2 －y0 1 1 3 3 → → → → － － 所以PA· PB＝|PA|· |PB|· cos∠APB＝ 4 · ＝ × ＝ 2 2 4 3 3 －8，选 A.
p x－y－ ＝0 2 2 y ＝2px
2 p 得，x2－3px＋ 4 ＝0.设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，
3 则 x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝2，故选 B.
x2 2 2．[2016· 沈阳质检]已知 P 是双曲线 3 －y ＝1 上任意一 点， 过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线， 垂足分别为 → → A，B，则PA· PB的值是( 3 A．－8 3 C．－ 8 3 B.16 D．不能确定 )
2 2
S<2.
②当 k＝0 时，四边形 F1MNF2 是矩形，此时 S＝2. ∴四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值为 2.
11． 已知过抛物线 C： y2＝2px(p>0)的焦点， 斜率为 2 2 的直线交抛物线于 A(x1，y1)和 B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB| 9 ＝2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)若抛物线 C 的准线为 l，焦点为 F，点 P 为直线 m： x＋y－2＝0 上的动点，且点 P 的横坐标为 a，试讨论当 a 取 不同的值时，圆心在抛物线 C 上，与直线 l 相切，且过点 P 的圆的个数．
→ → NC· ND＝(x1－3，y1)· (x2－3，y2) ＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2 ＝4x1x2－(3m＋3)(x1＋x2)＋9＋3m2>0. 7 化简得 2m －9m＋7>0，解得 m>2.
2
∴m
2 7 的取值范围是 ， 2
30 . 3
三、解答题 10．[2016· 贵阳质检]设点 F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆 x2 2 C：a2＋y ＝1(a>1)的左、右焦点，P 为椭圆 C 上任意一点， → → 且PF1· PF2的最小值为 0.
y＝－ 3x－m， 由 x2 y2 ＋ ＝1 12 4
得 10x2－18mx＋9m2－12＝0.
由 Δ＝324m2－40(9m2－12)>0， 2 30 2 30 可得－ 3 <m< 3 ， 2 30 ∴2 3<m< 3 . 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 9m2－12 9m x1＋x2＝ 5 ，x1· x2＝ 10 ，
2 x 3． [2016· 南昌三模]已知抛物线 y2＝2px(p>0)与双曲线a2
y2 －b2＝1(a>0， b>0)有相同的焦点 F， 点 A 是两曲线的一个交 点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为( A. 2＋2 C. 3＋1 B. 5＋1 D. 2＋1 )
本题考查抛物线的性质、双曲线的离心率．由 p ， 0 题意得点 F 的坐标为2 ，又因为 AF⊥x 轴，所以点 A p 的横坐标为2，因为点 A 为抛物线与双曲线的交点，不妨设 点 A 位于第一象限，则 yA＝ 2pxA＝p，即点 A 的坐标为 p ，p，又因为点 F 为双曲线与抛物线的相同的焦点，所以 2 p c2 4 c2 c＝2，则点 A 的坐标为(c,2c)，代入双曲线的方程得a2－ b2 ＝1，结合 c2＝a2＋b2，化简得 c4－6a2c2＋a4＝0，解得双曲 c 线的离心率 e＝a＝ 2＋1，故选 D.
系．利用直线与圆的位置关系建立椭圆基本量的关系求解 离心率．由题意可得，圆心 ABC
∠BAC 是锐角三角形得∠BAC<90° ，则 c＝r· cos 2 >r· cos45° ， 2 b2 2 c 即 c> 2 r.又依题意 c< a ，即 2 <b2<1，化简得 a
2 2 c ＋ 2 ac － a >0， 2 2 两边同时除以 a ，关于离心率 e 的不 2 c ＋ac－a <0， 2 6－ 2 5－1 e ＋ 2e－1>0， 等式组为 2 解得 2 <e< 2 ，故选 e ＋e－1<0，
2 a －1 2 → → 2 2 2 ∴PF1· PF2＝x ＋y －c ＝ a2 x ＋1－c2，x∈[－a，a]，
由题意得，1－c2＝0，c＝1，则 a2＝2， x2 2 ∴椭圆 C 的方程为 2 ＋y ＝1.
x2 (2)将直线 l 的方程 l： y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程 2 ＋ y2＝1 中，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0， 由直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点知 Δ＝16k2m2 －4(2k2＋1)(2m2－2)＝0， 化简得 m2＝2k2＋1. |－k＋m| |k＋m| 设 d1＝|F1M|＝ 2 ，d2＝|F2N|＝ 2 . k ＋1 k ＋1
(1)求椭圆 C 的方程； (2)如图，动直线 l：y＝kx＋m 与椭圆 C 有且仅有一个 公共点，作 F1M⊥l，F2N⊥l 分别交直线 l 于 M，N 两点， 求四边形 F1MNF2 面积 S 的最大值． → → 解 (1)设 P(x，y)，则PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－
(全国通用)高考数学大二轮总复习 增分策略 专题六 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线名师课件
2 2.
12 3 4
由点 P 到直线 x－y＋1＝0 的距离大于 c 恒成立，得 c≤ 22，
故
c
的最大值为
2 2.
答案
2 2
12 3 4
4.(2014·安徽)设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0<b<1)的
左，右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点.若|AF1|
心率 e 与渐近线的斜率的关系.
例 2 (1)椭圆 Γ：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为 F1，
F2，焦距为 2c.若直线 y＝ 3(x＋c)与椭圆 Γ 的一个交点 M 满 足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于___3_－__1__. 解析 直线 y＝ 3(x＋c)过点 F1(－c,0)，且倾斜角为 60°， 所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2. 在 Rt△MF1F2 中，|MF1|＝c，|MF2|＝ 3c， 所以该椭圆的离心率 e＝22ac＝c＋2c 3c＝ 3－1.
解析 设 Pac2，y，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为2bc2，2y，
当 kQF2 存在时，则 kF1P ＝a2＋cy c2， kQF2 ＝b2－cy2c2， 由 kF1P ·kQF2 ＝－1，得 y2＝(a2＋c2)c·(22c2－b2)，y2≥0，
但注意到b2－2c2≠0，即2c2－b2>0， 即 3c2－a2>0，即 e2>31，故 33<e<1.
A.30°
B.60° C.120° D.150°
解析 由题意得 a＝3，c＝ 7，所以|PF1|＝2.
在△F2PF1中，
由余弦定理可得
【精选】高三数学二轮复习第一篇专题突破专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件理
考情分析
栏目索引
典型例题
(2016课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于 点M,交抛物线C:y2=2px(p>0)于点P,M关于点P的对称点为N高,连考导接航ON并 延长交C于点H.
(1)求 | OH | ; | ON |
(2)除H以外,直线MH与C是否有其他公共点?说明理由.
因为F1(-1,0),所以 BF1
=(-1-x2,-y2), F1 A
=(x1+1,y1),由 BF1
=2 F1 A
可得-y2=2y1,③
由①②③可得B
1 2
,
14 4
.
则 kBF2 =
14 或-
6
14 ,
6
所以直线BF2的方程为y= 614
x- 14 6
或y=- 14 6
x+ 14 6
.
随堂检测
栏目索引
随堂检测
1.(2016课标全国Ⅱ,5,5分)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,曲线y= k (k>0)与
x
C交于点P,PF⊥x轴,则k= ( )
所以|MM1|=3,由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,从而|FN|=2|FM|=6.
考情分析
栏目索引
方法归纳
圆锥曲线方程的求法 求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.
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(1)定型:就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准
方程.
(2)计算:即利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法
12
5
2
高考数学二轮复习专题6解析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线文
高考数学二轮复习专题 6 分析几何第二讲椭圆、双曲线、抛物线文对圆锥曲线的方程与性质的考察是高考的要点，一般是综合题，常用到一元二次方程根与系数的关系、平面向量等知识，该类试题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、不等式、向量知识交汇，形成求方程、求参数、求面积、定值的证明等综合题．展望 2016 年高考多以解答题形式出现，考察学生利用数学知识剖析、解决问题的能力，考察论证、推理、运算能力，考察数形联合的思想．椭圆的定义与几何性质1．椭圆的定义．平面内的动点的轨迹是椭圆一定知足的两个条件．(1)到两个定点 F1，F2的距离的和等于常数2a.(2)2 a＞ | F1F2|.2．椭圆的标准方程和几何性质．双曲线的定义与几何性质1．双曲线的定义．平面内动点的轨迹是双曲线一定知足的两个条件：(1)到两个定点 F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.(2)2 a＜ | F1F2|.2．双曲线的标准方程和几何性质．3.等轴双曲线．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为x2－ y2＝λ(λ≠0)，离心率 e＝2，渐近线方程为y＝±x．抛物线的定义与几何性质1．抛物线的定义．平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程和几何性质．曲线的方程与方程的曲线若二元方程 f ( x，y)＝0是曲线 C的方程，或曲线 C是方程 f ( x，y)＝0的曲线，则一定知足以下两个条件：1．曲线上点的坐标都是二元方程f(x，y)＝0的解(纯粹性)．2．以这个方程的解为坐标的点都是曲线C上的点(齐备性)．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．(1)平面内与两个定点 F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( × )(2)椭圆上一点 P 与两焦点 F1， F2组成△ PF1F2的周长为2a＋2c(此中 a 为椭圆的长半轴长， c 为椭圆的半焦距)．(√)(3) 椭圆的离心率 e 越大，椭圆就越圆．( √)x2y2y2x2(4) a2＋b2＝1( a>b>0) 与a2＋b2＝ 1( a>b>0) 的焦距同样． ( √ )x2y2(5)方程m－n＝ 1( mn>0) 表示焦点在x轴上的双曲线． ( ×)1．平面内到点A(0，1)、B(1，0)距离之和为2 的点的轨迹为 ( A)A．椭圆B．一条射线C．两条射线 D ．一条线段分析：由于点到两定点AB距离之和为2＞|AB|＝2，因此该点的轨迹为椭圆．应选 A.x2y22．已知 F 是双曲线4－ 12＝1的左焦点，A(1，4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA| 的最小值为 __________________________________________________________ ．分析：注意到 A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线性质|| －|′|＝2 ＝4，PF PF a而 | PA| ＋ | PF′| ≥|AF′| ＝ 5，两式相加得 |PF|＋| PA|≥9，当且仅当A、 P、 F′三点共线时等号建立．答案： 93．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 一个圆经过椭圆x2y2＋＝ 1 的三个极点，且圆心在x轴的正半轴164上，则该圆的标准方程为__________________ ．分析：由题意知＝ 4，＝2，上、下极点的坐标分别为(0 ，2) ， (0 ，－ 2) ，右极点的a b坐标为 (4 ，0) ．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0 ，2) ，(0 ，－ 2) ，(4 ，0) 三点．设圆的322m＝2，＋ 4＝ r，m标准方程为 ( x－m) 2＋y2＝r 2(0＜ m＜4，r ＞0)，则（4－m）2＝r2，解得2 25因此圆的标r ＝.432225准方程为 ( x－2)＋ y＝4 .32225答案： ( x － 2) ＋ y ＝ 424．(2015 ·北京卷 ) 已知双曲线x2－ y 2 ＝ 1( a ＞ 0) 的一条渐近线为3 x ＋ y ＝ 0，则 a ＝a________．x 2 2x分析：双曲线 a 2－ y ＝ 1 的渐近线为 y ＝± a ，已知一条渐近线为3x ＋y ＝ 0，即 y ＝－ 3x ，由于1 3 ，因此 a 3＞ 0，因此 ＝ ＝ .a a 3答案：33。
全国通用2017年高考数学大二轮专题复习专题六解析几何第二讲椭圆双曲线抛物线适考素能特训理
A.
6－ 2
2，
5－1
2
C.
52－1，1
B.
6－ 2
2，1
D.0，
5－1
2
值为( )ห้องสมุดไป่ตู้
6 A. 2
3 C.2
35 B. 5 D. 3
6．[2016·金版原创]在平面直角坐标系 xOy 中，以椭圆ax22 ＋by22＝1(a>b>0)上一点 A 为圆心的圆与 x 轴相切于椭圆的一
个焦点，与 y 轴相交于 B，C 两点，若△ABC 是锐角三角形，
则该椭圆的离心率的取值范围是( )
A. 2＋2
B. 5＋1
C. 3＋1
D. 2＋1
4．[2016·黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 圆上存在一点 M，满足|M→F1|＝2|M→O|＝2|M→F2|，则该椭圆的 离心率为( )
2 A. 2
3 B. 3
6 C. 3
2 D. 4
5．[2016·重庆测试]若以 F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双 曲线与直线 y＝x－1 有公共点，则该双曲线的离心率的最小
适考素能特训
一、选择题
1．[2015·陕西质检(一)]已知直线 l：x－y－m＝0 经过抛
物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点，l 与 C 交于 A、B 两点．若|AB|
＝6，则 p 的值为( )
1
3
A.2
B.2
C．1
D．2
2．[2016·沈阳质检]已知 P 是双曲线x32－y2＝1 上任意一
点，过点 P 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为
A，B，则P→A·P→B的值是( )
新(全国甲卷)2017版高考数学大二轮总复习与增分策略专题六解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习理
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线1．(2016·课标全国乙)已知方程x 2m ＋n －y 23m －n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)， ∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3， 故选A.2．(2016·天津)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b 4＋b2，故8×4b4＋b2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．(2016·课标全国甲)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 如图，因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a.又sin∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝ca＝ 2.4．(2016·浙江)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.答案 (1)D (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知|BA |＋|BC |＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54. 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．跟踪演练1 (1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3解析 (1)由抛物线x 2＝24y 得焦点坐标为(0,6)， ∵双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点相同，∴c ＝6，设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，又双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，∴a b ＝33，即b ＝3a ，又∵c 2＝a 2＋b 2，∴a 2＝9，b 2＝27， ∴双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.故选B.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义及题意知，x 1＋1＋x 2＋1＝8，∴x 1＋x 2＝6. ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为3.热点二 圆锥曲线的几何性质1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±3xB ．y ＝±22xC ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt△MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ， 所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b ，cos∠CF 1F 2＝b c， 又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得 |CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .思维升华 (1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．跟踪演练2 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33(2)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)答案 (1)D (2)A解析 (1)因为PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°， 所以|PF 2|＝2c ·tan 30°＝233c ，|PF 1|＝433c . 又|PF 1|＋|PF 2|＝633c ＝2a ，所以c a ＝13＝33，即椭圆C 的离心率为33. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c .∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.热点三 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3 (2015·江苏改编)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2， 从而|PC |＝k 2＋1＋k2|k ＋2k2. 因为|PC |＝2|AB |，所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．跟踪演练3 (1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．[－12，12]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D ．[－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)[38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即[4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1，综上，k 的取值范围为[－1,1]，故选C.(2)由题意，得A 1，A 2两点关于原点对称，设A 1(x 1，y 1)，A 2(－x 1，－y 1)，P (x 0，y 0)，则有x 214＋y 213＝1，x 204＋y 203＝1，即y 21＝34(4－x 21)，y 20＝34(4－x 20)， 两式相减整理，得y 0＋y 1x 0＋x 1＝－34·x 0－x 1y 0－y 1＝－34·11PA k. 因为直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]， 所以－2≤y 0＋y 1x 0＋x 1≤－1， 所以－2≤－34·11PA k ≤－1，解得38≤1PA k ≤34.1．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线3x ＋6y ＋3＝0垂直，以C 的右焦点F 为圆心的圆(x －c )2＋y 2＝2与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为( ) A ．1 B ．2 C. 5 D ．2 5押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点． 答案 D解析 由直线垂直的条件，求出渐近线的斜率ba，从而得到渐近线方程，根据圆心到渐近线的距离等于半径，求得b ，进而求出焦距2c . 由已知，得b a·(－36)＝－1，所以b a ＝63， 由点F (c,0)到渐近线y ＝63x 的距离d ＝63c 632＋－2＝2，可得c ＝5，2c ＝25，故选D.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程．押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0，显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t2， 所以|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝36t2＋3t22＋364＋3t 2＝12t 2＋14＋3t2， 所以S △AOB ＝12·|F 1O |·|y 1－y 2|＝6t 2＋14＋3t 2＝627， 化简得18t 4－t 2－17＝0， 即(18t 2＋17)(t 2－1)＝0， 解得t 21＝1，t 22＝－1718(舍去)，又圆O 的半径r ＝|0－t ×0＋1|1＋t 2＝11＋t 2， 所以r ＝22，故圆O 的方程为x 2＋y 2＝12.A 组 专题通关1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，32c .∵点A 在椭圆上，∴c 24a2＋34c 2b2＝1，即c 24a 2＋3c 24b2＝1. ∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，又∵b 2＝a 2－c 2，∴4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4±23， 又∵e ∈(0,1)，∴e ＝3－1.故选D.2．(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m ·n 2＋1n ＝n 2＋1n ＋2·n 2＋1n＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633 B ．5 3 C.1433D ．4 3答案 A解析 因为双曲线C ：x 23－y 2＝1，所以a ＝3，b ＝1，c ＝a 2＋b 2＝2， 故F 1(－2,0)，F 2(2,0)．由于点P 的横坐标为2，则PQ ⊥x 轴． 令x ＝2，则有y 2＝43－1＝13，即y ＝±33.故|QF 2|＝|PF 2|＝33，|PQ |＝233， |QF 1|＝|PF 1|＝|PF 2|＋2a ＝733. 则△PF 1Q 的周长为|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ | ＝733＋733＋233＝1633.故选A. 4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|PA |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．10答案 B解析 由题意，|MF |的最小值为3，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)；设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要求|PA |＋|PF |取得最小值，即求|PA |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|PA |＋|PD |最小，为4－(－3)＝7，故选B.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24.∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，∴9a 2－24b2＝1.②联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝4，9a 2－24b2＝1， 解得a 2＝1，b 2＝3.∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.又双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ， ∴点F (2,0)到渐近线的距离为 3.6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 答案x 225＋y 216＝1 解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 答案 53解析 由已知得直线方程为y ＝2(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，4x 2＋5y 2－20＝0，得3y 2＋2y －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－23，y 1y 2＝－83，∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝49＋323＝103， ∴S △AOB ＝12×1×103＝53.9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0，得k 2<14.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 24k 2＋3，x 1x 2＝64k 2－124k 2＋3，∴y 1y 2＝k 2(x 1－4)(x 2－4) ＝k 2x 1x 2－4k 2(x 1＋x 2)＋16k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)·64k 2－124k 2＋3－4k 2·32k 24k 2＋3＋16k 2＝25－874k 2＋3.∵0≤k 2<14，∴－29≤－874k 2＋3<－874，∴OA →·OB →∈[－4，134)．故OA →·OB →的取值范围为[－4，134)．10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则kTF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知kPQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2mx －，得x 2－(2＋m 2)x ＋1＝0，又Δ＝[－(2＋m 2)]2－4＝m 2(4＋m 2)＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，可知x 1＋x 2＝2＋m 2，y 1＋y 2＝2m(x 1＋x 2－2)＝2m .所以弦PQ 的中点N (2＋m 22，m )，又T (－1，m )，知k NT ＝0，则NT 平行于x 轴．综上可知线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)．(2)解 已知|NF |＝|TF |，在△TFN 中，ta n∠NTF ＝|NF ||TF |＝1⇒∠NTF ＝45°，设A 是准线与x 轴的交点，则△TFA 是等腰直角三角形，所以|TA |＝|AF |＝2， 又动点T (－1，m )，其中m ＞0，则m ＝2.因为∠NTF ＝45°，所以k PQ ＝tan 45°＝1，又焦点F (1,0)，可得直线PQ 的方程为y ＝x －1，由m ＝2得T (－1,2)，由(1)知线段NT 平行于x 轴，设N (x 0，y 0)，则y 0＝2，代入y ＝x －1，得x 0＝3，所以N (3,2)．B 组 能力提高11．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个答案 C解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，且|F 1F 2|＝2c ＝6， ∴△MF 1F 2的周长|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝10＋6＝16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ， 由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32.设M (x 0，y 0)，则12MF F S＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4. ∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．故选C.12．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ，由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)，所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a2.因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE . 又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在Rt△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2，即(2c )2＝(a 2)2＋(5a 2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.13．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________. 答案 －5解析 由椭圆x 24＋y 23＝1知右焦点为(1,0)，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故可设直线l 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4， ∴x 1x 2＝y 214·y 224＝1.由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5. 14．已知椭圆C 的长轴左，右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°.(1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)， 由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .① 由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，又Q (－x 1，－y 1)，M (x 1,0)． 由Q ，M ，N 三点共线，知k QM ＝k QN ，所以y 12x 1＝y 2＋y 1x 2＋x 1.③又k PQ k PN ＋1＝y 1x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1.④把③代入④，得k PQ k PN ＋1＝y 2＋y 1x 2＋x 1·y 2－y 1x 2－x 1＋1＝x 22＋2y 22－x 21＋2y 21x 22－x 21.⑤ 因为点P ，N 在椭圆上，所以x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，⑥ 把⑥代入⑤，得k PQ k PN ＋1＝2－2x 22－x 21＝0， 即k PQ k PN ＝－1，所以∠QPN ＝90°.。
椭圆、双曲线、抛物线PPT课件
(2)证明：设线段 AB 的中点坐标为 N(x0，y0)，A(x1， y1)，B(x2，y2)，因为 AB 不垂直于 x 轴， 则直线 MN 的斜率为x0y－0 4，直线 AB 的斜率为 4－x0，
y0 直线 AB 的方程为 y－y0＝4－y0x0(x－x0)，
联立方程y－y0＝4－y0x0x－x0， y2＝4x，
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【解】 (1)由已知得 c＝2 2，ac＝ 36， 解得 a＝2 3. 又 b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆 G 的方程为1x22＋y42＝1.
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(2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m.
y＝x＋m， 由1x22 ＋y42＝1，
得 4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
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消去 x 得(1－x40)y2－y0y＋y20＋x0(x0－4)＝0， 所以 y1＋y2＝4－4y0x0， 因为 N 为 AB 的中点， 所以y1＋2 y2＝y0， 即4－2y0x0＝y0， 所以 x0＝2，即线段 AB 中点的横坐标为定值 2.
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轨迹问题
例4 (1)若动圆 P 过点 N(－2,0)，且与另一圆 M： (x－2)2＋y2＝8 相外切，则动圆 P 的圆心的轨迹方 程是__________； (2)已知直线 l：2x＋4y＋3＝0，P 为 l 上的动点， O 为坐标原点．若 2O→Q＝Q→P，则点 Q 的轨迹方程 是__________．
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变式训练 2 已知过抛物线 y2＝2px(p＞0)的焦点， 斜率为 2 2的直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2， y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A ＋λO→B，求 λ 的值．
高考数学二轮复习 专题六：第二讲《椭圆、双曲线、抛物线》 文 课件
(0，－a) (0，a) (1，＋∞) a 2 b 2 2a 2b
3．实轴和虚轴
y＝±x
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
D．(－4,0)
(2)(2010年湖南卷) 设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离
是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
答案：(1)B (2)B
曲线的方程与方程的曲线
四、曲线的方程与方程的曲线 若二元方程f(x，y)＝0是曲线C的方程，或曲线C是方程 f(x，y)＝0的曲线，则必须满足以下两个条件： (1)曲线上点的坐标都是________(纯粹性)． (2)以这个方程的解为坐标的点都是________(完备性)．
即4k2－t2＋1＞0，即t2＜4k2＋1，且 x 1 ＋ x 2 ＝ － 1 ＋ ，8 k 4 t k 2 x 1 x 2 ＝ 1 4 ＋ t 2 － 4 k 4 2
2017年高考数学文二轮复习课件：专题整合突破 专题6 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 2-6-2
(2)已知抛物线 C：y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l → → 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点， 若FP＝3FQ， 则|QF| ＝( ) 8 A.3 C．3 5 B.2 D．2
[解析] 设 l 与 x 轴的交点为 M， 过 Q 向准线 l 作垂线， |NQ| 2 8 垂足为 N，则由|MF|＝3及|MF|＝p＝4 可得|QF|＝3.
与圆锥曲线性质有关问题的求解策略 (1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解 问题的关键． (2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点， 建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等 式求得离心率的值或范围． (3)在双曲线中，由于 离心率有着密切关系．
2
[解析] 不妨设点 A 在第一象限，如图所示． ∵AF2⊥x 轴， ∴A(c，b2)(其中 c2＝1－b2,0<b<1，c>0)．
→ → 又∵|AF1|＝3|F1B|，∴由AF1＝3F1B得
2 5 c b － ，－ B ， 3 3
2 2 4 y 25 c b 2 2 2 2 2 代入 x ＋b2＝1 得 9 ＋9b2＝1，又 c ＝1－b ，∴b ＝3. 3 2 2 故椭圆 E 的方程为 x ＋2y ＝1.
考点 典例示法 典例 3
圆锥曲线的性质
x2 y2 (1)[2016· 郑州质检]已知椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)
的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，若△F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 椭圆的离心率为( 2 A. 2 C. 5－2 ) B．2－ 3 D. 6－ 3
高考数学二轮复习第二编专题六解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线课件文0212384
2．圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系
□ ①在椭圆中： 01 a2＝b2＋c2 ；离心率为 e＝ac＝
1－ab22；
□ ②在双曲线中： 02 c2＝a2＋b2 ；离心率为 e＝ac＝
1＋ab22.
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 ①双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程
(2)(2018·福建泉州五校联考)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0) 的焦点 F 的直线依次交抛物线及准线于点 A，B，C，若|BC| ＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝32x C．y2＝92x
B．y2＝3x D．y2＝9x
解析 如图，分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准 线于点 E，D，
A．x＝－1 B．y＝－1 C．x＝－2 D．y＝－2
解析 画出图形，过 A 作 AB⊥x 轴，AC 垂直于准线 l， 因为|AF|＝4，所以|BF|＝2，由已知得∠AFB＝60°，根据抛 物线的定义知|AC|＝4 且|AC|＝|BF|＋p，所以 p＋2＝4，p＝ 2.即抛物线的准线方程为 x＝－1，故选 A.
第二编 讲专题 专题六 解析几何
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
「考情研析」 1.考查圆锥曲线的定义、方程及几何性质，特别是椭圆、 双曲线的离心率和双曲线的渐近线． 2.以解答题的形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦 长、中点等)．
核心知识回顾
1．圆锥曲线的定义式 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M(l 为抛物线的准线方程)．
高考数学二轮复习专题六第2讲椭圆双曲线抛物线.ppt
几 何
圆于 P2，P1、P2 分别使|PA|＋|PF|取得最大值和
下 页
最小值，且为 6＋ 10和 6－ 10.
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
题型二 圆锥曲线的几何性质
专 题
例2
(1)(2010
年高
考
天
津卷
)
已
知
双曲
线
x2 a2
－
y2 b2
＝
六
1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一
又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数，在上式中 页
以－k
代替
k，可得
xF＝432＋3＋k42k－2 12，yF＝－kxF＋23＋k，
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所以直线 EF 的斜率
kEF＝xyFF－－yxEE＝－kxxEF＋－xxFE＋2k＝12，
即直线 EF 的斜率为定值，其值为21.
要点知识整合 热点突破探究 高考动态聚焦
题型四 圆锥曲线中的参数范围
专
例4 如图，已知圆 C：(x＋1)2＋y2＝8，定点
题
A(1,0)，M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N
六
上
解
在 CM 上，且满足A→M＝2A→P，N→P·A→M＝0，点 N
页
析
的轨迹为曲线 E.
几 何
(1)求曲线 E 的方程；
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(2)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点
321k2＋1
λ
λ2 .8
分
专 题 六
∵k2＞32，∴4＜23k12＋6 3＜136.
上
解 析 几 何
∴4＜λ＋1λ＋2＜136，∴13＜λ＜3. 又∵0＜λ＜1，∴13＜λ＜1.