应用统计学：参数估计习题及答案

简答题
1、矩估计的推断思路如何？有何优劣？
2、极大似然估计的推断思路如何？有何优劣？
3、什么是抽样误差？抽样误差的大小受哪些因素影响？
4、简述点估计和区间估计的区别和特点。

5、确定重复抽样必要样本单位数应考虑哪些因素？
计算题
1、对于未知参数的泊松分布和正态分布分别使用矩法和极大似然法进行点估计，并考量估计结果符合什么标准
2、某学校用不重复随机抽样方法选取100名高中学生，占学生总数的10%，学生平均体重为50公斤，标准差为48.36公斤。

要求在可靠程度为95%（t=1.96）的条件下，推断该校全部高中学生平均体重的范围是多少？
3、某县拟对该县20000小麦进行简单随机抽样调查，推断平均亩产量。

根据过去抽样调查经验，平均亩产量的标准差为100公斤，抽样平均误差为40公斤。

现在要求可靠程度为95.45%（t=2）的条件下，这次抽样的亩数应至少为多少？
4、某地区对小麦的单位面积产量进行抽样调查，随机抽选25
公顷，计算得平均每公顷产量9000公斤，每公顷产量的标准差为1200公斤。

试估计每公顷产量在8520-9480公斤的概率是多少？（P(t=1)=0.6827, P(t=2)=0.9545, P(t=3)=0.9973）
5、某厂有甲、乙两车间都生产同种电器产品，为调查该厂电器产品的电流强度情况，按产量等比例类型抽样方法抽取样本，资料如下：
试推断：
（1）在95.45%（t=2）的概率保证下推断该厂生产的全部该种电器产品的平均电流强度的可能范围
（2）以同样条件推断其合格率的可能范围
（3）比较两车间产品质量
6、采用简单随机重复和不重复抽样的方法在2000件产品中抽查200件，其中合格品190件，要求：
（1）计算样本合格品率及其抽样平均误差
（2）以95.45%的概率保证程度对该批产品合格品率和合格品数量进行区间估计。

（3）如果极限误差为2.31%，则其概率保证程度是多少？
7、某单位按重复抽样方式随机抽取40名职工，对其业务考试成绩进行检查，资料如下：
6889 88 84 86 87 75 73 72 68
7582 99 58 81 54 79 76 95 76
7160 91 65 76 72 76 85 89 92
6457 83 81 78 77 72 61 70 87
（1）根据上述资料按成绩分成以下几组：60分以下、60-70分、70-80分、80-90分、90-100分。

整理成变量分配数列。

（2）根据整理后的变量数列，以95.45%的概率保证程度推断全体职工业务考试成绩的区间范围。

（3）其他条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名职工？
参考答案
简答：
1、矩估计属于常用点估计法的一种，它的推断思路是认为样本矩等于总体矩。

这种推断方法的优势在于计算简便，适用范围广；其缺陷在于手段相对粗糙，估计结果不唯一，且在据镇估计体系内，无法判断不同估计量的优劣。

2、极大似然估计认为在一次单一的抽样实验中，该样本表现在所有可能的样本中，是出现概率相对最大的一个，通过对其概率的极值计算推断总体参数。

这种推断方法的缺陷在于，适用面较窄，对于某些分布形式或参数无效；其优势则在于计算相对精密，估计效果唯一。

3、抽样误差实际包含两个概念：一是指抽样平均误差，在数理上表现为样本平均数的标准差别，计算上表现为n
σ，仅具有理论意义；另一个是指抽样极限误差，在区间估计中表现为估计量
，其值由允许的置信度、描的浮动额度，计算上表现为n
Zσ
α2
述总体离散程度的标准差，和样本容量三个因素共同决定。

4、所谓点估计，是指估计结果表现为点值的估计方法，常用的有矩法和极大似然法；区间估计的结果则表现为域值。

除了结果表现形式上的区别外，两者对结果的评价方式也不同。

点估计只能够一些标准评价估计量的构造方式的优劣，不能对具体的一次估计结果进行评价；区间估计则可以对该次估计具体结果的可靠
程度进行度量，且结果的可信度与于估计的精确度之间存在某种非数量性的互补。

两者之间也存在一定的联系：区间估计是以点估计量和中心，向数轴两边等距离扩展，形成域值。

5、重复抽样条件下，能够满足指定精度和信度要求的样本最低容量计算公式为22)(∆=σ
αZ n ，式中可见，影响因素有三：分别为由要求信度决定的正态临界值αZ 、描述总体离散度的标准差σ，
和要求的估计精度∆。

计算：
1、两种点估计技术：
泊松分布： 矩估计：x e k x
x E k ===∑-λλλ!)(
极大似然估计：
极大似然函数为λλn k k L i i --=∑∑!ln ln ln
令其导数为0有0=-∑n k i λ，解得k =λ
正态分布： 矩估计：x x xf x E ===⎰μ)()(；2222)(1)(x x n Ex x E -=
=-=σσ 极大似然估计：
极大似然函数为222)(ln 2ln 2ln σμσπ∑
----=x n n L
令其导数为0有02=-∑σμ
x 和0)
(32=-+-∑σμσx n 两方程联立解得x =μ；n x x ∑-=22)(σ
2、不重复抽样下总体平均数的区间估计：
)1
1000100100010036.4896.150()1(222--⨯⨯±=--±∈N n N n s Z x αμ 3、样本容量的确定：
25)40
1002()(222=⨯=∆=σ
αZ n 4、总体平均数的区间的概率计算：
9545.0)22()25
12009000948025120090008520(=≤≤-=-≤-≤-Z P n s x P μ 5、总体平均数和比例的区间估计、双总体平均数比例差的估计：
（1）两个车间数据拟合（加权算术平均）有
567.1)()(212211=++=n n x n x n x ；453.0))(2122
22112=++=n n s n s n s )60453.02567.1()(1,2⨯±=±∈-n
s t x n αμ （2）93.0)()(212211=++=n n p n p n p
)60
)93.01(93.096.193.0())1((2-⨯⨯±=-±∈n p p Z p P α （3）))1()1()((2
221111,22121n p p n p p t p p P P n -+-±-∈--α 6、总体比例的参数、区间估计和概率计算：
（1）此处的样本合格品率明显是指此次试验得到的实证数据，因此有95.0200190==p ；抽样平均误差则是一个理论概念，描述的是样本比例作为一个随机变量的标准差，在重复抽样条件下其计算：200)95.01(95.0)1(2-⨯=-=n p p p σ；不重复抽样条件下需要有修正因子：120002002000200)95.01(95.01)1(2--⨯-⨯=--⨯-=N n N n p p p σ。

（2）重复)20005.095.0295.0())1((⨯⨯±=-±∈n p p Z p P α 不重复)12000200200020005.095.0295.0()1)1((2--⨯⨯⨯±=--⨯-±∈N n N n p p Z p P α 无论重复或不重复，合格品数量均为NP 。

（3）按题意0231.0)1(2=-n p p Z α 则05.095.02000231.0)1(0231.02⨯⨯=-=p p n Z α，查表可得α-1
7、数据整理、平均数区间估计和样本容量确定
（2）根据整理后的变量数列，以95.45%的概率保证程度推断全体职工业务考试成绩的区间范围。

（3）其他条件不变，将允许误差缩小一半，应抽取多少名职工？
根据分组数据计算，有77=x ，1112=s
)40111277()(2⨯±=±∈n s
Z x αμ 22)2(∆=s
Z n α，由式中可见，若要求允许误差减半，则要求样本容量应比原来扩大4倍。