知识讲解高考总复习算法与程序框图
高考总复习：算法与程序框图
【考纲要求】
1.算法的含义、程序框图
（1）了解算法的含义，了解算法的思想；
（2）理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环。
2.基本算法语句
理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、算法
1．算法的概念
（1）古代定义：指的是用阿拉伯数字进行算术运算的过程。
（2）现代定义：算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
（3）应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题。
2．算法的特征：
①指向性：能解决某一个或某一类问题；
②精确性：每一步操作的内容和顺序必须是明确的；算法的每一步都应当做到准确无误，从开始的“第一步”直到“最后一步”之间做到环环相扣，分工明确.“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的继续.
③有限性：必须在有限步内结束并返回一个结果；算法要有明确的开始和结束，当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果，也就是说必须在有限步内完成任务，不能无限制的持续进行.
④构造性：一个问题可以构造多个算法，算法有优劣之分。
3．算法的表示方法：
（1) 用自然语言表示算法: 优点是使用日常用语, 通俗易懂；缺点是文字冗长, 容易出现歧义；（2) 用程序框图表示算法：用图框表示各种操作，优点是直观形象, 易于理解。
要点诠释：泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。
考点二：程序框图
1. 程序框图的概念：
程序框图又称流程图，是最常用的一种表示法，它是描述计算机一步一步完成任务的图表，直观地描述程序执行的控制流程，最便于初学者掌握。2.程序框图常用符号：
3.画程序框图的规则：
(1)使用标准的框图的符号；
(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；
(3)除判断框图外，大多数框图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框是具有超过一个退出点的唯一符号；
(4)一种判断框是“是”与“不是”两分支的判断，而且有且仅有两个结果；另一种是多分支判断，有几种不同的结果；
(5)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。
4.算法的三种基本逻辑结构：
（1)顺序结构：由若干个按从上到下的顺序依次进行的处理步骤（语句或框）组成。这是任何一个算法都离不开的基本结构。
（2)条件结构：算法流程中通过对一些条件的判断，根据条件是否成立而取不同的分支流向的结构。它是依据指定条件选择执行不同指令的控制结构。
（3)循环结构：根据指定条件，决定是否重复执行一条或多条指令的控制结构称为循环结构。
考点三：基本算法语句
程序设计语言由一些有特定含义的程序语句构成，与算法程序框图的三种基本结构相对应，任何程序设计语言都包含输入输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句。以下均为BASIC语言。
1.输入语句
这个语句的一般格式是：INPUT “提示内容”；变量
其中，“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息。每次运行程序时，计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值执行下面的语句。
INPUT语句不但可以给单个变量赋值，还可以给多个变量赋值，其格式为：
INPUT “提示内容1，提示内容2，提示内容3，…”；变量1，变量2，变量3，…
要点诠释：
①“提示内容”与变量之间必须用分号“；”隔开。
②各“提示内容”之间以及各变量之间必须用逗号“，”隔开，但最后的变量的后面不需要。
2.输出语句
它的一般格式是：PRINT “提示内容”；表达式
同输入语句一样，表达式前也可以有“提示内容”。
输出语句的用途：
（1）输出常量，变量的值和系统信息；
（2）输出数值计算的结果。
3.赋值语句
用来表明赋给某一个变量一个具体的确定值的语句。它的一般格式是：变量=表达式赋值语句中的“=”叫做赋值号。
赋值语句的作用：
先计算出赋值号右边表达式的值，然后把这个值赋给赋值号左边的变量，使该变量的值等于表达式的值。
要点诠释：
①赋值号左边只能是变量名字，而不能是表达式。如：2=X是错误的。
②赋值号左右不能对换。如“A=B”与“B=A”的含义运行结果是不同的。
③不能利用赋值语句进行代数式的演算。（如化简、因式分解、解方程等）。
④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。
4.条件语句
算法中的条件结构是由条件语句来表达的，是处理条件分支逻辑结构的算法语句。
它的一般格式是：（IF-THEN-ELSE格式）
IF 条件 THEN
语句1
ELSE
语句2
END IF
当计算机执行上述语句时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN 后的语句1，否则执行ELSE后的语句2。
在某些情况下，也可以只使用IF-THEN语句：（即IF-THEN格式）
IF 条件 THEN
语句
END IF
计算机执行这种形式的条件语句时，也是首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，就执行THEN后的语句，如果条件不符合，则直接结束该条件语句，转而执行其他语句。
要点诠释：条件语句的作用：在程序执行过程中，根据判断是否满足约定的条件而决定是否需要转换到何处去。需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同的处理。
5.循环语句
算法中的循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构，一般程序设计语言中也有当型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）两种语句结构，即WHILE语句和UNTIL语句。
（1）WHILE语句的一般格式是：
WHILE 条件
循环体
WEND
其中循环体是由计算机反复执行的一组语句构成的。WHLIE后面的“条件”是用于控制计算机执行循环体或跳出循环体的。当计算机遇到WHILE语句时，先判断条件的真假，如果条件符合，就执行WHILE与WEND之间的循环体；然后再检查上述条件，如果条件仍符合，再次执行循环体，这个过程反复进行，直到某一次条件不符合为止。这时，计算机将不执行循环体，直接跳到WEND语句后，接着执行WEND之后的语句。因此，当型循环有时也称为“前测试型”循环。
（2）UNTIL语句的一般格式是：
DO
循环体
LOOP UNTIL 条件
要点诠释：当型循环在进行循环前对控制条件进行判断，当条件满足时就反复循环，不满足就停止；直到型循环在进行一次循环后，对控制条件进行判断，当条件不满足时就反复循环，满足就停止。
1．算法与框图是新课标教材中新增的内容，但也曾与其它板块知识结合出现在前几年的各类考试中，其思想方法渗透在高中数学课程的其他相关内容中。考题应考查算法的思想，基本结构为主，多以选择题、填空题的形式呈现。
2．根据本章知识的特点，复习中应加强对算法思想的理解，了解算法的基本逻辑结构，掌握算法基本语句的使用。
3．仔细审题．在画流程图时首先要进行结构的选择，套用公式．若求只含有一个关系的解析式的函数的函数值时，只用顺序结构就能够解决；若是分段函数或执行时需要先判断后才能执行后继步骤的，就必须引入选择结构；如果问题里涉及了许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，就可引入变量，应用循环结构．当然应用循环结构里边一定要用到顺序结构与选择结构．循环结构有两种：直到型和当型，两种都能解决问题．【典型例题】
类型一：算法的含义
【例1】已知球的表面积是16π，要求球的体积，写出解决该问题的一个算法.
【思路点拨】先根据表面积算出球的半径，再根据球的体积公式求出球的体积，将上面步骤分解并分别写出即可得到算法。
【解析】算法如下：
第一步，s＝16π.
第二步，计算R=
第三步，计算
3
4
3
R V
π=
第四步，输出V.
【总结升华】给出一个问题，设计算法应该注意：
(1)认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法，此问题涉及到的各种情况；
(2)将此问题分成若干个步骤；
(3)用简练的语句将各步表述出来.
举一反三：
【变式1】设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( )
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5
【解析】当I ＜13成立时，只能运算
1×3×5×7×9×11.故选A.
【变式2】写出找出1至1 000内7的倍数的一个算法.
解答：算法1：
S1 令A=0;
S2 将A 不断增加1，每加一次，就将A 除以7，若余数为0，则找
到了一个7的倍数，将其输出;
S ＝1 I ＝3 While I ＜ ①
S ＝S×I
S3 反复执行第二步，直到A=1 000结束.
算法2：
S1 令k=1;
S2 输出k ·7的值;
S3 将k 的值增加1，若k ·7的值小于1 000，则返回S2，否则结束.
算法3：
S1 令x=7;
S2 输出x 的值;
S3 将x 的值增加7，若没有超过1 000，则返回S2，否则结束.
类型二：程序框图
【例2】写出解方程0ax b +=（a b R ∈、）的相应程序及程序框图。
【思路点拨】因为a b R ∈、，解方程0ax b +=时需要先对最高次项的系数a 是否为0进行判断。
若0a ≠，则方程的解为b
x a =-；
若0a =，则需要再次判断b 是否为0，
若0b =，则方程的解为全体实数，
若0
b ，则方程无实数解。
据此可以用条件语句来实现。
【解析】程序：
INPUT“a,b=”；a,b
IF a<>=0 THEN
PRINT“原方程的根为”；x
ELSE
IF b<>=0 THEN
PRINT“方程无实数根”
ELSE
PRINT“方程的根为全体实数”
END IF
END IF
END
程序框图：
【总结升华】在写出算法时，应当对所要解决的问题有深入、全面的了解；条件分支
结构的运用与分类讨论的数学思想密切相连；设计算法时，什么地方要进行分类讨论，什么地方就要用条件分支结构。
举一反三：
【变式1】写出用二分法求函数()y f x =在区间[1,2]的零点（精确到0.01）的程序框图及相应程序。
【解析】
程序：
a=1
b=2
DO
IF (
)02
a b
f += THEN EXIT ELSE IF ()(
)02
a b
f a f +< THEN ELSE 2
a b
a +=
输出
2
a b
+ END IF
LOOP UNTIL 0.01b a -<
2
a b
+ 程序框图：
【例3】执行如图所示的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )
【思路点拨】 根据程序框图(算法流程图)分析出该程序框图的功能进行求解．
【总结升华】 识别运行算法框图和完善算法框图是高考的热点．
解答这一类问题，
第一，要明确算法框图的顺序结构、选择结构和循环结构；
第二，要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题；
第三，按照题目的要求完成解答．对算法框图的考查常与数列和
函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．
类型三：条件结构
【例3】已知函数2
23
(0)2(0)
x x y x x ->?=?+≤?，写出求该函数的函数值的算法并画出程序框
图。
【思路解析】分析算法→写出算法→选择合适的逻辑结构→画出程序框图。
【解析】算法如下：
第一步：输入x ；
第二步：如果(0)x >，那么使23y x =-，
否则22y x =+；
第三步：输出y 。
程序框图如下：
【总结升华】求分段函数值的算法应用到条件结构，因此在程序框图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的框图中的内容或操作就相应地进行变化.
举一反三：
【变式1】阅读如图的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写( )
A.i ＜3？
B.i ＜4？
C.i ＜5？
D.i ＜6？
【解析】i ＝1，s ＝2－1＝1；
i ＝3，s ＝1－3＝－2；
i ＝5，s ＝－2－5＝－7.所以选D.
【变式2】写出解方程20ax x b ++=的一个算法，并画出程序框图。
【解析】
算法步骤：
第一步：判断a 是否等于0
如果0a =，则解得x b =-；
如果0a ≠，则执行第二步；
第二步：计算14ab ?=-；
第三步：若0?<，则原方程无实数根；否则，0?≥，有112x a -=
，212x a
-+=；
第四步：输出方程无实数根的信息或1x 、2x 。
程序框图：
类型四：循环结构
【例4】设计算法求
1111
12233499100
++++
????L 的值，并画出程序框图。 【思路点拨】（1）这是一个累加求和问题，共99项相加；
（2）设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法。
【解析】算法如下：
第一步：令S=0，1;i =
是
14ab
?=-0?<112x a
--?=2
12x a -+?=a b
输入、0
a =x b
=-是
12
x x 输出、x
输出输出“无实根”
第二步：若99
i≤成立，则执行第三步；
否则，输出S，结束算法；
第三步：
1
;
(1) S S
i i
=+
+
第四步：1
i i
=+，返回第二步。
程序框图：
方法一：当型循环程序框图：
方法二：直到型循环程序框图：
【总结升华】利用循环结构表示算法，一定要先确定是利用当型循环结构，还是直到型循环结构；第二要选择准确的表示累计的变量；第三要注意在哪一步开始循环。
举一反三：
【变式】设计一个计算10个数的平均数的算法，并画出程序框图.
【解析】算法步骤如下：
第一步，令S＝0.
第二步，令I＝1.
第三步，输入一个数G.
第四步，令S＝S＋G.
第五步，令I ＝I ＋1.
第六步，若I ＞10，转到第七步，
若I ≤10，转到第三步.
第七步，令A ＝S/10.
第八步，输出A .
据上述算法步骤，程序框图如图.
类型五：输入、输出、赋值语句的应用
【例5】阅读程序框图(如下图)，若输入m ＝4，n ＝6，则输出a ＝ ，i ＝ .
【解析】a ＝12，i ＝3.
【点拨】赋值语句是一种重要的基本语句，也是程序必不可少的重要组成部分，使用赋值语句，要注意其格式要求.
【例6】阅读下列程序，并回答问题．
（1）程序 （2）程序
（1）中若输入1，2，则输出的结果为________； （2）中若输入3，2，5，则输出的结果为________．
INPUT a ，b
c=a ―b
INPUT A ，B ，
C
A=A+B
【答案】（1）1，―2，―1（2）C=―3
【解析】 分别将输入的值代入程序中逐步计算即可，要注意赋值前后变量值的变化．
（1）阅读程序，由a=1，b=2，c=a ―b 可得c=―1；又根据语句b=a+c ―b ，可得b=―2；
所以程序运行后的结果为：1，―2，―1．
（2）阅读程序，由A=3，B=2，C=5，A=A+B ，可得A=5，
又根据语句B=B ―A ，可得B=―3，
又C=C ／A*B ，所以输出结果为C=―3．
【点评】赋值语句在给变量赋值时，先计算赋值号右边的式子然后赋值给赋值号左边的变量；另外可以给一个变量先后多次赋不同的值，但变量的取值只与最后一次赋值有关．解决此类问题时要时刻把握某个变量在该程序中充当的角色，时刻关注其值的改变情况．
举一反三：
【变式】写出下列语句描述的算法的输出结果．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）16 （2）a=1 b=2 c=3（3）a=20 b=30 c=20
【解析】 （1）∵a=5，b=3，42
a b
c +=
=，∴d=c 2=16． a=5
b=3 a=1
b=2 a=10
b=20
c=30