高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)

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(常考题)北师大版高中数学高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》测试卷(有答案解析)(2)

一、选择题1．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝（）A ．1B ．3C ．4D ．52．已知函数()2f x x bx =-的图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y -+=平行，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2019S 的值为（） A ．20192020 B ．20182019 C ．20172018 D ．20182017 3．若函数f （x ）＝alnx （a ∈R ）与函数g （x ）x =在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为（）A ．4B ．12C ．2eD ．e 4．函数()2221sin cos 622x x f x x =+-的导函数()y f x '=的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．5．已知()4cos 72f x ax b x x =++-.若()20186f '=，则()2018f '-=（） A ．6-B ．8-C ．6D ．86．函数22sin 22()([,0)(0,])133x x f x x x ππ=∈-+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．已知函数()ln ln x x f x e x e a x =-+的图象在点()()1,1T f 处的切线经过坐标原点，则a=（）A ．e -B ．eC ．1e e ---D ．1e -8．函数()(cos )x f x a x e =+，若曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则实数a =（） A 31-B 13-C 31+ D ．31+9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( )A ．1B ．2C ．12D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是( )A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B ．[0，π) C ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．[0，4π]∪[2π，34π] 12．已知ln 0a b -=，1c d -=，则22()()a c b d -+-的最小值是（）.A ．1BC ．2D ．二、填空题13．设l 是2y x=图象的一条切线，问l 与坐标轴所围成的三角形面积为______. 14．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．15．已知函数32()1(0,0)32x b f x x ax a b =-++>>，则函数'()()ln f x g x a x a =+在点(,())b g b 处切线的斜率的最小值是________．16．已知曲线()32ln 3x f x x x=+在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+= ____________ 17．已知函数1()f x x x=+和点(1,0)P ，过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，则直线MN 的斜率等于____.18．已知函数()'cos sin 4f x f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为__________． 19．已知()f x 的导函数为'()f x ，且满足关系式()3'(2)ln f x xf x =+，则(1)f '的值为___． 20．已知点P 在曲线sin y x =上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是__________．三、解答题21．已知函数22()(2)ln 2f x x x x ax =-⋅++．（1）当1a =-时，求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；（2）设函数()()2g x f x x =--，函数()g x 有且仅有一个零点．（i ）求a 的值；（ii ）若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，求m 的取值范围．22．已知函数()1x f x e ax =+-（e 为自然对数的底数）．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；（Ⅱ）若2()f x x ≥在区间(0,1)上恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知函数()()()11ln x ax a f x x x--+=-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程；（2）当0x >且1x ≠，不等式()11ln 1a x x x x +-<-恒成立，求实数a 的值. 24．已知函数()()3123f x x ax a a R =-+∈． ()1当1a =时，求曲线()f x 在()()2,2f 处的切线方程；()2过点()2,0作()y f x =的切线，若所有切线的斜率之和为1，求实数a 的值．25．已知函数图象上一点，且在点处的切线与直线平行．(1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最大值和最小值； (3)关于的方程在区间上恰有两个相异的实根，求实数的取值范围． 26．已知函数3()16f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线且过原点，求直线l 方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C 【分析】根据切线的定义得到()13f =，()'11f =，相加得到答案.【详解】根据题意知：()1123f =+=，()'11f =，故()()'114f f +=. 故选：C.【点睛】本题考查了切线方程，属于简单题.2．A解析：A【分析】利用导数的几何意义，可求出直线l 的斜率，进而由l 与直线320x y -+=平行，可求出b ，从而可得到()1111f n n n =-+，进而求出2019S 即可. 【详解】由题意，()2f x x b '=-，则()12f b '=-，所以直线l 的斜率为2b -，又直线320x y -+=的斜率为3，所以23b -=，解得1b =-.则()2f x x x =+，故()211111f n n n n n ==-++，所以201911111111201911223342019202020202020S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查平行直线的性质，考查利于裂项相消求和法求数列的前n 项和，属于中档题. 3．C解析：C【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解.【详解】由已知得()()a f x g x x ''==，，设切点横坐标为t ，∴alnt a t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，. 故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.4．C解析：C【分析】将函数()y f x =的解析式化简，求出其导数()1sin 3f x x x '=+，，然后结合导函数的符号排除错误选项即可确定导函数的图像.【详解】因为()222211sin cos cos 6226x x f x x x x =+-=-，()1sin 3f x x x '∴=+. 当03x <≤时，103x >，sin 0x >，则()1sin 03f x x x '=+>；当3x >时，113x >，1sin 1x -≤≤，则()1sin 03f x x x '=+>.所以，当0x >时，()1sin 03f x x x '=+>，排除ABD 选项，故选：C.【点睛】本题考查函数图象的识别，给定函数解析式，一般要结合函数的定义域、奇偶性、单调性（导数）、特殊值符号、零点等知识进行逐一排除，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．D解析：D【分析】分析()f x 的导函数()f x '，构造关于()f x '的新函数，借助新函数奇偶性即可计算()2018f '-的值.【详解】因为()4cos 72f x ax b x x =++-，所以()34sin 7f x ax b x '=-+，所以()374sin f x ax b x '-=-，令()()374sin g x f x ax b x '=-=-，所以()()34sin g x ax x g x -=-+=-且函数()g x 定义域为R 关于原点对称，所以()g x 是奇函数，所以()()201820180g g +-=，所以()()20187201870f f ''-+--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()20181468f '-=-=.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，难度一般.一般地，形如()()()0g x f x c c =+≠的函数中，已知()f x 为奇函数，根据()f a 的值求解()f a -的值的方法：构造新函数()g x c -，根据新函数的奇偶性求解()f a -的值.6．A解析：A【分析】根据解析式判断函数的奇偶性，2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，以及2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭'的正负，即可进行选择. 【详解】因为()221x sinx f x x =+，()221x sinx f x x -=-+，且定义域关于原点对称，故()f x 是奇函数，排除选项C ；因为2220212f πππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故排除选项D ；因为()()()()223222121xsinx x cosx x x sinx f x x ++-=+'，故可得220212f πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦' 故函数()f x 在点(),2f x π⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为正数，故排除选项B ；故选：A.【点睛】本题考查函数图像的识别，涉及函数的奇偶性，特值的把握，利用导数研究函数某点处切线的斜率，属综合中档题.7．A解析：A【分析】利用导数求出函数()y f x =在点()()1,1T f 处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数a 的值.【详解】 ()ln ln x x f x e x e a x =-+，()1f e ∴=-，切点为()1,T e -，()ln x xx e a f x e x e x x '=+-+，()1f a '=，所以，函数()y f x =的图象在点T 处的切线方程为()1y e a x +=-，由于该直线过原点，则a e -=，解得a e =-，故选A.【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．A解析：A【解析】【分析】首先求得导函数的解析式，然后利用导数与函数切线的关系得到关于a 的方程，解方程即可确定a 的值.【详解】由函数的解析式可得：()(cos sin )x f x a x x e '=+-，曲线()y f x =在点,33f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭处的切线垂直于y 轴，则：310322f a e ππ'⎛⎛⎫=+-⋅= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得：a =. 故选A .【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导函数与函数切线的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．A解析：A【解析】由题得cos y x '=，设切线的倾斜角为α，则，3tan cos 1tan 1[0,][,)44k x ππαααπ==∴-≤≤∴∈⋃，故选A. 12．C解析：C【分析】设点(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，点()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．然后将问题转化为求曲线C 上一点到直线l 距离的最小值的平方，直接对函数ln y x =求导，令导数为零，可求出曲线C 上到直线l 距离最小的点，然后利用点到直线的距离公式可求出最小距离，从而得出答案．【详解】设(),b a 是曲线:ln C y x =上的点，()d c ，是直线:1l y x =+上的点；()()22a c b d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方．对函数ln y x =求导得1y x '=，令1y '=，得1x =，所以，曲线C 上一点到直线l 上距离最小的点为()10，，该点到直线l的距离为因此，()()22a c b d -+-的最小值为22＝．故选C ．【点睛】本题考查距离的最值问题，将问题进行转化是解本题的关键，属于中等题．二、填空题13．4【分析】根据导数的几何意义求出切线的方程进而求得轴上的截距即可求得结果【详解】因为故可得设切点为则过切点的切线方程为且则切线在轴上的截距分别为则与坐标轴所围成的三角形面积故答案为：4【点睛】本题考解析：4【分析】根据导数的几何意义，求出切线的方程，进而求得,x y 轴上的截距，即可求得结果.【详解】因为2y x =，故可得22y x'=-，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为()00202y y x x x -=--，且002x y =，则切线在,x y 轴上的截距分别为0042,x x ，则l 与坐标轴所围成的三角形面积0014242S x x =⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的方程，属中档题.14．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2 【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a +=，解得a =∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当ek e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈.故答案为：1(,)2ee.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题.15．2【解析】【分析】根据已知条件得到的导函数根据限制性条件和基本不等式进行解答【详解】因为所以又因为所以（b ）所以斜率的最小值是2故答案是：2【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值根据导数的解析：2 【解析】【分析】根据已知条件得到()()f x g x alnx a'=+的导函数，根据限制性条件0a >，0b >和基本不等式进行解答．【详解】因为()()f x g x alnx a'=+，所以2()a x b g x x a-'=+．又因为0a >，0b >，所以g '（b ）22a b b a ab a b b-=+=+，所以斜率的最小值是2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查导数的计算和基本不等式求最值，根据导数的几何意义求出切线斜率是解决本题的关键．16．【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到【详解】曲线求导得到函数在点处的切线的倾斜角为则得到故答案为：【点睛】这个题目考查了导数的几何意义三角函数化简求值本题主要考察诱导公式同角三角函数的基本关系式解析：87【解析】【分析】根据导函数的几何意义得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+. 【详解】曲线()32ln 3x f x x x =+，求导得到()221ln 2x f x x x -=+'，函数在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则得到()tan 13f α'==，222sin cos 2sin cos cos ααααα-+2tan 18=2tan 17αα-=+故答案为：87. 【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，三角函数化简求值，本题主要考察诱导公式、同角三角函数的基本关系式的知识，注意切弦互化这一转化思想的应用；同角三角函数的基本关系式及诱导公式要注意角的范围对三角函数符号的影响,尤其是利用平方关系求三角函数值,进行开方时要根据角的范围,判断符号后,正确取舍；注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.17．2【解析】设∵函数∴∵过点作曲线的两条切线∴∴直线的方程为直线的方程为∵∴∴即是方程的两根∴∴直线的斜率故答案为2点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率属于中档题应用导数的几何意义求切点处切线的斜率主解析：2 【解析】设11(,)M x y ，22(,)N x y . ∵函数()1f x x x=+ ∴21()1f x x =-' ∵过点P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN∴2111PM k x =-，2211PNk x =- ∴直线PM 的方程为11211(1)()y y x x x -=--，直线PN 的方程为22221(1)()y y x x x -=--. ∵1111y x x =+，2221y x x =+ ∴11211110()(1)(1)x x x x -+=--，22222110()(1)(1)x x x x -+=-- ∴211210x x +-=，222210x x +-=，即1x ，2x 是方程2210x x +-=的两根. ∴122x x +=-，121x x ⋅=- ∴直线MN 的斜率12121212121211112MN x x y y x x k x x x x x x +---===-=--⋅.故答案为2.点睛：本题主要考查利用导数求切线斜率，属于中档题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x '=；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x -'==-求解.18．【解析】解得故故答案为解析：1【解析】()''sin cos 4f x f x x π⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，''sin cos 4444ff ππππ⎛⎫⎛⎫∴=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得'14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故)'cos sin 114444f f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1.19．【分析】】根据导数的计算公式求出令可得然后把x=1代入即可【详解】由可得：∴解得：∴故答案为【点睛】本题考查函数的导数的应用属基础题解析：14【分析】】根据导数的计算公式求出()f x '，令2x =可得 ()124f '=-，然后把x=1代入即可. 【详解】由()()3'2ln f x xf x =+，可得： ()()132f x f x''=+， ∴()()12322f f ''=+，解得： ()124f '=- ∴()()113214f f +'='=. 故答案为 14【点睛】本题考查函数的导数的应用，属基础题.20．【解析】由题意可得：即切线的斜率取值范围为据此可知倾斜角的取值范围是解析：3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，【解析】由题意可得：[]'cos 1,1y x =∈-，即切线的斜率取值范围为[]1,1-，据此可知倾斜角a 的取值范围是3044πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，，. 三、解答题21．（1）340x y （2）（ⅰ）a=1（ⅱ）223m e e ≥-【解析】试题分析：（1）当a=﹣1时，函数f （x ）=（x 2﹣2x ）lnx+ax 2+2=（x 2﹣2x ）lnx ﹣x 2+2，求出f′（x ），则k=f′（1），代入直线方程的点斜式可得切线的方程．（2）①令g （x ）=f （x ）﹣x ﹣2=0，则（x 2﹣2x ）•lnx+ax 2+2=x+2，即()12ln x xa x--⋅=，构造函数h （x ）=()12ln x xx--⋅，确定h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h （x ）max =h （1）=1，即可求a 的值； ②当a=1时，g （x ）=（x 2﹣2x ）•lnx+x 2﹣x ，若2e x e -<<，g （x ）≥m ，只需g （x ）min ≥m ．试题（1）当1a =-时，()()222ln 2f x x x x x =--+,()0,x ∈+∞，∴()()()22ln 22f x x x x x =-+--' ()13f ∴'=-，又()11f = ∴()f x 在()()1,1f 处的切线方程340x y +-=.（2）（ⅰ）令()()20g x f x x =--=，则()222ln 22x x x ax x -++=+∴()12ln x xa x--⋅=令()()12ln x xh x x--⋅=，则()2221122ln 12ln x x x h x x x x x ---=-+'-=. 令()12ln t x x x =--,则()221x t x x x'--=--= ()0,x ∈+∞， ()0t x '<，∴()t x 在()0,+∞上是减函数又()()110t h '==，∴当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<， ∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 11h x h ∴==，∴当函数()g x 有且只有一个零点时，1a =.（ⅱ）当1a =，()()222ln g x x x x x x =-+-，若2e x e -<<时，()g x m ≤恒成立，只需()max ,g x m ≤ ()()()132ln g x x x '=-+.令()0g x '=得1x =或32x e -=，2e x e -<<，∴函数()g x 在322,e e --⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在32,1e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()1,e 上单调递增.又∵33322122g e e e ---⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ()223g e e e =-()333322213222222g e e e e e e e g e ----⎛⎫⎛⎫=-+<<<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()32g e g e -⎛⎫< ⎪⎝⎭.∴()()2max 23g x g e e e ==-，223m e e ∴≥-.22．（Ⅰ）12(1)e +（Ⅱ）2a e ≥-【解析】试题分析：（I ）当a=1时，f （x ）=e x +x-1，根据导数的几何意义可求得在点（1，f （1））处的切线的斜率，再由点斜式即可得切线方程，分别求出切线与x 轴、y 轴的交点A 、B ，利用直角三角形的面积公式即可求得；（II ）将f （x ）≥x 2在（0，1）上恒成立利用参变量分离法转化为21xx ea x+-≥在（0，1）上恒成立，再利用导数研究不等式右边的函数的单调性，从而求出函数的最大值，即可求出a 的取值范围．试题（Ⅰ）∵当1a =时，()1xf x e x =+-，()1111f e e =+-=，()'1x f x e =+，()1'111f e e =+=+，∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()()11y e e x -=+-，即()11y e x =+-．设切线与,x y 轴的交点分别为,A B ，令0x =得，1y =-，令0y =得，11x e =+， ∴1,01A e ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，()0,1B -，∴()11112121OAB S e e ∆=⨯⨯=++， ∴函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()121e +．（Ⅱ）由()()()20,1f x x x ≥∈得，21x x ea x+-≥．令()211x xx e e h x x x x x+-==+-，则()()2211'1x e x h x x x -=-- ()()211x x x ex-+-=，令()1xk x x e =+-，则()'1xk x e =-．∵()0,1x ∈，∴()'10xk x e =-<，()k x 在区间()0,1上为减函数，∴()()00k x k <=．又10x -<，20x >，∴()()()211'0x x x e h x x-+-=>，∴()h x 在区间()0,1上为增函数，()()12h x h e <=-，因此只需2a e ≥-即可满足题意．点睛：函数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x > ，若()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为min max ()()f x g x >（需在同一处取得最值）. 23．（1）()10e x ey e -+-=（2）12a = 【解析】试题分析:（1）根据导数几何意义得切线斜率为()f e '，再根据点斜式得切线方程（2）根据分母符号转化为：1x >时()0max f x <，01x <<时()0min f x >，研究()f x ，其导函数有两个零点1x =或11x a =-，根据11a-与0,1大小分类讨论，确定函数单调性，进而确定函数最值,解对应不等式可得实数a 的值.试题（1）1a =时，()ln 1f x x x =-+，()2f e e =- ∴切点为(),2e e -()11f x x '=-，()11f e e '=- ∴切线方程为11e y x e-=+ 即曲线()y f x =在()(),e f e 处的切线方程()10e x ey e -+-= （2）∵当0x >且1x ≠时，不等式()11ln 1a x x x x+-<-恒成立 ∴x e =时()11ln 1a e e e e+-<- ∴()2101a e >>- 又()()111ln 01x ax a x x x ⎡⎤--+-<⎢⎥-⎣⎦即()101f x x <-对0x >且1x ≠恒成立等价于1x >时()0f x <，01x <<时()0f x >恒成立 ∵()()0,11,x ∈⋃+∞()()()222111x ax a ax x af x x x --+-+-'-=-= 令()0f x '= ∵0a > ∴1x =或11x a=- ①111a ->时，即102a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f >=，∴102a <<不符合题意②当111a -=时，即12a =时，()0,1x ∈时()0f x '<∴()f x 在()0,1单调递减 ∴()()10f x f >=；()1,x ∈+∞时()0f x '<∴()f x 在()1,+∞单调递减∴()()10f x f <= ∴12a =符合题意 ③当1011a <-<时，即112a <<时，11,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '> ∴()f x 在11,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增∴()()10f x f <=∴112a <<不符合题意④当110a-<时，即1a >时，()0,1x ∈时，()0f x '>∴()f x 在()0,1单调递增 ∴()()10f x f <= ∴1a >不符合题意综上，12a =. 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 24．(I)93100x y --=；（Ⅱ）4. 【解析】试题分析：（1）根据曲线的解析式求出导函数，把P 的横坐标代入导函数中即可求出切线的斜率根据点斜式可得切线的方程；（2）设出曲线过点P 切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到（1）求出的导函数中即可表示出斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标代入切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，解方程方即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可的结果. 试题（Ⅰ）当a ＝1时，()3123f x x x =-+，∴f'（x ）＝x 2－1， ∴k 切＝f'（2）＝4－1＝3． ∵()823f =，所以切线方程为()8323y x -=-，整理得9x －3y －10＝0．（Ⅱ）设曲线的切点为（x 0，y 0），则3212'3k x ax a x a ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭切，所以切线方程为()()202y x ax =--．又因为切点（x 0，y 0）既在曲线f （x ）上，又在切线上，所以联立得()()200030002,]123y x a x y x ax a⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩可得x 0＝0或x 0＝3，所以两切线的斜率之和为－a ＋（9－a ）＝9－2a ＝1，∴a ＝4．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求曲线切线，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 25．（1）（2）答案见解析（3）【解析】试题分析：（1）由及曲线在处的切线斜率为，即可求得，又函数过点，即可求的. （2）由（1）易知，令可得或，然后对进行分类讨论，确定函数在的单调性，即可求出函数在上的最大值和最小值；（3）构造函数，研究函数的单调性，列出该方程有两个相异的实根的不等式组，求出实数的取值范围.试题 (1)因为，曲线在处的切线斜率为，即，所以.又函数过点，即，所以.所以. (2)由，.由，得或. ①当时，在区间上，在上是减函数，所以，.②当时，当变化时，、的变化情况见下表：2－＋＋2－2，为与中较大的一个．. 所以.(3)令，．在上，；在上，.要使在上恰有两个相异的实根，则解得．考点：利用导数求函数的最值；利用导数求参数的范围. 26．（1）4180x y --=；（2）130x y -=. 【分析】（1）求出原函数的导函数，得到函数在x ＝1时的导数，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得答案；（2）设出切点坐标，求出函数过切点的切线方程，由切线过原点求得切点横坐标，即可求得直线方程．【详解】（1）(1)14f =-，2()31f x x '=+(1)4f '=，144(1)y x +=-所以曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线方程为：4180x y --=（2）设直线l 与曲线()y f x =相切的切点坐标为()00,x y 即：()3000,16x x x +-则切线方程为()()()3200001631y x x x x x -+-=+-把(0,0)代入得308x =-，所以02x =-此时026y =-，切点(2,26)-- 所以直线l 方程为：130x y -= 【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线上某点处的切线方程及过曲线上某点处的切线方程的求解方法，关键是区分切线所经过的点是否为切点，属于中档题.。

高二数学选修1、3-1-1变化率问题与导数的概念

3.1.1变化率问题与导数的概念一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx满足()A．Δx＜0B．Δx＞0C．Δx＝0 D．Δx≠0[答案] D[解析]自变量的增量Δx可正、可负，但不可为0.2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B．一个函数C．一个常数，不是变数D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析]由导数定义可知，函数在某一点的导数，就是平均变化率的极限值．3．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x②y＝x2③y＝x3④y＝1x中，平均变化率最大的是()A．④B．③C．②D．①[答案] B[解析]①的平均变化率为1，②的平均变化率为2.3，③的平均变化率为3.99，④的平均变化率为－0.77.4．质点M的运动规律为s＝4t＋4t2，则质点M在t＝t0时的速度为()A．4＋4t0B．0C．8t0＋4 D．4t0＋4t20[答案] C[解析]Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝4Δt2＋4Δt＋8t0Δt，ΔsΔt＝4Δt＋4＋8t0，lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(4Δt＋4＋8t0)＝4＋8t0.5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是()A．2 B.5 2C．1 D．0[答案] D[解析] Δy ＝(Δx ＋1)＋1Δx ＋1－1－1＝Δx ＋－Δx Δx ＋1， Δy Δx ＝1－1Δx ＋1， lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝⎛⎭⎫1－1Δx ＋1＝1－1＝0， ∴函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数为0. 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0) [答案] D[解析] Δy 看作相对于f (x 0)的“增量”，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)代替．7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．7 [答案] B[解析] lim Δt →0 3＋(2＋Δt )2－3－22Δt＝lim Δt →0 Δt 2＋4Δt Δt＝lim Δt →0 (Δt ＋4)＝4. 8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ( ) A ．与x 0，Δx 有关B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关[答案] B[解析] 式子lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx表示的意义是求f ′(x 0)，即求f (x )在x 0处的导数，它仅与x 0有关，与Δx 无关．9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b [答案] C[解析]∵f′(x0)＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝limΔx→0aΔx＋b(Δx)2Δx＝limΔx→0(a＋bΔx)＝a.∴f′(x0)＝a.10．f(x)在x＝a处可导，则limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h等于()A．f′(a) B.12f′(a)C．4f′(a) D．2f′(a) [答案] D[解析]limh→0f(a＋3h)－f(a－h)2h＝limh→0f(a＋3h)－f(a)＋f(a)－f(a－h)2h＝32limh→0f(a＋3h)－f(a)3h＋12limh→0f(a)－f(a－h)h＝32f′(a)＋12f′(a)＝2f′(a)．二、填空题11．f(x0)＝0，f′(x0)＝4，则limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝________.[答案]8[解析]limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)Δx＝2limΔx→0f(x0＋2Δx)－f(x0)2Δx＝2f′(x0)＝8.12．某物体做匀速运动，其运动方程是s＝v t＋b，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．[答案]相等[解析]v0＝limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0s(t0＋Δt)－s(t0)Δt＝limΔt→0v(t0＋Δt)－v t0Δt＝limΔt→0v·ΔtΔt＝v.13．设x0∈(a，b)，y＝f(x)在x0处可导是y＝f(x)在(a，b)内可导的________条件．[答案]必要不充分[解析]y＝f(x)在x0∈(a，b)处可导不一定在(a，b)的所有点处可导，反之，y＝f(x)在(a，b)内可导，必然在(a，b)中的x0处可导．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S＝t2(S的单位：m，t的单位：s)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为______．[答案] 10m/s[解析] v ＝S ′|t ＝5＝lim Δx →0S (5＋Δx )－S (5)Δxlim Δx →0 (10＋Δx )＝10(m/s)．三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2. (1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；(2)求t ＝3秒时的瞬时速度．[解析] (1)取一小段时间[3,3＋Δt ]，此时物体的位置改变量Δs ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32＝12g (6＋Δt )Δt ，相应的平均速度v ＝Δs Δt ＝g 2(6＋Δt ) 当Δt ＝0.1时，即t 从3秒到3.1秒v ＝3.05g ；当Δt ＝0.01时，即t 从3秒到3.01秒v ＝3.005g .Δt 越小，v 就越接近时刻t 的速度．(2)v ＝lim Δt →0 Δs Δt＝lim Δt →0 g 2(6＋Δt )＝3g ＝29.4m/s. 16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h . [解析] 原式＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )＋f (x )－f (x －2h )h＝lim h →0 f (x ＋h )－f (x )h ＋lim h →02·f (x －2h )－f (x )－2h＝A ＋2A ＝3A .17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．[解析] 解法一：(导数定义法)Δy ＝1＋Δx －1，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，所以lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12，即y ′|x ＝1＝12. 解法二：(导函数的函数值法)Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x. 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x ＋Δx ＋x ＝12x，故y ′|x ＝1＝12. 18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．[解析] (1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m.由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝14x . (2)∵84m/min ＝1.4m/s ，而x ＝1.4t .∴y ＝14x ＝14×1.4t ＝720t ， t ∈[0，＋∞)．Δy ＝720(10＋Δt )－720×10＝720Δt ， ∴y ′|t ＝10＝lim Δt →0 Δy Δt ＝720即人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率为720.。

上海市高中数学选修2-2第二章《变化率与导数》检测题(含答案解析)

一、选择题1．直线2y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b ＝（）A ．eB ．2eC ．e -D ．2e -2．如图，()y f x =是可导函数，直线l ：2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令2()()g x x f x =，()g x '是()g x 的导函数，则()3g '等于（）A ．3B ．0C ．2D ．4 3．设点P 是曲线()233x f x e x =-+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A ．2,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭C ．50,,26πππ⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭D ．5,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 4．已知()sin cos f x x x =-，定义1()()f x f x '=，[]'21()()f x f x =，…[]1()()n n f x f x '+=，（*n N ∈），经计算，1()cos sin f x x x =+，2()sin cos f x x x =-+，3()cos sin f x x x =--，…，照此规律，2019()f x =（） A ．cos sin x x -- B ．cos sin x x - C ．sin cos x x + D ．cos sin x x -+ 5．已知()ln f x x =，217()(0)22g x x mx m =++<，直线l 与函数()f x ，()g x 的图象都相切，且与()f x 图象的切点为(1,(1))f ，则m 的值为( ) A ．2-B ．3-C ．4-D ．1- 6．曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线方程为 A ．21y x =-+B ．32y x =-+C ．23y x =-D ．2y x =- 7．直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则4a b +的值为（） A ．2 B ．－1 C ．1 D ．－28．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2()f x xf e ='lnx +，则()f e =（） A ．e B ．1e - C ．1- D ．e -9．已知(,()),(,())M t f t N s g s 是函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象上的两个动点，则当MN 达到最小时,t 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．12 D ．35510．对任意的a ∈R ，曲线y ＝e x (x 2+ax+1-2a)在点P(0，1-2a)处的切线l 与圆C ：(x-1)2+y 2＝16的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上均有可能 11．设点P ，Q 分别是曲线x y xe -=（e 是自然对数的底数）和直线+3y x =上的动点，则P ，Q 两点间距离的最小值为（）A ．22B ．322C ．(41)22e -D ．(41)22e + 12．已知函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2020S 的值为（）A ．20202021B ．20192020C ．20182019D ．20172018二、填空题13．已知函数()x f x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________. 14．直线y b =分别与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+相交于点A 、B ，则AB 的最小值为________.15．已知223,1()ln ,1x x x f x x x ⎧--+≤=⎨>⎩，若函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则实数k 的取值范围是______．16．若直线y kx b =+是曲线ln 3y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b =______17．曲线21x y e -=+在点（0，2）处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为_____________.18．已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则该切点的横坐标等于______．19．设曲线x y e =上点P 处的切线平行于直线10x y --=，则点P 的坐标是__________．20．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()32(2)f x x xf ，则(3)f '=_______．三、解答题21．设函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 满足f'（0）=4，f'（-2）=0．（1）求a ，b 的值及曲线y=f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）若函数f （x ）有三个不同的零点，求c 的取值范围．22．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．23．已知二次函数f （x ）=ax 2+ax ﹣2b ，其图象过点（2，﹣4），且f′（1）=﹣3．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）设函数h （x ）=xlnx+f （x ），求曲线h （x ）在x=1处的切线方程．24．已知函数()x f x xe =.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程.25．设2012(21)...()n n n x a a x a x a x x R +=++++∈展开式中仅有第1011项的二项式系数最大．（1）求n ；（2）求0123...(1)n n a a a a a -+-+-；（3）求12323...n a a a na ++++26．求下列函数的导函数.（1）()521y x =+（2）1log 32a y x =+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】求导得到()'ln 1fx x =+，计算切点为(),e e ，代入直线方程得到答案.【详解】 ()ln y f x x x ==，则()'ln 1f x x =+，取()'ln 12f x x =+=，解得x e =，当x e =时，ln y e e e ==，故切点为(),e e ，代入直线得到2e e b =+，故b e =-. 故选：C.【点睛】本题考查了根据切线方程求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.2．A解析：A【分析】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线求出=(3)k f ，由图(3)=1f ，对2()()g x x f x =求导取值可得.【详解】2y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线,所以切点(3,1)代入切线方程得1=(3)=3k f ，又(3)=1f 2()()g x x f x =，2()2()+()g x xf x x f x ''=，(3)6(3)+9(3)=3g f f ''∴=故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义.根据导数的几何意义求参数值的思路根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点00)(P x y ，既在曲线上又在切线上构造方程组求解．3．B解析：B【分析】先对函数进行求导，然后表示出切线的斜率，求出斜率范围，再由切线的斜率与倾斜角之间的关系求倾斜角范围即可.【详解】由()23xf x e =+，所以()'=x f x e又P 是曲线()23x f x e =+上的任意一点，点P 处的切线的倾斜角为α，所以点P 处的切线的斜率为tan α==x k e 0x e >，所以tan α>所以角α的取值范围为20,,23πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的求法，属于基础题 . 4．A解析：A【分析】根据归纳推理进行求解即可．【详解】解：由题意知：()sin cos f x x x =-，1()()cos sin f x f x x x '==+，[]1'2()()sin cos f x f x x x ==-+，[]'23()()cos sin f x f x x x ==--，[]'34()()sin cos f x f x x x ==-，照此规律，可知：[]'201923()()co )s (s in f x f x x x f x ==--=，故选：A.【点睛】本题考查函数值的计算，利用归纳推理是解决本题的关键． 5．A解析：A【分析】先利用导数求切线斜率,再根据点斜式方程得切线方程,最后根据判别式为零得结果.【详解】1()f x x'=，直线l 是函数()f x lnx =的图象在点(1,0)处的切线，∴其斜率为k f ='（1）1=，∴直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图象相切， ∴211722y x y x mx =-⎧⎪⎨=++⎪⎩，消去y ，可得219(1)022x m x +-+=，得△2(1)902(4m m m =--=⇒=-=不合题意，舍去），故选A【点睛】本题主要考查函数导数的几何意义,考查直线和曲线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．A解析：A【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程.【详解】2x y x =-的导数为22'(2)y x =--，可得曲线22y x =-在点()1,1-处的切线斜率为1'|2x k y ===-，所以曲线2x y x =-在点()1,1-处的切线方程为12(1)y x +=--，即21y x =-+，故选A.【点睛】该题考查的是有关曲线在某点处的切线方程的问题，涉及到的知识点有求导公式，导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.7．A解析：A【解析】【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由切点满足切线的方程和曲线的方程，解方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线2y kx =+与曲线32y x ax b =++相切于点(1,4)，则点(1,4)满足直线2y kx =+，代入可得412k =⨯+，解得2k =，又由曲线()32f x x ax b =++，则()232f x x a '=+，所以()213122f a '=⨯+=，解得12a =-，即()3f x x xb =-+，把点(1,4)代入()3f x x x b =-+，可得3411b =-+，解答4b =，所以144()422a b +=⨯-+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解参数问题，其中解答中熟记导数的几何意义，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．C解析：C【分析】求得()12()f x f e x '='+，令x e =，解得1()f e e '=-，得到()2f x x lnx e=-+，即可求解()f e 的值，得到答案.【详解】由题意，函数()2()f x xf e ='lnx +，则()12()f x f e x '='+，令x e =，则()12()f e f e e '='+，解得1()f e e '=-，即()2f x x lnx e =-+，令x e =，则()2ln 1f e e e e=-⨯+=-，故选C. 【点睛】本题主要考查了导数运算，以及函数值的求解，其中正确求解函数的导数，求得()f e '的值，得出函数的解析式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 9．C解析：C【分析】求得()f x 图像上切线斜率为2的切点的横坐标，即是t 的值.【详解】依题意可知，当()f x 图像上的切线和()21g x x =+平行时，MN 取得最小值，令()'12f x x ==，解得12x =，故12t =，所以选C. 【点睛】本小题考查函数导数，考查切线斜率与导数的对应关系，属于基础题.10．A解析：A【解析】【分析】求出曲线y ＝e x （x 2+ax +1﹣2a ）在点P （0，1﹣2a ）处的切线l 恒过定点（﹣2，﹣1），代入：（x ﹣1）2+y 2﹣16，可得9+1﹣16＜0，即定点在圆内，即可得出结论．【详解】∵y=e x （x 2+ax+1-2a ），∴y′=e x （x 2+ax+2x+1-a ），x=0时，y′=1-a ，∴曲线y=e x （x 2+ax+1-2a ）在点P （0，1-2a ）处的切线y-1+2a=（1-a ）x ，恒过定点（-2，-1），代入：（x-1）2+y 2=16，可得9+1-16＜0，即定点在圆内， ∴切线l 与圆C ：（x-1）2+y 2=16的位置关系是相交．故选：A ．【点睛】本题考查导数的几何运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．B解析：B【分析】对曲线y ＝xe ﹣x 进行求导，求出点P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线y ＝x +2平行且与曲线相切于点P ，从而求出P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可．【详解】∵点P 是曲线y ＝xe ﹣x 上的任意一点，和直线y ＝x +3上的动点Q ，求P ，Q 两点间的距离的最小值，就是求出曲线y ＝xe ﹣x 上与直线y ＝x +3平行的切线与直线y ＝x +3之间的距离．由y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ，令y ′＝（1﹣x ）e ﹣x ＝1，解得x ＝0，当x ＝0，y ＝0时，点P （0，0），P ，Q 两点间的距离的最小值，即为点P （0，0）到直线y ＝x +3的距离，∴d min故选B.【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程以及点到直线的距离公式，利用了导数与斜率的关系，这是高考常考的知识点，是基础题． 12．A解析：A【分析】由2()f x x bx =+，求导得到()2f x x b '=+，再根据函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，由(1)23f b '=+=求解，从而得到()2()1f x x x x x =+=+，则()1111()11f n n n n n ==-++，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为2()f x x bx =+，所以()2f x x b '=+，因为函数2()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，所以(1)23f b '=+=，解得1b =，所以()2()1f x x x x x =+=+，数列()1111()11f n n n n n ==-++，所以202011111111...12233420202021S =-+-+-++-， 12020120212021=-=. 故选：A【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【分析】因为函数设切点坐标为利用导数求出曲线在切点的切线方程将原点代入切线方程求出的值即可求得所求的切线方程【详解】设切点坐标为则曲线在点处的切线方程为：由于该直线过原点则得则过原点且与曲线相切的直解析：0ex y -=【分析】因为函数()x f x e =，设切点坐标为(),t t e ，利用导数求出曲线()y f x =在切点(),t t e 的切线方程，将原点代入切线方程，求出t 的值，即可求得所求的切线方程．【详解】设切点坐标为(),t t e ， ()x f x e =，()x f x e '∴=，()t f t e '=，则曲线()y f x =在点(),t t e 处的切线方程为：()t ty e e x t -=-，由于该直线过原点，则t t e te -=-，得1t =，∴则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为y ex =，故答案为：0ex y -=．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查求函数图象的切线方程，解题关键是掌握求过线外一点曲线切线方程的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14．【分析】求出函数的斜率为2的切线方程与两条平行线的交点间的横坐标之差为的最小值【详解】如图作出函数的图象作直线平移到与函数图象相切由图象知直线与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值由得令得此时解析：3ln 22- 【分析】求出函数2ln y x x =+的斜率为2的切线方程，y b =与两条平行线的交点间的横坐标之差为AB 的最小值．【详解】如图，作出函数2ln y x x =+的图象，作直线21y x =+，平移到与函数图象相切，由图象知直线y b =与这两条平行线的交点的横坐标之差为所求最小值．由2ln y x x =+得21y x '=+，令212y x'=+=得2x =，此时22ln 2y =+，即切点为(2,22ln 2)+，由22ln 221y y x =+⎧⎨=+⎩得1ln 2222ln 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，∴min 132(ln 2)ln 222AB =-+=-．故答案为：3ln 22-．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数图象交点问题，解题关键是转化与化归思想的应用，把直线y b =与直线21y x =+和曲线2ln y x x =+交点间距离的最小值转化为直线21y x =+与函数图象的平行切线间的问题．利用导数几何意义即可迅速求解． 15．【分析】转化条件得有4个零点令画出两函数的图象后可得当函数过点和时函数与的图象相切时函数与的图象恰有3个交点；当在两者范围之间时满足条件利用导数的性质求出函数与的图象相切时的值即可得解【详解】由题意解析：1(2e 【分析】转化条件得1()2f x kx =-有4个零点,令()12g x kx =-，画出两函数的图象后可得当函数()g x 过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()1,0时、函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当k 在两者范围之间时，满足条件，利用导数的性质求出函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时k 的值即可得解.【详解】由题意1()2y f x kx =-+有4个零点即1()2f x kx =-有4个零点, 设()12g x kx =-，则()g x 恒过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 与()f x 的图象有4个交点，在同一直角坐标系下作出函数()g x 与()f x 的图象，如图，由图象可知，当12k <时，函数()g x 与()f x 的图象至多有2个交点；当函数()g x 过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭和()1,0时，12k =，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当函数()g x 与()ln 1y x x =>的图象相切时，设切点为(),ln a a ，1y x'=， ∴1k a =，∴1ln 12a a a+=，解得a e =， ∴e k e=，此时函数()g x 与()f x 的图象恰有3个交点；当e k e>时，两函数图象至多有两个交点； ∴若要使函数1()2y f x kx =-+有4个零点，则1(,)2k e e∈. 故答案为：1(,)2e e.【点睛】本题考查了函数的零点问题和导数的几何意义，考查了数形结合思想，属于中档题. 16．【分析】对两条曲线对应的函数求导设出两个切点的横坐标令它们的导数相等求出两条曲线在切点处的切线方程对比系数求得的值【详解】依题意设直线与相切切点的横坐标为即切点为设直线与相切切点的横坐标为即切点为令解析：2ln 3-【分析】对两条曲线对应的函数求导，设出两个切点的横坐标，令它们的导数相等，求出两条曲线在切点处的切线方程，对比系数求得b 的值.【详解】依题意，()()''11ln 3,ln 11x x x x +=+=⎡⎤⎣⎦+，设直线y kx b =+与ln 3y x =+相切切点的横坐标为0x ，即切点为()00,ln 3x x +，设直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点的横坐标为1x ，即切点为()()11,ln 1x x +，令01111x x =+，解得101x x =-，故直线y kx b =+与()ln 1y x =+相切切点为()001,ln x x -.由此求出两条切线方程为()()0001ln 3y x x x x -+=-和()0001ln 1y x x x x -=-+；即001ln 2y x x x =++和000111ln y x x x x =-++，故0001ln 21ln x x x +=-++，013x =，故0ln 22ln3b x =+=-.【点睛】本小题主要考查两条曲线共切线方程的问题，考查切线方程的求法，考查导数的运算，属于中档题.17．【分析】对函数求导求写出切线方程与y=0y=x 联立求交点的坐标即可求面积【详解】∵∴∴切线的斜率且过点（02）∴切线为∴∴切线与x 轴交点为（10）与的交点为∴切线与直线和围成的三角形的面积为故答案为解析：13【分析】对函数求导，求()0f ' ，写出切线方程，与y=0,y=x 联立求交点的坐标，即可求面积.【详解】∵21x y e -=+，∴22x y e -=-'，∴切线的斜率02x k y ='==-，且过点（0，2），∴切线为22y x -=-，∴22y x =-+，∴切线与x 轴交点为（1，0），与y x =的交点为22,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为1211233S =⨯⨯=.故答案为1.3【点睛】本题考查了导数的几何意义，在某点处的切线，属于基础题.18．ln3【解析】【分析】函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数利用f(-x)=f(x)可得：a=1f(x)=ex+e-x 利用导数的几何意义即可得出【详解】∵函数f(x)=ex+ae-x 为偶函数∴f(-x 解析：【解析】【分析】函数为偶函数，利用，可得：，利用导数的几何意义即可得出．【详解】函数为偶函数，，即，可得：．，，设该切点的横坐标等于，则，令，可得，化为：，解得．，解得．则该切点的横坐标等于．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究切线的斜率、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．【解析】【详解】∵切线与直线平行∴斜率为∵∴∴∴∴切点为因此本题正确答案是：解析：(0,1)【解析】【详解】∵切线与直线10x y -+=平行，∴斜率为1，∵x y e =，e x y '=，∴0()1y x '=，∴01x e =，∴00x =，∴切点为(0,1)，因此，本题正确答案是：(0,1)．20．-6【解析】则解得则故答案为解析：-6【解析】()()()()232'2,'62'2f x x xf f x x f=+∴=+，则()()'2622'2f f=⨯+，解得()'212f=-，则()()'624,'318246f x x f=-∴=-=-，故答案为6- .三、解答题21．（1）a=b=4，y=4x+c；（2）（0，32 27）.【解析】试题分析：（1）求出f（x）的导数，由f'（0）=4，f'（-2）=0求得a，b的值，再求得切线的斜率和切点，进而得到所求切线的方程；（2）由f（x）=0，可得-c=x3+4x2+4x，由g（x）=x3+4x2+4x，求得导数，单调区间和极值，由-c介于极值之间，解不等式即可得到所求范围．试题(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b，根据题意得：()()0421240f bf a b⎧==⎪⎨-=-+=''⎪⎩，解得4,4a b==.可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b=4，切点为(0,c)，可得切线的方程为y=4x+c；(2)由（1）f(x)=x3+4x2+4x+c，由f(x)=0,可得−c= x3+4x2+4x，由g(x)= x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2)当23x>-或x<−2时,g′(x)>0,g(x)递增；当−2<x<−23时,g′(x)<0,g(x)递减.即有g(x)在x=−2处取得极大值，且为0；g(x)在x=−23处取得极小值,且为−3227，由函数f(x)有三个不同零点,可得−3227<−c<0，解得0<c<32 27，则c的取值范围是(0,32 27).22．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】试题分析： (1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0.试题(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.23．（Ⅰ）a=b=﹣1；（Ⅱ）2x+y ﹣2=0．【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，代入f （x ）解析式，求出f （x ）的导数，代入x=1，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）求出h （x ）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．解：（Ⅰ）由题意可得f （2）=﹣4，即为4a+2a ﹣2b=﹣4，又f′（x ）=2ax+a ，可得f′（1）=3a=﹣3，解方程可得a=b=﹣1；（Ⅱ）函数h （x ）=xlnx+f （x ）=xlnx ﹣x 2﹣x+2，导数h′（x ）=lnx+1﹣2x ﹣1=lnx ﹣2x ，即有曲线h （x ）在x=1处的切线斜率为ln1﹣2=﹣2，切点为（1，0），则曲线h （x ）在x=1处的切线方程为y ﹣0=﹣2（x ﹣1），即为2x+y ﹣2=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算．24．（1）()x x f x e xe '=+；（2）.【分析】（1）因为()x f x xe =，则()()''()x x x x f x x e x e e xe =+=+'（2）因为(1)2k f e '==，过点（1，e ）,那么可知切线方程为2(1)y e e x -=-【详解】（1）()()''()x xx x f x x e x e e xe =+=+'.（2）(1)2k f e '==，当1x =时，y e =，因此，这个函数的图象在点1x =处的切线方程是2(1)y e e x -=-，即. 本试题主要是考查了函数的导数的求解以及导数的几何意义的运用.25．(1) 2020;(2) 1;(3) 201940403⨯.【分析】(1)根据二项展开式的项数与指数n 的关系，再根据中间项的位置特点，就可以判断出展开式中总共有多少项，从而可以求出指数n 的值；(2)根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...n nn x a a x a x a x +=++++的特点，令1x =-，即可求得所需要的结果；(3) 根据(1)式求得的n 值，观察所求与2012(21)...n nn x a a x a x a x +=++++的特点，令 2012()(21)...n n n f x x a a x a x a x =+=++++，求出()f x '，再令1x =，即可求得所需要的结果.【详解】(1)根据二项式系数的对称性，2020n =；(2)由(1)及题意2020220200122020(21)...x a a x a x a x +=++++，∴令1x =-，则[]20202020012301232020...(1)...(1)2(1)11n n a a a a a a a a a a -+-+-=-+-+-=⨯-+=；(3)由(1)及题意令2020220200122020()(21)...f x x a a x a x a x =+=++++，20192019122020()4040(21)2...2020f x x a a x a x '∴=+=+++，2019123123202023...23...2020(1)40403n a a a na a a a a f '∴++++=++++==⨯.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题. 26．（1）410(21)y x '=+；（2）3(32)ln y x a'=-+ 【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】（1）445(21)210(21)y x x '=+⨯=+；（2）log (32)a y x =-+，133(32)ln (32)ln y x a x a'=-⨯=-++．【点睛】本题考查复合函数求导法则，掌握复合函数的求导运算法则是解题基础．。

高考复习：变化率与导数定稿含解析答案(教师版+学生版)

3.1变化率与导数、导数的计算1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的_________，记作f ′(x 0)．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的_________相应的切线方程是_________ 2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝x n (n 为常数)f ′(x )＝_________ f (x )＝sin x f ′(x )＝_________ f (x )＝cos x f ′(x )＝_________f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝_________(a ＞0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝_________ f (x )＝log a x f ′(x )＝_________ f (x )＝ln x f ′(x )＝_________3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝________；(2)[f (x )·g (x )]′＝________；(3)[f (x )g (x )]′＝________(g (x )≠0)．4．简单复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝_____________，．若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝f ′(u )·u x ′，即y ′x ＝f ′(u )·a .1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别． [试一试]1．曲线C ：y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为__________________．2．过坐标原点作函数y ＝ln x 图像的切线，则切线斜率为________．3、函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.4、．已知f (x )＝x ＋2sin x ，则f ′(0)＝________.5、若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.考点一导数的运算例1、求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝e x ＋1e x －1； (3)y ＝ln(2x －5)．变式训练1、求下列函数的导数：①y ＝e x ＋1e x －1；②y ＝3x e x －ln x ＋e.考点二、导数的几何意义角度一求切线方程例2已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．变式2设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．（1）若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，求f ′(－1)的值．角度二求切点坐标例3在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．变式3若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．角度三求参数的值例4在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a ，b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.变式4(1)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝________.(2)若曲线C1：y＝3x4－ax3－6x2与曲线C2：y＝e x在x＝1处的切线互相垂直，则实数a的值为________．3.1变化率与导数、导数的计算作业一、填空题1．求下列函数导数①(3x )′＝_________； ②(log 2x )′＝______； ③⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝_______； ④(x ·e x )′＝_______.2．曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．3．设f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.4．y ＝x 3－3x ＋1的所有切线中，斜率最小的切线方程为________．5．曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．6．y ＝x 2e x ＋2x ＋1在P (0,1)处的切线与x 轴交点的横坐标________．7．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________．9．已知y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．10．已知点A (1,1)和点B (－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d (a ，b ，d 为常数)上，若曲线在点A 和点B 处的切线互相平行，则 a 3＋b 2＋d ＝________.11、y ＝1x和y ＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴围成一个三角形，求三角形的面积．12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)求ab 的最大值．13．已知曲线y ＝13x 3＋43，求(1)曲线在x ＝2处的切线方程；(2)曲线过点(2,4)的切线方程．3.1变化率与导数、导数的计算1．函数f (x )在x ＝x 0处的导数(1)定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在点x ＝x 0处可导，并称常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．(2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应的切线方程是y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝x n (n 为常数)f ′(x )＝n ·x n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0且a ≠1)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x3.导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．4．简单复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若y ＝f (u )，u ＝ax ＋b ，则y ′x ＝f ′(u )·u x ′，即y ′x ＝f ′(u )·a .1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[试一试]1．(2014·南通期末)曲线C ：y ＝x ln x 在点M (e ，e)处的切线方程为__________________．解析：因为y ′＝ln x ＋1，故点M (e ，e)处的切线的斜率为2，所求切线方程为y ＝2x －e.答案：y ＝2x －e2．(2014·苏州质检)过坐标原点作函数y ＝ln x 图像的切线，则切线斜率为________．解析：设切点为(x 0，y 0)，因为y ′＝1x ，所以切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)．因为切线过原点，故y 0＝1.又y 0＝ln x 0，得x 0＝e ，所以所求斜率为1e.答案：1e2．(教材习题改编)如图2-10-1，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.图2-10-1[解析] f (5)＝－5＋8＝3，而f ′(5)＝－1，∴f (5)＋f ′(5)＝2. [答案] 23．已知f (x )＝x ＋2sin x ，则f ′(0)＝________. [解析] f ′(x )＝1＋2cos x ，∴f ′(0)＝1＋2cos 0＝3. [答案] 34．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为______________________________．[解析] 因为y ′|x ＝0＝－5e 0＝－5，所以曲线在点(0，－2)处的切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.[答案] 5x ＋y ＋2＝05．(2013·广东高考)若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________.[解析] 函数y ＝kx ＋ln x 的导函数为y ′＝k ＋1x ，由导数y ′|x ＝1＝0，得k ＋1＝0，则k ＝－1.[答案] －1考点一导数的运算[典例] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1；(3)y ＝ln(2x －5)．[解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.(3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.[备课札记] [类题通法]1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【变式训练1】 (1)求下列函数的导数： ①y ＝e x ＋1e x －1；②y ＝3x e x －ln x ＋e.(2)f ′(x )是函数f (x )＝13x 3＋2x ＋1的导函数，求f ′(－1)的值． [解] (1)①∵y ＝e x ＋1e x －1＝1＋2e x －1，∴y ′＝－2e x(e x －1)2. ②y ′＝(3x)′e x＋3x(e x)′－1x＝3x e xln 3＋3x e x－1x＝3x e xln(3e)－1x .(2)f ′(x )＝x 2＋2，∴f ′(－1)＝(－1)2＋2＝3.导数的几何意义是每年高考的重点，求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜率，利用这一点可以解决有关导数的几何意义等问题.归纳起来常见的命题角度有：(1)求切线方程； (2)求切点坐标； (3)求参数的值. 考点二、导数的几何意义角度一求切线方程例2(2014·镇江统考)已知函数y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则函数g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为________．解析：因为y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，所以f ′(2)＝2，f (2)＝3.g (2)＝22＋f (2)＝7，即点(2，g (2))为(2,7)，由g (x )＝x 2＋f (x )得g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，所以g ′(2)＝4＋f ′(2)＝6，所以g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0变式2设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数．若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程． (2)当a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，f ′(x )＝(x ＋1)－(x －1)(x ＋1)2＝2(x ＋1)2， k ＝f ′(1)＝12，又f (1)＝0，即点(1,0)， ∴所求切线方程为y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.角度二求切点坐标例3在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为________．解析：由题知，k ＝f ′(x )＝3x 2－10＝2(x <0)，解得x ＝－2，所以y ＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，所以点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)变式3若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．解析：y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax ≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：(1,1)角度三求参数的值例4(2014·苏锡常镇二调)在平面直角坐标系xOy 中，点P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b (a ，b 为实数)上，已知曲线C 在点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，则a ＋b ＝________.解析：由P (0,1)在曲线C ：y ＝x 3－x 2－ax ＋b 上，且点P 处的切线方程为y ＝2x ＋1，对曲线C 关于x 求导得y ′＝3x 2－2x －a ，令y ＝f (x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＝1，f ′(0)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，－a ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以a ＋b ＝－1. 答案：－1变式4 (1)(2013·全国大纲卷)已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.(2)(2014·常州调研)若曲线C 1：y ＝3x 4－ax 3－6x 2与曲线C 2：y ＝e x 在x ＝1处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．[解析] (1)y ′＝4x 3＋2ax ，y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8， ∴a ＝－6(2)曲线C 1：y ＝3x 4－ax 3－6x 2，y ′＝12x 3－3ax 2－12x 当x ＝1时，k 1＝－3a .曲线C 2：y ＝e x ，y ′＝e x ，当x ＝1时，k 2＝e ∴k 1·k 2＝－3a ×e ＝－1，a ＝13e . [答案] (1)－6 (2)13e[类题通法]导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面 (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．对应学生用书P30[课堂练通考点]1．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________. 解析：y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－62．已知f (x )＝x (2 012＋ln x )，f ′(x 0)＝2 013，则x 0＝________.解析：由题意可知f ′(x )＝2 012＋ln x ＋x ·1x＝2 013＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 013，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：13．若曲线y ＝x 2＋a ln x (a >0)上任意一点处的切线斜率为k ，若k 的最小值为4，则此时该切点的坐标为________．解析：y ＝x 2＋a ln x 的定义域为(0，＋∞)，由导数的几何意义知y ′＝2x ＋ax ≥22a ＝4，则a ＝2，当且仅当x ＝1时等号成立，代入曲线方程得y ＝1，故所求的切点坐标是(1,1)．答案：(1,1)4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________. 解析：∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)， ∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－2. ∴f ′(x )＝2x －4.∴f ′(0)＝－4. 答案：－45．(2014·苏北四市统考)已知曲线f (x )＝x sin x ＋1在点⎝⎛⎭⎫π2，π2＋1处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0互相垂直，则实数a ＝________.解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2cos π2＝1＝1a ，所以a ＝1. 答案：16．(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝x ln x . (1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )≥－x 2＋ax －6在(0，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)过点A ⎝⎛⎭⎫－1e 2，0作函数y ＝f (x )图像的切线，求切线方程．解：(1)f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0得ln x <－1，所以0<x <1e ，故函数f (x )的单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . (2)因为f (x )≥－x 2＋ax －6，x >0，所以a ≤ln x ＋x ＋6x .设g (x )＝ln x ＋x ＋6x，则g ′(x )＝x 2＋x －6x 2＝(x ＋3)(x －2)x 2.当x ∈(0,2)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(2，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增．所以g (x )的最小值为g (2)＝5＋ln 2，故实数a 的取值范围是(－∞，5＋ln 2]． (3)设切点T (x 0，y 0)，则k AT ＝f ′(x 0)，所以x 0ln x 0x 0＋1e2＝ln x 0＋1，即e 2x 0＋ln x 0＋1＝0.设h (x )＝e 2x ＋ln x ＋1，当x >0时，h ′(x )＝e 2＋1x >0，所以h (x )是单调递增函数，故h (x )＝0最多只有一个根．又h ⎝⎛⎭⎫1e 2＝e 2·1e 2＋ln 1e 2＋1＝0，所以x 0＝1e 2，所以f ′(x 0)＝－1，所以所求切线方程为x ＋y ＋1e2＝0.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．(2014·泰州期末)曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线(e 是自然对数的底)与y 轴交点的坐标为________．解析：由曲线y ＝2ln x 得y ′＝2x ，所以k ＝2e ，所以点(e,2)处的切线方程为y －2＝2e (x－e)，令x ＝0得y ＝0，所以曲线y ＝2ln x 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为(0,0)．答案：(0,0)2．曲线y ＝x 3＋ax ＋1的一条切线方程为y ＝2x ＋1，则实数a ＝________.解析：由题知y ′＝3x 2＋a ，设切点为(x 0，x 30＋ax 0＋1)，则切线方程为y －(x 30＋ax 0＋1)＝(3x 20＋a )(x －x 0)，即y ＝(3x 20＋a )x ＋(－2x 30＋1)．又切线方程为y ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 20＋a ＝2，－2x 30＋1＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，a ＝2.答案：23．(2014·常州模拟)已知点A (1,1)和B (－1，－3)在曲线C ：y ＝ax 3＋bx 2＋d (a ，b ，d 均为常数)上．若曲线C 在点A ，B 处的切线互相平行，则a 3＋b 2＋d ＝________.解析：由题意得y ′＝3ax 2＋2bx ，因为k 1＝k 2，所以3a ＋2b ＝3a －2b ，即b ＝0.又a ＋d ＝1，d －a ＝－3，所以d ＝－1，a ＝2，即a 3＋b 2＋d ＝7.答案：74．(2013·南通一模)曲线f (x )＝f ′(1)e ·e x －f (0)x ＋12x 2在点(1，f (1))处的切线方程为____________．解析：因为f ′(x )＝f ′(1)e·e x －f (0)＋x ，故有⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝f ′(1)e ，f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝1，f ′(1)＝e ，原函数表达式可化为f (x )＝e x －x ＋12x 2，从而f (1)＝e －12，所以所求切线方程为y －⎝⎛⎭⎫e －12＝e(x －1)，即y ＝e x －12. 答案：y ＝e x －125．(2013·南京、盐城三模)设点P 是曲线y ＝x 2上的一个动点，曲线y ＝x 2在点P 处的切线为l ，过点P 且与直线l 垂直的直线与曲线y ＝x 2的另一交点为Q ，则PQ 的最小值为________．解析：设P (x 0，x 20)，又y ′＝2x ，则直线PQ 的方程为y ＝－x 2x 0＋12＋x 20.代入y ＝x 2得x 2＋x 2x 0－12－x 2＝0，3.1变化率与导数、导数的计算作业答案一、填空题 1．求下列函数导数 ①(3x )′＝；②(log 2x )′＝；③⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝；④(x ·e x )′＝ [解析] ①(3x )′＝3x ln 3；②(log 2x )′＝1x ln 2；③⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x (ln x )2＝－1x ·(ln x )2；④(x ·e x )′＝e x ＋x ·e x ＝e x (x ＋1)． 2．(2014·南京调研)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．[解析] ∵y ＝x (3ln x ＋1)， ∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x ＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. [答案] y ＝4x －33．(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.[解析] 令e x ＝t ，则x ＝ln t ，所以f (x )＝ln x ＋x . f ′(x )＝1＋1x ，则f ′(1)＝1＋1＝2. [答案] 24．在曲线y ＝x 3－3x ＋1的所有切线中，斜率最小的切线方程为________．[解析] 设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝3x 2－3，∴切线斜率k ＝3x 20－3≥－3，当k ＝－3时，切点为P (0,1)．∴切线方程为y －1＝－3x ，即y ＝－3x ＋1. [答案] y ＝－3x ＋15．(2014·南京开学调研)曲线y ＝x ＋sin x 在点(0,0)处的切线方程是________．[解析] ∵y ＝x ＋sin x ，∴y ′＝1＋cos x ，当x ＝0时， y ′＝1＋cos 0＝2，故切线方程为y －0＝2(x －0)即y ＝2x . [答案] y ＝2x6．(2014·常州模拟)曲线y ＝x 2e x ＋2x ＋1在点P (0,1)处的切线与x 轴交点的横坐标是________．[解析] ∵y ′＝2x e x ＋x 2e x ＋2，∴y ′|x ＝0＝2， ∴曲线在点P (0,1)处的切线为y －1＝2x ，即y ＝2x ＋1. 令y ＝0得x ＝－12. [答案] －127．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线的倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 的横坐标的取值范围是________．[解析] 设点P 的横坐标为x 0，由y ′＝2x ＋2得y ′|x ＝x 0＝2x 0＋2，由题意知0≤2x 0＋2≤1，解得－1≤x 0≤－12. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 8．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________．[解析] f ′(x )＝2x －2－4x >0，即x 2－x －2x>0， ∵x >0，∴(x －2)(x ＋1)>0，故x >2. [答案] (2，＋∞)9．(2014·镇江模拟)已知函数y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，则函数g(x)＝x2＋f(x)在点(2，g(2))处的切线方程为________．[解析]由y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝2x－1，得f′(2)＝2，f(2)＝3，于是由g(x)＝x2＋f(x)，得g′(x)＝2x＋f′(x)，从而g(2)＝22＋f(2)＝7，g′(2)＝2×2＋f′(2)＝6，∴y＝g(x)在点(2，g(2))处的切线方程为y－7＝6(x－2)，即6x－y －5＝0.[答案]6x－y－5＝010．(2014·泰州中学检测)已知点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C：y＝ax3＋bx2＋d(a，b，d为常数)上，若曲线在点A和点B处的切线互相平行，则a3＋b2＋d＝________.[解析]设f(x)＝ax3＋bx2＋d，∵f′(x)＝3ax2＋2bx，∴f′(1)＝3a＋2b，f′(－1)＝3a－2b.根据题意得3a＋2b＝3a－2b，∴b＝0.又点A(1,1)和点B(－1，－3)在曲线C上，∴⎩⎨⎧ a ＋d ＝1，－a ＋d ＝－3，解得⎩⎨⎧ a ＝2，d ＝－1，a 3＋b 2＋d ＝7.二、解答题 11．曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们的交点处的两条切线与x 轴围成一个三角形，求三角形的面积．[解] y ＝1x 和y ＝x 2联立解得两曲线的交点为(1,1)，y ＝1x 的导函数为y ′＝－1x 2，∴它在交点处的切线斜率为－1，它在交点处的切线方程为y －1＝－(x －1)，它与x 轴交点的坐标为(2,0)，y ＝x 2的导函数为y ′＝2x ，∴它在交点处的切线斜率为2，它在交点处的切线方程为y －1＝2(x －1)，它与x 轴交点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴两条切线与x 轴所围成的三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34. 12．设函数y ＝x 2－2x ＋2的图象为C 1，函数y ＝－x 2＋ax ＋b 的图象为C 2，已知过C 1与C 2的一个交点的两切线互相垂直．(1)求a ，b 之间的关系；(2)求ab 的最大值．[解] (1)对于C 1：y ＝x 2－2x ＋2，有y ′＝2x －2，对于C 2：y ＝－x 2＋ax ＋b ，有y ′＝－2x ＋a ，设C 1与C 2的一个交点为(x 0，y 0)，由题意知过交点(x 0，y 0)的两切线互相垂直．∴(2x 0－2)(－2x 0＋a )＝－1，即4x 20－2(a ＋2)x 0＋2a －1＝0又点(x 0，y 0)在C 1与C 2上，故有⎩⎨⎧ y 0＝x 20－2x 0＋2y 0＝－x 20＋ax 0＋b⇒2x 20－(a ＋2)x 0＋2－b ＝0由①②消去x 0，可得a ＋b ＝52.(2)由(1)知：b ＝52－a ，∴ab ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －542＋2516. ∴当a ＝54时，(ab )最大值＝2516.[答案] 713．已知曲线y ＝13x 3＋43，求(1)曲线在x ＝2处的切线方程；(2)曲线过点(2,4)的切线方程．[解] (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，则切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.。

高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案

高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2−1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为()A.1米/秒B.2米/秒C.3米/秒D.4米/秒2. 某运动物体的位移s（单位：米）关于时间t（单位：秒）的函数关系式为s=2t2+ t，则该物体在t=2秒时的瞬时速度为()A.10米/秒B.9米/秒C.7米/秒D.5米/秒3. 某物体的运动方程为s=5−2t2，则该物体在时间[1,2]上的平均速度为( )A.−6B.2C.−2D.64. 一个物体的位移s（米）与时间t（秒）的关系为s=2+10t−t2，则该物体在4秒末的瞬时速度是( )A.2米/秒B.3米/秒C.4米/秒D.5米/秒5. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+Δx时，函数值的改变量Δy为( )A.y0+ΔyB.f(x0+Δx)C.f(Δx)D.f(x0+Δx)−f(x0)6. 函数f(x)=x2+c(c∈R)在区间[1,3]上的平均变化率为( )A.2B.4C.cD.2c7. 已知函数f(x)＝−x2+2x，函数f(x)从2到2+Δx的平均变化率为( )A.2−ΔxB.−2−ΔxC.2+ΔxD.(Δx)2−2·Δx8. 某物体运动的位移s(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的函数关系为s=5−2t2，则该物体在t=2时的瞬时速度为( )A.−3米/秒B.−8米/秒C.8米/秒D.3米/秒9. 已知函数f(x)在x=x0处可导，若limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)Δx=1，则f′(x0)=( )A.1B.13C.3 D.1410. 设函数y=f(x)，当自变量x由x0改变到x0+△x时，函数值的改变量△y等于（）A.f(x0+△x)B.f(x0)+△xC.f(x0)⋅△xD.f(x0+△x)−f(x0)11. 函数f(x)=sin 2xx的大致图象为（）A.B.C.D.12. 已知函数f(x)在x＝x0处可导，若lim △ x → 0f(x0 + 3 △ x) − f(x0 − △ x) △ x = 1，则f′(x0)＝（）A.1B.13C.3 D.1413. 若函数f(x)=x2−c在区间[1,m]上的平均变化率为4，则m等于________.14. 一质点的运动方程为S=t2+10（位移单位：m；时间单位：s），则该质点在t= 3时的瞬时速度为________m/s15. 函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率为________．16. 已知函数y＝3x，则函数在区间[1, 3]上的平均变化率为________．17. 水波的半径以2m/s的速度向外扩张，当半径为5m时，这水波面的圆面积的瞬时膨胀率是________m2/s．18. 在高台跳水运动中，t s时运动员相对水面的高度（单位：m）是ℎ(t)=−4.9t2+ 6.5t+10，高台跳水运动员在t=1s时的瞬时速度为________．19. 已知物体运动的方程为s(t)=vt−12gt2，则在t=1时的瞬时速度是________．20. 已知某质点的位移s（单位：m）与时间t（单位：s,t∈[1,5]）的关系式为t=t33+12bt2+t(b>0)，则该质点的瞬时速度的最小值为________m/s．（用含有b的式子表示）21. 如果质点A按规律S=2t2+1t运动，则在t=2秒的瞬时速度为________.22. 匀速运动物体的运动方程是s(t)＝s0+v0t，求物体在时刻t的瞬时速度．23. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离ℎ（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为ℎ=t2，求t=4s时此球在垂直方向的瞬时速度．24. 一种质量为1kg的物质，在化学分解中，经过时间t（单位：min）后，所剩的质量m（单位：kg）与时间t的关系可以表示为m＝e−2t．（1）求当t从1变到2时，质量m关于t的平均变化率．并解释它的实际意义；（2）求m′(2)并解释它的实际意义．25. 当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于多少？√3+ℎ−√3ℎ无限趋近于多少？26. 对于函数f(x)，若f′(x0)存在，则当ℎ无限趋近于0时，下列式子各无限趋近于何值？（1）f(x0+(−ℎ))−f(x0)；−ℎ（2）f(x0+ℎ)−f(x0−ℎ)．ℎ27. 求函数f(x)=−x2+x在x=3附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．28. 求函数f(x)=ax+b在区间[m, n]上的平均变化率．29. 如图，煤场的煤堆形如圆锥，设圆锥母线与底面所成的角为α．（α为常数）（1）高ℎ与底面半径r有什么关系？（2）传输带以0.3m3/min往煤场送煤形成新的煤堆，求当半径r＝1.7m时的r对于时间t的变化率．（参考数据：π取3.14，1.72＝2.89，1.73≈4.91，为计算方便可取3.14×2.89≈9，3.14×4.91≈15）30. 已知函数f(x)＝x−1+．(Ⅰ)若函数f(x)在点（1, f(1)）处的切线平行于x轴，求a的值；(Ⅱ)求函数f(x)的极值．31. 已知函数f(x)=ax+ln x，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（1）当a=−1时，求f(x)的最大值；（2）若f(x)在区间(0, e]上的最大值为−3，求a的值；（3）若f(x)在x∈(1, e)有极值．函数g(x)=x3−x−2，证明：∀x1∈(1, e)，∃x0∈(1, e)，使得g(x0)=f(x1)成立．参考答案与试题解析高中数学导数变化的快慢与变化率专题含答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题 3 分，共计36分）1.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=1代入s′进行运算即可得解. 【解答】解：∵s=2t2−1，∴s′=4t，当t=1时，s′=4×1=4.故选D.2.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：由s(t)=2t2+t，得s′(t)=4t+1，则物体在t=2秒时的瞬时速度v=s′|t=2=9米/秒．故选B．3.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据平均速度公式可得答案【解答】解：∵s=5−2t2，∴物体在时间[1,2]上的平均速度为=−6.v¯=(5−2×22)−(5−2×12)2−1故选A．4.【答案】A【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】此类运动问题中瞬时速度问题的研究一般借助函数的导数求其某一时刻的瞬时速度，解答本题可以先求s=2+10t−t2的导数，再求得t=4秒时的导数，即可得到所求的瞬时速度．【解答】解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=2+10t−t2，∴s′=10−2t，∴该物体在4秒末的瞬时速度是10−2×4=2（米/秒）.故选A．5.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意函数y=f(x)，我们知道当自变量x变化时，因变量也要发生变化，因此把x0和x0+△x分别代入函数y=f(x)，然后相减求出△y．【解答】解：∵自变量x由x0改变到x0+Δx，当x=x0，y=f(x0)，当x=x0+Δx，y=f(x0+Δx)，∴Δy=f(x0+Δx)−f(x0).故选D．6.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据函数的平均变化率的公式ΔyΔx =f(x+Δx)−f(x)(x+Δx)−x，求解即可．【解答】解：ΔyΔx =f(3)−f(1)3−1=(32+c)−(12+c)2=4．故选B．7.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率【解析】【解答】解：∵ f(2)=−22+2×2=0，∴f(2+Δx)=−(2+Δx)2+2(2+Δx)=−2Δx−(Δx)2，∴f(2+Δx)−f(2)Δx=−2−Δx.故选B．8.【答案】B【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】根据瞬时速度与导数的关系，先对s求导，再把t=2代入s′进行运算即可得解．【解答】解：∵ s=5−2t2，∴s′=−4t，当t=2时，s′=−4×2=−8．即该物体在t=2时的瞬时速度为−8米/秒．故选B．9.【答案】D【考点】极限及其运算导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)Δx=1，∴4limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=1，∴limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=14，∵函数f(x)在x=x0处可导，∴f′(x0)=limΔx→0f(x0+3Δx)−f(x0−Δx)4Δx=14.故选D.10.【答案】D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意函数y =f(x)，我们知道当自变量x 变化时，因变量也要发生变化，因此把x 0和x 0+△x 分别代入函数y =f(x)，然后相减求出△y ．【解答】解：∵ 自变量x 由x 0改变到x 0+△x ，当x =x 0，y =f(x 0)，当x =x 0+△x ，y =f(x 0+△x)， ∴ △y =f(x 0+△x)−f(x 0)，故选D ． 11.【答案】 B【考点】函数的图象变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ 函数f(x)为奇函数，故排除A ，C . ∵ f ′(x)=2x sin x cos x−sin 2xx 2,∴ f ′(π2)=−4π2<0,故图象在x =π2处的切线斜率为负.故选B . 12.【答案】 D【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，由极限的性质分析可得lim △ x → 0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14，由导数的定义分析可得答案．【解答】解：lim △ x→0limf(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x) △ x = 1，∴ 4lim △ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 1，∴ lim△ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14，∵ 函数f(x)在x =x 0处可导， ∴ f ′(x 0) =lim △ x→0f(x 0 + 3 △ x) − f(x 0 − △ x)4 △ x = 14.故选D .二、填空题（本题共计 9 小题，每题 3 分，共计27分）13.【答案】3【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为ΔyΔx =(m2−c)−(12−c)m−1=4，所以m=3.故答案为：3.14.【答案】6【考点】变化的快慢与变化率导数的运算【解析】由题意，根据导数的实际意义得到公式，再将值带入求解即可. 【解答】解：已知一质点的运动方程为S=t2+10则v=S′=2t，所以该质点在t=3时的瞬时速度为6m/s.故答案为：6.15.【答案】1e−1【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据平均变化率的公式进行求解即可．【解答】解：函数f(x)=ln x在区间[1,e]上的平均变化率为：f(e)−f(1)e−1=1e−1．故答案为：1e−1．16.【答案】12【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用函数解析式求出区间两个端点的函数值，再根据平均变化率公式求出函数在区间[1, 3]上的平均变化率．【解答】因为y ＝f(x)＝3x ，且f(3)＝38＝27，f(1)＝3，所以该函数在区间[1, 5]上的平均变化率为＝＝＝12．故答案为：12． 17.【答案】 20π【考点】导数的几何意义变化的快慢与变化率【解析】无【解答】解：因为水波的半径以v =2m/s 的速度向外扩张，水波面的圆面积为S =πr 2=π(vt)2=4πt 2，所以水波面的圆面积在时刻t 0的瞬时膨胀率S ′(t =t 0)=8πt 0，当半径为5m 时，t =52s ，所以S ′(t =52)=8π×52=20π，即半径为5m 时，该水波面的圆面积的瞬时膨胀率是20πm 2/s ．故答案为：20π． 18.【答案】 −3.3 【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据导数的物理意义可知，ℎ(t)函数的导数即是t 时刻的瞬时速度．求导数即可．【解答】解：∵ ℎ(t)=−4.9t 2+6.5t +10，∴ ℎ′(t)=−4.9×2t +6.5=−9.8t +6.5，∴ 在t =1s 时的瞬时速度为ℎ′(1)=−9.8+6.5=−3.3，故答案为：−3.3． 19.【答案】 v −g 【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用导数的物理意义v =s′和导数的运算法则即可得出．gt2，解：∵s(t)=vt−12∴v=s′(t)=v−gt，把t=1代入可得t=1时的瞬时速度为v−g故答案为：v−g20.【答案】【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答21.【答案】【考点】变化的快慢与变化率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）22.【答案】∵s(t)＝s0+v0t，∴s′(t)＝v4，故物体在时刻t的瞬时速度为v0．【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据瞬时速度与导数的关系，对s(t)求导可得s′(t)＝v0，此即为物体在时刻t的瞬时速度．【解答】∵s(t)＝s0+v0t，∴s′(t)＝v4，故物体在时刻t的瞬时速度为v0．23.【答案】解：∵球的运动方程为ℎ=t2，∴ℎ′=2t∴该球在t=4s的瞬时速度为2×4=8(m/s)．【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，对ℎ=t2进行求导，然后令t=2代入即可得到答案．解：∵ 球的运动方程为ℎ=t 2， ∴ ℎ′=2t∴ 该球在t =4s 的瞬时速度为2×4=8(m/s)． 24. 【答案】设平均变化率为y ¯，则y ¯=△m △t=e −2−e −41−2=1−e 2e 4，它的实际意义为在单位时间内质量平均减少为e 2−1e 4kg ．m′(t)＝e −2t ⋅(−2t)′＝−2e −2t ，所以m′(2)＝−2e −4．它的实际意义为在时间t ＝2时，瞬时质量减少2e −4kg ．【考点】导数的运算变化的快慢与变化率【解析】（1）由平均变化率△m△t 代入即可；（2）利用复合函数求导，代入t ＝2即可．【解答】设平均变化率为y ¯，则y ¯=△m △t=e −2−e −41−2=1−e 2e 4，它的实际意义为在单位时间内质量平均减少为e 2−1e 4kg ．m′(t)＝e −2t ⋅(−2t)′＝−2e −2t ，所以m′(2)＝−2e −4．它的实际意义为在时间t ＝2时，瞬时质量减少2e −4kg ． 25. 【答案】根据题意，(3+ℎ)2−32ℎ=ℎ2+6ℎℎ=ℎ+6，则有limℎ→0(3+ℎ)2−32ℎ=lim ℎ→0(ℎ+6)＝6，故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于6，√3+ℎ−√3ℎ=ℎ(√3+ℎ+√3)=√3+ℎ+√3，则有lim ℎ→0√3+ℎ−√3ℎ=lim ℎ→0(√3+ℎ+√3)=2√3=√36；故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于√36，【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，先将式子变形，进而求出ℎ无限趋近于0时，式子的极限值，即可得答案．【解答】根据题意，(3+ℎ)2−32ℎ=ℎ2+6ℎℎ=ℎ+6，则有limℎ→0(3+ℎ)2−32ℎ=lim ℎ→0(ℎ+6)＝6，故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于6，√3+ℎ−√3ℎ=ℎ(√3+ℎ+√3)=√3+ℎ+√3，则有limℎ→0√3+ℎ−√3ℎ=lim ℎ→0(√3+ℎ+√3)=2√3=√36；故当ℎ无限趋近于0时，(3+ℎ)2−32ℎ无限趋近于√36，26. 【答案】f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0，limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0=f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ无限趋近于f′(x 0)，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2×f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ，又由limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ=2f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ无限趋近于2f′(x 0)．【考点】变化的快慢与变化率【解析】根据题意，先将式子变形，结合导数的定义分析可得答案．【解答】f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0，limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ=limℎ→0f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)(x 0+(−ℎ))−x 0=f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+(−ℎ))−f(x 0)−ℎ无限趋近于f′(x 0)，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2×f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ，又由limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ=2limℎ→0f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)2ℎ=2f′(x 0)，则当ℎ无限趋近于0时，f(x 0+ℎ)−f(x 0−ℎ)ℎ无限趋近于2f′(x 0)．27. 【答案】解：函数f(x)=−x 2+x 在x =0附近的平均变化率△y △x =f(3+△x)−f(3)△x=−(△x)2−5△x△x=−△x −5．则f′(3)=lim△x →0(−△x −5)=−5．【考点】导数的运算变化的快慢与变化率【解析】利用平均变化率公式，即可求出函数f(x)=−x 2+x 在x =3附近的平均变化率和导数【解答】解：函数f(x)=−x 2+x 在x =0附近的平均变化率△y △x=f(3+△x)−f(3)△x=−(△x)2−5△x△x=−△x −5．则f′(3)=lim△x →0(−△x −5)=−5．28. 【答案】解：函数f(x)=ax +b 在区间[m, n]上的平均变化率=f(n)−f(m)n−m=(an+b)−(am+b)n−m=a ．故其平均变化率为a ．【考点】变化的快慢与变化率【解析】利用平均变化率的公式即可得出．【解答】解：函数f(x)=ax +b 在区间[m, n]上的平均变化率=f(n)−f(m)n−m =(an+b)−(am+b)n−m=a ．故其平均变化率为a ． 29. 【答案】由题意知，tan α=ℎr ，∴ ℎ＝r tan α记t min 时煤堆的体积为V ，则V =13πr 2ℎ=13πr 3tan α=0.3t ① ∴ r =√0.9πtan α3t 13②②式两边对t 求导，得r ′(t)=13√0.9πtan α3t −23③（注：①式两边对t 求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解）设r ＝1.7m 时对应的时刻为t 0，由①得t 0=πtan α0.9×1.73∴ t 0−23=(πtan α0.9)−23×1.7−2⋯代入③式得， r ′(t)=13√0.9πtan α3t 0−23=13√0.9πtan α3⋅(πtan α0.9)−23×1.7−2 =0.3πtan α×1.7−2≈0.39tan α=0.033tan α(m/min )【考点】根据实际问题选择函数类型变化的快慢与变化率【解析】（1）由题意知，tan α=ℎr ，从而得出高ℎ与底面半径r 的关系．（2）记t min 时煤堆的体积为V ，写出圆锥的体积公式，求底面半径对于时间的变化率，即半径的函数式对于时间t 求微分，代入所给的数据做出结果．【解答】由题意知，tan α=ℎr ，∴ ℎ＝r tan α 记t min 时煤堆的体积为V ，则V =13πr 2ℎ=13πr 3tan α=0.3t ① ∴ r =√0.9πtan α3t 13②②式两边对t 求导，得r ′(t)=13√0.9πtan α3t −23③（注：①式两边对t 求导，同样可得，只不过是隐函数求导了，教师可以作此理解）设r ＝1.7m 时对应的时刻为t 0，由①得t 0=πtan α0.9×1.73∴ t 0−23=(πtan α0.9)−23×1.7−2⋯代入③式得，r ′(t)=13√0.9πtan α3t 0−23=13√0.9πtan α3⋅(πtan α0.9)−23×1.7−2 =0.3πtan α×1.7−2≈0.39tan α=0.033tan α(m/min )30. 【答案】（1）由f(x)＝x −1+，得f′(x)＝1−由函数f(x)在点(7，得f′(1)＝1−，解得a＝e（2）f′(x)＝1−①当a≤2时，f′(x)>0，f(x)无极值②当a>0时，令f′(x)＝3，∴x∈(−∞, ln a)时，x∈(ln a, f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞, ln a)上单调递减，+∞)上单调递增．∴f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a综上，当a≤0时；当a>6时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a．【考点】变化的快慢与变化率利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】(Ⅰ)先求导，根据导数的几何意义即可求出，(Ⅱ)先求导，再根据导数和函数极值的关系即可求出．【解答】（1）由f(x)＝x−1+，得f′(x)＝1−由函数f(x)在点(7，得f′(1)＝1−，解得a＝e（2）f′(x)＝1−①当a≤2时，f′(x)>0，f(x)无极值②当a>0时，令f′(x)＝3，∴x∈(−∞, ln a)时，x∈(ln a, f′(x)>0，∴函数f(x)在(−∞, ln a)上单调递减，+∞)上单调递增．∴f(x)在x＝ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)＝ln a综上，当a≤0时；当a>6时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a．31.【答案】（1）解：易知f(x)定义域为(0, +∞)，当a=−1时，f(x)=−x+ln x，f′(x)=1−xx，令f′(x)=0，得x=1．当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0．∴f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数．f(x)max=f(1)=−1．∴函数f(x)在(0, +∞)上的最大值为−1．（2）解：∵f′(x)=a+1x ，x∈(0, e],1x∈[1e, +∞)①若a ≥−1e ，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0, e]上增函数，∴ f(x)max =f(e)=ae +1≥0，不合题意． ②若a <1e ，则由f′(x)>0得a +1x >0，即0<x <−1a 由f′(x)<0得a +1x<0，即−1a<x ≤e ．从而f(x)在(0, −1a )上增函数，在(−1a , e)为减函数 ∴ f(x)max =f(−1a)=−1+ln (−1a)令−1+ln (−1a)=−3，则ln (−1a)=−2∴ −1a =e −2，即a =−e 2．∵ −e 2<−1e ，∴ a =−e 2为所求．（3）证明：由g(x)=x 3−x −2求导可得g ′(x)=3x 2−1 令g ′(x)=3x 2−1=0，解得x =±√33 令g ′(x)=3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33又∵ x ∈(1, e)⊆(√33, +∞)∴ g(x)在(1, e)上为单调递增函数 ∵ g(1)=−2，g(e)=e 3−e −2∴ g(x)在x ∈(1, e)的值域为(−2, e 3−e −2) ∵ e 3−e −2>−1+ln (−1a )，−2<ae +1，−2<a∴ （ae +1, −1+ln (−1a )）⊆(−2, e 3−e −2)，（a, −1+ln (−1a )）⊆(−2, e 3−e −2)，∴ ∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)成立．【考点】导数求函数的最值变化的快慢与变化率利用导数研究函数的极值【解析】（1）在定义域(0, +∞)内对函数f(x)求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值．（2）在定义域(0, +∞)内对函数f(x)求导，对a 进行分类讨论并判断其单调性，根据f(x)在区间(0, e]上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为−3，若是就可求出相应的最大值．（3）由：∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)f(x 1)即研究：f(x)的值域是g(x)的值域的子集，所以分别求得两函数的值域即可．【解答】（1）解：易知f(x)定义域为(0, +∞)，当a =−1时，f(x)=−x +ln x ，f′(x)=1−x x，令f′(x)=0，得x =1．当0<x <1时，f′(x)>0；当x >1时，f′(x)<0． ∴ f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数． f(x)max =f(1)=−1．∴ 函数f(x)在(0, +∞)上的最大值为−1．（2）解：∵ f′(x)=a +1x，x ∈(0, e],1x∈[1e, +∞)①若a ≥−1e ，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0, e]上增函数， ∴ f(x)max =f(e)=ae +1≥0，不合题意． ②若a <1e，则由f′(x)>0得a +1x>0，即0<x <−1a由f′(x)<0得a +1x <0，即−1a <x ≤e ．从而f(x)在(0, −1a )上增函数，在(−1a , e)为减函数 ∴ f(x)max =f(−1a )=−1+ln (−1a ) 令−1+ln (−1a)=−3，则ln (−1a)=−2∴ −1a=e −2，即a =−e 2．∵ −e 2<−1e，∴ a =−e 2为所求．（3）证明：由g(x)=x 3−x −2求导可得g ′(x)=3x 2−1 令g ′(x)=3x 2−1=0，解得x =±√33 令g ′(x)=3x 2−1>0，解得x <−√33或x >√33又∵ x ∈(1, e)⊆(√33, +∞)∴ g(x)在(1, e)上为单调递增函数 ∵ g(1)=−2，g(e)=e 3−e −2∴ g(x)在x ∈(1, e)的值域为(−2, e 3−e −2) ∵ e 3−e −2>−1+ln (−1a )，−2<ae +1，−2<a∴ （ae +1, −1+ln (−1a)）⊆(−2, e 3−e −2)，（a, −1+ln (−1a)）⊆(−2, e 3−e −2)，∴ ∀x 1∈(1, e)，∃x 0∈(1, e)，使得g(x 0)=f(x 1)成立．。

考点13 变化率与导数导数的运算2020年领军高考数学(理)必刷题(解析版)

考点13 变化率与导数、导数的运算1．设曲线（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围（）A．B．C．D．【答案】D2．已知函数在点处的切线为，动点在直线上，则的最小值是（）A．4 B．2 C．D．【答案】D【解析】由题得所以切线方程为即，故选D.3．函数，则在其图像上的点处的切线的斜率为A．B．C．D．【答案】D【解析】把点的坐标（1，-2）代入函数的解析式得-2=1+2a-3,所以a=0,所以f(x)=，所以，所以切线的斜率为-2.故答案为：D.学&科网4．将函数f(x)＝ln(x＋1)(x≥0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图像，则α的最大值为( )A．π B．C．D．【答案】D5．曲线在处的切线的倾斜角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，则倾斜角为故选.学科*网6．已知函数是定义在区间上的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在点处的切线的斜率为，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A7．已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（）A．B．C．-1 D．1【答案】B【解析】根据题意，f（x）=2xf'（e）+lnx，其导数，令x=e，可得，变形可得故选：B．8．已知函数，记是的导函数，将满足的所有正数从小到大排成数列，，则数列的通项公式是（）A．B．C．D．【答案】C9．已知函数，则的值为()A．B．0 C．D．【答案】D【解析】由题意，化简得，而，所以，得，故，所以，，所以,故选D.学科*网10．函数是定义在R上的可导函数,其图象关于轴对称,且当时,有则下列不等关系不正确的是A．B．C．D．【答案】A11．已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法中不正确的是（）A．函数图象的对称轴方程为B．函数的最大值为C．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行D．方程的两个不同的解分别为，，则最小值为【答案】C12．已知函数,则曲线在点处的切线倾斜角是_________。

高中数学人教版选修1-1 第三章导数及其应用变化率问题导数的概念

24(m/s)．
(2)因为 Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－
12Δt，所以ΔΔst＝3Δt2Δ－t 12Δt＝3Δt－12，则物体在 t＝1 s 时的瞬
时速度为 s′(1)＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
[解] 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f22－－f11＝2＋12－11＋1＝12；自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为f55－－f33＝ 5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函数值变化得较快．
(2)物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度
公式 V＝lim Δt→0
st0＋ΔΔtt－st0.
[解] (1)因为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以
物体在
t＝3
s
到
t＝5
s
这
段时间内
的平均速度为
Δs Δt
＝428＝
[思路导引] 利用导数公式
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
从而 y′|x＝1＝2.
求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟踪训练] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数．

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高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )．由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)，由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2，此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10，此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。