数学演讲-兔子数列
斐波那契数列
§斐波那契数列八百多年以前，意大利数学家斐波那契在他的名著《算经》中提到一个有趣的问题．我们假设一对成熟的兔子每一个月可生一对小兔子，而一对小兔子出生后第二个月又可生一对小兔子．那么一对兔子一年内可繁殖成多少对呢?我们画图来表示每个月兔子的数量．图中黑点表示一对成熟的兔子，白点表示一对不成熟的兔子．从图中可看出，半年后即第七个月兔子成了十三对不难发现，如果把每个月兔子的数量排成一个数列，这个数列从第三项起，每一项都是前两项的和，即l，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，……从而可知一对兔子一年内可繁殖成144对．人们为了纪念这个发现，把这个数列叫斐渡那契数列，每一项都叫斐波那契数．有趣的斐波那契数列使后人产生许多有趣的故事．美国著名魔术家兰迪先生有一块长21分米宽8分米的地毯，他请地毯匠改成边长为13分米的正方形．地毯匠奥尔玛惊奇地说：伟大的魔术家，您的算术竟这样差，21×8 = 168，而l3×13 = l69，缺l 平方分米，这怎能办得到呢?兰迪狡黠地笑了，“伟大的兰迪从来不会错! 劳你的驾，按图1上尺寸把这块地毯裁成四块．”魔术家说出的四个尺寸5，8，13，21都是斐波那契数．奥尔玛裁好后，又按兰迪的意图重新缝好一量地毯，果然13分米的正方形．且慢，168 = 169，真的是这样吗? 难道魔术家真的会无中生有?还是用数学知识来揭露这个诡辩吧!如图2，△AEF∽△ADC，我们看看EF真的为5吗?由相似△性质，有EF:DC=AE;AD，从而EF：8=13:21从而EF=13×8/21104/21 <5．原来，E F略小于5，奥秘就在这里!奥尔玛缝好的地毯面积我们来精确计算一下：精确的计算告诉我们，地毯面积并没有增加那所谓的1分米2，不过是5与太接近罢了!从这个故事我们还可以发现斐波那契数刊有一个有趣的性质：啊a n2=a n-1a n+1±1 (n≥2).如：2×5-1=32，3×8+l=52，5×13-1=82……．。
费波那西数列(兔子问题)Fibonacci
源起根据高德纳（Donald Ervin Knuth）的《计算机程序设计艺术》（The Art of Computer Programming），1150年印度数学家Gopala和金月在研究箱子包装物件长阔刚好为1 和 2 的可行方法数目时，首先描述这个数列。
在西方，最先研究这个数列的人是比萨的列奥那多（又名费波那西），他描述兔子生长的数目时用上了这数列。
第一个月有一对刚诞生的兔子第二个月之后它们可以生育每月每对可生育的兔子会诞生下一对新兔子兔子永不死去假设在n 月有新生及可生育的兔子总共 a 对，n+1 月就总共有 b 对。
在n+2 月必定总共有a+b 对：因为在n+2 月的时候，所有在n 月就已存在的 a 对兔子皆已可以生育并诞下 a 对后代；同时在前一月(n+1月)之 b 对兔子中，在当月属于新诞生的兔子尚不能生育。
数学求解：为求得费波那西数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。
高中的初等数学知识也能求出。
已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 2首先构建等比数列设a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)化简得a n = (β−α)a n− 1 + αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0,α > 0解得：所以有a n + αa n− 1 = β(a n− 1 + αa n− 2)，即为等比数列。
求出数列{a n + αa n− 1}由以上可得：变形得：。
令求数列{b n}进而得到{a n}设，解得。
故数列为等比数列即。
而，故有又有和可得得出a n表达式可以参考网站：/wiki/%E6%96%90%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5% A5%91%E6%95%B0%E5%88%97程序实现解法：#include <iostream>using namespace std;int fact(int n){if(n==0)return(0);else{if(n==1)return(1);elsereturn(fact(n-1)+fact(n-2));}}int main(){ int i;cout<<"请输入月份"<<endl;cin>>i;cout<<fact(i)<<endl;}。
递归算法的理解和应用“兔子数列”.pptx
——递归算法的理解和应用
一个数学问题
假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一 个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对 小兔子。
设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡。 中世纪 意大利数学家 问：一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
斐波那契
从问题描述中获取有价值的信息
一对刚出生的兔子一个月就能长成 大兔子，再过一个月就开始生下一 对小兔子，并且以后每个月都生一 对小兔子。
第一个月 只有一对小兔子
第二个月 只有一对大兔子
第三个月开始，每个月既有大兔子 也有小兔子
一对刚出生的小兔一年内可以繁 殖成多少对兔子？
求解问题：
初始条件：只有1对小兔子 求解目标：第12个月时，有多少兔子
否则
，执行递归关系式
结构化程序设计方法中， 利用条件控制语句，实现“如果……否则……”的逻辑关系
结 论 2：
用双分支选择结构（if……else……） 控制着 递归关系式
if
else
if( 递递归归边出界口条条件件 )
已知条件中，确定值的内容
else 递归关系式
关于“兔子问题”的递归程序实现
C语言程序实现：计算兔子数列问题
F( 6 )=8
• F( 9 ) • F( 8 )
• F( 5 )=5
• F(1•0F) ( 2 )=1
• F( 3 )=2
• F( 4 )=3
F( 8 )
F( 7 )
F(2)=1 ,根F(据1)=公1式计算F(12)的值 F( 9F()7 )=13 • F(• F8( )6 )=8
F( 8 )=21
返回值
选择结构
主函数
奥数兔子数列规律题目
奥数兔子数列规律题目奥数兔子数列规律：在奥数中，有一种有趣的兔子数列，也被称为斐波那契数列。
这个数列从 0 和 1 开始，后续的每一项都是前两项的和。
即：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……说起这兔子数列，就像是一场神奇的数字魔法秀！想象一下，兔子们在一个神秘的数字花园里快乐生活。
最开始有一对小兔子，一个月后它们长大了但还没生宝宝。
又过了一个月，这对大兔子生下了一对小兔子，此时花园里就有两对兔子了，一对大的，一对小的。
再一个月过去，原来的大兔子又生了一对小兔子，而之前的小兔子也长大变成了大兔子但还没生宝宝。
就这样，兔子的数量按照一定的规律不断增加。
兔子数列里的数字就像一群调皮又聪明的小精灵，它们手拉手排着队，每个数字都知道自己的位置和使命。
前面的数字像是勇敢的先锋队，为后面的数字开辟道路；后面的数字则像是充满活力的追随者，紧紧跟随着前面数字的脚步。
在生活中，兔子数列的应用可不少呢！比如植物的生长，有些花朵的花瓣数量就遵循着兔子数列的规律。
像百合花一般有 3 片花瓣，梅花有 5 片花瓣，而雏菊可能就有 8 片、13 片花瓣。
再看看艺术领域，一些著名的画作和建筑设计中也藏着兔子数列的身影。
比如一些螺旋形状的图案，其线条的比例和兔子数列有着微妙的联系。
还有更神奇的，科学家们发现，兔子数列在自然界的一些现象中也起着作用。
比如蜜蜂家族的繁衍，就有着类似的规律。
总之，兔子数列就像是一把神奇的钥匙，能打开许多未知世界的大门。
它让我们看到了数字背后隐藏的美妙秩序和规律。
了解了兔子数列，我们就能更加敏锐地发现生活中那些看似平常却又充满奇妙规律的现象。
如果你对这些神奇的规律充满好奇，不妨去阅读《从一到无穷大》这本书，或者登录果壳网，那里有更多有趣的科学知识等待着你去探索。
说不定，下一个发现神奇规律的人就是你哟！。
兔子数列特征
兔子数列，也被称为斐波那契数列，是一个著名的数列，具有以下特征：
1. 兔子数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
具体来说，第n+2项（n为自然数）是第n项和第
n+1项的和。
2. 兔子数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,3,…,n中所有不包含相邻正整数的子集个数。
3. 兔子数列的第n项的平方，其结果与前后两项的乘积存在特定的关系。
具体来说，从第2项开始，每项
数值都是前两项之和。
同时，偶数项的平方比前后两项的乘积少1，而奇数项的平方比前后两项的乘积多1。
4. 兔子数列中的第5n项和第12n项的值与本项序列号具有相似性，即可以整除。
具体来说，比如第5项
5÷5=1，第25项75025÷25=3001，第12项144÷12=12，余数均为零。
5. 兔子数列中还有一些其他的特性，比如隔项关系、两倍项关系等。
总的来说，兔子数列是一个非常有趣的数列，它具有许多独特的性质和特征。
斐波那契数列
斐波那契数列在数学的奇妙世界里，有一个充满魅力的数列，那就是斐波那契数列。
它看似简单，却蕴含着无尽的奥秘和广泛的应用，影响着我们生活的方方面面。
斐波那契数列是这样一组数字：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…… 从第三项开始，每一项都是前两项的和。
这个数列最初是由意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时提出的。
想象一下，有一对刚出生的小兔子，一个月后它们长大成年，再过一个月就能生下一对小兔子。
假设兔子都不死，那么每个月兔子的数量就会按照斐波那契数列增长。
第一个月有 1 对兔子，第二个月还是 1 对，第三个月就变成 2 对，因为成年的兔子生下了 1 对新兔子，以此类推。
斐波那契数列的奇妙之处不仅在于它的起源，还在于它所展现出的一些独特的数学性质。
比如，随着数列项数的增加，相邻两项的比值会逐渐趋近于一个固定的数值，约为 1618，这个数值被称为黄金分割比。
黄金分割比在美学、艺术和自然界中都有着广泛的存在。
许多著名的艺术作品，如达芬奇的《蒙娜丽莎》，其构图就符合黄金分割的比例，给人以美的感受。
在建筑设计中，也常常运用黄金分割来确定建筑物的比例和尺寸，使其更加和谐美观。
在自然界中，斐波那契数列也随处可见。
例如，向日葵的花盘上，种子的排列呈现出斐波那契螺旋线的形式。
这是因为这样的排列方式能够最大程度地利用空间，使种子得到最充分的光照和生长条件。
菠萝表面的鳞片、松果的鳞片排列，也都遵循着斐波那契数列的规律。
斐波那契数列在计算机科学中也有着重要的应用。
它可以用于算法设计和优化，比如在搜索算法、排序算法中，斐波那契数列可以帮助提高算法的效率。
在密码学中，斐波那契数列也可以用于生成密钥，增加密码的安全性。
此外，斐波那契数列还与金融市场有着密切的关系。
一些技术分析方法会利用斐波那契数列来预测股票价格的走势和支撑阻力位。
虽然这种预测并不是百分之百准确，但它为投资者提供了一种思考和分析市场的工具。
证明兔子数列
证明兔子数列兔子数列是一个经典问题，在很多书籍和课程中都有涉及。
兔子数列中，每对兔子在出生后两个月就会生出一对新的兔子，假设一对兔子在第一个月出生，则第n个月有多少对兔子呢？为了证明兔子数列，我们可以使用两种方法：递归和迭代。
递归方法首先，我们需要了解递归的概念。
递归是指在解决一个问题时，解决该问题的方法包含了对该问题的解决。
下面是递归方法的代码：```def fibonacci_recursive(n):if n == 0:return 0elif n == 1:return 1else:return fibonacci_recursive(n-1) + fibonacci_recursive(n-2)```将该代码运行，可以得到第n个月的兔子数。
以上代码中，如果n=0，则返回0，如果n=1，则返回1。
如果n大于1，则返回递归的结果，即第n-1个月和第n-2个月兔子数之和。
迭代方法下面是迭代方法的代码：```def fibonacci_iterative(n):a, b = 0, 1for i in range(n):a, b = b, a + breturn a```该代码使用一个循环来计算第n个月的兔子数。
在循环中，使用两个变量a和b来存储前两个兔子数。
然后，使用for循环来计算第n个月的兔子数。
在循环中，我们将a值设置为b值，将b值设置为a+b的值。
最后，返回a值即可。
数学证明除了程序方法之外，还可以通过数学方法来证明兔子数列。
我们假设第n个月有f(n)对兔子。
假设第k个月产生的兔子对数为f(k)。
因为兔子只在第二个月后开始生育，所以第1个月和第2个月的兔子对数分别为1和1。
在第3个月，仅有第1和第2个月的兔子才能生殖，所以产生的兔子对数为f(3)=f(2)+f(1)。
在第4个月，第3个月的兔子和第2个月的兔子都可以生殖，第1个月的兔子还不能生殖，所以产生兔子对数为f(4)=f(3)+f(2)。
有趣的数列
有趣的数列——斐波那契数列十三世纪意大利数学家斐波那契在名为《算法之书》的数学著作中，记载了一个特别有趣的问题：兔子出生两个月后就能每月生一次小兔子，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），那么，假如养了初生的一对小兔，所有小兔都存活，一年后共有多少对兔子。
现在我们来讨论这个问题。
设1月份有一对刚生的小兔子，2月份仍为一对，而到3月份它们生了一对，总数为2对。
4月份则为3对。
到了5月份时，3月份生的兔子也能生小兔了，所以5月份就有5对兔子。
如此推断下去，可得下n n，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…。
后来，人们发现，{F n}有如下定义：F1=1，F2=1，F n=F n-2+F n-1（n=3，4，5，…）。
由于这个数列是由斐波那契首先提出来的，所以，后人就称这个数列为斐波那契数列。
再后来有人求出了斐波那契数列的通项为F n=nn⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+2515125151。
一个正整数数列的通项公式竞要用无理数来表达，这是一个令人惊讶的结果。
人们发现斐波那契数列与我们熟知的杨辉三角形有关，与著名的黄金分割也有关系。
我们知道，二项式展开式的系数构成杨辉（贾宪）三角形。
11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……利用杨辉三角形可以很快写出a+b的任意次幂的展开式。
如果我们将杨辉三角形各行的位置错一下，排成一个直角三角形，然后把斜线上的数字相加，其和写在右上方，这样就能得到一列数，所得的这列数，恰好是斐波那契数列。
……有趣的是，很多植物的生长现象也与斐波那契数列有关。
例如，许多花的花瓣的数目与斐波那契数列有关：延龄草有三个花瓣，飞燕草有5个花瓣，翠雀花有8个花瓣，金盏草有13个花瓣，紫宛有21个花瓣，雏菊有34、55、84个花瓣，……人们深信这不是偶然的。
斐波那契数列还可以在植物的叶、枝、茎等的排列中发现，还能在松果、向日葵、菠萝等一些果实的种籽排列中发现。
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欧洲数学在希腊文明衰落之后长期 处于停滞状态，直到12世纪才有复苏的 迹象。欧洲黑暗时代以后，第一位有影 响的数学家就是斐波那契。他早年师从 阿拉伯人学习计算，后又游历地中海沿 岸诸国，回到意大利后即写成《算经》 一书。
斐波那契在《算经》中提出了一个有趣的兔 子问题： 一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖 能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如 果所有兔子都不死，那么一对新出生的小兔子一 年以后可以繁殖多少对兔子？ 我们不妨分析一下：
自然界中的斐波那契数:大多数植物的花 瓣数是斐波那契数。例如，兰花、茉利 花、百合花有3个花瓣，毛茛（gèn）属 的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花 瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属 植物有21个花瓣,雏菊属植物有34、55或 89个花瓣．
一个月后小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，这对兔子生下一对小兔，总数共有两 对；三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔 子还没有繁殖能力，所以一共是三对；
பைடு நூலகம்
…… 依次类推可以列出下表：
月数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 表中数字1，1，2，3，5，8……构成了一个数 列。这个数列十分明显的特点是：前面相邻 两项之和，构成了后一项。