高考数学(理科)必考点一函数概念与性质

必考点一函数概念与性质

[高考预测]——运筹帷幄

1．根据函数解析式求解函数的定义域或值域．

2．考查分段函数的求值或已知函数值求自变量取值等．

3．考查函数的性质的判定及应用．

[速解必备]——决胜千里

1．有关函数的奇偶性问题

(1)若f(x)是奇函数，且x＝0有意义时，则f(0)＝0；

(2)奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇，奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶．

2．有关函数的对称性问题

(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b

2对称．

(3)若f(x＋a)为奇函数?f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称；若f(x＋a)为偶函数?f(x)的图象关于直线x＝a对称．

3．有关函数的周期性问题

(1)若函数y＝f(x)的图象有两条对称轴x＝a，x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；

(2)若函数y＝f(x)的图象有两个对称中心A(a,0)，B(b,0)(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝2|a－b|；

(3)如果函数y＝f(x)的图象有一个对称中心A(a，c)和一条对称轴x＝b(a≠b)，则函数y＝f(x)必是周期函数，且一个周期为T＝4|a－b|.

(4)若函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；

(5)若f(x＋a)＝

1

f(x)

(a≠0)恒成立，则T＝2a；

(6)若f(x＋a)＝－

1

f(x)

(a≠0)恒成立，则T＝2a.

[速解方略]——不拘一格

类型一函数表示及定义域、值域

[例1] (1)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.? ?

???－1，－12 C ．(－1,0) D.? ??

??

12，1

解析：基本法：由已知得－1＜2x ＋1＜0，解得－1＜x ＜－1

2，所以函数f (2x ＋1)的定义域为? ?

???－1，－12，选B.

答案：B

方略点评：此题型视2x ＋1为整体，使之在f (x )的定义域内再求解x . (2)设函数f (x )＝???

1＋log 2(2－x )， x ＜1，

2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

解析：基本法：∵－2＜1，∴f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3； ∵log 212＞1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝9.

速解法：由f (－2)＝3，∴f (－2)＋f (log 212)＞3排除A.

由于log 212＞1，要用f (x )＝2x －1计算，则f (log 212)为偶数，∴f (－2)＋f (log 212)为奇数，只能选C. 答案：C

方略点评：1.基本法分段求值．是分段函数的正向求值的一般思路：速解法是巧用了结果的特征排除答案．

2．求函数f [g (x )]的定义域问题，要注意g (x )的整体思想的应用．

3．对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．

1．(高考原题·高考全国甲卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝lg x

C ．y ＝2x

D ．y ＝1

x

解析：根据函数解析式特征求函数的定义域、值域． 函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．

函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1

x

的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D

2．设函数f (x )＝???

3x －b ，x ＜1，2x ， x ≥1.若f ? ????

f ? ????56＝4，则b ＝( )

A ．1 B.7

8 C.34 D.12

解析：基本法：f ? ????

56＝3×56－b ＝52－b ，

当52－b ≥1，即b ≤32时，f ? ????

52－b ＝252－b ，

即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝1

2；

当52－b ＜1，即b ＞32时，f ? ????52－b ＝15

2－3b －b ＝152－4b ，

即152－4b ＝4，得到b ＝78＜3

2，舍去． 综上，b ＝1

2，故选D. 答案：D

类型二 函数的奇偶性、对称性

[例2] (1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：基本法：由已知得f (－x )＝f (x )， 即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，则 ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(a ＋x 2－x )＝0，

∴ln[(a＋x2)2－x2]＝0，得ln a＝0，

∴a＝1.

速解法：根据“奇×奇＝偶”，设g(x)＝ln(x＋a＋x2)为奇函数即可．

又∵g(0)＝0，∴ln a＝0，∴a＝1.

答案：1

方略点评：基本法是根据偶函数的定义f(－x)＝f(x)待定a.速解法是根据奇函数、偶函数的特殊结论快速求解.

(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：基本法：由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B.|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.

速解法：y＝f(x)是奇函数，则y＝|f(x)|为偶函数．

故f(x)·g(x)＝奇，A错，|f(x)|g(x)＝偶，B错．

f(x)|g(x)|＝奇，C正确．

答案：C

方略点评：1.函数奇偶性判定主要有①定义法，②图象法，③特殊结论．要注意定义域必须关于原点对称．

2．此题基本法利用的是定义法，速解法利用的是特殊结论．

1．已知函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，若g(x)＝f(x)＋2 016，则g(x)的最大值与最小值之和为()

A．0 B．1

C．2 016 D．4 032

解析：基本法：函数f(x)是定义在区间[－a，a](a＞0)上的奇函数，则f(x)最小值与最大值的关系为f(x)min＝－f(x)max，所以g(x)min＝f(x)min＋2 016，g(x)max＝f(x)max ＋2 016，则g(x)max＋g(x)min＝0＋2 016＋2 016＝4 032.故选D.

速解法：因为函数f(x)为奇函数，所以其图象关于原点对称．而g(x)＝f(x)＋2 016的图象是由f(x)的图象向上平移2 016个单位长度得到的，故g(x)的图象关于点(0，

2 016)对称，所以g(x)max＋g(x)min

2＝2 016，即g(x)max＋g(x)min＝4 032.故选D.

答案：D

2．已知f(x)、g(x)是R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，f(1)＋g(1)＝()

A．－3 B．－1

C．1 D．3

解析：基本法：把x＝－1代入已知，得f(－1)－g(－1)＝1，所以f(1)＋g(1)＝1. 答案：C

类型三函数单调性、周期性与对称性的

综合应用

[例3](1)偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析：基本法：∵函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(2＋x)＝f(2－x)对任意x恒成立，

令x＝1，得f(1)＝f(3)＝3，

∴f(－1)＝f(1)＝3.

速解法：由题意y＝f(x)的图象关于x＝0和x＝2对称，则周期T＝4.

∴f(－1)＝f(－1＋4)＝f(3)＝3.

答案：3

方略点评：基本法是利用函数关于x＝a对称，则f(a＋x)＝f(a－x)的性质计算.速解法是利用了周期性，可快速求解.

(2)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)

A．(－2，＋∞) B．(0，＋∞)

C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)

解析：基本法：∵f (x ＋2)为偶函数，∴f (x ＋2)的图象关于x ＝0对称，∴f (x )的图象关于x ＝2对称，∴f (4)＝f (0)＝1.设g (x )＝f (x )

e x (x ∈R )，则g ′(x )＝

f ′(x )e x

－f (x )e x

(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x

，又∵f ′(x )

∴g ′(x )<0(x ∈R )，∴函数g (x )在定义域上单调递减． ∵f (x )

e 0＝1， ∴

f (x )

g (x )0，故选B. 速解法：利用与y ＝e x 的图象关系求解．

由题意可知f (x )可为二次函数，关于x ＝2对称，且过定点(0,1)开口向上，适合f ′(x )0时，e x >f (x )，故选B.

答案：B

方略点评：1.基本法是利用构造函数g (x )利用导数判断单调性．速解法是用特例函数，数形结合求解．

2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 3．若函数f (x )在定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)

1．(高考原题·高考四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ? ????

－52＋f (2)＝________.

解析：根据周期函数及奇函数的定义求解．

∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ? ????－52＝f ? ????

－12＝

－f ? ????

12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0， ∴f ? ????

－52＋f (2)＝－2＋0＝－2. 答案：－2

2．已知定义在R 上的函数f (x )满足条件：①对任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对任意的x 1，x 2∈[0,2]且x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则下列结论正确的是( ) A ．f (7)＜f (6.5)＜f (4.5) B ．f (7)＜f (4.5)＜f (6.5) C ．f (4.5)＜f (6.5)＜f (7) D ．f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)

解析：基本法：由函数f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，得f (2＋x )＝f (2－x )，又f (x ＋4)＝f (x )，所以f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，由②知f (x )在[0,2]上是增函数，所以f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)． 答案：D

[终极提升]——登高博见

选择题、填空题的解法——概念辨析法

限时速解训练五 函数概念与性质

(建议用时40分钟)

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |

解析：选B.y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x |在(0，＋∞)上都是减函数，故选B.

2．若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象的对称轴方程是( ) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－2

解析：选 A.∵f (2x ＋1)是偶函数，∴f (2x ＋1)＝f (－2x ＋1)?f (x )＝f (2－x )，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝1. 3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝cos x D ．y ＝e x －e －x

解析：选D.因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除A ；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除B ；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除C ；因为y ＝f (x )＝e x －e －x ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －

x

)＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.

4．已知函数f (x )＝???

2x

，x ＜0，

f (x －1)＋1，x ≥0，

则f (2 016)＝( )

A ．2 014 B.4 029

2 C ．2 015 D.

4 035

2

解析：选D.利用函数解析式求解．f (2 016)＝f (2 015)＋1＝…＝f (0)＋2 016＝f (－1)＋2 017＝2－1＋2 017＝4 035

2，故选D.

5．已知f (x )是R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2＋3，则f (7)＝( ) A ．－5 B ．5

C ．－101

D ．101

解析：选A.f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝x ＋2，有f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，知函数的周期是4；再令x ＝1，有f (3)＝－f (1)，而f (1)＝5，故f (7)＝f (3)＝－f (1)＝－5. 6．若函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1,3) C ．(1,3] D ．[3，＋∞)

解析：选B.因为函数f (x )＝log a (6－ax )在[0,2]上为减函数，则有a ＞1且6－2a ＞0，解得1＜a ＜3，故选B.

7．若函数f (x )＝2x ＋1

2x －a 是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

解析：选C.f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x ＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x ＋11－a ·2x ＝－2x ＋1

2x －a

，即1

－a ·2x ＝－2x ＋a ，化简得a ·(1＋2x )＝1＋2x

，所以a ＝1，f (x )＝2x

＋12x －1

.

由f (x )＞3得0＜x ＜1.故选C.

8．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 1

2(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( ) A ．是增函数且f (x )＜0 B ．是增函数且f (x )＞0 C ．是减函数且f (x )＜0 D ．是减函数且f (x )＞0

解析：选D.设－1＜x ＜0，则0＜－x ＜1，f (－x )＝log 12(1＋x )＝f (x )＞0，故函数f (x )

在(－1,0)上单调递减．又因为f (x )以2为周期，所以函数f (x )在(1,2)上也单调递减且有f (x )＞0.

9．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )

A.23 B ．－23

C.43 D ．－43

解析：选C.f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，设f (x )＝1＋g (x )，即g (x )＝x

x 2＋1＝f (x )－

1.g (x )为奇函数，满足g (－x )＝－g (x )．由f (a )＝23，得g (a )＝f (a )－1＝－1

3，则g (－a )＝13，故f (－a )＝1＋g (－a )＝1＋13＝43.

10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (0)＝－1，且对任意x ∈R ，有f (x )＝－f (2－x )成立，则f (2 017)的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．2

解析：选C.由题知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )＝－f (2－x )，可知函数f (x )为周期为4的周期函数．令x ＝1得，f (1)＝－f (2－1)＝－f (1)，所以f (1)＝0，所以f (2 017)＝f (4×504＋1)＝f (1)＝0，故选C.

11．设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝? ????12x －1，则f ? ????23，f ? ????32，f ? ????

13的大小关系是( )

A ．f ? ????23＞f ? ????32＞f ? ????

13

B ．f ? ????23＞f ? ????13＞f ? ????32

C ．f ? ????32＞f ? ????23＞f ? ????13

D ．f ? ????13＞f ? ????32＞f ? ??

??23

解析：选A.函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数关于x ＝1对称．

所以f ? ????23＝f ? ????43，f ? ????13＝f ? ????53，

当x ≥1时，f (x )＝? ????

12x －1单调递减，

所以由43＜32＜5

3，可得

f ? ????43＞f ? ????32＞f ? ??

??53， 即f ? ????23＞f ? ????32＞f ? ??

??

13，故选A.

12．若定义在[－2 017,2 017]上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈[－2 017,2 017]有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－2 016，且x ＞0时，f (x )＞2 016，记f (x )在[－2 017，2 017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M ＋N 的值为( ) A ．2 017 B ．2 018 C ．4 031 D ．4 032

解析：选D.令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2 016. 设－2 017＜x 1＜x 2＜2 017，且x 2＝x 1＋h (h ＞0)， 则f (h )＞2 016.

所以f (x 2)＝f (x 1＋h )＝f (x 1)＋f (h )－2 016＞f (x 1)． 可知f (x )在[－2 017,2 017]上是增函数．

故M ＋N ＝f (2 017)＋f (－2 017)＝f (2 017－2 017)＋2 016＝f (0)＋2 016＝4 032. 二、填空题(把答案填在题中横线上)

13．函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是________．

解析：由???

2－x ≥0，x ＞0得0＜x ≤2.因此，函数y ＝2－x ＋lg x 的定义域是(0,2]．

答案：(0,2] 14．已知函数f (x )＝a －x

x －a －1

的图象的对称中心是(3，－1)，则实数a 的值为

________． 解析：函数f (x )＝

a －x

x －a －1

的图象的对称中心是(3，－1)，将函数的表达式化为f (x )

＝a －x x －a －1＝－1＋－1x －a －1，所以a ＋1＝3，所以a ＝2. 答案：2

15．已知函数f (x )＝log 1

2[x 2－2(2a －1)x ＋8]，a ∈R ，若f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，则a 的取值范围为________．

解析：根据复合函数的单调性的判定方法，y ＝log 1

2u ，u ＝x 2－2(2a －1)x ＋8，外层是单调减函数，所以在[a ，＋∞)上内层为增函数，并且满足u ＞0，所以对称轴2a －1≤a ，并且当x ＝a 时，u ＝－3a 2＋2a ＋8＞0，解得????

?

a ≤1，－4

3＜a ＜2，所以

－4

3＜a ≤1.

16．已知函数y ＝f (x )为奇函数，且对定义域内的任意x 都有f (1＋x )＝－f (1－x )．当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)． 给出以下4个结论：

①函数y ＝f (x )的图象关于点(k,0)(k ∈Z )成中心对称； ②函数y ＝|f (x )|是以2为周期的周期函数； ③当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－log 2(1－x )； ④函数y ＝f (|x |)在(k ，k ＋1)(k ∈Z )上单调递增． 其中所有正确结论的序号为________．

解析：因为f (2＋x )＝－f (1－(1＋x ))＝－f (－x )＝f (x )，所以f (x )的周期为2， 因为f (x )为奇函数，其图象关于点(0,0)对称，

所以f (x )的图象也关于点(2,0)对称，先作出函数f (x )在(2,3)上的图象，然后作出在(1,2)上的图象，左右平移即可得到f (x )的草图如图所示，由图象可知f (x )关于点(k,0)(k ∈Z )对称，故①正确；

由y ＝|f (x )|的图象可知y ＝|f (x )|的周期为2，故②正确；

当－1＜x ＜0时，2＜2－x ＜3，f (2－x )＝log 2(1－x )＝－f (x )，即f (x )＝－log 2(1－x )，故③正确；

y ＝f (|x |)在(－1,0)上为减函数，故④错误． 答案：①②③