浙江省杭州市 九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2017-2018学年浙江省杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知AB=2，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP＞BP，则AP的长为（）A. B. C. D.2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，以线段AB为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为C，与y轴交于D点，设∠BCD=α，则的值为（）A.B.C.D.3.下列事件中，属于必然事件的是（）A. 打开电视机正在播放广告B. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次C. 任意画一个三角形，其内角和为D. 任意一个二次函数图象与x轴必有交点4.函数y=x2+2x-4的顶点所在象限为（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5.一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若△ABC为等腰三角形，试求出满足条件的k值”．学生求出k值的答案有①；；②；③；④2．则本题满足条件的k的值为（）A. ①②④B. ①③④C. ②D. ①②③④6.如图，C是圆O上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠AOB的度数是（）A.B.C.D.7.如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，则OP的长为（）A. 6B.C. 8D.8.已知（1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x﹣m上的点，则（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）9.在Rt△ABC中，∠C=90°，sin B=，则tan B=______．10.若函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______．11.如图，矩形ABCD的长为6，宽为4，以D为圆心，DC为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O相交于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点H，FH•FC=______．12.若7x=3y，则=______．13.如图，AB是圆O的直径，∠A=30°，BD平分∠ABC，CE⊥AB于E，若CD=6，则CE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）14.如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，P是线段AB上的一个动点．（1）若AD=2，BC=6，AB=8，且以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，求AP的长；（2）若AD=a，BC=b，AB=m，则当a，b，m满足什么关系时，一定存在点P使△ADP∽△BPC？并说明理由．四、解答题（本大题共6小题，共56.0分）15.如图，一艘舰艇在海面下600米A处测得俯角为30°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行2000米后再次在B点处测得俯角为60°前下方的海底C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C处距离海面的深度（结果保留根号）16.已知：如图，AB是圆O的直径，CD是圆O的弦，AB⊥CD，E为垂足，AE=CD=8，F是CD延长线上一点，连接AF交圆O于G，连接AD、DG．（1）求圆O的半径；（2）求证：△ADG∽△AFD；（3）当点G是弧AD的中点时，求△ADG得面积与△AFD的面积比．17.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（2，0），直线y=x+m与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上，B点（8，9）．（1）求二次函数的表达式；（2）Q为线段AB上一动点（不与A，B重合），过点Q作y轴的平行线与二次函数交于点P，设线段PQ长为h，点Q横坐标为x．求①h与x之间的函数关系式；②△ABP面积的最大值．18.如图，弧AB的半径R为6cm，弓形的高CD=h为3cm．求弧AB的长和弓形ADB的面积．19.已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c-2，y在-2≤x≤2上的最小值是-3，求b的值．20.现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，如图是生活中的四个不同的垃圾分类投放桶．其中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不同类的概率．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，且AP＞BP，则AP=×2=-1．故选：B．根据黄金分割点的定义和AP＞BP得出AP=AB，代入数据即可得出AP 的长度．本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．2.【答案】C【解析】解：连接AD，BD，∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，∴∠BAD=∠BCD=α，∵AB是半圆的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BAD+∠ABD=90°，∵∠ODB+∠OBD=90°，∴∠ODB=∠BAD=α，在Rt△AOD中，AO==，在Rt△BOD中，OB=OD•tan∠ODB=OD•tanα，∴==tan2α．故选：C．首先连接AD，BD，由圆周角定理可得∠BAD=∠BCD=α，又由AB是半圆的直径，可得∠ADB=90°，然后根据同角的余角相等，求得∠ODB=∠BAD=α，再利用三角函数的定义，求得OB与OA，继而可求得的值．此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．3.【答案】C【解析】解：A、打开电视机正在播放广告，是随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次，是随机事件，故此选项错误；C、意画一个三角形，其内角和为180°，是必然事件，故此选项正确；D、任意一个二次函数图象与x轴必有交点，是随机事件，故此选项错误；故选：C．直接利用必然事件以及随机事件的定义分别分析得出答案．此题主要考查了随机事件，正确把握相关事件的定义是解题关键．4.【答案】C【解析】解：∵y=x2+2x-4=（x+1）2-5，∴抛物线顶点坐标为（-1，-5），∴顶点在第三象限，故选：C．把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】B【解析】解：如图由题意A（-1，0），C（0，-2），B（，0）．①当CA=CB时，B（1，0），即=1，k=2；②当AC=AB′=时，B′（-1，0），即=-1，k=；③当B″A=B″C时，（+1）2=4+（）2，解得k=，故选：B．画出图形分三种情形分别求解即可．本题考查抛物线与x轴的交点、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6.【答案】D【解析】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠ACB=36°，∴∠AOB=72°，故选：D．根据圆周角定理计算即可；本题考查圆周角定理，解题的关键是记住在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．7.【答案】B【解析】解：作OE⊥AB交AB与点E，作OF⊥CD交CD于点F，如右图所示，则AE=BE，CF=DF，∠OFP=∠OEP=90°，又∵圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB=CD=16，∴∠FPE=90°，OB=10，BE=8，∴四边形OEPF是矩形，OE=6，同理可得，OF=6，∴EP=6，∴OP=，故选：B．根据题意作出合适的辅助线，然后根据垂径定理、勾股定理即可求得OP的长，本题得以解决．本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8.【答案】C【解析】解：抛物线的对称轴为直线x=-=-2，∵a=-2＜0，∴x=-2时，函数值最大，又∵1到-2的距离比-4到-2的距离大，∴y1＜y3＜y2．故选：C．求出抛物线的对称轴为直线x=-2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．9.【答案】【解析】解：如图，因为sinB==所以设AC=2a、AB=3a，则BC==a，所以tanB===，故答案为：．由sinB==可设AC=2a、AB=3a，利用勾股定理求得BC=a，继而根据正切函数的定义可得．本题主要考查锐角的三角函数，解题的关键是掌握正弦函数和正切函数的定义．10.【答案】-2或2或3【解析】解：∵函数y=（a-2）x2-4x+a+1的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2-4ac=16-4（a-2）（a+1）=0，解得：a1=-2，a2=3，当函数为一次函数时，a-2=0，解得：a=2．故答案为：-2或2或3．直接利用抛物线与x轴相交，b2-4ac=0，进而解方程得出答案．此题主要考查了抛物线与x轴的交点，正确得出关于a的方程是解题关键．11.【答案】【解析】解：连接BF、OF、OD，OD交CH于K．∵DF=DC，OF=OC，∴OD垂直平分线段CF，∴CK=KF==，OK==，∵OB=OC，CK=KF，∴BF=2OK=，∵BC是直径，∴∠BFC=90°，∵∠CBH=90°，∴∠CBF+∠FCB=90°，∠HBF+∠FBC=90°，∴∠HBF=∠FCB，∵∠BFH=∠BFC=90°，∴△BFH∽△CFB，∴BF2=CF•FH=．故答案为．连接BF、OF、OD，OD交CH于K．首先证明OD垂直平分线段CF，利用面积法求出CK、FK，利用勾股定理求出OK，利用三角形的中位线定理求出BF，再利用相似三角形的性质即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．12.【答案】【解析】解：7x=3y两边都除以7y得，=．故答案为：．等式两边都除以7y即可得解．本题考查了比例的性质，主要是两内项之积等于两外项之积的应用，比较简单．13.【答案】3【解析】解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠A=30°，∴∠D=∠A=30°，∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠ABC=30°，∴∠D=∠CBD，∴CD=CB=6，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴EC=BC•sin60°=3，故答案为3．首先证明∠D=∠CBD=30°，推出CD=CB=6，在Rt△ECB中，根据EC=BC•sin60°即可解决问题．本题考查圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14.【答案】解：（1）设AP=x．∵以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，①当=时，=，解得x=2或8．②当=时，=，解得x=2，∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或8；（2）设PA=x，∵△ADP∽△BPC，∴=，∴=，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，∴m2-4ab≥0．∴当a，b，m满足m2-4ab≥0时，一定存在点P使△ADP∽△BPC．【解析】（1）分两种情形构建方程求解即可；（2）由△ADP∽△BPC，可得=，即=，整理得：x2-mx+ab=0，由题意△≥0，即可解决问题；本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．15.【答案】解：由C点向AB作垂线，交AB的延长线于F点，并交海面于H点．已知AB=2000（米），∠BAC=30°，∠FBC=60°，∵∠BCA=∠FBC-∠BAC=30°，∴∠BAC=∠BCA．∴BC=BA=2000（米）．在Rt△BFC中，FC=BC•sin60°=2000×=1000（米）．∴CH=CF+HF=100+600（米）．答：海底黑匣子C点处距离海面的深度约为（1000+600）米．【解析】易证∠BAC=∠BCA，所以有BA=BC．然后在直角△BCF中，利用正弦函数求出CF即可解决问题．．本题考查了仰俯角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰俯角转化为直角三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．16.【答案】解：（1）如图1，连接OC，设⊙O的半径为R，∵AE=8，∴OE=8-R，∵直径AB⊥CD，∴∠CEO=90°，CE=CD=4，在Rt△CEO中，根据勾股定理得，R2-（8-R）2=16，∴R=5，即：⊙O的半径为5；（2）如图2，连接BG，∴∠ADG=∠ABG，∵AB是⊙O的直径，∴∠AGB=90°，∴∠ABG+∠BAG=90°，∴∠ADG+∠BAG=90°，∵AB⊥CD，∴∠BAG+∠F=90°，∴∠ADG=∠F，∵∠DAG=∠FAD，∴△ADG∽△AFD；（3）如图3，在Rt△ADE中，AE=8，DE=CD=4，根据勾股定理得，AD=4，连接OG交AD于H，∵点G是的中点，∴AH=AD=2，OG⊥AD，在Rt△AOH中，根据勾股定理得，OH=，在Rt△AHG中，HG=OG-OH=5-，根据勾股定理得，AG2=AH2+HG2=50-10，∵点G是的中点，∴DG=AG=50-10，∴∠DAG=∠ADG，由（2）知，∠ADG=∠F，∴∠DAG=∠F，∴DF=AD=4，由（2）知，△ADG∽△AFD，∴△=（）2===．△【解析】（1）先表示出OE=8-R，再求出CE=4，利用勾股定理求出R，即可得出结论；（2）利用同角的余角相等，判断出∠ADG=∠F，即可得出结论；（3）先利用勾股定理求出AD，进而得出DF=AD，再利用勾股定理求出AG，即可得出DG，最后用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质，解（2）的关键是利用勾股定理建立方程，解（2）的关键是判断出∠ADG=∠F，解（3）的关键是求出DG．17.【答案】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-2）2，把B（8，9）代入得a（8-2）2=9，解得a=，∴抛物线解析式为y=（x-2）2，即y=x2-x+1；（2）①把B（8，9）代入y=x+m得8+m=9，解得m=1，所以直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2-x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），∴h=x+1-（x2-x+1）=-x2+2x（0＜x＜8）；②S△ABP=S△APQ+S△BPQ=•PQ•8=-4（x2-2x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，当x=4时，△ABP面积有最大值，最大值为16．【解析】（1）设顶点式y=a（x-2）2，然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；（2）①把B点坐标代入y=x+m中求出m得到直线AB的解析式为y=x+1，设P（x，x2-x+1）（0＜x＜8），则Q（x，x+1），用Q点的纵坐标减去P点的纵坐标可得到h与x的关系式；②根据三角形面积公式，利用S△ABP=S△APQ+S△BPQ 得到S△ABP=4（x2-2x），然后利用二次函数的性质解决问题．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．18.【答案】解：由题意：CO=R-h=6-3=3（cm）在△BCO中，∵cos∠COB===，∴∠COB=60°，∴∠AOB=60°×2=120°，则==4π（cm）．S弓形ADB=S扇形AOB-S△AOB=-•6•3=12π-9．【解析】首先求得弦心距CO是6-3=3，则在直角三角形中，根据锐角三角函数，可以求得∠AOB=60°×2=120°．再根据弧长公式即可计算．本题考查扇形的面积公式、弧长公式、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：（1）由y=1得x2+2bx+c=1，∴x2+2bx+c-1=0∵△=4b2-4b+4=（2b-1）2+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y=1；（2）由b=c-2，则抛物线可化为y=x2+2bx+b+2，其对称轴为x=-b，①当x=-b≤-2时，则有抛物线在x=-2时取最小值为-3，此时-3=（-2）2+2×（-2）b+b+2，解得b=3；②当x=-b≥2时，则有抛物线在x=2时取最小值为-3，此时-3=22+2×2b+b+2，解得b=-，不合题意，舍去，③当-2＜-b＜2时，则=-3，化简得：b2-b-5=0，解得：b1=（不合题意，舍去），b2=．综上：b=3或．【解析】（1）令y=1，判断所得方程的判别式大于0即可求解；（2）求得函数的对称轴是x=-b，然后分成-b≤-2，-2＜-b＜2和-b≥2三种情况进行讨论，然后根据最小值是-3，即可解方程求解．本题考查了二次函数的性质以及函数的最值，注意讨论对称轴的位置是本题的关键．20.【答案】解：（1）∵垃圾要按A，B，C、D类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰好是A类：厨余垃圾的概率为：；（2）记这四类垃圾分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16种等可能结果，其中乙投放的两袋垃圾不同类的有12种结果，所以乙投放的两袋垃圾不同类的概率为=．【解析】（1）直接利用概率公式求出甲投放的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能是解题关键．。
【5套打包】杭州市初三九年级数学上期末考试测试题(解析版)
九年级（上）数学期末考试题(答案)一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．02．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个实数根D．无实数根3．若圆锥的侧面展开图是个半圆，则该圆锥的侧面积与全面积之比为（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，以点C为中心，把△ABC逆时针旋转45°，得到△A′B′C，则图中阴影部分的面积为（）A．2B．2πC．4D．4π5．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为4，则a的值为（）A．﹣2B．4C．4或3D．﹣2或36．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，连结OD，AC，若∠CAO＝70°，则∠BOD的度数为（）A．110°B．140°C．145°D．150°7．如图，两个反比例函数y1＝（其中k1＞0）和y2＝在第一象限内的图象依次是C1和C2，点P在C1上．矩形PCOD交C2于A、B两点，OA的延长线交C1于点E，EF⊥x轴于F点，且图中四边形BOAP的面积为6，则EF：AC为（）A．：1B．2：C．2：1D．29：148．如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC＝105°，∠BAC＝30°，则∠E的度数为（）A．45°B．50°C．55°D．60°9．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c ＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m ＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 10．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB＝90°．连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（）A．75°B．45°C．30°D．15°二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若x2﹣9＝0，则x＝．12．将抛物线y＝x2+2x向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为；13．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝．14．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°．以点B为旋转中心，旋转30°，点A、C分别落在点A'、C'处，直线AC、A'C'交于点D，那么的值为．15．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P＝70°，点C为⊙O上任一动点，则∠C 的大小为°．16．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为．三．解答题（共8小题，满分72分）17．解方程：（1）x2+4x＝﹣3（2）a2+3a+1＝0（用公式法）18．如图，在△ACB中，AC＝AB，∠CAB＝90°，∠CDA＝45°，CD＝3，AD＝4，求BD 的长．19．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根．（1）求m的取值范围（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22＝11，求m的值．20．某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5个项目可供选择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P为；（2）该同学从5个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用列表法或树状图加以说明；（3）该同学从5个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为．21．如图，圆形靠在墙角的截面图，A、B分别为⊙O的切点，BC⊥AC，点P在上以2°/s的速度由A点向点B运动（A、B点除外），连接AP、BP、BA．（1）当∠PBA＝28°，求∠OAP的度数；（2）若点P不在AO的延长线上，请写出∠OAP与∠PBA之间的关系；（3）当点P运动几秒时，△APB为等腰三角形．22．如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，﹣5），C （5，n），交y轴于点B，交x轴于点D．（1）求反比例函数和一次函数y1＝kx+b的表达式；（2）连接OA，OC，求△AOC的面积；（3）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围．23．某商品的进价为每件50元．当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？24．如图，已知二次函数y＝ax2+bx﹣3a经过点A（﹣1，0），C（0，3），与x轴交于另一点B，抛物线的顶点为D．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC、BC、DB，求证：△BCD是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2018-2019学年湖北省鄂州市梁子湖区沼山镇中学九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，然后解关于a的方程后利用一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a1＝1，a2＝﹣1，而a+1≠0，所以a＝1．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．2．【分析】先把方程化为一般式得到2x2﹣3x﹣3＝0，再计算△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，然后根据△的意义判断方程根的情况．【解答】解：方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．【分析】首先设出圆锥的底面半径及母线长，根据侧面展开图是个半圆确定二者之间的关系，从而表示出侧面积及全面积后求出比值即可．【解答】解：设这个圆锥的底面半径为r，母线长为l，则2πr＝πl，∴l＝2r，∴侧面积为πl2＝π×（2r）2＝2πr2，全面积为：πr2+2πr2＝3πr2，∴该圆锥的侧面积与全面积之比为：2πr2：3πr2＝，故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算及几何体的展开图的知识，解题的关键是能够设出圆锥的底面半径、母线并根据侧面展开图是个半圆确定二者之间的关系．4．【分析】根据阴影部分的面积是（扇形CBB'的面积﹣△CA'B'的面积）+（△ABC的面积﹣扇形CAA'的面积），代入数值解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∴BC＝，∠ACB＝∠A'CB'＝45°，∴阴影部分的面积＝＝2π，故选：B．【点评】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S＝．5．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：当y＝4时，有x2﹣2x+1＝4，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值4，∴a＝3或a+1＝﹣1，∴a＝3或a＝﹣2，故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝4时x的值是解题的关键．6．【分析】根据题意求出∠C的度数，根据圆周角定理求出∠AOD的度数，根据邻补角的概念求出答案．【解答】解：∵CD⊥AB，∠CAO＝70°，∴∠C＝20°，∴∠AOD＝40°，∴∠BOD＝140°，故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．7．【分析】首先根据反比例函数y2＝的解析式可得到S△ODB ＝S△OAC＝×3＝，再由阴影部分面积为6可得到S矩形PDOC＝9，从而得到图象C1的函数关系式为y＝，再算出△EOF的面积，可以得到△AOC与△EOF的面积比，然后证明△EOF∽△AOC，根据对应边之比等于面积比的平方可得到EF：AC的值．【解答】解：∵A、B反比例函数y2＝的图象上，∴S△ODB ＝S△OAC＝×3＝，∵P在反比例函数y1＝的图象上，∴S矩形PDOC＝k1＝6++＝9，∴图象C1的函数关系式为y＝，∵E点在图象C1上，∴S△EOF＝×9＝，∴＝＝3，∵AC⊥x轴，EF⊥x轴，∴AC∥EF，∴△EOF∽△AOC，∴＝，故选：A．【点评】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及相似三角形的性质，关键是掌握在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|；在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变．8．【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE 的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝105°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣105°＝75°．∵＝，∠BAC＝30°，∴∠DCE＝∠BAC＝30°，∴∠E＝∠ADC﹣∠DCE＝75°﹣30°＝45°．故选：A．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．9．【分析】由m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根可得出二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），将y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1的图象往上平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，画出两函数图象，观察函数图象即可得出a、b、m、n的大小关系．【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝（x﹣a）（x﹣b）﹣1的图象往上平移一个单位可得二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，画出两函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．10．【分析】利用圆周角定理结合点到直线的距离得出C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，进而得出答案．【解答】解：如图所示：∵AB长一定，∴只有C点距离AB距离最大，则CD的长度最大，∴只有C点在C′位置，即C′在半圆的中点时，此时当CD的长度最大，故此时AC′＝BC′，∴∠C′AB的大小是45°．故选：B．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及点到直线的距离，得出C点位置是解题关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．【分析】直接利用开平方法解方程得出答案．【解答】解：∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3．故答案为：±3．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方运算是解题关键．12．【分析】先把y＝x2+2x配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【解答】解：y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，此抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1），把点（﹣1，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后所得对应点的坐标为（﹣3，﹣4），所以平移后得到的抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．故答案为：y＝（x+3）2﹣4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2＝﹣2，再利用x1是方程x2+2x﹣3＝0的根得到x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2，然后利用整体代入得方法计算．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，∴x12+2x1﹣3＝0，即x12+2x1＝3，x1+x2＝﹣2，则x12+3x1+x2＝x12+2x1+x1+x2＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程解的定义．14．【分析】作AH⊥BC于H，如图，设AH＝1，计算出AB＝2，BH＝，则BC＝2，分类讨论：当△ABC绕点B顺时针旋转30°得到△A′BC′，如图1，利用旋转的性质得∠ABA′＝∠CBC′＝30°，BC′＝BC＝2，∠C＝∠C′＝30°，则∠BEC′＝90°，再计算出BE＝BC′＝，AE＝2﹣，接着利用∠DAB＝60°得到AD＝2AE＝2（2﹣），于是可计算出的值；当△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A′BC′，如图2，证明∠ADC′＝∠C′得到AD＝AC′＝2﹣2，然后计算的值．【解答】解：作AH⊥BC于H，如图，设AH＝1，∵AB＝AC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AH＝2，BH＝AH＝，∴BC＝2，当△ABC绕点B顺时针旋转30°得到△A′BC′，如图1，A′C′交AB于E，∴∠ABA′＝∠CBC′＝30°，BC′＝BC＝2，∠C＝∠C′＝30°，∵∠ABC′＝60°，∴∠BEC′＝90°，在Rt△BC′E中，BE＝BC′＝，∴AE＝2﹣，∵∠DAB＝∠ABC+∠C＝60°，∴AD＝2AE＝2（2﹣），∴＝＝2﹣；当△ABC绕点B逆时针旋转30°得到△A′BC′，如图2，∴∠ABA′＝∠CBC′＝30°，BC′＝BC＝2，∠C＝∠C′＝30°，∵∠CBC′＝60°，∴∠ADC′＝30°，∵∠ADC′＝∠C′，∴AD＝AC′＝BC′﹣AB＝2﹣2，∴＝＝﹣1，综上所述，的值为﹣1或2﹣．故答案为﹣1或2﹣．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．15．【分析】首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．【解答】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB＝360°﹣∠PAO﹣∠P﹣∠PBO＝360°﹣90°﹣70°﹣90°＝110°，∴∠C＝∠AOB＝55°．同理可得：当点C在上时，∠C＝180°﹣55°＝125°．故答案为：55或125．【点评】此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．16．【分析】由解析式可知该函数在x＝h时取得最小值1、x＞h时，y随x的增大而增大、当x＜h时，y随x的增大而减小，根据1≤x≤3时，函数的最小值为5可分如下两种情况：①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，分别列出关于h的方程求解即可．【解答】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）．综上，h的值为﹣1或5，故答案为﹣1或5．【点评】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．三．解答题（共8小题，满分72分）17．【分析】（1）用配方法或者移项后用因式分解法都比较简便；（2）先确定二次项系数、一次项系数及常数项，再计算△，代入求根公式即可．【解答】解：（1）x2+4x+3＝0，（x+1）（x+3）＝0，（x+1）＝0，（x+3）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3．（2）a2+3a+1＝0，△＝32﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程的解法及公式法．可根据题目特点灵活选择（1）的解法．18．【分析】把△ADB绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE，连接DE．证明△ACE≌△ABD，把BD转化到CE．而后在Rt△DCE中利用勾股定理求得CE长．【解答】解：把△ADB绕点A顺时针旋转90°，得到△ACE，连接DE．根据旋转性质可知AC＝AB，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，DE＝4．∴∠EAC＝∠DAB．∴△ACE≌△ABD（SAS）．∴BD＝CE．∵∠EDA＝45°，∠ADC＝45°，∴∠CDE＝90°．在Rt△DCE中，利用勾股定理可得CE＝．【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确作出辅助线是解题的关键．19．【分析】（1）由关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，即可得判别式△≥0，即可得不等式32+4m≥0，继而求得答案；（2）由根与系数的关系，即可得x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，又由x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，即可得方程：（﹣3）2+2m＝11，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣m＝0有实数根，∴△＝b2﹣4ac＝32+4m≥0，解得：m≥﹣；（2）∵x1+x2＝﹣3、x1x2＝﹣m，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝11，∴（﹣3）2+2m＝11，解得：m＝1．【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式与根与系数的关系．此题难度不大，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．20．【分析】（1）直接根据概率公式求解；（2）先画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出一个径赛项目和一个田赛项目的结果数，然后根据概率公式计算一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1；（3）找出两个项目都是径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算两个项目都是径赛项目的概率P2．【解答】解：（1）该同学从5个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P＝；（2）画树状图为：共有20种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1＝＝；（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，所以两个项目都是径赛项目的概率P2＝＝．故答案为，．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B 的概率．21．【分析】（1）根据圆周角定理可知∠PBA＝∠POA，求出∠POA，再利用等腰三角形的性质即可解决问题；（2）分∠PBA是锐角或钝角两种情形讨论求解即可；（3）分三种情形求解即可；【解答】解：（1）连接OP，∵∠PBA＝∠POA＝28°，∴∠POA＝56°，∵OP＝OA，∴∠POA＝56°，∴∠OAP＝（180°﹣56°）＝62°．（2）当∠PBA＜90°时，∠OAP＝（180°﹣2∠PBA）＝90°﹣∠PBA．当∠PBA＞90°时，∠OAP＝∠PBA﹣90°．（3）当AB为腰时，当AB＝AP时，点P的运动弧的度数是90度，故时间t＝＝45，当AB＝BP时，点P的运动弧的度数是180度，时间t＝＝90，当AB为底时，即PB＝AP时，点P的运动弧的度数是135度，故时间t＝＝67.5．综上所述，当点P运动45s或90s或67.5s秒时，△APB为等腰三角形．【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．22．【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，把C的坐标代入反比例函数解析式求出n，把A、C的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；（2）求出一次函数与x轴的交点坐标，的OD值，根据三角形的面积公式求出即可；（3）结合图象和A、C的坐标即可求出答案．【解答】（1）解：∵把A（﹣2，﹣5）代入代入得：m＝10，∴y2＝，∵把C（5，n）代入得：n＝2，∴C（5，2），∵把A、C的坐标代入y1＝kx+b得：，解得：k＝1，b＝﹣3，∴y1＝x﹣3，答：反比例函数的表达式是y2＝，一次函数的表达式是y1＝x﹣3；（2）解：∵把y＝0代入y1＝x﹣3得：x＝3，∴D（3，0），OD＝3，∴S △AOC ＝S △DOC +S △AOD ，＝×3×2+×3×|﹣5|＝10.5，答：△AOC 的面积是10.5；（3）解：根据图象和A 、C 的坐标得出y 1＞y 2时x 的取值范围是：﹣2＜x ＜0或x ＞5．【点评】本题考查了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 23．【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x 的取值范围．（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得最大值．【解答】解：（1）根据题意得y ＝（70﹣x ﹣50）（300+20x ）＝﹣20x 2+100x +6000， ∵70﹣x ﹣50＞0，且x ≥0，∴0≤x ＜20；（2）∵y ＝﹣20x 2+100x +6000＝﹣20（x ﹣）2+6125，∴当x ＝时，y 取得最大值，最大值为6125，答：当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．24．【分析】（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 求得a 、b 的值即可确定二次函数的解析式；（2）分别求得线段BC 、CD 、BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；（3）分以CD 为底和以CD 为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起P 点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．【解答】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3）， ∴根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D点坐标为（1，4），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；（3）存在．y＝﹣x2+2x+3对称轴为直线x＝1．①若以CD为底边，则P1D＝P1C，设P1点坐标为（x，y），根据勾股定理可得P1C2＝x2+（3﹣y）2，P1D2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，因此x2+（3﹣y）2＝（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y＝4﹣x．又P1点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x＝﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1＝0，解得x1＝，x2＝＜1，应舍去，∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即点P1坐标为（，）．②若以CD为一腰，∵点P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P2与点C关于直线x＝1对称，此时点P2坐标为（2，3）．∴符合条件的点P坐标为（，）或（2，3）．【点评】考查了二次函数综合题，此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形、直角梯形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．最新人教版数学九年级上册期末考试试题(含答案)一、选择题（本大共12个小题，每小题4分共48分）在每个小题的下面，都始出了代号为A，B,C，D的四个答案，其中只有一个是正确的）1．3的相反数是（）A．3B．C．﹣3D．﹣2．下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．四边形C．平行四边形D．矩形3．为调查某中学学生对社会主义核心价值观的了解程度，某课外活动小组进行了抽样调查，以下样本最具有代表性的是（）A．初三年级的学生B．全校女生C．每班学号尾号为5的学生D．在篮球场打篮球的学生4．把正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有5个正方形，第③个图案中有9个正方形…按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（）A．25B．29C．33D．375．有两个相似的三角形，已知其中一个三角形的最长边为12cm，面积为18cm2，而另一个三角形的最长边为16m，则另一个三角形的面积是（）cm2A．22B．24C．30D．326．下列命题正确的是（）A．平行四边形的对角线一定相等B．三角形任意一条边上的高线、中线和角平分线三线合一C．三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半D．三角形的两边之和小于第三边7．估计（3+）÷的值应在（）A．8和9之间B．9和10之间C．10和11之间D．11和12之间8．按照如图的程序计算：如果输入y的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有（）A．4B．3C．2D．19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点C的切线交AB 的延长线于点D，连接AC，BC，若∠ABC＝53°，则∠D的度数是（）A．16°B．18°C．26.5°D．37.5°10．在距离大足城区的1.5公里的北山之上，有一处密如峰房的石窟造像点，今被称为北山石窟．北山石窟造像在两宋时期达到鼎盛，逐渐都成了以北山佛湾为中心，环绕营盘坡、佛耳岩，观音坡、多宝塔等多处造像点的大型石窟群．多宝塔，也称为“白塔”“北塔”，于岩石之上，为八角形阁式砖塔，外观可辨十二级，其内有八层楼阁，可沿着塔心内的梯道逐级而上，元且期间，小华和妈妈到大足北山游玩，小华站在坡度为l＝1：2的山坡上的B点观看风景，恰好看到对面的多宝培，测得眼睛A看到塔顶C的仰角为30°，接着小华又向下走了10米，刚好到达坡底E，这时看到塔顶C的仰角为45°，若AB ＝1.5米，则多宝塔的高度CD约为（）（精确到0.1米，参考数据≈1.732）A．51.0米B．52.5米C．27.3米D．28.8米11．如图，在平面直角坐标中，菱形ABCO的顶点O在坐标原点，且与反比例函数y＝的图象相交于A（m，3），C两点，已知点B（2，2），则k的值为（）A．6B．﹣6C．6D．﹣612．若关于x的不等式组的解集为x＞3，且关于x的分式方程﹣＝1的解为非正数，则所有符合条件的整数的a和为（）A．11B．14C．17D．20二、填空题（本大服共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直按填在等卡中对应的13．计算，2﹣2+|﹣3|+（2﹣π）0＝．14．如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点E，已知BE＝3，BC＝3，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）．15．从﹣2，﹣1，3这三个数中随机抽取两个数分别记为x，y，把点M的坐标记为（x，y），若点N为（0，3），则在平面直角坐标系内直线MN经过过四象限的概率为．16．如图，在边长为7的正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，将△ABE沿EF折叠；使点A恰好落在CD上的A′处，若A′D＝2，求B′E＝．17．大课间到了，小明和小欢两人打算从教室匀速跑到600米外的操场做课间操，刚出发时小明就发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢则直接前往操场，小明系好鞋带后立即沿同一路开始追赶小欢，小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时课间操还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场，设小明和小欢两人想距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数的部分图象如图所示，当两人第三次相距60米时，小明离操场还有米．18．某公司推出一款新产品，通过市场调研后，按三种颜色受欢迎的程度分别对A颜色、B 颜色、C颜色的产品在成本的基础上分别加价40%，50%，60%出售（三种颜色产品的成本一样），经过一个季度的经营后，发现C颜色产品的销量占总销量的40%，三种颜色产品的总利润率为51.5%，第二个季度，公司决定对A产品进行升级，升级后A产品的成本提高了25%，其销量提高了60%，利润率为原来的两倍；B产品的销量提高到与升级后的A产品的销量一样，C产品的销量比第一季度提高了50%，则第二个季度的总利润率为．三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必写出必要的演算过程和推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上19．如图，AB∥EF，AD平分∠BAC，且∠C＝45°，∠CDE＝125°，求∠ADF的度数．20．由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，全世界面临着淡水资源不足的问题，我国是世界上严重缺水的国家之一，人均占水量仅为2400m3左右，我国已被联合国列为13个贫水国家之一，合理利用水资源是人类可持续发展的当务之急，而节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一，为了调查居民的用水情况，有关部门对某小区的20户居民的月用水量进行了调查，数据如下：（单位：t）6.78.77.311.47.0 6.911.79.710.09.77.38.410.68.77.28.710.59.38.48.7整理数据按如下分段整理样本数据并补至表格：（表1）分析数据，补全下列表格中的统计量；（表2）得出结论：（1）表中的a＝，b＝，c＝，d＝．（2）若用表1中的数据制作一个扇形统计图，则9.0≤x＜10.5所示的扇形圆心角的度数为度．（3）如果该小区有住户400户，请根据样本估计用水量在6.0≤x＜9.0的居民有多少户？四、解答题（本大题5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必写出必要的演算过程和推理步骤，画出必要的图形，（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上21．计算：（1）（a+b）（a﹣2b）﹣（a﹣b）2（2）÷（﹣x﹣2）22．如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx﹣6（k≠0）与x轴，y轴分别交于A，B 两点，点C（1，m）在线AB上，且tan∠ABO＝，把点B向上平移8个单位，再向左平移1个单位得到点D．（1）求直线CD的解析式；（2）作点A关于y轴的对称点E，将直线DB沿x轴方向平移与直线CD相交于点F，连接AF、EF，当△AEF的面积不小于21时，求F点横坐标的取值范围．23．2018年11月重庆潮童时装周在重庆渝北举了八场秀，云集了八大国内外潮童品牌，不仅为大家带来了一场品牌走秀盛会，更让人们将目光转移到了00后、10后童模群体身上，开启服装新秀潮流，某大型商场抓住这次商机购进A、B两款新童装共1000件进行试销售，其中每件A款童装进价160元，每件B款童装进价200元，若该商场本次以每件A 款童装按进价加价17元，每件B款童装按进价加价15%进行销售，全部销售完，共获利24800元．（1）求购进A、B两款童装各多少件？（2）元且期间该商场又购进A、B两款童装若干件并展开了降价促销活动，在促销期间，该商场将每件A款童装按进价提高（m+10）%进行销售，每件B款童装装按售价降低。
浙江省杭州市2023-2024学年上学期数学九年级期末典型试卷
2023-2024学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷一．选择题（共10小题）1．（滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（）A．8，6 B．8，2 C．，6 D．，22．（滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°3．（杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米4．（江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值15．（江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．6．（江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（）A．B．C．D．7．（江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（）A．AC的长为B．CE 3 C．CD的长为12 D．AD的长为108．（滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（）A．70°B．90°C．110°D．120°9．（杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（）A．20°B．35°C．55°D．70°10．（杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）11．（江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为．12．（杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为．13．（滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是．14．（江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝．15．（江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为．16．（滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为元时，宾馆利润最大，最大利润是元．三．解答题（共8小题）17．（杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．18．（滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．（1）当m＝1时，求该函数的表达式；（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）求该函数的最大值．19．（杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．20．（江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．21．（杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？22．（杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．23．（杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．24．（江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG．2023-2024学年上学期杭州市初中数学九年级期末典型试卷1参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（滨江区期末）在△ABC和△DEF中，AB＝3DE，AC＝3DF，∠A＝∠D．如果△ABC的周长为24，面积为18，则△DEF的周长、面积分别是（）A．8，6 B．8，2 C．，6 D．，2【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；证明题；运算能力；推理能力；应用意识．【分析】由AB＝3DE，AC＝3DF，可得＝3，＝3，可得＝，由∠A＝∠D，可证明△ABC ∽△DEF，再根据相似三角形性质即可求得结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，∵AB＝3DE，∴＝3，∵AC＝3DF，∴＝3，∴＝，∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEF，∴＝＝3，∵△ABC的周长为24，∴△DEF的周长＝×24＝8，∴＝＝32＝9∵S△ABC＝18，∴S△DEF＝S△ABC＝2．故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，是一道基础题，熟练掌握和灵活运用相似三角形性质是解答本题的关键．2．（滨江区期末）四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝60°，∠B＝80°，则∠C的度数是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C＝180°，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝60°，∴∠C＝120°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，注意：圆内接四边形的对角互补．3．（杭州期末）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．a是实数，则|a|≥0B．任意一个三角形都有外接圆C．抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6D．一匹马奔跑的速度是每秒100米【考点】非负数的性质：绝对值；三角形的外接圆与外心；随机事件．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、a是实数，则|a|≥0，是必然事件；B、任意一个三角形都有外接圆，是随机事件；C、抛掷一枚骰子，朝上面的点数是6，是随机事件；D、一匹马奔跑的速度是每秒100米，是不可能事件；故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．4．（江干区期末）关于二次函数y＝﹣x2+2x的最值，下列叙述正确的是（）A．当x＝2时，y有最小值0 B．当x＝2时，y有最大值0C．当x＝1时，y有最小值1 D．当x＝1时，y有最大值1【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；应用意识．【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，1），∴当x＝1时，y有最大值1；∴D正确，故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．5．（江干区期末）已知二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，它的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法，可以判断各个选项中的图象是否正确，本题得以解决．【解答】解：∵二次函数y＝2mx2+（2﹣m）x，∴当x＝0时，y＝0，即该函数的图象过点（0，0），故选项A错误；该函数的顶点的横坐标为﹣＝﹣，当m＞0时，该函数图象开口向上，顶点的横坐标小于，故选项B正确，选项C错误；当m＜0时，该函数图象开口向下，顶点的横坐标大于，故选项D错误；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．6．（江干区期末）如图，直线l1∥l2∥l3，则（）A．B．C．D．【考点】平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；几何直观．【分析】根据相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理得到＝或＝，然后利用比例的性质得到＝，于是可对各选项进行判断．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝或＝，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．7．（江干区期末）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE＝3，AE＝4，则下列说法正确的是（）A．AC的长为B．CE的长为3 C．CD的长为12 D．AD的长为10【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力．【分析】连接OA，根据勾股定理求出OA，求出CE和DE，再根据勾股定理求出AD，再得出答案即可．【解答】解：连接OA，∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，由勾股定理得：OA＝＝＝5，即OC＝OD＝5，∴CD＝10，∵OE＝3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2，DE＝OE+OD＝3+5＝8，∴AD＝＝＝4，即只有选项A正确，选项B、选项C、选项D都错误；故选：A．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识点，能熟记勾股定理是解此题的关键．8．（滨江区期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝40°，∠ABC＝70°，BD是⊙O的直径，BD交AC于点E，连接CD，则∠AEB等于（）A．70°B．90°C．110°D．120°【考点】三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．【分析】先利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝40°，则利用互余计算出∠DBC＝50°，再计算出∠ABE，然后根据三角形内角和可计算出∠AEB的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠D＝∠A＝40°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠D＝50°，∵∠ABC＝70°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠DBC＝20°，∴∠AEB＝180°﹣（∠A+∠ABE）＝180°﹣（40°+20°）＝120°，故选：D．【点评】本题重点考查了圆周角定理、三角形的内角和，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等．9．（杭州期末）如图，在⊙O中，AB、DC是⊙O的直径，若∠DOA＝70°，则∠C＝（）A．20°B．35°C．55°D．70°【考点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．【解答】解：∵OA＝OC，∴∠A＝∠C，∵∠AOD＝∠A+∠C＝70°，∴∠C＝35°，故选：B．【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10．（杭州期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，且图象经过两点A（1，n），B（m+2，n），则m、n满足的关系为（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．【专题】二次函数图象及其性质；数据分析观念．【分析】点A、B的纵坐标相同，则函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，而二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，即可求解．【解答】解：∵点A、B的纵坐标相同，∴函数的对称轴为x＝（1+m+2）＝＝，解得b＝m+3，∵二次函数y＝x2﹣bx+c与x轴只有一个交点，则△＝b2﹣4c＝（m+3）2﹣4c＝0，解得c＝（m+3）2，当x＝1时，y＝n＝1﹣b+c＝1﹣（m+3）+（m+3）2＝，故选：C．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．二．填空题（共6小题）11．（江干区期末）已知抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为y＝(x﹣1)2+1．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：抛物线y＝（x+1）2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线表达式为：y＝（x+1﹣2）2+1,即y＝(x﹣1)2+1．故答案是：y＝(x﹣1)2+1．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．12．（杭州期末）已知圆心角为60°的扇形的弧长为π，则扇形的半径为3．【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】设扇形的半径为R，根据弧长公式和已知条件得出＝π，再求出答案即可．【解答】解：设扇形的半径为R，∵圆心角为60°的扇形的弧长为π，∴＝π，解得：R＝3，∴扇形的半径为3，故答案为：3．【点评】本题考查了弧长的计算，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的弧长为．13．（滨江区期末）若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是π．【考点】弧长的计算；扇形面积的计算．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，根据扇形面积公式得出＝24π，求出R，再根据扇形的面积公式得出×l＝24π，求出l即可．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，∴＝24π，解得：R＝2（负数舍去），∴×l＝24π，解得：l＝π，即它的弧长是π，故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式和扇形的面积计算，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径为r，弧长为l，那么这个圆心角所对的弧的长度l＝，此扇形的面积S＝lr＝．14．（江干区期末）如图是一张矩形纸片，E是AB的中点，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，AB＝2，则CB＝．【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】由折叠的性质得出∠COD＝90°，证明△DCB∽△CBE，得出比例线段，设CB＝x，得出关于x的方程，则可得出答案．【解答】解：如图，DB与CE交于点O，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线BD上的点F处，∴CE⊥BF，∴∠COD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCB＝∠ABC＝90°，AB＝DC＝2，∴∠DCE+∠CDB＝∠DCE+∠ECB＝90°，∴∠CDB＝∠ECB，∴△DCB∽△CBE，∴，设CB＝x，∵E是AB的中点，∴BE＝1，∴，∴x＝（负值舍去），故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．15．（江干区期末）已知线段AB长是2，P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，那么AP长为﹣1．【考点】黄金分割．【专题】图形的相似；运算能力；推理能力．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段，得出AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：∵P是线段AB上的一点，且满足AP2＝AB•BP，∴P为线段AB的黄金分割点，且AP是较长线段，∴AP＝AB＝×2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．16．（滨江区期末）某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．房价定为360元时，宾馆利润最大，最大利润是10240元．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题；二次函数图象及其性质；二次函数的应用；运算能力；应用意识．【分析】设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，根据利润等于（定价﹣40）×有人居住的房间数，可得y关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：设空闲房间为x个，则定价增加了10x元，设宾馆的利润为y元，由题意得：y＝（180+10x﹣40）（50﹣x）＝﹣10x2+360x+7000＝﹣10（x﹣18）2+10240，∵a＝﹣10＜0，抛物线开口向下，∴当x＝18时，y有最大值，为10240．此时房间定价为180+10×18＝360（元）．∴房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元．故答案为：360，10240．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．（杭州期末）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；推理能力．【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）根据题意列出树状图得出所有等可能的情况数，找出两次取出都是一等品的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，∴第一次取出的杯子是一等品的概率是．（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，根据题意画图如下：由图可知，共有9种等可能的情况数；（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，∴两次取出都是一等品的概率是．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（滨江区期末）在平面直角坐标系中，函数y＝﹣x2+bx+c图象过点A（m，0），B（m+3，0）．（1）当m＝1时，求该函数的表达式；（2）证明该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）求该函数的最大值．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】（1）当m＝1时，A（1，0），B（4，0），然后利用交点式写出抛物线解析式；（2）利用交点式表示出抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），然后根据二次函数图象上点的坐标特征就行证明；（3）利用配方法把交点式化为顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题．【解答】（1）解：当m＝1时，A（1，0），B（4，0），抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）（x﹣4），即y＝﹣x2+5x﹣4；（2）证明：抛物线解析式为y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3），当x＝m+1时，y＝﹣（m+1﹣m）（m+1﹣m﹣3）＝2，所以该函数的图象必过点（m+1，2）；（3）y＝﹣（x﹣m）（x﹣m﹣3）＝﹣x2+（2m+3）x﹣m2﹣3m＝﹣（x﹣）2+，所以当x＝时，二次函数有最大值，最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．19．（杭州期末）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，即可求得a的值；（2）由a＞0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x＝﹣2，根据二次函数的性质得到，解得m≤﹣6；（3）分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，解得：，∴函数y的表达式y＝x2+x+；（2）∵抛物线得对称轴为直线x＝，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴，即m≤﹣6；（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3①当a＞0 时，开口向上∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴；②当a＜0 时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，或a＝﹣3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a；（2）根据二次函数的性质得到；（3）分开口向上和开口向下两种情况讨论．20．（江干区期末）已知函数y1＝（x+m）（x﹣m﹣1），y2＝ax+m（a≠0）在同一平面直角坐标系中．（1）若y1经过点（1，﹣2），求y1的函数表达式．（2）若y2经过点（1，m+1），判断y1与y2图象交点的个数，说明理由．（3）若y1经过点（，0），且对任意x，都有y1＞y2，请利用图象求a的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】数形结合；函数思想；判别式法；空间观念．【分析】（1）将（1，﹣2）代入y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）可得m的值，从而得到答案，（2）将（1，m+1）代入y2＝ax+m得到a，再联立y1、y2判断解的个数从而得到交点个数，（3）将点（，0）代入y1可得m的值，再联立y1、y2求出图象只有一个交点时a的值，观察图象得到无交点时a的范围即得答案．【解答】解：y1＝（x+m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣x﹣m2﹣m（1）将（1，﹣2）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m得：﹣2＝12﹣1﹣m2﹣m，解得m1＝﹣2，m2＝1，m1＝﹣2时，y1＝x2﹣x﹣2，m2＝1时，y1＝x2﹣x﹣2，∴y1的函数表达式为：y1＝x2﹣x﹣2，故答案为：y1＝x2﹣x﹣2；（2）将点（1，m+1）代入y2＝ax+m得：m+1＝a+m，解得a＝1，∴y2＝x+m，由得x2﹣2x﹣m2﹣2m＝0，∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m2﹣2m）＝4m2+8m+4＝4（m+1）2，∵4（m+1）2≥0，∴△≥0，当m＝﹣1时Δ＝0，当m≠﹣1时Δ＞0，∴总有实数解，m＝﹣1时有一组解，当m≠﹣1时有两组解，∴y1与y2图象总有交点，当m＝﹣1时有一个交点，当m≠﹣1时有两个交点，故答案为：1或2；（3）将点（，0）代入y1＝x2﹣x﹣m2﹣m可得m1＝m2＝﹣，∴y1＝x2﹣x+，y2＝ax﹣，由得x2﹣（a+1）x+＝0，∴△＝[﹣（a+1）]2﹣3＝（a+1）2﹣3，若Δ＝0，则只有一组解，即y1、y2图象只有一个交点，此时（a+1）2﹣3＝0，解得a＝﹣1或a＝﹣﹣1，如下图，如果y1、y2图象没有交点，则对任意x，都有y1＞y2，由图象可知此时0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0，故答案为：0＜a＜﹣1或﹣﹣1＜a＜0．【点评】本题考查函数一次函数、二次函数表达式及图象的交点，关键是判断△的符号，从而得出交点情况．21．（杭州期末）商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间存在如图所示的关系．其中成本为20元/个．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围？【考点】一元二次方程的应用；二次函数的应用．【专题】二次函数的应用；应用意识．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，根据“单个利润×销售数量”列出函数解析式，求出w＝1300时x的值，利用二次函数的性质求解即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）．将（25，900），（28，600）代入y＝kx+b中，得：，解得：，∴y与之间的函数关系式为y＝﹣100x+3400．（2）设捐款后每天的剩余利润为w元，依题意，得：w＝（x﹣20）（﹣100x+3400）＝﹣100x2+5400x﹣68000，令w＝1300，则﹣100x2+5400x﹣68000＝1300，解得x1＝21，x2＝33，∵﹣100＜0，x≤30，∴抛物线开口向下，∴当该商品的销售单价每支不低于21元且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．22．（杭州期末）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．【考点】等腰三角形的性质；垂径定理的应用；作图—应用与设计作图．【专题】作图题；几何直观．【分析】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心．（2）设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，利用勾股定理解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，∵BC＝8，∴BD＝4，∵AB＝5，∴AD＝3，设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，∴R2＝42+（R﹣3）2，解得：R＝，∴该轮的半径R为．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．23．（杭州期末）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直径BD与弦AC交于点E．若∠BAC＝2∠ABE．（1）求证：AB＝AC；（2）当△BCE是等腰三角形时，求∠BCE的大小；（3）当AE＝4，CE＝6时，求边BC的长．【考点】圆的综合题．【专题】几何综合题；推理能力．【分析】（1）欲证明AB＝AC，只要证明∠ABC＝∠ACB即可．（2）分三种情形：①BE＝BC，②BC＝CE，③BE＝CE，分别利用等腰三角形的性质求解即可．（3）连接AO并延长，交BC于点F，由AF∥CD，推出，可得OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，证明△ABE∽△DCE，可得，推出AE•CE＝DE•BE＝24，求出OD＝，再利用勾股定理，可得结论．【解答】（1）证明：∵直径BD，∴∠ABE+∠ADB＝90°，∵∠BAC＝2∠ABE，∠ADB＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝90°∠BAC，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）解：由题意可知：∠BEC＝3∠ABE．分情况：①BE＝BC，那么∠ACB＝∠BEC＝3∠ABE，∠EBC＝2∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝8∠ABE＝180°，∴∠ABE＝22.5°，∴∠BCE＝3∠ABE＝67.5°．②BC＝CE，那么∠EBC＝∠BEC＝3∠ABD，∠ACB＝∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝4∠ABE，∴∠ACB+∠BEC+∠EBC＝10∠ABE＝180°，∴∠ABE＝18°，∴∠BCE＝4∠ABE＝72°．③BE＝CE，此时E，A重合，舍去，综上所述，满足条件的∠BCE的值为67.5°或72°；（3）解：连接AO并延长，交BC于点F，根据等腰三角形三线合一可知AF⊥BC，∵直径BD，∴∠BCD＝90°，∴AF∥CD，∴，∴OE＝OD，DE＝OD，CD＝OA，∵∠AEB＝∠DEC，∠ABE＝∠DCE，∴△ABE∽△DCE，∴，∴AE•CE＝DE•BE＝24，∵OB＝OD＝OA，∴OD•OD＝24，∴OD＝＝OA，∴CD＝，BD＝，在直角△BCD中，BC2+CD2＝BD2，∴BC＝．【点评】本题属于圆综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，垂径定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．24．（江干区期末）已知钝角三角形ABC内接于⊙O，E、D分别为AC、BC的中点，连接DE．（1）如图1，当点A、D、O在同一条直线上时，求证：DE＝AC．（2）如图2，当A、D、O不在同一条直线上时，取AO的中点F，连接FD交AC于点G，当AB+AC＝2AG时．①求证：△DEG是等腰三角形；②如图3，连OD并延长交⊙O于点H，连接AH．求证：AH∥FG．【考点】圆的综合题．【专题】证明题；圆的有关概念及性质；几何直观；推理能力．【分析】（1）先根据垂径定理证明AB＝AC，然后根据三角形的中位线解答即可；（2）①由中位线的性质和中点的定义可得AB＝2DE，AC＝2AE，从而得到AE+DE＝AG，由图知：AE+EG ＝AG，可证DE＝EG；②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，由等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠EGD＝∠AED，由平行线的性质和圆内接四边形的性质可证：∠AED＝∠BNC，进而可证∠CAH＝∠EGD，利用平行线判定定理即可证得结论．【解答】解：（1）证明：∵D是BC的中点，点A、D、O在同一条直线上，∴OD⊥BC，∴＝，∴AB＝AC，∵E、D分别为AC、BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∴DE＝AC．（2）①∵E、D分别为AC、BC的中点，∴AB＝2DE，AC＝2AE，∵AB+AC＝2AG，∴2DE+2AE＝2AG，∴DE+AE＝AG，∵AE+EG＝AG，∴DE＝EG，∴△DEG是等腰三角形．②延长HO交⊙O于点N，连接OB，OC，BN，CN，∵DE＝EG，∴∠EDG＝∠EGD，∴∠AED＝∠EDG+∠EGD＝2∠EGD，∴∠EGD＝∠AED，∵DE∥AB，∴∠BAC+∠AED＝180°，∵∠BAC+∠BNC＝180°，∴∠AED＝∠BNC，∵HO⊥BC，∴∠BOC＝2∠COH，∵∠BOC＝2∠BNC，∴∠COH＝∠BNC，∵∠CAH＝∠COH＝∠BNC，∴∠CAH＝∠EGD，∴AH∥FG．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质三角形中位线的判定和性质，圆内接四边形的性质，垂径定理，以及圆周角定理等重要知识点，正确添加辅助线是解答本题的关键。
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷
2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一.选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（3分）若，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上B．在只装有黑球、白球的袋子中摸球，摸出红球C．a是实数，|a|≥0D．有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是1，2，3．从中随机抽取一张，编号是1 3．（3分）如图，直线AB∥CD∥EF，则（）A．B．C．D．4．（3分）某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为x（x＞0），该工厂3月份的产值为y，则（）A．y＝400（1+x）B．y＝200（1+2x）C．y＝200（1+x）2D．y＝200（1+2x）25．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝7，点D在边BC上，且BD＝3，连接AD．以点D为圆心，以r为半径画圆，若点A，B，C中只有1个点在圆内，则r的值可能为（）A．3B．4C．5D．66．（3分）若二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，a≠0）的图象经过点（a，c），则（）A．a＞0B．a＜0C．b＞0D．b＜07．（3分）如图，一个钟摆的摆长OA的长为a，当钟摆从最左侧摆到最右侧时，摆角∠AOB 为2x，点C是AB的中点，OC与AB交于点D，则CD的长为（）A．a sin2x B．a cos2x C．a（1﹣sin x）D．a（1﹣cos x）8．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在边AC上，且∠ADE＝∠B．若CD ＝5，，则AC＝（）A．6B．C．D．9．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b），设该函数的最小值为k，（）A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜﹣1B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＞﹣1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3 10．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，其中AD＞CD，已知对角线AC过点O，对角线BD与CO相交于点E，且AD＝BD．若∠BDC＝2∠DBC，则＝（）A．+1B．C．2D．3二.填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）如图，点A、B、C是⊙O上的点，若∠ACB＝31°，则∠AOB＝°．12．（3分）任意抛掷一枚均匀的骰子，朝上面的数字为偶数的概率为．13．（3分）已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的内角和为．14．（3分）如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转90°得到矩形AB′C′D′，若点C，B′，D′恰好在同一直线上，且BC＝2，则AB的长为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧过点A（1，3），点B（2，3），点C（2，1），以点A和点D（4，2）为端点的线段与该圆弧相交于点E，则的长为．16．（3分）已知点（3，m），（5，n）在抛物线y＝ax2+bx（a，b为实数，a＜0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t，若n＜0＜m，则t的取值范围为．三.解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级(上)期末数学试卷+答案解析(附后)
2022-2023学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷1. 若均不为，则a：b的值是( )A. 2B. 3C. 2：3D. 3：22. 已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是( )A. 4B. 5C. 6D. 73. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数表达式为( )A. B. C. D.4. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是( )A. B. C. D.5. 如图，能使∽成立的条件是( )A.B.C.D.6. 若点P是线段AB的黄金分割点，，则AP的长为( )A. B. C. D.7. 如图，在平面直角坐标系中，以点O为旋转中心，将点按逆时针方向旋转到点B，点B在y轴上，则扇形AOB的面积为( )A.B.C.D.8. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表：x…0123…y…188202…则当时，x的取值范围是( )A. B. C. 或 D. 或9. 如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD四条边上的点，已知，若，，则EF：GH为( )A. 3：2B. 2：3C. 4：9D. 9：410. 设函数，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则11. 二次函数图象与x轴的交点坐标为______ .12. 在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为______ .13. 如图，AB为的直径，点C在上，点P在线段OB上运动不与O，B重合，若，设为，则的取值范围是______ .14. 如图，用一个半径为6cm的定滑轮拉动砝码上升假设绳索足够长且粗细不计，与滑轮之间无滑动，若滑轮旋转了，则砝码上升了______ 结果保留15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示其中a、b 均不为0，，根据二次函数图象的相关性质可知：______ ，______ .x1cn nm16. 如图，线段AB是的直径，弦于点H，点M是弧BC上任意一点不与B，C重合，，延长线段BM交DC的延长线于点E，直线MH交于点N，连结BN交CE于点F，则__________ ，__________ .17. 已知，请写出一个二次函数同时满足以下两个条件：①与函数图象开口大小、方向相同；②当时，y随x的增大而增大.18. 一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．19.如图，在中，于点D，点E在AB上不与点A，B重合，连接CE 交AD于点F，求证：∽若，，，求DF的长.20. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点求的值.若二次函数的顶点为，求的最大值.21. 如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点求的度数.已知，求DF的长.22. 在直角坐标系中，设函数且m，n为实数，求函数图象的对称轴.若m，n异号，求证：函数y的图象与x轴有两个不同的交点.已知当，3，4时，对应的函数值分别为p，q，r，若，求证：23. 如图，内接于，，的外角的平分线交于点D，连接DB，DC，DB交AC于点求证：是等腰三角形.若①求证：②若的半径为5，，求的值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，，故选：依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论．本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键．2.【答案】A【解析】解：圆的半径为2，圆的直径为4，是半径为2的圆的一条弦，，故选：求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可．此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：设剩下部分的面积为y，则：，故选：根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积，得出y与x的函数关系式即可．此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．4.【答案】C【解析】解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，则甲被选中的概率为故选：画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图．5.【答案】C【解析】解：由题意得，，若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断∽，故本选项符合题意；A、B、D均不能判定∽，故不符合题意；故选：根据相似三角形的判定求解即可．本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：由于P为线段的黄金分割点，且AP是较长线段；则故选：根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据即可得出AP的长．理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的7.【答案】B【解析】解：过点A作轴于C，，，是等腰直角三角形，，，，，故选：过点A作轴于C，由，则，则是等腰直角三角形，则，，从而求得，然后根据扇形面积公式计算即可．本题考查扇形的面积，坐标与图形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理和扇形面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，，当时，，当时，x的取值范围是或，故选：根据表格数据得出抛物线开口向上，对称轴为直线，进而得出时，，据此即可求解．本题考查了二次函数图象与性质，得出抛物线的对称轴与开口方向是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：过点H作，垂足为M，过点F作，垂足为N，设HM，FE交于点O，则，，，，，又，，∽，：：：：故选：过点H 作，垂足为M ，过点F 作，垂足为N ，设HM ，FE 交于点O ，再证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．此题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．10.【答案】C【解析】解：直线的图象与函数，的图象分别交于点，，A .若，如图所示，则B .若，如图所示，则则，故B选项不合题意，C.若，如图所示，，故C选项正确，D选项不正确；故选：根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解．本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．11.【答案】，【解析】解：令，得，解得：，，二次函数图象与x轴的交点坐标为，，故答案为：，令，解方程即可求解．本题考查了求二次函数图象与x轴的交点，根据题意解方程是解题的关键．12.【答案】10【解析】解：根据题意得，解得：，经检验，是原方程的解，也符合题意．故答案为：利用概率公式得到方程，解方程即可．本题考查的是概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．13.【答案】【解析】解：当点P位于O点时，，则，此时的值最小；当点P位于B点时，根据直径所对的角是可得，此时的值最大；由于点P不与O，B重合，于是故答案为：由于P为动点，由图可知，当点P位于O点时取得最小值，当点P位于B点时取得最大值．此题考查了圆周角定理与等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．14.【答案】【解析】解：由题意得，重物上升的距离是半径为6cm，圆心角为所对应的弧长，即，故答案为：根据弧长的计算方法计算半径为6cm，圆心角为的弧长即可．本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是正确解答的前提．15.【答案】【解析】解：和对称轴都为y轴，可将表格中的数表示为坐标，，，，，两点纵坐标相等，且，，，横坐标关于y轴对称，，故答案为：；先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可．此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称．16.【答案】4【解析】解：连接，，设，则，在中，，，，即；连接是直径，，，，，，，∽，，，易证∽，，，故答案为：；连接OC，设，在中，利用勾股定理求出OC；由∽，推出，推出，又，推出，由此即可解决问题．本题考查圆综合题、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．17.【答案】解：当时，y随x的增大而增大，可设对称轴为直线，该函数的开口大小、形状均与函数的图象相同，二次项系数为2，满足条件二次函数表达式可为答案不唯一【解析】利用二次函数的性质可设对称轴为直线，二次项系数为2，据此即可写出满足条件一个二次函数表达式．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．18.【答案】解：猜想，理由如下：活动1，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中摸出的两个球都是红球的结果有2种，；活动2，画树状图如下：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，，，【解析】分别画树状图，由概率公式求出，的大小，即可得出结论．本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．19.【答案】证明：，，∽；解：，，，，，，由得∽，，，【解析】根据两角相等两个三角形相似证明即可；利用勾股定理先求解CE，再由相似三角形的性质求解即可．本题考查的是四边形的内角和定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的判定和性质是解本题的关键．20.【答案】解：二次函数的图象经过点，，；二次函数的顶点为，，，，的最大值为【解析】把点代入二次函数的解析式，即可求解；利用二次函数的顶点公式求得，再求得，利用二次函数的性质即可求解．本题考查了二次函数的性质，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．21.【答案】解：五边形ABCDE是正五边形，，，，，，四边形ABCF是菱形，，同理可求：，；四边形ABCF是菱形，，同理，∽，，即，设，则，，即，解得舍去负值的长是【解析】根据五边形ABCDE是正五边形，判断出，，，，，即可得到；证明∽，推出，设，则，列出方程，解方程即可求出DF的长．本题考查了正多边形和圆，根据正五边形的性质，找到相似三角形，利用相似三角形的性质是解题的关键．22.【答案】解：函数且m，n为实数，函数图象的对称轴为；证明：令，则，即，，n异号，，一元二次方程有两个不相等的实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；证明：由题可知，，，，【解析】把代入函数关系式，再利用解方程组求出a，b即可解题；令，则有，由m，n异号，可知一元二次方程有两个实数根，即函数y的图象与x轴有两个不同的交点；把，3，4代入表示出p，q，r，再利用，解题即可．本题考查二次函数解析式，顶点坐标，一元二次方程根的情况，整式的加减，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．23.【答案】证明：四边形ABCD内接于，，，，，平分，，，，是等腰三角形；①证明：，，，∽，，，，∽，，，，；②解：连接DO交BC于G，，，、O都在中垂线上，即D、O、G共线，且，，在中，，，在中，，∽，，，解得：，，，，，∽，，【解析】由题意易得，则有，进而可得，则，然后问题可求证；①由题意易证∽，则有，进而可得，再由相似三角形的判定得出∽，利用其性质即可证明；②连接DO交BC于G，由题意易得D、O都在中垂线上，即D、O、G共线，进而可得且，则有，由①得，根据相似三角形的性质得出，再由相似三角形的判定得出∽，利用其性质即可求解．本题主要考查圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质，垂径定理及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．。
2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若ab =23，则aa+b等于( )A. 15B. 25C. 35D. 452.“一个仅装有红球的不透明布袋(只有颜色不同)中摸出一个白球”这一事件是( )A. 不可能事件B. 不确定事件C. 必然事件D. 随机事件3.在比例尺为1：1500000的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是千米( )A. 0.3B. 3C. 30D. 3004.如图，弦AB，CD都是⊙O的直径，若∠AOC=42°，则∠C=( )A. 20°B. 21°C. 42°D. 44°5.将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( )A. y=3(x−2)2−1B. y=3(x−2)2+1C. y=3(x+2)2−1D. y=3(x+2)2+16.有两辆车按1，2编号，方方和成成两人可以任意选坐一辆车．则两人同坐1号车的概率为。
( )A. 16B. 15C. 14D. 137.如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心.若∠ADB=20°，则n=( )A. 七B. 八C. 九D. 十8.在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的四个点：A(0,3)，B(1,0)，C(3,0)，D(2,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为( )A. −3B. −1C. 3D. 19.如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F.若AB=20，BC=10，DE=5，则BF=( )A. 15B. 16C. 45D. 8510.在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)，当y≥t时，x≤m−1或x≥m+3.若该函数图象过点A(m,5)和B(m+4,q)，则q的值可能是( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
杭州市九年级上册期末数学试卷(Word版含解析)
杭州市九年级上册期末数学试卷（Word 版含解析）一、选择题1．当函数2(1)y a x bx c =-++是二次函数时，a 的取值为（ ）A ．1a =B ．1a =-C ．1a ≠-D ．1a ≠ 2．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－33．如图，点I 是△ABC 的内心，∠BIC ＝130°，则∠BAC ＝（ ）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°4．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ）A ．15B ．25 C ．35 D ．456．若直线l 与半径为5的O 相离，则圆心O 与直线l 的距离d 为（ ）A ．5d <B ．5d >C ．5d =D ．5d ≤7．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10B ．10，9C ．8，9D ．9，108．如图，在Rt ABC ∆中，90C CD AB ∠=︒⊥，，垂足为点D ，一直角三角板的直角顶点与点D 重合，这块三角板饶点D 旋转，两条直角边始终与AC BC 、边分别相交于G H 、，则在运动过程中，ADG ∆与CDH ∆的关系是（ ）A ．一定相似B ．一定全等C ．不一定相似D ．无法判断9．如图，ABC △内接于⊙O ，30BAC ∠=︒，8BC = ，则⊙O 半径为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．1210．二次函数22y x x =-+在下列（ ）范围内，y 随着x 的增大而增大． A ．2x <B ．2x >C ．0x <D ．0x >11．如图，P 、Q 是⊙O 的直径AB 上的两点，P 在OA 上，Q 在OB 上，PC ⊥AB 交⊙O 于C ，QD ⊥AB 交⊙O 于D ，弦CD 交AB 于点E ，若AB=20，PC=OQ=6，则OE 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.512．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )A ．12B ．1C ．2D 213．在4张相同的小纸条上分别写上数字﹣2、0、1、2，做成4支签，放在一个盒子中，搅匀后从中任意抽出1支签（不放回），再从余下的3支签中任意抽出1支签，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．2314．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( ) A ．y =32x −2B ．y =32x +2C ．y =3()22x -D ．y =3()22x +15．如图，AB ，AM ，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P ，M ，N ．若 MN ∥AB ，∠A ＝60°，AB ＝6，则⊙O 的半径是（ ）A ．32B ．3C ．323 D ．3二、填空题16．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1，x 2=2 ，则二次函数y=x 2+mx+n 中，当y ＜0时，x 的取值范围是________；17．如图，AB 是半圆O 的直径，AB=10，过点A 的直线交半圆于点C ，且sin ∠CAB=45，连结BC ，点D 为BC 的中点．已知点E 在射线AC 上，△CDE 与△ACB 相似，则线段AE 的长为________；18．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于 ． 19．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，12AC =，9BC =，圆P 在ABC ∆内自由移动.若P 的半径为1，则圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为______.20．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表示）．21．在平面直角坐标系中，抛物线2yx 的图象如图所示．已知A 点坐标为()1,1，过点A 作1AA x ∕∕轴交抛物线于点1A ，过点1A 作12A A OA ∕∕交抛物线于点2A ，过点2A 作23A A x ∕∕轴交抛物线于点3A ，过点3A 作34A A OA ∕∕交抛物线于点4A ……，依次进行下去，则点2019A 的坐标为_____．22．已知关于x 的方程230x mx m ++=的一个根为-2，则方程另一个根为__________． 23．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.24．如图，正方形ABCD 的顶点A 、B 在圆O 上，若23AB =cm ，圆O 的半径为2cm ，则阴影部分的面积是__________2cm ．（结果保留根号和π）25．有一块三角板ABC ，C ∠为直角，30ABC ∠=︒，将它放置在O 中，如图，点A 、B 在圆上，边BC 经过圆心O ，劣弧AB 的度数等于_______︒26．如图，在△ABC 中，AD 是BC 上的高，tan B ＝cos ∠DAC ，若sin C ＝1213，BC ＝12，则AD 的长_____．27．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．28．若点 M （-1， y 1 ），N （1， y 2 ），P （72, y 3 ）都在抛物线 y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0）上，则y 1、y 2、y 3 大小关系为_____（用“＞”连接）．29．如图，在边长为 6 的等边△ABC 中，D 为 AC 上一点，AD=2，P 为 BD 上一点，连接 CP ，以 CP 为 边，在 PC 的右侧作等边△CPQ ，连接 AQ 交 BD 延长线于 E ，当△CPQ 面积最小时，QE=____________．30．如图，二次函数y ＝x （x ﹣3）（0≤x ≤3）的图象，记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……若P （2020，m ）在这个图象连续旋转后的所得图象上，则m ＝_____．三、解答题31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.①若15PAB ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.32．如图，已知抛物线y 1＝﹣12x 2+32x+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 是抛物线的对称轴，一次函数y 2＝kx+b 经过B 、C 两点，连接AC ． （1）△ABC 是 三角形；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）结合图象，写出满足y 1＞y 2时，x 的取值范围 ．33．在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．（1）本次调查的样本容量是________，这组数据的众数为________元； （2）求这组数据的平均数；（3）该校共有600学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数． 34．计算： （1）()28233+--（2）()13127+3.14+2π-⎛⎫- ⎪⎝⎭35．如图，AB 是⊙O 的直径，弦DE 垂直平分半径OA ，C 为垂足，弦DF 与半径OB 相交于点P ，连接EF 、EO ，若DE ＝2，∠DPA ＝45°． （1）求⊙O 的半径； （2）求图中阴影部分的面积．四、压轴题36．点P 为图形M 上任意一点，过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ，记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值，则称其为“图形M 到直线l 的限距离”，记作()max ,D M l ； 定义二:若d 存在最小值，则称其为“图形M 到直线l 的基距离”，记作()min ,D M l ； （1）已知直线1:2l y x =--，平面内反比例函数2y x=在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = ．（2）已知直线2:33l y x =+，点()1,0A -，点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点，T 3C 在T 上，若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范围，（3）已知直线21211k k y x k k --=+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ⎛⎫⎪⎝+-+⎭+，点(),D a b 恒在直线3l 上，点(),28E m m +是平面上一动点，记以点E 为顶点，原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =，若请直接写出m 的取值范围．37．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t （秒）（1）t 为何值时，四边形APQD 为矩形.（2）如图（2），如果⊙P 和⊙Q 的半径都是2cm ，那么t 为何值时，⊙P 和⊙Q 外切？ 38．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．39．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴的两个交点分别为(1,0)A ，(30)B ，．抛物线的对称轴和x 轴交于点M ．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P 点在该抛物线上，求当PAB △的面积为8时，求点P 的坐标．（3）点G 是抛物线上一个动点，点E 从点B 出发，沿x 轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F 由点M 出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t ．①若点G 到AE 和MF 距离相等，直接写出点G 的坐标．②点C 是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG 和FC 为边做矩形FGDC ，直接写出点E 恰好为矩形FGDC 的对角线交点时t 的值．40．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的覆盖矩形．点A ，B ，C 的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A ，B ，C 的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A 1B 1C 1D 1，A 2B 2C 2D 2，AB 3C 3D 3都是点A ，B ，C 的覆盖矩形，其中矩形AB 3C 3D 3是点A ，B ，C 的最优覆盖矩形． （1）已知A （﹣2，3），B （5，0），C （t ，﹣2）． ①当t ＝2时，点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为 ；②若点A ，B ，C 的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC 的表达式；（2）已知点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝4x（x ＞0）的图象上一点，⊙P 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】由函数是二次函数得到a-1≠0即可解题. 【详解】解：∵2(1)y a x bx c =-++是二次函数,∴a-1≠0, 解得：a≠1, 故选你D. 【点睛】本题考查了二次函数的概念,属于简单题,熟悉二次函数的定义是解题关键.2．D解析：D 【解析】 【分析】先移项，然后利用因式分解法求解． 【详解】 解：（1）x 2=-3x ，x 2+3x=0， x （x+3）=0， 解得：x 1=0，x 2=-3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC ，∠ACB=2∠ICB ，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ，求出∠ACB+∠ABC 的度数即可； 【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠ABC ＝2∠IBC ，∠ACB ＝2∠ICB ， ∵∠BIC ＝130°，∴∠IBC +∠ICB ＝180°﹣∠CIB ＝50°， ∴∠ABC +∠ACB ＝2×50°＝100°，∴∠BAC ＝180°﹣（∠ACB +∠ABC ）＝80°． 故选D ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可． 【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点， 把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确； 对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2ba＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确； 由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的； 由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确； 故选C ．考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．5．B解析：B【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B.考点：概率. 6．B解析：B【解析】【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.【详解】解：∵直线l 与半径为5的O 相离， ∴圆心O 与直线l 的距离d 满足：5d >.故选：B.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，当d >r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d <r 时，直线与圆相交. 7．D解析：D【解析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是9，则中位数是9；10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；故选D ．考点：众数；中位数．8．A解析：A【解析】【分析】根据已知条件可得出A DCB ∠∠=，ADG CDH ∠∠=，再结合三角形的内角和定理可得出AGD CHD ∠∠=，从而可判定两三角形一定相似．解：由已知条件可得，ADC EDF CDB C 90∠∠∠∠====︒，∵A ACD ACD DCH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴A DCH ∠∠=，∵ADG EDC EDC CDH 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ADG CDH ∠∠=，继而可得出AGD CHD ∠∠=，∴ADG ~CDH ．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理，灵活利用三角形内角和定理以及余角定理是解此题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理求出∠BOC 的度数，再由OB ＝OC 判断出△OBC 是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，∵∠BAC ＝30°，∴∠BOC ＝60°．∵OB ＝OC ，BC ＝8，∴△OBC 是等边三角形，∴OB ＝BC ＝8．故选：C.【点睛】本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．10．C解析：C【解析】【分析】先求函数的对称轴，再根据开口方向确定x 的取值范围.222(1)1y x x x=-+=--+，∵图像的对称轴为x=1，a=-10<，∴当x1<时，y随着x的增大而增大，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质，当a0a0<时，对称轴左增右减，当＞时，对称轴左减右增. 11．C解析：C【解析】【分析】因为OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理可得OP、DQ、PQ的长度，又因为CP//DQ，两直线平行内错角相等，∠PCE=∠EDQ，且∠CPE=∠DQE=90°，可证CPE∽DQE，可得CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，解得x的取值，OE= OP-PE，则OE的长度可得．【详解】解：∵在⊙O中，直径AB=20，即半径OC=OD=10，其中CP⊥AB，QD⊥AB，∴OCP和ODQ为直角三角形，根据勾股定理：，，且OQ=6，∴PQ=OP+OQ=14，又∵CP⊥AB，QD⊥AB，垂直于用一直线的两直线相互平行，∴CP//DQ，且C、D连线交AB于点E，∴∠PCE=∠EDQ，（两直线平行，内错角相等）且∠CPE=∠DQE=90°，∴CPE∽DQE，故CP DQ=PE EQ，设PE=x，则EQ=14-x，∴68=x14-x，解得x=6，∴OE=OP-PE=8-6=2，故选：C．【点睛】本题考察了勾股定理、相似三角形的应用、两直线平行的性质、圆的半径，解题的关键在于证明CPE与DQE相似，并得出线段的比例关系．12．B解析：B【解析】连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．【详解】解：连接OA 、OB ，如图1，2OA OB ==，2AB =，OAB ∴为等边三角形，60AOB ∴∠=︒，1302APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒90ACP ∴∠=︒2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，CD AB ∴⊥，1CD =，12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．故选B ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．13．C解析：C【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，最后根据概率公式计算即可．【详解】根据题意画图如下：共有12种等情况数，其中2次抽出的签上的数字的和为正数的有6种，则2次抽出的签上的数字的和为正数的概率为612＝12；故选：C．【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率计算题，解题的关键是画树状图展示出所有12种等可能的结果数及准确找出2次抽出的签上的数字和为正数的结果数，14．D解析：D【解析】【分析】先确定抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．【详解】解：抛物线y=3x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．15．D解析：D【分析】根据题意可判断四边形ABNM为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO≌△BPO，可得AP=BP=3，在直角△APO中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP，OM，OA，OB，ON∵AB，AM，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN∥AB，∠A＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，OAP OBPAPO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=3，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.二、填空题16．-1＜x＜2【分析】根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围. 【详解】由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），解析：-1＜x＜2【解析】【分析】根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围.【详解】由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），∵a=10>，开口向上，∴y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜2.【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解，掌握两者的关系是解此题的关键.17．3或9 或或【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90，∵sin∠C解析：3或9 或23或343【解析】【分析】先根据圆周角定理及正弦定理得到BC=8，再根据勾股定理求出AC=6，再分情况讨论，从而求出AE.【详解】∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90︒，∵sin∠CAB=45，∴45 BCAB=,∵AB=10，∴BC=8，∴22221086AC AB BC=-=-=,∵点D为BC的中点,∴CD=4.∵∠ACB=∠DCE=90︒,①当∠CDE1=∠ABC时，△ACB∽△E1CD,如图∴1AC BCCE CD=，即1684CE=，∴CE1=3，∵点E1在射线AC上，∴AE1=6+3=9，同理：AE2=6-3=3.②当∠CE3D=∠ABC时，△ABC∽△DE3C，如图∴3AC BCCD CE=，即3684CE=，∴CE3=163，∴AE3=6+163=343,同理：AE4=6-163=23.故答案为：3或9 或23或343.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，当三角形的相似关系不是用相似符号连接时，一定要分情况来确定两个三角形的对应关系，这是解此题容易错误的地方.18．.【解析】试题分析：∵在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：43. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.19．24【解析】【分析】根据题意做图，圆心在内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根解析：24【解析】【分析】根据题意做图，圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域为△EFG ，先求出AB 的长，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，根据圆的性质可知BH 平分∠ABC ，故CH=HM,设CH=x=HM ，根据Rt △AMH 中利用勾股定理求出x 的值，作EK ⊥BC 于K 点，利用△BEK ∽△BHC ，求出BK 的长，即可求出EF 的长，再根据△EFG ∽△BCA 求出FG ，即可求出△EFG 的面积.【详解】如图，由题意点O 所能到达的区域是△EFG ，连接BE ，延长BE 交AC 于H 点，作HM ⊥AB 于M ，EK ⊥BC 于K ，作FJ ⊥BC 于J ．∵90C ∠=︒，12AC =，9BC =，∴15=根据圆的性质可知BH 平分∠ABC∴故CH=HM,设CH=x=HM ，则AH=12-x ，BM=BC=9,∴AM=15-9=6在Rt △AMH 中，AH 2=HM 2+AM 2即AH 2=HM 2+AM 2（12-x ）2=x 2+62解得x=4.5 ∵EK ∥AC ， ∴△BEK ∽△BHC ，∴EK BK HC BC =，即14.59BK = ∴BK=2，∴EF=KJ=BC-BK-JC=9-2-1=6，∵EG ∥AB ，EF ∥AC ，FG ∥BC ， ∴∠EGF ＝∠ABC ，∠FEG ＝∠CAB ，∴△EFG ∽△ACB ，故EF FG BC AC =,即6912FG = 解得FG=8 ∴圆心P 在ABC ∆内所能到达的区域的面积为12FG×EF=12×8×6=24, 故答案为24.【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质综合，解题的关键是熟知勾股定理、相似三角形的判定与性质.20．【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴AC ＝AB ．故答案为:．【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分解析：512【解析】【分析】直接利用黄金分割的定义求解．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，∴AC ＝12AB ．故答案为． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则12AC BC =，正确理解黄金分割的定义是解题的关键. 21．【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．【详解】解：∵解析：2(1010,1010)-【解析】【分析】根据二次函数性质可得出点1A 的坐标，求得直线12A A 为2y x =+，联立方程求得2A 的坐标，即可求得3A 的坐标，同理求得4A 的坐标，即可求得5A 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点2019A 的坐标．【详解】解：∵A 点坐标为()1,1，∴直线OA 为y x =，()11,1A -，∵12A A OA ∕∕，∴直线12A A 为2y x =+，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴()22,4A ，∴()32,4A -，∵34A A OA ∕∕，∴直线34A A 为6y x =+，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴()43,9A ，∴()53,9A -…，∴()220191010,1010A -，故答案为()21010,1010-． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．22．6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：，解方程得：．故答案为：6解析：6【解析】【分析】将方程的根-2代入原方程求出m 的值，再解方程即可求解．【详解】解：把x=-2代入原方程得出，4-2m+3m=0，解得m=-4；故原方程为：24120x x --=，解方程得：122,6x x =-=．故答案为：6．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程，根据方程的一个解求出方程中参数的值是解此题的关键．23．甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差解析：甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴2222甲乙丁丙<<<S S S S ，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.24．【解析】【分析】设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE ，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF 为圆的直径，从而求出AF ，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求解析：4123π- 【解析】【分析】设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE ，根据90°的圆周角对应的弦是直径，可得AF 为圆O 的直径，从而求出AF ，然后根据锐角三角函数和勾股定理，即可求出∠AFB 和BF ，然后根据平行线的性质、锐角三角函数和圆周角定理，即可求出OG 、AG 和∠EOF ，最后利用S 阴影=S 梯形AFCD －S △AOE －S 扇形EOF 计算即可．【详解】解：设AD 和BC 分别与圆交于点E 和F ，连接AF 、OE ，过点O 作OG ⊥AE∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABF=90°，AD ∥BC ，BC=CD=AD=23AB =∴AF 为圆O 的直径 ∵23AB =cm ，圆O 的半径为2cm ，∴AF=4cm在Rt △ABF 中sin ∠AFB=3AB AF ，BF=222AF AB -= ∴∠AFB=60°，FC=BC －BF=()232cm∴∠EAF=∠AFB=60°∴∠EOF=2∠EAF=120°在Rt △AOG 中，OG=sin ∠EAF ·3cm ，AG= cos ∠EAF ·AO=1cm根据垂径定理，AE=2AG=2cm∴S 阴影=S 梯形AFCD －S △AOE －S 扇形EOF=()21112022360OE CD FC AD AE OG π•+-•- =()211120223232232322360π•⨯+-⨯ =2412333cm π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：412333π-． 【点睛】此题考查的是求不规则图形的面积，掌握正方形的性质、90°的圆周角对应的弦是直径、垂径定理、勾股定理和锐角三角函数的结合和扇形的面积公式是解决此题的关键． 25．120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA，OB 为半径，∴，∴，∴劣弧的度数等于，故答案为：1解析：120°【解析】【分析】因为半径相等，根据等边对等角结合三角形内角和定理即可求得AOB ∠，继而求得答案．【详解】如图，连接OA ，∵OA ，OB 为半径，∴30OAB ABO ∠=∠=︒，∴180120AOB OAB ABO ∠=︒-∠-∠=︒，∴劣弧AB 的度数等于120︒，故答案为：120．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系以及圆周角定理，是基础知识要熟练掌握． 26．8【解析】【分析】在Rt△ADC 中，利用正弦的定义得sinC ＝＝，则可设AD ＝12x ，所以AC ＝13x ，利用勾股定理计算出DC ＝5x ，由于cos∠DAC＝sinC 得到tanB ＝，接着在Rt△A解析：8【解析】【分析】在Rt △ADC 中，利用正弦的定义得sin C ＝AD AC ＝1213，则可设AD ＝12x ，所以AC ＝13x ，利用勾股定理计算出DC ＝5x ，由于cos ∠DAC ＝sin C 得到tan B ＝1213，接着在Rt △ABD 中利用正切的定义得到BD＝13x，所以13x+5x＝12，解得x＝23，然后利用AD＝12x进行计算．【详解】在Rt△ADC中，sin C＝ADAC＝1213，设AD＝12x，则AC＝13x，∴DC＝5x，∵cos∠DAC＝sin C＝12 13，∴tan B＝12 13，在Rt△ABD中，∵tan B＝ADBD＝1213，而AD＝12x，∴BD＝13x，∴13x+5x＝12，解得x＝23，∴AD＝12x＝8．故答案为8．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．27．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，解析：5【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出AB AEAD AC=，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°， ∴22223110AC AD CD =+=+=，∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AE AD AC=， ∴310AB =， ∴610AB =， 故答案为：610． 【点睛】 本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．28．y1＜y3＜y2【解析】【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y ＝mx2 +4mx+m2 +1（m ＞0），对称轴为x ＝ ，观察二次函数的图象可知：y1＜y3＜y2．故答案为：y解析：y 1＜y 3＜y 2【解析】【分析】利用图像法即可解决问题．【详解】y ＝-mx 2 +4mx+m 2 +1（m ＞0），对称轴为x ＝ 422m m-=-， 观察二次函数的图象可知：y 1＜y 3＜y 2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的特征，解题的关键是学会利用图象法比较函数值的大小．29．【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相解析：67 7【解析】【分析】如图，过点D作DF⊥BC于F，由“SAS”可证△ACQ≌△BCP，可得AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，由直角三角形的性质和勾股定理可求BD的长，由锐角三角函数可求BP的长，由相似三角形的性质可求AE的长，即可求解．【详解】如图，过点D作DF⊥BC于F，∵△ABC，△PQC是等边三角形，∴BC＝AC，PC＝CQ，∠BCA＝∠PCQ＝60°，∴∠BCP＝∠ACQ，且AC＝BC，CQ＝PC，∴△ACQ≌△BCP（SAS）∴AQ＝BP，∠CAQ＝∠CBP，∵AC＝6，AD＝2，∴CD＝4，∵∠ACB＝60°，DF⊥BC，∴∠CDF ＝30°，∴CF ＝12CD ＝2，DF ＝CF ÷tan30°＝ ∴BF ＝4，∴BD ，∵△CPQ 是等边三角形，∴S △CPQ 2， ∴当CP ⊥BD 时，△CPQ 面积最小，∴cos ∠CBD ＝BP BF BC BD =， ∴6BP =，∴BP ＝7，∴AQ ＝BP ， ∵∠CAQ ＝∠CBP ，∠ADE ＝∠BDC ，∴△ADE ∽△BDC ， ∴AE AD BC BD=， ∴6AE =，∴AE ＝7，∴QE ＝AQ−AE ．． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，求出BP 的长是本题的关键．30．【解析】【分析】x （x ﹣3）＝0得A1（3，0），再根据旋转的性质得OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A673A674＝3，所以抛物线C764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然解析：【解析】【分析】x （x ﹣3）＝0得A 1（3，0），再根据旋转的性质得OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，所以抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），然后计算自变量为2020对应的函数值即可．【详解】当y ＝0时，x （x ﹣3）＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，则A 1（3，0），∵将C 1点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；……∴OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 673A 674＝3，∴抛物线C 764的解析式为y ＝﹣（x ﹣2019）（x ﹣2022），把P （2020，m ）代入得m ＝﹣（2020﹣2019）（2020﹣2022）＝2． 故答案为2．【点睛】本题考查图形类规律，解题的关键是掌握图形类规律的基本解题方法.三、解答题31．（1）244y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值.【解析】【分析】（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解； （2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解； ②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t --，故2PE t =，根据//PE BD ，得APE AMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23t DM t =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t =+，可得()DN DM DB +的值即为定值.【详解】（1）解：设()()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入， 得()2952a =-+，解得1a =，。
浙江省杭州市拱墅区2023_2024学年九年级上学期期末数学检测卷(有答案)
浙江省杭州市拱墅区2023_2024学年九年级上学期期末数学检测卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．一个布袋里放着4个黑球和2个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别.把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是（ ）A ．3个都是黑球B ．2个黑球1个白球C ．2个白球1个黑球D ．至少有1个黑球2．某服务台如图所示，它的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．3．将y ＝﹣（x +4）2+1的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得函数最大值为（ ）A ．y ＝﹣2B ．y ＝2C ．y ＝﹣3D ．y ＝34．⊙O 的半径为7，圆心O 到直线l 的距离为6，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定5．若2y ﹣5x=0，则x ：y 等于（ ）A ．2：5B ．4：25C ．5：2D ．25：46．在中，，，，那么下列结论正确的是（ ）Rt △ABC ∠A =90°AB =6BC =10A ．B ．C ．D ．tanC =43cotC =45sinC =34cosC =457．若分式不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是（ ）1x 2−2x +mA ．B ．C ．D ．m ≥1m >1m ≤1m ≠18．如图，AB 、AC 是圆O 的两条切线，切点为B 、C 且∠BAC =50°，D 是优弧BDC 上一动点（不与B 、C 重合），则∠BDC 的度数为（ ）A ．130°B ．65°C ．50°或130°D ．65°或115°9．如图，在⊙O 中，直径MN=10，正方形ABCD 的四个顶点都分别在半径OP 、OM 及⊙O 上，且∠POM=45º，则AB=（ ）A ．2B ．C ．D ．56310．将抛物线y ＝x 2+x ﹣6位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则t 的取y =12x +t 值范围是（ ）A ．﹣6<t ≤6B ．﹣6<t<6C ．或﹣6≤t <6D ．或﹣6≤t ≤6t =9716t =10516二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共30分）11．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标为（2，3），那么直线OA 与x 轴夹角的正切值是 ．12．一根内径为3cm 的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm 、高为1.8cm 的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了 cm.13．⊙O 的半径为2，弦BC ＝2，点A 是⊙O 上一点，且AB ＝AC ，直线AO 与BC 交于3点D ，则AD 的长为 ．14．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为、(1，1)、.若抛物线的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是 .(1，4)(4，4)y =ax 215．不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别.从袋中随机取出一个球是红球的概率是0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个.16．如图，⊙O 的半径为10，点P 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且AP=6，过点A 作AP 的垂线交QO 于点B ，C.若PC=15，则PB= .三、解答题（本大题有7小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．计算：．20200+|1−3|−(12)−1−3tan 30°18．有张看上去无差别的卡片，上面分别写着，随机抽取张后，放回并混在一起，41,2,3,41再随机抽取张．1（1）请用树状图或列表法等方法列出各种可能出现的结果；（2）求两次抽到的卡片上的数字之和等于的概率．519．已知：正方形ABCD 中，E 、F 分别是边CD 、DA 上的点，且CE=DF ，AE 与BF 交于点M．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：△AMF∽△ADE；（3）观察判断BF与AE有怎样的位置关系？20．暑假到了，即将迎来手机市场的销售旺季.某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲乙进价（元/部）40002500售价（元/部）43003000该商场计划投入15.5万元资金，全部用于购进两种手机若干部，期望全部销售后可获毛利润不低于2万元.（毛利润=（售价﹣进价）×销售量）（1）若商场要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案购进甲乙两种手机？（2）通过市场调研，该商场决定在甲种手机购进最多的方案上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量.已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍，而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元，该商场怎样进货，使全部销售后获得的毛利润最大？并求出最大毛利润.21．风力发电是指把风的动能转为电能．风能是一种清洁无公害的可再生能源，利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到我们国家的重视．某校学生开展综合实践活动，测量风力发电扇叶轴心的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6m，在测点A处∠MCE=33°安置测倾器，测得扇叶轴心点M的仰角，再与点A相距3.5m的测点B处安置测倾器，测得点M 的仰角（点A ，B 与N 在一条直线上）求扇叶轴心离地面的∠MDE =45°高度的长．（精确到1m ；参考数据：，，）MN sin33°≈0.54cos 33°≈0.84tan 33°≈0.6522．如图，是的半径，与相切于点A ，点C 在上且为的OA ⊙O AB ⊙O ⊙O AC =AB ，D AC 中点，连接，连接交于点E ，交于点F ．OD CB OD OA（1）求证：；OE =OF （2）若，求的长．OE =3， sin∠AOD =35BF 23．如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为．O(0，0)A(5，5)x =2（1）求此抛物线的解析式；（2）若点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，当的面积为时，求B B △OAB 15的坐标；B （3）是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值．P PA−PB P PA−PB答案1．【正确答案】D2．【正确答案】A3．【正确答案】A4．【正确答案】A5．【正确答案】A6．【正确答案】D7．【正确答案】B8．【正确答案】B9．【正确答案】B10．【正确答案】D11．【正确答案】3 212．【正确答案】12.8 13．【正确答案】3或114．【正确答案】116≤α≤415．【正确答案】6 16．【正确答案】817．【正确答案】解：20200+|1−3|−(12)−1−3tan30°=1+3−1−2−3×3 3=3−2−3=−218．【正确答案】（1）解：画树状图得：共有16中可能出现的结果（2）解：两次抽到的卡片上的数字之和等于5的结果有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共4种，所以两次抽到的卡片上的数字之和等于5的概率为：416=1419．【正确答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAF=∠D=90°，AB=CD=AD，∵CE=DF，∴AF=DE，在△ABF和△DAE中，{AF=ED∠BAF=∠DAB=DA∴△ABF≌△DAE（SAS）（2）证明：∵△ABF≌△DAE，∴∠AFM=∠AED，∵∠MAF=∠DAE，∴△AMF∽△ADE（3）解：BF⊥AE．理由：∵△AMF∽△ADE，∴∠AMF=∠D=90°，∴BF⊥AE．20．【正确答案】（1）解：设甲种手机购进x部，由题意，得300x+500×155000−4000x2500≥20000，解得：x≤22.∵两种手机数量都为整数，∴x的最大值为20.∴乙种手机应该购进(−4000×20)÷2500=30部，∴要想尽可能多的购进甲种手机，应该安排怎样的进货方案是：甲种手机购20部，乙种手机购30部（2）解：设甲种手机减少m部，毛利润为y元，由题意，得4000(20−m)+2500(30+2m)≤160000，解得：m≤5.y=300(20−m)+500(30+2m)，y=700m+21000.∴k=700>0，∴y 随m 的增大而增大，∴m=5时，最大利润为24500元21．【正确答案】解：如图，延长交于H ，CD MN则，，CD =AB =3.5m HN =AC =1.6m 设，MH =xm 在中，，Rt △MDH ∠MDH =45°是等腰直角三角形，∴△MDH ，∴DH =MH =xm ，∴CH =DH +CD =(x +3.5)m 在中，，Rt △MCH ∠MCH =33°，∵tan∠MCH =MH CH =tan33°≈0.65，即，∴MH ≈0.65CH x ≈0.65(x +3.5)解得：，x ≈6.5，∴MN =MH +HN ≈6.5+1.6≈8(m)答：扇叶轴心离地面的高度约为．MN 8m 22．【正确答案】（1）证明：∵与相切于点A ，AB ⊙O ∴∠OAB=90°，∴∠B+∠AFB=90°，∵D 是的中点，AC ∴OD ⊥AC ，∴∠C+∠CED=90°，∵，AC =AB ∴∠B=∠C ，∴∠AFB=∠CED ，又∵∠AFB=∠OFE ，∠CED=∠OEF ，∴OE=OF ，（2）解：∵在中，，Rt △AOD sin∠AOD =AD OA =35∴设AD=3x ，则OA=5x ，OD=4x ，∵D 是的中点，AC ∴CD=AD=3x ，∴DE=4x-3，又∵OE=OF=3，∴AF=5x-3，∵∠B=∠C ， =6x ，AC =AB ∴tanB=tanC ，即：，AF AB =DE CD ∴，解得：x=1，5x−36x =4x−33x ∴AF=5x-3=2，AB=6x=6，∴BF ．=AF 2+AB 2=22+62=21023．【正确答案】（1）解：抛物线过点，，且它的对称轴为，∵O(0，0)A(5，5)x =2抛物线与轴的另一个交点坐标为，∴x (4，0)设抛物线解析式为，把代入，得，y =ax(x−4)A(5，5)5a =5解得：，a =1，∴y =x(x−4)=x 2−4x 故此抛物线的解析式为；y =x 2−4x （2）解：点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限，∵B B 设，∴B(2，m)(m >0)设直线的解析式为，OA y =kx 则，5k =5解得：，k =1直线的解析式为，∴OA y =x 设直线与抛物线对称轴交于点，则，OA H H(2，2)，∴BH =m−2，∵S △OAB =15，∴12×(m−2)×5=15解得：，m =8点的坐标为；∴B (2，8)（3）解：设直线的解析式为，把，代入得：，AB y =cx +d A(5，5)B(2，8){5c +d =52c +d =8解得：，{c=−1d =10直线的解析式为，∴AB y =−x +10当的值最大时，、、在同一条直线上，PA−PB A B P 是抛物线上的动点，∵P ，∴{y =−x +10y =x 2−4x 解得：，舍去，{x 1=−2y 1=12{x 2=5y 2=5()，∴P(−2，12)此时，．PA−PB =AB =(5−2)2+(5−8)2=32。
九年级上册杭州数学期末试卷测试卷 (word版,含解析)
九年级上册杭州数学期末试卷测试卷 （word 版，含解析）一、选择题1．如图，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于点E ，2DE =，8AB =，则O 的半径为（ ）A ．5B ．8C ．3D ．102．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－33．已知⊙O 的半径是4，圆心O 到直线l 的距离d ＝6．则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法判断4．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25B ．72C ．57D ．755．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 6．已知⊙O 的半径为4，点P 到圆心O 的距离为4.5，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ） A ．P 在圆内B ．P 在圆上C ．P 在圆外D ．无法确定7．在一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，它们除颜色不同外，其余均相同．把它们搅匀后从中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是（ ） A ．14B ．34C ．15D ．358．一元二次方程230x x k -+=的一个根为2x =，则k 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（ ）A ．12B ．1：2C ．1：3D ．1：410．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④12．下表是二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分x ，y 的对应值： x… ﹣1﹣120 121322523 …y … 2 m﹣1﹣74 ﹣2 ﹣74﹣1 142 …可以推断m 的值为（ ） A ．﹣2B ．0C ．14D ．2二、填空题13．正方形ABCD 的边长为4,圆C 半径为1，E 为圆C 上一点，连接DE ，将DE 绕D 顺时针旋转90°到DE’，F 在CD 上，且CF=3，连接FE’，当点E 在圆C 上运动，FE’长的最大值为____.14．抛物线286y x x =++的顶点坐标为______.15．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）16．将边长分别为2cm ，3cm ，4cm 的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .17．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．18．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．19．如图，在平面直角坐标系中，直线l :28y x =+与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在x 正半轴上，且OC ＝O B ．点P 为线段AB （不含端点）上一动点，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°得线段OQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为___________．20．如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在边长为1的正方形网格的格点上，则sinA 的值为________．21．如图，直线y=12x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为﹣1，点D 在反比例函数y=k x 的图象上，CD 平行于y 轴，S △OCD =52，则k 的值为________．22．已知点P （x 1，y 1）和Q （2，y 2）在二次函数y ＝（x +k ）（x ﹣k ﹣2）的图象上，其中k ≠0，若y 1＞y 2，则x 1的取值范围为_____．23．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．24．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC 中，AB=AC ，若△ABC 是“好玩三角形”，则tanB____________。
浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级上学期数学期末提优卷及参考答案
浙江省杭州市余杭区2023-2024学年九年级上学期数学期末提优卷考生须知∶1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分 120分，考试时间 100 分钟.2.答题前，请在答题卡指定位置内填写校名，姓名和班级，填涂考生号.3.答题时，所有答案必须做在答题卡标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应．4.如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑.第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30分）1.若2a＝5b，则aa−bb aa+bb的值为（）A. −37B. 37C. 35D. 732.两道单选题都含有A、B、C、D四个选项，小明同学在不会做的情况下，两题都答对的概率是( )A. 18B. 14C. 116D. 383.关于二次函数y=2x2+x-1，下列说法正确的是（）A. 图象与y轴的交点坐标为(0，1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧C. 当x＜0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为- 984.若四边形ABCD是圆内接四边形，则它的内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是（A.3: 1: 2: 5B.1: 2: 2: 3C. 2: 7: 3:6D.1: 2: 4: 35．在 10 倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（A.没有发生变化B.放大了10 倍C.放大了30 倍D.放大了100 倍6.如图，在⊙O中，弦AC与半径交于点D，连接OA，BC.若∠B=60°，∠ADB=116°，则∠AOB的度数为（）ArrayA.132°B.120°C. 112°D.110°7.已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是二次函数y=-2x2-8x+m图象上的点，则（）A.y2>y1>y3B.y2>y3>y1C.y1<y2<y3D.y3<y2<y18.如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着AA→BB的方向行走4.5米至点F，此时影子NNNN为1米，则路灯BM的高度为（）A. 3米B. 3.5米C. 4.5米D. 6米9．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（）A．2 B．4 C．8 D．1610．如图，点A，B，C均在坐标轴上，AO＝BO＝CO＝1，过A，O，C作⊙D，E是⊙D上任意一点，连结CE，BE，则CE2+BE2的最大值是（）A．4 B．5 C．6 D．4+第II卷（非选择题）二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）11．某校九年1班共有45位学生，其中男生有25人，现从中任选一位学生，选中女生的概率是．12．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则它的半径为．13．如图，点B，E分别在线段AC，DF上，若AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝2，DE＝4.5，则DF的长为．14．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝．15.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，⊙D 的半径为 1．现将一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着O点转动三角板，使它的一条直角边与⊙D切于点H，此时两直角边与AD交于E，F两点，则EH的值为 ________.16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是________．三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17．（6分）设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任取1个杯子，记下等级后放回，第二次再从中取1个杯子．求：（1）第一次取出的杯子是一等品的概率．（2）用树状图或列表的方法求两次取出都是一等品的概率．18.如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E．（1）求证：．（2）若∠BAC＝50°，求的度数．19．将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；（2）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．20.某工厂计划从现在开始，在每个生产周期内生产并销售完某型号设备，该设备的生产成本为10万元/件．设第x个生产周期设备的售价为z万元/件，售价z与x之间的函数解析式是zz=�15,0<xx≤12mmxx+nn,12<xx≤20，其中x是正整数．当xx=16时，zz=14；当xx=20时，zz=13．(1)求m，n的值；(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件，y与x满足关系式yy=5xx+20①当12<xx≤20时，工厂第几个生产周期获得的利润最大?最大的利润是多少万元?②当0<xx≤20时，若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元，求实数a的取值范围．21．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，连接OC，点F、E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO＝∠EFM．（1）求证：CF＝EF；（2）求证：BBBB BBCC=CCEE NNCC．22．已知二次函数y＝ax2+4ax+3a（a为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（2，3），求函数y的表达式．（2）若a＞0，当x＜mm3时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，求a的值．23.如图，在▱ABCD中，点E在AB上，AE＝AB，ED和AC相交于点F，过点F作FG∥AB，交AD于点G．（1）求FG：AE的值．（2）若AB：AC＝：2，①求证：∠AEF＝∠ACB．②求证：DF2＝DG•DA．答案一、选择题（本大题共10小题，共30分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10B C D D B C A D C C二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）11．．12. 913. 7.5．14. 75°15.3416.√55三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以17.解：（1）∵有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个，∴第一次取出的杯子是一等品的概率是23．（2）一等品杯子有A表示，二等品杯子有B表示，根据题意画图如下：由图可知，共有9种等可能的情况数；（2）∵共有9种等可能的情况数，其中两次取出都是一等品的有4种，∴两次取出都是一等品的概率是49．18.【解答】（1）证明：连接AD1所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴．（2）解：连接OE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴OA是半径，∴OA＝OE，∴∠OEA＝∠BAC＝50°，∴∠AOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∴的度数为80°．19.解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；（2）连接AO、BC相交于点D，连接OB，∵BC＝8，∴BD＝4，∵AB＝5，∴AD＝3，设该轮的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝R﹣3，∴R2＝42+（R﹣3）2，解得：R=256，∴该轮的半径R为256．20.（1）m=-14n=18 (2)①第14周获得最大利润405万元②403.75≤a≤40521.解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠B＝45°，∵O是AB的中点，∴CO⊥AB，∴∠OCB＝∠B＝45°，∵∠EFM＝∠FCO，∵∠FEC＝∠EFM+∠B，∠FCE＝∠FCO+∠OCB，∴∠FEC＝∠FCE，∴CF＝EF；（2）由（1）得：∠FEC＝∠FCE，∠OCB＝∠B＝45°，∴△BFC∽△CNE，∴BBBB BBCC=BBEE NNCC，∵CF＝EF，∴BBBB BBCC=CCEE NNCC．22.解：（1）把（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a，得3＝4a+8a+3a，解得：aa=15，∴函数y的表达式y=15x2+45x+35；（2）∵抛物线得对称轴为直线x=4aa−2aa=−2，a＞0，∴抛物线开口向上，当x≤﹣2时，二次函数y随x的增大而减小，∵xx＜mm3时，此二次函数y随着x的增大而减小，∴mm3≤−2，即m≤﹣6；（3）由题意得：y＝a（x+2）2﹣a，∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3①当a＞0 时，开口向上∴当x＝1时，y有最大值8a，∴8a＝3，∴aa=38；②当a＜0 时，开口向下，∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，∴﹣a＝3，∴a＝﹣3，综上，aa=38或a＝﹣3．23.【解答】（1）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴＝，∵AB∥CD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴＝，∵FG∥AB，∴△DFG∽△DEA，∴＝＝；（2）证明：①设AC＝2a，则AB＝a，∴AE＝a，由（1）可知，△AFE∽△CFD，∴＝＝，∴AF＝a，∴＝＝，∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴AEF＝∠ACB；②∵GF∥AB，∴∠DFG＝∠DEA，∵∠AEF＝∠ACB，∴∠DFG＝∠ACB，∵AD∥AC，∴∠ACB＝∠FAD，∴∠DFG＝∠FAD，∵∠FDG＝∠ADF，∴△DFG∽△DAF，∴＝，∴DF2＝DG•DA．。
2023-2024学年浙江省杭州市临平区、萧山区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2023-2024学年浙江省杭州市临平区、萧山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的.1．（3分）二次函数y＝（x﹣1）2+5的最小值为（）A．﹣1B．1C．5D．﹣52．（3分）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．有以下两种①摸出的小球标号都小于5是必然事件；②摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，但可能性不一样．则（）A．①对②错B．①错②对C．①②都对D．①②都错3．（3分）已知2a＝3b，则下列比例式正确的是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，则cos B的值为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，BD是⊙O的直径，∠BAC＝55°，则∠CBD的度数为（）A．65°B．55°C．45°D．35°6．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC上的点．，AB＝9，则ED的长为（）A．6B．5C．3D．27．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，以B为圆心，BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连接DE，则图中阴影部分面积为（）A．π+4B．π+3C．π+2D．π+18．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝3AB，点E在边AD上，EF⊥BD于点F，若EF＝2，则DE的长为（）A．6B．C．D．9．（3分）在投掷铅球项目中，铅球脱手后的飞行路线可以看作如图所示抛物线的一部分．设铅球落地点离投掷者的距离为S（m），则S的范围为（）A．8＜s＜9B．9＜s＜10C．10＜s＜11D．11＜s＜1210．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＞90°，它的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，DC，DB交AC于点F．若DA＝DF，∠ABC＝α，∠DFC＝β，则下列结论正确的是（）A．α+4β＝540°B．α+4β＝450°C．α+2β＝360°D．α+2β＝270°二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.11．（3分）计算tan45°＝．12．（3分）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中黄球可能有个．13．（3分）教科书的宽与长之比为黄金比，若教科书的长为m厘米，则宽为厘米（用含m的代数式表示）．14．（3分）如图，BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，延长DB，AC交于点F．若∠BAC＝30°，BF＝6，则△ABC的周长为．15．（3分）已知A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，则当x＝x1+x2时，二次函数y＝ax2+bx+2023的值为．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，D、E为AB边上两点（点D在点E 的右侧），满足∠DCE＝45°，则AB边上的高为；设AD＝x，BE＝y．用含x的代数式表示y＝．三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）某学校农场打算用40米长的篱笆围成长方形的向日葵基地．设长方形的长为x米，面积为S （平方米）．（1）用含x的代数式表示S；（2）当x＝10时，求向日葵基地的面积．18．（6分）学校地下停车场有三个出口A，B，C，甲乙两位老师可以任意选择一个出口开车驶离学校，试用树状图或列表求他们从不同的出口离开的概率．19．（8分）如图，四边形ABCD是半圆⊙O的内接四边形，AB是直径，AD＝4．（1）设⊙O的半径为r，用含r的代数式表示线段BD；（2）若，求⊙O的半径．20．（8分）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，长为13米，坡度为1：2.4，高为DE．在斜坡底的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡顶的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A，C，E在同一直线上．（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2.3）（1）求斜坡的高DE；（2）求大楼AB的高度（结果精确到1米）．21．（10分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+2．（a为常数，且a≠0）（1）若函数图象过点（1，0），求a的值；（2）当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M﹣N＝18，求a的值．22．（10分）如图，过菱形AEDF的顶点D作直线，分别交AE的延长线于点B，交AF的延长线于点C．（1）求证：FC•BE＝DE2；（2）若AB＝3，AC＝2，求AE的长．23．（12分）综合与实践：问题情境：求方程x2+x﹣1＝0的解，就是求二次函数y＝x2+x﹣1的图象与x 轴交点的横坐标．为了估计这个方程的解，圆圆先取了6个自变量满足x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6且x1﹣x2＝x2﹣x3＝x3﹣x4＝x4﹣x5＝x5﹣x6，再分别算出相应的y值．列表得：x的值x1x2x3x4x5x6 y＝x2+x﹣1的值10.710.440.190.04﹣0.25操作判断：（1）求x1的值；实践探究：（2）为了分析函数值的变化规律，圆圆将表格中得到的函数值逐个作差．如：0.71﹣1＝﹣0.29，0.44﹣0.71＝﹣0.27，得到如下数据：﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25，﹣0.15，﹣0.29，通过计算，圆圆发现自己由于粗心算错了其中的一个函数值，请指出算错的是哪一个值，正确的是多少？问题解决：（3）对于一般的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的函数值变化进行如表研究：（d≠0）x的值x x+d x+2d x+3d x+4d x+5d y＝ax2+bx+c的值y1y2y3y4y5y6将表格中得到的函数值逐个作差，发现函数值的差与自变量满足某种函数关系，请写出你的发现过程以及发现结论．24．（12分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点P是△ABC内一个动点，且∠BPC＝135°．（1）试找出与∠ACP相等的角，并说明理由；（2）如图2，连接AP并延长交△BPC的外接圆⊙O于点Q，交BC于点D，连接CQ．①求证△ACP∽△AQC；②求的最小值；（3）在如图2的条件下，若BP＝PC，求证：．2023-2024学年浙江省杭州市临平区、萧山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的.1．【分析】根据关系式可知抛物线开口向上，函数有最小值，根据顶点坐标可得答案．【解答】解：由二次函数关系式y＝（x﹣1）2+5，∵a＝1＞0，∴抛物线的开口向上，顶点坐标是（1，5），∴当x＝1时，函数值y有最小值5．故选：C．【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式．掌握顶点坐标是解题的关键．2．【分析】根据可能性大小的定义解答即可．【解答】解：∵四个小球分别标号为1，2，3，4，∴摸出的小球标号都小于5是必然事件，故①正确；∵每个标号只有一个小球，∴摸一次球，摸出标号分别为1，2，3，4的小球是随机的，可能性一样，故②错误．故选：A．【点评】本题考查的是可能性的大小及随机事件，熟知随机事件与必然事件的定义是解题的关键．3．【分析】利用内项之积等于外项之积可对各选项进行判断．【解答】解：∵2a＝3b，∴＝．故选：D．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．4．【分析】利用勾股定理求得BC的长度，然后利用余弦的定义即可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，∴BC＝＝＝2，∴cos B＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，结合已知条件求得BC的长度是解题的关键．5．【分析】先根据圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠BDC＝∠BAC＝55°，然后利用互余计算出∠CBD的度数．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠BDC＝∠BAC＝55°，∴∠CBD＝90°﹣55°＝35°．故选：D．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理．6．【分析】先利用两边成比例夹角相等的两三角形相似可判断△CAB∽△CDE，然后利用相似比可求出AB 的长．【解答】解：∵＝，∠ACB＝∠DCE，∴△CAB∽△CDE，∴＝＝，∴DE＝AB＝×9＝6．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．7．【分析】图中阴影部分的面积＝扇形ABE的面积+矩形ABCD的面积﹣△DEC的面积．然后按各图形的面积公式计算即可．【解答】解：∵AD＝4，AB＝2，∴依题意得S阴影＝S扇形ABE+S矩形ABCD﹣S△DCE＝+2×4﹣×（2+4）×2＝π+2．故选：C．【点评】本题主要考查了扇形的面积计算方法，不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．8．【分析】证明△DEF和△BCD相似，利用相似三角形的性质可求出DF的长，最后利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：由题知，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°，∴∠EDF＝∠CBD．又∵EF⊥BD，∴∠EFD＝∠C＝90°．∴△DEF∽△BDC，∴．又∵BC＝3AB，∴．∵EF＝2，∴，则DF＝6．在Rt△DEF中，DE＝．故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．【分析】依据题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4，又抛物线过点（0，1.8），从而16a+3.4＝1.8，进而求出解析式，再令抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4，令y＝0，，即可求出s＝4+，最后得出s的范围就可判断得解．【解答】解：由题意，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+3.4．又抛物线过点（0，1.8），∴16a+3.4＝1.8．∴a＝﹣0.1．∴抛物线的解析式为y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．令y＝0，∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.4．∴x＝4±．显然s＞0，∴s＝4+．∵5＜＜6，∴9＜s＝4+＜10．故选：B．【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．10．【分析】由∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，得∠DAE＝∠DCB，所以∠DAE＝∠DAC ＝∠DBC，则∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，因为DA＝DF，所以∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，可证明△DAF∽△DBC，得∠ADB＝∠BDC，再由∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，推导出∠ACB＝∠BAC，所以∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣α），则∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝45°+α，因为∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝135°﹣α，所以β＝135°﹣α，则α+4β＝540°，可判断A正确，于是得到问题的答案．【解答】解：∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，∴∠DAE＝∠DCB，∵AD平分∠EAC，∴∠DAE＝∠DAC＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，∵DA＝DF，∴∠BFC＝∠DFA＝∠DAC＝∠DBC＝∠DCB，∵∠DAC＝∠DBC，∠DFA＝∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠ACB，∠BDC＝∠BAC，∴∠ACB＝∠BAC，∵∠ABC＝α，∠DFC＝β，∴∠BDC＝∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝（180°﹣α），∴∠DBC＝∠DCB＝（180°﹣∠BDC）＝90°﹣×（180°﹣α）＝45°+α，∵∠DFC＝180°﹣∠BFC＝180°﹣∠DBC＝180°﹣（45°+α）＝135°﹣α，∴β＝135°﹣α，∴α+4β＝540°，故A正确，故选：A．【点评】此题重点考查圆周角定理、同角的补角相等、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，推导出∠DBC＝∠DCB及∠ACB＝∠BAC是解题的关键．二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.11．【分析】根据特殊角的三角函数值计算．【解答】解：tan45°＝1．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【相关链接】特殊角三角函数值：sin30°＝，cos30°＝，tan30°＝，cot30°＝；sin45°＝，cos45°＝，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝，cos60°＝，tan60°＝，cot60°＝．12．【分析】利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为0.4，然后根据概率公式计算即可．【解答】解：根据题意，得到摸到黄球的概率为0.4，所以布袋中黄球可能有30×0.4＝12（个）．故答案为：12．【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．13．【分析】设教科书的宽为x厘米，利用黄金分割的定义得到＝，然后求出x即可．【解答】解：设教科书的宽为x厘米，根据题意得＝，解得x＝m，即教科书的宽为m厘米．故答案为：m【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC 的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．14．【分析】根据角平分线的定义得到∠EBD＝∠ABD，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，求得∠BCF＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠ABC＝60°，得到∠F＝∠A＝30°，根据等腰三角形的判定定理得到AB＝BF＝6，根据直角三角形的性质得到BC＝＝AB＝3，于是得到结论．【解答】解：∵BD是△ABC的外角∠ABE的平分线，∴∠EBD＝∠ABD，∵△ABC外接圆的圆心O为AB的中点，∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠ABE＝120°，∴∠ABD＝∠DBE＝60°，∴∠CBF＝∠DBE＝60°，∴∠F＝∠A＝30°，∴AB＝BF＝6，∴BC＝＝AB＝3，∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+3+3＝9+3，故答案为：9+3．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．15．【分析】根据二次函数图象的对称性得出x＝x1+x2＝﹣，然后将其代入函数关系式求得y＝2023．【解答】解：∵A（x1，2023），B（x2，2023）是二次函数y＝ax2+bx+2023图象上的两点，∴A、B关于对称轴x＝﹣对称，则﹣＝，∴x1+x2＝﹣，∵x＝x1+x2＝﹣，∴y＝a•（﹣）2+b•（﹣）+2023＝2023．故答案为：2023．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．16．【分析】利用面积法可求出AB边上的高，旋转△ACD，利用“角含半角”模型构造出全等三角形，再借助于勾股定理即可解决问题．【解答】解：过点C作AB的垂线，垂足为M，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝．又∵，∴．即AB边上的高为．将△ACD绕点C顺时针旋转90°，点A的对应点为点F，点D的对应点为H，延长HF交AB于点G，连接EH，由旋转可知，△CHF≌△CDA，∴∠HCF＝∠DCA，HF＝AD＝x，CF＝AC＝3，∠HFC＝∠A，CH＝CD．又∵∠HFC＝∠BFG，∠A+∠B＝90°，∴∠B+∠BFG＝90°，则FG⊥BE．又∵BF＝4﹣3＝1．∴sin B＝，则FG＝．同理可得，BG＝．∴HG＝x+，EG＝y﹣．∵∠DCE＝45°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠HCE＝∠HCF+∠BCE＝45°，∴∠HCE＝∠DCE．在△HCE和△DCE中，，∴△HCE≌△DCE（SAS），∴HE＝DE＝5﹣x﹣y．在Rt△HGE中，（x+）2+（y﹣）2＝（5﹣x﹣y）2，整理得，y＝．故答案为：，．【点评】本题考查解直角三角形及勾股定理，熟知“角含半角”模型是解题的关键．三、解答题：本大题有8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【分析】（1）先求出长方形的向日葵基地的宽即可解决问题；（2）将x＝10代入即可．【解答】解：（1）长方形的向日葵基地的宽为40÷2﹣x＝（20﹣x）（米），则S＝x（20﹣x）＝（20x﹣x2）（平方米）；（2）当x＝10时，S＝20×10﹣102＝100（平方米），答：当x＝10时，求向日葵基地的面积为100平方米．【点评】本题主要考查了列代数式及求值，解决本题的关键是根据已知条件列出正确的代数式．18．【分析】用树状图表示甲乙两位老师可以任意选择A、B、C中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．【解答】解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有9种等可能出现的结果，其中两位教师从不同的出口离开的有6种，所以从不同的出口离开的概率为＝．【点评】本题考查列表法或树状图法，列举出甲乙两位老师可以任意选择A、B、C中一个出口开车驶离学校所有等可能出现的结果是正确解答的关键．19．【分析】（1）根据圆周角定理求出∠ADB＝90°，再根据勾股定理求解即可；（2）连接BD、OC交于点E，根据垂径定理求出OC⊥BD，DE＝BE，根据三角形中位线的判定与性质求出OE＝4，设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2，则BE＝，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵AB是半圆⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝，∵AD＝4，AB＝2r，∴BD＝＝2；（2）如图，连接BD、OC交于点E，∵BC＝CD，∴OC⊥BD，DE＝BE，∵OA＝OB，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝AD＝4，设⊙O的半径为r，由（1）知，BD＝2，∴BE＝，在Rt△CBE中，BC2＝CE2+BE2，BC＝，∴＝（r﹣2）2+，∴r＝5或r＝﹣3（舍去），∴⊙O的半径为5．【点评】此题考查了垂径定理，根据垂径定理求出OC⊥BD，DE＝BE是解题的关键．20．【分析】（1）根据题意可得：CD＝13米，DE⊥AE，再根据已知可设DE＝5x米，则CE＝12x米，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理进行计算即可解答；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，根据题意可得：AB⊥AE，DE＝AF＝5米，DF＝AE，然后设AC ＝x米，则DF＝AE＝（x+12）米，在Rt△DBF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt △ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，最后根据BF+AF＝AB，列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：（1）由题意得：CD＝13米，DE⊥AE，∵斜坡CD的坡度为1：2.4，∴＝＝，∴设DE＝5x米，则CE＝12x米，在Rt△CDE中，CD＝＝＝13x（米），∴13x＝13，解得：x＝1，∴DE＝5米，CE＝12米，∴斜坡的高DE为5米；（2）过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得：AB⊥AE，DE＝AF＝5米，DF＝AE，设AC＝x米，∵CE＝12米，∴DF＝AE＝AC+CE＝（x+12）米，在Rt△DBF中，∠BDF＝45°，∴BF＝DF•tan45°＝（x+12）米，在Rt△ABC中，∠ACB＝64°，∴AB＝AC•tan64°≈2.3x（米），∵BF+AF＝AB，∴x+12+5＝2.3x，解得：x＝，∴AB＝2.3x≈30（米），∴大楼AB的高度约为30米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21．【分析】（1）把点（1，0）代入解析式即可求得a的值；（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为（2，2﹣4a），即可求得x＝2时，y＝2﹣4a，进而求得当x＝5时，y＝5a+2，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2的图象过点（1，0），∴a﹣4a+2＝0，∴a＝；（2）∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴抛物线的顶点为（2，2﹣4a），∴x＝2时，y＝2﹣4a，当x＝5时，y＝25a﹣20a+2＝5a+2，当a＞0时，当2≤x≤5时，M＝5a+2，N＝2﹣4a，∵M﹣N＝18，∴5a+2﹣（2﹣4a）＝18，∴a＝2；当a＜0时，当2≤x≤5时，N＝5a+2，M＝2﹣4a，∵M﹣N＝18，∴2﹣4a﹣（5a+2）＝18，∴a＝﹣2；∴a的值为2或﹣2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．22．【分析】（1）先利用菱形的性质得到DE ＝DF ，DE ∥AF ，DF ∥AE ，再根据平行线的性质得到∠BDE ＝∠C ，∠B ＝∠CDF ，则可判断△BDE ∽△DCF ，然后利用相似比和等量代换得到结论；（2）先利用菱形的性质得到AE ＝DE ，DE ∥AF ，则可判断△BDE ∽△BCA ，根据相似三角形的性质得到＝，即＝，然后利用比例性质可求出AE 的长．【解答】（1）证明：∵四边形AEDF 为菱形，∴DE ＝DF ，DE ∥AF ，DF ∥AE ，∴∠BDE ＝∠C ，∠B ＝∠CDF ，∴△BDE ∽△DCF ，∴＝，∴FC •BE ＝DE •DF ，而DE ＝DF ，∴FC •BE ＝DE 2，（2）解：∵四边形AEDF 为菱形，∴AE ＝DE ，DE ∥AF ，∴△BDE ∽△BCA ，∴＝，即＝，解得AE ＝，即AE 的长为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了菱形的性质．23．【分析】（1）把y ＝1代入y ＝x 2+x ﹣1，求得相应的x 的值，根据函数值的变化选取合适的x 的值；（2）作差后的前三个数据分别是前一个数据的基础上增加0.02，第四个不是，所以猜测第五个函数值错了，设出第五个函数值为m ，根据第五个函数值减去第四个函数值的值为﹣0.25+0.02列式计算即可；（3）可设函数值的差为w ，若自变量为x ，那么和它相邻的自变量为x +d ，分别求得它们的函数值，相减即可得到w ．【解答】解：（1）把y ＝1代入y ＝x 2+x ﹣1，得：x2+x﹣1＝1，解得x1＝﹣2，x2＝1．∵二次函数y＝x2+x﹣1的对称轴为直线x＝，∴当x＜时，y随着x的增大而减小．观察图表可得y随x的增大而减小．∴．∴x1＝﹣2．（2）作差后的前三个数据﹣0.29，﹣0.27，﹣0.25分别是前一个数的基础上增加0.02，第四个不是．∴猜测第五个函数值错了．设第5个函数值为m．∴m﹣0.19＝﹣0.25+0.02．解得：m＝﹣0.04．答：第五个函数值错了，应该是﹣0.04．（3）设函数值的差为w，猜测：函数值的差与自变量满足一次函数关系，若自变量为x，则函数值为：y n＝ax2+bx+c；和x相邻的自变量为x+d，则函数值为：y n+1＝a（x+d）2+b（x+d）+c．∴w＝[a（x+d）2+b（x+d）+c]﹣（ax2+bx+c）＝2adx+（ad2+bd）．∵a，b，c，d为常数，且a≠0，d≠0，∴函数值的差与自变量满足一次函数关系．w＝2adx+（ad2+bd）（a≠0，d≠0，a、b、c、d为常数）．【点评】本题考查二次函数的应用．根据所给数值判断出函数值的变化规律是解决本题的关键．24．【分析】（1）根据∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，∠PBC+∠PCB＝45°，等量代换即可得到∠ACP＝∠PBC；（2）①根据同弧所对的圆周角相等，结合（1）能得到∠Q＝∠APC，即可证明；②连接OB、CO，由△ACP∽△AQC，得到＝，当CQ经过圆心O时，的值最小，过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，则AO是BC的垂直平分线，再由CO＝AC，得到CQ＝2AC，即可求的最小值为；（3）由题意可知P点AM上，则∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，过点P作PH⊥AC交于H点，设PM＝x，则PH＝x，分别求出AP＝x，AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2，再由＝，即可证明．【解答】（1）解：∵∠BPC＝135°，∴∠PBC+∠PCB＝45°，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠ACB＝∠ACP+∠BCP＝45°，∴∠ACP＝∠PBC；（2）①证明：∵＝，∴∠Q＝∠PBC，∵∠ACP＝∠PBC，∴∠Q＝∠APC，∴△ACP∽△AQC；②连接OB、CO，∵∠BPC＝135°，∴∠BOC＝90°，∵△ACP∽△AQC，∴＝，∴＝，当CQ经过圆心O时，的值最小，过点O作OM⊥BC交于M点，则M是BC的中点，连接AM，则A、O、M三点共线，∴AO是BC的垂直平分线，∵AM＝BM＝OM，∴CO＝AC，∴CQ＝2AC，∴的最小值为；（3）证明：∵BP＝PC，∴P点AM上，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ACP，过点P作PH⊥AC交于H点，∴PH＝PM，设PM＝x，则PH＝x，∵∠PAH＝45°，∴AP＝x，∴AM＝（1+）x，AC＝（1+）x，PC2＝（4+2）x2，∵＝，∴（）2＝＝，∴CQ2＝（2+）AC2．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，直径所对的圆周角是90°，同弧所对的圆周角相等是解题的关键。