数学常见题型汇总

数学常见的提醒汇总一、函数1、求定义域（使函数有意义）分母 ≠0偶次根号≥0对数log a x x>0，a>0且a ≠1三角形中 0<A ∠<180, 最大角>60，最小角<60 2、求值域判别式法 V ≥0 不等式法 222113y x x x x x =+=++≥=导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一：1y x x =+法一：111(,222同号)或y x x x x x xy y =+=+≥∴≥≤-法二：图像法（对(0)by ax ab x =+>有效题型二：()1(1,9)y x x x =-∈()/2(1)(9)110180,,0,9导数法：函数单调递增即y xy x xy f f y =+>∴=-⎛⎫∴∈∈ ⎪⎝⎭ 题型三：2sin 11sin 1sin ,1,2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y yyyy y θθθθ-=++=≤-+∴≤-题型四：2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 1)1,sin()sin()11化简变形得即又由解不等式，求出，就是要求的答案y y y yx y x x y θθθθθθθθθ-=+-=+-=++=++=+≤题型五2222333(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y+=-+=-+-+==--⨯≥V反函数1、反函数的定义域是原函数的值域2、反函数的至于是原函数的定义域3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型1()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案x xf f x xx x --=+-=+周期性()()()(2)()()(2)00(2，函数 -)式相减）是一个周期是2t 的周期函数x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+==对称()()()(2)()()()),(2,), 函数关于直线x=a 对称对称的判断方法：写出2个对应点的坐标A(x,求出其中点的坐标C(a,）。

因a 是常数，故整个函数关于直线对称x a a x x a x x x x f f f f f B a x f f x a +--=⇔=-=不等式 题型一:2(0)113322x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x xx x +>++≥=≥题型二:33()13()32x (3-2x)(0<x<1.5)x x+3-2x =x x (3-2x) (应用公式abc 时，应注意使3者之和变成常数）a b c +⋅⋅≤=++≤数列：（熟记等差数列，等比数列的基本公式，掌握其通项公式和求和公式的推导过程） 等差数列：112569712()2...5...(),,...n 2n 2n n 3n 2n 当是奇数时，应写成n S （不能写上试卷） S S S S S 是等差数列，公差是n d nn m m n m na a n a n a a a a a a a n m a ++++=⋅⋅+++=+++=--- 等比数列：1121()(),,...1)lim (1n n 2n n 3n 2n n （当是奇数时，应写成S 是等比数列，公比是S S S S S 无穷递缩等比数列（ s=也说是等比数列中所有项的和）S n n n nnn a n a a q q a q +→∞=--<=-通项公式的求法 1、n a = 11 n=1时n>1时n n S S S --2、1()11122111(1)12234...1234...1234...2 叠加(可参考等差数列通项公式的求法） 例：+) (叠加） n n n n n n n n n a a f a a a n a a n a a na a nn n na a -----==-=-=--=-=+++++=+++++=+++++=⋅L L3、 1()1111211(1)12234... 叠乘(可参考等比数列通项公式的求法）例： =n ==) (叠乘）n n n nn n n nn na a f a a a a n a a n a a a a n a ----=⨯=⨯=-⨯⨯⨯⨯⨯=L L 1234...1234... =！ n a a n n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯== 4、{}11111111()323(),32,111(1)323n n n n n n n n n n n n n n a k a b a x k a x a a a x a x a a x x a a a （待定系数法） 令 例： 令展开得即 是等比数列，-------=⋅++=+=⋅++=+=+=∴++=+⋅=⋅5、{}111111111111()323(),33,222230.51222212(2)322n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n nn n n n a k a b a xb k a xb a a a x a x a a x x x x x x a a a （待定系数法2） 令 例： 令展开得即 是等比数列，----------=⋅++=+=⋅++=+=+--=⇒=⇒=∴++⨯=+⨯⋅6、 111111111131311131111(倒数法）例： 取倒数：= 是等差数列， （n-1)3=1（n-1)3=3n-23n-2n n n n n n n n n n n n n a a k a ba a a a a a a a a a a a -------=⋅+==⋅+⋅+=+⎧⎫∴=+⋅+⋅⎨⎬⎩⎭∴=求和: 1、拆项1111()(2()剩余项（前后各k 项））k n n k k n n k =-++111...1324(2)11111()21212111111...()1223(1)1111111111111...()1425(3)3123123例： =（k=2，前后各2项，前2项全正，后2项全负）= =n n n n n n n n n n n n +++⋅⋅++--+++++-⋅⋅+++++++---⋅⋅++++2、叠减n 1122n n n n S ...(...S ... -)2S ...( -S ... S n n n n a b a b a b a b =++++鬃+?+?=鬃+?+??鬃++?×=+++-?\=123n123n 23n n+1123n n+1是等差数列，是等比数列）例：求 12+2232n 2解：令12+2232n 2，则12+22n-1)2n 2相减：2+222n 2（应该不用我求了吧，呵呵）注意，这几个题型是近几年高考的常见题型，应牢牢掌握） 三角 1、2+k θπ奇变偶不变 （对k 而言）符号看象限 （看原函数） 2、1的应用 （1）22221sin cos sin 1cos sin sin (1cos )(1cos )sin 1cos ()1cos sin cos 1sin 1sin cos 注意此式中的比例变形。

同理，我们有k θθθθθθθθθθθπθθθθθθ=+⇒=-⇒⋅=-+-⇒=≠+-=+例：→1sin cos sin cos 1()1sin cos 1cos sin sin 1cos 1cos sin 1sin cos sin 1sin cos 1cos sin cos 1sin 1cos sin 1cos 1sin cos si 1sin cos b d b d b a c a c a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-+-=+++--=++-+∴==⇒=+++++-=+-++-∴=++ 证明证 合比定理 Q n cos 11cos sin θθθθ+-+- （2）已知tanα=2，求sin 2α+sinαcosα-3cos 2α 解：()()()22222222tan tan 3sin sin cos 3cos sin cos tan 11cos 2sin 21cos 2cos 22sin cos 21sin (2原式= 降幂公式 周期公式£º周期为周期为加""后周期减半)注意:周期公式是我个人的推导,绝不能写上试卷,自己知abaxx x x x x a b x k kαααααααααπππ-+-=++-=+=⋅+⋅=道怎么做就行了.[]sin ()(0):2::222图像. y=A 值域-A,A 周期: T=对称轴: k +最大值 wx+= 2k +最小值 2k - 对称点 k注意:奇函数原点为对称点 (把x=0代入即可)偶函数y wx A i ii wiii k ϕππππϕππππϕπ+>=2轴为对称轴k πϕπ=+[]3sin(2),3332,3221223262232125223212如：对函数它的值域是，对称轴是即对称点是，即当，时，有最大值当，时，有最小值y x k x k x k x k x x k x k x k x k ππππππππππππππππππππ=+-+=+=++==-+=+=++=-=-解析几何 题型：1、已知点P （x.y ）在圆x 2+y 2=1上，2,(2),2(,20, (1)的取值范围(2)y-2的取值范围解:(1)令则是一条过(-2,0)的直线.d 为圆心到直线的距离,R 为半径) (2)令y-2即也是直线d d 2.求中点轨迹:y=kx+b 化为Ax2+bx+c=0形式 y x x yk y k x x R d x b y x b R λ+==+-≤=--=≤⇒1121212221+2000c.为交点横生标分别为x ,x .x (公式用不完,但后面有用,x 这里就直接写出来)x x x x 中点轨迹P(x .y),则 x y=kx 消元,得P 的轨迹.BA CA b +=-⋅=--==+2( 3.求交线长度 AB 若开始时设直线方程为x=ky+b,则 AB x =-1212011224. OA OB+ (x ,y ),(x ,y )为A.B 的坐标x x y y ⊥⇒= A B12125. 求的面积S = CF ABF ABF y y ∆∆⋅-解析几何一般就这些题型，做的时候注意体会（有时会考上一些基础性的问题，如第一、第二定义，焦半径公式等等，要求把公式记牢）若实在不会做，也应先代入，化简为Ax 2+Bx+c=0的形式，并写出12121Bx x A Cx x Ax x +=-⋅=-=二项式定理 主要是公式2(((01n n n n24n n n135n-1n n n1. C C C 二项式等数和) C C C 奇数项)= C C C 偶数项)=2n+++=++++L L L(1)((1)(1)2(1)(1)2(1)01n 01n 023********.若()=a a a 则:a a a 各项系数和) a a a a a a a -a +a a nf x x x f f f f f f ++++=+-+++=--+++=-+=-L L L L L1064211 112x x + 6103.求常数项(特巧)比例法:求的常数项要3个要2个,共5个3 2 56 4 10(总共有10次方)对应成比例.常数项为C 2.1266111,112612求中的系数得到,需要2次方,3 2 56 4+2 12-2( 先除掉2上使其变成的系数为C x x x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭0()lim ()极限1.x x f x g x →=0000''00()()()()0lim lim ()()()()()0()0,lim ()()()()0()0,lim 0()()0()0,.时, 时 时 时无意义x x x x x x x x f x f x f x g x g x g x f x f x f x g x g x g x f x f x g x g x f x g x →→→→===≠≠==≠=≠=lim 342.n nn n x x y x y→∞+=+1,31,4只看 x <y 时只看 (x y )x y≠1、证垂直 （1）几何法线线垂直 线面垂直 面面垂直 2、向量法 线线垂直⊥ab⇔⋅ a b=0r r线面垂直n r为α的法向量αλ⊥⇔⇔=a a n a n r r r rP法向量求法ABC n r⇒n n y,2y ，-y ）之类，注意化简r r 面面垂直n, n 2为α,β的法向量αβ⊥⇔⋅⇔⊥1212n n =0n n求角 1、线面夹角几何法：做射影，找出二面角，直接计算 向量法：找出直线a 及平面α的法向量na a θ⋅⋅ncos =n2、线线成角几何法：平移（中点平移，顶点平移） 向量法：a ,b 夹角，a b a b θ⋅⋅cos =(几何法时常用到余弦定理2222a b c abθ+-cos =）3、面面成角（二面角）方法一：直接作二面角（需要证明） 方法二：面积法（一定有垂直才能用） PC ┴ 面ABC ，记二面角P —AB —C 为θ，则ABPABC S S θ∆∆cos =（先写公共边/点，再按垂线依次往后写，垂足放在分子） 附：使用时，可能会正弦定理与余弦定理搭配使用。