固定收益证券02

图2-4 可赎回债券的价格-收益曲线
例、息票利率为8％、每半年付息一次、还有10年到期
的某种债券，当前价格为109元，在第5年可赎回，赎 回价为105元。根据公式，投资者可以按照下表的数据 分别计算到期收益率和赎回收益率：
变量 C（元） T（期） 到期收益率 4 20 赎回收益率 4 10
A（元）
T 1
（2-2）
式中W为交割日至下一个付息日之间的天数折 算为付息周期的比例，
交割日至下一个付息日之间的天数 W 计息周期的天数
W的计算也涉及到天数计算惯例。 例、假设有前、后两个付息日分别为3 月3日和9月3日的某种债券，投资者购买后 的交割日为7月18日。 按照第1种惯例（比如这种债券是美国 的中长期国债），交割日至下一个付息日之 间的天数为47天（7月18日至7月31日，13天； 8月份，31天；9月份，3天），两个付息日 之间的实际天数为184天，所以 W＝47/184＝0.2554
P
t 1 24
1.8 0.04 1 2
t

100 0.04 1 2
24
96.22元
如果其他条件不变，只是付息方式改为每年支付一次利 息，应如何计算该国债的价格？
思考：①必要收益率r如何确定？
②式（2-1）暗含了怎样的假设？ ③从式（2-1）可以得到债券价格与收益、到期期限、 息票利率之间的哪些关系？
2.3.2
到期收益率与违约风险
上面例子中到期收益率的计算是在不考虑违约风
险的条件下进行的，这可以看作是发行人承诺的 到期收益率。实际上，除非是像国债这样的没有 违约风险的债券，对于其他种类的债券而言，投 资者在购买债券时预期的到期收益率都会小于承 诺到期收益率。 例、考虑一家公司发行的债券，息票利率为7%， 每半年付息一次，还有5年到期。由于公司面临财 务困境，投资者预期公司虽然有能力支付每期利 息，但在到期日很可能破产，届时债券持有人只 能收回面值的50%。该债券当前的价格为71元。 根据公式（2-3），投资者可以按照下表的数据计 算该债券的到期收益率：
图2-2 利率的风险结构
2.3.3
到期收益率与实际复利收益率
到期收益率虽然是衡量债券收益率的适当指 标，但它通常并不等于投资者持有债券到期时的 实际复利收益率，原因是到期收益率的计算实际 上是基于这样一条假设，即每一期的利息收益以 等于到期收益率的收益率进行再投资，而这一假 设并不切合实际。考虑前面例子中的债券。如果 假设每一期的利息收益都以3.275%（即到期收益 率6.55%的一半）进行再投资，则到期时的实际 复利收益率正好等于到期收益率6.55%；反之， 如果每一期利息收益的再投资收益率不等于到期 收益率，比如说是以5%的年收益率进行再投资， 则到期时的实际复利收益率不等于到期收益率。 图2-3说明了这一点。
思考：根据式（2-2）计算得到的债券价格
是全价还是净价？

2.2 影响债券价格的因素
2.2.1
债券价格与收益率的关系
从式（2-1）可以得到影响债券价格的三个因素：
必要收益率、到期期限和息票利率。由于一种债 券在其有效期内息票利率是固定不变的（除非是 浮动利率债券），因此息票利率与债券价格的变 动之间并无关系，只是会影响到不同债券之间的 相对价格水平。例如，债券A和B都是7年期国债， 必要收益率都是5％，A的息票利率为8％，B的息 票利率为6％，根据式（2-1），显然债券A的价格 高于债券B。 对于债券价格的变动，必要收益率和到期期限是 两个重要的影响因素。式（2-1）表明，债券价格 与必要收益率之间呈反向变动的关系。
2.3.1
到期收益率
到期收益率（Yield to Maturity）定义为 使债券未来收入的现值与其当前价格相等的 比率，简单地说，也就是投资者从买入债券 之日起至债券到期日所获得的收益率。 到期收益率的计算公式： 根据收益率的基本定义，有 rn=[C(1+YTM/2)n-1+ C(1+YTM/2)n-2+…+C+AP]/P 这实际上可以看作是考虑了复利的持有期 收益率。 注意到YTM为年收益率， 所以 rn= (1+YTM/2)n-1
图2-1 债券价格的时间轨迹
例、某公司债券面值100元，到期期限为15年，息票 利率为9％，每年付息。在给定必要收益率为8％的 条件下，该债券的价格为：
P
t 1 15
9
t
1 0.08 1 0.08

100
15
108.56元
如果必要收益率保持不变，则5年后该债券的价格为：
Fra Baidu bibliotek 由上两式整理可得
C A P t (1 YTM )T t 1 (1 YTM )
T
（2-3）
式中：P——债券市价 C——每次付息金额 YTM——到期收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值 例、某种债券息票利率为7%，每半年支付一次利息， 还有3年到期，当前的价格为101.2元。该债券的当期 收益率是多少？如果投资者预期持有半年后能够以 101.5元的价格卖出，持有期收益率是多少？如果按 持有到期来计算呢？该债券的到期收益率是多少？试 比较以上三种收益率的优劣。
P（元）
100
109
105
109
计算结果为，到期收益率6.75%，赎回收益率6.71%。 思考：债券A和债券B的期限相同，赎回条款也相同，债 券A当前价格为83元，债券B当前价格为102元。当市 场利率下降时，两种债券的价格变化会有什么差异？
2.3.5
零息票债券的内在利息
有些债券有意以较低的利率发行，而按面 值打折出售，这种债券的一个极端例子就是零 息票债券，即没有息票利息，而以价格升值的 形式提供全部收益。美国的国库券都是以零息 票债券的形式出现。 长期零息票债券一般产生于本息剥离式国 债（separate trading of registered interest and principal of securities, STRIPS）。例如，一张10 年期、息票利率6％、半年付息、面值1000元的 国债，可以看作21张零息票债券的组合。 思考：零息票债券如何定价？随着时间的推移， 零息票债券的价格会发生怎样的变化？
P
t 1 10
9
t
1 0.08 1 0.08

100
10
106.71元
如果直至债券到期前一年必要收益率仍然保持不变， 该债券的价格将为：
9 100 P 100.93元 1 0.08

2.3
债券的收益率
复习： 收益率的基本定义 名义收益率 当期收益率 持有期收益率 收益率的年化
即便在利率保持不变的情况下，随着时间 的推移，零息票债券的持有人也能够获得资本利 得。这样的资本利得可以看作是零息票债券的 “内在利息”。 零息票债券的内在利息的纳税与由于利率 变化所带来的资本利得的纳税是不同的。 例、如果当前市场利率为10％，一个30年 期、面值1000元的零息票债券当前的价格是 1000/(1.10)30=57.31元 第二年，如果利率仍为10％，则债券价格 应为 1000/(1.10)29=63.04元
此时，利息收益为 63.04－57.31=5.73元 这个收入需按利息收入纳税。 这是假设利率不变。如果利率发生变 化，比如跌到9.9％，那么债券价格将是 1000/(1.099)29=64.72元。如果卖出债券， 则总共获得收益7.41元，其中64.72元与 63.04元之差1.68元为资本利得并要按资本 利得税率纳税；如果不卖出，那么这个价 差就是未实现的资本利得，在当年不纳税。 而无论是否卖出债券，5.73元的内在利息 都需要缴纳利息税。
按照第4种惯例（比如这种债券是美国 的公司债券、政府机构债券或市政债券）， 交割日至下一个付息日之间的天数为45天 （（9-7）×30+（3-18）），两个付息日 之间的天数为180天，所以 W＝45/180＝0.25 按照第5种惯例（比如这种债券是德国 国债），由于交割日不是30或31日，所以 计算的W与按照第4种惯例计算的相同。
第2章

债券的价格与收益
2.1 债券定价公式 2.2 影响债券价格的因素 2.3 债券的收益率

2.1
债券定价公式
债券的内在价值，或者称为债券的理论价格， 是指债券到期日前的全部现金收入流的现值。 债券价值＝息票利息的现值＋面值的现值
式中：V——债券价值 C——每次付息金额 r——必要收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值
图2-3 债券投资的终值
在情形a中，再投资收益率等于到期收益率，债券投 资的终值为122.797，由 R 6 101.2(1 ) 122.797 2 可以得到实际复利收益率R=6.55%，与到期收益率 相等。在情形b中，再投资收益率不等于到期收益 率，债券投资的终值为122.3571，由
练习题
1、一种5年期债券，息票利率为3.5%，当前的到 期收益率为4.7%。如果利率保持不变，一年后这种债 券的价格会更高？更低？还是不变？ 2、当前市场利率为4％。一张面值100元、息票 利率7％的5年期债券，每半年付息一次。比较市场利 率下跌至3％引起的资本利得和市场利率上升至5％引 起的资本损失。 3、假定今天是9月15日，现有一种息票利率为 9%的债券，每隔半年，分别在5月27日和11月27日各 付息一次（以实际天数/365为计息基础）。今天该债 券的市场报价是101.12元。投资者购买该债券支付的 现金价格是多少？
R 6 101.2(1 ) 122.3571 2
可以得到实际复利收益率R=6.43%，与到期收益率 不相等。
2.3.4
赎回收益率
对于可赎回债券，投资者除了关注到期收益率，
还会对另一个收益率指标——赎回收益率 （yield to call）感兴趣，因为如果债券被提前赎 回，则付息次数和最终支付额都会不同于债券到 期，因而收益率也就存在差异。 从再投资的角度来看，赎回条款会给债券投资者 带来风险。也可以从债券价格与利率关系的角度 来理解这种风险：当市场利率下跌时，债券价格 本应上涨，但赎回条款将限制价格的上涨，使投 资者损失价差收益。图2-4说明了可赎回债券的 风险。 思考：溢价交易和折价交易两种情况下的可赎回 债券，发行人在哪种情况下会选择赎回？
变量
C（元） T（期） A（元）
承诺到期收益率
3.5 10 100
预期到期收益率
3.5 10 50
P（元）
71
71
计算结果为，承诺到期收益率15.56%，预期到期 收益率4.52%。 在期限和息票利率相同时，相对于没有违约风险 的国债而言，公司债券等其他种类的债券具有更 高的到期收益率。这些债券与国债的到期收益率 之差称为违约溢价（default premium），它补偿 了可能发生的违约。违约风险越大的债券，提供 的违约溢价越高，因而到期收益率也越高。到期 收益率与违约风险之间的这一关系有时被称为 “利率的风险结构。图2-2的曲线描述了这种结构。
式（2-1）实际上暗含一个假设，即投资者购买
债券正好是在付息日，也就是说距离下一个付 息日正好是6个月（一个付息周期），而通常投 资者购买债券是在两个付息日之间。如果考虑 这一因素，则式（2-1）需加以修正。按照“华 尔街规则”的计算方法是：
C A V t W (1 r ) (1 r )T 1W t 0
C A V t T (1 r ) t 1 (1 r )
T
（2-1）
例、某种国债，面值为100元，息票利率为3.6％，12
年到期，每半年支付一次利息。市场利率为4％（年 率）。由这些条件可知，该债券的付息频率为2（每 年付息2次），每次付息额为1.8元，剩余的付息次数 为24。所以，根据式（2-1），这种国债的价格为：
2.2.2
债券价格的时间轨迹
在必要收益率保持不变的情况下，债券价 格还会随着到期期限的变化而发生变动。式 （2-1）表明，当债券临近到期日时，即当 T→0时，债券价格→面值。因此，随着到期 期限的缩减，一张溢价交易（价格高于面值） 债券的价格将逐渐降低并接近其面值，而一张 折价交易（价格低于面值）债券的价格则相反。 债券价格的这种时间轨迹如图2-1所示。