河南省南阳市2020-2021学年上学期六校第一次联考高二数学试题及答案
14
7
由①，②解得
b c
7 5
，
………………………………………10
∴ S ABC
1 bc sin 2
A
10
3 ．……………………………………12
()
A. 2
B. 3
C.2
D.3
6、一个直角三角形的三边成等比数列，则最小锐角的正弦值为
A. 1
B. 3
2
5
()
C. 5 -1 2
D. 5 1 2
7、如图所示，一艘船自西向东匀速航行，
上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距
高二年级数学试题，第 1 页 共 4 页
第 7 题图
塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航
B． 7
C． 9
D．11
4、函数 f(x)定义如下表，数列{xn}满足 x0＝5，且对任意的自然数均有 xn＋1
＝f(xn)，则 x2 020＝
()
x
1
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A.1
B．2
C．4
D．5
5、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝ 5，c＝2，cos A
＝2，则 b＝ 3
2sin B cos C sin C 2(sin B cos C cos B sin C)
sin C 2cos B sin C …………………………………………3 0 C sin C 0 cos B 1
2 又∵ 0 B ，∴ B ．……………………………………5
＝2b，则＝
.
15、在数列 中， ㄵ，
t
，若对于任意的
，
恒成立，则实数 k 的最小值为
．
16、圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形
ABCD 的面积为
.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答写出文字说明，证明过程和演
算步骤.）
17、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14
2
2
2
2ac
1 4
a
2c
2
(a2
c2 2
b2
)
2
，即证。………………10
当 a =3、 b =5、 c =7 时，
S=
1 4
a
2c2
(
a2
c2 2
b2
)2
=
1 4
32
72
( 32
72 2
52
)
2
759 15 3 ，
16
4
即 ABC 面积为 15 3 。………………12 4
22、解：（1） 2b cosC c 2a ，由正弦定理，得 2sin B cosC sin C 2sin A A B C ， sin A sin(B C) sin B cos C cos B sin C
＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设 cn＝an＋bn，求数列{cn}的前 n 项和.
18、在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c. (1)若 a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若 a，b，c 成等比数列，且 c＝2a，求 cos B 的值.
19、已知数列 的前 n 项和， t ．
求 的通项公式；
设
，数列 的前 n 项和为 ．
高二年级数学试题，第 3 页 共 4 页
20、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a=3，b=5，c=7.
（1）求△ABC 的三个角中最大角的大小；
（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿 赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的 数学家之一”。他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和 秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术
cos
C
a2
b2 c2 2ac
32 52 72 235
1 2
，又角
C
为 ABC 内角，
∴C=1200.
………………4
(2)在
ABC
中，
S
1 2
ac
sin
B
∵ sin 2 B cos2 B 1, 且cosB a2 c2 b2 2ac
∴
S 1 ac sin B 1 ac 1- cos 2 B 1 ac 1- ( a2 c2 b2 )2
＋…＋n)－n＋30×（1－3n） 1－3
＝2×（n＋1）n－n＋3n－1＝n2＋3n－1.
2
2
2
即数列{cn}的前 n 项和为 n2＋3n－1.………………10 2
18、(1)证明 ∵a，b，c 成等差数列，∴a＋c＝2b.………………2 由正弦定理得 sin A＋sin C＝2sinB.………………4 ∵sin B＝sin[π－(A＋C) ]＝sin(A＋C)，
行的速度为( )
17 A. 6海里/小时
2
B．34 6海里/小时
17 2 C. 海里/小时
2
D．34 2海里/小时
8、在
中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，①若 t ，则 ݅ t ݅ ；
②若 ݅
݅ ，则△ 一定为等腰三角形；③若sin sin
sin ，则△ 为直角三角形；④若△ 为锐角三角形，则 ݅ t 㰍㠰 ੪
以上结论中正确的有
()
A.①③
B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
9、若数列{an}是正项递减等比数列，Tn 表示其前 n 项的积，且 T8＝T12，则
当 Tn 取最大值时，n 的值等于
()
A．9
B．10
10、已知等差数列 ，
C．11
D．12
的前 n 项和分别为
和
，且
Sn Tn
n5 2n 1 ，
则 a7 b6
i
16、 8 3
17、解 (1)设数列{an}的公差为 d，{bn}的公比为 q，………………1
b2＝b1q＝3， b1＝1，
由
得
b3＝b1q2＝9 q＝3.
∴{bn}的通项公式 bn＝b1qn－1＝3n－1，………………3
又 a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
∴1＋(14－1)d＝27，解得 d＝2.
∴{an}的通项公式 an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…).………………5 (2)设数列{cn}的前 n 项和为 Sn. ∵cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，………………6 ∴Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn ＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2
()
A.
B.
C.
D.
11、已知 Sn 是等差数列
䌐ᙡ
tᙡ
A. 4
B. 3
的前 n 项和，且S t S t S ，给出下列五个结论：
䌐ᙡ
t 其中正确的个数是( )
C. 2
D. 1
12、如图，在平面四边形 ABCD 中，∠ ∠ ∠
°， ㄵ，则
AB 的取值范围是
()
A.
B.
高二年级数学试题，第 2 页 共 4 页
（1）求角 B 的大小；
（2）若 BD 为 AC 边上的中线， cos A 1 ， BD 129 ，求 ABC 的面积．
7
2
高二年级数学试题，第 4 页 共 4 页
2020 年秋期六校第一次联考 高二年级数学参考答案
一、选择题
ACABDC
ADBABD．
二、填空题
13、820
三、解答题
14、2
15、
第 12 题图
C.
D.
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分）
13、一个剧场共有 20 排座位，后一排比前一排多 2 个座位，最后一排有 60
个座位，则该看台的总座位数为
.
14、在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，已知 bcosC＋ccosB
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C).………………6 (2) 解 由题设有 b2＝ac，c＝2a，∴b＝ 2a，………………8
由余弦定理得 cos B＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋44aa22－2a2＝34. 即 cos B＝3.………………12
4
20、解：（1）∵ a =3、 b =5、 c =7∴角 C 最大。由余弦定理得：
2020 年秋期六校第一次联考高二年级数学试题
第 I 卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四
个选项中，只有一项符合题目要求.） 1、如图，在下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4
项，则这个数列的一个通项公式为
()
3
（2）在 ABD 中，由余弦定理得 ( 129 )2 c2 (b )2 2c b cos A ，
2
2
2
∴ 129 c2 b2 1 bc …①，
4
47
………………………8
在 ABC 中，由正弦定理得 c b ，由已知得 sin A 4 3
sin C sin B
7.
∴ sin C sin( A B) sin Acos B cos Asin B 5 3 ，∴ c 5 b ……②，
河南省南阳市六校-学年上学期第二次联考高二年级数学试题（扫描版含答案）
2020年秋期六校第二次联考高二年级数学参考答案1～5 BBAAB 6～10 DCADD 11～12 DA 13.3π 14. 3415. 6 16.3517.【解析】（1）当q 是真命题时，24a x x =−在[]0,3x ∈上有解即函数y a =与函数[]24,0,3y x x x =−∈有交点又[]24,0,3y x x x =−∈的值域为[]4,0−∴a 的取值范围为[]4,0−.................................................5分 （2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立，则2(4)40a −<，则1122a −<<，......................................6分 记当p 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a =−<<； 记当q ¬是真命题时，a 的取值集合为B ，则{|4B a a =<−或}0a >...................8分 ∵()p q ∨¬是真命题，∴a 的取值范围是A B =∪{4a a <−或1}2a >−....................10分 18. 【解析】（1）在ADC △中，由正弦定理得：sin sin DC ACDAC ADC=∠∠，由题意得：sin ADC DAC ∠=∠=，903060BAD ∠=°−°=°， ∵6060ADC B BAD B ∠=∠+∠=∠+°>°， ∴120ADC =∠°，∴60B ∠=°；......................................6分（2）3DC =∵，9BC AC ∴==，∴在Rt ABC △中，cos C =， 在ACD △中，由余弦定理得：(22232318AD =+−××=，AD ∴= ......................................12分19.【解析】（1）∵点(),n n S 在函数()21122f x x x =+的图象上，21122n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，()()21111122n S n n −=−+−，②①-②得n a n =；......................................5分 当1n =时，111a S ==，符合上式.()*n a n n ∴=∈N ．.....................................6分（2）由（1）得()2112n n a a n n +=+11122n n =− +， 13242111n n n T a a a a a a +∴=+++⋯111111123242n n =−+−++− + ⋯31114212n n =−+ ++．........................9分()()11013n n T T n n ∵+−=>++，∴数列{}n T 单调递增，{}n T ∴中的最小项为113T =. 要使不等式()1log 13n a T a >−对任意正整数n 恒成立， 只要()11log 133a a >−，即()log 1log a a a a −<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为10,2．......................................12分20.【解析】（1）将点()2,1−代入抛物线方程：()2221p =−×−可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =−，其准线方程为：1y =．......................................4分 （2）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1−，设直线方程为1y kx =−，与抛物线方程24x y =−联立，消去y 可得：2440x kx +−=. 故：12124,4x x k x x +=−=−．......................................6分设221212,,,44x x M x N x −−，则12,44OM ON x x k k =−=−，直线OM 的方程为14x y x =−，与1y =−联立可得：14,1A x − ，同理可得24,1B x −，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x +−，圆的半径为：1222x x −，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x −==... 10分则圆的方程为：()()()2222141x k y k −++=+，令0x =整理可得：2230y y +−=，解得：123,1y y =−=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1−．......................................12分 21. 【解析】∵抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0),∴284b −=,故2b =. ∴椭圆221:184x y C +=．......................................2分（1）设1122(,),(,)M x y N x y ,则221122221,841,84x y x y += += 两式相减得1212()()8x x x x +−+1212()()04y y y y +−=，又MN 的中点为(1,1),∴12122,2x x y y +=+=.∴21211 2y y x x −=−−. ∴直线MN 的斜率为12−．.......................................6分（2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时, 11m n +=+=．.................7分 当直线AB 的斜率存在且不为0时,设直线AB 的方程为(2)y k x =−，设1122(,),(,)A x y B x y ,联立方程得22(2),28,y k x x y =−+= ，消去y 并化简得222(12)8k x k x +−2880k +−=，∴2122812k x x k +=+，21228(1)12k x x k−=+．.......................................9分∴m ==，同理可得n =．.......................................11分∴11 m n +=2222122(11k k k k +++=++，为定值．.......................................12分 22.【解析】（1）设(),0F c ，∵直线AF()0,2A −∴2c =c =.又222c b a c a ==−解得2,1a b ==， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=．......................................................4分（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知l x ⊥轴时不成立，故可设直线l 的方程为：2y kx =−，联立22142,x y y kx += =−，消去y 得()221416120k x kx +−+=，当()216430k ∆=−>，∴234k >，即k <或k > 1212221612,1414k x x x x k k +==++，....................................................6分 ∴PQ ===点O 到直线l 的距离d =∴12OPQS d PQ ==△ (8)分 0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t==≤=++△，........10分 当且仅当2t=2=，解得k =时取等号，满足234k >∴OPQ ∆的面积最大时，直线l的方程为：2y x =−或2y x =−．......12分。
河南省南阳市六校2020-2021学年高一上学期第一次联考数学试题(wd无答案)
河南省南阳市六校2020-2021学年高一上学期第一次联考数学试题一、未知(★★★) 1. 下列符号表述正确的是（）A．B．C．D．(★★★) 2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．(★★★) 3. 函数的图象与直线的交点个数为（）A．0B．1C．0或1D．无数个(★★★) 4. 下列函数为同一函数的是（）A．与B．与C．与D．与(★★★) 5. 某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（）A．10B．11C．12D．13(★★★) 6. 函数，则函数图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称(★★★) 7. 设集合 M满足：若，则，且集合Ｍ中所有元素之和，则集合Ｍ中元素个数为（）A．22B．22或23C．23D．23或24(★★★) 8. 已知集合，，非空集合 C满足： C中每一个元素都加上2变成 A的一个子集， C中每一个元素都减去2变成 B的一个子集，则集合 C中元素的个数最多有________个.(★★★) 9. 函数的单调递减区间是______.(★★★) 10. 设函数，的最大值为 M，最小值为 m，则______.(★★★) 11. 已知集合，.（1）当时，求，；（2）若，求实数 m的取值范围.(★★★) 12. 某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过时，只缴纳基本月租费 c元；如果超过这个使用量，超出的部分按 b元/ 计费.月份煤气使用量/煤气费/元7448251493519（1）请写出每个月的煤气费 （元）关于该月使用的煤气量 的函数解析式；（2）如果某个居民7-9月使用煤气与收费情况如上表，求出 ，并画出函数图象.（其中仅7月煤气使用量未超过）(★★★) 13. 已知二次函数的图象过点，对任意 x 满足，且有最小值是 . （1）求 的解析式；（2）在区间 上，的图象恒在函数 的图象上方，试确定实数 m 的取值范围.(★★★) 14. 已知函数， ， .（1）若集合为单元素集，求实数 a 的值；（2）在（1）的条件下，对任意 ，存在，使成立，试求实数 b 的取值范围.(★★★) 15. 设二次函数， 的最小值为 .（1）求 的解析式； （2）求的最小值.二、单选题(★★) 16. 已知集合 ，，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★) 17. 已知函数 ，部分x 与y 的对应关系如表：x1234y 3 21则A．B．C．D．3(★) 18. ，，若，则的取值集合为A．B．C．D．(★★) 19. 已知函数，则的解析式为（）A．B．C．D．(★★★) 20. 若是定义在( -∞, +∞)上的减函数，则 a的取值范围是（）A．B．C．D．三、填空题(★★) 21. 已知幂函数的图象过点，则______．四、解答题(★★) 22. 已知函数．（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明其结论；（2）求函数在区间上的最大值与最小值．。
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学试题
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
2、在△ABC 中，已知 b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形有 ( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
3、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1 a3 a5 3 ,则 S5
()
A． 5
＝2b，则＝
.
15、在数列 中， ㄵ，
t
，若对于任意的
，
恒成立，则实数 k 的最小值为
．
16、圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形
ABCD 的面积为
.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答写出文字说明，证明过程和演
算步骤.）
17、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14
行的速度为( )
17 A. 6海里/小时
2
B．34 6海里/小时
17 2 C. 海里/小时
2
D．34 2海里/小时
8、在
中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，①若 t ，则 ݅ t ݅ ；
②若 ݅
݅ ，则△ 一定为等腰三角形；③若sin sin
sin ，则△ 为直角三角形；④若△ 为锐角三角形，则 ݅ t 㰍㠰 ੪
以上结论中正确的有
()
A.①③
B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
9、若数列{an}是正项递减等比数列，Tn 表示其前 n 项的积，且 T8＝T12，则
当 Tn 取最大值时，n 的值等于
()
A．9
B．10
2020-2021学年河南省南阳市六校高二上学期第二次联考数学试题及答案
绝密★启用前河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第二次联考数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若0a b <<，则下列不等式中正确的是（） A ．22a b < B ．11a b > C ．122a b << D ．11a b< 2．若抛物线2y ax =的焦点坐标为()0,1，则a 的值为（） A ．18 B ．14C ．8D ．43．下列命题中为真命题的是（）A ．命题“若x y >，则x y >”的逆命题B ．命题“1x >，则21x >”的否命题C ．命题“若1x =，则220x x +-=”的否命题D ．命题“若21x ≥，则1x ≥”的逆否命题 4．已知命题p ：若0x >，则函数12y x x=+的最小值为1；命题q ：若1x >，则2230x x +->．下列命题是真命题的是（） A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝5．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，36927a a a ++=，求28a a +=（） A ．11 B ．22 C ．33 D ．44 6．下列叙述正确的是（） A ．若0x ≠，则12x x+≥ B ．方程221mx ny +=（0m >，0n >）表示的曲线是椭圆 C ．“2b ac =”是“数列a ，b ，c 为等比数列”的充要条件D ．若命题p ：0x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝：x ∀∈R ，210x x -+≥7．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2sin a A b B c C +=，则cos C 的最小值为（）A C ．12 D ．12-8．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为3，过2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若1AF B △的周长为C 的方程为（）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y += 9．已知等比数列{}n a ，11a =，418a =，且12231n n a a a a a a k +++⋅⋅⋅+<，则k 的取值范围是（） A ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,2⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭ C ．12,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭D ．2,3⎫⎡+∞⎪⎢⎣⎭10．过抛物线24y x =的焦点的直线l 交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，如果126x x +=，则PQ =（） A ．9B ．6C ．7D ．811．已知椭圆22221x y a b +=（0a b >>）与双曲线22221x y m n-=（0m >，0n >）有相同的焦点(),0c -和(),0c ，若c 是a 与m 的等比中项，2n 是22m 与2c 的等差中项在，则椭圆的离心率是（）A ．3 B ．2 C ．14 D ．1212．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F ，2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=︒时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A B C D ．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan b c a A +-=，则角A 的大小为__________．14．已知正项等比数列{}n a 的公比为2，若224m n a a a =，则212m n+的最小值等于__________． 15．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：()()22161x y ++-=上，则MA MF +的最小值是__________．16．若椭圆E ：22221y x a b +=（0a b >>）的上、下焦点分别为1F ，2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．设a ∈R ，p ：函数()2ln 41y x ax =++的定义域为R ；q ：函数()24x x a f x --=在区间[]0,3上有零点．（1）若q 是真命题，求a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝是真命题，求a 的取值范围． 18．如图，D 是直角ABC △斜边BC上一点，AC =．（1）若30DAC ∠=︒，求角B 的大小； （2）若2BD DC =，且3DC =，求AD 的长．19．已知数列{}n a 前n 项和为n S ，点(),n n S （*n ∈N ）在函数21122y x x =+的图像上． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ，若不等式()1log 31na T a >-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20．已知抛物线C ：22x py =-经过点()2,1-．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．21．已知椭圆1C ：22218x y b+=（0b >）的左、右焦点分别是1F ，2F ，点2F 也为抛物线2C ：28y x=的焦点．（1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，求证：11m n+是定值．22．已知点()0,2A -，椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当OPQ △的面积最大时，求l 的方程．高二年级数学参考答案1～5 BBAAB 6～10 DCADD 11～12 DA13．π314．3415．616．3517．【解析】（1）当q 是真命题时，24a x x =-在[]0,3x ∈上有解 即函数y a =与函数24y x x =-，[]0,3x ∈有交点又24y x x =-，[]0,3x ∈的值域为[]4,0-∴a 的取值范围为[]4,0-（2）当p 是真命题时，由题意，2410x ax ++>在x ∈R 上恒成立， 则()2440a -<，则1122a -<<， 记当q 是真命题时，a 的取值集合为A ，则1122A a a ⎧⎫-<<⎨⎩=⎬⎭； 记当q ⌝是真命题时，a 的取值集合为B ，则{}40B a a a =<->或．()p q ∨⌝是真命题，∴a 的取值范围是142AB a a a ⎧⎫=<->-⎨⎬⎩⎭或．18．【解析】（1）在ADC △中，由正弦定理得：sin sin DC ACDAC ADC=∠∠，由题意得：sin ADC DAC ∠=∠=，903060BAD ∠=︒-︒=︒， ADC B BAD ∠=∠+∠6060B ︒=∠+>︒，∴120ADC ∠=︒，∴60B ∠=︒；（2）3DC =，∴9BC =，AC =∴在Rt ABC △中，cos C =，在ACD △中，由余弦定理得：(2223233AD =+-⨯⨯18=，∴AD =．19．【解析】 （1）点(),n n S 在函数()21122x f x x =+的图象上，∴21122n S n n =+．①当2n ≥时，()()21111122n S n n -=-+-，① ①－②得；n a n =；当1n =时，111a S ==，符合上式．∴n a n =（*n ∈N ）．（2）由（1）得()211111222n n a a n n n n +⎫⎛==- ⎪++⎝⎭， ∴13242111n n n T a a a a a a +=++⋅⋅⋅+111111123242n n ⎫⎛=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭31114212n n ⎫⎛=-+ ⎪++⎝⎭．()()11013n n T T n n +-=>++，∴数列{}n T 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =． 要使不等式()1log 13n a T a >-对任意正整数n 恒成立， 只要()11log 133a a >-，即()log 1log a a a a -<． 解得102a <<，即实数a 的取值范围为10,2⎫⎛ ⎪⎝⎭． 20．【解析】（1）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =-⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =． （2）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立，消去y 可得：2440x kx +-=． 故：124x x k +=-，124x x =-．设211,4x M x ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，222,4x N x ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，则14OM x k =-，24ON xk =-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，同理可得24,1B x ⎫⎛-⎪ ⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎫⎛+-⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -，且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x-==则圆的方程为：()()222(2)141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：13y =-，21y =，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()0,3-，()0,1． 21．【解析】抛物线2C ：28v x =的焦点为()2,0，∴284b -=，故2b =．∴椭圆1C ：22184x y +=． （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得 ()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，∴122x x +=，122y y +=．∴212112y y x x -=--．∴直线MN 的斜率为12-． （2）椭圆右焦点()22,0F ． 当直线AB的斜率不存在或为0时，11m n +=+8=．当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y =-⎧⎨+=⎩， 消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=，∴2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+．∴m =)22112k k +=+，同理可得)2212k n k +=+．∴22221112211k k m n k k ⎫+++=+⎪++⎭8=，为定值． 22．【解析】（1）设(),0F c，∵直线AF 的斜率为3，()0,2A -∴2c=c =c a =，222b a c =-解得2a =，1b =， ∴椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，由题意知l x ⊥轴时不成立，故可设直线l 的方程为：2y kx =-，联立221,42,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，∴234k>，即2k <-或2k >时，1221614k x x k +=+，1221214x x k =+，∴P Q ===214k =+ 点O 到直线l 的距离d =，∴21214OPQS d PQ k ==+△， 0t =>，则2243k t =+，则244OPQ t S t =+△414t t=≤=+， 当且仅当3t =2=，解得2k =±时取等号，满足234k > ∴OPQ △的面积最大时，直线l 的方程为：22y x=-或22y x =--．。
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学答案
2020年秋期六校第一次联考高二年级数学参考答案一、选择题ACABDC ADBABD．二、填空题13、82014、215、 i16、38三、解答题17、解(1)设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q， (1)2＝b1q＝3，3＝b1q2＝91＝1，＝3.∴{b n}的通项公式b n＝b1q n－1＝3n－1， (3)又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，...). (5)(2)设数列{c n}的前n项和为S n.∵c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1， (6)∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{c n}的前n项和为n2＋3n－12 (10)18、(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b (2)由正弦定理得sin A＋sin C＝2sinB (4)∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) (6)(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ， (8)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.即cos B ＝34.………………1220、解：（1）∵a =3、b =5、c =7∴角C 最大。
由余弦定理得：215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ac c b a C ，又角C 为ABC ∆内角，∴C =1200.………………4(2)在ABC ∆中，B ac S sin 21=∵acb c a B B B 2cos ,1cos sin 22222-+==+且∴22222)2(-121cos -121sin 21acb c a ac B ac B ac S -+===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41b c a c a ，即证。
河南省南阳市六校2020-2021学年高一上学期第一次联考数学试题
2020年秋期六校第一次联考高一年级数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.下列符号表述正确的是（ ） A.*0N ∈ B.1.732Q ∉ C.{}0∅∈D.{}2x x ∅⊆≤2.已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,4,5A =，{}2,3,6,7B =，则()UA B =（ ）A.{}1,6B.{}1,7C.{}6,7D.{}1,6,73.已知函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如表：则()()4f f =（ ）A.-1B.-2C.-3D.34.函数()x f =的定义域为（ ） A.[)()1,22,-+∞B.()1,-+∞ C .[)1,2-D.[)1,-+∞5.已知集合{}26510M x x x =-+=，{}1P x ax ==，若P M ⊆，则a 的取值集合为 A.{}2B.{}3C.{}2,3D.{}0,2,36.函数()y f x =的图像与直线x a =的交点个数为（ ） A.0B.1C.0或1D.无数个7.下列函数为同一函数的是（ ） A.()x f x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩ B.()f x =()g x =C.()221f x x x =--与()221g t t t =-- D.()1f x =与()0(0)g x x x =≠8.某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为 A.10 B.11 C.12 D.139.已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A.()21f x x =+ B.()21(2)x f x x =+≥C.()²f x x =D.()2(2)f x x x =≥10.函数()3311f x x x =++-，则函数()f x 图象（ ） A.关于原点对称 B.关于直线y x =对称 C.关于x 轴对称D.关于y 轴对称11.已知()()()()11134a x ax x a x f x -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A.11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.11,83⎛⎤ ⎥⎝⎦C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合M 满足：若t M ∈，则2020t M -∈，且集合Ｍ中所有元素之和()202011,202012m ∈⨯⨯，则集合Ｍ中元素个数为（ ） A.22B.22或23C.23D.23或24二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.） 13.已知幂函数()y fx =的图象过点(2，则()9f =______.14.已知集合{}2468911A =，，，，，，{}123578B =，，，，，，非空集合C 满足：C 中每一个元素都加上2变成A 的一个子集，C 中每一个元素都减去2变成B 的一个子集，则集合C 中元素的个数最多有________个.15.函数()f x =的单调递减区间是______.16.设函数()()22211x a xf x x ++=+，a R ∈的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=______. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知集合[]5,6A =-，21,[]1B m m =-+. （1）当3m =-时，求A B ，A B ；（2）若AB A =，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分） 已知函数()231x x x f -=+. （1）判断函数()f x 在区间[)0,+∞上的单调性，并用定义证明其结论； （2）求函数()f x 在区间[2]9，上的最大值与最小值. 19.（本小题满分12分）某地煤气公司规定，居民每个月使用的煤气费由基本月租费、保险费和超额费组成.每个月的保险费为3元，当每个月使用的煤气量不超过3m a 时，只缴纳基本月租费c 元；如果超过这个使用量，超出的部分按b 元/3m 计费.20.（本小题满分12分）已知二次函数()f x 的图象过点(0)4，，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值是74. （1）求()f x 的解析式；（2）在区间[13]-，上，()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围. 21.（本小题满分12分） 已知函数()a f x x x=+，()2g x x bx =-，(),,0a b R a ∈≠. （1）若集合(){}22x f x x =+为单元素集，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，对任意]4[2m ∈，，存在]5[1n ∈，，使()()f m g n ≥成立，试求实数b 的取值范围.22.（本小题满分12分）设二次函数()()2242542f x x a x a a =--+-+，[]0,1x ∈的最小值为()g a .（1）求()g a 的解析式；（2）求()g a 的最小值.参考答案：2020年秋期六校第一次联考高一年级数学试题一.选择题：1-5 DCDAD 6-10 CCCBD 11-12AC 二.填空题：13.3 14.3 15.52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭或52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦16.2三.解答题17.解：（1）∵3m =-，∴7[]2B =--， ∵5[]2AB -=-，,]76[A B -=（2）∵AB A =∴B A ⊆①B =Φ 211m m -≥+ ∴2m ≥②B =Φ由题意知21121516m m m m -<+-≥-⎧+≤⎪⎨⎪⎩，，，∴2[)2m ∈-， 综上：∴2,[)m ∈-+∞18.（1）()f x 在区间[)0,+∞上是增函数. 证明如下：任取1x ，[)20,x ∈+∞，且12x x <，()()121212232311x x f x f x x x ---=-++ ()()()()()()()()122112************x x x x x x x x -+-+=-++++()()()1221511x x x x -=++因为120x x -<，()()12110x x ++>， 所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <. 所以函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数.（2）由（1）知函数()f x 在区间[]2,9上是增函数， 故函数()f x 在区间[]2,9上的最大值为()29339912f ⨯-==+，最小值为()22312213f ⨯-==+.19.解：（1）设每个月使用的煤气量为m?x ，煤气费为y 元，那么()303,c x a y c b x a x a +≤≤⎧⎪=⎨++->⎪⎩，（2）有表格可知，()()343251433519c c b a c b a ⎧+=⎪++-=⎨⎪++-=⎩，解得5121a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ 所以()()40513522x y x x ≤≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩. 20.解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为32x =，又最小值是74则可设()()237024f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭又图象过点(0)4，，则2370424a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得1a =，∴()22373424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭.（2）由已知，()2f x x m >+对1[]3x ∈-，恒成立， ∴254m x x <-+在1[]3x ∈-，恒成立， ∴()()2min5[]341x m x x ∈-<-+，. ∵()254g x x x =-+在1[]3x ∈-，上的最小值为94-. ∴94m <-. 21.解析:（1）由题意知，22ax x x+=+有唯一实数解 即220x x a +-=有两个相等的实数根， 所以440a ∆=+=，∴1a =-. （2）()1f m m m =-，∵]4[2m ∈，∴()()min 322f m f == ∵当任意]4[2m ∈，，存在]5[1n ∈，使()()f mg n ≥成立 存在"]5[1n ∈，，使232n bn -≤成立，即min 32b n ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭.∵32y n n =-，在[]1,5上单调递增，∴min 31122y =-=- ∴b 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22.解析：（1）()()22211f x x a a ⎡⎤⎣⎦=--++，]1[0x ∈，， ①若210a -<，即12a <时，时， ()()20542g a f a a ==-+；②若0211a ≤-≤，即112a ≤≤时， ()()2211g a f a a =-=+；③若211a ->，即1a >时，()()25851g a f a a ==-+.综上所述()2221542,,211,1,2585, 1.a a a g a a a a a a ⎧-+<⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩（2）由（1）知，①当12a <时，()22665,555g a a ⎛⎫⎡⎫=-+∈+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭；②当112a ≤≤时，()251,24g a a ⎡=⎤+∈⎢⎥⎣⎦； ③当1a >时，()()24952,55g a a ⎛⎫=-+∈+∞ ⎪⎝⎭.所以()min 65g a =.。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期A类重点高中六校联考数学(理科)参考答案
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河南省南阳市A类重点高中六校2020-2021学年高二下学期第一次阶段检测联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前河南省南阳市A类重点高中六校联考2020-2021学年高二年级下学期第一次阶段检测联合考试数学(理)试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：选修2－2,2－3,4－4,4－5。
第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2i ii2i+-+的虚部为A.－125B.－125i C.45D.45i2.(1－5x)5展开式中的第2项为A.－25xB.25xC.－25D.250x23.某植物种子的每百颗的发芽颗数y和温度x(单位：℃)的散点图如图所示,根据散点图,在0℃至24℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽颗数y和温度x 的回归方程类型的是A.y＝bx＋aB.y＝be x＋aC.y＝bsinx＋aD.y＝bx2＋a4.在极坐标系中,方程ρ2－(1＋cosθ)ρ＋cosθ＝0表示A.两条直线B.两个圆C.一条直线和一个圆D.一条射线和一个圆5.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.84,超过15岁的概率为0.21。
那么在该地区内,一只寿命超过10岁的猫,寿命超过15岁的概率为A.0.21B.0.25C.0.45D.0.636.已知定义在R 上的函数f(x)恰有3个极值点,则f(x)的导函数的图象可能为7.在18个村庄中有8个村庄交通不便,现从中任意选9个村庄,用X 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数,则91828120C ⨯＝ A.P(X ＝1) B.P(X ＝2) C.P(X ＝3) D.P(X ＝4)8.若函数f(x)＝(x 2－1)(x －2)2(x －4)3,则曲线y ＝f(x)在点(1,0)处的切线斜率为A.－27B.27C.－54D.549.现有下而四个命题： ①若z ＝2－3i,则|z ＋i|＝2②若X ～N(1,4),P(1<X<3)＝m,则P(X<－1)＝0.5－m ；③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六；④若数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＋n 2＝2a n ＋2n ＋1,则由数学归纳法可证明a n ＝n 2＋2n 。
河南省豫南九校2020-2021学年高二上学期第一次联考(9月)+数学(理)含答案
2020-2021学年上期第一次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知数列｛aj为等差数列,a2=3, a5=15,则a“ =A.39B.38C.35D.332.在AABC 中，ZABC=-. AB=&, BC=3,则sinNBAC= 4710 M 3 晒y/5A. ---B. -------C. --------D. -------10 5 10 53,在数列｛aj中，ai= - , a n=l ——(n^2, n€N"),则@2020= 2 a n-iA.lB.lC.-lD.224已知aABC 中,(a+b+c)(sinA+sinB — sinC)=asinB,其中A, B, C 为△ABC 的内角，a, b, c分别为A, B, C的对边，则C =n「2乃-3乃-57rA.—B.——C.——D.——3 34 65.设等差数列｛a“的前n项和为Sn,若23+04=6, 2as=9,则S7=A.—B.21C.—D.282 26.在锐角4ABC中，已知A=2C,则色的范围是cA.(0, 2)B.(A/2 , 2)C.(V2 , 52) 7,已知数列｛an｝为等比数列,a n>0>且amamrami2=26m,若p+q=6,则即•画=A.27B.28C.29D.2108,若数列｛a“满足a n+1=(2lsin — I — 1 )a n4-2n,则a[+a2H 1■阳=2A. 136B.120C.68D.409.若AABC的面积为4（a2+c2-b?）,且NC为钝角，则，的取值范围是4 aB.(0,瓜)C.(G +8)D.(2,+8)A.(0, 2)10.已知锐角AABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若2asinC=JJc, a=l,则4ABC的周长取得最大值时AABC的面积为A. ―― C. -y/3 D.4411.音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的。
2020-2021学年河南省南阳一中高二(上)第一次月考数学试题Word版含解析
2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高二数学试题一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个正确答案．）1．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a5=19，S5=40，则a10为（）A．27 B．28 C．29 D．302．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．2973．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．274．（5分）在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．5．（5分）在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．6．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．17．（5分）已知△ABC中，=，则B=（）A．B．C．D．8．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7，则△ABC的面积等于（）A．B．C．10D．109．（5分）△ABC中，B=45°，b=x，a=2，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2）10．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2014，其前n项和为S n若﹣=2002，则S2016的值等于（）A．2013 B．﹣2014 C．2016 D．﹣201511．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=，则tanC=（）A．﹣1 B．1 C．D．212．（5分）如图，平面上有四个点A、B、P、Q，其中A、B为定点，且AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S2+T2的最大值为（）A．B．1 C．D．二、填空题（每小题5分，共20分．）13．（5分）△ABC中，若角A，B，C成等差数列，则= ．14．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*），则a n= ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n=1，则{a n}的前100项和为．三、解答题（共70分．17题10分，18--22题各12分）17．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，求△ABC的外接圆半径r．18．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．19．求数列{}的前n项和T n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．21．已知等比数列{a n}满足a2+a3=，a1a4=，公比q＜1．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和；（2）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数，都有T n＜m2﹣m+成立，求实数m的取值范围．22．已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1=3，=（n∈N*），设b n=，S n=b12+b22+…+b n2．（1）求数列{a n}通项公式；（2）求证：S n；（3）若数列{c n}满足c n=3n+（﹣1）n﹣1•2n•λ（λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n∈N*时，都有c n+1＞c n．2020-2021学年河南省南阳一中（上）第一次月考高二数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分．每小题只有一个正确答案．）1．（5分）在等差数列{a n}中，a2+a5=19，S5=40，则a10为（）A．27 B．28 C．29 D．30【分析】由等差数列的性质可得a3+a4=19，S5=5a3=40，解之可得a3和a4，进而可得公差d，而a10=a3+7d，代入数据计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a2+a5=a3+a4=19，而S5===5a3=40，可得a3=8，故可得a4=19﹣8=11，公差d=a4﹣a3=3，故a10=a3+7d=8+21=29故选C【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．（5分）等差数列{a n}中，若a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（）A．66 B．99 C．144 D．297【分析】根据等差数列的通项公式化简a1+a4+a7=39和a3+a6+a9=27，分别得到①和②，用②﹣①得到d的值，把d的值代入①即可求出a1，根据首项和公差即可求出前9项的和S9的值．【解答】解：由a1+a4+a7=3a1+9d=39，得a1+3d=13①，由a3+a6+a9=3a1+15d=27，得a1+5d=9②，②﹣①得d=﹣2，把d=﹣2代入①得到a1=19，则前9项的和S9=9×19+×（﹣2）=99．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道中档题．3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．27【分析】观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．【解答】解：由等差数列性质知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差数列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45∴a7+a8+a9=45故选B．【点评】本题考查等差数列的性质．4．（5分）在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，则等于（）A．或B．3或﹣2 C．D．【分析】由题意a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，从而得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，又由====，能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a5•a13=6，a4+a14=5，∴a4•a14=6，∴a4，a14是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，解方程x2﹣5x+6=0，得a4=2，a14=3或a4=3，a14=2，∴====，∴当a4=2，a14=3时，=，当a4=3，a14=2时，=．故选：A．【点评】本题考查等比数列中两项比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．5．（5分）在等比数列{a n}中，若有a n+a n+1=3•（）n，则a5=（）A．B．C．D．【分析】由数列递推式结合数列是等比数列列式求得首项和公比，代入等比数列的通项公式求得a5．【解答】解：∵数列{a n}是等比数列，且a n+a n+1=3•（）n，∴，，∴，解得．∴．故选：C．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．6．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．7．（5分）已知△ABC中，=，则B=（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理化简已知，整理可得：c2+a2﹣b2=ac，利用余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0，π），即可得解B的值．【解答】解：∵=，∴由正弦定理可得：=，整理可得：c2+a2﹣b2=ac，∴cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．故选：C．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且A=60°，c=5，a=7，则△ABC的面积等于（）A．B．C．10D．10【分析】利用余弦定理a2=b2+c2﹣2accosA可求得b，即可求得△ABC的面积．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，c=5，a=7，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即49=b2+25﹣2×5b×，解得b=8或b=﹣3（舍）．∴S△ABC=bcsinA=×8×5×=10．故选C．【点评】本题考查余弦定理与正弦定理的应用，求得b是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．9．（5分）△ABC中，B=45°，b=x，a=2，若△ABC有两解，则x的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，2）C．（2，2）D．（，2）【分析】根据题意，在△ABC中结合正弦定理可得x=，又△ABC有两解，可得sinA的范围，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，B=45°，b=x，a=2，则x==，又△ABC有两解，则A＞45°，即＜sinA＜1，故＜x＜2，即x的取值范围为（，2）；故选：D．【点评】本题考查正弦定理的应用，要求判断三角形存在个数的条件，注意运用数形结合思想，作出三角形的图形进行分析．10．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣2014，其前n项和为S n若﹣=2002，则S2016的值等于（）A．2013 B．﹣2014 C．2016 D．﹣2015【分析】由等差数列的前n项和公式可得：S n=na1+，可得：=a1+，利用﹣=2002，可得d，即可得出答案．【解答】解：由等差数列的前n项和公式可得：S n=na1+，∴=a1+，∴﹣=﹣=2002，解得d=2．则S2016=2016×（﹣2014）+×2=2016，故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）在△ABC中，tanA=，cosB=，则tanC=（）A．﹣1 B．1 C．D．2【分析】先通过cosB，求得sinB，进而可求得tanB，进而根据tanC=﹣tan（A+B），利用正切的两角和公式求得答案．【解答】解：sinB==，tanB==tanC=tan（180°﹣A﹣B）=﹣tan（A+B）=﹣=﹣1故选A【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用．当进行三角关系变换的时候，要特别注意函数值的正负．12．（5分）如图，平面上有四个点A、B、P、Q，其中A、B为定点，且AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1，又△APB和△PQB的面积分别为S和T，则S2+T2的最大值为（）A．B．1 C．D．【分析】利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值即可．【解答】解：在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PA•AB•cosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQ•QB•cosQ=2﹣2cosQ，∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1根据题意得：S=PA•AB•sinA=sinA，T=PQ•QB•sinQ=sinQ，∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣（cosA﹣）2+，当cosA=时，S2+T2有最大值，故选D．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．二、填空题（每小题5分，共20分．）13．（5分）△ABC中，若角A，B，C成等差数列，则= ．【分析】由已知利用等差数列的性质可求B的值，利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可化简求值得解．【解答】解：∵角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，∵由正弦定理可得：，∴====．故答案为：．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．14．（5分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3．【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解．【解答】解：∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，∵sinB=，cosB=，∴可得=1﹣，解得：ac=13，∵由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB=ac=a2+c2﹣ac×，解得：a2+c2=37．∴（a+c）2=a2+c2+2ac=37+2×13=63，故解得a+c=3．故答案为：3．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题．15．（5分）数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2S n（n∈N*），则a n= ．【分析】利用a n与S n的关系，求数列的通项公式即可．【解答】解：当n≥1时，a n+1=2S n，a n+2=2S n+1，所以两式相减得，a n+2﹣a n+1=2S n+1﹣2S n=2a n+1，所以a n+2=3a n+1，所以从第3项起数列{a n}是以a2为首项，以3为公比的等比数列，所以a2=2S1=2，所以，因为a1=1不满足a n，所以．故答案为：．【点评】本题主要考查数列通项公式的求法，利用a n与S n的关系是解决本题的关键．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n=1，则{a n}的前100项和为5050 ．【分析】利用数列的递推关系式，求出相邻两项的和与差，推出奇数项与偶数项的数列关系，然后求解数列的和．【解答】解：由题设知a2﹣a1=1，①a3+a2=3 ②a4﹣a3=5 ③a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，a8﹣a7=13，a9+a8=15，a10﹣a9=17，a11+a10=19，a12﹣a11=21，…∴②﹣①得a1+a3=2，③+②得a4+a2=8，同理可得a5+a7=2，a6+a8=24，a9+a11=2，a10+a12=40，…，∴a1+a3，a5+a7，a9+a11，…，是各项均为2的常数列，a2+a4，a6+a8，a10+a12，…是首项为8，公差为16的等差数列，∴{a n}的前100项和为：25×2+25××25×24×16=5050．故答案为：5050．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力．三、解答题（共70分．17题10分，18--22题各12分）17．在△ABC中，A=60°，b=1，S△ABC=，求△ABC的外接圆半径r．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a，根据正弦定理即可解得外接圆半径r的值．【解答】解：∵A=60°，b=1，S△ABC=sin60°=，∴解得c=4，∴a===，∴2r==，∴△ABC的外接圆半径r=．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用．考查了学生对基础知识的综合运用．19．求数列{}的前n项和T n．【分析】利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：数列{}的前n项和T n=+5×+…+（3n﹣1）×，=+5×+…+（3n﹣4）×+（3n﹣1）×，∴T n=1+3…+﹣（3n﹣1）×=3×﹣﹣（3n﹣1）×，∴T n=5﹣．【点评】本题考查了“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．【分析】（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．21．已知等比数列{a n}满足a2+a3=，a1a4=，公比q＜1．（1）求数列{a n}的通项公式与前n项和；（2）设b n=，数列{b n b n+2}的前n项和为T n，若对于任意的正整数，都有T n＜m2﹣m+成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由等比数列的性质，a2a3=a1a4=，a2+a3=，根据公比q＜1，数列{a n}单调递减，分别求得a1和q，求得等比数列的通项公式；（2）由（1）可知求得数列{b n b n+2}的通项公式，利用“裂项法“即可求得数列{b n b n+2}的前n项和为T n的最大值，将T n＜m2﹣m+转化成≤m2﹣m+，即可求得m的取值范围．【解答】解：（1）由题设知，a2a3=a1a4=，∵a2+a3=，q＜1，解得：a2=1，a3=，q==，∴a1=3，故a n=3×（）n﹣1=32﹣n，∴数列{a n}前n项和S n==﹣．（6分）（2）∵b n===，∴b n b n+2==（﹣），∴T n=b1b3+b2b4+b3b5+…+b n b n+2，=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）]，=（1+﹣﹣）＜故要使T n＜m2﹣m+恒成立，只需≤m2﹣m+，解得m≤0或m≥1．（12分）【点评】本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查等比数列的通项公式的运用，考查“裂项法“求数列前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．22．已知各项均为正数的数列{a n}满足：a1=3，=（n∈N*），设b n=，S n=b12+b22+…+b n2．（1）求数列{a n}通项公式；（2）求证：S n；（3）若数列{c n}满足c n=3n+（﹣1）n﹣1•2n•λ（λ为非零常数），确定λ的取值范围，使n∈N*时，都有c n+1＞c n．【分析】（1）由=（n∈N*），变形=8（n+1），再利用“累加求和”方法与等差数列的求和公式即可得出．（2）b n=，=＜=，利用“裂项求和”方法与数列的单调性即可得出．（3）使n∈N*时，都有c n+1＞c n．可得3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•2n•λ，即（﹣1）n•λ＞，对n∈N*恒成立．对n分类讨论即可得出．【解答】（1）解：∵=（n∈N*），∴=8（n+1），∴=++…++=8[n+（n﹣1）+…+2]+9=+1=4n2+4n+1=（2n+1）2．a n＞0，∴a n=2n+1．（2）证明：b n=，=＜=，S n=b12+b22+…+b n2．∴S n＜[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）＜．（3）解：∵使n∈N*时，都有c n+1＞c n．∴3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1＞3n+（﹣1）n﹣1•2n•λ，即（﹣1）n•λ＞，对n∈N*恒成立．当n为偶数时，λ＞，对n∈N*恒成立，∴．当n为奇数时，λ＜对n∈N*恒成立，∴λ＜1．又已知λ≠0，∴＜λ＜1，且λ≠0．∴λ的求值范围是{λ|，且λ≠0}．【点评】本题考查了“累加求和”方法、等差数列的定义通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．。