新课标高考数学立体几何分类汇编(文科)

2011-2016 新课标立体几何分类汇编（文科）

一、选填题

【2011新课标】 8. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，的侧视图可以为（

解析】由正视图和俯视图可以判断此几何体前部分是一个的三棱锥，后面是一个圆锥，选

D. 2011新课标】 16. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同

一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的 3 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体

积较大者的

【解析】由圆锥底面面积是这个球面

面积的

，大圆锥的高为 3R

，所以比值为 2

3 ，得 r 2 3 所以 r 3

，则小圆锥的高为

16 4 R 2

16 R 2

7．如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某则此几何体的体积为（ 9 C ．12 D ．【2012 新课标】几何体的三视图， A ．6 B ．【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥， 1

边上高为 3，棱锥的高为 3，故其体积为 1

6 3 3 =9，故选 B. 3 ） 18 其底面为一边长为 1

【2012新课标】 8．平面 α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α的距离为 2 ，则此球的体积为（） A ． 6 π B ．4 3 π C ．4 6 π D ．6 3π 解析】设求圆 O 的半径为

R ，则 R

（

2）2

3， V

R 3

4 3 .选 B

【2013 新课标 1】11. 某几何体的三视图如图所示，则

该几何体的体积为（）．

A ．16＋8π

B ．8＋8π

C ．16＋16π

D ．8＋16π 【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个

组合体． V

半圆柱＝

π×22×4＝8π，V 长方体＝ 4×2×2＝ 16.所以所求体积为 2

故选 A.

则相6

，

2013 新课标 2】15. 已知正四棱锥 O －ABCD 的体积

为 3 2

，底面边长为 3，则以 O 为球心， OA 为半径的球的表面积为 ______ ．

【解析】如图所示，在正四棱锥 O － ABCD 中，

1 2 3 2

V O －

ABCD ＝ ×S 正方形

ABCD ·|OO 1|＝ ×( 3) ×|OO 1 |＝，

3 3 2 【201

4 新课标 1】8.如图，网格纸的各小格都是正方形，

粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是( ) A. 三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱

【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱

2013 新课标 1】15. 已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点， AH ∶HB ＝ 1∶ 2，AB ⊥ 平面 α，H 为垂

2013新课标 2】9. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O －xyz 中的坐标分别是 (1,0,1)，(1,1,0)，

(0,1,1)，(0,0,0) ，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以

足， α截球 O 所得截面的面积为 π，则球 O 的表面积为 ______________________________________________ 【解析】如图，设球 O 的半径为 R ， 2R R 则 AH ＝，OH ＝ . 又∵πE ·H 2

＝π， ∴EH ＝ 1. ∵在 Rt △OEH 中 R 2＝ R

+12

， 3

∴R 2＝ 9

. ∴S 球＝

4πR 2

＝

9π

则它在平面 zOx 的投影即正视图为，故选 A.

解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系 O － xyz 的图像为下图：

6，

3 2 6

∴|OO 1|＝，|AO 1|＝，在 Rt △ OO 1A 中，

长为 3 ，D 为 BC 中点，则三棱锥 A B 1DC 1 的体积为（ C ）

A ）3 （

B ） 32

C ）1 （

D ） 23 【2015 新课标 1 】11. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 16+20π，则 r= （ B ）（A ）1 （B ） 2 （C ） 4 （D ） 8 【2015新课标 1】6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题 : “今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问 :积及为米几何 ?”其意思为: “在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少 ?”已知 1 斛米的体积约为 1.62立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ B ） A.14 斛 B.22 斛 C.36斛 D.66 斛【2015 新课标 2 】6. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. B.

C. 1

D. 1

解析】如图所示，选 D. 【2015新课标 2】10. 已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB 90 ,C 为该球面上动

点，

若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为（） A. 36 π B. 64 π C. 144 π D.256 π 【解析】因为 A,B 都在球面上，又 AOB 90 ,C 为该球面上动点，所以三棱锥的体积

的最大 1 1 1

值为 R 2

R 3

36，所以 R=6，所以球的表面积为 S=4πR 2

144π，故选

3 2 6

【2014 新课标 2】6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1（表示 1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3cm ，高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到，则切削积与原来毛坯体积的比值为（ C ）

B) 59

C ） 10 27

(D)

2014 新课标 2】7. 正三棱柱 ABC A 1

B 1

C 1的底面边长为 2，侧棱

【2016新课标 1】7. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是

8π

，则它的表面积是（ A ）

（A ）17π （ B ）18π （ C ） 20π （ D ）28π

【2016 新课标 1】11. 平面过正文体 ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点 A ，

//平面 CB 1D 1 ，平面 ABCD=m ，平面 ABB 1A 1=n ，则 m ， n 所成角的正弦值为（ A ）（A ） 3

（B ） 2

（C ） 3

（D ） 1

2 3 3 【2016新课标 2】7. 右图是由圆柱与圆锥组

合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A ．20

B ．24

C ． 28

D ．32

【解析】因为正方体的体积为 8，所以正方体的体对角线长为 2

3 ，所以正方体的外接球的半径为 3 ，所以球面的表面积为

4 （ 3） 2

12 ，故选 A.

2016 新课标 2】4．体积为 8的正方体的顶点都在同一球面上，则该

球的表面积为 32 B ． 3 【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为【2016 新课标 3】（ 10）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，视图，则该多面体的表面积为（ B ）（A ）18 36 5 （B ） 54 18 5 （C ） 90 （D ）81

A ． 12 C ． 8 S 28 ，粗实现画出的是某多面体的三故选 C. 【2016 新课标 3】（11）在封闭的直三棱一个体积为 V 的球 .若 A

B ⊥B

C ，AB=6，的最大值是（ B ） 9π 32 π

A ） 4π（

B ） 9

π（C ） 6π（D ）

二、解答题

【2011新课标】 18．如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠ DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面 ABCD. （Ⅰ ）证明： PA ⊥BD ；

（Ⅱ）若 PD=AD=1，求棱锥 D-PBC 的高. 【解析】

（Ⅰ）因为∠DAB=60o ，AB=2AD ，由余弦定理得

，从而 BD 2+AD 2= AB 2，故 BD ⊥AD ，

又 PD ⊥底面 ABCD ，可得 BD ⊥PD ，所以 BD ⊥平面 PAD. 故 PA ⊥BD.

（Ⅱ）过D 作DE ⊥PB 于E ，由（ I ）知BC ⊥BD ，又PD ⊥底面ABCD ，所以 BC ⊥平面PBD ，而 DE 平面 PBD ，故 DE ⊥BC,所以 DE ⊥平面 PBC ，由题设知 PD=1，则 BD= 3, PB=2，由 DE ·PB=PD ·BD 得 DE= 3

，即棱锥 D-PBC 的高为 3

【2012新课标】 19．如图，三棱柱 ABC － A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面， ∠ACB=90°， AC BC 1 AA 1 ，D 是棱 AA 1的中点.

（Ⅰ ）证明：平面 BDC 1⊥平面 BDC ；

（Ⅱ ）平面 BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比 . 【解析】（Ⅰ ）由题设知 BC ⊥CC 1，BC ⊥ AC ，

CC 1∩AC=C,∴BC ⊥面 ACC 1A 1，又∵DC 1 面 ACC 1A 1， ∴DC 1⊥BC ，由题设知 ∠A 1DC 1=∠ADC =45o ， ∴∠ CDC 1=90o,即 DC 1⊥DC ，又 ∵DC ∩BC=C, ∴DC 1⊥面 BDC ，∵DC 1 面 BDC 1，∴面 BDC ⊥面 BDC 1 .

1 1

2 1 （Ⅱ ）设棱锥 B-DACC 1的体积为 V 1， AC =1，由题意得， V 1 1 1 2

1 1 1

，由三棱柱 1

3 2

ABC-A 1B 1C 1的体积 V 1，∴ （V V 1） : V 1 1:1 ，∴平面 BDC 1分此棱柱为两部分体积之比

为 1:1.

【2013 新课标 1】19. 如图，三棱柱 ABC － A 1B 1C 1中， CA ＝ CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°. （1）证明： AB ⊥ A 1C ；

（2）若 AB ＝CB ＝2，A 1C ＝ 6 ，求三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 的体积．【解析】

（1）取 AB 的中点 O ，连结 OC ， OA 1， A 1B. 因为 CA ＝ CB ，所以 OC ⊥AB.由于 AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△ AA 1B 为等边三角形，所以 OA 1⊥AB. 因为 OC ∩OA 1＝ O ，所以 AB ⊥平面 OA 1C. 又 A 1C? 平面 OA 1C ，故 AB ⊥ A 1 C.

C 1

（2）由题设知△ABC与△AA1B 都是边长为 2的等边三角形，

所以 OC＝OA1＝3. 又 A1C＝6 ，则 A1C2＝OC2＋OA12，故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB＝O，所以 OA1⊥平面 ABC，OA1为三棱柱 ABC－A1B1C1 的高．

又△ ABC 的面积S△ABC ＝3，故三棱柱 ABC－ A1B1C1的体积 V＝S △ABC ×OA1＝ 3.

【2013 新课标 2】18. 如图，直三棱柱 ABC －A 1B1C1中，D，E分

别是 AB ，BB 1的中点．

【解析】

（1）连结 AC 1交A1C于点 F，则 F为 AC 1中点．又 D 是 AB

中点，连结 DF，则 BC1∥ DF.

因为 DF? 平面 A1CD，BC1 平面 A1CD，所以 BC1∥平面 A1CD.

(2)因为 ABC － A 1B1C1是直三棱柱，所以 AA 1⊥ CD. 由已知 AC

＝CB，D为 AB 的中点，所以 CD⊥AB.

又 AA 1 ∩ AB＝ A ，于是 CD⊥平面 ABB 1A1.

由 AA1＝AC＝CB＝2，AB 2 2 得∠ACB ＝90°，CD 2 ，

D 6 ，D

E 3 ，A1E＝3，

故 A1D2＋DE2＝A1E2，即 DE⊥A1D.

所以 VC －A1DE＝ 6 3 2 ＝1.

13 2

【2014新课标1】19. 如图，且AO 平面BB1C1C .

（I ）证明：B1C AB;

（II ）若AC AB1, CBB1

ABC A1B1C1的高 .

【解析】

（I）连结BC1，则 O为

BC1与B1C的交点，因为

侧面BB1C1C 为菱形，所以B1C BC1 ，又AO 平面BB1C1C ，故B1C AO B1C 平面

ABO ，由于AB 平面ABO，故B1C AB （II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为 H, 由于 BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD, 所以OH ⊥BC.

又OH⊥AD,所以 OH ⊥平面ABC. 因为CBB1 60 ,,B所C以

△1 CBB1为等边三角形 ,又BC=1, 可得

3 1 1

OD= ，由于AC AB1 ，所以OA B1C ，

由 OH·AD=O·D OA,且 AD OD 2

OA 2 7

，得 OH= 21

4 14

又O 为B1C 的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为 21

,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为

的中点。

（Ⅰ ）证明： PB //平面 AEC ;

Ⅱ）设置 AP 1，AD 3，三棱锥 P ABD 的体积 V

求 A 到平面 PBD 的距离。【解析】

（Ⅰ）设BD 与AC 的交点为 O ，连接 EO 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点，又因为 E 为 PD 的中点，所以 EO//PB

EO 平面 AEC ， PB 平面 AEC ，所以 PB// 平面 AEC

1 1 3

（Ⅱ）V S ABD PA PA AB AD AB

3 6 6

由题设知 V

3 ，可得

由题设知 BC 平面PAB ，所以 BC AH ，故 AH 平面PBC ，又 AH

PA AB 3 13

所以 A

到平面 PBC

的距离为

3 13

PB 13 13

【2015 新课标 1】18. 如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE ⊥ 平面 ABCD. （Ⅰ ）证明：平面 AEC ⊥平面 BED ；（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE ⊥EC ，三棱锥—ACD 的体积

为 6

，求该三棱锥的侧面积

【解析】

21 7

2014新课标 2】如图，四凌锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，做 AH PB 交 PB 于 H PA 面 ABCD ， E 为 3

【2015 新课标 2】19. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1 中

AB=16,BC=10, AA1 8,点 E,F分别在A1B1,D1C1 上, A1E

D1F 4.过点 E,F 的平面与此长方体的面相交交线围成

一个正方形 .

（I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理

由）；（II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的

比值 . 【解析】（I）在 AB上取点 M,在DC上取点 N，使得 AM=DN=10, 然后连接EM,MN,NF,即组成正方形 EMNF ，即平面α。

（II ）两部分几何体都是高为 10 的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比，

4 10 7

1S AMEA1

即

V2 S EMBB

6 12 9

【2016 新课标 1】18. 如图，在已知正三棱锥 P-ABC的

侧面是直角三角形， PA=6，顶点 P 在平面 ABC内的正

投影为点 D， D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE

并延长交 AB 于点 G.

（I）证明 G是 AB的中点；（II ）在答题卡第（ 18）题

图中作出点 E在平面 PAC内的正投影 F（说明作法及理

由），并求四面体 PDEF 的体积．

【解析】

（I）因为P在平面ABC内的正投影为D ，所以AB PD. 因为D 在平面PAB内的正投影为E，所以AB DE. 所以AB 平面PED ，故AB PG.

又由已知可得，PA PB，从而G是AB的中点 .

（II ）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点

F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影 .

理由如下：由已知可得PB PA，PB PC，又EF / /PB,

所以EF PC ,因此EF 平面PAC ，即点F为E在平面PAC内

的正投影 . 连接CG ，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC 的中心.

由（ I）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD CG.

由题设可得PC 平面PAB ，DE 平面PAB ，所以DE//PC，因此PE PG,DE PC. 33 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA 6，可得DE 2,PE 2 2.

1 1 4

在等腰直角三角形EFP 中，可得EF PF 2. V 2 2 2 .

3 2 3

【2016新课标 2】19. 如图，菱形 ABCD的对角线 AC与

BD 交于点 O，点E ， F分别在 AD ，CD上， AE CF ，

EF交 BD于点 H，将△DEF沿 EF折到△DEF的位置．

（Ⅰ ）证明： AC HD ；（Ⅱ ）若 AB 5 ， AC 6 ，

D A

E 5，OD 2 2 ，

4 求五棱锥 D ABCFE 的

体积．

【试题分析】（I）先证C ，C D ，再证C 平面D ，即可证C D ；（II ）先证D ，进而可证D 平面CD ，再计算菱形CD和FD 的面积，进而可得五棱锥D' ABCEF的体积．

2016新课标 3】（19）如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，AD ∥BC ，AB=AD=AC=3 ，

PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM=2MD ，N 为 PC 的中点 .

（I ）证明 MN ∥平面 PAB;

（II ）求四面体 N-BCM 的体积 . 【解析】

（Ⅰ ）由已知得 AM AD 2，取 BP

的中点 T ，

3 连接 AT,TN ，由 N 为PC 中点知

TN // BC

TN BC 2. 又AD // BC ，故TN 平行且等于 AM ，

2 四边形 AMNT 为平行四边形，于是 MN // AT . 因为 AT 平面 PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN // 平面 PAB .

（Ⅱ）因为 PA 平面 ABCD ， N 为PC 的中点，

所以 N 到平面 ABCD 的距

离为 1

PA .

取 BC 的中点 E ，连结 AE .由 AB AC 3得 AE BC ， AE

AB 2

BE 2

5 .

由 AM ∥ BC 得 M 到 BC 的距离为 5 ，故 S BCM 1

4 5 2 5.

PA 4 5

所以四面体 N BCM 的体积 V N BCM 1

S BCM

PA 4 5

2 3