北京市石景山区九年级(上)期末数学试卷
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.如果2m=3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（）A. mn=32B. m2=3nC. mn=23D. m3=2n2.将抛物线y=x2向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（）A. y=x2+2B. y=x2−2C. y=(x−2)2D. y=(x+2)23.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=1，AB=2，则cos A的值为（）A. 12B. 22C. 32D. 524.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，若AB=6，OC=1，则⊙O的半径为（）A. 5B. 22C. 10D. 375.如图，将△ABO的三边扩大一倍得到△CED（顶点均在格点上），它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（）A. (0,3)B. (0,0)C. (0,2)D. (0,−3)6.在▱ABCD中，E是AD上一点，AC，BE交于点O，若AE：ED=1：2，OE=2，则OB的长为（）A. 4B. 5C. 6D. 77.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，对系数a和b判断正确的是（）A. a>0，b>0B. a<0，b<0C. a>0，b<0D. a<0，b>08.如图，等边三角形和正方形的边长均为a，点B，C，D，E在同一直线上，点C与点D重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿BE向右匀速运动．当点C与点E重合时停止运动．设△ABC的运动时间为t秒，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为S，则下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.如图，△ABC∽△A'B'C'，AH，A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高，若AB：A'B'=2：3，则AH：A'H'=______．10.请写出一个反比例函数的表达式，满足条件当x＞0时，y随x的增大而增大”，则此函数的表达式可以为______．11.如图，⊙O是正方形ABCD的外接圆，若E是BC上一点，则∠DEC=______°．12.如图，DE是△ABC的中位线，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为______．13.走进中国科技馆，同学们会在数学区发现截面为“莱洛三角形”的轮子．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则AB，BC，AC组成的封闭图形就是“莱洛三角形”．若AB=3，则此“莱洛三角形”的周长为______．14.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=2x（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为______．15.如图，某中学综合楼入口处有两级台阶，台阶高AD=BE=15cm，深DE=30cm，在台阶处加装一段斜坡作为无障碍通道，设台阶起点为A，斜坡的起点为C，若斜坡CB的坡度i=1：9，则AC的长为______cm．16.2下面有四个论断：①抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3）；②b2-4ac=0；③关于x的方程ax2+bx+c=-2的解为x1=1，x2=3；④m=-3．其中，正确的有______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.下面是小飞设计的“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．作法：如图，①连接OP，作线段OP的垂直平分线交OP于点A；②以点A为圆心，OA的长为半径作圆，交⊙O于B，C两点；③作直线PB，PC．所以直线PB，PC就是所求作的切线．根据小飞设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明（说明：括号里填写推理的依据）．证明：连接OB，OC，∵PO为⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=______（______）．∴PB⊥OB，PC⊥OC．∴PB，PC为⊙O的切线（______）．18.计算：3tan30°+sin45°-2sin60°．19.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，cos A=23，AB=4，过点C作CD∥AB，且CD=2，连接BD，求BD的长．20.如图，△ABC的高AD，BE交于点F．写出图中所有与△AFE相似的三角形，并选择一个进行证明．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴，y轴的交点分别为（1，0）和（0，-3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞-3时，x的取值范围．22.某数学小组在郊外水平空地上对无人机进行测高实验，以便与遥控器显示的高度数据进行对比．如图，在E处测得无人机C的仰角∠CAB=45°，在D处测得无人机C 的仰角∠CBA=30°，已知测角仪的高AE=BD=1m，E，D两处相距50m，请根据数据计算无人机C的高（结果精确到0.1m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象经过点A（4，3），与反比例函数y=kx（k≠0）图象的一个交点为B（2，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P在x轴上，且PB=AB，则点P的坐标是______．24.小明用篱笆围出一块周长为12m的矩形空地做生物试验，已知矩形的一边长为x（单位：m），面积为y（单位：m2）．（1）求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，矩形的面积最大？并求出此最大面积．25.如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线CD，D为切点，点F是AD的中点，连接OF并延长交CD于点E，连接BD，BF．（1）求证：BD∥OE；（2）若OE=310，tan C=34，求⊙O的半径．26.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k≠0）与抛物线y=ax2-4ax+3a的对称轴交于点A（m，-1），点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点．（1）求抛物线的对称轴及a的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记直线y=kx+b（k≠0）与抛物线围成的封闭区域（不含边界）为W．①当k=1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围．27.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=3，过点B作直线l∥AC，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，直线CA'，CB'分别交直线l于点D，E．（1）当点A'，D首次重合时，①请在图1中，补全旋转后的图形；②直接写出∠A'CB的度数；（2）如图2，若CD⊥AB，求线段DE的长；（3）求线段DE长度的最小值．义：连接PC交⊙C于点N，若点P关于点N的对称点Q在⊙C的内部，则称点P是⊙C的外应点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D（-1，-1），E（2，0），F（0，4）中，⊙O的外应点是______；②若点M（m，n）为⊙O的外应点，且线段MO交⊙O于点G(22，22)，求m的取值范围；（2）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1，直线y=-x+b过点A（1，1），与x轴交于点B．若线段AB上的所有点都是⊙T的外应点，直接写出t的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A．由，可得2m=3n，符合题意；B．由，可得mn=6，不符合题意；C．由，可得3m=2n，不符合题意；D．由，可得mn=6，不符合题意；故选：A．内项之积等于外项之积，依据比例的基本性质进行判断即可．本题主要考查了比例的基本性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．2.【答案】B【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（0，-2），所以平移后的抛物线为y=x2-2．故选：B．先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）变换后所得对应点的坐标为（0，-2），然后利用顶点式写出平移后的抛物线．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3.【答案】A【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，AB=2，则cosA==，故选：A．根据锐角三角的余弦函数等于邻边比斜边，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．4.【答案】C【解析】解：连接OB，∵OD⊥AB，∴CB=AB=3，在Rt△OCB中，OB==，故选：C．连接OB，根据垂径定理求出CB，根据勾股定理计算，求出OB．本题考查的是勾股定理，垂径定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．5.【答案】D【解析】解：如图所示：P（0，-3）点即为所求点．故选：D．根据位似图形的性质连接各对应点，进而得出其交点位置，进而得出答案．此题主要考查了位似图形的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AE：ED=1：2，∴AE：BC=1：3，∵AE∥BC，∴△AOE∽△COB，∴=，即=，∴OB=6，故选：C．先利用平行四边形的性质得到AD=BC，AD∥BC，则由AE：ED=1：2得到AE：BC=1：3，然后证明△AOE∽△COB，再利用相似比可计算出OB的长．本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的知识，解题的关键是证明△AOE∽△COB，此题难度不大．7.【答案】D【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+1可知图象经过点（0，1），∵二次函数y=ax2+bx+1的图象还经过点A，B，则函数图象如图所示，∴a＜0，-＞0，∴b＞0，故选：D．根据二次函数y=ax2+bx+1的图象经过点A，B，画出函数图象的草图，根据开口方向和对称轴即可判断．本题考查了二次函数的图象与性质、不等式的性质，利用数形结合是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：如图所示，设△ABC平移中与DG交于点H，当t≤a时，S=S△HCD=CD•HD=t•t•tan60°=t2，该函数为开口向上的抛物线；当t＞a时，S=S=S△ABC-S△BDH四边形ACDH=-（a-t）（a-t）tan60°═-（a-t）2，该函数为开口向下的抛物线；故选：C．分t≤a、t＞a两种情况，分别列出S与t的函数关系即可求解．本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．9.【答案】2：3【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，∴相似比=AB：A'B'=2：3，又∵AH，A'H'分别为△ABC和△A'B'C'对应边上的高，∴AH：A'H'=2：3，故答案为：2：3．相似三角形的对应线段的比等于相似比，依据相似三角形的性质进行判断即可．本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比．10.【答案】y=−1x【解析】解：∵当x＞0时，y随x的增大而增大，∴此函数的解析式可以为y=，故答案为：y=．根据题意和反比例函数的性质可以写出一个符合要求的函数解析式，本题得以解决．本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，注意本题答案不唯一．11.【答案】45【解析】解：连接OD、OC，如图，∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，∴∠COD=90°，∴∠COD=90°，∴∠CED=∠COD=45°．故答案为45．连接OD、OC，如图，根据正方形的性质得到∠COD=90°，然后根据圆周角定理得到∠CED的度数．本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．12.【答案】3【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=（）2=，又∵△ADE的面积是1，∴△ABC的面积为4，∴四边形DBCE的面积=4-1=3．故答案为：3．由DE是△ABC的中位线得到DE∥BC，接着得到△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质可以求解．此题主要考查了三角形的中位线定理和相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键．13.【答案】3π【解析】解：连接OB、OC，作OD⊥BC于D，∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°，∴的长为：=π，∴“莱洛三角形”的周长=π×3=3π．故答案为3π．连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据正三角形的性质求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．本题考查的是正多边形和圆的知识，理解“莱洛三角形”的概念、掌握弧长公式是解题的关键．14.【答案】2【解析】解：∵函数y=（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC=S△OBD=×2=1，∴S△OAC+S△OBD=1+1=2．故答案为2．根据反比例函数比例系数k的几何意义可得S△OAC=S△OBD=×2=1，再相加即可．本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上的点向x 轴或y轴作垂线，这一点和垂足、原点组成的三角形的面积等于|k|．15.【答案】240【解析】解：过B作BF⊥AC，由题可知BF=30cm，AF=30cm．∵tan∠BCA==，∴CF=270cm，∴AC=CF-AF=270-30=240（cm）．故答案为：240．过B作BF⊥AC，根据已知条件和tan∠BCA=，求出CF的长，再根据AC=CF-AF，即可得出答案．本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力（即将实际问题转化为数学问题）．16.【答案】①③【解析】解：①∵当x=1时，y=-2；当x=3时，y=-2，∴抛物线的对称轴为直线x==2，∴抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论①正确；②∵抛物线上最低点为（2，-3），∴抛物线开口向上，又∵-3＜0，∴抛物线与x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，结论②错误；③∵当x=1时，y=-2；当x=3时，y=-2，∴抛物线与直线y=-2交于点（1，-2）和（3，-2），∴关于x的方程ax2+bx+c=-2的解为x1=1，x2=3，结论③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x=2，∴当x=4时y值与当x=0时的y值相等，∴m=1，结论④错误．故答案为：①③．①由当x=1，x=3时y值相等，可得出抛物线的对称轴为直线x=2，进而可得出抛物线的顶点为（2，-3），结论①正确；②由抛物线的最低点的纵坐标小于0，可得出抛物线与x轴有两个交点，即b2-4ac＞0，结论②错误；③由当x=1，x=3时y=-2，可得出关于x的方程ax2+bx+c=-2的解为x1=1，x2=3，结论③正确；④利用抛物线的对称性，可得出m=1，结论④错误．综上，此题得解．本题考查了二次函数的性质，利用二次函数的性质逐一分析四条结论的正误是解题的关键．17.【答案】90°直径所对的圆周角是直角经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线【解析】解：（1）图形如图所示．（2）理由：连接OB，OC，∵PO为⊙A的直径，∴∠PBO=∠PCO=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴PB⊥OB，PC⊥OC．∴PB，PC为⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）．故答案为：90°，直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线．（1）根据要求画出图形即可解决问题；（2）根据直径所对的圆周角是直角解决问题即可；本题考查线段的垂直平分线的判定，圆周角定理，切线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．18.【答案】解：原式=3×33+22−2×32=3+22−3=22．【解析】根据特殊角的三角函数值进行计算解答即可．此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函数值．19.【答案】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，cosA=23，∴ABAC=23，∵AB=4，∴AC=6，∴CB=AC2−AB2=25，∵DC∥AB，∴∠DCB=∠ABC=90°，∵CD=2，∴BD=CD2+BC2=22+(25)2=26．【解析】在Rt△ABC中，求出BC，再在Rt△利用勾股定理求出BD即可．本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：与△AFE相似的三角形有：△BFD，△ACD，△BCE．选择求证：△ACD∽△AFE．证明：∵△ABC的高AD，BE交于点F，∴∠ADC=∠AEF=90°．∵∠CAD=∠FAE，∴△ACD∽△AFE．【解析】根据已知条件得到∠AEF=∠BDF=90°，∠AFE=∠BFD，推出△AFE∽△BFD；同理△AFE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到∠AFE=∠C，又∠AEF=∠BEC=90°，于是得到△AFE∽△BCE．此题考查了相似三角形的判定，三角形的高的定义．掌握有两角对应的两个三角形相似是解题的关键．21.【答案】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，-3），∴1+b+c=0c=−3，解得：b=2c=−3．∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3．（2）当y＞-3时，x的取值范围是x＜-2或x＞0．【解析】（1）把（1，0）和（0，-3）代入y=x2+bx+c得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到抛物线解析式；（2）利用抛物线的对称性得到点（0，-3）关于直线x=-1的对称点的坐标为（-2，-3），然后利用函数图象写出函数值大于-3对应的自变量的范围即可．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．22.【答案】解：如图，过点C作点CH⊥AB于H．∵∠CAB=45°，∴AH=CH，设CH=x，则AH=x，∵∠CBA=30°，∴BH=3CH=3x，由题意知：AB=ED=50，∴x+3x=50，解得：x=502.73≈18.3．18.3+1=19.3，答：计算得到的无人机的高约为19.3m．【解析】如图，过点C作点CH⊥AB于H．设AH=CH=x，根据AB=50，构建方程即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】（1，0）或（3，0）【解析】解：（1）∵直线y=x+b过点A（4，3），∴3=×4+b，∴b=1．将B（2，n）代入直线y=x+1，得n=1+1=2，∴B（2，2）．∵反比例函数的图象过点B（2，2），∴k=2×2=4，∴反比例函数的表达式为．（2）设点P的坐标为（x，0），则由PB=AB，可得=，解得x=1或x=3，∴点P的坐标是（1，0），（3，0）．故答案为：（1，0），（3，0）．（1）依据直线y=x+b过点A（4，3），即可得到b的值，依据反比例函数的图象过点B（2，2），即可得到k的值；（2）设点P的坐标为（x，0），依据PB=AB，利用两点间距离公式可得方程，即可得到点P的坐标．本题主要考查了一次函数与反比例函数交点问题，利用待定系数法求得函数解析式是关键．24.【答案】解：（1）由题意得：y=x（6-x）=-x2+6x，∵x>06−x>0，∴自变量的取值范围为：0＜x＜6；（2）变形得：y=-（x-3）2+9，∴当x=3时，函数y有最大值．又∵0＜x＜6，∴当x=3时，函数y的最大值为9，答：当x为3m时，矩形的面积最大，此最大面积为9m2．【解析】（1）利用矩形的面积求法得出y与x之间的函数关系式；（2）利用配方法得出二次函数的最值即可．此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．25.【答案】（1）证明：∵OB=OF，∴∠1=∠3，∵点F是AD的中点，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3，∴BD∥OE；（2）解：连接OD，如图，∵直线CD是⊙O的切线，∴OD⊥CD，在Rt△OCD中，∵tan C=ODCD=34，∴设OD=3k，CD=4k．∴OC=5k，BO=3k，∴BC=2k．∵BD∥OE，∴BCBO=CDDE．即2k3k=4kDE．∴DE=6k，在Rt△ODE中，∵OE2=OD2+DE2，∴（310）2=（3k）2+（6k）2，解得k=2∴OB=32，即⊙O的半径的长32．【解析】（1）通过证明∠2=∠3得到BD∥OE；（2）连接OD，如图，利用切线性质得OD⊥CD，利用正切定义得到tanC==，则可设OD=3k，CD=4k．所以OC=5k，BC=2k．再利用平行线分线段成比例定理得到DE=6k，然后在Rt△ODE中利用勾股定理得到（3）2=（3k）2+（6k）2，从而求出k得到⊙O的半径的长．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了解直角三角形．26.【答案】解：（1）变形得：y=a（x2-4x）+3a=a（x-2）2-a，∴对称轴为x=2，∴点A的坐标为（2，-1）可得抛物线顶点为（2，1），把点A坐标代入抛物线可得：a=-1．（2）①当k=1时，y=x+b，把A（2，-1）代入得-1=2+b，解得：b=-3，∴y=x-3，如图1，区域W内的整点个数为2个，分别为（2，0）与（1，-1）．②如图2，i．若k＞0，当直线过（1，-2），（2，-1）时，b=-3．当直线过（0，-4），（2，-1）时，b=-4．∴-4≤b＜-3，ii．若k＜0，由对称性可得：1＜b≤2．∴b的取值范围是：-4≤b＜-3或1＜b≤2．【解析】（1）配方求出抛物线的对称轴，进而确定点A坐标，代入点A的对称点坐标即可求出a的值；（2）①当k=1时代入点A坐标即可求出直线解析式，进而分析出整点个数；②当k＞0时分别以（1，-2），（2，-1）；（0，-4），（2，-1）为边界点代入确定解析式，进而根据对称性分析当k小于0的情况即可．此题主要考查二次函数与一次函数综合问题，会运用待定系数法求解析式，会运用边界点分析问题是解题的关键27.【答案】解：（1）①补全图形如图所示：②∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C=2，∵cos∠A'CB=BCA′C=32∴∠A'CB的度数为 30°；（2）∵CD⊥AB，A'C⊥B'C∴CE∥AB，且BE∥CA，∴四边形ABEC是平行四边形．∴BE=AC=2，∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°．∴∠A=∠BCD∵AC∥BE∴∠CBD+∠ACB=180°∴∠CBD=90°∵tan∠BCD=tan∠A=32=BDBC∴BD=32∴DE=BE+BD=2+32=72（3）如图，取DE中点F，连接CF，∵点F是Rt△CDE斜边DE的中点，∴CF=12DE，即CF的值最小时，DE有最小值，∴当点F与点B重合时，CF的值最小，∴DE的最小值为23．【解析】解：（1）①根据题意补全图形；②由旋转的性质可得AC=A'C=2，根据锐角三角函数可求∠A'CB的度数；（2）由题意可证四边形ABEC是平行四边形，可得BE=AC=2，根据同角的余角相等可得∠A=∠BCD，根据锐角三角函数可求BD的长，即可求DE的长；（3）取DE中点F，连接CF，根据直角三角形的性质可得CF=DE，即CF的值最小时，DE有最小值，则当点F与点B重合时，CF的值最小，可得DE的最小值为2．本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，平行四边形的判定和性质，锐角三角函数等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．28.【答案】D，E【解析】解：（1）①如图1中，根据点P是⊙O的外应点定义，观察图象可知，⊙O的外应点是D，E．故答案为D，E．②作射线GO，交⊙O于点H（，），作点H关于点G的对称点H'（，），∵点M为⊙O的外应点，∴点M在线段GH'上（不与G，H'重合）．∴＜m＜．（2）由题意A（1，1），∵直线y=-x+b过点A（1，1），∴b=2，可得B（2，0）如图3中，当半径为3的⊙T经过点B时，T（-1，0）如图4中，当半径为1的⊙T与AB相切于F时，易知TF=FB=1，TB=，∴OT=2-，∴T（2-，0）观察图象可知：当-1＜t＜2-时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点如图5中，当半径为1的⊙T经过点B时，T（3，0）如图6中，当半径为3的⊙T经过点A时，易知T（1+2，0）观察图象可知：当3＜t＜1+2时，线段AB上的所有点都是⊙T的外应点综上所述，满足条件的t的值为：或．（1）①根据⊙O的外应点的定义，画出图形即可判断；②作射线GO，交⊙O于点H（，），作点H关于点G的对称点H'（，），由点M为⊙O的外应点，推出点M在线段GH'上（不与G，H'重合），由此即可解决问题；（2）求出四种特殊位置t的值即可判断；本题属于圆综合题，考查了圆的有关知识，点与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
北京石景山区九年级数学上册第一学期期末试题及答案评分标准
（ 2）如图 2，在四边形 ABCD 中，若 AB CD ， E、 F 分别是 AD、 BC 的中点，联
结 FE 并延长，分别与 BA、 CD 的延长线交于点 M 、 N ，请在图 2 中画图并观察，图
中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：
；
（ 3）如图 3，在 △ ABC 中， AC AB ，点 D 在 AC 上， AB CD ， E、 F 分别是
∴ D A 180
ABC 180 70
∴ DFE DEF 180 110 70
5分
DC ， ABC
110 ,,,,,,,,,,
∵ BEF 110
∴ AEB DEF 180 110 70
∴ DFE AEB ,,,,,,,,,,,,, 2
分
∴△ DFE ∽△ AEB ,,,,,,,,,,,,,
3分
∴ DF ED
（ 1）已知直线 l ： y 3x ，将直线 l 沿 x 轴向
（填“左”或“右”）平移
个单位（用含 m 的代数式）后过点 A；
（ 2）设直线 l 平移后与 y 轴的交点为 B，若动点 Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧
的抛物线上是否存在点 P，使以 P、Q、A为顶点的三角形与△ OAB 相似，且相似比为 2？
请求出这个函数的解析式；
（ 3）请在直角坐标系内画出（ 2）中所得函数的图象；将此图象在 m 轴上方的部分沿 m
轴翻折，在 y 轴左侧的部分沿 y 轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，动
点 Q 在双曲线 y
取值范围 . 解：
4 被新图象截得的部分（含两端点）上运动，求点 m
y
Q 的横坐标的
O1
生的解法与本解法不同， 正确者可参照评分参考给分， 解答右端所注分数， 表示考生正确 做到这一步应得的累加分数．
(完整word版)初三数学石景山区初三上期末试题及答案
初三数学期末复习资料石景山区2011 — 2012学年第一学期期末考试试卷考生 须 知 1 •本试卷共6页•全卷共五道大题， 25道小题.2 .本试卷满分120分，考试时间120分钟.3 •在试卷密封线内准确填写区（县）名称、学校、姓名和准考证号.4 •考试结束后，将试卷和答题纸一并交回. 、选择题（本题共 8道小题，每小题 如图， 4分，共 BC = 3, 第I卷（共32分） 32分）AC=2，贝U tanB 的值是 在 Rt △ ABC 中，/ C = 90°,2 . C . 10B . 2 D . 52对于反比例函数 y，下列说法正确的是xA .图象经过点（2，-1）B .图象位于第二、四象限C .图象是中心对称图形D .当一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有 一面的数字大于 4的概率是1 A . 一 2x v 0时，y 随x 的增大而增大1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上在平面直角坐标系中, A . y = 2x 2 2 C .2 y = 2x 2的图象向上平移 2个单位,2 2 B . y =2x -2 C . y = 2(x 2) D .AB =6，AE=3，贝U CE 的长为 将二次函数 所得图象的解析式为 = 2(x-2)2 6 .C . 3D .7.如图，若 AD 是O O 的直径，AB 是O O 的弦，/B . 50°C . 40 A . 100 8 .如图，动点P 从点A 岀发，沿线段 AB 运动至点 AP 长为半径的圆的面积 S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致是 DAB =50 °，点 C 在圆上，则 / ACB 的度数是D . 20 ° B •点P 在运动过程中速度大小不变•则以点 A 为圆心，线段xA BCD第U 卷（共88分）二、填空题（本题共 4道小题，每小题 4分，共16分） 9 •如图，是河堤的横断面，堤高BC = 5米，迎水坡 AB 的坡比1:3 （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度AC 之比），贝U AC 的长是 ___________ 米. 10 .已知抛物线y =ax? +bx +c （ a >0）过 O （0，0）、A （ 2，0）、B （ _3， y 1）、C （4， y 2）四点，贝U y 1y 2 （填“ >”、“<”或“=”）.11•如图，有一边长为4的等边三角形纸片， 要从中剪岀三个面积相等的扇形，那么剪下的其中一个.扇形ADE （阴影部分）的面积为 ___________ ;若用剪下的一个扇形围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径 r 是 ______________ .三、解答题（本题共 8道小题，每小题 5分，共40 分）14.已知：函数y =mx 3m ，，4x-5是二次函数.（1 ）求m 的值；（2）写岀这个二次函数图象的对称轴： _________ ，顶点坐标： __________ ； （3 ）求图象与x 轴的交点坐标.15 .如图，在厶ABC 中，CD 、BE 分别是 AB 、AC 边上的高，/ EBC=45 °，BE=6，CD = 3. 6，求/ DCB 的度数.16. 如图，一次函数 y =X 3的图象与x 轴、y 轴分别交于点 A 、点B ,与反比例函数4y x 0的图象交于点 C ，CD 丄x 轴于点D ，求四边形 OBCD 的面积.12 .如图，O A 与x 轴交于 则PD 的最小值是B （2，0）、C （4，0）两点, OA=3，点P 是y 轴上的一个动点, PD 切O O 于点D ，.2 cos60 sin 45 tan 30AE 第13 •计算:xx17.如图，在Rt △ ABC中，.C =90，点O在BC上，CD为O O的直径, o O切AB于E ,若AAC =8, AB =17，求O O的半径.18 •袋中装有编号为1，2，3的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取岀一球记下编号后，放入袋中搅匀, 再从袋中随机取岀一球，记下编号•将两次编号作为数字求和.(1) 请用树状图或列表的方法表示可能岀现的所有结果;(2) 求两次所取球的编号之和是偶数的概率.19 •如图，河两岸a，b互相平行，C，D是河岸a上间隔40米的两根电线杆，某人在河岸b上的A处，测得/DAE=45 °，然后沿河岸走了• 2 1.4, .3 1.7).30米到达B处，测得/ CBE=60 °，求河的宽度(结果精确到 1 米,20.某超市按每袋20元的价格购进某种干果•销售过程中发现，每月销售量y (袋)与销售单价x (元)之间的关系可近似地看作一次函数：y = -10x 500 ( 20 ：： x :: 50).(1) 当x=45元时，y= __________ 袋；当y= 200袋时，x= __________ 元；(2)设这种干果每月获得的利润为少？w (元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多四、解答题(本题共3道小题，每小题21.如图，抛物线与x轴交于A(1 , 0),点C(0, 3).(1)求此抛物线的解析式；6分，共18分)B (-3, 0)两点，与y轴交于(2)在x轴上找一点D，使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形，求点D的坐标.22 •如图，在三角形ABC中，以AB为直径作O 0,交AC于点E, OD丄AC于D，/ A0D = / C .(1) 求证：BC为O 0的切线；2(2) 若AE =12,c osC ，求0D 的长.323.如图1,在厶ABC中，/ ACB=90 °，AC=3，BC=4，将△ ABC绕顶点C顺时针旋转30°，得到△ A B 'C .联结A A、B B，设△ ACA和厶BCB的面积分别为S^CA '和S^ BCB -•(1)直接写岀江ACA'：S BCB -的值______________________ ；(2)如图2,当旋转角为二(0°V VV 180°)时，S A ACA'与S BCB，的比值是否发生变化，若不变请证明；若改变，写岀变化后的比值(可用含二的代数式表示).五、解答题(本题共2道小题，每小题7分，共14分)224.已知函数y =mx -3x - 2 (m是常数).(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；m的值及这个交点的坐标.(2)若一次函数y =x • 1的图象与该函数的图象恰好只有一个交点，求25.如图，矩形A'BC'O'是矩形ABCO绕点B顺时针旋转得到的. 其中点O',C 在x轴负半轴上，线段0A在y轴正半轴上，B点的坐标为：；：一1,3 .2 1'⑴如果二次函数y二ax bx c 0的图象经过0、0两点且图象顶点M的纵坐标为-1.求这个二次函数的解析式；(2) 求边O'A'所在直线的解析式；(3) 在(1)中求岀的二次函数图象上是否存在点p,使得S P0'M = 3S C0'D,若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.石薰山区20H -2012学卑度第一学期期未考试试总初三数学参考答案刿性琐先hhfuu 阻 紐…赴u 竹用片鴉痔应収为说创・tm.世丨震 汁即叽 拎 y 朗甲也 "牟」梏」；叮卩曲；••分乡55、駢丹•績旨i #譲 I r ■! 正瞬枚到这 审向鶴胸lfi M 协数.'遠揮野tASiJt Niti d'ft*毎小客A 分*共坨井〉二、帼祥題 弘題从卅迅小世，杯小世J ；井，人抑分〕 ■+■ ^ 2 x 0^50* + M n 45* -I ［加 3US2H. #r,⑴ «>ii — .................................... ... ........ ... .... ... .. .... ................... —t 分⑵ A = -2 ； (-2,-9) ................................................................................................ 分 3 1 ilJ J 4.4 - 5 — 0 -叩上h I, ~ I. 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北京石景山2022-2023学年数学九年级第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80 C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=1002．已知:3:2x y=，则下列各式中正确的是（）A．52x yy+=B．13x yy-=C．23xy=D．1413xy+=+3．在70周年国庆阅兵式上有两辆阅兵车的车牌号如图所示（每辆阅兵车的车牌号含7位数字或字母），则“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为（）A．37B．314C．326D．1124．若△ABC∽△DEF，相似比为2：3，则对应面积的比为（）A．3：2 B．3：5 C．9：4 D．4：95．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（12，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c＞0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；其中所有正确的结论是（）A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④6．一名射击爱好者5次射击的中靶环数如下：6，7，1，8，1．这5个数据的中位数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．17．二次函数y ＝x 1+bx ﹣t 的对称轴为x ＝1．若关于x 的一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，则t 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤t ＜5B ．﹣4≤t ＜﹣3C ．t ≥﹣4D ．﹣3＜t ＜58．抛物线y ＝(x ﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )A ．(4，﹣5)，开口向上B ．(4，﹣5)，开口向下C ．(﹣4，﹣5)，开口向上D ．(﹣4，﹣5)，开口向下9．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和9个黄球，它们只有颜色不同，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计口袋中大约有红球（ ）A ．21个B ．14个C ．20个D ．30个10．已知关于x 的方程x 2+bx +a ＝0有一个根是﹣a （a ≠0），则a ﹣b 的值为（ ）A ．a ﹣b ＝1B ．a ﹣b ＝﹣1C ．a ﹣b ＝0D ．a ﹣b ＝±1二、填空题(每小题3分,共24分)11．抛物线2y x mx n =-++的对称轴过点()1,5A -，点A 与抛物线的顶点B 之间的距离为4，抛物线的表达式为______．12．如图示，半圆的直径40AB =，C ，D 是半圆上的三等分点，点E 是OA 的中点，则阴影部分面积等于______.13．如图，四边形ABCD 是⊙O 的外切四边形，且AB ＝10，CD ＝15，则四边形ABCD 的周长为_____．14．如图，把直角三角板的直角顶点O 放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M 、N ．量得8cm OM =，6cm ON =，则该圆玻璃镜的半径是__________cm ．15．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为_____m.16．圆锥侧面展开图的圆心角的度数为216︒，母线长为5，该圆锥的底面半径为________．17．已知扇形的圆心角为240︒，所对的弧长为8π，则此扇形的面积是________.18．已知点P 是线段AB 的一个黄金分割点，且6AB cm =，AP BP >，那么AP =__________cm ．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过C 点的直线互相垂直，垂足为D ，且AC 平分∠DAB ．（1）求证：DC 为⊙O 的切线；（2）若∠DAB ＝60°，⊙O 的半径为3，求线段CD 的长．20．（6分）如图，∠MON =60°，OF 平分∠MON ，点A 在射线OM 上， P ，Q 是射线ON 上的两动点，点P 在点Q 的左侧，且PQ=OA ，作线段OQ 的垂直平分线，分别交OM ，OF ，ON 于点D ，B ，C ，连接AB ，PB ．（1）依题意补全图形；（2）判断线段 AB ，PB 之间的数量关系，并证明；（3）连接AP ，设AP k OQ=，当P 和Q 两点都在射线ON 上移动时，k 是否存在最小值？若存在，请直接写出k 的最小值；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，抛物线243y x bx c =-++过点(30)A ，和(0)B ，2，点()0M m ，为线段OA 上一个动点(点M 与点A 不重合)，过点M 作垂直于x 轴的直线与直线AB 和抛物线分别交于点P N 、．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P 是MN 的中点，则求点P 的坐标；（3）若以点B N P 、、为顶点的三角形与AMP ∆相似，请直接写出点P 的坐标．22．（8分）如图，一次函数y ＝kx +b 的图象与反比例函数y ＝m x的图象交于A （﹣2，1），B （1，n ）两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出使一次函数的值＞反比例函数的值的x 的取值范围．23．（8分）如图，反比例函数y=k x(k≠0)的图象与正比例函数y=2x 的图象相交于A(1，a)，B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，∠ABC=90°．(1)求k 的值及点B 的坐标；(2)求AB BC的值．24．（8分）如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A 和()3,0B ，与y 轴交于点()0,3,C 顶点为D ．()1求抛物线的解析式；()2求CBD ∠的度数；()3若点N 是线段BC 上一个动点，过N 作//MN y 轴交抛物线于点M ，交x 轴于点H ，设H 点的横坐标为m ． ①求线段MN 的最大值；②若BMN ∆是等腰三角形，直接写出m 的值．25．（10分）如图，矩形ABCD 中，8AB =，7BC =，点P 为边BC 延长线上的一点，过DP 的中点E 作EM DP⊥交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N ，//EF BC ，交边AB 于F ，交边DC 于H（1）当4CP =时，求EM EN的值； （2）猜想MN 与DP 的数量关系，并证明你的猜想26．（10分）如图，△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝α，AC 、BD 交于M（1）如图1，当α＝90°时，∠AMD 的度数为 °（2）如图2，当α＝60°时，∠AMD 的度数为 °（3）如图3，当△OCD 绕O 点任意旋转时，∠AMD 与α是否存在着确定的数量关系？如果存在，请你用表示∠AMD ，并图3进行证明；若不确定，说明理由．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，即： 80（1+x ）2=100，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．2、A【分析】根据比例的性质，逐项分析即可.【详解】A. ∵:3:2x y=，∴32x y =，∴325=22x y y ++=，正确；B. ∵:3:2x y=，∴32x y =，∴ 32122x y =y --=，故不正确； C. ∵:3:2x y=，∴32x y =，故不正确； D. ∵:3:2x y=，∴32x y =，∴ 1413x y +≠+，故不正确； 故选A.【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键，如果a c b d=，那么a b c d b d ++=或a b c d b d --=或a b c d a b c d++=--. 3、B【分析】两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，根据概率公式即可求解.【详解】解：两辆阅兵车的车牌号共含14位数字或字母，其中数字9出现了3次，所以“9”这个数字在这两辆车牌号中出现的概率为314. 故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算，掌握概率计算公式是解题关键.4、D【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答．【详解】解：∵△ABC ∽△DEF ，相似比为2：3， ∴对应面积的比为（23）2＝49， 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键.5、C【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可得结论；②根据抛物线与x 轴的交点坐标即可得结论；③根据对称轴和与x 轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式即可得结论； ④根据点（12，1）和对称轴方程即可得结论．【详解】解：①观察图象可知：a＜1，b＜1，c＞1，∴abc＞1，所以①正确；②当x＝12时，y＝1，即14a+12b+c＝1，∴a+2b+4c＝1，∴a+4c＝﹣2b，∴a﹣2b+4c＝﹣4b＞1，所以②正确；③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x轴的交点（12，1），所以与x轴的另一个交点为（﹣52，1），当x＝﹣52时，254a﹣52b+c＝1，∴25a﹣11b+4c＝1．所以③正确；④当x＝12时，a+2b+4c＝1，又对称轴：﹣b2a＝﹣1，∴b＝2a，a＝12b，12b+2b+4c＝1，∴b＝﹣85 c．∴3b+2c＝﹣245c+2c＝﹣145c＜1，∴3b+2c＜1．所以④错误．故选：C．【点睛】本题考查了利用抛物线判断式子正负，正确读懂抛物线的信息，判断式子正负是解题的关键6、C【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），据此求解即可.【详解】将这组数据重新排序为6，7，8，1，1，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：8.故选C.7、A【解析】根据抛物线对称轴公式可先求出b 的值，一元二次方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解相当于y ＝x 1﹣bx 与直线y ＝t 的在﹣1＜x ＜3的范围内有交点，即直线y ＝t 应介于过y ＝x 1﹣bx 在﹣1＜x ＜3的范围内的最大值与最小值的直线之间，由此可确定t 的取值范围.【详解】解：∵抛物线的对称轴x ＝2b -＝1， ∴b ＝﹣4，则方程x 1+bx ﹣t ＝0，即x 1﹣4x ﹣t ＝0的解相当于y ＝x 1﹣4x 与直线y ＝t 的交点的横坐标，∵方程x 1+bx ﹣t ＝0在﹣1＜x ＜3的范围内有实数解，∴当x ＝﹣1时，y ＝1+4＝5，当x ＝3时，y ＝9﹣11＝﹣3，又∵y ＝x 1﹣4x ＝（x ﹣1）1﹣4，∴当﹣4≤t ＜5时，在﹣1＜x ＜3的范围内有解．∴t 的取值范围是﹣4≤t ＜5，故选：A ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，一元二次方程2ax bx c k ++=的解相当于2y ax bx c =++ 与直线y=k 的交点的横坐标，解的数量就是交点的个数,熟练将二者关系进行转化是解题的关键.8、A【解析】根据y ＝a （x ﹣h ）2+k ，a ＞0时图象开口向上，a ＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h ，可得答案．【详解】由y ＝(x ﹣4)2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标(4，﹣5)．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用y ＝a （x ﹣h ）2+k ，a ＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；a ＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x ＝h .9、A【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】由题意可得：90.39x=+ 解得：x ＝21，经检验，x=21是原方程的解故红球约有21个，故选：A ．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．10、B【分析】把x ＝﹣a 代入方程得到一个二元二次方程，方程的两边都除以a ，即可得出答案．【详解】把x ＝﹣a 代入方程得：（﹣a ）2﹣ab+a ＝0，a 2﹣ab+a ＝0，∵a ≠0，∴两边都除以a 得：a ﹣b+1＝0，即a ﹣b ＝﹣1，故选：B ．【点睛】此题考查一元二次方程的解，是方程的解即可代入方程求其他未知数的值或是代数式的值.二、填空题(每小题3分,共24分)11、y=-x 2-2x 或y=-x 2-2x+8【分析】根据题意确定出抛物线顶点坐标，进而确定出m 与n 的值，即可确定出抛物线解析式．【详解】∵抛物线2y x mx n =-++的对称轴过点()1,5A -， ∴设顶点坐标为：()1k -，，根据题意得：54k -=， 解得：9k =或1k =抛物线2y x mx n =-++的顶点坐标为(-1，1)或(-1，9)， 可得：122b m a -==-，2244144ac b n m a ---==-或2494n m --=-， 解得：2m =-，0n =或8n =，则该抛物线解析式为：22y x x =--或228y x x =--+，故答案为：22y x x =--或228y x x =--+．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．12、2003π 【分析】连接OC 、OD ，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，然后计算扇形面积就可．【详解】连接OC 、OD 、CD ，如图所示：∵△COD 和△CDE 等底等高，∴S △COD =S △ECD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，∴∠COD=180°÷3=60°，∴阴影部分的面积=S 扇形COD =()260202003603ππ︒⨯=︒． 故答案为2003π． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法，利用已知得出理解阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积是解题关键．13、1【分析】根据切线长定理得到AE=AH ，BE=BF ，CF=CG ，DH=DG ，得到AD+BC=AB+CD=25，根据四边形的周长公式计算，得到答案．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG，∴AD+BC＝AB+CD＝25，∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝25+25＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．14、1．【解析】解：∵∠MON=90°，∴MN为圆玻璃镜的直径，2210cmMN OM ON=+=，∴半径为5cm．故答案为：1．15、1．【解析】试题解析：设这栋建筑物的高度为mx，由题意得2. 112x =解得：24x=，即这栋建筑物的高度为24m．故答案为1．16、1【分析】设该圆锥的底面半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到21652180rππ⋅⋅=，然后解关于r的方程即可．【详解】设该圆锥的底面半径为r，根据题意得21652180rππ⋅⋅=，解得3r=．故答案为1．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是知道圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、24π【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的面积．【详解】设扇形所在圆的半径为r ．∵扇形的圆心角为240°，所对的弧长为8π，∴l 2408180r ππ⨯==， 解得：r =6， 则扇形面积为12rl 1682π=⨯⨯=24π． 故答案为：24π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．18、3【分析】根据黄金分割的概念得到AP AB = ，把6cm AB = 代入计算即可． 【详解】∵P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >∴116322AP AB ==⨯=故答案为3．【点睛】本题考查了黄金分割点的应用，理解黄金分割点的比例并会运算是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）证明见解析；（2）2CD =． 【分析】（1）连接OC ，由OA ＝OC 可以得到∠OAC ＝∠OCA ，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC ＝∠OCA ，接着利用平行线的判定即可得到OC ∥AD ，然后就得到OC ⊥CD ，由此即可证明直线CD 与⊙O 相切于C 点； （2）连接BC ，∠BAC ＝30°，在Rt △ABC 中可求得AC ，同理在Rt △ACD 中求得CD ．【详解】（1）证明：连接CO ，∵AO＝CO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠OCA，∴CO∥AD，∴CO⊥CD，∴DC为⊙O的切线；（2）解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAB＝60°，AC平分∠DAB，∴∠BAC＝12∠DAB＝30°，∵⊙O的半径为3，∴AB＝6，∴AC 3＝3∵∠CAD＝30°∴1332CD AC==【点睛】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时首先利用切线的判定证明切线，然后利用含特殊角度的直角三角形求得边长即可解决问题．20、（1）补全图形见解析；（2）AB=PB．证明见解析；（3）存在，12k=．【分析】（1）根据题意补全图形如图1，（2）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出AP ABOQ OB=，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，ABOB的值最小，最小值为12，由此即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，（2）AB=PB．证明：如图，连接BQ．∵BC的垂直平分OQ，∴OB =BQ，∴∠BOP=∠BQP．又∵OF平分∠MON，∴∠AOB = ∠BOP．∴∠AOB = ∠BQP．又∵PQ=OA ，∴ △AOB ≌△PQB ，∴AB =PB ．（3））∵△AOB ≌△PQB ，∴∠OAB=∠BPQ ，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP ，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP ∽△OBQ ， ∴AP AB OQ OB=， ∵∠AOB=30°，∴当BA ⊥OM 时，AB OB 的值最小，最小值为12， ∴k=12． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．21、（1）2410233y x x =-++；（2）15(,)23P ；（3）P(52,13)或P(118,1312) 【分析】(1)把A 点坐标和B 点坐标代入243y x bx c =-++，解方程组即可； (2)用m 可表示出P 、N 的坐标，由题意可知有P 为线段MN 的中点，可得到关于m 的方程，可求得m 的值，即可求得点P 的坐标；(3) 用m 可表示出NP,PM,AM,分当∠BNP=90°时和当∠NBP=90°时两种情况讨论即可.【详解】解： (1) 抛物线243y x bx c =-++经过点()()3002A B ，，，493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ∴2410233y x x =-++ (2)由题意易得，直线AB 的解析式为223y x =-+ 由()0M m ，，设24102)33(N m m m -++，，2(2)3P m m -+， 则2443NP m m =-+，223PM m =-+ 点P 是MN 的中点，即NP PM = ∴2424233m m m -+=-+，解得12132m m ==， (舍) ∴15(,)23P (3) 12521113(,),(,)23812P P ． 由()0M m ，，设24102)33(N m m m -++，，2(2)3P m m -+， ∴2443NP m m =-+，223PM m =-+，AM=3−m ， ∵△BPN 和△APM 相似，且∠BPN=∠APM ，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，当∠BNP=90°时，则有BN ⊥MN ，∴N 点的纵坐标为2， ∴2410233m m -++=2， 解得m=0(舍去)或m=52， ∴P(52,13)； 当∠NBP=90°时，过点N 作NC ⊥y 轴于点C ，则∠NBC+∠BNC=90°，NC=m ，BC=2410233m m -++−2=241033m m -+， ∵∠NBP=90°，∴∠NBC+∠ABO=90°，∴∠ABO=∠BNC ，∴Rt △NCB ∽Rt △BOA ， ∴NC CB BO OA=， ∴m 2=241033m m -+， 解得m=0(舍去)或m=118， ∴P(118,1312), 综上可知，当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点P 的坐标为P(52,13)或P(118,1312)． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的图象和应用，二次函数的图象，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，线段的中点，勾股定理，相似三角形的判定及性质，运用了分类讨论思想．22、（1）反比例函数为2y x=-；一次函数解析式为y ＝﹣x ﹣1；（2）x ＜﹣2或0＜x ＜1． 【分析】（1）由A 的坐标易求反比例函数解析式，从而求B 点坐标，进而求一次函数的解析式；（2）观察图象，找出一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x 的取值即可．【详解】解：（1）把A （﹣2，1）代入y ＝m x， 得m ＝﹣2， 即反比例函数为y ＝﹣2x， 将B （1，n ）代入y ＝﹣2x ，解得n ＝﹣2，即B （1，﹣2），把A （﹣2，1），B （1，﹣2）代入y ＝kx +b ，得122k b k b=-+⎧⎨-=+⎩ 解得k ＝﹣1，b ＝﹣1，所以y ＝﹣x ﹣1；（2）由图象可知：当一次函数的值＞反比例函数的值时，x ＜﹣2或0＜x ＜1．【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题，掌握利用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式和根据图象求自变量的取值范围是解决此题的关键．23、（1）k=2，B （-1，-2）；（2）2【分析】（1）先利用正比例函数解析式确定(1,2)A ，再把A 点坐标代入k y x=中求出k 得到反比例函数解析式为2y x =，然后解方程组22y xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩得B 点坐标； （2）作BE AC ⊥于E ，如图，利用等角的余角相等得到C ABE ∠=∠，然后在Rt ABE ∆中利用正切的定义求出tan ABE ∠的值，即tan C =AB BC的值． 【详解】解：（1）把(1,)A a 代入2y x =得2a =，则(1,2)A ，把(1,2)A 代入k y x=得122k =⨯=， ∴反比例函数解析式为2y x =， 解方程组22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩， B ∴点坐标为(1,2)--；（2）作BE AC ⊥于E ，如图，∠ABC=90°，90BEC ∴∠=︒，90C CBE ∠+∠=︒，90CBE ABE ∠+∠=︒，C ABE ∴∠=∠，在Rt ABE ∆中，()()22tan 211AE ABE BE --∠===--， 即tan 2C =，∵∠ABC=90°，∴AB BC=tan 2C =.【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．24、（1）y ＝x 2－4x ＋2，（2）90°，（2）①94，②m ＝2或m ＝2或m ＝1． 【分析】（1）将点B,C 代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可得出答案；（2）先求出点D 的坐标，然后利用OB ＝OC ，得出∠CBO ＝45°，过D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，再利用DE ＝BE ，得出∠DBO ＝45°，则CBD ∠的度数可求；（2）①先用待定系数法求出直线BC 的表达式，然后设出M,N 的坐标，表示出线段MN 的长度，利用二次函数的性质即可求出最大值；②分三种情况： BN ＝BM ， BN ＝MN ， NM ＝BM 分别建立方程求解即可．【详解】解：（1）将点B （2，0）、C （0，2）代入抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 中，得：0933b c c =++⎧⎨=⎩，解得：43b c =-⎧⎨=⎩． 故抛物线的解析式为y ＝x 2－4x ＋2．（2）y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－1，∴D点坐标为（2，－1）．∵OB＝OC＝2，∴∠CBO＝45°，过D作DE⊥x轴，垂足为E，则DE＝BE＝1，∴∠DBO＝45°，∴∠CBD＝90°．（2）①设直线BC的解析式为y＝kx＋2，得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．点M的坐标为（m，m2－4m＋2），点N的坐标为（m，－m＋2）．线段MN＝（－m＋2）－（m2－4m＋2）＝－m2＋2m＝－(m－32)2＋94．∴当m＝32时，线段MN取最大值，最大值为94．②在Rt△NBH中，BH＝2－m，BN2(2－m)．当BN＝BM时，NH＝MH，则－m＋2＝－(m2－4m＋2)，即m2－5m＋6＝0，解得m1＝2，m2＝2（舍去），当BN＝MN时，－m2＋2m2(2－m)，解得：m12，m2＝2（舍去），当NM＝BM时，∠MNB＝∠NBM＝45°，则MB与x轴重合，点M与点A重合，∴m＝1，综合得：m＝2或m2m＝1．【点睛】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．25、（1）29；（2）78MN DP =，证明见解析 【分析】（1）根据E 为DP 中点，//EF BC ，4CP =可得出EH=2，再利用平行线分线段对应成比例求解即可； （2）作//MQ BC 交AB 于点Q ，可求证Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆，利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴//AB CD ∴EM EH EN EF= ∵//EF BC ∴DH DE HC EP=，7FH BC == ∵DE EP =∴DH HC = ∴114222EH CP ==⨯= ∴279EF EH FH =+=+= ∴29EM EH EN EF == （2）答：78MN DP =证明：作//MQ BC 交AB 于点Q则7MQ BC ==，90MQN DCP QMC MED ∠=∠=∠=∠=︒∵90QMN NMC ∠+∠=︒，90CDP DME ∠+∠=︒，NMC DME ∠=∠，∴QMN CDP ∠=∠∴Rt QMN ∆∽Rt CDP ∆ ∴78MN QM DP CD ==∴78MN DP【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定定理及其性质以及平行线分线段成比例定理，解此题的关键是利用矩形的性质求出EH的长．26、（1）1；（2）2；（3）∠AMD＝180°﹣α，证明详见解析．【解析】（1）如图1中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，可得∠AMK=∠BOK=1°；（2）如图2中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，推出∠OBD=∠OAC，由∠AKM=∠BKO，推出∠AMK=∠BOK=2°；（3）如图3中，设OA交BD于K．只要证明△BOD≌△AOC，可得∠OBD=∠OAC，由∠AKO=∠BKM，推出∠AOK=∠BMK=α．可得∠AMD=180°-α.【详解】（1）如图1中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝1°．故答案为1．（2）如图2中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKM＝∠BKO，∴∠AMK＝∠BOK＝2°．故答案为2．（3）如图3中，设OA交BD于K．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，∴∠BOD＝∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴∠OBD＝∠OAC，∵∠AKO＝∠BKM，∴∠AOK＝∠BMK＝α．∴∠AMD＝180°﹣α．【点睛】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用：“8字型”证明角相等．。
2022-2023学年北京市石景山区九年级数学第一学期期末经典试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列银行标志图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 的反向延长线上，下面比例式中，不能判定ED //BC 的是（ ）A ．BA CA BD CE =B ．EA DA EC DB = C ．ED EA BC AC = D ．EA AC AD AB = 3．如图，D 是△ABC 的边BC 上一点，已知AB=4，AD=1．∠DAC=∠B ，若△ABD 的面积为a ，则△ACD 的面积为（ ）A ．aB ．aC ．aD ．a4．下列图像中，当0ab >时，函数2y ax =与y ax b =+的图象时（ ） A ． B ． C ． D ．5．将抛物线y=x 2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）A ．y=（x +2）2﹣5B ．y=（x +2）2+5C ．y=（x ﹣2）2﹣5D ．y=（x ﹣2）2+5 6．已知抛物线223y x x =--，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线开口向下B ．抛物线的对称轴是直线1x =-C ．当1x =时，y 的最大值为4-D ．抛物线与y 轴的交点为()0,3-7．如图点D 、E 分别在△ABC 的两边BA 、CA 的延长线上，下列条件能判定ED ∥BC 的是（ ）．A ．AD DE AB BC =； B ．AD AE AC AB=； C ．AD AB DE BC ⋅=⋅； D ．AD AC AB AE ⋅=⋅．8．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD ＝34°，那么∠BAD 等于（ ）A ．34°B ．46°C ．56°D ．66°9．学校体育室里有6个箱子，分别装有篮球和足球（不混装），数量分别是8，9，16，20，22，27，体育课上，某班体育委员拿走了一箱篮球，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，则这六箱球中，篮球有（ ）箱． A ．2 B ．3 C ．4 D ．510．将两个圆形纸片（半径都为1）如图重叠水平放置，向该区域随机投掷骰子，则骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．1811．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．7512．如图是由4个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每题4分，共24分）13．在ABC 中，AB AC =，点D 在直线BC 上，3DC DB =，点E 为AB 边的中点，连接AD ，射线CE 交AD 于点M ，则AM MD的值为________. 14．反比例函数y=k x 的图象分布在第一、三象限内，则k 的取值范围是 ______． 15．将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．16．一个不透明的盒子里有若干个白球,在不允许将球倒出来的情况下,为估计白球的个数,小刚向其中放入8个黑球,摇均后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复,共摸球400次,其中80次摸到黑球,估计盒子大约有白球____________个.17．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随即抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b 的值，则点（a ，b ）在第二象限的概率为_____．18．如图，AC 为圆O 的弦，点B 在弧AC 上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，则∠AOB 的度数为___________三、解答题（共78分）19．（8分）已知二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点（0，6）和（1，8）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）①当x 在什么范围内时，y 随x 的增大而增大？②当x 在什么范围内时，y ＞0？20．（8分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G 等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G 基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G 基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G 基站的数量是多少万座？；（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率．21．（8分）小明和小亮利用三张卡片做游戏，卡片上分别写有A ，B ，B ．这些卡片除字母外完全相同，从中随机摸出一张，记下字母后放回，充分洗匀后，再从中摸出一张，如果两次摸到卡片字母相同则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请说明现由．22．（10分）小王去年开了一家微店，今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，试求每月盈利的平均增长率．23．（10分）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20:1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．24．（10分）某商店销售一种进价为20元/双的手套，经调查发现，该种手套每天的销售量w （双）与销售单价x （元）满足w ＝﹣2x +80（20≤x ≤40），设销售这种手套每天的利润为y （元）．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？25．（12分）梭梭树因其顽强的生命力和防风固沙的作用，被称为“沙漠植被之王”.新疆北部某沙漠2016年有16万亩梭梭树，经过两年的人工种植和自然繁殖，2018年达到25万亩.按这两年的平均增长率，请估计2019年该沙漠梭梭树的面积.26．() 1解方程:2450x x --=;()2二次函数图象经过点()4,3A -，当3x =时，函数有最大值1-，求二次函数的解析式．参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【解析】由题意根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行依次判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2、C【分析】根据平行线分线段成比例定理推理的逆定理，对各选项进行逐一判断即可．【详解】A. 当BA CABD CE=时，能判断ED BC‖；B. 当EA DAEC DB=时，能判断ED BC‖；C. 当ED EABC AC=时，不能判断ED BC‖；D. 当EA ACAD AB=时，EA ADAC AB=，能判断ED BC‖.故选：C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理推理的逆定理，根据定理如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边.能根据定理判断线段是否为对应线段是解决此题的关键.3、C【详解】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=1，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD 的面积为a ，故选C ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相关性质是本题的解题关键．4、D【分析】根据直线直线y=ax+b 经过的象限得到a ＞0，b ＜0，与ab ＞0矛盾，则可对A 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向上得到a ＞0，而由直线y=ax+b 经过第二、四象限得到a ＜0，由此可对B 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，而由直线y=ax+b 经过第一、三象限得到a ＞0，由此可对C 进行判断；根据抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，则直线y=ax+b 经过第二、四象限，并且b ＜0，得到直线与y 轴的交点在x 轴下方，由此可对D 进行判断．【详解】解：A 、对于直线y=ax+b ，得a ＞0，b ＜0，与ab ＞0矛盾，所以A 选项错误；B 、由抛物线y=ax 2开口向上得到a ＞0，而由直线y=ax+b 经过第二、四象限得到a ＜0，所以B 选项错误；C 、由抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，而由直线y=ax+b 经过第一、三象限得到a ＞0，所以C 选项错误；D 、由抛物线y=ax 2开口向下得到a ＜0，则直线y=ax+b 经过第二、四象限，由于ab ＞0，则b ＜0，所以直线与y 轴的交点在x 轴下方，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像与性质，掌握函数的性质，从而判断图像是解题的基础．5、A【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x +2）2﹣1．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．6、D【分析】根据二次函数的性质对A 、B 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对C 进行判断；利用抛物线与轴交点坐标对D 进行判断．【详解】A 、a=1＞0，则抛物线223y x x =--的开口向上，所以A 选项错误；B 、抛物线的对称轴为直线x=1，所以B 选项错误；C 、当x=1时，y 有最小值为4-，所以C 选项错误；D 、当x=0时，y=-3，故抛物线与y 轴的交点为()0,3-，所以D 选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．7、D【分析】根据选项选出能推出ADE ABC ∆∆∽，推出D B ∠=∠或E C ∠=∠的即可判断．【详解】解：A 、∵AD DE AB BC=，EAD BAC ∠=∠，不符合两边对应成比例及夹角相等的相似三角形判定定理. 无法判断ADE ∆与ABC ∆相似，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；B 、AD AEAC AB= EAD BAC ∠=∠，ADE ACB ∴∆∆∽，E B ∴∠=∠，D C ∠=∠，即不能推出//DE BC ，故本选项错误；C 、由AD AB DE BC ⋅=⋅可知AB DE BC AD=，不能推出DAE BAC ∆∆∽，即不能推出D B ∠=∠，即不能推出两直线平行，故本选项错误； D 、∵AD AC AB AE ⋅=⋅，AD AE AB AC∴=， EAD BAC ∠=∠，DAE BAC ∴∆∆∽，D B ∴∠=∠，//DE BC ∴，故本选项正确；故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，主要考查学生的推理和辨析能力，注意：有两组对应边的比相等，且这两边的夹角相等的两三角形相似．8、C【解析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD 的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ACD＝34°，∴∠ABD＝34°∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，故选：C．【点睛】此题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．9、B【分析】先计算出这些水果的总质量，再根据剩下的足球与篮球的数量关系，通过推理判断出拿走的篮球的个数，从而计算出剩余篮球的个数．【详解】解：∵8+9+16+20+22+27=102（个）根据题意，在剩下的五箱球中，足球的数量是篮球的2倍，∴剩下的五箱球中，篮球和足球的总个数是3的倍数，由于102是3的倍数，所以拿走的篮球个数也是3的倍数，只有9和27符合要求，假设拿走的篮球的个数是9个，则（102-9）÷3=31，剩下的篮球是31个，由于剩下的五个数中，没有哪两个数的和是31个，故拿走的篮球的个数不是9个，假设拿走的篮球的个数是27个，则（102-27）÷3=25，剩下的篮球是25个，只有9+16=25，所以剩下2箱篮球，故这六箱球中，篮球有3箱，故答案为：B．【点睛】本题主要考查的是学生能否通过初步的分析、比较、推理得出正确的结论，培养学生有顺序、全面思考问题的意识．10、B【解析】连接AO1，AO2，O1O2，BO1，推出△AO1O2是等边三角形，求得∠AO1B=120°，得到阴影部分的面积=2π3-32，得到空白部分的面积=1π3+32，于是得到结论．【详解】解：连接AO1，AO2，O1O2，BO1，则O1O2垂直平分AB ∴AO1=AO2=O1O2=BO1=1，∴△AO1O2是等边三角形，∴∠AO1O2=60°，AB=2AO1sin60°=32132⨯⨯=∴∠AO1B=120°，∴阴影部分的面积=2×（2120π111336022⨯-⨯⨯）=2π3-32，∴空白部分和阴影部分的面积和=2π-（2π3-32）=4π3+32，∴骰子落在重叠区域（阴影部分）的概率大约为2π33243π32-+≈14，故选B．【点睛】此题考查了几何概率，扇形的面积，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．11、D【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴BC=2234+=5，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，EC=2222247555 BC BE⎛⎫-=-=⎪⎝⎭.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．12、C【分析】根据左视图即从物体的左面观察得得到的视图，进而得出答案．【详解】如图所示，该几何体的左视图是：．故选C．【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、23或43【分析】分两种情况讨论：①当D在线段BC上时，如图1，过D作DH∥CE交AB于H．②当D在线段CB延长线上时，如图2，过B作BH∥CE交AD于H．利用平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】分两种情况讨论：①当D 在线段BC 上时，如图1，过D 作DH ∥CE 交AB 于H ． ∵DH ∥CE ， ∴13BH BD HE CD ==． 设BH =x ，则HE =3x ， ∴BE =4x ． ∵E 是AB 的中点， ∴AE =BE =4x ． ∵EM ∥HD ， ∴4433AM AE x MD EH x ===． ②当D 在线段CB 延长线上时，如图2，过B 作BH ∥CE 交AD 于H ． ∵DC =3DB ， ∴BC =2DB ． ∵BH ∥CE ， ∴12DH BD HM BC ==． 设DH =x ，则HM =2x ． ∵E 是AB 的中点，EM ∥BH ， ∴1AM AEMH EB==， ∴AM =MH =2x ， ∴2233AM x MD x ==． 综上所述：AMMD的值为23或43．故答案为：23或43． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理．掌握辅助线的作法是解答本题的关键． 14、k ＞0【详解】∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴k ＞0， 15、y=x 1+x ﹣1．【解析】根据平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加．因此，将抛物线y=x 1+x 向下平移1个单位，所得抛物线的表达式是y=x 1+x ﹣1． 16、32【分析】可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数”． 【详解】设盒子里有白球x 个， 根据黑球的个数黑白球的总数=摸到黑球的次数总摸球的次数得：8808400x =+， 解得：x=32.经检验得x=32是方程的解， 故答案为32. 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于掌握运算公式. 17、13【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及点（a ，b ）在第二象限的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】解：画树状图图得：∵共有6种等可能的结果，点（a，b）在第二象限的有2种情况，∴点（a，b）在第二象限的概率为：21 63 ．故答案为：13．【点睛】本题考查的是利用公式计算某个事件发生的概率，注意找全所有可能出现的结果数作分母．在判断某个事件A可能出现的结果数时，要注意审查关于事件A的说法，避免多数或少数．18、76°【分析】如图，连接OC．根据∠AOB＝2∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．【详解】如图，连接OC．∵OA＝OC＝OB，∴∠A＝∠OCA＝20°，∠B＝∠OCB＝58°，∴∠ACB＝∠OCB−∠OCA＝58°−20°＝38°，∴∠AOB＝2∠ACB＝76°，故答案为76°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．三、解答题（共78分）19、（1）y＝﹣2x2+4x+6；（2）①当x＜1时，y随x的增大而增大；②当﹣1＜x＜3时，y＞1【分析】（1）根据二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点（1，6）和（1，8），可以求得该抛物线的解析式；（2）①根据（1）求得函数解析式，将其化为顶点式，然后根据二次函数的性质即可得到x在什么范围内时，y随x 的增大而增大；②根据（1）中的函数解析式可以得到x在什么范围内时，y＞1．【详解】（1）∵二次函数y ＝﹣2x 2+bx +c 的图象经过点（1，6）和（1，8），∴26218c b c =⎧⎨-⨯++=⎩，得46b c =⎧⎨=⎩， 即该二次函数的解析式为y ＝﹣2x 2+4x +6； （2）①∵y ＝﹣2x 2+4x +6＝﹣2（x ﹣1）2+8， ∴该函数的对称轴是x ＝1，函数图象开口向下， ∴当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；②当y ＝1时，1＝﹣2x 2+4x +6＝﹣2（x ﹣3）（x +1）， 解得，x 1＝3，x 2＝﹣1， ∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞1． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据待定系数法求出二次函数的解析式..20、（1）到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座；（2）2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%.【分析】（1）2020年全省5G 基站的数量=目前广东5G 基站的数量×4，即可求出结论；（2）设2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为x ，根据2020年底及2022年底全省5G 基站数量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）由题意可得：到2020年底，全省5G 基站的数量是1.546⨯=（万座）. 答：到2020年底，全省5G 基站的数量是6万座. （2）设年平均增长率为x ，由题意可得：()26117.34x +=，解得：10.7=70%x =，2 2.7x =-（不符合，舍去）答：2020年底到2022年底，全省5G 基站数量的年平均增长率为70%. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21、这个游戏对双方不公平，理由见解析.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到卡片字母相同的情况，再利用概率公式即可求得答案. 【详解】解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸到卡片字母相同的有5种等可能的结果，∴两次摸到卡片字母相同的概率为：59；∴小明胜的概率为59，小亮胜的概率为49，∵59≠49，∴这个游戏对双方不公平.故答案为这个游戏对双方不公平，理由见解析.【点睛】本题考查了树状图法求概率，判断游戏的公平性.22、20%【分析】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据“2月份盈利2400元，4月份盈利达到3456元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同”，列出关于x的一元二次方程，解之即可．【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：2400（1＋x）2＝3456，解得：x1＝0.2，x2＝−2.2（舍去），答：每月盈利的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．23、（1）分别为120元、200元（2）有三种购买方案，见解析【解析】（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得y=x+80{10x+4y=2000，解得x=120{y=200．∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元．（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意有1600≤80000－120×20m－200×m≤24000，解得，78 21m24 1313≤≤．∵m为整数，∴m=22、23、24，有三种购买方案：（1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅，得出等式方程求出即可．（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出不等式组求出即可．24、（1）y=﹣2x2+120x﹣1600；（2）当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．【分析】（1）用每双手套的利润乘以销售量得到每天的利润；（2）由（1）得到的是一个二次函数，利用二次函数的性质，可以求出最大利润以及销售单价．【详解】（1）y=w（x﹣20）=（﹣2x+80）（x﹣20）=﹣2x2+120x﹣1600；（2）y=﹣2（x﹣30）2+1．∵20≤x≤40，a=﹣2＜0，∴当x=30时，y最大值=1．答：当销售单价定为每双30元时，每天的利润最大，最大利润为1元．【点睛】本题考查的是二次函数的应用．（1）根据题意得到二次函数．（2）利用二次函数的性质求出最大值．25、31.25万亩【分析】根据题意可得等量关系: 2016年的梭梭树面积⨯(1+增长率) 2=2018年的亩梭梭数面积，根据等量关系列出方程即可算出增长率，即可算出2019年该沙漠梭梭树的面积.【详解】解：设这两年的年平均增长率为x，依题意得：()216125x+=解方程，得19 4x=-（不合题意，舍去），21 4x=所以估计2019年该沙漠梭梭树的面积为125131.254⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭（万亩）答:估计2019年该沙漠梭梭树的面积约为31.25万亩【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程,关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为2(1).a x b ±= 26、()1125,1x x ==-；()2()2231y x =---【分析】（1）根据题意利用因式分解法进行一元二次方程求解；（2）根据题意确定出顶点坐标，设出顶点形式，将（4，-3）代入即可确定出解析式． 【详解】()1解:()()510x x -+=125,1x x ==-;()2解:由题意可知此抛物线顶点坐标为()3,1-，设其解析式为()231y a x =--， 将点()4,3-代入得:31a -=-， 解得:2a =-，∴此抛物线解析式为:()2231y x =---.【点睛】考查一元二次方程求解以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握一元二次方程的解法和待定系数法求二次函数解析式是解本题的关键．。
石景山区初三数学上学期期末试卷及答案
石景山区2021—2021学年第一学期期末考试试卷初三数学第一卷〔共32分〕一、选择题〔此题共8道小题，每题4分，共32分〕在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请把所选答案的字母填在下面的表格中． 1．如果4:7:2x =，那么x 的值是A ．14B ．78 C ．67 D ．722．正方形网格中，α ∠的位置如右图所示，那么tan α的值是A ．21B ．552C ． 5D ． 23．在一个不透明的布袋中装有2个白球和3个黄球，它们除颜色不同外，其余均一样，假设从中随机摸出一球，摸到白球的概率是 A ．51B ．21 C ．52 D ．324．：ABC △中，︒=∠90C ，52cos =B ,15=AB ，那么BC 的长是 A ． 213B ．293C ．6D ． 325．如图，AB 为O ⊙的直径，CD 为O ⊙的弦，︒=∠53ABD ，那么BCD ∠为 A ． ︒37 B ．︒47 C ．︒45 D ． ︒536． 如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，DEF △的面积为2，那么△ABF 的面积为α第2题图A ．2B ．4C ．6D ．87．函数y =bx ＋1(b ≠0)与y =ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象可能是8．．．：点．．()m m A ,在反比例函数．．．．．．xy 4=的．图．象上，点．．．．B．与点．．A ．关于坐标轴对称，以．．．．．．．．．AB ．．为边．．作正方形，那么满足条件的正方形的个数是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．A ． 4B ． 5C ． 3D ．8第二卷〔共88分〕二、填空题〔此题共4道小题，每题4分，共16分〕 9．()310cos 2=︒-α，那么锐角α的度数是 °．10．将二次函数562-+-=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式为 ．11．：如图，⊙C 与坐标轴交于A 〔1，0〕、B 〔5，0〕两点，⊙C 的半径为3 那么圆心C 的坐标为 ．第5题 第6题ODCBA FE DCBAACO BA B C D第7题图12．如图，⊙O 的半径为2，4=OA ，AB 切⊙O 于B ，弦BC OA ∥，连结AC ， 图中阴影局部的面积为 ．三、解答题〔此题共5道小题，每题5分，共25分〕 13．计算：︒+︒︒-60tan 45tan 60sin 12．14．如图，：Rt △ABC 中，90B ∠=，AB =BC＝，点D 为BC 的中点，求sin DAC ∠．15．如图，：射线PO 与⊙O 交于B A 、两点， PC 、PD 分别切⊙O 于点D C 、．〔1〕请写出两个不同类型的正确结论；〔2〕假设12=CD ，21tan =∠CPO ,求PO 的长．16．如图，：双曲线(0)ky x x=>经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB相交于点C ．假设点A 的坐标为)4,8(-，求点C 的坐标．DCBA 第14题图第15题17．正四面体各面分别标有数字1、2、3、4，正六面体各面分别标有数字1、2、3、4、5、6〔1〕请用树状图或列表的方法表示可能出现的所有结果； 〔2〕求两个正多面体朝下面上的数字之和是3的倍数的概率．四、画图题〔此题总分值4分〕18．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．，ABC△的顶点都在格点上，︒=∠90C ,8=AC ,4=BC ,假设在边AC 上以某个格点E 为端点画出长是52的线段EF ，使线段另一端点F 恰好落在边BC 上，且线段EF 与点C 构成的三角形与ABC △相似，请你在图中画出线段EF 〔不必说明理由〕．五、解答题〔此题共4道小题，每题6分，共24分〕19．：二次函数c x ax y +-=42的图象经过点)8,1(-A 和点)7,2(-．〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕将该二次函数图象向左平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．20．如图，在某建筑物AC 上，挂着宣传条幅BC ，小明站在点F 处，看条幅顶端B ，测得的仰角为︒30，再往条幅方向前行20米到达点E 处，看条幅顶端B ，测得的仰角为︒60，假设小明的身高约1.7米，求宣传条幅BC 的长〔结果准确到1米〕．第17题第18题ACB21．如图，：ABC △内接于⊙O ，AD 是⊙O 的切线，CO 的延长线交AD 于点D ． 〔1〕假设∠B =2∠D ，求∠D 的度数；〔2〕在〔1〕的条件下，假设34=AC，求⊙O 的半径．22．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，那么水面CD 的宽是10米．〔1〕建立如下图的直角坐标系，求此抛物线的解析式；〔2〕当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物〔货物与货船同宽〕．问：此船能否顺利通过这座拱桥？六、解答题〔此题总分值6分〕23．如图①，△ABC 中，90ACB ∠=︒，∠ABC =α，将△ABC 绕点A 顺时针旋转得到△AB'C ' ，设旋转的角度是β．〔1〕如图②，当β= °〔用含α的代数式表示〕时，点B '恰好落在CA 的延长线上；〔2〕如图③，连结BB ' 、CC '， CC ' 的延长线交斜边AB 于点E ，交BB '于点F ．请写出图中两对相似三角形 ， 〔不含全等三角形〕，并选一对证明．第22题图第21题图DCBAO C 'B 'CBAFE C 'B 'CBA第23题① 第23题②第23题③ C 'B 'CBA七、解答题〔此题总分值6分〕24．：关于x 的一元二次方程03)3(22=++-+a x a ax 有两个实数根，且a 为非负整数. 〔1〕求a 的值；〔2〕假设抛物线3)3(22++-+=a x a ax y 向下平移()0>m m 个单位后过点 ()n ,1和点()12,2+n ,求m 的值；〔3〕假设抛物线k a x a ax y +++-+=3)3(22上存在两个不同的点Q P 、关于原点对称,求k 的取值范围.八、解答题〔此题总分值7分〕25．：抛物线c x ax y ++=22，对称轴为直线1-=x ，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于()0,3-A 、B 两点． (1)求直线AC 的解析式；(2)假设点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值； (3)P 为抛物线上一点，假设以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B ,求点P 的坐标．石景山区2021-2021学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．假设考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题〔此题共8道小题，每题4分，共32分〕二、填空题〔此题共4道小题，每题4分，共16分〕9．40； 10．4)3(2+--=x y ； 11．()5,3； 12．32π． 三、解答题〔此题共5道小题，每题5分，共25分〕 13．解：︒+︒︒-60tan 45tan 60sin 12=32332+- ……………………………………………………………4分 =325……………………………………………………………………5分14． 解：过D 作AC DE ⊥于E ……………………………1分EDCBA在Rt △ABC 中，∵90B ∠=，AB =BC ＝22，∴．45C ∠=…………………………………………2．．．．．．．．．．．．．．．．．分． ∵点．．D ．为．BC ．．的中点，．．．． ∴．122BD DC BC === ∴．2222(22)(2)10AD AB BD =+=+=………………………………3．．．．．．．．．．．．．分．在Rt △DCE 中，sin 451DE DC =⋅︒=………………………………4分∴．10sin 10DAC ∠=…………………………5．．．．．．．．．．．分． 15．解：〔1〕不同类型的正确结论有：①．PC ．．=．PD ．． ②．CD ．．⊥．B ．A ．③∠．．CEP ．．．=90° ．．．④∠．．CPO ．．．=．∠．DPA ．．．⑤． ……2．．．分．〔．2．〕联结．．．OC ．．∵．PC ．．、．PD ．．分别切．．．⊙．O 于点．．D C 、∴．PC ．．=．PD ．．, ．∠．CPO ．．．=．∠．DPA ．．． ∴．CD ．．⊥．AB ．． ∵．CD=．．．12．．∴．DE ．．＝．CE ．．=．12CD ．．=6．．．．………………………3．．．．．．．．．．分．∵．21tan =∠CPO ∴．在．Rt ．．△．EPC ．．．中． ，． PE=．．．12．．∴．勾股得．．．36=CP ………………………4．．．．．．．．．．分． ∵．PC ．．切．⊙．O 于点．．C∴．90=∠OCP 在．Rt ．．△．OPC ．．．中．, ． ∵．21tan =∠CPO ∴．21=PC OC ∴．33=OC∴．()()15336332222=+=+=PC OC OP ………………………………5．．．．．．．．．．．．．分．E ODCBAP第18题 第18题16．解：由题意得：D (4,2)- ………………………1分∵双曲线经过点D∴24k-=∴8k =- ………………………2分 ∴8y x=-设点C ),8(n ………………………3分∴818n =-=- ………………………4分 ∴点C )1,8(- ………………………5分17． 解：〔1〕解法一：用列表法 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5678910列表正确 …………………………………………………3分解法二：画树状图画树状图正确 ………………………………………………………3分 〔2〕31248)3(==的倍数和为P ………………………………………………5分四、画图题〔此题总分值4分〕 18．解：y第16题xODA BC开场12 3 4 789 10六面体 4651 2 3 4 678 91 2 3 4 567 831 2 3 4 456 721 2 3 4 345 611 2 3 4 2 34 5四面体H注：正确画出一条得2分，正确画出两条得4分． 五、解答题〔此题共4道小题，每题6分，共24分〕 19．解：〔1〕由，抛物线过)8,1(-A 和点)7,2(-，得⎩⎨⎧=++-=+-78484c a c a ………………………1分 解这个方程组，得5,1-==c a∴ 所求抛物线的解析式为542--=x x y ………………………2分 〔2〕令0y =，那么0542=--x x ………………………3分 解方程，得51=x ，21x =-． ………………………4分∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为)0,5(和(10)-，．∴二次函数图象向左平移5个单位后经过坐标原点． ………………………5分 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为)0,6(- ………………………6分 20．解：过F 作BC FH ⊥于H ……………………………1分 ∵∠BFH =︒30，∠BEH =︒60，∠BHF =︒90 ∴∠EBF =∠EBC =︒30………………………2分 ∴BE = EF = 20 ………………………3分 在Rt △BHE 中， )(3.17232060sin m BE BH ≈⨯=︒⋅= ………………………4分 )(197.13.17m =+ ………………………5分答：宣传条幅BC 的长是19米．………………………6分 21．解：〔1〕如图，连结OA ……………………………1分 ∵AD 是⊙O 的切线 ∴︒=∠90OAD设D α∠=，那么90DOA α∠=︒-，2B α∠=，4AOC α∠=………………2分∴︒=+-︒180490αα ∴︒=30α∴ ︒=∠30D …………………………3分 〔2〕解：OA OC =∵，︒==∠1204αAOC ． ∴D ACO ∠=︒=∠30．∴=AD 34=AC ． ……………………………5分DCBA O第21题图在Rt ADO △中，tan 4AO AD D =⨯∠==………………………6分 ∴⊙O 的半径是4． 22．解：〔1〕设抛物线解析式为2ax y =………………………………………1分设点),10(n B ，点)3,10(+n D ………………………………………………2分 由题意： ⎩⎨⎧=+=a n a n 253100 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2514a n ………………………………………………3分 ∴2251x y -= ………………………………………………4分 〔2〕方法一： 当3=x 时，9251⨯-=y ∵3)4(259>---.6 ………………………………………………5分 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．…………………………………6分方法二： 当5246.3-=-=y 时，225152x -=- ∴10±=x ∵310>± ......................................................5分 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． (6)六、解答题〔此题总分值6分〕23． 解：〔1〕90α︒+ ……………………………………………………………1分 〔2〕图中两对相似三角形：①△ABB '∽△AC C ' ，②△ACE ∽△FBE ；……… 3分 证明①：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转角β得到△AB 'C '∴∠CA C '=∠BAB '=β，AC=A C ' ，AB=AB ' ………………………………4分 ∴''AB AC AB AC = ……………………………………………………5分 ∴△ABB '∽△AC C ' ……………………………………………………6分证明②：∵△ABC 绕点A 顺时针旋转角β得到△AB 'C '∴∠CA C '=∠BAB '=β，AC=A C ' ，AB=AB ' ………………………………4分∴∠AC C '=∠ABB '=2180β- ………………………………5分 又∠A E C =∠FEB∴△ACE ∽△FBE ……………………………………………………6分七、解答题〔此题总分值6分〕24．解：〔1〕依题意，得[]()0363634)3(22≥+-=+--=∆a a a a ……………1分 解得1≤a又0≠a 且a 为非负整数∴1=a ………………………………………………………………2分∴442+-=x x y〔2〕解法一：抛物线442+-=x x y 过点〔1,1〕，〔2,0〕，向下平移()0>m m 个单位后得到点 ()n ,1和点()12,2+n ……………………………3分 ∴()⎩⎨⎧=-=+-mn mn 1120, 解得3=m . ……………………………4分 解法二： 抛物线442+-=x x y 向下平移()0>m m 个单位后得：m x x y -+-=442,将点()n ,1和点()12,2+n 代入解析式得⎩⎨⎧+=-=-121n m n m …………………3分 解得3=m . ……………………………4分〔3〕设()00,y x P ,那么()00,y x Q -- ……………………………5分∵Q P 、在抛物线k x x y ++-=442上,将Q P 、两点坐标分别代入得: ⎩⎨⎧-=+++=++-0020********y k x x y k x x ,将两方程相加得: 028220=++k x 即0420=++k x∵()044'≥+-=∆k ∴4-≤k当 4-=k 时，Q P 、两点重合，不合题意舍去∴4-<k . ……………………………6分八、解答题〔此题总分值7分〕25.解：〔1〕∵对称轴122-=-=a x∴1a = ……………………………………………………1分∵()0,3-A ∴3c =-设直线AC 的解析式为y kx b =+∵()0,3-A ，()3,0-C , 代入得：直线AC 的解析式为 3--=x y ………………………………………2分〔2〕代数方法一： 过点D 作DM ∥y 轴分别交线段AC 和x 轴于点M 、N ．设()32,2-+x x x D ，那么()3,--x x M …………………………………3分 ∵ABC ACD ABCD S S S ∆∆+四边形＝136()622DM AN ON DM +⨯⨯+=+＝ ()[()]3232362+-----+=x x x 629232+--=x x 87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=x ……………………………………5分 ∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 代数方法二：OBC ADN S S ∆∆++=S S NDCO ADCB 梯形四边形=()()()()23332213232122+-++--++--+x x x x x x = 87523236292322+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--x x x ……………………………………5分 ∴当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875.几何方法：过点D 作AC 的平行线l ，设直线l 的解析式为b x y +-=. 由⎩⎨⎧+-=-+=bx y x x y 322得：0332=--+b x x ………………………………3分 当()03432=---=∆b 时，直线l 与抛物线只有一个公共点 即：当421-=b 时,△ADC 的面积最大,四边形ABCD 面积最大 此时公共点D 的坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--415,23 ………………………………4分 OBC ADN S S ∆∆++=S S NDCO ADCB 梯形四边形()312123321415321212121212121⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅+⋅+⋅=⋅+++⋅=OC OB ON OC DN OA OC OB ON OC DN DN AN =875 ………………………………5分 即：当23-=x 时，四边形ABCD 面积有最大值875. 〔3〕如下图，由抛物线的轴对称性可求得B 〔1，0〕∵以线段PB 为直径的圆与直线BC 切于点B∴过点B 作BC 的垂线交抛物线于一点，那么此点必为点P . 过点P 作x PE ⊥轴于点E ， 可证Rt △PEB ∽Rt △BOC ∴BO OC PEEB =，故EB =3PE ，……………………………………………………6分设()32,2-+x x x P ，∵B 〔1，0〕∴BE =1-x ，PE =322-+x x()32312-+=-x x x ，解得11=x 〔不合题意舍去〕，，3102-=x ∴P 点的坐标为： ⎪⎭⎫ ⎝⎛-913310，.………………………………………………7分。
北京市石景山区2022-2023学年九年级上数学期末试卷含答案
石景山区2022-2023学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分。
3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 CD C D A D B A第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．410．答案不唯一，如：1C ∠=∠ 11．12．3x = 13．＞14．5515．100°或80° 16．①④三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分）17．解：原式2(1)1)2=⨯-+-+- ………………………… 4分 11=-+-2=-. ………………………… 5分18．（1）证明：∵BD MN ⊥，CE MN ⊥，∴90ADB CEA ∠=∠=°，190B ∠+∠=°. ∵90BAC ∠=°，∴2190∠+∠=°.∴2B ∠=∠.∴ADB △∽CEA △.………………………… 3分21NM A B C E D（2）解：在Rt ADB △中，90ADB ∠=°，AB =，2AD =，∴1BD ==．∵CEA △∽ADB △，∴CE AE AD BD=. 即221CE =. ∴4CE =. …………………………5分 19．解：（1）补全的图形如右图所示． ………………………… 2分（2）90，直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ……… 5分20．解：连接OC ，如图. ………………………… 1分 设⊙O 的半径为x 寸.∵AB 是⊙O 的直径，CD AB ⊥，∴152CE CD ==. 在Rt OEC △中，90OEC ∠=°， 由勾股定理，得222OC OE CE =+.即 222(1)5x x =-+. ………………………… 4分解得 13x =.∴直径AB 的长为26寸. ………………………… 5分21．解：（1）(3,0)B ，(2,1)C -． ……… 2分（2）如右图所示． ……… 4分（3）4． ……… 5分-4x +322．解：过点A 作AD BC ⊥于点D ，如图． …………………………1分 在Rt ADC △中，60C ∠=°，∴1cos 2CD C AC ==，设CD x =，2AC x =，则AD ==．在Rt ADB △中，tan 4AD B BD ==， ∴4BD x =． …………………………4分∵410BC x x =+=，∴2x =． ………………………… 5分 ∴4AC =． ………………………… 6分23．解：（1）∵反比例函数1(0)my m x=≠的图象经过点(1,6)A --， ∴6m =．∴反比例函数的表达式为16y x=． ………………………… 2分 由题意可得点B 的坐标为(0,1)-． …………………………3分 （2）2k ≥． ………………………… 5分 24．解：（1）由题意可知2(3) 2.5y a x =-+. ………………………… 2分∵当0x =时， 1.6y =，∴2(03) 2.5 1.6a -+=． ………………………… 3分 解得0.1a =-．∴函数关系为20.1(3) 2.5y x =--+． ………………………… 4分 由题意可知小石第一次的训练成绩为8m ． ………………………… 5分（2）<． ………………………… 6分 25．（1）证明：连接OD ，如图1． ∵DE AC ⊥，∴90E ∠=°．∵ DBDC =， ∴12∠=∠．∵OA OD =，图1DCBA∴32∠=∠． ∴31∠=∠． ∴OD ∥AE ．∴180ODE E ∠=∠°-90=°．又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线． ………………………… 3分（2）解： 连接BD ，如图2．∵ DCDB =， ∴CD BD =． ∵AB 为⊙O 的直径，∴90ADB ∠=°．∵四边形ABDC 内接于⊙O ， ∴B ECD ∠=∠． 在Rt ADB △中，cos BDB AB=，∴cos 155BD AB B =⋅=⨯=．∴CD =． ………………………… 6分26．解：（1）∵点(2,)A m -在抛物线2(0)y ax c a =+>上，且1a =，3m c =-，∴23(2)c c -=-+． 解得1c =-．∴抛物线的表达式为21y x =-，顶点坐标为(0,1)-． ……………… 3分 （2）由抛物线2(0)y ax c a =+>，可得抛物线开口向上且对称轴为y 轴．∵抛物线与x 轴有两个交点1(,0)B x ，2(,0)C x ，且12x x <. ∴点1(,0)B x 在x 轴的负半轴上. ∵113x x +>且0m n >>，∴点(2,)A m -，1(3,)D x n +在抛物线 的位置如右图（示意图）所示.设点D 关于y 轴的对称点为点'D ，则1'(3,)D x n --．)图2∵0a >，0m n >>， ∴1123x x -<--<． ∴1312x -<<-． ………………………… 6分 27．（1）解：∵在ABE △中，AE AB =，BAE α∠=，如图1，∴1809022AEB αα-∠==-°°. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD AB =，90BAD ∠=°， ∴AE AD =，90DAE α∠=+°.∴180(90)14522αα-+∠==-°°°. ∴2145AEB ∠=∠-∠=°. ……… 3分（2）依题意补全图形，如图2．线段DE 与CF的数量关系：DE =.证明：过点C 作CM CF ⊥交ED 的延长线于点M ．∵BF DE ⊥，245∠=°，∴90BFE BFD ∠=∠=°，FB FE =． ∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD CB =，90BCD ∠=°．∴34∠=∠．∵在四边形BCDF 中，90BFD BCD ∠=∠=°， ∴5180FBC ∠+∠=°．又∵65180∠+∠=°，∴6FBC ∠=∠． ∴MDC △≌FBC △．∴MD FB FE ==，CM CF =． ∴DE FM =．∵90FCM ∠=°，∴FM =．∴DE =． ………………………… 7分6543M21αFEDCBA 图212αEDCBA 图128．解：（1）5；2P ，4P . ………………………… 3分（2）依题意，正方形DEFG上任意两点间的距离的最大值d =.直线y x b =+交x 轴于点R ，交y 轴于点(0,)S b ，如图， 则45ORS OSR ∠=∠=°.若0b >，连接OE 并延长交直线y x b =+于点H . ∵正方形DEFG 的中心在原点，点D 的坐标为(11),，∴45EOS ∠=°，OE =∴90OHS ∠=°.当EH d ==时，直线y x b =+上的点H 是正方形DEFG 的“关联点”. 在Rt OHS △中，6OS ===.结合图形，b 的取值范围是66b -≤≤. ………………………… 5分（3）12t --≤4t ≤. ………………………… 7分。
2024年北京石景山初三上学期期末数学试题和答案
石景山区2023-2024学年第一学期初三期末试卷数 学第一部分 选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1- 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．若34(0)x y y ，则xy的值是(A)34 (B)43(C)74(D)732．如图，在Rt ACB △中，90C °，3AC BC ，则sin A 为(A) 13 (B)4 (C)10(D) 103．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，D 是 AC的 中点．若40B °，则A 的大小为 (A) 50° (B) 60° (C) 70°(D) 80°4．将抛物线23y x 向左平移1个单位长度，平移后抛物线 的解析式为 (A) 23(1)y x(B) 23(1)y x(C) 231y x(D) 231y x5．若抛物线229y xmx 与x 轴只有一个交点，则m 的值为(A) 3(B) 3(C)(D) 3AB C6．如图1，“矩”在古代指两条边成直角的曲尺，它的两边长分别为a ，b ．中国古老的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能：“平距以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”．其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放可测物体的高度.如图2，从“矩”AFE 的一端A 望向树顶端的点C ，使视线通过“矩”的另一端E ，测得8m BD ， 1.6m AB ． 若“矩”的边30cm EF a ，边60cm AF b ，则树高CD 为 (A) 4m (B) 5.3m (C) 5.6m (D) 16m7．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(4)y ,，2(6)y ,在抛物线2(3)1(0)y a x a 上，则下列结论正确的是 (A) 121y y(B) 211y y(C) 211y y(D) 121y y8．如图，在ABC △中，CD AB 于点D ，给出下面三个条件： ①A BCD ； ②A BCD ADC ； ③AD CD CD BD. 添加上述条件中的一个，即可证明ABC △是直角三角形的条件序号是 (A) ①②(B) ①③(C) ②③(D) ①②③第二部分 非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AD 的中点，连接BE 交 对角线AC 于点F ．若6AC ，则AF 的长为 ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(3)y ,，2(7)y ,在反比例函数(0)ky k x的图象上，则1y 2y （填“>”“=”或“<”）． DABCE F DCBA第6题 图1 第6题 图2DCH11．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，12AB ，则 AB 的长为 ．12．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，60P °，6PA ，则⊙O 的半径为 ．13．如图，线段AB ，CD 分别表示甲、乙建筑物的高，两座建筑物间的距离BD 为30m ．若在点A 处测得点D 的俯角 为30°，点C 的仰角 为45°，则乙建筑物的高CD 约为 m （结果精确到0.1m1.4141.732 ）．14．如图，点A ，B 在⊙O 上，140AOB °．若C 为⊙O 上任一点（不与点A ，B 重合），则ACB 的大小为 ．15．如图，E 是正方形ABCD 内一点，满足90AEB °，连接CE .若2AB ，则CE 长的最小值为 ．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a的顶点为(1)P k ,，且经过点(30)A ,，其部分图象如图 所示，下面四个结论中， ①0a ； ②2b a ；③若点(2)M m ,在此抛物线上，则0m ； ④若点()N t n ,在此抛物线上且n c ，则0t ． 所有正确结论的序号是 ．A BCDENBDM第11题 第12题 第13题三、解答题（共68分，第17-21题，每题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每题6分，第27-28题，每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17．计算：20248sin 60(1)tan 45 °°．18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ，90ACD B °．（1）求证：ACD △∽ABC △； （2）若3AB ，4AD ，求AC 的长．19．已知二次函数223y x x ．（1）将223y x x 化成2()(0)y a x h k a 的形式，并写出其图象的顶点坐标；（2）求此函数图象与x 轴交点的坐标；（3）在平面直角坐标系xOy 中，画出此函数的图象．20．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB 于点E ，6CD ，1BE ．求⊙O 的半径．21．已知二次函数2y x bx c 的图象过点(10)A ,和(03)B ,． （1）求这个二次函数的解析式；（2）当14x 时，结合图象，直接写出函数值y 的取值范围．DABC22．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，90B °，3cos 5C，10CD ． 求AB 的长．23．已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I （单位：A ）与电阻R （单位： ）成反比例函数关系，即(0)kI k R ，其图象如图所示．（1）求k 的值；（2）若用电器的电阻R 为6 ，则电流I为 A ；（3）如果以此蓄电池为电源的用电器的电流I 不得超过10A ，那么用电器的电阻R应控制的范围是 ．24．如图，在ABC △中，AB AC ，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，点F 在AC 的延长线上，12CBF BAC ． （1）求证：BF 是O 的切线； （2）若5AB ，1tan 2CBF ，求CE 的长．I /AB CD25．投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系， 实心球从出手（点A 处）到落地的过程中，其竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足二次函数关系．小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A 的竖直高度为2m ．记实心球运动路线的最高点为P ，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d （单位：m ）．训练情况如下：根据以上信息，（1）求第二次训练时满足的函数关系式； （2）小石第二次训练的成绩2d 为 m ； （3）直接写出训练成绩1d ，2d ，3d 的大小关系．2OA26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(0)y ax bx c a 经过点(33)A a c ,． （1）求该抛物线的对称轴；（2）点1(12)M a y ,，2(2)N a y ,在抛物线上.若12c y y ，求a 的取值范围．27．如图，在Rt ACB △中，90ACB °，60BAC °．D 是边BA 上一点（不与点B重合且12BD BA），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ． （1）求CAE 的度数；（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．若G ACE ，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．DABCE28．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和点C 给出如下定义：若点C 在弦AB 的垂直平分线上，且点C 关于直线AB 的对称点在⊙O 上，则称点C 是弦AB 的“关联点”． （1）如图，点1(22A ,，1(22B ,． 在点1(00)C ,，2(10)C ,，3(11)C ,，4(20)C ,中，弦AB 的“关联点”是 ；（2）若点1(0)2C ,是弦AB 的“关联点”，直接写出AB 的长； （3）已知点(02)M ,，(0)15N ,．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．石景山区2023-2024学年第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可。
北京市石景山区九年级数学上学期期末考试试题
第一学期九年级期末试卷数 学学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，则sin B 的值为A B C D ．122．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，=65ABC ∠°，则D ∠的度数为A ．130︒B ．65︒C ．35︒D ．25︒3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得30BE =m ，15EC =m ，30CD =m ，则河的宽度AB 长为 A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 为函数40y x x=(＜)图象上任意一点， 过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，则△PAO 的面积是 A ．8B ．4C ．2D ．2-5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为(1,0)，点(,0)B m在⊙A内，则m的取值范围是A．4m<C．24m-<<B．2m>-D．2m<-或4m>7．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为A．6πC．2πB．3πD．π8．若将抛物线25y x=先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为A．2521y x=-+（）B．25+21y x=+（）C．2521y x=--（）D．25+21y x=-（）9．若抛物线22y x x m=-+与x轴有交点，则m的取值范围是A．1m>B．1m≥C．1m<D．1m≤10．如右图，在Rt△ACB中，90C∠=︒，60A∠=︒，8AB=.点P是AB边上的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y的值随x值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即可）：．12．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：实验的稻种数n∕粒800 800 800 800 800发芽的稻种数m∕粒763 757 761 760 758发芽的频率m n0.954 0.946 0.951 0.950 0.948在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为 （精确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有 万粒. 13．如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 是优弧AB 上一点，若=35ACB ∠︒，则P ∠的度数是 ︒.14G ，交AB 于点F ，则BF 的长为 .15．如图，抛物线1C ：212y x =经过平移得到抛物线2C ：2122y x x =+，抛物线2C 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在二次函数2y x=位于第一象限的图象上，若△11OBA ，△122AB A ，△233A B A ，…，△1n n n A B A -都是等腰直角三角形，其中123B B B ∠=∠=∠=…90n B =∠=︒，则：点1B 的坐标为 ； 线段12A A 的长为 ； △1n n n A B A -的面积为 . 三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．计算：0tan 454cos30-︒2016）．18．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AED B ∠=∠，若3AE =，1EC =，2AD =求AB 的长．19．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，8CD =，2BE =.求⊙O 的半径．20．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 4-3- 2- 1-0 1 2… y…52-3223252-…（1）求这个二次函数的表达式； （2）在右图中画出此二次函数的图象的示意图；（3）结合图象，直接写出当0y >时，自变量x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，30A ∠=︒，cos B =求AB 的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线 (0)ky k x=≠的一个交点为点(1,C m （1）求双曲线的表达式；（2）过点B 作直线BD ∥x 轴，交双曲线于点D ，在x 轴上存在点P ，使得以点A ，B ，D ，P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D 和点P 的 坐标．23．数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度．如图，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求古塔MF 的高（结果精确到0.1m ）．（参1.414≈ 1.732≈）24．某超市按每件30元的价格购进某种商品.在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量w （件）与销售单价x （元）之间满足关系3150w x =-+（30≤x ≤50）.如果销售这种商品每天的利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，以△ABC 的AB 边为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线 DE ，交AC 于点E ，且DE ⊥AC ，连接EO . （1）求证：AB AC =；（2）若5AB =，1AE =，求tan AEO ∠的值．26．有这样一个问题：探究函数2y x x=-的图象和性质. 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值.…3-2-1-12-13- 13 12 … (73)-1-172 173173-72-73…求m 的值；（3）如右图，在平面直角坐标系xOy 上表中各对对应值为坐标的点.画出此函数的图象；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的 性质（一条即可）： .27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(1,0)A -. （1）求抛物线C 的表达式；（2）将抛物线C 沿直线1=y 翻折，得到的新抛物线记为1C ，求抛物线1C 的顶点坐标；（3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到的图象记为2C ，设C 与2C 围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．．为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n 的值.28．已知△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，点M 是射线EC 上的一个动点，作等边△DMN ，使△DMN 与△ABC 在BC 边同 侧，连接NF .（1）如图1，当点M 与点C 重合时，直接写出线段FN 与线段EM 的数量关系；（2）当点M 在线段EC 上（点M 与点E ，C 不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF ，直线DM 与直线AC 相交于点G ，若△DNF 的面积是△GMC 面积的9倍，8AB =，请直接写出线段CM 的长.29．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下： 若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=， 则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为 点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB ∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是 ， 点B '的坐标是 ； ② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于 第一象限内的图象上，△P OA '的面积为P 的坐标；（2）点P 是二次函数22 3 14y x x x =---(≤≤)的图象上的动点，以O 为圆心，2OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直接 写出n 的取值范围.图1图1 图2 备用图数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCACCADB二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．1y x =-（答案不唯一，满足ky x=且0k ＜即可）． 12．0.95；1.9（第1空2分；第2空1分）．13．20°． 14．1． 15．4． 16．(1,1)；4；2n （每空1分）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分） 17．解：原式114=+- …………………………………………… 4分 = ……………………………………………5分18．解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴△ADE ∽△ACB ． ………………… 2分∴AE ADAB AC =． ………………… 3分 ∴323+1AB =． ………………… 4分 ∴6AB =． ………………… 5分19．解：连接OC ，如图． …………………… 1分 设⊙O 的半径为x ．∵直径AB ⊥弦CD ，∴142CE CD ==． …………………… 2分在Rt △OEC 中，由勾股定理可得22224x x =-+（）． …………………… 4分-x +32 解得 5x =．∴⊙O 的半径为5. …………………… 5分20．（1）解法一：由题意，设二次函数的表达式为2(1)2y a x =++. ………… 1分 ∵二次函数经过点(1,0)，∴42=0a +.∴12a =-. ………………… 2分 ∴二次函数的表达式为21(1)22y x =-++. ………………… 3分即21322y x x =--+.解法二：由题意，设二次函数的表达式为(3)(1)y a x x =+-. ………… 1分 ∵二次函数经过点(1,2)-，∴42a -=.∴12a =-. ………………… 2分 ∴二次函数的表达式为1(3)(1)2yx x =-+-. ………………… 3分即21322y x x =--+.（2）如右图. …………… 4分（3）31x -<<. …………… 5分21．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. …………………………………… 1分∵在Rt △CDA 中，30A ∠=︒， ∴sin30CD AC =⨯︒=，cos309AD AC =⨯︒=. …………………………………… 2分∵在Rt △CDB 中，4cos 5DB B CB ==， ∴设4DB x =，5CB x =.∴3CD x =. …………… 3分 ∴x =∴4DB x == …………………………………… 4分 ∴9AB =+ …………………………………… 5分22．解：（1）∵点(1,)C m 在直线22y x =+上，∴4m =. …………………………………… 1分又∵点(1,4)C 在双曲线ky x=上， ∴4k =.∴双曲线的表达式为4y x=. …………………………………… 2分 （2）点D 的坐标是(2,2). …………………………………… 3分点P 的坐标为(1,0)或(3,0)-. …………………………………… 5分23．解法一：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==.设MC 为xm .在Rt △MCB 中，tan 1=MCBC∠，∴tan 60x BC x =︒.……… 1分同理可得AC =.……… 2分40x +. ………………… 3分解得34.64x =≈. ………………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分 答：古塔的高约为36.1米.解法二：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. ∵123∠=∠+∠，160∠=︒，2∠=∴3=2=30∠∠︒. ………… 2∴==40MB AB . ………… 3在Rt △MCB 中，sin 1=MCMB ∠，∴40sin6034.64MC =⨯︒=≈. ………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分答：古塔的高约为36.1米.24．解：(30)y w x =- …………………………………………… 1分(3150)(30)x x =-+-232404500x x =-+- …………………………………………… 2分23(40)300x =--+ …………………………………………… 4分∵30≤x ≤50，且30a =-＜，∴当=40x 时，=300y 最大值. …………………………………………… 5分答：当该商品销售单价定为每件40元时，每天的利润最大，最大利润为300元.25．（1）证明：连接OD ，如图1. ∵OD 是⊙O 半径，DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE . ∵DE ⊥AC ， ∴OD ∥AC . ………………… 1∴1C ∠=∠. ∵OD OB =，∴1B ∠=∠.∴C B ∠=∠. ∴AB AC =. …………………… 2分（2） 解法一：连接AD ，如图2.∵5AB =，1AE =，∴52OD =，5AC AB ==，4EC =.∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC . 又∵DE ⊥AC , ∴△CDE ∽△DAE . ∴2DE CE AE =⋅. ∴2DE =. 在Rt △EDO 中，4tan 25DEOD ∠==. ∵OD ∥AC ，∴2AEO ∠=∠.∴4tan 5AEO ∠=. …………………………………………… 5分解法二：过点O 作OF ⊥CA ，交CA的延长线于点F ，如图3. ∴四边形ODEF 是矩形. ∴1522EF OD AB ===. ∴32AF EF AE =-=. 在Rt △AFO 中，由勾股定理得2OF =图1图2n在Rt △EFO 中，4tan 5OF AEO EF ∠==. …………………… 5分26．（1）0x ≠. ……………… 1分（2）1m =-. ……………… 2（3）此函数的图象如右图所示. ……………… 4（4）此函数的性质： ① 当0x ＜时，y 随x 的增大而增大； 当0x ＞时，y 随x 的增大而增大. ② 关于原点成中心对称. ③ 函数的图象与y 轴无交点. …… （写出一条即可） …………… 527．解：（1）∵抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(10)A -，，∴1(3)0m --=. ………………… 1分∴2m =.∴抛物线C 的表达式为2y x x =+. ………………… 2分（2）抛物线C ：2y x x =+的顶点为11(,)24P --，如图1. ………… 3分点11(,)24P --关于直线1=y 的对称点为P '19(,)24-.∴抛物线1C 的顶点坐标为19(,)24-. ………………… 4分（3）解法一：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x =-，∴正方形的顶点B 的坐标为13(,)24，如图2. ………………… 6分∴3=14n -.E ME∴74n=. ………………… 7分解法二：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x=-，∴设正方形的顶点B的坐标为1(,1)2n-，如图2. ………………… 6分∵点B1(,1)2n-在抛物线2y x x=+上，∴74n=. ………………… 7分28．（1）FN EM=.…………… 1分（2）补全图形，如图1所示. …………… 2分结论成立.证明：连接ED，EF，DF，如图2.∵△ABC是等边三角形，∴AB BC AC a===.∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴12DF DE EF a===.∴60FDE∠=︒.又∵△DMN是等边三角形，∴DN DM=，60MDN∠=︒∴FDN EDM∠=∠.∴△DFN≌△DEM. ……………………………… 4分∴FN EM=.……………………………… 5分（3）CM的长为1或2. ……………………………… 7分29.（1）①(60)A'，，(B'. ……………………………… 2分②解法一：过点P'作P E'⊥x轴于点E，如图1.∵12P OAS OA P E''=⨯=△∴P E'= (3)∵点P'在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，∴'Py∴'=2Px.∴4OP'=，'60P OE∠=︒. (4)图1图2∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴26OP OP'⋅=.∴9OP=. ……………………………… 5分过点P作PF⊥x轴于点F.∴92OF=，2PF=.∴点P的坐标为92P（. ……………………………… 6分解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图2.∵点P'在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为t（，其中0t＞.∴tan POA∠==∴60POA∠=︒ . ……………………………… 4分在Rt△OHA中，sinAH OA AOH=⨯∠=∵12P OAS OP AH''=⨯=△∴4OP'=.∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴26OP OP'⋅=.∴9OP=. ………… 5分过点P作PF⊥x轴于点F.在Rt△OFP中，222t+=9.解得192t=，292t-=（舍去）.∴点P的坐标为92P(. ……………………………… 6分（2）1-≤n≤54. ……………………………… 8分。
北京市石景山区九年级上册期末数学试卷(有答案)-精品.doc
北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A ．B．2C ．D ．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A ．B ．C ．D ．5．如果在二次函数的表达式y=a2+b+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．16．若二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A ．B ．C ．D ．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，2则EC=．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系Oy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋3转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C 2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=2﹣10+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝4下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=2﹣2m+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线5交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=﹣2+m+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2），且1≠2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角6形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标N的取值范围．7北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4=3y与3=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得y=12与3=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4=3y与3=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3=4y与3=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A ．B．2C ．D ．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°8【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A ．B ．C ．D ．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=a2+b+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）9A ．B ．C ．D ．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y 轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程2+2+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=2+2+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程2+2+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）10A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M运动的速度为a，则AM=at，当点N在AD上时，MN=tanα×AM=tanα•at，此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S=×at×MN=a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=1．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．=，【解答】解：S扇形OABS阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，的取值范围是﹣2＜＜﹣0.5．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，的取值范围是﹣2＜＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系Oy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=2﹣10+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=2﹣10+3=（﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a （﹣h）2+中，顶点坐标为（h，），对称轴为=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率：=，小丁获胜的概率：=，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=m，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=m，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=m，∵tanB=，∴BH=，则BH﹣CH=BC，即﹣=100，解得=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=+b的图象与轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=﹣2，当=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE 知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=2﹣2m+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=2﹣2m+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=2﹣2m+5m的对称轴是=﹣，（2）∵y=2+2﹣5=（+1）2﹣6，∴当=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当=﹣4时y=3，当=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤≤1时，﹣6≤y≤3．21【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，22∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC 是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系Oy中，抛物线y=﹣2+m+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣2+m+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣2+2+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．2324观察图象可知当点P 关于直线y=t 的对称点为点Q 中直线BC 上时，t=3，当点P 关于直线y=t 的对称点为点Q 在轴上时，t=2，∴满足条件的t 的值为2＜t ＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ．（1）当点P 在线段AC 上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP ，则∠PBE的度数为 45° ，并证明；（2）当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2．若EQ=BP ，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE 长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ；②依据题意得到DP=EP ，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP ，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD ，PE ，依据△CPD ≌△CPB ，可得DP=BP ，∠1=∠2，根据DP=EP ，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE 长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，25易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系Oy中，点P的坐标为（1，y1），点Q的坐标为（2，y2），且1≠2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B 的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；26（2）若点C 的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O 的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B 的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C （，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．27（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=+，或y=﹣+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣+2或y=﹣﹣2，由，解得或，28∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤N≤﹣1或1≤N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．29。
2023北京石景山初三(上)期末数学试题及参考答案
②当 x −2 时，y 随 x 的增大而增大
③点 B 的坐标为 (3, 0) ④若点 M (−1, y1 ) ， N (5, y2 ) 在函数 图象上，则 y1 y2
的 所有正确结论的序号是___________．
三、解答题（共 68 分，第 17-21 题，每题 5 分，第 22 题 6 分，第 23 题 5 分，第 24-26 题， 每题 6 分，第 27-28 题，每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
（1）如图 1，图形W 是矩形 AOBC ，其中点 A 的坐标为 (0, 3) ，点 C 的坐标为 (4, 3) ，则 d =
( ) ___________．在点 P1 (−1, 0) ， P2 (2,8) ， P3 (3,1) ， P4 − 21, −2 中，矩形 AOBC 的“关联点”是
___________；
9. 如图，在 ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，若 ADE 的面积是 1，则 ABC 的面积是
______；
10. 如图，在 ABC 中， AB AC ，点 D 在 AB 边上，点 E 在 AC 边上且 AD AE ．只需添加一个条 件即可证明△ABC ∽△AED ，这个条件可以是___________（写出一个即可）．
2023 北京石景山初三（上）期末
数学
第一部分选择题
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
x
1. 如果 2x 5y y 0 ，那么 的值是（ ）
y
2
A.
5
7
B.
5
5
C.