统计数据的描述：平均指标和变异指标
统计学平均指标与标志变异指标
1 1 2
d Mo
上限公式：
Mo
U Mo
2 1 2
d Mo
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（二）中位数（Me） ※ 中位数是将数列中的标志值按大小顺序
排列，处于中间位置的那个标志值。 ※ 中位数把全部标志值分成两个部分，即两端
的标志值个数相等 ※ 中位数不受极端值的影响 ※ 当数列中出现极大标志值或极小标志值时，
极差是总体各单位标志值中最大值与最小 值 之差，也称全距，用来表示标志值的变动范围。
其计算公式为： R＝最大值－最小值
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（二）分位差 分位差是对极差指标的一种改进，就是从
变量数列中剔除了一部分极端值之后重新计算 的类似于极差的指标。
常用的分位差有： 四分位差、十分位差、百分位差等。
bx a
22 x
即有：
3、如果两xy个变量x2 和独y2 立，它x2们y的代x2数和 y2的标准
差 就等于两个变量方差之和的方根，它们代数
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4、在总体分组的条件下，变量的总方差可以分解为 组内方差平均数与组间方差两部分，即有：
2 2 2
组内方差——反映组内部标志值对组平均数的方 差 组间方差——反映组平均数对总平均数的方差 总方差——表示总体第各39页标/共志51页值对总平均数的方差
（三）标准差和方差的数学性质
1、标准差和方差具有“平移不变”的特性。
若a 为任意常数，则变y量 x a
的
标准
差和
方差与原
xa
变量相x，同，x2即a有:
2 x
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2、将原变量x乘以一个任意常数b，则新变量y bx
的标准差和方差分别为原来的 b
统计学基础平均指标和变异指标
统计学基础平均指标和变异指标平均指标和变异指标是统计学中常用的两种指标，用于描述数据分布的中心趋势和离散程度。
在统计分析中，这两个指标的应用非常广泛。
1.平均指标：平均指标是用来表示数据分布的中心位置的指标，常见的平均指标有平均数、中位数和众数。
-平均数：平均数是指一组数据之和除以数据个数，表示了数据的平均水平。
平均数的计算方法是将所有数据相加，然后除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数的计算方式为(2+3+5+7+10)/5=5.4-中位数：中位数是将数据按照大小顺序排列后位于中间位置的数值，它划分了数据的中间位置。
如果数据个数为奇数，则中位数为排序后的中间值；如果数据个数为偶数，则中位数为排序后中间两个值的平均值。
中位数对于数据的极端值不敏感，适用于数据有异常值的情况，能够更好地表示数据的中心位置。
例如，对于一组奇数个数据：1，3，5，7，9，中位数为5；对于一组偶数个数据：2，4，6，8，中位数为(4+6)/2=5-众数：众数是一组数据中出现次数最多的数值，表示了数据中的高频值。
一个数据集可以有一个或多个众数。
如果一个数据集没有重复值，那么它没有众数。
例如，对于一组数据：1，2，3，4，4，4，5，众数为42.变异指标：变异指标是用来度量数据分布的离散程度，可以用来描述数据的稳定性和可变性。
常见的变异指标有极差、方差和标准差。
-极差：极差是一组数据的最大值和最小值之间的差异，表示了数据的全距。
极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，极差为(10-2)=8-方差：方差是一组数据与其平均数之间偏离程度的平均值的统计量，表示了数据分布的离散程度。
方差的计算公式是每个数值与平均数之差的平方之和除以数据个数。
例如，对于一组数据：2，3，5，7，10，平均数为5.4，方差的计算方式为[(2-5.4)^2+(3-5.4)^2+(5-5.4)^2+(7-5.4)^2+(10-5.4)^2]/5≈7.04-标准差：标准差是方差的平方根，是一个衡量数据分布离散程度的指标。
《医学统计学》统计描述 (1)
2500 2500 2500 420
500 500 500
甲 乙丙
例4-9,etc
1.极差(Range） (全距)
符号：R 意义：反映全部变量值的
R X max X min
变动范围。
580
优点：简便,如说明传染病、
560 540
食物中毒的最长、最短潜 520
伏期等。
500
缺点：1. 只利用了两个 极端值
表2-2 115名正常成年女子血清转氨酶（mmol/L）含量分布
转氨酶含量
人数
12～
2
15～
9
18～
14
21～
23
24～
19
27～
14
30～
11
33～
9
36～
7
39～
4
42～45
3
人数
25
20 15
10 5
0
13.5 19.5 25.5 31.5 37.5 43.5. 血清转氨酶（mmol/L）
图2-2 115名正常成年女子血清转氨酶的频数分布
lg 表示以10为底的对数；
lg 1表示以10为底的反对数
X 0，为正值 （0，负数？）
几何均数的适用条件与实例
适用条件：呈倍数关系的等比资料或对数正态分 布（正偏态）资料；如抗体滴度资料
例 血清的抗体效价滴度的倒数分别为：10、
100、1000、10000、100000，求几何均数。
XG
lg1
图 2-3 101 名 正 常 人 血 清 肌 红 蛋 白 的 频 数 分 布
2. 描述计量资料的分布特征
①集中趋势(central tendency):变量值集中 位置。本例在组段“4.7~4.9”。
统计学变异指标
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
统计学试题
第一章绪论一、判断题:1、社会经济统计的研究对象是社会经济现象总体的各个方面。
（×）2、统计调查过程中采用的大量观察法，是指必须对研究对象的所有单位进行调查。
（×）3、总体的同质性是指总体中的各个单位在所有标志上都相同。
（×）4、个人的工资水平和全部职工的工资水平，都可以称为统计指标。
（×）5、对某市工程技术人员进行普查，该市工程技术人员的工资收入水平是数量标志。
（×）6、某一职工的文化程度在标志的分类上属于品质标志，职工的平均工资在指标的分类上属于质量指标。
（√）7、总体和总体单位是固定不变的。
（×）8、质量指标是反映总体质的特征，因此可以用文字来表述。
（×）9、指标与标志一样，都是由名称和数值两部分组成的。
（×）10、数量指标由数量标志值汇总而来，质量指标由品质标志值汇总而来。
（×）11、一个统计总体可以有多个指标。
（√）二、单选题:1、属于统计总体的是（B）A、某县的粮食总产量B、某地区的全部企业C、某商店的全部商品销售额D、某单位的全部职工人数2、构成统计总体的个别事物称为（D）。
A、调查单位B、标志值C、品质标志D、总体单位3、对某城市工业企业未安装设备进行普查，总体单位是（B）。
A、工业企业全部未安装设备B、工业企业每一台未安装设备C、每个工业企业的未安装设备D、每一个工业企业4、工业企业的设备台数、产品产值是（D）。
A、连续变量B、离散变量C．前者是连续变量，后者是离散变量D、前者是离散变量，后者是连续变量5、在全国人口普查中（B）。
A、男性是品质标志B、人的年龄是变量C、人口的平均寿命是数量标志D、全国人口是统计指标6、总体的变异性是指（B）。
A．总体之间有差异B、总体单位之间在某一标志表现上有差异C．总体随时间变化而变化D、总体单位之间有差异7、几位学生的某门课成绩分别是67分、78分、88分、89分、96分，“学生成绩”是（B）。
数据分析方法
数据分析方法数据分析是指通过收集、整理、分析和解释数据，从中提取出有价值的信息，以支持决策和解决问题。
在如今的信息爆炸时代，数据分析成为各个领域中必不可少的工具。
本文将介绍几种常用的数据分析方法。
一、描述统计分析描述统计分析主要用于对数据进行总结和描述，包括以下几个方面：1. 中心趋势测量：包括均值、中位数和众数。
均值是一组数据的平均值，中位数是数据中间的数值，众数是出现次数最多的数值。
2. 变异程度测量：包括标准差、方差和范围。
标准差是数据偏离平均值的度量，方差是标准差的平方，范围是数据中最大值和最小值的差。
3. 分布形状测量：包括偏度和峰度。
偏度反映数据分布的对称性，偏度为正表示右偏，为负表示左偏；峰度反映数据分布的尖峰或平坦程度，峰度大于3表示尖峰分布。
二、推论统计分析推论统计分析通过对样本数据的推论，对总体数据进行估计和推断。
常见的推论统计方法包括：1. 参数推断：通过样本数据估计总体参数。
常用的参数估计方法包括置信区间估计和假设检验。
置信区间估计给出了参数的估计范围，假设检验则用于判断参数的真假。
2. 非参数推断：针对样本数据的分布情况进行推断。
常用的非参数方法包括秩和检验、Kolmogorov-Smirnov检验等。
三、回归分析回归分析用于研究变量之间的关系，并进行预测和解释。
常见的回归分析方法包括：1. 线性回归：建立线性模型，分析自变量和因变量之间的线性关系。
通过回归方程可以预测因变量的取值。
2. 逻辑回归：用于处理二分类问题，建立逻辑模型，通过估计概率来预测因变量的结果。
3. 多元回归：用于分析多个自变量对因变量的影响，建立多元模型来进行预测和解释。
四、聚类分析聚类分析用于将数据集中的对象划分为若干个组，使得组内的对象相似度高，组间的相似度低。
常用的聚类方法包括：1. 划分聚类：将数据集划分为互不重叠的子集，每个子集代表一个聚类。
2. 层次聚类：通过层次的方式逐步合并或分割聚类，得到一个层次结构。
统计学名词解释资料
11、统计分组：根据研究任务的需要和事物内在的特点，将统计总体按照一定的标志划分为若干组成部分 的一种统计方法。
假设检验:是抽样推断的一项重要内容，是利用样本的实际资料来检验事先对总体某些数量特征所作的假设 是否可信的一种统计方法。
相关关系:两种类型： 一类是函数关系，另一类是相关关系。函数关系。函数是指现象之间有一种严格的 确定性的依存关系。相关关系。相关关系是指客观现象之间确实存在的，但数量上不是严格对应的依存关系。在这种关系中，对于某一现象的每一数值，可以有另一现象的若干数值与之相对应
7、普查：专门组织的一次性的全面调查。
8、统计调查：根据统计设计的内容、指标和指标体系的要求，有计划、有目的、有组织的手机统计原始资 料的工作过程，是统计认识过程的第二个阶段，即定量认识的阶段。
9、 统计报表：按照国家统一规定的表格形式，统一规定的指标内容，统一规定的报送程序和报送时间， 由填报单位自上而下逐级提供统计资料的一种统计调查方式。
20、增长量：用来说明社会经济现象在一定时期内所增长的绝对数量的指标。
21、发展速度：以相对数形式表现的动态分析指标，是两个不同时期发展水平指标对比的结果。
22、增长速度：反映现象数量增长方向和程度的动态相对指标。
23、统计指数：指用来反映不能同度量的多种事物综合动态变化的特殊相对数。
24、个体指数：指同一种现象的报告期与基期指标数值对比得到的发展数度指标。
12、分类数列：将各组别与次数按一定的次序排列所形成的数列。
描述变异程度的统计学指标
描述变异程度的统计学指标《描述变异程度的统计学指标》概述：描述变异程度的统计学指标是用于衡量数据集内部差异的一组统计量。
这些指标帮助我们了解数据的分散程度，用以描述数据的变异程度及其稳定性。
本文将介绍几种常见的用于描述变异程度的统计学指标。
1. 平均数（Mean）：平均数是最常用的描述变异程度的指标之一。
计算方式是将所有数据值相加，然后除以数据的个数。
平均数能够提供数据集的集中趋势，但在面对异常值时容易受到干扰。
2. 方差（Variance）：方差是衡量数据集内部差异的另一个重要指标。
方差计算时首先求出每个数据值与平均数之差的平方，并将这些差值的平均数作为方差值。
方差值越大，表示数据集内部的差异程度越大。
3. 标准差（Standard Deviation）：标准差是方差的平方根，它衡量数据集内部差异的一种常用指标。
标准差值越大，表示数据集内部的差异越大。
与方差相比，标准差更易于理解，并且在数据分析中更常用。
4. 极差（Range）：极差是变异程度的一种简单度量，它是数据集中最大值与最小值之间的差异。
极差提供了数据集取值范围的信息，但它忽略了数据值的分布情况。
5. 百分位数（Percentiles）：百分位数是描述变异程度的有用工具，它将数据集分成100个等分。
例如，第50百分位数（中位数）将数据集划分为两个等分，分别包含50%的数据。
分析不同百分位数之间的差异可以提供关于数据分布的更详细信息。
6. 四分位数（Quartiles）：四分位数是将数据集划分为四等分的百分位数，其提供了数据集分布的更多信息。
第一四分位数将数据集划分为四个等分中的第一个，包含25%的数据，第三四分位数划分为四个等分中的第三个，包含75%的数据。
四分位数可以用来检测数据集中的异常值。
结论：描述变异程度的统计学指标提供了深入了解数据集内部差异程度的方法。
通过求取平均数、方差、标准差、极差、百分位数和四分位数等指标，我们可以更好地理解数据的变异程度及其稳定性。
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1.未分组资料：（简单法） 1.未分组资料：（简单法） 未分组资料：（简单法 2.分组资料： （加权法） 2.分组资料： 加权法） 分组资料
σ=
σ=
∑ ( x − x)
n
2
计算步骤： 计算步骤：
∑ ( x − x) ∑f
2
f
①平均数 x 离差（ ②离差（xi- ) x 离差平方乘以相应次数（ ③离差平方乘以相应次数（xi- )2x fi 代入上述计算公式即可得到方差σ ④代入上述计算公式即可得到方差σ2 ，再对其开平方即可得到
众数计算结果 众数
M
o
X
u
∆ +∆
1
2
=1700-[14/（ 19+14）] ×100 =1657.6（元） （ ） （
第二节 统计分布的离散趋势
离散趋势的意义和作用：是反映总体内各 个数值之间远离平均数的程度 程度的指标。它与 程度 集中趋势指标结合运用，可以达到对现象总 体的全面认识。 一、标准差和方差 二、标准差系数 三、交替标志的标准差 四、四分位差
m −1 e m
m+1 e u m
=1700-[（50-39）/35] ×100 =1668.57（元） （ ） （
解：仍以上题为例，由于第三组职工工资出现的次数 （人数）最多（35人），则该组（1600—1700）为众 数组， 其中，L=1600，U=1700,d=100, △1=35-16=19 , △2=35-21=14, 代入公式： = X l + ∆1 • d Mo 下限公式： 下限 ∆1 + ∆2 =1600+[19 /（ 19+14）] ×100 =1657.6（元） （ ） （ 上限公式： 上限 = − ∆2 • d
1 2 n
1 1 2 2 n n 1 2 n
例：权数是绝对数的组距数列的
加权平均数的计算：
按贷款额分组 （万元） 10 以下 10-20 20-30 30-40 40 以上 合计 某银行某年某月为 100 家企业贷款情况表 组中值（万元） 贷款企业数（个） 各组贷款额（万元） x f xf 20 ？？？？ ？？？？ 15 10 150 25 22 550 35 34 1190 14 ？？？？ ？？？？ 100 2620 —
计算结果
——————————————————
按亩产分组 千克） （千克） 播种面积比重 （%）f/Σf ） 组中值 X X （f/Σf） ）
—————————————————— 200以下 8 170 13.60 200—250 35 225 78.75 250—400 45 325 146.25 400以上 12 475 57.00 ————————————————————————————————
月工资（元）职工人数(f ) 累计次数 组中值（x） xf ————————————————————————— 1500以下 10 10 1450 14500 1500—1600 16 26 1550 24800 1600—1700 35 61 1650 57750 1700—1800 21 82 1750 36750 1800—1900 11 93 1850 20350 1900以上 7 100 1950 13650 合计 100 —— —— 167800 ———————————————————————
适用条件： 适用条件：
若判断数据的离散程度或评价平均数代表性的大小， 若判断数据的离散程度或评价平均数代表性的大小， 当两个总体的平均数大小不等时， 当两个总体的平均数大小不等时，需要计算标准差系数 来评价，标准是：系数V 则离散程度大,而平均数 来评价，标准是：系数 σ大，则离散程度大 而平均数 代表性弱； 则离散程度小,而 代表性弱；系数V σ小，则离散程度小 而平均数代表性强。
根据上述资料计算该银行为每家企业的平均贷款额为：
x=
∑ xf ∑f
=
2620 = 26.2万元 100
例：权数是相对数的组距数列的
加权平均数的计算：
按贷款额分 组 （万元） 10 以下 10-20 20-30 30-40 40 以上 合计 某银行某年某月为 100 家企业贷款情况表 比重（%） f 组中值（万元） 贷款企业数（个） x （万元） f x f ∑f ∑f 5 15 25 35 45 — 20 10 22 34 14 100 20 10 22 34 14 100 1.0 1.50 5.50 11.90 6.30 26.20
1
+
2
+...+
n
1
2
n
f
f
G
1
2
n
=（1.031 × 1.084 × 1.107 × 1.153）1/15 （ =1.0996（或109.96%） （ ）
则该银行这项投资的平均年本利率为 109.96%，平均年利率为9.96%
四、众数(Mode)（P69）
含义：一组数据中 含义：一组数据中出现次数最多的数值，也即 是数列中重复出现次数最多的数值，通常用Mo 表示。 适用条件：n 较多且有明显集中趋势时适合用众 适用条件 数作为总体一般水平。 确定或计算方法： 确定或计算方法：
根据上述资料计算该银行为每家企业的平均贷款额为：
x = ∑x f
∑
f
= 26.2万元
某县粮食生产情况如下，试计算 该县平均亩产
——————————————————
按亩产分组 千克） （千克） 播种面积比重 （%）f/Σf ）
—————————————————— 200以下 8 200—250 35 250—400 45 400以上 12 ——————————————————
二、标准差系数 （Coefficient of variation)
含义： 含义：
是指用标准差与其相应的均值(即平均数 对比 是指用标准差与其相应的均值 即平均数)对比，是测 即平均数 对比， 度数据之间离散程度的相对指标，一般用V表示 表示。 度数据之间离散程度的相对指标，一般用 表示。由于标 准差是应用最广泛的离散程度指标，所以，通常计算标 准差是应用最广泛的离散程度指标，所以， 准差系数，常用V 表示。 准差系数，常用 σ 表示。
一、标准差
(一）含义： 一 含义：
方差： 方差：是总体中每个标志值与这些数值的平均数离差平方 的平均数，常用σ 的平均数，常用σ2表示 。 标准差： 标准差：是总体每个标志值与这些数值平均数离差平方的 平均数的平方根，又称均方差，常用σ表示。 平均数的平方根，又称均方差，常用σ表示。
（二）计算： 计算：
三、几何平均数
含义：是N个变量值连乘积的N次方根。几何平均 含义 数常用来计算平均比率和平均速度。 平均比率和平均速度。 计算方法： 计算方法
1.简单几何平均数： x 简单几何平均数： 简单几何平均数 2.加权几何平均数： 加权几何平均数： 加权几何平均数
=n G
x •x
1
• ... xn = n πx 2
x = ∑ (x •
f
∑f
) = 295.60
二、交替标志平均数
交替标志：即某些标志只具有两个表现。 交替标志：即某些标志只具有两个表现。 人的“性别” 如，人的“性别”标志只有男和女两个表 现；产品质量标志有合格和不合格两个表 现。 交替标志的平均数：在交替标志的总体中， 交替标志的平均数：在交替标志的总体中， 具有某种属性的成数P就是其加权算术平 具有某种属性的成数 就是其加权算术平 均数。详细内容见教材第66-67页。 均数。详细内容见教材第 页
标准差计算：举例
——————————————————————
月工资（ 职工人数（ ） 组中值（ ） 月工资（元） 职工人数（f） 组中值（x） xf
（1） ）
（2） ）
（3） ）
x-830 （ x-830 ）2 （ x-830 ）2 f （4） （5） ） ） （6） ） （7） ）
——————————————————————
一、算术平均数
（一）基本公式： 基本公式： （二）计算方法 1.简单算术平均数： 简单算术平均数： 简单算术平均数 + + ... + x x= x x 各个单位标志值（即观察值） n 各个单位标志值（即观察值）之和除以相 应的总体单位 即数值个数） 数（即数值个数） 2.加权算术平均数： 加权算术平均数： 加权算术平均数 x f + x f + ... + x f = ∑ xf x= ∑f 方法一：权数（ ）为绝对数（ 方法一：权数（f）为绝对数（见P63）f + f + ... + f ） f x = ∑ (x • 方法二：权数（ 方法二：权数（f/∑f）为相对数（见P64） ∑ f ) ）为相对数（ ）
第四章教学要求
主要介绍统计分布的集中趋势(平均指标)和 统计分布的离散趋势(变异指标)两个主要内 容。其中，前者主要介绍算术平均数、几 何平均数、中位数和众数的计算方法，尤 其要掌握算术平均数的计算方法和应用。 后者主要介绍标准差、标准差系数的计算 方法，其中，重点是标准差的计算和应用。
第四章 统计数据的描述 第一节 统计分布的集中趋势
1.单项式分组资料：可以直接观察，即出现次数最多 单项式分组资料：可以直接观察， 单项式分组资料