附：蛮力法

第3章 蛮力法
3.1 字符串匹配 3.2 矩阵相乘 3.3 子集和问题 3.4 冒泡排序 3.5 若干最优化问题
蛮力法
思想：穷尽所有可能的情况来寻找问题的解
优势：思路简单，设计难度低
缺点：运行效率低
适用范围： 1、一些问题只能采用蛮力法求解 2、蛮力法设计简单，用其求解一些小问题 也是可接受的
3.1 字符串匹配
let d = 0; foreach (eL) do
d d + w[e.a, e.b]; d d + w[L.tail, L.head]; if (d < d_best) then
d_best d; L_best L; return L_best; end
O((n+1)!)
课后作业：
1、习题3-15 2、习题3-17 3、习题3-19
[字符串匹配算法] Algorithm Brute_Match(T, P: string) begin let i = 0, n = |T|, m = |P|; while (i ≤ n−m) do
let j = 0; while (j < m) do if (T[i+j] ≠ P[j]) then break; j j + 1; if (j = m) then return i; //匹配成功 i i + 1; return −1; end
O(m(m−n)) 存在改进可能？
3.2 矩阵相乘
输入：m×n型矩阵A和n×p型矩阵B 输出：C = A×B
3.2 矩阵相乘
[矩阵相乘算法]
Algorithm MatrixMultiple(A, B: int[,])
begin
let (m,n) = |A|, (n,p)= |B|, C = new int[m,p];
Algorithm Brute_VertexCover(V: set<int>; E: set<intint>) begin let C = V; foreach V’ Powerset(V) do
let cover = true; foreach ((u,v) E) do if (u V’ v V’) then
最近点对问题 0-1背包问题 最优子集和问题 最大独立集和最小顶点覆盖 旅行商问题
3.5.1 最近点对问题
输入：二维平面上n个点的集合P 输出：其中距离最近的两个点
3.5.1 最近点对问题
蛮[最力近法点：对计问算题出的P蛮中力所算有法顶]点对之间的距离，并取其 A中lgo距ri离thm最小Br的ute一_C对lo顶se点tPo。ints(P: Point[]) begin
O(mn22n)
return I;
end
3.5.4 最大独立集/最小顶点覆盖
图G = <V,E>顶点覆盖：V的一个子集V′，它包 含E中每条边的至少一个端点。
输入：一个无向图G = <V,E> 输出：G中顶点数最少的一个顶点覆盖
3.5.4 最大独立集/最小顶点覆盖
蛮力法：穷举V的所有子集V′，判断每个子集是否 为图的顶点覆盖，并从中选出规模最小的一个
end
3.5.3 子集和问题的最优化版本
输入：一组n个整数的集合S，以及一个目标数z 输出：S的一个子集S*，使其元素之和不大于z
的情况下尽可能地大
3.5.3 子集和问题的最优化版本
蛮力法：检查S的每个子集 S’，找出其中满足约 束且元素之和最大的一个子集
可视为0-1背包的特殊情况
3.5.4 最大独立集/最小顶点覆盖
cover false; break; if (cover = true |V’| < |C|) then C V'; return C; end
O(mn2n)
3.5.4 最大独立集/最小顶点覆盖
最大独立集与最小顶点覆盖的关系？ 给定图G = <V,E>，IV是G的一个独立集，当
且仅当V \ I是G的一个顶点覆盖
3.1 字符串匹配
蛮力法：从左到右扫描T，检查T中是否含有子串P
m i c r o s o f t wi n dows sof t
3.1 字符串匹配
蛮力法：从左到右扫描T，检查T中是否含有子串P
m i c r o s o f t wi n dows sof t
匹配成功，返回位置索引5
3.1 字符串匹配
蛮力法：检查S的每个子集S′，并在物品重量之 和小于W的子集中选出价值之和最大的一个。
[0-1背包问题的蛮力算法]
Algorithm Brute_Knapsack(W: int; S: Item[])
begin
let v_best = 0, S_best = Φ; foreach S’ Powerset(S) do
O(n2)
(a,b) (i,j);
存在改
Hale Waihona Puke return (a,b); end
进可能？
3.5.2 (0-1)背包问题
输入：n件物品的集合S (其中第i件物品的重量 和价值分别为S[i].w和S[i].v)，以及背包的最大 承重量W
输出：S的一个子集A，其重量之和不大于W， 且价值之和尽可能大。
3.5.2 (0-1)背包问题
时间复杂度O(n2n)
let w = 0, v = 0;
foreach x S’ do
w w + x.w; v v + x.v;
if (w ≤ W v > v_best) then v_best v; S_best S’; return (v_best, S_best);
其他更优的 方法？
时间复杂度O(n2)
3.5 若干最优化问题
最优化问题：在问题的可行域F中找到一个解 x， 使得某目标函数值f(x)最小或最大。
约束条件：解x应满足某项约束c(x)=true 连续优化问题：解的数量可能有无穷多 组合优化问题：解的数量有限时，总是可以用
蛮力法求解，但算法效率可能很低。
3.5 若干最优化问题
let independent = true;
foreach (u V’) do
foreach (v V’\{u}) do
if ((u,v) E) then independent false; break;
if (independent = false) then break;
if (independent = true |V’| > |I|) then I V';
3.4 冒泡排序
[冒泡排序算法] Algorithm BubbleSort(A: int[]) begin
let n = |A|; for k = 1 to n-1 do for i = 1 to n−k do
if (A[i-1] > A[i]) then (A[i-1], A[i]) (A[i], A[i-1]); end
for i = 0 to m-1 do
for j = 0 to p−1 do
O(mnp)
for k = 0 to n−1 do
不存在改进
C[i,j]) C[i,j] + A[i,k]*B[k,j]; 可能
return C;
end
3.3 子集和问题
输入：一组n个整数的集合S，以及一个目标数z 输出：判断是否存在S的一个子集S*，其元素之
let d_best = +∞, n = |P|, a = b = -1;
for i = 0 to n-2 do
for j = i+1 to n-1 do
let (dx, dy) = (P[i].x-P[j].x, P[i].y-P[j].y);
d = dx*dx + dy*dy;
if (d<d_best) then d_best d;
3.5.5 旅行商问题
输入：一个加权连通图G = <V,E,w> 输出：通过G中所有顶点且距离最短的一条回路
3.5.5 旅行商问题
蛮力法：穷举图中n!条回路，并从中选出距离最短 的一条
Algorithm Brute_TSP(G: Graph; w: int[,]) begin
let d_best = +∞, L_best = Φ; foreach L Perms(G.V) do
图的独立集：图中两两互不相邻的顶点所组成 的集合。
输入：一个无向图G = <V,E> 输出：G中顶点数最多的一个独立集
3.5.4 最大独立集/最小顶点覆盖
蛮力法：穷举V的所有子集V′，判断每个子集是 否为独立集，并从中选出规模最大的一个
foreachA(lguoritVh’m) dBorute_IndependentSet(V: set<int>; E: forseeatc<hin(tvintV>)’\{u}) do ibfe(g(iun,v) E) then independent false; break; if (inledteIp=enΦde; nt = false) then break; foreach V’ Powerset(V) do
和等于z
3.3 子集和问题
蛮力法：检查S的每个子集 S’，直至找到一个元素 之和等于z的子集，失败则返回空集。
[子集和问题的蛮力算法] Algorithm Brute_Subset(z: int; S: int[] ) begin
foreach S’ Powerset(S) do if (Sum(S’) = z) then return S'; return Φ; end
时间复杂度：O(2n)