振动基本原理

第1章振动基本原理讲授：谷立臣振动现象•自人类使用机器以来，振动控制问题一直是个重要课题。

•近年来，由于测量仪器及振动知识的进步，振动控制技术已经整合到机械设计中，取得很好的效果。

•因此,掌握机械振动的测试（量）分析技术，将大大地有助于机械性能的改善。

机械振动的来源•机器零件的制造公差•组装时的间隙•零件间的摩擦•旋转不平衡等但有时也利用振动的特性来帮助我们工作振动的特性•当一部机器用全部的能量来完成工作，理想状态下机器完全不会产生振动。

但事实上，机器运转的循环力经由机器本身的传递而产生另一副产品“振动”。

因此，机器一部分能量以振动形式消散。

•机器振动时机器本身在平衡位置附近做来回运动，一秒钟内完成来回运动的次数称为“频率”，以Hz 为单位。

来回运动的大小称为“振幅”。

cy=+=my ky2ω+=y y+= mx kxmy cy ky ++=22y y y ζω++=（1）ζ＜ω，小阻尼情况（一对共轭复根）式中称为“有阻尼振动的圆频率”相应地称为“有阻尼振动的自振周期”或结论：振幅衰减的自由振动。

2212,r r ζζω=-±-''12(cos sin )t y e c t c t ζωω-=+'22ωωζ=-''2T πω='sin()t y ce t ζωφ-=+t e ζ-大阻尼情况下的振动曲线：时位移-时间曲线（3）ζ=ω，临界阻尼情况特征根（两个相同的实根）通解结论：由振动过渡到非振动的临界状态。

000,0y y >>12r r ζω==-=-12()t y e G G t ζ-=+000,0y y >>简谐振动的旋转矢量法当Δφ= ±2kπ,( k =0,1,2,…),两振动步调相同,称同相当Δφ= ±(2k+1)π, ( k =0,1,2,…),两振动步调相反,称反相同相和反相阻尼振动的振动方程:（以摩擦阻尼为例）振子受粘性阻力:运动方程：固有角频率阻尼因子小阻尼每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，周期越接近于谐振动。

f v γ=220220d x dx dt dt βω++=0k m ω=2m γβ=•过阻尼阻尼过大，在未完成一次振动以前，能量就已消耗掉，振动系统将通过非周期运动回到平衡位置•临界阻尼使系统能以最短时间返回平衡位置，而恰好不作往复运动的阻尼应用于天平调衡受迫振动•振动系统在周期性外力持续作用下进行的振动。

•振动周期与周期性外力的周期相同•受迫振动振幅的大小，不决定于系统的初始条件，而与振动系统的性质(固有角频率、质量)、阻尼的大小和强迫力的特征有关。

ωr振动大小的表示方式有以下的振动表达方式来代表振动的严重程度•峰峰值(peak-to-peak)表示机器振动位移量的大小。

•峰值(peak)表示机器瞬间承受冲击的振动量大小。

•平均值(average)表示机器在某段时间内的振动量平均值。

•均方根值(RMS)最能表示机器在某段时间内所承受的振动能量，即振动的破坏能力。

振动的测量单位振动的测量单位有三种：•位移(displacement)•速度(velocity)•加速度(acceleration)•对于中、高频振动信号的频谱分析一般用速度与加速度传感器测量•对于较低频的振动信号及机械元件的振动则用位移作测量单自由度系统在基础受力时的受迫振动2001012()(()())(()())0d y t d c y t y t k y t y t dt dt +-+-=0101()()()y t y t y t =-22010110122()()()()d y t dy t d y t m c ky t m dt dt dt ++=-2222(/)()[1(/)][2/]n n n A ωωωωωζωω=-+22/()[]1(/)n n arctg ζωωωωωΦ=--比较质量块运动的幅-频曲线22()()()()d y t dy t m c ky t f t dt dt ++=2221()[1(/)](2/)n n A ωωωζωω=-+拍振－两个简谐振动的合成合成振动为周期性非简谐振动振幅变化的频率等于振幅的数值在A1 + A2 到A1 -A2间变化)(21ωω-tA t A x 2211sin sin ωω+=•当时，合成振动为拍振•振幅变化的频率等于ω21ωω≈tt A x )2sin(])2cos[cos(22121ωωωω--=3、多自由度体系的自由振动3.1 两个自由度体系的自由振动运动方程的建立（1）列位移方程（柔度法）：将惯性力代入上式并整理，得：222111ym I y m I ==⎩⎨⎧=++=++00222221121122121111y y m y m y y m y mδδδδ（2）列动力平衡方程（刚度法）：注意：1）单自由度：；多自由度：。

2)利用功的互等定理，以上两式可化为相同形。

3)求法、意义分别同力法、位移法。

⎩⎨⎧==0021R R ⎩⎨⎧=++=++002222212111212111y m y k y k y m y k y k11111δ=k [][]1-=δk ij ij k ,δ3.2 多自由度体系的自由振动运动方程的建立（1）列位移方程（柔度法）：移项后，写成矩阵的形式：)()()()()()()()()(22211122222112121221211111n n nn n n n n n n n n n ym y m y m y y m y m y m y y m y m y m y -+-+-=-+-+-=-+-+-=δδδδδδδδδ[][]{}{}{}0=+Y Y M F（2）列动力平衡方程方程（刚度法）：移项后，写成矩阵的形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++000221222212122121211111n nn n n n n n n n n n y k y k y k y m y k y k y k y m y k y k y k y m[]{}[]{}{}0=+Y K Y M运动方程的求解和频率方程设方程的特解（同频率、同相位、质点位移之比为常量）：用矩阵表示将方程的特解及其二阶导数代入式（1），化简后得：[]{}[]{}{})1(0 =+Y K Y M ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫+=+=+=)sin()()()sin()2()()sin()1()(21φωφωφωt n X t y t X t y t X t y n {}{}{}{})3()sin()2()sin(2φωωφω+-=+=t X y t X y []{}[]{}0)sin()sin(2=+++-φωφωωt X K t X M [][](){}{}02=-X M K ω3.3 多自由度体系主振型的正交性定义所谓主振型的正交性是指不同频率相应的主振型之间存在着相互正交的性质。

证明：设：与ωi相应的振型向量为{X i}图(a) ,与ωj相应的振型向量为{X j}图(b)；3.4 多自由度体系的强迫振动运动方程的建立移项后，写成矩阵的形式：若动力荷载不直接作用在质点处，应以代替⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++)()()(22122222121221121211111t p y k y k y k y m t p y k y k y k y m t p y k y k y k y m n n nn n n n n n n n n n[]{}[]{}{})(t p Y K Y M =+ {})(t R ip -{})(t p4、转子振动的基本特性Jeffcott转子转子有两种运动：一种是转子的自身转动，即圆盘绕其轴线AO′B的转动 另一种是弓形转动，即弯曲的轴心线AO′B与轴承联线AOB组成的平面绕AB轴线的转动质心G 与转轴中心O′不重合令：Z = x ＋i y22cos sin mx kx me t my ky me tωωωω⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22i t n Z Z m e ωωω+=i t Z Ae ω=22222()1()n n n e e A ωωωωωωω==--•Ω<<ωn时，A＞0，O′点和G点在O点的同一侧•ω＞ωn 时，A＜0，但A＞e ，G在O和O′点之间•Ω>>ωn 时，A≈-e，或OO′≈-O′G，圆盘的质心G近似地落在固定点O，振动很小，转动反而比较平稳。

这种情况称为“自动对心”•ω＝ωn时，A→∞，是共振情况。

实际上由于存在阻尼，振幅A不是无穷大而是较大的有限值，转轴的振动非常剧烈，以致有可能断裂.ωn称为转轴的“临界角速度”；与其对应的每分钟的转数则称为“临界转速”（a）幅频特性曲线（b）相频特性单自由度有阻尼强迫振动。