力系的平衡

M O M O (Fi ) 0
F 0 F 0 M (F ) 0
x
y
①一矩式
O
i
F
x
0
m A ( Fi ) 0 mB ( Fi ) 0 mC ( Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在 同一直线上
m A ( Fi ) 0
mB ( Fi ) 0
解：以杆O1B 为研究对象，受力图如图，建立平衡方程
O1 A 0 M2 FA
M 0:
O1 A 0 M2 FA
以曲柄OA 和套筒为研究对象，对于曲柄和套筒力偶只能 与力偶平衡，故力FA 、FO 必构成力偶。受力图如图，建立平 衡方程
M 0:
由于
FA FA
FE 3 2FP 12 2kN , FDx 2FP 8kN , FDy 2FP 8kN
再取整体为研究对象，受力如图所示。列平衡方程
3a M C ( F ) 0, FBy 2a FP 2 0
解得
FBy
3 FP 3kN 4
最后取杆ADB为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程
例2 已知：P=20kN, m=16kN· m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的约束力。
解：研究AB梁
由 X 0, X A 0
m A ( F ) 0 ;
a R B a q a m P 2 a 0 2 Y 0 YA RB qa P 0
代入数值得
a M F sin 3a 0 2
FB 2.89kN
再研究整个组合梁， Fx 0
FAx F cos FB sin 0
FAy FB cos q 2a F sin 0
F
y
0
M
A
(F ) 0
M A q 2a 2a M FB cos 6a F sin 5a 0
FBy P
M
B
(F ) 0
( FNC P )
l FD r 0 2
FNC 2P
例3 组合梁ACB如图所示，已知q=2kN/m，F=4kN， 30 。试求A、B处的约束力。 M=4kN· m，a=2m，
解：先研究CB杆。 M C (F ) 0
FB cos 4a qa
Pl FD 2r
F
x
0
Pl 2r
FD FAx 0 FAx
F
y
0
FAy P 0
FAy P
再研究BDE杆及轮，所受力系也为一平面任意力系。
F
M
x
0
Pl FBx 2r
FD FBx 0
C
(F ) 0
l FBy FD r 0 2
FAx 0 FAy 6kN M A 12kN m
M
( F ) 0,
代入数据，解得
课堂练习 1.求图示受力刚架A、D处的约束力。 m=4qa
课堂练习 2. 如图所示三种结构，构件自重不计，忽略摩擦，α=600， AC=BC=DC。B处都作用有相同的水平力F，求铰链A处的 约束力。
SCA PED 1000 1 1414 ( N) o sin45 CE 0.7071
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
FB
G 500 577.4N o o cos 30 cos 30
解: ②几何法
（力多边形自行封闭）
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
Y 0
P S B cos 0
P S B , N P tg cos
再研究轮
mO ( F ) 0 S A cos R M 0
X 0
X O S A sin 0
S A cos YO 0
Y 0
M PR X O P tg
再取三角块BDE为研究对象，受力如图所示。列平衡方程
M
D
0
FBy 4 M F2 2 FBx 4 0
代入数据得
FBx 36.37
N
将所得结果代入式得
FAx 66.37
N
例5 图示机构，套筒A 穿过摆杆 O1B ，用销子连接在曲柄OA 上，已知长为 a ，其上作用有力偶 M1 。在图示位置β=30o ，机 械能维持平衡。不计各杆自重，试求在摆杆 O1B 上所加力偶的力 偶矩 M2 。
解得：
y
0:
FAB sin FBC sin F 0
FBC FAB
F 2sin
[练习3] 已知各杆均铰接，B端插入地内，P=1000N， AE=BE=CE=DE=1m，杆重不计。 求AC 杆内力？B点的反力？
① 选整体研究 解： ② 受力如图 ③ 选坐标、取矩点、Bxy,B点 ④ 列方程为:
5 FP 5kN 4
三、解题步骤与技巧
① 选研究对象 ① 选坐标轴最好是未知力投影轴； ② 画受力图（受力分析） ② 取矩点最好选在未知力的交叉点上； ③ 选坐标、取矩点、列 ③ 充分发挥二力杆的直观性；
平衡方程。
解题步骤
解题技巧
④解方程求出未知数
四、注意问题
④ 灵活使用合力矩定理。
力偶在坐标轴上投影不存在； 力偶矩M =常数，它与坐标轴与取矩点的选择无关。
§2–3 物体系统的平衡
当：独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
[例]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
物系平衡的特点： ①物系静止,物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个平衡方程，整个系统可列3n个 方程（设物系中有n个物体）
理论力学
第二章 力系的平衡
§ 2–1 § 2–2 § 2–3 习题课 力系的平衡条件与平衡方程 平衡方程的应用 物体系统的平衡
§2–1 力系的平衡条件与平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件为：
力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R' ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 0
解：取刚架作研究对象，画受 力图。建立图示坐标系，列出
平衡方程
Fx 0, F
y
FAx
0,
O
q 4 F cos 45 0 2 FAy F sin 45 0 q 4 M A M F cos 45 4 F sin 45 3 4 0 2 3
课堂练习 3.在图示结构中，各构件的自重不计。在构件AB 上 作用一矩为M 的力偶，求支座A 和C 的约束力。
课堂练习 4. 如图所示，输电线ACB 架在两电线杆之间，形成一下垂 曲线，下垂距离 ，两电线杆间距离 。 电线ACB 段重 ，可近似认为沿AB 线均匀分布。 求电线的中点和两端的拉力。
解得：
qa m 200.8 16 RB 2 P 22012( kN) 2 a 2 0.8 YA P qa RB 20 200.81224(kN)
例3 图示刚架中，已知q=3kN/m，F= 6 2 kN， M=10 kN· m，不计刚架的自重。求固定端A处的约束力。
YO P
[负号表示力的方向与图中所设方向相反]
例2 轮重为P，半径为r，BDE为一直角折杆，A为固定铰 链，B、E为中间铰链，D处为可动铰链，BC CA l / 2 ，不计 杆重和摩擦，求A、B、D处的约束力及轮作用在ACB杆上的 压力。
解：先取整体为研究对象
M
A
(F ) 0
l P FD r 0 2
练习1.简易压榨机由两端铰接的杆OA、OB 和压板D 组成， 各构件自重不计。已知AB = BC ，杆的倾角为α ，B 点作用 有铅垂压力，求水平压榨力F1 。
解:以节点B 为研究对象，受力图与坐标系如图所示。建立 平衡方程 Fx 0 : FAB cos FBC cos 0
F
X B 0; X 0 Y 0 YB P 0; YB P mB 0 M B P DE 0
解方程得
M B 100011000( Nm)
① 再研究CD杆 ② 受力如图 ③ 取E为矩心，列方程 ④ 解方程求未知数
mE 0,SCAsin45o CE PED0
FBy 6 F1 cos 4 F1 sin 2 M F2 4 4q 2 0
F
y
0
（1）
FAy FBy F1 sin F2 0
F
解得
x
0
FBx 4q FAx F1 cos 0
FBy 86.13 N
FAy 120.47 N
M1 FA OA sin 30o 0
OA O1 A sin 30o
解得： M 2 4 M1
例6 单向动作齿条式送料机构如图所示,手柄全长DC 为10a，可绕固定铰O转动，OD长为3a ，棘爪DK用销 钉D连于手柄上，作用力FP与杆CD垂直，送料阻力FQ 沿齿条AB的轴线，机构在图示位置平衡。不计各构件 自重和摩擦，求平衡时力FP和力FQ之间的关系。
解：先取杆CD为研究对象，注意到棘爪DK为二力 杆，其受力如图所示。列平衡方程
M
O
(F ) 0, FDK sin( ) OD FP OC 0
解得
FDK
OC 1 FP OD sin( )
再取齿条AB为研究对象，其受力如图所示。列平衡方程