空间力系的平衡
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空间力系的平衡
所示，重力G与三轮地面反力FNA、FNB、FNC构成空间平行力系。 （2） 选取坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。 （3） 列平衡方程求解。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
∑Mx(Fi)=0 FNC·CH-G·ED=0 ∑My(Fi)=0 G·EF+FNB·HB-FNA·AH=0 ∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0
解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
z
z
＋
－
z －＋
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理
设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为
第3章 空间力系的平衡
C
D 45° B
45 ° FB
45 °
FC O
G
A
(a)
G2
0.8 m C G
1
0.6 m 0.6 m
0.2 m
A NA
NC B
2m
NB
(b)
160 200 160
FAz Fr2 A
Ft2 r2 r1
FB2 B
FAx
Fr1 F FBx
t1
(c)
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
5 4 68.6N 34 5
F3y F3 cos cos 100
5 3 51.5N 34 5
F3z F3 sin 100
3 51.5N 34
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。
8.空间力系的平衡
m3 b m2 c m1 bZD cYD b( ) c( ) m2 m3 a a a a
此题训练：
①力偶不出现在投影式中 ②力偶在力矩方程中出现
是把力偶当成矢量后，类 似力在投影式中投影
③力争一个方程求一个支
反力
④了解空间支座反力
例3 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N，
V
ydV P
, zC
V
zdV P
dV
，上式为重心C 坐标的精确公式。
若以△Pi= △mig , P=Mg 代入上式可得质心坐标公式
xC
m x M
i i
, yC
m y
i
i
M
, zC
m z M
i i
对于均质物体， =恒量，上式成为：
x dV y dV z dV V V V xC , yC , zC V V V
M O ( M x ( F )) 2 ( M y ( F )) 2 ( M z ( F )) 2
所以空间任意力系的平衡方程为：
F F F
x
y
z
0, M z ( F ) 0
0, M y ( F ) 0 同时各有一定限制条件。
0, M x ( F ) 0 还有四矩式，五矩式和六矩式，
2
角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心的位置。
x1 A1 x2 A2 xC 39.5mm A1 A2 y1 A1 y 2 A2 yC 64.5mm A1 A2
②负面积（体积）法 在规则物体或薄板内切去一简单几何形状部分，把切去 部分的面积或体积取为负值。称为负面积（体积）法。 例3 求图示截面的形心。（单位：mm）
大学理论力学__空间力系的平衡方程
例3 自重为P=100KN的T字形刚架ABD，置于铅垂面内，载 荷如图示。其中M=20KNm,F=400KN, q=20KN⁄m,l=1m。求固定端 A的约束力。
l 30 ° F 3l B
l
M
D
P A
q
解：选T字形刚架ABD为研究对象。
l 30 ° F B
l
M
D
Fx 0
1 FAX q 3a Fcos30 0 2
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系 中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零， 对每一坐标轴之矩的代数和为零。
特例：（1）空间平行力系的平衡方程 令z轴与力系各力的作用线平行，有
Z
i
0
x
M
( Fi ) 0
(Fi ) 0
M
y
（2）空间汇交力系的平衡方程 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过该点，故
Fn
O
x
M
A
0
平行力系平衡方程的二力矩式：
M
A
0
M
B
0
3.2平面任意力系平衡方程的应用
例1 图示水平梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一滚动支座。 梁长为4a，梁重P，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载 荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M = Pa。求A和B 处的支座约束力。
FA FB P1 P2 P3 0 1 FB (14P2 2P1 4P3) 870KN 4
FA 210KN 验证： MB( F ) 0 P3(6 2) 2P1 P2(12 2) 4FA 0
1 FA (10P2 2P1 8P3) 210KN 4
第四章 空间力系的平衡
应用静力学
第4章
空间力系的平衡
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 1
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 2
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间平行分布力
z q x O
L x
例1 沿AOB分布的平行分布力， 最大分布集度为q，OA=OB=L。 求合力大小及位置。 解：方法一
xC
F
B
y
A
xq dx
A
xq( L x) / Ldx qL
0
L 6
yC
yq
y
dy
L
yq( L y ) / Ldy qL
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间约束
一. 约束回顾
1. 柔索
1
2. 光滑接触面 1
3. 平面光滑柱铰
F F F
x
0
y
0
0
z
M M M
x
0
y
0
0
z
空间平行力系
(parallel force system in space) 平衡方程:
第4章
空间力系的平衡
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 1
静力学
第4章 空间力系的平衡
实 例 2
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间平行分布力
z q x O
L x
例1 沿AOB分布的平行分布力， 最大分布集度为q，OA=OB=L。 求合力大小及位置。 解：方法一
xC
F
B
y
A
xq dx
A
xq( L x) / Ldx qL
0
L 6
yC
yq
y
dy
L
yq( L y ) / Ldy qL
静力学
第4章 空间力系的平衡
主要内容
本章内容： 1. 空间约束； 2. 空间分布力；
3. 空间汇交力系的平衡； 4. 空间平行力系的平衡；
5. 空间力偶系的平衡；
6. 空间一般力系的平衡。
静力学
第4章 空间力系的平衡
空间约束
一. 约束回顾
1. 柔索
1
2. 光滑接触面 1
3. 平面光滑柱铰
F F F
x
0
y
0
0
z
M M M
x
0
y
0
0
z
空间平行力系
(parallel force system in space) 平衡方程:
建筑力学课件 第六章 空间力系的平衡
Fz= Fz×sin30° =200×sin30°=100N
6.2 空间一般力系
因分力Fxy与x、y轴都相 交，它对x、y轴之矩都
为零，因此
Mx（F） =Mx（Fxy）+Mx（Fz）
= Mx（Fz） =100×2=200N·m
6.2 空间一般力系
My（F） =My（Fxy）+My（Fz） = My（Fz） =－100×2 =－200N·m
6.1 空间汇交力系
根据平衡条件，建 立平衡方程并求解
6.1 空间汇交力系
F2
1 2
F3
1 2
0力对轴之矩 在生活和生产实际中，经常会遇到物体绕定轴转 动的问题。门的开启和关闭即是最常见的例子。 如图所示的门，设力F作用于门上的A点，为了 研究力F使门绕z轴转动的 效应，可将它分解为一个 与转轴z平行的分力Fz和 一个通过A点且垂直于z 轴的平面上的分力Fxy。
6.1 空间汇交力系
如果力F与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ，根 据力在坐标轴上投影的定义,显然力在x、y、z坐 标轴上的投影Fx、Fy、Fz 的大小分别为
6.1 空间汇交力系
上面式中cosα、cosβ、cosγ称为力 矢量F的方向余弦。所以力在某 轴上的投影等于力矢量与该轴 正方向之间的夹角的余弦与力 的大小的乘积。
6.1 空间汇交力系
二、空间汇交力系平衡
根据平面汇交力系平衡的解析条件，同理 可得，空间汇交力系平衡的充分与必要条 件是合力等于零，或者空间汇交力系的各 分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投 影的代数和都等于零。其表达式为
6.1 空间汇交力系
例6-1 如图所示， 重为W的物体用 三根连杆支承， 求每根连杆所受 的力。
即平 F矢投有面量影xFo到xyy，上z轴的和投xy影坐F标xy与平x面轴上得，夹分角别得，到则投可影先F将z 力和 FFzxy＝＝FFcsoins
6.2 空间一般力系
因分力Fxy与x、y轴都相 交，它对x、y轴之矩都
为零，因此
Mx（F） =Mx（Fxy）+Mx（Fz）
= Mx（Fz） =100×2=200N·m
6.2 空间一般力系
My（F） =My（Fxy）+My（Fz） = My（Fz） =－100×2 =－200N·m
6.1 空间汇交力系
根据平衡条件，建 立平衡方程并求解
6.1 空间汇交力系
F2
1 2
F3
1 2
0力对轴之矩 在生活和生产实际中，经常会遇到物体绕定轴转 动的问题。门的开启和关闭即是最常见的例子。 如图所示的门，设力F作用于门上的A点，为了 研究力F使门绕z轴转动的 效应，可将它分解为一个 与转轴z平行的分力Fz和 一个通过A点且垂直于z 轴的平面上的分力Fxy。
6.1 空间汇交力系
如果力F与三条坐标轴的夹角分别为α、β、γ，根 据力在坐标轴上投影的定义,显然力在x、y、z坐 标轴上的投影Fx、Fy、Fz 的大小分别为
6.1 空间汇交力系
上面式中cosα、cosβ、cosγ称为力 矢量F的方向余弦。所以力在某 轴上的投影等于力矢量与该轴 正方向之间的夹角的余弦与力 的大小的乘积。
6.1 空间汇交力系
二、空间汇交力系平衡
根据平面汇交力系平衡的解析条件，同理 可得，空间汇交力系平衡的充分与必要条 件是合力等于零，或者空间汇交力系的各 分力在空间直角坐标系三个坐标轴上的投 影的代数和都等于零。其表达式为
6.1 空间汇交力系
例6-1 如图所示， 重为W的物体用 三根连杆支承， 求每根连杆所受 的力。
即平 F矢投有面量影xFo到xyy，上z轴的和投xy影坐F标xy与平x面轴上得，夹分角别得，到则投可影先F将z 力和 FFzxy＝＝FFcsoins
第4章空间力系的平衡
∑ M z = 0 F1 ⋅ 400mm + FBx ⋅ 800mm = 0
解得
FAx = FBx = −1.5N
FAz = FBz = 2.5N
3. 空间平行力系 例4-3
已知： P=8kN, P = 10kN, 各尺寸如图 1 求：A、B、D 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P, P , FA , FB , FD , 1
D F ⋅ R − × (F2 − F1 ) = 0 2
例4-4
x
∑ M ( F ) = 0,
z
FBz × 400 + F1 cos 30 × 200 + F2 cos 60 × 200 − F × 200 = 0
∑ M ( F ) = 0,
∑F
x
− FBx ⋅ 400 + F1 sin 30 ⋅ 200 + F2 sin 60 ⋅ 200 = 0
−1c sθ Fo
Fz
−1sin F θ
x a
y
0 0 0 b b b
z
b b b b b b
cosθ =
0 0
0 0 0
−5c sθ Fo
−F2 a
a
2 2 F − F 3 3 2 2
θ
b
b a2 +b2 a a2 +b2
0 −F4 a
−5sin F θ
a
0
a
sinθ =
0
0 −F6 0
法 解： 1. 基本方程法 ∑Fx= 0, ∑Fy= 0,
1. 空间汇交力系
例4-1 起吊装置如图示，起重杆A端用球铰链固定 起吊 如图示，起重杆 在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系 在地面 在墙上点C和D，CD∥x轴，CD⊥BE。不计杆重， 若已知α=30°,CE=EB=DE，物重G =10kN。 求：起重杆所受力和绳子的拉力。 解：分析B铰链
解得
FAx = FBx = −1.5N
FAz = FBz = 2.5N
3. 空间平行力系 例4-3
已知： P=8kN, P = 10kN, 各尺寸如图 1 求：A、B、D 处约束力
解：研究对象：小车
受力：P, P , FA , FB , FD , 1
D F ⋅ R − × (F2 − F1 ) = 0 2
例4-4
x
∑ M ( F ) = 0,
z
FBz × 400 + F1 cos 30 × 200 + F2 cos 60 × 200 − F × 200 = 0
∑ M ( F ) = 0,
∑F
x
− FBx ⋅ 400 + F1 sin 30 ⋅ 200 + F2 sin 60 ⋅ 200 = 0
−1c sθ Fo
Fz
−1sin F θ
x a
y
0 0 0 b b b
z
b b b b b b
cosθ =
0 0
0 0 0
−5c sθ Fo
−F2 a
a
2 2 F − F 3 3 2 2
θ
b
b a2 +b2 a a2 +b2
0 −F4 a
−5sin F θ
a
0
a
sinθ =
0
0 −F6 0
法 解： 1. 基本方程法 ∑Fx= 0, ∑Fy= 0,
1. 空间汇交力系
例4-1 起吊装置如图示，起重杆A端用球铰链固定 起吊 如图示，起重杆 在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系 在地面 在墙上点C和D，CD∥x轴，CD⊥BE。不计杆重， 若已知α=30°,CE=EB=DE，物重G =10kN。 求：起重杆所受力和绳子的拉力。 解：分析B铰链
空间力系的平衡方程式及其应用
即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，
M x (F ) 0 ， M y (F ) 0， M z (F ) 0 。于是，空间汇交力系的平衡方程
只有三个，即
Fx 0
Fy
0
Fz
0
（3-18）
（2）空间平行力系
若取z轴平行于力系中各力的作用线，则 Oxy 坐标面与各力作用线
衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢
都等于零。即
FR 0
MO 0
根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成
空间任意力系平衡的必要与充分条 件是：力系中各力在任一直角坐标 系中每一轴上的投影的代数和等于 零，以及各力对每一轴的矩的代数 和也等于零。
Fx 0
Fy 0
式中，负号表明 FB ，FC 的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。
例3-4
O1 和 O2 圆盘与水平轴 AB 固连，O1 盘垂直于z轴，O2 盘垂直于x轴，
力的矢量和。
即
FR F1 F2 Fn Fi （3-11）
图3-9
附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 MO，等于各附加力
偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。
MO MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
F称R 为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢 M。O
Fz 0
M
x
(F
)
0
M y (F ) 0
M
z
(F
)
0
（3-17）
空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可 以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可 由方程式（3-17）导出，具体如下。
空间力系的平衡
B
P
A S6
S55B1
6
C
4
S4 S1
D
S
2
2
S3 3C1az1A1x y D1
a
a
mDA (F ) = 0 : S3a + S4 cos 45 a = 0 S3 = −
2 2
S4
= −P
mCD (F) = 0 : S6a + S5 cos 45 a = 0 S6 = −P
Z = 0 : −S1 − S6 − S3 − S5 cos45 − S4 cos45 − S2 cos45 = 0 S1 = P + P − P − P + P = P
因此空间力偶系的平衡问题最多可建立3个独立 平衡方程求解3个未知量。
求解空间任意力系平衡问题最关键的是建立合 适形式的平衡方程，尽可能避免求解联立方程组。
例 用六根不计自重杆支撑正方形板ABCD如图 所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板 的自重，求各杆的内力。
解：以板为研究对象，各杆均为二力杆， 设其均为拉力（若计算结果为负表示受 压），受力如图，建立如图坐标系。
方程数是6个，对一个刚 体，最多可建立6个独立 的平衡方程，可解6个未 知量。
以上是空间任意力系平衡方程的基本形式，而非 唯一形式。 1）可以选取空间任意直线为投影轴，可选取任意轴为 矩轴（可对任意轴取矩），这些轴不一定是坐标轴， 这些轴也不一定相互正交； 2）力的投影轴与矩轴不一定重合； 3）可以用力矩形式的平衡方程来代替投影形式的平衡 方程，即可建立4～6个力矩形式的平衡方程，而减少 投影形式的平衡方程个数，但独立的平衡方程个数最 多为6个。
的力系，如空间汇交力系、空间平行力系、空间力偶系、平
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(3.8)
第3章 空间力系的平衡
前三个方程称为投影方程，表示力系中各力在三个坐标 轴上投影的代数和分别等于零，表明物体无任何方向的移动。 后三个方程为力矩方程，表示力系中各力对三个坐标轴的力 矩代数和分别为零， 表明物体无绕任何轴的转动。 空间任意力系有六个独立的平衡方程，所以空间任意力系 的平衡问题最多可解六个未知量。
将上式向x、y、z三坐标轴上投影，即得 FRx=∑Fx FRy=∑Fy FRz=∑Fz
(3.4）
（3.5）
式（3.5）又称合力投影定理，它表明合力在某一轴上的投 影等于各分力在同轴上投影的代数和。
第3章 空间力系的平衡 【例3.1】 如图3.4所示为一圆柱斜齿轮，传动时受到啮合 力F的作用，若已知F=7 kN， α=20°、β=15°，求F沿坐标 轴的投影。
Mz(F)=Mz(Fxy)=MO(Fxy)=±Fxy·d
第3章 空间力系的平衡
z
F O d Fz A F xy
图 3.5
第3章 空间力系的平衡 力对轴之矩的单位是N·m，它是一个代数量，正负号可用 右手螺旋法则来判定：如图3.6所示，用右手握住转轴，四指与 力矩转动方向一致，若拇指指向与转轴正向一致时力矩为正； 反之，为负。也可从转轴正端看过去，逆时针转向的力矩为正， 顺时针转向力矩为负。 力对轴之矩等于零的情形：① 当力与轴相交时（d=0）， ② 当力与轴平行时（Fxy=0）。即当力与轴共面时，力对轴之 矩为零。
第3章 空间力系的平衡
∑ M x ( Fi ) = 0 M O = ∑ M O ( Fi ) = 0 ∑ M y ( Fi ) = 0 ∑ M z ( Fi ) = 0
∑ Fx = 0 FR = ∑ Fi = 0∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
第3章 空间力系的平衡
z
z
z
－
＋
＋
－
图 3.6
第3章 空间力系的平衡 3.2.2 合力矩定理 设有一空间力系F１、F2、…、Fn，其合力为FR，则合力对 某轴之矩等于各分力对同轴之矩的代数和，表达式为 Mx(FR)=Ｍx(F1)+Mx(F2)+…+Mx(Fn)=∑Mx(Fi) My(FR)=Ｍy(F1)+My(F2)+…+My(Fn)=∑My(Fi) Mz(FR)=Ｍz(F1)+Mz(F2)+…+Mz(Fn)=∑Mz(Fi) (3.7)
A′
ϕ
图 3.3
第3章 空间力系的平衡 若已知投影Fx 、Fy 、Fz ，则合力F的大小、方向可由下式 求得
2 F = Fxy + Fz2 = ( Fx2 + Fy2 ) + Fz2 = Fx2 + Fy2 + Fz2 Fy Fx Fx cos α = cos β = cos γ = F F F
第3章 空间力系的平衡
表3.1 平衡方程
第3章 空间力系的平衡 常见的空间约束类型 3.3.2 应用举例 表3.2
空 间 约 束 类 型
1. 向向向向向向向向向向向向向
Nz
简简简简
约束约向
Nx
2. 向向向向向向向向(球)向向、向向径向(短)向向向
向承球承承
Nz
Ny Nx
3. 柱柱承承
Nz mz Ny
第3章 空间力系的平衡
z 200 R Az A R Ax x Fr d R Bx T t (a) z A R Az Fr B y T ＋t (b) Ft A R Ax x (c) B y R Bx R Bz T (d) t R Ax ＋R Bx 200 Ft 60 R Bz B D y A x Ft z Fr R Az ＋R Bz
（3.3） 其中, α、β、γ分别为力F与x、y、z轴间所夹之锐角。
第3章 空间力系的平衡 3.1.3 合力投影定理 设在某物体上A点，作用一空间汇交力系F1、F2、…、Fn， 与平面汇交力系合成相似，运用平行四边形法则，可将其逐步 合成为一作用于汇交点的合力FR，故有
FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi
第3章 空间力系的平衡
3.3 空间力系的平衡
3.3.1 平衡条件及平衡方程 平衡条件及平衡方程 与平面任意力系相同，空间任意力系向一点简化，可得一 个空间汇交力系和一组空间力偶系，前者可合成为主矢，后者 可合成为主矩。若主矢、主矩同时为零，则该空间任意力系必 定平衡；反之，若空间任意力系平衡，则该主矢、主矩必同时 为零。故空间任意力系平衡的充要条件是：主矢、主矩同时为 零。由此可得空间任意力系的平衡方程:
∑Fz=0 FNA+FNB+FNC-G=0 解得：ＦNA=0.95 kN, FNB=0.05 kN, FNC=0.5kN
第3章 空间力系的平衡 【 例 3.4】 某 传 动 轴 如 图 3.9(a) 所 示 。 已 知 皮 带 拉 力 T=5kN,t=2 kN，带轮直径D=160mm，分度圆直径为d=100mm， 压力角（齿轮啮合力与分度圆切线间夹角）α=20°， 求齿轮圆 周力Ft、径向力Fr和轴承的约束反力。 解 取传动轴为研究对象，画出受力图如图3.9（a）所示。 由图可知，传动轴共受八个力作用，为空间任意力系。对于空 间力系的解法有两种：一是直接应用空间力系的平衡方程求解， 如例3.3；二是将空间力系转化为平面力系求解，即把空间的受 力图投影到三个坐标平面，画出主视、俯视、侧视三个视图。 分别列出它们的平衡方程，同样可解出所求的未知量。 本法特 别适用于解决轮轴类构件的空间受力平衡问题。 本题用两种方 法分别求解。
α
F1
O F2
β
α
F1
O F2 β
γ
图 3.7
(b)
第3章 空间力系的平衡 解 （1）计算投影。 F1 : F1x = 0
2 F1 y = − F sin α = −100 ⋅ = −50 2 = −70.7 N 2 2 F1z = F cos α = 100 ⋅ = 50 2 = 70.7 N 2 F2 : F2 x = 0, F2 y = 0, F2 z = F2 = 100 N 5 4 F3 : F3 x = − F3 cos β sin γ = −100 ⋅ = −68.6 N 34 5 5 3 F3 y = F3 cos β cos γ = 100 ⋅ = 51.5N 34 5 3 F3 z = − F3 sin β = −100 = −51.5N 34
第3章 空间力系的平衡
3.2 力 对 轴 之 矩
3.2.1 力对轴之矩的计算 力对轴之矩的计算 在工程实际中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形， 为了度 量力使物体绕定轴转动的效果，我们引入力对轴之矩的概念。 如图3.5所示，可把推门的力F分解为平行于z轴的分力Fz和 垂直于z轴的平面内的分力Fxy。由经验可知，分力Fz不能使静止 的门转动，力Fz对z轴的矩为零，只有分力Fxy才能使静止的门绕 z轴转动。现用符号Mz（F）表示力F对z轴之矩。点O为Fxy所在 平面与z轴的交点，d为点O到Fxy作用线的距离，即 （3.6） 上式表明：空间力对轴之矩等于此力在垂直于该轴平面上 的分力对该轴与此平面交点之矩。
Fz
F F xy Fy
β
Fx C
β
α
A z
B
F xy
Fx
β
O x y Fy A
图 3.4
第3章 空间力系的平衡 解 从以力F为对角线的正六面体可得： 径向力
Fz=-F sinα=-2.39 kN
轴向力
Fx=Fxysinβ=F cosαsinβ=1.70 kN
切向力
Fy=Fxycosβ=F cosαcosβ=6.35kN
F r2
200 160
F t2 r2 r1
F B2 B
0.2 m
NC B
2m
F t1 NB (c)
F Bx
F r1
图 3.1
第3章 空间力系的平衡
3.1 力在空间直角坐标轴上的投影
3.1.1 直接投影法 直接投影法 力在空间直角坐标轴上的投影定义与在平面力系中的定义 相同。若已知力与轴的夹角，就可以直接求出力在轴上的投影， 这种求解方法称为直接投影法。 设空间直角坐标系的三个坐标轴如图3.2所示，已知力F与 三轴间的夹角分别为α、β、γ，则力在轴上的投影为
第3章 空间力系的平衡 (2） 计算力对轴之矩。 先将力F3在作用点处沿x、y、z方向分解，得到三个分量F3x、 F3y、F3z（如图3.7(b)所示），它们的大小分别等于投影F3x、F 3y、F3z的大小。 根据合力矩定理，可求得力F3 对指定的x 、 y 、 z三轴之矩如 下： Mx(F3)=Mx(F3x)+Mx(F3y)+Mx(F3z)=0-F3y×0.3+0=-15.4N·m My(F3)=0 Mz(F3)=Mz(F3x)+Mz(F3y)+Mz(F3z)=0+F3y×0.4+0=20.6 N·m
图 3.9
第3章 空间力系的平衡 方法一 如图3.9（a）所示，由式（3.8）可写出平衡方程。 ∑Fx=0
式（3.7）称为合力矩定理， 在平面力系中同样适用。
第3章 空间力系的平衡 【例3.2】 如图3.7(a)所示，已知各力的值均等于100 N，六 面体的规格为30cm×30cm×40 cm。 求：(1）各力在x、y、z轴上的投影；(2）力F3对x、y、z轴 之矩。
z 30 40 30 40 F 3y F3 y F 3z x (a) x F 3x z 30 F 3 xy 30 F3 y
Fz = F cos γ Fx = Fxy cos ϕ = F sin γ cos ϕ F⇒ Fxy = F sin γ ⇒ F = F sin ϕ = F sin γ sin ϕ （3.2） xy y