空间力系介绍
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第四章空间力系
• 各分力相连的顺序任意，但合成的结果是惟一的。
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
n
2、解析法 各力沿坐标轴投影得:
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
i =1
FRx = F1x + F2x + L + Fnx = ∑ Fix
i =1
n
FRy = F1y + F2y + L + Fny = ∑ Fiy
45o
静力学
D
F2
C F
30o 45o
（2） 列平衡方程
B
F =0 ∑ Fxx = 0
F =0 ∑ F yy = 0 F =0 ∑ Fzz = 0
F11 sin 45 oo − F22 sin 45 oo = 0
F1
α
F A sin 30 oo− F11 cos 45 oo cos 30 oo − F22 cos 45 oo cos 30 oo= 0 F A sin 30 − F cos 45 cos 30
1
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
§4-1 空间汇交力系
Spatial Concurrent Force System 空间汇交力系：各力作用线不在同一平面而且汇交于一点。
一、力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解
1、空间任意力在轴上的投影
第四章 空间力系 Spatial Force System
16
第四章 空间力系 Spatial Force System
静力学
即：力Ｆ对 z 轴之矩，等于该力在垂直于 z 轴 平面上的投影F'对z 轴与投影面交点O之矩。
第四章空间力系
2 2 2 大小 M O [M O ( Fi )]x [M O ( Fi )]y [M O ( Fi )]z 2 2 2 [M x ( Fi )] [M y ( Fi )] [M z ( Fi )]
（4-19a）
' FR F2'
F R F1 F 2 Fn Fi
（4-3） （4-4）
或 其中
xi yi
F R F xi i Fyi j Fzi k
F , F , F
zi
为合力 FR 沿x、y、z轴的投影。
（4-5） （4-6）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 由此得
y
方向 cos(MO , i ) M x (Fi ) MO
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩 二、空间任意力系的简化结果分析 ' 1. FR 0, M O 0 简化结果：合力偶 合力偶矩矢
M O M O (Fi )
主矩与简化中心的位置无关
2、空间力偶的三要素：
（1）大小： M Fd （2）方位：垂直力偶作用面
（3）指向：力偶的转向
§4-3 空间力偶
3、空间力偶的性质： （1）力偶中两力在任意坐标轴投影的代数和为零； （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变； （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
例4-3 已知：F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F 解：将力 F 分解如图
（4-19a）
' FR F2'
F R F1 F 2 Fn Fi
（4-3） （4-4）
或 其中
xi yi
F R F xi i Fyi j Fzi k
F , F , F
zi
为合力 FR 沿x、y、z轴的投影。
（4-5） （4-6）
空间汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力等于零。 由此得
y
方向 cos(MO , i ) M x (Fi ) MO
§4-4 空间任意力系向一点的简化●主矢和主矩 二、空间任意力系的简化结果分析 ' 1. FR 0, M O 0 简化结果：合力偶 合力偶矩矢
M O M O (Fi )
主矩与简化中心的位置无关
2、空间力偶的三要素：
（1）大小： M Fd （2）方位：垂直力偶作用面
（3）指向：力偶的转向
§4-3 空间力偶
3、空间力偶的性质： （1）力偶中两力在任意坐标轴投影的代数和为零； （2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变； （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转， 且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚
正负号规定：从坐标轴正向看，逆时针转向为正，反之为负。
§4-2 力对点的矩和力对轴的矩
例4-3 已知：F , l , a, 求： Mx F ,My F ,Mz F 解：将力 F 分解如图
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
第六章空间力系
理论力学
鉴于空间力偶区别于平面力偶的特点，可以用一个矢量 表示空间力偶，该矢量垂直于力偶作用面，指向由右手定则 确定。并且矢的长度表示力偶矩的大小，矢的方位与力偶作 用面的法线方位相同，即如以力偶的转向为右手螺旋的转动 方向，则大拇指指向即为力偶矩矢的方向，如图 6－10 所示。 此矢量称为力偶矩矢，记作 M 由此可知。
第6章 空间力系
理论力学
6.1 空间汇交力系
6.1.1 力在坐标轴上的投影
若已知力与正交坐标系 Oxyz 三轴间夹角，则用直接投影 法，如图 6－1a，力 F 可以对 x，y，z 三个方向上投影，其正 交分力分别为 Fx，Fy，Fz，则其大小为：Fx＝Fcos(F，i)，Fy ＝Fcos(F，j)，Fz＝Fcos(F，k)。
图 6－3
第6章 空间力系
理论力学
解：用二次投影法求解。由图 6－3b 得：
Fx＝Ft＝Fcosαsinβ (圆周力) Fy＝Fa＝－Fcosαcosβ (轴向力) Fz＝Fr＝－Fsinα (径向力) 如已知力在坐标轴上的投影 Fx、Fy、Fz，可按下式决定 力的大小和方向余弦：
F＝ Fx2＋F2y＋F2z(6－4) cosα＝FFx，cosβ＝FFy，cosγ＝FFz
上的投影为 Fx＝Fsinγcosφ，Fy＝Fsinγsinφ，Fz＝Fcosγ。若以 Fx、Fy、Fz 表示力 F 沿直角坐标轴 x、y、z 的正交分量，则 力 F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢量间的关系
可表示为：
F＝Fx＋Fy＋Fz＝Fxi＋Fyj＋Fzk
(6－1)
第6章 空间力系
理论力学
第6章 空间力系
理论力学
6.2.3 力对点的矩与力对轴的矩的关系
第三章 空间力系
Ft tan Fa Ft tan Fr cos
第三章 空间力系
【课堂练习】图示力F作用在A点，此力在x轴、y轴、z轴 上的投影分别是多少？
第三章 空间力系
三、交于一点且互相垂直的三力的合成
力直角平行六面体法则
F＝
Fx2 Fy2 Fz2
Fx cosα＝ F
Fy cosβ＝ F
第三章 空间力系
（2）力F对各坐标轴之矩为： Mz(F )= Mz(Fx)+Mz(Fy)= -Fx· y+Fy· x= -10.98 N· m Mx(F )=Mx(Fy)+Mx(Fz)= -Fy· z-Fz· y= -105 N· m My(F)=My(Fx)+My(Fz)=Fx· z+Fz· x=53.3 N· m。
解：
（1）确定车刀刀尖为研究对象，以工件主轴为水平轴空间 直角坐标系。
第三章 空间力系
（ 2）刀尖受力分析
刀尖受到径向力Fx（沿x轴方向）、轴向力Fy（沿y轴方 向）、圆周力Fz（沿z轴方向）的作用。 （3）用力直角平行六面体法则求合力F 以三力Fx、Fy、Fz为棱边作一直角平行六面体，则此六面 体的对角线即为三力的合力F＝19.6 kN
第三章 空间力系 三、空间力系的平衡条件和平衡方程
力矢的主矢和力系对空间任意一点的主矩都等于零。
FR' 0
，
Mo 0
Fy =0 Fy=0 Fz=0 Fz =0 Mx(F )=0 Mz(F )=0
• 空间汇交力系力系 Fx =0 • 空间平行力系力系 Fy=0 • 空间任意力系力系 Fx=0 • 空间力偶系力系
第三章 空间力系 四、空间力系平衡的平面解法
1．确定研究对象，画出受力图。
第4章 空间力系
Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
第四章 空间力系
9
4.3.2 空间力偶系的合成与平衡条件
空间力偶系可以合成，得到一个合力偶， 空间力偶系可以合成，得到一个合力偶，合力偶的矩矢 等于各分力偶矩矢的矢量和。 等于各分力偶矩矢的矢量和。
M R = M1 + M 2 + L + M n = ∑ M i
i=1 n
M2
MR
写成投影形式
M Rx = M x1 + M x 2 + L + M xn = ∑ M xi
M z ( F ) = M O ( Fxy ) = ± Fxy ⋅ d
z F
b
z Fz
B
a
Fx A
F
Fy F xy
O
O
y
z y a
x
y Fy Fxy
6
d
x
b'
a'
F xy x
Fx
b
其正负号按右手螺旋法则确定， 其正负号按右手螺旋法则确定，即以右手四指的绕向表 示 力使物体绕轴转动的方向，大姆指指向与z轴一致时为 力使物体绕轴转动的方向， 正，反之为负。 反之为负。 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 通过分析得到力对轴之矩等于零的两种情况： 力与轴相交， (1) 力与轴相交，即 d=0 ； 力与轴平行， (2) 力与轴平行，即
Fxy=0 。两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，力 两种情况综合起来，即当力与轴在同一平面时，
对该轴之矩等于零。 对该轴之矩等于零。
7
4.3 空间力偶
4.3.1 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 力偶矩以矢量表示——力偶矩矢 ——
如图所示的空间力偶 (F，F' ) 对于任一点的矩可表示为 ，
建筑力学4-空间力系
第四章 空间力系
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
空间力系就是指各力的作用线不在同一平 面内的力系。 在空间力系中，若各力的作用线汇交于一 点，则称为空间汇交力系（图4.1（b))； 若各力的作用线相互平行，则称为空间平 行力系（图4.1(d)）； 若各力的作用线既不完全汇交于一点也不 完全平行，则称为空间一般力系（图4.1（f))。
图4.10
上式表明，空间汇交力系平衡的必要和 充分条件是：力系中所有各力在三个坐标轴 中每一轴上投影的代数和分别等于零。
4.3.4 空间力系平衡方程的应用
当物体受空间力系作用而平衡时，在给定荷载后， 应用上述平衡方程可求出某些未知量。 求解空间力系的平衡问题时，物体所受的约束有 些类型不同于平面力系里的约束类型，即使是同一类 型的约束，在平面问题和在空间问题中，其约束反力 的数目也有所不同。 现将常见的几种空间约束类型以及可能作用于物 体上的约束反力与约束反力偶列于表4.1中。
图4.1
4.1 力沿空间直角坐标轴的投影
4.1.1 一次投影法
设有一力F和空间直角坐标系Oxyz(图4.2)。
图4.2
如果力F与x、y、z轴所夹的锐角分别为 α、β、γ，则 Fx=±Fcosα Fy=±Fcosβ Fz=±Fcosγ
4.1.2 二次投影法
如图4.3所示，如果已知力F与z轴的夹角γ及F和z轴 所形成的平面与x轴的夹角φ，为求出力F在三个坐标轴 上的投影，可先将力F投影到z轴及坐标平面xOy上，在 xOy平面上的投影为矢量Fxy，其大小为
Fxy=Fsinγ 然后再将Fxy投影到x、y轴上，于是力F在x、y、z 轴上的投影分别为 Fx=±Fsinγcosφ Fy=±Fsinγsinφ Fz=±Fcosγ
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y
x
3.空间力系的平衡
空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空
间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Mo [ M x (F)]2 [ M y (F)]2 [ M z (F)]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件：
M＝o０， F＝R０
平衡方程：
Fx 0
Fy 0
Fz Mx My
0 (F) (F)
00
M z(F) 0
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平 面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三 视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所 求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的 研究方法，称为空间问题的平面解法。
x
y Fx
Fxy
A Fy
2.力对轴之矩
合力矩定理 ：如一空间力系由F1、F2、…、Fn组 成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
M z (FR ) M z (F)
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
Fx
Fy
Fxy
x
5
Fy
Fx
Fxy
10
则力在三个坐标轴上的投影 分别为 ：
z
Fz
Fx Fy
F F
sin sin
cos sin
Fz F cos
若已知力在三个坐标轴上的投
F 影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小 x
和方向，即 :
x
o
z2
cos
xz面:
z FBV FAV
x FAH FBH
FT
MT
Fr
MA(F) 0
MT
d 2
Ft
0
d 282.5 MT 2 Ft 2 1284.8N mm
181481N mm
yz面:
z
FAV
FBV
y Fr
L 2 Fr LRBV 0
RBV
Fr 2
467.7 N 2
233.85N
例3：图示为带式输送机传动系统中的从动齿轮轴。已知齿轮的分度圆直径 d=282.5mm，L=105mm，L1=110.5mm，圆周力Ft=1284.8N，径向力Fr=467.7N，不 计自重。求轴承A、B的约束反力和联轴器所受转矩MT。
z
A
FAV
FAH
FBV
D
B
MT
y
Fr
FBH
x
FT
L/2
L/2
L1
空间力系介绍
1.力在空间直角坐标轴上的投影
一次投影法：力F与三个坐标 轴所夹的锐角分别为、β 、 , 则力F在三个轴上的投影
等于力的大小乘以该夹角的
余弦
z
Fz
F
y
Fx Fy
Fc os Fc os
Fz F cos
x
Fx
o
β
Fy
二次投影法:若已知力F与z轴的夹角为，力F 和z轴所确定的平面与x轴的夹 角为，可先将力F 在oxy平面上投影， 然后再向x、 y 轴进行投影。
RAV Fr RBV 0
RAV Fr RBV 467.7 233.85N 233.85N
xy面:
y
FAH
FT FBH
x
L 2 Ft LRBH 0
RBH
Ft 2
1284.8 N 2
642.4N
RAH Ft RBH 0
RAH Ft RBH 1284.8 642.4N 642.4N
Fx F
,cos
Fy F
,cos
Fz F
2.力对轴之矩
门上作用一力F，使其绕固定轴z转 动。Fxy对z轴之矩就是力F对z轴之矩,用 Mz（F）表示。则：
M Z (F ) M o (Fxy ) Fxyd
O
b
= Fx • b + Fy • a
a
规定：从z轴正端来看，若力矩逆 时针，规定为正，反之为负。