05空间任意力系
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材料力学 空间任意力系分析
工程力学
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
作用线位于不同平面的力系称为空间力系。
z
x
y
2
第五章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影
§5–2 力对轴的矩 · 力对点的矩
§5–3 空间汇交力系的合成与平衡
§5–4 空间力偶理论
§5–5 空间任意力系
§5–6 空间平行力系的中心 · 物体的重心
习题课
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
F X 2 Y 2 Z 2
X Y Z cos ,cos ,cos F F F
Fx
Fz
Fy
6
[例1]已知：F=100N， 30, 60 ，计算图示力 在各坐标轴上的投影。
解：
Y F cos 50 3N
X F sin cos 25N Z F sin sin
的平面，方向用右手螺旋来确定 （右手握住平面的法线，卷曲四
指表示旋转方向，拇指的指向即
为力矩矢的方向）。 力矩矢的大小：
r
O
A
x
h
y
mo ( F ) F h 2AOB
13
空间力对点的矩可用矢积表示：
mO ( F ) F h F r sin rF
mO ( F ) r F i x X j k y z Y Z
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
15
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
对点的矩。
mo ( F ) [mo ( F )]x i [mo ( F )]y j [mo ( F )]z k mx ( F )i m y ( F ) j mz ( F )k
工程力学-第五章 空间任意力系
22
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
例题5
由题意有
Fr 0.36 Ft
解方程得
F 10.2 kN Fr 3.67 kN FAx 15.64 kN FAz 31.87 kN FBx 1.19 kN FBy 6.8 kN FBz 11.2 kN
2013-8-2 23
例题5
2. 取工件为研究对象，受力
z
M
0,
Fy r M O 0
11
例题2
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m .
套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，
3
2）力对轴之矩的计算
A：定义：
力Ｆ对任一z轴的
矩，等于这力在z
轴的垂直面上的投
影对该投影面和z
轴交点O的矩。
2013-8-2 4
R=Fi B：合力矩定理： MZ(R)=MZ(Fi ) 在直角弯的杆C 端作用 着力F，试求这力对坐 标轴的矩。已知:
OA=a=6 m，AB=b=4 m， BC=c=3 m， α=30º 60º ,β= 。
F
x
0,
FAx FBx ( F3 F4 ) sin 30 0
F
z
0,
FAz FBz ( F3 F4 ) cos 30 ( F1 F2 ) 0
M x 0, FAZ 0.25 m FBZ 1.25 m ( F3 F4 ) cos 30 0.75 m 0
例题4
某种汽车后桥半轴可看成支承在
第5章 空间任意力系
7
例题
空间任意力系
例题2
解：
由图示可以求出力F 在 各坐标轴上的投影和力F 作 用点C 的坐标分别为：
Fx F coscos
Fy F cos sin
Fz F sin
x= a = 4 m
y= b = 6 m
z= c =－3 m
8
例题
空间任意力系
例题2
则可求得力F 对坐标轴之矩 以及对原点O之矩的大小和方向。
FD 5.8 kN
解方程得 FB 7.777 kN
28
FA 4.423 kN
例题
空间任意力系
例题9
镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力Fz， 径向力Fy，轴向力 Fx的作 用。各力的大小Fz=5 000 N， Fy=1 500 N， Fx=750 N，而刀尖B 的坐标 x = 200 mm，y = 75 mm，z = 0。如果不计刀杆的重量，试求刀杆根部A 的约束 力的各个分量。
M y 0, F2xl2 Fzr Fx (l1 l2 ) 0
Mz 0, Fyr MO 0
由以上方程可以求出所有未知量。
20
例题
空间任意力系
例题6
水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力T1=3 400 N，T2=2 000 N，套在D轮 上的胶带与铅垂线成夹角α=30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时， 拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。
系统受空间任意力系的作用， 可写出六个平衡方程。
Fx 0,
FAx FBx (F3 F4 ) sin 30 0
空间任意力系
FC
最大载重Pmax是多少。
Q FB
P
D
解: 取起重机为研究对象
A
B,C
My(F)0, FAaco3s0Qa3co3s0Pclos0
MC'x(F)0,
a FA2
FBaQa2P(a2lsin)0
y C
x’
Fz 0, FAFBFCPQ0
A
ED
x
解得: FA=19.3kN， FB=57.3kN， FC=43.4kN
d O1
O
MO MO cos MO MO sin
d MO MO sin
FR
FR
一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋
(4) 空间任意力系平衡的情形
● F′R=0，MO=0
2019/11/15
原力系平衡
内容回顾
空间力系的简化与合成
主矢
主矩
最后结果
说
明
FR′ = 0
MO = 0 MO≠0
§5-5 空间任意力系的平衡条件及其应用
1、平衡条件及平衡方程：
平衡条件：
由平衡力系定理可知，空间一般力系平衡的充要条件：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：
平衡方程：
FR Fi 0
M O M O i 0
由主矢与主矩的计算式，有
F R (F x F x i )0 2 i, (F F yy ) i2 i0 ,(F F zz i )i2 0
② 空间任意力系的平衡条件及其应用；
2019/11/15
§5-4 空间任意力系的简化
1. 空间力线平移定理
作用于刚体的力 F 可等效地平移到刚体上的任一点O， 但须附加一力偶，此附加力偶矩 矢M 等于原力对平移点O 的力矩矢MO（F）。
第5章 空间任意力系
求： （5）O 处约束力
研究对象2：工件受力图如图,列平衡方程
F
x
0
FOx Fx 0
F
F
y
0
FOy Fy 0
z
x
0
FOz Fz 0
100FZ M x 0
30 FZ M y 0
100Fx 30 Fy M z 0
M F 0 M F 0
y
M F 0
z
FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN
M x 1.7kN m, M y 0.51kN m, M z 0.22kN m
例5-5
已知：F、P及各尺寸
求： 杆内力
解：研究对象，长方板,列平衡方程
M 0
平衡
§5-2 空间任意力系的平衡方程
1.空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的充要条件： 该力系的主矢、主矩分别为零.
F
x
0
0
F
y
0
y
F
z
0
z
M
x
M
0
M
0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三个坐标轴 中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一 个坐标轴的矩的代数和也等于零.
列平衡方程
F 0 P P1 FA FB FD 0 M F 0 0.2P1 1.2P 2FD 0
z
x
M F 0
y
0.8P 1 0.6 P 1.2 FB 0.6 FD 0
FD 5.8kN, FB 7.777kN, FA 4.423kN
5第四篇空间任意力系
表示集度大小分布情况及分布力作用方向的图形称为荷载图。 q
A
B
简化结果为合力。 合力作用线位置：
xc x A A,yc y A A
结论：合力通过荷载图的形心。
例题
F12 ql三角形面积
F ql
第三节 一般平行分布力的简化
简化结果为一个合力。 合力作用线位置：
xxV, yyV c V c V
平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力 通过荷载图体积的形心。
一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而 主矩一般与简化中心有关。
第一节 空间任意力系的简化
主矢和主矩的解析计算
F R F i F i
( F i) x i ( F i) y j ( F i) z k
F R x F i, x F R y F i, y F R z F iz
F F2 F2 F2
由 Y 0 ;Y A P y 0 , Y A P y 35 (N ) 2 m y 0 ; P z 5 0 10 Q 0 x 0 , Q 74 (N )6
mzA0;30Px05P 0y20X0 B5Q 0co2s000, XB43(N 7) X0;XAXBPxQco2s000, XA72(N 9) mxA0;20ZB 030Pz05Q 0si2n000, ZB20(4N)0 Z0;ZAZBPzQsi2n000, ZA38(N 5)
c
Wc
Wc
W
x x i V i,y y i V i ,z z i V i
c
Vc
Vc
V
对于曲面或曲线，只须在上述公式中分别将ΔVi改为ΔAi (面积)或ΔLi (长度)，V改A为或L，即可得相应的重心坐标 公式。
——形心、对称性
A
B
简化结果为合力。 合力作用线位置：
xc x A A,yc y A A
结论：合力通过荷载图的形心。
例题
F12 ql三角形面积
F ql
第三节 一般平行分布力的简化
简化结果为一个合力。 合力作用线位置：
xxV, yyV c V c V
平行分布的面力的合力的大小等于荷载图的体积，合力 通过荷载图体积的形心。
一个力系的主矢量是一常量，与简化中心位置无关，而 主矩一般与简化中心有关。
第一节 空间任意力系的简化
主矢和主矩的解析计算
F R F i F i
( F i) x i ( F i) y j ( F i) z k
F R x F i, x F R y F i, y F R z F iz
F F2 F2 F2
由 Y 0 ;Y A P y 0 , Y A P y 35 (N ) 2 m y 0 ; P z 5 0 10 Q 0 x 0 , Q 74 (N )6
mzA0;30Px05P 0y20X0 B5Q 0co2s000, XB43(N 7) X0;XAXBPxQco2s000, XA72(N 9) mxA0;20ZB 030Pz05Q 0si2n000, ZB20(4N)0 Z0;ZAZBPzQsi2n000, ZA38(N 5)
c
Wc
Wc
W
x x i V i,y y i V i ,z z i V i
c
Vc
Vc
V
对于曲面或曲线，只须在上述公式中分别将ΔVi改为ΔAi (面积)或ΔLi (长度)，V改A为或L，即可得相应的重心坐标 公式。
——形心、对称性
空间任意力系
B
Fx
mz ( F ) mz ( Fx ) Fx a 25 2 50N .m
x
Fy a 2m
y
11
[练习1] 已知P=2000N, C点在Oxy平面内，求力P对三个 坐标轴的矩。
解：
Pz P sin 45 1000 2N
Pxy P cos45 1000 2 N Px Pxy sin 60 500 6 N Py Pxy cos60 500 2 N
mO ( F ) ( m x ( F )) 2 ( m y ( F )) 2 ( m z ( F )) 2
my (F ) mx ( F ) mz ( F ) cos ,cos ,cos mO ( F ) mO ( F ) mO ( F )
17
§5-3 空间汇交力系的合成与平衡
"
29
⑵ R '∥ M o ; 这种情况力与力偶不能再合成，这就是 力系简化的最终结果，称为力螺旋。如钻孔、攻丝、拧木
螺钉等。
力螺旋中力的作用线称为原力系的中心轴，中心轴过简 化中心。
O·
Mo R'
=
R' · O
O·
R'
Mo
=
· O
R'
右螺旋
左螺旋
力螺旋与力、力偶一样，都是组成力系的基本元素。
30
z
mo ( F )
F
B
r
A
x
O
b y
a Fxy
力对点的矩矢在过该点的任一轴上的投影等于力对该 轴的矩。
[mo (F )]z mz (F )
16
利用力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系计算力
理论力学第5章-空间任意力系
物G = 100 kN的重物，绞车处于平衡状态，结构的几何尺寸如图 所示。试求胶带的拉力和轴承A、B的约束力。
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
100
z
100
FAz
A y
F
FAx
x
100 FBz
B
（
C
a
FBx
）
G
D
b
F2 F1
解： 取整体为研究对象。
列平衡方程
M y(F) 0
G
D 2
F1
d 2
F2
d 2
0
Mx (F) 0 200FBz 300F1 cos 300F2 cos b 100G 0
(4) FR 0
且 MO 0
FR MO
可进一步简化。
MO O
FR
O FR d FR
O1
FR
O d FR
O1
原力系合成为合力 ，合力矢等于原力系的主矢，
其作用线距简化中心的距离为
d MO FR
由上述分析可知 MO MO (FR ) 而 MO MO(F )
由此得
MO (FR ) MO (F)
F2 200 kN FAz 446.41kN
FBx 1189.23kN FBz 919.62 kN
由于 Fy 0 ，因此本例题只有5个独立的平衡方程。
5.4 平行力系中心 、重心 5.4.1 平行力系中心
设在刚体上的A、B两点，分别作用有同向平行力
F1和F2，。利用平面任意力系的简化理论，可求得它们
5.1.3 力矩关系定理
M z (F ) M O (Fxy ) M O (Fx ) M O (Fy ) xFy yFx
同理得
M x (F ) yFz zFy
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（2）主矩大小和方向
M M M
ox oy oz
v M v M
v M
v o(Fv) o(F )
v o(F )
x y z
v M x(F
v
M
(
y
F
v
M
(
z
F
) ) )
Mo
v
M
(
x
F
) 2
v
M
(
y
F
2
)
v M z(F
) 2
cos
v M
o,
iv
M ox M
cos
v M
o,
vj
M oy M
cos
ij k
y
18
2i 12 j 3
3
0
4 3 2 3 2
9 2i (12 9 2) j (12 9 2)k
16
主主 §矩矢5-1、M空OFR间任148i意2力3i系21的2j j简3化2MkC 9
2i (129
2) j (129
2)k
z
z
B(0,0,2a)
B(0,0,2a)
i 1
作用线过简化中心O
2.特点 主矢的大小和方向与简化中心无关
3.解析计算
(1)主矢投影
n
FR'x Fxi i 1
(2)主矢大小和方向余弦
n
FR'y Fyi i 1
n
FR'z Fzi i 1
FR'
F '2 Rx
F '2 Ry
F '2 Rz
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
v M
o,
v k
M oz 5M
§5-1、空间任意力系的简化
r FrRx —有效推进力
飞机向前飞行
FrRy —有效升力
飞机上升
FrRz —侧向力
飞机侧移
Mr Ox —滚转力矩
飞机绕x轴滚转
M r
Oy
—偏航力矩
飞机转弯
MOz —俯仰力矩
飞机仰头
6
5-2空间任意力系的平衡条件
7
§5-2、空间任意力系的平衡条件
M Ox yFRz zFRy
由 M Oy zFRx xFRz
M Oz xFRy yFRx
代入
0 2yF 2zF
2Fa z • 0 2xF
2Fa 2xF y • 0
v MO
v FR
D
F3
F5
aO
F2
y
A F1
B F6
x
舍去不独立的方程，
xa
即可得合力作用线方程 y z
过A、D两点的连线
第5章 空间任意力系
1
5-1空间任意力系的简化
2
§5-1、空间任意力系的简化
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
rr Fi Fi
，各
r rr Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
3
§5-1、空间任意力系的简化
主矢 1.定义
FvR'
n
Fvi'
n
v Fi
i 1
主矩方向v v cos(MO , i ) 0
vv
2
cos(MO , j ) 2
vv 2 cos(MO , k ) 2
12
§5-1、空间任意力系的简化
rv
FR • MO = 0 •0+2F •-2Fa 2F •2Fa 0
表明此力系简化的最后结果为一合力。
如何确定合力作用线方程？
C
z F4
M z F 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
F FBz FAz Fz 0
488 76FBz 76F 388Fz 0
F R Fz r 0
76F 488 76FBx 30Fy 388Fx 205
又： Fr 0.36F , 结果： F 10.2kN,
平衡条件—— F 0 力多边形自行封闭 i
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的
代数和分别等于零。
空间汇交力系的平衡方程:
Mx 0 My 0 Mz 0
Fx 0
Fy 0
Fz 0
9
§5-2、空间任意力系的平衡条件 2、空间平行力系 空间平行力系的平衡方程
M z F 0 100Fx 30Fy M z 0
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN M x 1.7kNm, M y 0.51kNm, M z 0.22kNm
27
13
§5-1、空间任意力系的简化 例5-1-2
z B(0,0,2a)
如图，力系中 F1, F2 分
A(0,0,a) 45º
F1
F2
O
C(a,a,0)
x
别作用于点A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知：a=3m, y F1=4kN,F2=6kN,求力系
的主矢及力系对点O、点
C(a,a,0)的主矩，并判断力 系简化的最后结果。
14
§5-1、空间任意力系的简化
z B(0,0,2a)
解：F1 4i
A(0,0,a) 45º F1 O
F2
F2 6(
又
r1
3k
2
j
2
2
2
r2 6k
k ) 3 2 j 3 2k
CO 3i 3 j
y 主矢
C(a,a,0)
x
对点O的主矩
FR Fi 4i 3 2 j 3 2k
19
例5-2-1
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图
求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
rr r r r 受力：P, P1, FA, FB , FD ,
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
MxF 0 0.2P 1.2P1 2FD 0
M yF 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
r
M FG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
r
M BC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0
F2 1.5P
F3
2
2P
21
例5-2-3
已知： F 2000N, F2 2F1, 30, 60, 各尺寸如图
解求：：研F究1, F对2 及象A，、曲B处轴约受束力力：Fr
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.
空间任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些 力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.
8
§5-2、空间任意力系的平衡条件 1、空间汇交力系 空间汇交力系平衡的几何条件
Fx 0 Fy 0
M
n
2
M
ix
n
2
M iy
n
2
M iz
0
i1
i1
i1
Fz 0
空间力偶系平衡的解析条件——平衡方程
Mx =0 My =0 Mz =0
即力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零。
11
§5-1、空间任意力系的简化
6
v
MOx M x Fi =F2a F4a 0
F1
B(0,0,2a)
r M
45º
A(0,0,a)
F2
OMO
r v 36 2 0 FR • MO 0 左力螺旋
vr
M lFR
O
如何确定力螺旋作用线方程？
r
M
O
rv M O • lFR
v lFR
r
M
O
•
v FvR FR
v FvR FR
rv MO • FR
v2 FR
FR
v FR
FAx 15.64kN,
FBx 1.19kN,
F 3.67kN, FAz 31.87kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件受力图如图
列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0
Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0 26
M x F 0 100FZ M x 0 M y F 0 30FZ M y 0
v cos(FR'
,
v i)
FR' x FR'
v cos(FR' ,
v j)
FR' y FR'
vv cos(FR' , k )
FR' z FR'
4
§5-1、空间任意力系的简化
主矩
v
v
vv
1.定义
Mo M
M
o(F
)
i
2.特点 在一般情况下，主矩随简化中心位置不同而改变
3.解析计算 （1）主矩投影
由力对点的矩与力对 轴的矩的关系，有
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求：
(1)
r Fr
,
r F
（2）A、B处约束力
（3）O
M M M
ox oy oz
v M v M
v M
v o(Fv) o(F )
v o(F )
x y z
v M x(F
v
M
(
y
F
v
M
(
z
F
) ) )
Mo
v
M
(
x
F
) 2
v
M
(
y
F
2
)
v M z(F
) 2
cos
v M
o,
iv
M ox M
cos
v M
o,
vj
M oy M
cos
ij k
y
18
2i 12 j 3
3
0
4 3 2 3 2
9 2i (12 9 2) j (12 9 2)k
16
主主 §矩矢5-1、M空OFR间任148i意2力3i系21的2j j简3化2MkC 9
2i (129
2) j (129
2)k
z
z
B(0,0,2a)
B(0,0,2a)
i 1
作用线过简化中心O
2.特点 主矢的大小和方向与简化中心无关
3.解析计算
(1)主矢投影
n
FR'x Fxi i 1
(2)主矢大小和方向余弦
n
FR'y Fyi i 1
n
FR'z Fzi i 1
FR'
F '2 Rx
F '2 Ry
F '2 Rz
Fxi 2 Fyi 2 Fzi 2
v M
o,
v k
M oz 5M
§5-1、空间任意力系的简化
r FrRx —有效推进力
飞机向前飞行
FrRy —有效升力
飞机上升
FrRz —侧向力
飞机侧移
Mr Ox —滚转力矩
飞机绕x轴滚转
M r
Oy
—偏航力矩
飞机转弯
MOz —俯仰力矩
飞机仰头
6
5-2空间任意力系的平衡条件
7
§5-2、空间任意力系的平衡条件
M Ox yFRz zFRy
由 M Oy zFRx xFRz
M Oz xFRy yFRx
代入
0 2yF 2zF
2Fa z • 0 2xF
2Fa 2xF y • 0
v MO
v FR
D
F3
F5
aO
F2
y
A F1
B F6
x
舍去不独立的方程，
xa
即可得合力作用线方程 y z
过A、D两点的连线
第5章 空间任意力系
1
5-1空间任意力系的简化
2
§5-1、空间任意力系的简化
1． 空间任意力系向一点的简化
其中，各
rr Fi Fi
，各
r rr Mi Mo(Fi )
一空间汇交与空间力偶系等效代替一空间任意力系.
3
§5-1、空间任意力系的简化
主矢 1.定义
FvR'
n
Fvi'
n
v Fi
i 1
主矩方向v v cos(MO , i ) 0
vv
2
cos(MO , j ) 2
vv 2 cos(MO , k ) 2
12
§5-1、空间任意力系的简化
rv
FR • MO = 0 •0+2F •-2Fa 2F •2Fa 0
表明此力系简化的最后结果为一合力。
如何确定合力作用线方程？
C
z F4
M z F 0
F FBx FAx Fx 0 FBy Fy 0
F FBz FAz Fz 0
488 76FBz 76F 388Fz 0
F R Fz r 0
76F 488 76FBx 30Fy 388Fx 205
又： Fr 0.36F , 结果： F 10.2kN,
平衡条件—— F 0 力多边形自行封闭 i
空间汇交力系平衡的充分必要条件是： 力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的
代数和分别等于零。
空间汇交力系的平衡方程:
Mx 0 My 0 Mz 0
Fx 0
Fy 0
Fz 0
9
§5-2、空间任意力系的平衡条件 2、空间平行力系 空间平行力系的平衡方程
M z F 0 100Fx 30Fy M z 0
结果：FOx 4.25kN, FOy 6.8kN, FOz 17kN M x 1.7kNm, M y 0.51kNm, M z 0.22kNm
27
13
§5-1、空间任意力系的简化 例5-1-2
z B(0,0,2a)
如图，力系中 F1, F2 分
A(0,0,a) 45º
F1
F2
O
C(a,a,0)
x
别作用于点A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知：a=3m, y F1=4kN,F2=6kN,求力系
的主矢及力系对点O、点
C(a,a,0)的主矩，并判断力 系简化的最后结果。
14
§5-1、空间任意力系的简化
z B(0,0,2a)
解：F1 4i
A(0,0,a) 45º F1 O
F2
F2 6(
又
r1
3k
2
j
2
2
2
r2 6k
k ) 3 2 j 3 2k
CO 3i 3 j
y 主矢
C(a,a,0)
x
对点O的主矩
FR Fi 4i 3 2 j 3 2k
19
例5-2-1
已知： P=8kN, P1 10kN, 各尺寸如图
求：A、B、C 处约束力
解：研究对象：小车
rr r r r 受力：P, P1, FA, FB , FD ,
列平衡方程
Fz 0 P P1 FA FB FD 0
MxF 0 0.2P 1.2P1 2FD 0
M yF 0 0.8P1 0.6P 1.2FB 0.6FD 0
F6
a
a 2
P
F1
ab 0 a2 b2
r
M FG F 0
Fb
b 2
P
F2b
0
r
M BC F 0
F2
b
b 2
P
F3
cos
45
b
0
F1 0
F2 1.5P
F3
2
2P
21
例5-2-3
已知： F 2000N, F2 2F1, 30, 60, 各尺寸如图
解求：：研F究1, F对2 及象A，、曲B处轴约受束力力：Fr
空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢、主矩分别为零.
空间任意力系的平衡方程
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
空间任意力系平衡的充要条件：所有各力在三 个坐标轴中每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些 力对于每一个坐标轴的矩的代数和也等于零.
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§5-2、空间任意力系的平衡条件 1、空间汇交力系 空间汇交力系平衡的几何条件
Fx 0 Fy 0
M
n
2
M
ix
n
2
M iy
n
2
M iz
0
i1
i1
i1
Fz 0
空间力偶系平衡的解析条件——平衡方程
Mx =0 My =0 Mz =0
即力偶系各力偶矩矢分别在三个坐标轴投影的代数和等于零。
11
§5-1、空间任意力系的简化
6
v
MOx M x Fi =F2a F4a 0
F1
B(0,0,2a)
r M
45º
A(0,0,a)
F2
OMO
r v 36 2 0 FR • MO 0 左力螺旋
vr
M lFR
O
如何确定力螺旋作用线方程？
r
M
O
rv M O • lFR
v lFR
r
M
O
•
v FvR FR
v FvR FR
rv MO • FR
v2 FR
FR
v FR
FAx 15.64kN,
FBx 1.19kN,
F 3.67kN, FAz 31.87kN, FBy 6.8kN, FBz 11.2kN,
研究对象2：工件受力图如图
列平衡方程
Fx 0 FOx Fx 0
Fy 0 FOy Fy 0
Fz 0 FOz Fz 0 26
M x F 0 100FZ M x 0 M y F 0 30FZ M y 0
v cos(FR'
,
v i)
FR' x FR'
v cos(FR' ,
v j)
FR' y FR'
vv cos(FR' , k )
FR' z FR'
4
§5-1、空间任意力系的简化
主矩
v
v
vv
1.定义
Mo M
M
o(F
)
i
2.特点 在一般情况下，主矩随简化中心位置不同而改变
3.解析计算 （1）主矩投影
由力对点的矩与力对 轴的矩的关系，有
已知： Fx 4.25N, Fy 6.8N, Fz 17N,
Fr 0.36F , R 50mm, r 30mm
各尺寸如图
求：
(1)
r Fr
,
r F
（2）A、B处约束力
（3）O