2020初中数学一元二次方程单元培优练习题(附答案)
2020初中数学一元二次方程单元培优练习题（附答案）1．已知关于x 的方程(m-1)x 2-2x+1=0有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）. A ．2m ＜ B ．1m ≠ C ．21m m ≠＜且 D ．21m m ≤≠且 2．某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x ，则可列方程为（ ）．A ．95=15（1+x ）2B ．15（1+x ）3=95C ．15（1+x ）+15（1+x ）2=95D ．15+15（1+x ）+15（1+x ）2=953．一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共有( )人． A ．12 B ．10 C ．9 D ．84．若x ＝1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx ﹣4＝0（a ≠0）的一个根，则a +b ＝（ ） A ．3 B ．﹣3 C ．4 D ．﹣45．某班一物理科代表在老师的培训后学会了某个物理实验操作，回到班上后第一节课教会了若干名同学，第二节课会做该实验的同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个实验；若设1人每次都能教会x 名同学，则可列方程为( )A ．x+(x+1)x ＝36B ．1+x+(1+x)x ＝36C ．1+x+x 2＝36D ．x+(x+1)2＝366．若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则常数c 的值是( ) A ．6 B ．9 C ．24 D ．367．若三角形三边的长均能使代数式x 2－9x+18的值为零，则此三角形的周长是（ ） A ．9或18B ．12或15C ．9或15或18D ．9或12或15或188．方程①3x －1=0,②3x 2－1=0，③2130x x+=，④ax 2+bx+c=0 (a 、b 、c 为常数),⑤2x 2－1=（x －1）（x －2）,⑥(5x+2)(3x-7)=15x 2 其中一元二次方程的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个9．小明家承包的果园，前年水果产量为50吨，后来改进了种植技术，今年的总产量是60.5吨，小明家去年，今年平均每年的粮食产量增长率是（ ）A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%10．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝2，若关于x 的方程x 2+（b ﹣1）x +b ﹣1＝0有两个相等的实数根，则△ABC 的周长是___．11．一款手机连续两次降价，价格由原来的1300元下降了468元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程为_____．13．某超市一月份的营业额为30万元，三月份的营业额为56万元．设每月的平均增长率为x ，则可列方程为________．14．已知方程x 2-7x+12=0的两根恰好是Rt △ABC 的两条边的长，则Rt △ABC 的第三边长为______ ．15．已知m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，则3m 2－3m ＋5的值为__________．16．某校2013年组织师生植树共1000棵，2014年和2015年继续开展了该项活动，且2015年植树共1440棵，设近两年植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为 ．17．已知2+3是一元二次方程x 2-4x+m=0的一个根，则方程的另一个根是 ，m= ．18．已知关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣b=0的一根为﹣1，则a ﹣b 的值是 ． 19．关于x 的一元二次方程280x mx ++=（m 是常数）有两个整数解，则m 的值可以是________（写出一个即可）．20．（1）解方程：()214x -=．（2）解方程：2250x x --=．21．若关于x 的一元二次方程(m-1) 2x +2x+2m -1=0的常数项为0，求m 的值是多少？ 阅读材料：已知p 2－p －1＝0 , 1－q －q 2＝0 , 且pq≠1 ,求的值． 解：由p 2－p －1＝0及1－q －q 2＝0，可知p≠0，q≠0，又因为pq≠1 所以p≠，所以1－q －q 2=0可变形为：（）2－()－1＝0 ， 根据p 2－p －1＝0和（）2－()－1＝0的特征，p 与可以看作方程x 2－x －1＝0的两个不相等的实数根，所以p ＋＝1, 所以＝1． 根据以上阅读材料所提供的方法，完成下面的解答：22．已知m 2-5mn+6n 2=0，m>n ，求的值 23．已知2m 2－5m －1＝0，()2＋－2＝0，且m≠n ，求的值．24．有人说：“数学是思维的体操”，运用和掌握必要的“数学思想”和“数学方法”是取胜数学的重要法宝．阅读下列例题：（1）解方程：x 2﹣2|x|﹣3＝0．解：①当x≥0时，有x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1（舍去），x 2＝3．②当x ＜0时，有x 2+2x ﹣3＝0，解得x 1＝1（舍去），x 2＝﹣3．所以，原方程的解是x ＝3或﹣3．（数学的分类讨论思想）试解方程：x 2﹣|x ﹣1|﹣1＝0．（2）设a 3+a ﹣1＝0，求a 3+a+2018的值．解：由a 3+a ﹣1＝0得a 3+a ＝1，代入，有a 3+a+2018＝1+2018＝2019（整体代入或换元思想）试一试：当a 是一元二次方程x 2﹣2018x+1＝0的一个根时，求：a 2﹣2017a+220181a 的值．25．当k 为何值时，关于x 的一元二次方程x 2-（2k-1）x=-k 2+2k+3（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等实数根；（3）无实根 26．解下列方程．（1）（用配方法）； （2）（用公式法）； （3）（用因式分解法）； （4）； （5）； （6）． 27．解方程：(1)x 2+2x =0 (2)x 2-4x-7=0.28．如图1 ，用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD ，墙可利用的最大长度为15m ，一面利用旧墙 ，其余三面用篱笆围，篱笆总长为24m ，设平行于墙的BC 边长为x m（1）若围成的花圃面积为40m 2时，求BC 的长（2）如图2，若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃面积为50m 2，请你判断能否成功围成花圃，如果能，求BC 的长？如果不能，请说明理由．（3）如图3，若计划在花圃中间用n 道篱笆隔成小矩形，且当这些小矩形为正方形时，请列出x、n满足的关系式参考答案1．D【解析】由关于x的方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，根据△的意义得到m-1≠0，且△＞0，即4-4（m-1）＞0，解不等式组即可得到m的取值范围．解：∵关于x的方程（m-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，∴m-1≠0，且△＞0，即4-4（m-1）＞0，解得m＜2，∴m的取值范围是m＜2且m≠1．故选D．“点睛”本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．2．D【解析】【分析】二月份的产值是以一月份为基础的，为15×(1+x)万元，三月份是以二月份产值为基础而增长的，故为15×(1+x)×(1+x)，本题95万元是三个月的总产值，据此列出方程：15+15（1+x）+15（1+x）2=95.【详解】一月份的产值为15万元，二月份的产值为15×(1+x)万元，三月份的产值为为15×(1+x)2，根据题意列出方程：15+15(1+x)+15(1+x)2=95.【点睛】本题中，理解二月份产值增长是以一月份为基础、三月份产值增长是以二月份为基础，这是关键点；此外，还要注意题干中95万元是三个月的总产值，不要当做三月份的产值.3．C【解析】试题分析：设这小组有x人，由题意得：x（x﹣1）=72，解得x1=9，x2=﹣8（不合题意，舍去）．这个小组有9人．故选C．考点：一元二次方程的应用．4．C【解析】【分析】把x＝1代入方程整理可得答案.【详解】解：∵x＝1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0（a≠0）的一个根，∴把x＝1代入方程得a+b﹣4＝0，∴a+b＝4．故选C．【点睛】本题考查了方程的解，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解.5．B【解析】【分析】设1人每次都能教会x名同学，根据两节课后全班共有36人会做这个实验，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设1人每次都能教会x名同学，根据题意得：1+x+(x+1)x＝36．故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6．B【解析】【分析】根据判别式的意义得到△=62-4c=0，然后解关于c的一次方程即可．【详解】∵方程x2+6x+c=0有两个相等的实数根，∴△=62-4×1×c=0，解得：c=9，故选B．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．7．C【解析】【分析】先求出一元二次方程的解，再结合三角形的三边关系分情况讨论求解即可.【详解】解：由题意知：三角形的三边长是方程x2－9x+18 =0的根，解这个方程，得x=6或x=3，由于3+3=6<0，故3、3、6不符合，∴三条边为：3、3、3；或3、6、6；或6、6、6；∴此三角形的周长为：9或15或18 .故选：C.【点睛】本题考查了一元二次方程的解法和三角形的三边关系，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.8．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：①是一元一次方程；②是一元二次方程；③是分式方程；④当a=0时，不是一元二次方程；⑤原方程可化为：x2+3x-3=0，是一元二次方程；⑥原方程可化为：-29x-14=0，是一元一次方程．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．B【解析】设小明家去年、今年的平均每年的粮食产量增长率是x，由题意，得50(1+x) ²=60.5，解得：x₁=0.1=10%,x₂=−2.1(舍去)故选B.10．5或12．【解析】【分析】关于x的方程有两个相等的实数根，则利用判别式的意义得到△=（b-1）2-4（b-1）=0，求出b的值，然后利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定c的值，从而得到三角形的周长．【详解】根据题意得△＝（b﹣1）2﹣4（b﹣1）＝0，解得b＝1或5．当a＝2，b＝1，c＝2，△ABC的周长＝2+2+1＝5；当a＝2，b＝1，c＝1，不符合三角形三边的关系，舍去；当a＝2，b＝5，c＝5，△ABC的周长＝2+5+5＝12；当a＝2，b＝5，c＝2，不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，△ABC的周长为5或12．故答案为5或12．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．1300(1﹣x)2＝1300﹣468【解析】【分析】设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后售价为1300(1﹣x)，第二次降价后售价为1300(1﹣x)2，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．【详解】设平均每次降价的百分率为x ，由题意得1300(1﹣x)2＝1300﹣468．故答案为1300(1﹣x)2＝1300﹣468．【点睛】本题考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握求平均变化率的方法：若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b ． 12．12. 【解析】【分析】将x ＝1代入方程x 2﹣2m ＝0得到有关m 的方程，求出m 的值即可．【详解】∵x ＝1是方程x 2﹣2m ＝0的一个根，∴将x ＝1代入方程x 2﹣2m ＝0得：1﹣2m ＝0，∴m ＝12， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，将方程的根代入方程是解决问题的关键．13．230(1x)56⨯+=【解析】【分析】三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．【详解】二月份的营业额为30×(1+x )， 三月份的营业额为30×(1+x )×(1+x )=30×(1+x )2， 即所列的方程为30×(1+x )2=56， 故答案为30×(1+x )2=56. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，读懂题目，找出等量关系是解题的关键.14．4或7【解析】试题分析：解方程得21=3=4x x ，，当21=3=4x x ，为直角边时，由勾股定理可得第三边=5；当4为斜边时，由勾股定理可得第三边224-3=7Rt △ABC 的第三边长为57．考点：解一元二次方程、勾股定理15．11.【解析】【分析】根据m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，代入然后对式子后可得m 2－m ＝2,建立与所求式子之间的关系，从而可以解答本题．【详解】∵m 是方程x 2－x －2＝0的一个根，∴m 2－m ＝2∴m 2－m ＝2∴3m 2－3m ＝6∴3m 2－3m+5＝6+5=11故答案为：11.【点睛】此题考查一元二次方程的解，解题关键在于掌握运算法则.16．1000（1+x）2=1440．【解析】试题分析：2015年的植树量1440=2013年的植树量1000×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解：根据题意得：1000（1+x）2=1440，故答案为：1000（1+x）2=1440．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．17．1．【解析】试题分析：∵是一元二次方程x2-4x+m=0的一个根，∴x1+x2=4，那么方程的另一个根是：2=4，∴x2∴m=x1x2=（（）=4-3=1．考点：一元二次方程的解．18．1【解析】试题分析：将x=﹣1代入已知一元二次方程，通过移项即可求得（a﹣b）的值．解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣b=0的一根为﹣1，∴x=﹣1满足该方程，∴a﹣1﹣b=0，解得，1．故答案是：1．考点：一元二次方程的解．19．6，9，6-，9-(写出一个即可)【解析】【分析】根据方程x 2+mx +8=0（m 是常数）有两个整数解可得（x ﹣2）（x ﹣4）=0或（x +2）（x +4）=0或（x +1）（x +8）=0或（x ﹣1）（x ﹣8）=0，即可得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +8=0（m 是常数）有两个整数解，∴由x 2+mx +8=0可得：（x ﹣2）（x ﹣4）=0或（x +2）（x +4）=0或（x +1）（x +8）=0或（x ﹣1）（x ﹣8）=0，∴m =2+4=6，或m =﹣2﹣4=﹣6或m =1+8=9或m =﹣1﹣8=﹣9．故答案为6或﹣6或9或﹣9（写出一个即可）．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．20．（1）13x =，21x =-；（2）11x =21x =【解析】【分析】（1）依据平方根的定义求解即可;（2）利用公式法求解即可．【详解】（1）两边直接开平方，得：12x -=±，12x ∴-=或12x -=-，解得：13x =，21x =-；（2）1a =Q ，2b =-，5c =-，()224(2)415240b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=>，则1x ===±11x ∴=21x =．【点睛】本题考查了直接开平方法、公式法解一元二次方程．对于解方程方法的选择，应该根据方程的特点灵活的选择解方程的方法．21．m=-1【解析】常数项为0，即210m -=，再根据一元二次方程二次项系数不等于零，即可求出m 的值.【详解】解:由题意得，21010m m ⎧-=⎨-≠⎩时， 即1m =-时，一元二次方程22(1)210m x x m -++-=的常数项为0.【点睛】一元二次方程的一般形式：()200++=≠ax bx c a ，2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项.22． 2或323． -5【解析】（1）3′ （2）解法一：由2m 2-5m-1=0知m≠0，∵m≠n ，∴， 得，6′ 根据与的特征 ∴是方程x2+5x-2=0的两个不相等的实数根， ∴； 9′解法二：由得2n 2-5n-1=0，根据2m 2-5m-1=0与2n 2-5n-1=0的特征，且m≠n ，∴m 与n 是方程2x 2-5x-1=0的两个不相等的实数根（6分）∴∴．24．（1）方程的解为x ＝1或﹣2（2）2017【分析】（1）仿照例子，分情况讨论去绝对值，然后再进行计算、验根即可.（2）根据题意得到a2+1＝2018a，a2﹣2017a＝a﹣1，然后将原式变形运用整体思想代入计算即可.【详解】（1）当x﹣1≥0，即x≥1时，方程化为x2﹣x＝0，即x（x﹣1）＝0，解得：x1＝0（舍去），x2＝1；当x﹣1＜0，即x＜1时，方程化为x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x1＝1（舍去），x2＝﹣2，综上，方程的解为x＝1或﹣2；（2）解：根据题意可知：a2﹣2018a+1＝0，∴a2+1＝2018a，a2﹣2017a＝a﹣1，∴原式＝a2﹣2017a+1 a＝a﹣1+1 a＝21aa﹣1＝2018﹣1＝2017．【点睛】本题考查的知识点是解一元二次方程和一元二次方程解的意义，数学中的分类讨论思想及整体思想，解题的关键是能够灵活运用所学知识..25．（1）k＞-134；（2）k=-134；（3）k＜-134【解析】【分析】首先将方程化成一般式，然后根据根的判别式进行求解．【详解】解：原方程可化为x2-（2k-1）x+k2-2k-3=0，∴a=1， b=-（2k-1），c =k 2-2k-3 △=[]()222k 1412k 3k ---⨯⨯--=（）4k+13 （1）令4k+13＞0∴k ＞-134 ∴当k ＞-134时，一元二次方程有两个不相等的实数根； （2） 令4k+13=0∴k=-134∴当k=-134时，一元二次方程有两个相等实数根； （3） 令4k+13＜0∴k ＜-134∴当k ＜-134时，一元二次方程无实根 26．(1)，；（2）；（3），；（4），；（5）；（6）无解．【解析】【分析】（1）将方程的常数项移动右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）将方程整理为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，计算出b 2-4ac 的值等于0，然后将a ，b 及c 的值代入求根公式即可求出原方程的解；（3）方程左边提取公因式m ，化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（4）利用十字相乘法将方程左边的多项式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；(5) 将方程整理为一般形式，然后利用完全平方公式分解因式后之间开平方即可解答； （6）将方程整理为一般形式，找出二次项系数a ，一次项系数b 及常数项c ，计算出b 2-4ac 的值＜0，即可得原方程的无实数解；【详解】解：（1）移项得：，配方得：，即，开方得：，∴，．（2）移项得：，整理得：，a=4，b=-4，c=1，∴=0，∴，∴．（3）分解因式得：，即，∴或，∴，．（4），分解因式得：，∴或∴，．（5），整理得：，因式分解得：，∴．（6），移项整理：，，∴，∴．∴原方程无解．本题考查了一元二次方程的解法，题目难度不大，熟练掌握一元二次方程的几种解法是解决本题的关键．27．（1）12x =-与20x =；（2）1211x =+与2211x =-【解析】【分析】（1）运用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.【详解】解：(1)x (x +2)=0∴12x =-，20x =(2)a =1，b =-4，c =-7∴Δ=b 2-4ac =44∴4442x ±= ∴1211x =+，2211x =-【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特征选择合适的解法可以事半功倍.28．（1）BC 的长为4米 （2）不能围成，理由见解析 （3）【解析】【分析】（1）由于篱笆总长为24m ，设平行于墙的BC 边长为xm ，由此得到AB=m ，接着根据题意列出方程•x=40，解方程即可求出BC 的长；（2）不能围成花圃；根据（1）得到•x ＝50，此方程的判别式△=（-24）2-4×150＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃；（3）由于在花圃中间用n 道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，那么AB=，然后根据正方形的性质即可求解．（1）根据题意得，AB=m则•x=40∴x1=20，x2=4，因为20＞15，所以x1=20舍去答：BC的长为4米；（2）不能围成花圃，根据题意得，•x＝50方程可化为x2-24x+150=0△=（-24）2-4×150＜0，∴方程无实数解，∴不能围成花圃；（3）∵用n道篱笆隔成小矩形，且这些小矩形为正方形，∴AB=而正方形的边长也为，∴关系式为：【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，同时也利用了矩形的性质，解题时首先正确了解题意，然后根据题意列出方程即可解决问题．。
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优易错试卷练习题(含答案)附详细答案
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优易错试卷练习题(含答案)附详细答案一、一元二次方程1．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=Q ，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．2．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【答案】x=15或x=1 【解析】 【分析】设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】解：设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321xx =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴．而，∴，． 由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.请你解答下列问题：4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5五月80151【答案】5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x＝36，解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.6．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了45m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1.5×（1+45m%）+1.5×（1+45m%）（1+2m%）=7.5×92%，解得m=50答：m的值为50．本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．7．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000． ∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元． 【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.8．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()210k -≤， 得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．9．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值； （2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围． 【答案】（1）m=517-；（2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】 【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m ＜1，根据根与系数的关系可得x 1+x 2=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3；（1）把x 12+x 22=6化为（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，代入解方程求得m 的值，根据﹣1≤m ＜1对方程的解进行取舍；（2）把T 化简为2﹣2m ，结合﹣1≤m ＜1且m≠0即可求T 得取值范围. 【详解】∵方程由两个不相等的实数根， 所以△=[2（m ﹣2）]2﹣4（m 2﹣3m+3） =﹣4m+4＞0，所以m ＜1，又∵m 是不小于﹣1的实数， ∴﹣1≤m ＜1∴x 1+x 2=﹣2（m ﹣2）=4﹣2m ，x 1•x 2=m 2﹣3m+3； （1）∵x 12+x 22=6， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=6，即（4﹣2m ）2﹣2（m 2﹣3m+3）=6 整理，得m 2﹣5m+2=0 解得m=；∵﹣1≤m ＜1 所以m=． （2）T=+== ===2﹣2m ．∵﹣1≤m ＜1且m≠0 所以0＜2﹣2m≤4且m≠0 即0＜T≤4且T≠2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．10．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1． 【解析】 【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况. （2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如： 解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=， 解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根. 当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.11．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根．【答案】（1）a=15，方程的另一根为12；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2－4ac ＝0求出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】（1）将x ＝2代入方程2(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝15． 将a ＝15代入原方程得24x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12，x 2＝2． ∴a ＝15，方程的另一根为12； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0． 当a ＝2时， 原方程为：x 2＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1； 当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1． 综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.12．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣mx ﹣2＝0…①（1）若x ＝﹣1是方程①的一个根，求m 的值和方程①的另一根； （2）对于任意实数m ，判断方程①的根的情况，并说明理由．【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析. 【解析】试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m 的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断． (1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1 ∴2--2=0．∴∴另一根是2； (2)∵，∴方程①有两个不相等的实数根．考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根13．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形；(3) x 1=0，x 2=﹣1． 【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a ，b 的等式，进而得出a=b ，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a ，b ，c 的等式，进而判断△ABC 的形状； （3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c ，进而代入方程求出即可． 试题解析：（1）△ABC 是等腰三角形； 理由：∵x=﹣1是方程的根， ∴（a+c ）×（﹣1）2﹣2b+（a ﹣c ）=0， ∴a+c ﹣2b+a ﹣c=0， ∴a ﹣b=0， ∴a=b ，∴△ABC 是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴（2b ）2﹣4（a+c ）（a ﹣c ）=0， ∴4b 2﹣4a 2+4c 2=0， ∴a 2=b 2+c 2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，可整理为： 2ax 2+2ax=0， ∴x 2+x=0，解得：x 1=0，x 2=﹣1． 考点：一元二次方程的应用．14．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=， 0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7 【解析】 【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值． 【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0 ∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0 ∴（x +y ）2+（y +1）2=0 ∴x +y =0 y +1=0 解得：x =1，y =﹣1 ∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0 ∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0 ∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0 ∴a ﹣3=0，b ﹣4=0 解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7． 故答案为7． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．15．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m（单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案； （3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.。
2020-2021备战中考数学培优(含解析)之一元二次方程组附详细答案
2020-2021备战中考数学培优(含解析)之一元二次方程组附详细答案一、一元二次方程1．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()214421402k k ⎛⎫-++-= ⎪⎝⎭解得：52k = 当52k =时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10；当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32， ∴b +c ＝2k +1＝4． ∵b +c ＝4＝a ，∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形． ∴△ABC 的周长为10． 【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．2．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5代入原方程可求出m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m ）2﹣4（4m 2﹣1）=4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根．将x =5代入原方程，得：25﹣20m +4m 2﹣1=0，解得：m 1=2，m 2=3．当m =2时，原方程为x 2﹣8x +15=0，解得：x 1=3，x 2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x =5求出m 值．3．解方程：（2x+1）2=2x+1． 【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0， ∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0， 则x=0或2x+1=0， 解得：x=0或x=﹣12．4．已知关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根．()1求k 的取值范围；()2设方程两实数根分别为1x ，2x ，且满足221223x x +=，求k 的值．【答案】（1）134k ≤；（2）2k =-． 【解析】 【分析】()1根据方程有实数根得出()()22[2k 1]41k 38k 50=---⨯⨯-=-+≥V ，解之可得．()2利用根与系数的关系可用k 表示出12x x +和12x x 的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：()1Q 关于x 的一元二次方程()222130x k x k --+-=有两个实数根，0∴≥V ，即()()22[21]4134130k k k ---⨯⨯-=-+≥，解得134k ≤． ()2由根与系数的关系可得1221x x k +=-，2123x x k =-，()222222121212()2(21)23247x x x x x x k k k k ∴+=+-=---=-+， 221223x x +=Q ，224723k k ∴-+=，解得4k =，或2k =-，134k ≤Q ， 4k ∴=舍去， 2k ∴=-． 【点睛】本题考查了一元二次方程2ax bx c 0(a 0,++=≠a ，b ，c 为常数)根的判别式.当0V >，方程有两个不相等的实数根；当0=V ，方程有两个相等的实数根；当0<V ，方程没有实数根.以及根与系数的关系．5．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因． 涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0 a=1 b=﹣7 c=10 ∵b 2﹣4ac=9＞0∴732±∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2． 当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5． 探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根．（1）当m=2时，求△ABC 的周长； （2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1． 【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5． （1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形． （1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32． 当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形； 当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12， 此时周长为32+32+12=72． 答：当m=2时，△ABC 的周长为72． （2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根， ∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.6．解方程： 2212x x 6x 9-=-+（）【答案】124x x 23==-， 【解析】试题分析：先对方程的右边因式分解，直接开平方或移项之后再因式分解法求解即可.试题解析：因式分解，得2212x x 3-=-（）（）开平方，得12x x 3-=-，或12x x 3-=--（） 解得124x x 23==-，7．已知：关于的方程有两个不相等实数根．（1） 用含的式子表示方程的两实数根； （2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．【答案】（I ）kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0是关于x 的一元二次方程．∴由求根公式，得． ∴或（II ），∴．而，∴，． 由题意，有∴即（﹡）解之，得经检验是方程（﹡）的根，但，∴【解析】（1）计算△=（2k-3）2-4k （k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可； （2）有（1）可知方程的两根，再有条件x 1＞x 2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系. 请你解答下列问题：8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）55t ±= 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，90,8,6C AC BC ︒∠===Q ，22228610AB AC BC ∴=+=+=102//,,1068PA PE AE t PE AEPE BC AB BC AC -∴==∴==Q 34(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，3(102)5t t ∴-= 解得3011t = （2）由题意22424116825552t t =+=⨯⨯⨯ 整理得2t 550t -+=，解得552t =552t ∴=，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。
华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程自主学习培优测试卷B卷(附答案详解)
华师大版2020九年级数学上册第22章一元二次方程自主学习培优测试卷B 卷（附答案详解）1．一元二次方程2240x x --=和220x x -+=所有实数根的乘积等于（ ）A ．-8B ．-4C ．8D ．42．若12,x x 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则12x x 的值是（ ）A ．3B ．-2C ．-3D ．23．如果非零实数a 是一元二次方程x 2－5x ＋m ＝0的一个根，－a 是方程x 2＋5x －m ＝0的一个根，那么a 的值等于( )A ．0 B ．1C ．12D ．5 4．一元二次方程x 2﹣3x=0的解为（ ）A ．x 1=3，x 2=﹣3B ．x 1=﹣3，x 2=0C ．x 1=3，x 2=0D ．x 1=x 2=3 5．已知方程x 2+2x ﹣1=0的两根分别是x 1，x 2，则1211+x x =（ ） A ．2 B ．﹣2 C ．﹣6D ．6 6．把方程x （x+2）=5化成一般式，则a ，b ，c 的值分别是（ ）A ．1，2，﹣5B ．1，2，﹣10C ．1，2，5D ．1，3，27．下列方程为一元二次方程的是（ ）A ．ax 2﹣bx+c=0（a 、b 、c 为常数）B ．x （x+3）=x 2﹣1C ．x （x ﹣2）=3D ．10x x+= 8．有两个关于x 的一元二次方程：M ：20ax bx c ++= N ：20cx bx a ++=，其中0a c +=，以下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根；B ．如果方程M 有两根符号异号，那么方程N 的两根符号也异号；C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根； D ．如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必定是1x =9．若一元二次方程()21230k x x -+-=有实数根，那么k 的最大整数值是（ ） A ．1 B ．2 C ．-1 D ．010．把一元二次方程2445x x +=化为一般形式正确的是（ ）A ．24450x x ++=B ．25440x x -+=C ．25440x x --=D ．25440x x +-=11．关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则a ________0．（填“>”、“<”或“≠”）12．将代数式2241x x +-化为2()a x p q ++的形式为________．13．某种传染性禽流感在鸡群中传播迅猛，平均一只鸡每隔4小时能传染m 只鸡，现知道某鸡场有a 只鸡有此病，那么8小时后感染此病的鸡共有________只．14．已知关于x 的一元二次方程2kx 2x 10-+=有实数根，若k 为非负整数，则k 等于_____．15．如图：要在长100m ，宽90m 的长方形绿地上修建宽度相同的道路，6块绿地面积共28448m ，则道路的宽是________．16．若2x 2－5x ＋28251x x -+－5＝0，则2x 2－5x －1的值为___________． 17．已知一元二次方程22(1)7340a x ax a a -+++-=有一个根为0，则a 的值为_______.18．方程2x 2+3x －k=0根的判别式是___________；当k___________时，方程有实根. 19．关于x 的一元二次方程2(1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是__________．20．若m 是方程210x x +-= 的一个根，则代数式22018m m +-=_______.21．解下列方程（1）（2）（3） 22．用适当的方法解方程：()22169(52)x x x -+=-；()22 25224x x x x --=-+；()2 33210x x -+=；()2 49630x x +-=；()2 511280x x -+=；()2 6441018x x x ++=-．23．解方程：2(0x +=24．解下列方程：（1）x 2+4x –5=0；（2）x(x –4)=2–8x ．25．已知关于x 的一元二次方程220x x k -+=．()1若方程有实数根，求k 的取值范围；() 2如果k 是满足条件的最大的整数，且方程220x x k -+=一根的相反数是一元二次方程()21370m x mx ---=的一个根，求m 的值及这个方程的另一根． 26．按要求的方法解下列一元二次方程．（1）2160x -=（直接开平方法） （2）24120x x --=（配方法）（3）()()231210x x -+-=（因式分解法） （4）22410x x --=（公式法） 27．阅读：一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根1x ，2x 与系数存在下列关系：12b x x a +=-，12c x x a=；理解并完成下列各题：若关于x 的方程220x x --=的两根为1x 、2x ．()1求12x x +和12x x ；()2求1211x x +．28．解方程：x 2﹣4＝﹣3x ﹣6．29．解方程：()()21223x x x -=-．()222470x x --=（用配方法）()()23(41)1041240x x ----=．30．选用适当的方法解下列方程：（1）（x+2）2＝9（2）2x （x ﹣3）+x ＝3参考答案1．B【解析】【分析】由一元二次方程x2-2x-4=0和x2-x+2=0，先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系即可直接得出答案．【详解】由一元二次方程x2−2x−4=0，∵△=4+16=20>0，∴x1x2=−4，由x2−x+2=0，∵△=1−4×2=−7<0，故此方程无解，故所有实数解乘积为：−4.则答案选B.【点睛】本题考查了根与系数的关系，熟练的掌握根与系数的关系是本题解题的关键.2．B【解析】试题解析：∵一元二次方程x2-3x-2=0的一次项系数是a=1，二次项系数c=-2，∴由一元二次方程根与系数的关系，得x1∙x2=-2．故选B．3．D【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，把两式相加得2a2-10a=0，然后解关于a的一元二次方程即可得到满足条件的a的值．【详解】由题意得：a2-5a+m=0，a2-5a-m=0，所以2a2-10a=0，解得a1=0（舍去），a2=5，所以a 的值为5，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．4．C【解析】【分析】一元二次方程解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，根据一元二次方程本身的特点，选择合适的解法，如本题采用因式分解法更合适.【详解】解：30x x -=（），030x x 或，∴=-= 1203x x ==解得：，，C 故选：．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法.5．A【解析】解：根据题意得：x 1+x 2=－2，x 1x 2=﹣1，所以11x +21x =1212x x x x +=21--=2．故选A ． 点睛：本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=﹣b a ，x 1x 2=c a． 6．A【解析】试题解析：方程整理得：x 2+2x-5=0，则a ，b ，c 的值分别是1，2，-5，故选A7．C【解析】 试题分析：根据一元二次方程的定义可以判断A 、B 、D 选项不是一元二次方程.故选C.考点：一元二次方程的定义.8．D【解析】分析：利用根的判别式判断A;利用根与系数的关系判断B;利用一元二次方程的解的定义判断C 与D.详解：A 、如果方程M 有两个相等的实数根,那么△=b²-4ac=0,所以方程N 也有两个相等的实数根,结论正确,不符合题意;B 、如果方程M 的两根符号相同,那么方程N 的两根符号也相同,那么△=b²-4ac ≥0.0c a >,所以a 与c 符号相同, 0a c>,所以方程N 的两根符号也相同,结论正确,不符合题意; C 、如果5是方程M 的一个根,那么25a+5b+c=0,两边同时除以25,得110255c b a ++=,所以15是方程N 的一个根,结论正确,不符合题意; D 、如果方程M 和方程N 有一个相同的根,那么,,由a≠c,得x²=1,x=±1,结论错误,符合题意;故选D.点睛：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系: △>0⇔方程有两个不相等的实数根; △=0⇔方程有两个相等的实数根; △<0⇔方程没有实数根.也考查了根与系数的关系,一元二次方程的解的定义.9．D【解析】【分析】根据一元二次方程有实数解得出△≥0且1-k≠0，求出k 的范围，再求出答案即可．【详解】∵一元二次方程（1-k ）x 2+2x-3=0有实数根，∴△≥0且1-k≠0，∵△=22-4（1-k ）•（-3）=-12k+16≥0，∴k≤43， 即k≤43且k≠1， k 的最大整数值是0，故选D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于k 的不等式，注意：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a≠0）①当b 2-4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，②当b 2-4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b 2-4ac ＜0时，一元二次方程没有实数根．10．C【解析】【分析】通过移项，变形即可化成一元二次方程的一般式.【详解】解：∵一元二次方程2445x x +=，即为2544x x =+，移项得：25440x x --=，即为该一元二次方程的一般式.故本题选择C.【点睛】掌握一元二次方程的一般式：ax 2+bx +c =0(a ≠0)是解题本题的关键.11．≠【解析】【分析】一元二次方程中二次项的系数不能等于0．【详解】关于x 的方程2320ax x -+=是一元二次方程，则a≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟悉掌握是解决本题的关键．12．22(1)3x +-【解析】【分析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．【详解】2241x x +-=2(x 2+2x)-1=2(x 2+2x+1-1)-1=22(1)3x +-.故答案为：22(1)3x +-【点睛】本题考核知识点：配方.解题关键点：掌握配方的基本方法.13．2(1)a m +【解析】【分析】根据每轮传染数和传染的轮数列出一元二次方程即可．【详解】解：∵平均一只鸡每隔4小时能传染m 只鸡，∴8小时能传染两轮，根据题意得：a +ma +m （a +ma ）=a （m +1）2．故答案为a （m +1）2．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于增长率问题，难度适中．14．1【解析】分析：根据根的判别式即可k 的值．详解：由题意可知：44000k k k -≥⎧⎪≠⎨⎪≥⎩＝∴0＜k≤1，由于k 是整数，∴k=1故答案为1．点睛：本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 15．2米【解析】试题分析：设道路宽为xcm ，用长方形的面积减去道路的面积等于六块绿地面积列出方程解答即可．设道路宽为xcm ，由题意得（100-2x ）（90-x ）="8" 448．解得x 1=2，x 2=138（舍去）． •答：道路的宽为2m ．考点：本题考查的是一元二次方程的应用点评：解答本题的关键是用长方形的面积找出等量关系，列出一元二次方程解决实际问题．16．0或2【解析】【分析】本题可运用换元法，令y=2x 2-5x+1，则2x 2-5x=y-1，代入方程，即可转化为一个关于y 的方程，解求解．【详解】令2251y x x ，=-+则原式可变形为： 8150y y-+-=， 去分母得：2850,y y y -+-=即y y -+=2680∴y =2或4.经检验y =2或4都是方程的解。
2020-2021中考数学 一元二次方程组 培优练习(含答案)含答案解析
2020-2021中考数学一元二次方程组培优练习(含答案)含答案解析一、一元二次方程1．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为，方程的另一个根是5．【解析】【分析】（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，∴x2﹣7x+12﹣m2=0，∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，∵m2≥0，∴△＞0，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.2．解方程：（3x+1）2=9x+3．【答案】x1=﹣13，x2=23．【解析】试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0，分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0，可得3x+1=0或3x﹣2=0，解得：x1=﹣13，x2=23．点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.3．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥ （2）4 【解析】 试题分析：根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论.根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值. 试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【解析】 【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得： x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是2，求m 的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析；(2) 即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【解析】 【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到2+t=21m + ,2t=m,最终解出关于t 和m 的方程组即可. 【详解】 (1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m 2+4， ∵无论m 为何值时m 2≥0， ∴m 2+4≥4＞0， 即△＞0，所以无论m 为何值，方程总有两个不相等的实数根. (2)设方程的另一个根为t ，()220x m x m -++=根据题意得2+t=21m + ,2t=m ， 解得t=0， 所以m=0，即m 的值为0，方程的另一个根为0. 【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t ，用根于系数关系列出方程组，在求解.6．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值． 【答案】1【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2=0得1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.7．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k 取最小整数时，求此时方程的解． 【答案】(1)k ＞﹣12；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】 【分析】(1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×14k 2＞0， ∴k ＞﹣12； (2)∵k 取最小整数， ∴k ＝0，∴原方程可化为x 2+x ＝0， ∴x 1＝0，x 2＝﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．9．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．根据题意得（100﹣4x）x=400，解得 x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20考点：一元二次方程的应用．10．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A商品的售价为39.2元/件？（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A商品的网上标价提高a%，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量相比原来一周增加了2a%，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出a的值，再将其代入80（1+a%）中即可求出结论．【详解】（1）设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为39.2元，根据题意得：80（1﹣x）2＝39.2，解得：x1＝0.3＝30%，x2＝1.7（不合题意，舍去）．答：平均每次降价率为30%，才能使这件A商品的售价为39.2元．（2）根据题意得：[0.5×80（1+a%）﹣30]×1000（1+2a%）＝30000，整理得：a2+75a﹣2500＝0，解得：a1＝25，a2＝﹣100（不合题意，舍去），∴80（1+a%）＝80×（1+25%）＝100．答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．已知关于x 的方程（x-3）(x-2)-p 2=0.（1）求证：无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x 1、x 2，且满足x 12+x 22=3 x 1x 2，求实数p 的值.【答案】（1）详见解析；（2）p=±1. 【解析】 【分析】（1）先把方程化成一般形式，再计算根的判别式，判定△＞0，即可得到总有两个不相等的实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得两根和与两根积，再把2212123x x x x +=变形，化成和与乘积的形式，代入计算，得到一个关于p 的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】证明：（1）（x ﹣3）（x ﹣2）﹣p 2=0，x 2﹣5x+6﹣p 2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p 2）=25﹣24+4p 2=1+4p 2， ∵无论p 取何值时，总有4p 2≥0， ∴1+4p 2＞0，∴无论p 取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x 1+x 2=5，x 1x 2=6﹣p 2，∵2212123x x x x +=， ∴（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=3x 1x 2， ∴52=5（6﹣p 2）， ∴p=±1．考点：根的判别式；根与系数的关系．12．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m 件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m 的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16． 【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可； （2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m ），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x 元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．13．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？【答案】（1）详见解析；（2）k＝32或2．【解析】【分析】（1）计算判别式的值，利用完全平方公式得到△＝（2k﹣3）2≥0，然后根据判别式的意义得到结论；（2）利用求根公式解方程得到x1＝2k﹣1，x2＝2，再根据等腰三角形的性质得到2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，然后分别解关于k的方程即可．【详解】（1）∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣12）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）() 2k12k3 x=2±＋﹣∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝32或2．【点睛】本题考查了根的判别式以及等腰三角形的性质，分a 是等腰三角形的底和腰两种情况是解题的关键.14．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当a ＞0，b ＞0时：）2=a ﹣b ≥0∴a +b a =b 时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： （1）请直接写出答案：当x ＞0时，x +1x 的最小值为 ．当x ＜0时，x +1x的最大值为 ；（2）若y =27101x x x +++，（x ＞﹣1），求y 的最小值；（3）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 、△COD 的面积分别为4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【答案】（1）2；﹣2．（2）y 的最小值为9；（3）四边形ABCD 面积的最小值为25． 【解析】 【分析】（1）当x ＞0时，按照公式a +b a =b 时取等号）来计算即可；当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0，则也可以按公式a +b a =b 时取等号）来计算；（2）将y 27101x x x ++=+的分子变形，分别除以分母，展开，将含x 的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9，由三角形面积公式可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，用含x 的式子表示出S △AOD ，再表示出四边形的面积，根据题中所给公式求得最小值，加上常数即可． 【详解】（1）当x ＞0时，x 1x +≥=2； 当x ＜0时，﹣x ＞0，1x-＞0．∵﹣x 1x -≥=2，∴则x 1x +=-（﹣x 1x -）≤﹣2，∴当x ＞0时，x 1x +的最小值为 2．当x ＜0时，x 1x+的最大值为﹣2． 故答案为：2，﹣2．（2）∵x ＞﹣1，∴x +1＞0，∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141x x x ++++=+=（x +1）41x +++5=4+5=9，∴y 的最小值为9． （3）设S △BOC =x ，已知S △AOB =4，S △COD =9则由等高三角形可知：S △BOC ：S △COD =S △AOB ：S △AOD ，∴x ：9=4：S △AOD ，∴S △AOD 36x=，∴四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25． 当且仅当x =6时，取等号，∴四边形ABCD 面积的最小值为25． 【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用．对不能直接应用公式的，需要正确变形才可以应用．15．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14， 则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =,即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.。
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含答案
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含答案一、一元二次方程1．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点． 己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)．（1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点； （3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和 （2）见解析,（3）AM 的解析式为112y x =--． 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式 【详解】（1）当m =0和（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根．即无论m 取何值，该函数总有两个零点． （3）依题意有，由解得．∴函数的解析式为．令y=0，解得∴A()，B(4,0)作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’， 则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）． 连结CB’，则∠BCD=45° ∴BC=CB’=6，∠B’C D=∠BCD=45° ∴∠BCB’=90° 即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-， ∴直线AB’的解析式为112y x =--， 即AM 的解析式为112y x =--．2．已知：关于x 的方程x 2－4mx ＋4m 2－1＝0. (1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC 为等腰三角形，BC ＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2 【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17 【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x 2﹣4mx +4m 2﹣1=0的根，将x =5代入原方程可求出m 值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m ）2﹣4（4m 2﹣1）=4＞0，∴无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC 为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x 2﹣4mx +4m2﹣1=0的根．将x =5代入原方程，得：25﹣20m +4m 2﹣1=0，解得：m 1=2，m 2=3．当m =2时，原方程为x 2﹣8x +15=0，解得：x 1=3，x 2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m =3时，原方程为x 2﹣12x +35=0，解得：x 1=5，x 2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17． 综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【分析】（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调x%，则7000（1﹣x）2=5670，解得：x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%）×（1﹣15%）=95%×85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．由图看出，用水量在m吨之内，水费按每吨1.7元收取，超过m吨，需要加收．5．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a元/千克, b元/千克.由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩ 解之得：108a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-= 解之得：12x =，27x =经检验，12x =，27x =均符合题意 答：x 的值为2或7. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.6．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A ，B 两个社区，B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍． （1）求A 社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A ，B 两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A 社区有1.2万人知晓，B 社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A 社区的知晓人数平均月增长率为m %，B 社区的知晓人数第一个月增长了45m %，第二月在第一个月的基础上又增长了2m %，两个月后，街道居民的知晓率达到92%，求m 的值．【答案】（1）A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）m 的值为50． 【解析】 【分析】（1）设A 社区居民人口有x 万人，根据“B 社区居民人口数量不超过A 社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A 社区的知晓人数+B 社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m 的方程并解答． 【详解】解：（1）设A 社区居民人口有x 万人，则B 社区有（7.5-x ）万人， 依题意得：7.5-x ≤2x ， 解得x ≥2.5．即A 社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50 答：m 的值为50． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．7．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，2x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m +->g g，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.8．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴∴x 1x 2.9．用适当的方法解下列一元二次方程：（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.10．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()210k -≤， 得1k =.由于k的取值范围为14k≤，故不存在k使2212120x x x x--≥．11．阅读下面的例题，范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0，解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合题意，舍去）．（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合题意，舍去）．∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2请参照例题解方程x2﹣|x﹣10|﹣10=0．【答案】x1=4，x2=﹣5．【解析】【分析】分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x2﹣x=0，当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，分别求出方程的解即可．【详解】当x≥10时，原方程化为x2﹣x+10﹣10=0，解得x1=0（不合题意，舍去），x2=1（不合题意，舍去）；当x＜10时，原方程化为x2+x﹣20=0，解得x3=4，x4=﹣5，故原方程的根是x1=4，x2=﹣5．【点睛】本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．12．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根. (2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得 ，∵ 方程的两个实数根都是正整数，∴ ． ∴．∴ 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.13．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2． 【解析】 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案. 【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数， ∴1n =，则方程为220x x -=， 即(2)0x x -=， 解得120,2x x ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.14．已知关于x 的一元二次方程（a+c ）x 2+2bx+（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【答案】(1) △ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3) x1=0，x2=﹣1．【解析】试题分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．试题解析：（1）△ABC是等腰三角形；理由：∵x=﹣1是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；（2）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形；（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．考点：一元二次方程的应用．15．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可；（2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．。
2020年秋苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元培优测试卷(Word版 含解析)
2020年秋苏科版九年级数学上册第一章一元二次方程单元培优测试卷一、选择题（共10题；共30分）1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A.x2+1x=0 B.ax2＋bx＋c＝0 C.（x－1）（x＋ 2）＝1 D.3x2－2xy－5y2＝02.用配方法解一元二次方程x2-8x+11=0，此方程可化为( )A.(x-4)2=5B.(x+4)²=5C.(x-4)²=27D.(x+4)²=273.一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.已知一元二次方程x2﹣4x+m＝0有一个根为2，则另一根为（）A.﹣4B.﹣2C.4D.25.从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的矩形的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）A. 8cmB. 64cmC. 8cm2D. 64cm26.三角形的两边长分别为3米和6米，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（）A.11B.12C.11或 13D.137.如果关于x的一元二次方程kx2−3x+1=0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A.k⩾94B.k⩾−94且k≠0 C.k⩽94且k≠0 D.k⩽−948.菱形ABCD的一条对角线长为6，另一条对角线的长为方程y2﹣2y﹣8＝0的一个根，则菱形ABCD的面积为（）A.10B.12C.10或12D.249.某公司今年1月的营业额为250万元，按计划第1季度的营业额要达到900万元，设该公司2、3月的营业额的月平均增长率为x．根据题意列方程正确的是（）A.250(1+x)2=900B.250(1+x%)2=900C.250(1+x)+250(1+x)2=900D.250+250(1+x)+250(1+x)2=90010.若m是一元二次方程x2-4x-1=0的一个根，则代数式4m-m²的值为( )A.1B.-1C.2D.-22二、填空题（共6题；共24分）11.若(x2+y2)2−5(x2+y2)−6=0，则x2+y2= ________．12.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为________．13.设x1，x2是方程2x2+3x−4=0的两个实数根，则1x1+1x2的值为________．14.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a的值为________．15.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出________．16.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为________．三、解答题（共7题；共66分）17.解方程（1）x2−4=0（2）(x+3)2=(2x−1)(x+3)18.一个两位数的个位数字与十位数字的和为9，并且个位数字与十位数字的平方和为45，求这个两位数。
2019-2020学年人教版九年级数学上第21章一元二次方程培优测试(含答案)
第21章 一元二次方程培优测试1 .一元二次方程 X 2— 3x — 2= 0的两根为X 1, X 2,则下列结论正确的是 （） A. x i =— 1， X 2=2 B. X 1 = 1 , X 2 =— 2 C. X 1+ X 2=3 D. X 1X 2 = 222. 关于y 的方程my （y — 1） = ny （y + 1） + 2化成一般形式后为 y — y —2= 0，则 m n 的值依次是（ ）A. 1,0B. 0,1C. — 1,0D. 0,— 1 3.关于X 的方程ax 2+ bx + c = 0,有下列说法：①若0,则方程必是一元二次方程；②若 a = 0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法 （）A. ①②均正确B. ①②均错误C. ①正确，②错误D. ①错误，②正确4. 一元二次方程（x + 1）2— 2（x — 1）2= 7的根的情况是（） A. 无实数根B. 有一正根一负根C. 有两个正根D. 有两个负根5 .若方程X 2 — 3x — 1 = 0的两根为X 1、 A. 3B. — 3C.D.2 a 、b ，定义 f(a ，b) = a + 5a — b ，如 f(2,3) 若f （x,2） = 4，则实数x 的值是（） A. 1 或—6 B. — 1 或 6 C. — 5 或 1 D. 5 或 17 .关于X 的一元二次方程 X 2 — 2x + sin a = 0有两个相等的实数根，则锐角 a 等于（）A. 15°…X1 + X2“,+ ,X 2,则x x^的值为(6.对于任意实数2=2 + 5X 2— 3，B. 30°C. 45D. 60°2& 已知3是关于x 的方程x - (m n 1)x + 2vm= 0的一个实数根，并且这个方 程的两个实数根恰好是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC 的周长为( ) A. 7 B. 10 C. 11D. 10 或 11 若方程3x 2-4x — 4= 0的两个实数根分别为 X 1, X 2,则X 1 + X 2=()-4 3 4 —34 D. 310•关于x 的一元二次方程 x 2 + bx + 2= 0有两个不相等的实数根，写出一个 满足条件的实数 b 的值：b= ______________ .2211. ___________________________________ 若 x — 4x + 5 = (x — 2) + n ,贝U m = ______________________________________ .2 2 212. 已知x = 1是一元二次方程 x + ax + b = 0的一个根，则代数式a + b + 2ab 的值是 _____ .a b13 .将4个数a , b , c , d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成 || ,c da b 定义| | = ad — bc ,上述记号就叫做 c d x = ____ .214. ______________________________________________________________ 已知关于x 的方程x + px + q = 0的两根为一3和一1,则卩= ,q = ________________ . 15. _________________________________________ 当x = — 1时，代数式8—2x 2—4x 有 _______________________________________ 值，其值为 ______ . 16 •某县体育局要组织一次篮球赛， 赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场), 计划安排28场比赛，应邀请—支球队参加比赛.17. 一幅长20 cm 、宽12 cm 的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖 彩条的宽度比为 3: 2.设竖彩条的宽度为 x cm ,图案中三条彩条所占面积为 y2cm.(1)求y 与x 之间的函数关系式；9. A . B .x +1 2阶行列式.若|1 — x 1 — xx + 1| = 8，则218. 某一个一元二次方程被墨水染成为：・x +■ x+ 6 = 0，小明、小亮回忆炉*7、一次项羅值小于- j(我记得方用的二$解为沪说:请根据上述对话，求出方程的另一个解.19. 在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数，现在只花费了 4 800元.(1) 求每张门票原定的票价；(2) 根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率._ 220. 已知关于x的一元二次方程mx —(m+ 1)x +1 = 0(m#0).(1) 求证：此方程总有两个实数根；(2) 若m为整数，当此方程的两个实数根都是整数时，求m的值.21. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x >40)，请你分别用含有x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写答案1 . C2. A3. C4. C5. B6. A7. B8. D9. D 10. 3 11 . 1 12. 12. 1 13. 2 14. 4 315. 最大 10 16. 8 17.3解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为 qx cm , 3 3 2••• y = 20X —x + 2X 12 • x — 2X -x • x =- 3x + 54x ,2 2即y 与x 之间的函数关系式为 y =— 3x 2+ 54x ;2⑵ 根据题意，得：一3x 2 + 54x =：X 20X 12,52整理，得：x — 18x + 32 = 0，解得：X 1 = 2, X 2= 16（舍），则横彩条的宽度为3 cm ,竖彩条的宽度为 2 cm18. 解：设二次项系数为a,则一次项系数为a 2，•方程为ax 2 + a 2x + 6 = 0,2 2•••方程的一个根为 x = 3，则有9a + 3a + 6= 0,即卩a + 3a + 2= 0,配方得(a 3 2 1 + ^) = 4，解得a 1 =— 1, a 2 =— 2,又因为二次项系数小于一 1 ,• a =— 2. •••当a =— 2时，方程为—2x 2 + 4x + 6= 0,化简得：x 2— 2x — 3 = 0,配方得(x2—1) = 4，解得X 1 =— 1, X 2 = 3. ••方程的另一个解为一1.19.解得x = 400.经检验，x = 400是原方程的解， 则每张门票原定的票价 400元 ⑵设平均每次降价的百分率为 y.由题意得400(1 — y) 2= 324,解得y 1= 0.1 , y 2= 1.9(不合题意，舍去)，则平均每次降价10% 20. (1) 证明：•••△= 2—4m = (m — 1)2>0,「.此方程总有两个实数根.m +1土； m — 1 21 ,,解：(1)设每张门票原定的票价为x 元,由题意得60004 800x — 80(2) 解：解原万程，得x = ■2m , • X1= 1, X2 = m当m为整数1或—1时，X2为整数，即此方程的两个实数根都是整数.故m的值为1或九年级数学单元测试-1.21 .解：根据题意，得- 该玩具的销售单价为210x+ 1300X —30 000 = 10 000，解得x i= 50, X2 = 80.即50元或80元.。
鲁教版2020八年级数学下册8.6一元二次方程的应用培优练习题(附答案详解)
鲁教版2020八年级数学下册8.6一元二次方程的应用培优练习题（附答案详解） 1．某市2013年的房价为14000元2/m ，预计2015年将达到20000元2/m ，求这两年的年平均增长率，设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为( ) A ．()140001x 20000+= B ．214000(1x)20000+= C ．()140001x 20000-=D ．214000(1x)20000-=2．方程(x-2)(x-4)=0 的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为 （ ）A ．6B ．8C ．10D ．8或103．某厂四月份生产零件100万个，第二季度共生产零件282万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ）A ．100（1+x ）2=282B ．100+100（1+x ）+100（1+x ）2=282C ．100（1+2x ）＝282D ．100+100（1+x ）+100（1+2x ）=282 4．要建如图所示两个长方形养鸡场, 养鸡场总面积为150m 2，，为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙（无限长）,另外的边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m 。
且在BC 边上开一扇长为2米的门GH ，在EF 边上开一扇长为2米的门MN 。
若设鸡场的AB 长为x 米。
则所列方程为（ ）A 、x （35－2x ）=150B 、x （31－3x ）=150C 、x （39－2x ）=150D 、x （39－3x ）=1505．我市某楼盘原准备以每平方米8800元的价格对外销售，但是受国家楼市调控政策的影响，对价格进行了两次下调，最终的销售价格是每平方米6860元．设平均每次下调的百分率是x ，可得方程（ ） A ．6860（1+x ）+6860（1+x ）x=8800 B ．6860（1+x ）2=8800 C ．8800（1﹣x ）x=6860D ．8800（1﹣x ）2=68606．某工厂8月份的产值是50万元，10月份的产值达到72万元，设这两个月的产值平均月增长率为x ，则列出方程正确的是（ ） A ．50（1+x 2）＝72 B ．72（1﹣x 2）＝507．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( ) A ．()1119802x x += B ．()1119802x x -= C ．()11980x x += D ．()11980x x -=8．小明用一根长为30厘米的铁丝围成一个直角三角形，使斜边长为13厘米，则该三角形的面积等于( ). A ．15厘米2B ．30厘米2C ．45厘米2D ．60厘米29．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有_____家公司出席了这次交易会？10．近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低.为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2015年月退休金为1500元，2017年达到2160元．设李师傅的月退休金从2015年到2017年年平均增长率为x ，可列方程为________ .11．某电子产品每件原价为800，首次降价的百分率为x ，第二次降价的百分率为2x ，那么经过两次降价后每件的价格为________元（用x 的代数式表示）．12．某厂1月份产值为100万元，现计划第一季度产值要达到364万元，为了完成计划，每月预计产值平均增长率为______%.13．直角三角形的一条直角边和斜边的长分别是一元二次方程x 2﹣5x+6＝0的两个实数根，该直角三角形的面积是_____．14．有一间长20m ，宽15m 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的12，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空宽度为_____m ． 15．一种型号的数码相机，原来每台售价为2500元，经过两次降价后，现在每台售价为1600元.假设两次降价的百分率均为x ，那么可列出方程：_________16．某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，设商场这两个月销售额的平均增长率为x ，则可列方程为____________.17．如图，用一根长为22cm 的铁丝分段围成一个面积为10cm 2的“田”字形的长方形铁丝框．设宽为x ，请列出关于x 的方程并化成一般形式．18．列方程解应用题:某地2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1600万元.从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少?19．某商场销售某种商品，每件成本为30元.经市场调研，售价为40元时，每月可销售200件；售价每涨1元，每月销售量将减少10件.该商场每月要在这种商品上盈利2160元的同时.尽可能的减少库存，那么这种商品售价应该定为多少元？（1）解：方法1：设这种商品的定价为x元，由题意，得方程为：；方法2：设这种商品涨了x元，由题意，得方程为：；（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程.20．“一路一带”倡议6岁了！到日前为止，中国已与126个国家和29个国际组织签署174份合作文件，共建“一路一带”国家已由亚欧延伸至非洲、拉美、南太等区域.截止2019年一季度末，人民币海外基金业务规模约3000亿元，其投资范围覆盖交通运输、电力能源、金融业和制造业等重要行业，投资行业统计图如图所示．（1）求投资制造业的基金约为多少亿元？（2）按照规划，中国将继续对“一路一带”基金增加投入，到2019年三季度末，共增加投入630亿元，假设平均每季度的增长率相等，求平均每季度的增长率是多少？21．一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？22．为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长34m，宽20m的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为608m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）23．如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道(如图所示)，问人行通道的宽度是多少米？24．如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？参考答案1．B 【解析】 【分析】根据下一年的房价等于上一年的房价乘以()1x +，可以列出2015年的房价，而预计2015年将达到20000元2/m ，故可得到一个一元二次方程． 【详解】设年平均增长率为x ，那么2014年的房价为：()140001x +， 2015年的房价为：214000(1x)20000+=． 故选B ． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程：解决实际问题时，要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 2．C 【解析】 【分析】先利用因式分解法解方程得到x 1=2，x 2=4，再根据三角形三边的关系判断等腰三角形的底为2，腰为4，然后计算这个等腰三角形的周长． 【详解】解：∵（x-2）（x-4）=0， ∴x-2=0或x-4=0， ∴x 1=2，x 2=4，∵当2为腰，4为底时，2+2=4，不符合三角形三边的关系， ∴等腰三角形的底为2，腰为4， ∴这个等腰三角形的周长=2+4+4=10． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系． 3．B 【解析】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×增长次数增长率)1(+=增长后的数量，五月份的产量=100（1+x ），六月份的产量=1002)1(x +，根据题意可得：100+100（1+x ）+1002)1(x +=282.考点：一元二次方程的应用 4．D. 【解析】试题分析：结合图形，根据题意得：x （39－3x ）=150 故选D.考点：一元二次方程的应用． 5．D 【解析】设平均每次下调的百分率为x ，则第一次下调后销售价为：8800(1)x -元/平方米，第二次下调后销售价为：28800(1)x -元/平方米，由题意可得方程：28800(1)6860x -=.故选D. 6．D 【解析】 【分析】这两个月的产值平均月增长率为x ，然后再根据8月份和10月份的产值，列出一元二次方程即可. 【详解】解：设这两个月的产值平均月增长率为x ，根据题意得：50（1+x）2＝72．故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键.7．D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．8．B【解析】【分析】设较短的一直角边为x，那么另一直角边的就为（30-13-x），然后根据勾股定理列方程求出两个直角边，求出面积可得．【详解】设一直角边为x，x2+（30-13-x）2=132，解得x=12或x=5，当x=12时另一边为30-13-12=5，当x=5时另一边为30-13-5=12，所以面积为12×12×5=30．故选B．【点睛】本题考查了正确理解题意设出直角边以及勾股定理和三角形面积的概念．9．13．【解析】【分析】设有x家公司参加，则每个公司要签（x−1）份合同，签订合同共有12x（x−1）份，由此列出方程解答即可．【详解】设有x家公司出席了这次交易会，依题意，得：12x（x﹣1）＝78，整理得：x2﹣x﹣156＝0，解得：x1＝13，x2＝﹣12（舍去），即共有13家公司出席了这次交易会．故答案为：13．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，甲乙之间互签合同，只能算一份，本题属于不重复记数问题，类似于若干个人，每两个人之间都握手，握手总次数；或者平面内，n个点（没有三点共线）之间连线，所有线段的条数．解答中注意舍去不符合题意的解．10．1500（1+x）²=2160【解析】【分析】设李师傅的月退休金从2015年到2017年年平均增长率为x，根据李师傅2015年及2017年月退休金金额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】设李师傅的月退休金从2015年到2017年年平均增长率为x，根据题意得：1500（1+x）2=2160．故答案为：1500（1+x）2=2160．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．11．()()800112x x -- 【解析】 【分析】每次降价的百分率都为x ，根据原价为800元，后经过两次降价，求现在电子产品的价格可列出代数式． 【详解】每次降价的百分率都为x ，那么现在该电子产品的价格为：800（1-x ）（1-2x ）． 故答案为800（1-x ）（1-2x ）． 【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据实际问题抽象出一元二次方程. 12．每月预计产值平均增长率为20%. 【解析】 【分析】根据等量关系为：一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值=364，计算求解即可． 【详解】设每月预计产值平均增长率为x ，由题意可得：()()210010011001364x x ++++=， 解得：10.220%x ==，2 3.2x =-（舍去），∴每月预计产值平均增长率为20%. 【点睛】考查一元二次方程的应用，找准等量关系是解决本题的关键．13【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据勾股定理求出另一条直角边，再根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：解方程2560x x -+=得：2x =或3，即斜边为3，直角边为2，=，所以直角三角形的面积为122⨯=【点睛】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能选择适当的方法解方程是解此题的关键， 14．2.5 【解析】 【分析】设留空宽度为2.5m ，根据地毯面积是会议室面积的一半建立方程，求解． 【详解】解：设留空宽度为xm ，根据题意得（20-2x ）（15-2x ）= 12 ×20×15， 整理得2x 2 -35x+75=0， （2x-5）（x-15）=0，解之得x=2.5，x=15（不合题意，舍去） 所以留空宽度为2.5m ． 故答案为：2.5 【点睛】理解题意，熟练掌握方程的建立是解题的关键． 15．()2250011600x -= 【解析】 【分析】根据题意，则第一次降价后的单价是原来的（1-x ），第二次降价后的单价是原来的（1-x ）2，根据题意列方程即可. 【详解】降价的百分率为x ，第一次降价后的单价是2500×（1-x ） 第二次降价后的单价是2500×（1-x ）×（1-x ） 即为2500×（1-x ）2=1600此题主要考查一元二次方程的实际应用，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键. 16．2161x)25+=（【解析】试题分析：3月份的销售额为16万元，平均每次增长百分率为x ，则四月份的销售额是16(1＋x )，五月份的销售额是16(1＋x )(1＋x )即16(1＋x )2，根据5月份的销售额是25万元可列方程为16(1＋x )2＝25．故答案为16(1＋x )2＝25．17．3x 2﹣22x+30=0．【解析】【分析】设矩形的宽为xcm ，则长为：2233x -cm ，再利用面积公式列出方程并整理即可. 【详解】解：设矩形的宽为xcm ，则长为：2233x -cm ， 根据题意得到：x （2233x -）=10， 化为一般形式为：3x 2﹣22x+30=0．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.18．从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.【解析】【分析】设年平均增长率为x ，根据：2016年投入资金×（1+增长率）2=2018年投入资金，列出方程求解可得.【详解】解:设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.根据题意得:1280(1+x )2=1280+1600.解得x 1=0.5=50%，x 2=-2.5(舍去)，答:从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.本题考查了一元二次方程的应用，由题意准确找出相等关系并据此列出方程是解题的关键．19．（1）①（x-30）[200-10(x-40))]=2160;②(x+40-30)(200-10x)=2160;(2)42元/件.【解析】【分析】(1)①根据题意设这种商品的定价为x元，可得：商品的利润=售价-进价，故每件商品的利是（x-30）元，商品销售的数量为200-10（x-40）=-10x+600,再根据等量关系：每件商品的利润⨯商品的件数=总利润，列出方程即可.②设这种商品涨了x元，则每件商品的利润表示为（x+10）元，所卖数量为(200-10x)件，根据等理关系每件商品的利润⨯商品的件数=总利润，列出方程即可.（2）从（1）中所列方程任选一个求解即可.【详解】解：（1）①设这种商品的定价为x元，由题意，得方程：（x-30）[200-10(x-40))]=2160.故答案为: （x-30）[200-10(x-40))]=2160.②设这种商品涨了x元，则依题意得:(x+40-30)(200-10x)=2160故答案为: (x+40-30)(200-10x)=2160(2) ①设这种商品的定价为x元，由题意，得方程：（x-30）[200-10(x-40))]=2160.解得:x1=42，x2=48,为减少库存所定价为42元/件较为合适.②设这种商品涨了x元，则依题意得:(x+40-30)(200-10x)=2160解得: x1=2，x2=8,为减少库存所定价为40+2=42元/件较为合适.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,设适当的未知数,找出等量关系是解题的关键.20．（1）630亿元；（2）10%【解析】（1）由投资电力能源所在扇形的圆心角求出投资电力能源所占比例，再利用投资制造业的基金=投资总金额×D所占的比例，即可求出结论；（2）设平均每季度的增长率是x，根据2019年一季度末及三季度末的投资总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】（1）72360×100%=20%，3000×（1-12%-15%-20%-32%）=630（亿元）．（2）设平均每季度的增长率是x，依题意，得：3000（1+x）2=3000+630，解得：x1=0.1=10%，x2=-2.1（舍去）．答：平均每季度增长10%．【点睛】考查了一元二次方程的应用以及用样本估计总体，解题的关键是：（1）求出图中B所占比例；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．21．5厘米【解析】【分析】可设纸盒的高是x厘米，对于该长方形铁皮，四个角各截去一个边长为x厘米的小正方形，长方体底面的长和宽分别是：（40﹣2x）厘米和（25﹣2x）厘米，底面积为：（40﹣2x）（25﹣2x），现在要求长方体的底面积为：450平方厘米，令二者相等求出x的值即可．【详解】设纸盒的高是x厘米，则长方体底面的长和宽分别是：（40﹣2x）厘米和（25﹣2x）厘米，由题意得：（40﹣2x）（25﹣2x）=450即：2x2﹣65x+275=0解得：x1=5，x2552（不合题意舍去）．答：纸盒的高是为5厘米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找出等量关系：底面积为450平方厘米，列出方程求解即可．22．小道进出口的宽度应为1米．【解析】【分析】设小道进出口的宽度为x 米，然后利用其种植花草的面积为608m 2列出方程求解即可．【详解】设小道进出口的宽度为x 米，依题意得（34﹣2x ）（20﹣x ）＝608，整理，得x 2﹣37x+36＝0．解得x 1＝1，x 2＝36，∵36＞20（不合题意，舍去），∴x ＝1．答：小道进出口的宽度应为1米．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程． 23．2米.【解析】试题分析：设人行通道的宽度为xm ，将两个绿地平移到一起，然后用含x 的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为28平方米列方程求解即可.试题解析：设人行通道的宽度为m x ，∴()()13382S x x =--矩形之和．∴1330820x x ->⎧⎨->⎩，∴04x <<． 由题意知：28S =．∴()()1338228x x --=．2325380x x -+=．24b ac ∆=-．6254328169=-⨯⨯-．∴11943x ==>（舍）22x ==． ∴宽为2．24．边长为2cm 的正方形．【解析】试题分析：方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解. 本题等量关系为：制作的无盖方盒的底面积为160cm 2.试题解析：设切去的小正方形边长为xcm ， 则160(202x)(142x)=--，整理得2x 17x 300-+=，解得12x 2,x 15==（大于14，不合题意，舍去）.答：纸板各角应切去边长为2cm 的正方形．考点：一元二次方程的应用（几何问题）.。
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附详细答案
2020-2021初三数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)附详细答案一、一元二次方程1．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2．（1）求k 的取值范围；（2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值．【答案】（1）12k ≤；（2）3k = 【解析】试题分析：（1）方程有两个实数根，可得240b ac ∆=-≥，代入可解出k 的取值范围； （2）由韦达定理可知，()2121221,x x k x x k +=-=，列出等式，可得出k 的值． 试题解析：(1)∵Δ＝4(k －1)2－4k 2≥0，∴－8k ＋4≥0，∴k ≤12； (2)∵x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2，∴2(k －1)＝1－k 2，∴k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.2．如图，在△ABC 中，AB ＝6cm ，BC ＝7cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2cm/s 的速度向C 点移动．如果P 、Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于4cm 2？【答案】经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【解析】【分析】作出辅助线，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，即可得出S △PQB =12×PB×QE ，有P 、Q 点的移动速度，设时间为t 秒时，可以得出PB 、QE 关于t 的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】解：如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°．∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB ．∴S △PQB ＝12•PB•QE ． 设经过t 秒后△PBQ 的面积等于4cm 2，则PB ＝6﹣t ，QB ＝2t ，QE ＝t ． 根据题意，12•（6﹣t ）•t ＝4． t 2﹣6t+8＝0．t 2＝2，t 2＝4． 当t ＝4时，2t ＝8，8＞7，不合题意舍去，取t ＝2．答：经过2秒后△PBQ 的面积等于4cm 2．【点睛】本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．4．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨52m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了920m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%，求出m的值．【答案】（1）120；（2）20．【解析】试题分析：（1）本题介绍两种解法：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，解出即可；解法二：根据单价=总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+52m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了152m%”列方程解出即可．试题解析：（1）解：解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x•80≤7680，x≤120；解法二：7680÷80÷0.8=96÷0.8=120（元）．答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；（2）解：假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+52m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣920m]（1+15m%）=120×0.8a（1﹣25%）×2（1+ 152m%），即72a（1+52m%）+a（72﹣920m）（1+15m%）=144a（1+ 152m%），整理得：0．0675m2﹣1.35m=0，m2﹣20m=0，解得：m1=0（舍），m2=20．答：m的值是20．点睛：本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．5．将m看作已知量，分别写出当0<x<m和x>m时，与之间的函数关系式；6．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．7．解方程：(x ＋1)(x －1)＝22x. 【答案】x 1＝2＋3，x 2＝2－3.【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝22xx 2-22x-1=0∵a=1，b=-22，c=-1∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴x=24b b c a -±-=2±3 ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3.8．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) .(1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;【答案】（1）3011t =；（2）552t ±=。
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含详细答案
2020-2021九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题(含答案)含详细答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c ba++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值.【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．4．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】 【分析】设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】解：设321xy x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321xx =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．5．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC 和△DEF ，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF的斜边DE 与△ABC 的斜边AC 重合在一起，并将△DEF 沿AC 方向移动．在移动过程中，D 、E 两点始终在AC 边上(移动开始时点D 与点A 重合)． （1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点H，设AD=x，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，根据勾股定理，得.∵以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.6．沙坪坝区各街道居民积极响应“创文明城区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．（1）求A社区居民人口至少有多少万人？（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1.5万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了4m%，第二月在第一个月的基础上又增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到592%，求m的值．【答案】（1）A社区居民人口至少有2.5万人；（2）m的值为50．【解析】【分析】（1）设A社区居民人口有x万人，根据“B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍”列出不等式求解即可；（2）A社区的知晓人数+B社区的知晓人数=7.5×92%，据此列出关于m的方程并解答．【详解】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5-x）万人，依题意得：7.5-x≤2x，解得x≥2.5．即A社区居民人口至少有2.5万人；（2）依题意得：1.2（1+m %）2+1.5×（1+45m %）+1.5×（1+45m %）（1+2m %）=7.5×92%， 解得m =50 答：m 的值为50． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到题中相关数据的数量关系，列出不等式或方程．7．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元 【解析】 【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题. 【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000． ∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元． 【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.8．解方程：(x ＋1)(x －1)＝x.【答案】x 1，x 2 【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x ＋1)(x －1)＝x 2-2x-1=0 ∵a=1，b=-c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0∴x=2b a-±∴x1x 2.9．已知1x 、2x 是关于x 的方程222(1)50x m x m -+++=的两个不相等的实数根. (1)求实数m 的取值范围;(2)已知等腰ABC ∆的一边长为7，若1x 、2x 恰好是ABC ∆另外两边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m>2; (2)17 【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x =7代入求出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得．试题解析：解：（1）由题意得△=4（m +1）2﹣4（m 2+5）=8m －16＞0，解得：m ＞2； （2）由题意，∵x 1≠x 2时，∴只能取x 1=7或x 2=7，即7是方程的一个根，将x =7代入得：49﹣14（m +1）+m 2+5=0，解得：m =4或m =10．当m =4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17； 当m =10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形； 故三角形的周长为17．点睛：本题主要考查判别式、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键．10．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2． 【解析】 【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案. 【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数， ∴1n =，则方程为220x x -=， 即(2)0x x -=， 解得120,2x x ==． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.11．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元． 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y--⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．12．已知关于x 的方程x 2－（m ＋2）x ＋（2m －1）=0。