简谐振动与频谱分析
合集下载
第一章简谐振动与频谱分析
63
64
解：
wn
k m
gk W
980*5.78*104 1.47 *105
19.6
重物匀速下降时处于静
平衡位置，若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重物所 在位置，则t=0时有:
x0 0
x0 v
其振动规律为：
x
x0
cos nt
x0
n
sin
nt
65
因为：
x0 0 x0 v
根据：
x
x0
cos nt
T cosnw1( 2
t)
T cosnw1( 2
t)
T
T
sin 2w1( 4 t) sin 2mw1( 4 t)
下图
几种常见的波谱
方波及其频谱 锯齿波及其频谱
几种常见的波谱
三角波及其频谱 阻尼振动及其频谱
作业
• 一个机器内某零件的振动规律为 x=0.5sinwt+0.3coswt, x 的单位是cm，w=10π 1/s. 这个振动是否简谐振动，求出它的振幅，最大 速度，最大加速度，并用旋转矢量表示三者之 间的关系
2. 能量法： 由Tmax=Umax , 求出 n
3. 瑞利法： n
g
st
st ：集中质量在全部重力
作用下的静变形
4. 等效刚度法:
72
2. 能量法： 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。
当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统 动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势 能点）。
1.2 周期振动的谐波分析
任何一周期函数都可表示为简谐函数的合 成。也就是说，任何一个复杂的周期振动 x(t)都可以分解为一系列简谐振动之和
振动基础知识
响 应 位 相
幅频特性
激励频率 相频特性 激励频率
由强迫振动确定模态参数
共振频率m n 122
固有频率fn
2
m 1- 22
半功率带宽2 1 阻尼比 1 2 1
2 n
多自由度系统的强迫振动
振动的频率等于外激励的频率。 振型为各阶振型的叠加。 各阶振型所占的比例，决定于外激励的频率和作用点位置。 激励频率接近某阶固有频率时，该阶振型增大而占主导地位，呈现为该阶模态振动。 共振峰大小决定于该阶阻尼比和激励的位置。 作用在某阶节点上的激励力，不能激起该阶振动。
振动基础知识
简谐振动三要素 振动波形 频率分析和频谱图
振动系统 单自由度与多自由度系统
振动系统的模态Βιβλιοθήκη 固有频率、振型、阻尼比自由振动与强迫振动 共振
内容提要
旋转机械振动的测量 传感器及其选用 基频分量的幅值和相位 旋转机械的振动图示 定转速：波形图、频谱图、
轴心轨迹 变转速：波德图和极坐标图
三维频谱图 轴心位置图
第二阶模态
三自由度系统的模态举例
节点 振型是各自由度坐标的比例值。振型具有正交性。
第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态
振动系统对激励的响应
激励 初始激励
持续激励
振动系统 单自由度 多自由度
▪ 由初始激励引起的响应，称为自由振动。 ▪ 由持续激励引起的响应，称为强迫振动。 ▪ 从响应中能看出系统的模态特性。
阻尼固有频fd率 T1d
无阻尼固有f频 n 率1f-d2
对数减幅系 l数 nXi
Xi1
阻尼比 422
多自由度系统的自由振动
系统的自由振动为各阶模态振动的叠加。它一般不再是简谐的。 各阶模态振动所占成分的大小，决定于初始条件。 各阶模态振动衰减的快慢，决定于该阶的阻尼比。阻尼比大，衰减快；阻尼比小，衰减慢。 在衰减过程中，各阶的振型保持不变，即节点位置不变。
幅频特性
激励频率 相频特性 激励频率
由强迫振动确定模态参数
共振频率m n 122
固有频率fn
2
m 1- 22
半功率带宽2 1 阻尼比 1 2 1
2 n
多自由度系统的强迫振动
振动的频率等于外激励的频率。 振型为各阶振型的叠加。 各阶振型所占的比例，决定于外激励的频率和作用点位置。 激励频率接近某阶固有频率时，该阶振型增大而占主导地位，呈现为该阶模态振动。 共振峰大小决定于该阶阻尼比和激励的位置。 作用在某阶节点上的激励力，不能激起该阶振动。
振动基础知识
简谐振动三要素 振动波形 频率分析和频谱图
振动系统 单自由度与多自由度系统
振动系统的模态Βιβλιοθήκη 固有频率、振型、阻尼比自由振动与强迫振动 共振
内容提要
旋转机械振动的测量 传感器及其选用 基频分量的幅值和相位 旋转机械的振动图示 定转速：波形图、频谱图、
轴心轨迹 变转速：波德图和极坐标图
三维频谱图 轴心位置图
第二阶模态
三自由度系统的模态举例
节点 振型是各自由度坐标的比例值。振型具有正交性。
第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态
振动系统对激励的响应
激励 初始激励
持续激励
振动系统 单自由度 多自由度
▪ 由初始激励引起的响应，称为自由振动。 ▪ 由持续激励引起的响应，称为强迫振动。 ▪ 从响应中能看出系统的模态特性。
阻尼固有频fd率 T1d
无阻尼固有f频 n 率1f-d2
对数减幅系 l数 nXi
Xi1
阻尼比 422
多自由度系统的自由振动
系统的自由振动为各阶模态振动的叠加。它一般不再是简谐的。 各阶模态振动所占成分的大小，决定于初始条件。 各阶模态振动衰减的快慢，决定于该阶的阻尼比。阻尼比大，衰减快；阻尼比小，衰减慢。 在衰减过程中，各阶的振型保持不变，即节点位置不变。
第二章单自由度系统自由振动)
二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
振动力学教程PPT课件
动的叠加-----------谐波分析
•
2、非周期：利用傅立叶积分作谐波分析
• δ函数又称为单位脉冲函数-----它的性质、应用
示成一系列简谐振
第22页/共35页
第一节：简谐振动及其表示方法
•一、简谐振动的表示方法
• （一）正弦函数表示
2、A、ω、Φ ------简谐振动三要素
第23页/共35页
第24页/共35页
船舶的模态分析和强度分析，飞行器的结构振动和声疲劳分析等。
3） 在土木建筑、地质工程中：建筑、桥梁等结构物的模态分析，地震
引起结构物的动态响应，爆破技术的研究等。
4） 在医学、生物工程中：脑电波、心电波、脉搏波动等的信号处理等。
第12页/共35页
2途径：
1）从具体的工程对象提炼出力学模型 2）建立数学模型------应用力学知识建立所研究问题的数学模型 3）对数学模型进行分析和计算，求出请确、近似或数值解。 4） 比较------将计算结果与工程问题的实际现象或实验研究的测试结果进行 比较，考察理论结果是否解决该工程问题，如不能解决而数学模型及求解均无错 误，则需要修改力学模型重复上述过程。
第9页/共35页
5 随机振动
20世纪50年代，航空和航天工程的发展对振动力学提出了更高 的要求，确定性的力学模型无法处理包含随机因素的工程问题----如大气湍流引起的飞机颤振、喷气噪音导致飞行器表面结构 的声疲劳、火箭运载工具有效负荷的可靠性等。工程的需要迫使 人们用概率统计的方法研究承受非确定性载荷的机械系统和结构 的响应、稳定性和可靠性等， 从而 形成了随机振动这一振动力 学的重要组成部分。 在工程问题中振动信号的采集和处理是随机振动理论应用的前提， 由于计算机的迅速发展和快速第1傅0页/立共35叶页 变换算法的出现，随机振动
简谐振动与频谱分析
x(t ) x(t nT )
二、简谐振动的矢量表示法
旋转矢量
旋转矢量
任意简谐振动可以用一个旋转矢量A来表示。 旋转矢量A在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢 量A的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐 振动的圆频率。 速度、加速度也可以用旋转矢量表示。
三、简谐振动的复数表示法
复数旋转矢量
x A sin t B sin 2t
有阻尼的衰减振动 矩形脉冲函数
x(t ) Ae
nt
sin(d t )
0 t t0 t 取其余值
x0 x(t ) 0
非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析
一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要 它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即：
例1-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。
解：图示矩形波为周期性方波
P0 P(t ) P 0
计算傅氏系数：
T 0t 2 T t T 2
矩形波
T T 2 2 a0 P0 dt T P0 dt 0 T 0 2
T T 2 2 an P0 cosn1t dt T P0 cosn1t dt 0 T0 2
n1t1 sin x0 in1t 2 x(t ) e dt n n
矩形脉冲傅里叶谱图
相邻两条谱线之间的距离为 1 2 T ，如果脉冲宽度 不变，而周期 T 变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。
§1.3 非周期振动的频谱分析方法
两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其 合成的结果就是一种非周期的一般振动。
考虑傅里叶级数前三项的影响
用复数形式表示傅里叶级数
ch1简谐振动与频谱分析01
互质数：
和差化积
有理数：
整数和分数统称为有理数，此分数亦可表示 为有限小数或无限循环小数。
无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理 数 ，如pi=3.1415926......
无理数：
质数(素数):
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不 能被其他自然数整除（除0以外）的数称之 为素数（质数）；否则称为合数。 公因数只有1的两个数，如2和3，3和5，5 和7等等。
(b) 频率不同的简谐振动的合成---不是简谐 振动。频率比为有理数时，合成为周期振 动；频率比为无理数时，合成为非周期振 动。
x1 = A1sin（ω1t+φ1）
x2 = A2sin+ x2
频率比为有理数时：
质数
因此，频率比为有理数时，二者的合成是周期振动。
合振动的形 式由分振动 的频率、振 幅及初相位 差而定。 请尝试利用 Matlab绘制 该曲线。
第一章 简谐振动与频谱分析
1.1 简谐振动及其表示方法
1.2 周期振动的谐波分析
1.3 非周期振动与富里叶积分
1.4 δ函数及其应用
1.
1.
左移即超前。 -
1.
1.
请用matlab分别绘出简谐振动的位移、速度和加速度形式，并体会其中 的异同之处。
1.
x = Asin(ωt+φ)
O
1.
1.
频率比为无理数时，找不到这样的周期。 合成为非周期振动。
小组讨论：请尝试推导！
(b) 频率很接近的两个简谐振动的合成--出现“拍”。
x1 = A1sin（ ω1t+φ1） x2 = A2sin（ω2t+φ2）
振动及频谱分析基础培训 PPT
什么是振动？
什么是振动频率？
考察上图可见，在记录纸上画出的振动轨迹是一条有一定幅值的、 比较标准的正弦曲线。由振动的周期（T）可以计算出振动的频CPM）。
图6 振动波形的位移和频率
什么是振动相位？
振动相位是一个振动部件相对于机器的另一个振动部件在某一固定 参考点处的相对移动。也就是说振动相位是某一位置处的振动运动相对 于另一位置处的振动运动，对所发生位置变化程度的度量。振动相位是 一个很有用的设备故障诊断工具。如下图所示，给出了两个彼此同相位 振动的系统，即两个振动系统以零度相位差运动。
状态
异 常
故障定位
判别
原因分析
正 常
缩小故障范围
维修
不
趋势 分析
可
决策
尚 可
状态监测和故障诊断的作用
监测与保护
监测机器工作状态。发现故障及时报警，并隔离故障。 分析与诊断
判断故障性质、程度和部位。分析故障原因。 处理与预防
给出消除故障的措施。防止发生同类故障。
停产一天的损失有多大？
300MW发电机组 损失电720万kWh，约￥144万元 30万吨化肥装置 损失化肥1000t， 约￥150万元 三峡2号水轮机组700MW 停机4小时损失￥400万元
轴心位置图 典型机械故障特征及频谱图 现场动平衡原理 诊断实例
状态监测和故障诊断
什么是状态监测和故障诊断？
在设备运行中或在基本不拆卸的情况下， 通过各种手段，掌握设备运行状态， 判定产生故障的部位和原因， 并预测、预报设备未来的状态。
是防止事故和计划外停机的有效手段。 是设备维修的发展方向。
振动的基础知识及振动测量
状态监测与故障诊断概述 简谐振动三要素 振动波形 频率分析和频谱图 旋转机械振动测量框图 传感器及其选用 基频分量幅值和相位的测量 旋转机械的振动图示 定转速：波形图、频谱图、 轴心轨迹 变转速：波德图和极坐标图、三维频谱图、坎贝尔图、
第二章单自由度系统自由振动)
在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数 学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的 阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻 尼来处理。
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
若动能达到最大Tm ax时取势能为0，则动能为0时，势能必取得最大值U m ax
Tm
ax＝U
m
，可由此得到固有频率
ax
例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率
T 1 m(l)2
2
U 1 k(a)2
2
d [1 m(l)2 1 k(a)2 ] 0
dt 2
2
可得 ＋ k ( a )2 0
例题2-3
meq J m1r 2 m2 R2 keq (k1 k3 )r 2 (k2 k4 )R2
例题2-4 （教材例题2.4）
例题2-5 （教材例题2.5）
me
m
L
3
mA
J
mvb2 a2
1 3
msb2
例题2-6 （教材例题2.3、2.6） 求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考虑傅里叶级数前三项的影响
用复数形式表示傅里叶级数
a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1 1 in1t in1t cos n t e e 1 根据欧拉公式： 2 i in1t sin n1t e e in1t 2 a0 an ibn in1t an ibn in1t x(t ) e e 2 n1 2 2 n 1
x A sin t B sin 2t
有阻尼的衰减振动 矩形脉冲函数
x(t ) Ae
nt
sin(d t )
0 t t0 t 取其余值
x0 x(t ) 0
非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析
一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要 它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即：
x(t ) dt 收敛
非周期振动函数
1 x(t ) lim T 2
n
X
n ( n ) e
i nt
Xn
T 2
T 2
xT (t )eint dt
当 T 时， d ,
n , 得到:
X ( ) x(t )ei t dt
第一章 简谐振动与频谱分析
振动理论与测试技术
80学时
讲课教师
殷祥超
中国矿业大学理学院 力学与工程科学系
二00三年八月
第一章 简谐振动与频谱分析
§1.1简谐振动的表示方法 一、简谐振动的三角函数表示法
x(t ) A sin( t )
1 T f
2
2 f
简谐函数
特点：（1）简谐振动是等幅振动。（2）是最简单的周期振动。
一个非周期振动可以表示成无穷简谐振动的叠 加，这些简谐振动的频率不是离散分布，而是连 续分布。
X ( ) 是 的复数函数 X ( ) 也称为 x(t ) 的频谱函数。
例1-3 求图示单个矩形脉冲的傅里叶积分，并作出频谱图。
解： 0 x(t ) x0 0 t t1 2
n1t1 sin x0 in1t 2 x(t ) e dt n n
矩形脉冲傅里叶谱图
相邻两条谱线之间的距离为 1 2 T ，如果脉冲宽度 不变，而周期 T 变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。
§1.3 非周期振动的频谱分析方法
两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其 合成的结果就是一种非周期的一般振动。
矩形波的傅氏级数为:
P(t ) bn sin n1t
n 1
1 sin n1t n1,3,5 n
1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5 4 P0
4 P0
矩形波的振幅频谱图
4 P0 Pn n
基频的谐波分量 占主要地位，它的幅 值最大。 在基频分量上迭 加上三阶谐波分量得 到的波形已逐渐接近 矩形波。 若再迭加上五阶 谐波分量，已近似 于矩形波。 所以，用有限项谐 波分量的迭加来近似 周期振动，这将使分 析简化。
1 x(t ) 2
X ( )e d
i t
傅立叶积分
傅立叶变换
x(t ) F [ X ( )]
-1
X ( ) F[ x(t )]
傅立叶逆变换
若用频率
f
代替
，则表示为：
傅立叶变换对
x(t ) X ( f )ei 2 f t df
X ( f ) x(t )ei 2 f t dt
傅 立 叶 系 数
a0 x(t ) cn sin(n1t n ) 2 n1
cn a b ,
2 n 2 n
an n arctg bn
幅频谱图
平均值；
a0 2 表示周期振动的
谐振动振幅；
cn 是频率为 n1的简
为相位角。
相频谱图
n
频谱分析
频域分析
周期函数的频谱图
矩形脉冲
解： X 1 n T
t1 2
t1 2
x0 e
in1t
dt
t1 2
因为 T
2
1
x0 1 in1t Xn e T in1
n0时
1 X0 T
x0 n1t1 sin t1 2 n 2
t1 2 t1
x 0 t1 x0 n1t1 x0 dt lim sin 2 n 0 n T 2
复数旋转矢量
A A cos( t ) iA sin( t )
i 1
A F Aei
复振幅
Ae
i ( t )
Ae e
i i t
AF e
i t
x Im[A] Im[AFei t ] Im[Aei ei t ]
Im[Ae
例1-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。
解：图示矩形波为周期性方波
P0 P(t ) P 0
计算傅氏系数：
T 0t 2 T t T 2
矩形波
T T 2 2 a0 P0 dt T P0 dt 0 T 0 2
T T 2 2 an P0 cosn1t dt T P0 cosn1t dt 0 T0 2
x(t ) x(t nT )
二、简谐振动的矢量表示法
旋转矢量
旋转矢量
任意简谐振动可以用一个旋转矢量A来表示。 旋转矢量A在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢 量A的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐 振动的圆频率。 速度、加速度也可以用旋转矢量表示。
三、简谐振动的复数表示法
复数旋转矢量
t1 t t 1 2 2 t1 t 2
x(t )的频谱函数为：
X ( ) x(t )e
i t
2 x0
sin
t1
2
dt
t1 2 t 1 2
x 0 e i t dt
单个矩形脉冲
x(t ) 的傅立叶积分为： 1 2 x0 t1 i t x(t ) sin e d 2 2
计算出频谱函数的值为： X ( )
2 x0
sin
t1
2
t1 x0
sin
t1
2Байду номын сангаас
t1
2
单个矩形脉冲的频谱图
非周期振动频谱图的谱线是连续分布而不是离散分布。
矩形脉冲傅里叶谱图
相邻两条谱线之间的距离为 1 2 T ，如果脉冲宽度 不变，而周期T变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。
an是n的偶函数，bn是n的奇函数，即：
an an
bn bn
例1-2 图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为：
0 x(t ) x0 0 T t1 t 其中T为周期，t1为脉冲 2 2 宽度。求x(t)的复数形式的 t1 t1 t 傅里叶级数展开式，并画出 2 2 t1 T t1=T/3时的频谱图。 t 2 2
Ae
2
三种表示方法各有特点： 三角函数 表示法形式简单，比较直观； 矢量表示法 几何意义十分明确； 复数表示法 便于分析计算。
§1.2周期振动的频谱分析方法
x(t ) x(t nT ) n 1,2,3
a0 x(t ) (an cosn1t bn sin n1t ) 2 n1 2 T a0 x(t )dt 基频： T 2 2 T an x(t ) cos n1tdt 1 T T 2 T bn x(t ) sin n1tdt T 可取 0 ，或 T / 2
作业：
1-1，1-3，1-4，1-6，1-7，1-8
i ( t )
] A sin( t )
以后若不加说明，即表示省略虚部符号 Im ，即
x AF e
i t
Ae
i t
i t
i i t
Ae
i ( t )
i AF e x
2
i Ae
i ( t )
i ( t )
AF e x