湖南长沙2020届高三统一考试理科数学试卷含答案
综上，△ABC 的周长为 6 或 5 + 13 .
（12 分）
18．（本小题满分 12 分）. 解析：（Ⅰ）证明： ∵ 四边形 BB1C1C 是菱形， ∴ B1C ⊥ BC1 ，
Q AB ⊥ B1C, AB I BC1 = B ， ∴ B1C ⊥ 平面ABC1 ， ∴ B1C ⊥ AO ，
数学（理科）参考答案第 4 页 共 8 页
π 2
−1
，故选
C
6. A
解析： (3x +1)(1x −1)5 的展开式中的常数项为 C54 × 3× (−1)4 + (−1)5 = 14 ，故选 A.
7．B
( ) 解析：由 cosα 1+
3 tan10o = 1 可得 cosα
3 sin100 + cos100 = 1，即 cos100
cosα 2sin 400 = 1 ，所以 cosα = cos100 = sin 800 = 2sin 400 cos 400 = cos 400 ，
≤
2
，即
a
的取值范围是
−
3, 2⎤⎦ .
16． 8 11
解析：如图，延长 CA 至 D ，使得 AD = 6 ，连接 DB, PD ，
数学（理科）参考答案第 3 页 共 8 页
因为 AD = AB = 6 ，故 ΔADB 为等腰三角形，
又
∠DAB
=
180°
−
∠CAB
=
120°
，故
∠ADB
=
1 2
(180°
则 cos β = 3 = −cos 2α ， 5
解得 sin α = 2 5 , cosα = 5 , tan α = 2 ，于是 b = 2a, c = 5a ，
5
5
利用相似可求得 BC = 1 a ， FC = 5 a ，
2
2
利用平面几何知识可以求得 AC = 5 a ，则 | FA | = 4 ，故选 B
cos100
2sin 400 2sin 400
2sin 400
又α 为锐角，故α = 400 ，选 B
8．D
解析： ΔPEF2 的周长为 PE + PF2 + EF2 = PE + 2a − PF1 + EF2 = 2a + EF2 + PE − PF1
≥ 2a + EF2 − EF1 = 2a = 3b ,
2．D
解析：复数
z
=1+i i
=
i
+i2 i2
=1−i
，故选
D
3．C
解析：在△CEF
中，E→F＝→EC＋→CF.因为点
E
为
DC
的中点，所以→EC＝12D→C.因为
uuur CF
=
uuur 2FB
，
所以→CF＝23C→B. 所以→EF＝21D→C＋23C→B＝21A→B＋23D→A＝21A→B－23A→D，故选 C
10．C
解析：当 n ≥ 2 时， an−1 + Sn−1 = 2n−1 ，则 an − an−1 + (Sn − Sn−1) = 2n − 2n−1 = 2n−1 ，
即 2an
− an−1
=
2n−1 ，则 bn
=
log2
2n+1
=
n
+ 1 ，从而
1 nbn
=
1 n
−
1 n +1
，
故
1 b1
+
1 2b2
4．D
解析：当
x
≥
0
时，函数
y
=
x2 e x +1
，由
y
'=
2x−x e x+1
2
可知原函数有且只有一个极大值点是
x = 2 ，故选 D.
5．C
解析：设正方形的边长为
2，则图中阴影部分的面积为
S
=
4×⎜⎝⎛
2×
1 4
π
×12
−1×1⎟⎠⎞
=
2π
−
4
，
故所求恰好取自阴影部分的概率为
P
=
2π − 4
4
=
12．B
解析：直线
AB
的方程为
y
=
−
a b
(
x
−
c
)
.令
x
=
0
，得
C
⎛ ⎜⎝
0,
ac b
⎞ ⎟⎠
.由
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
y y
= =
−
b a
a b
x
(
x
−
c
)
解得
⎛ B⎜
⎝
a2 c
,
ab c
⎞ ⎟
，.由
⎧⎪ ⎨
−
a b
−
b a
( x − c)
解得 x
⎛ A⎜
⎝
a2c a2 − b2
,
−abc a2 − b2
长沙市 2020 届高三年级统一模拟考试
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.
1．D
解析：∵ 2x−1 > 1,∴ x > 1，又 x2 − 2x ≤ 0 ，则 0 ≤ x ≤ 2 ，∴ A I B = (1, 2] ，故选 D.
6
| FC | 3
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．
1 2
解析：因 f ( x) 是偶函数，故 f (−x)= f (x) ，
( ) ( ) 即 −ax−log2 2−x +1 +cos(−x) = ax−log2 2x +1 +cos x ，
( ) ( ) ∴2ax = log2
∵ AO ⊥ 平面 BB1C1C ， ∴ 直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角即为 ∠ABO ，
即 ∠ABO = 450 。
不妨设菱形 BB1C1C 的边长为2，则在等边三角形 BB1C 中 BO = 3,CO = B1O = 1 ，
在 RtΔABO 中， AO = BO = 3 ，
（7分）
以 O 为原点，分别以 OB,OB1,OA 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
第 17～21 题
为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．（本小题满分 12 分）
解析：（Ⅰ）由正弦定理得 sin Asin(π − 2C) = sin C sin(π − A) = sin C sin A ， （1 分）
因为 sin A ≠ 0 ，所以 sin(π − 2C) = sin C ，
12
π + ϕ = kπ + π ,ϕ = kπ + π (k ∈ Z ), 当ϕ 取最小值时ϕ = π ，
6
2
3
3
f
(
x)
=
2
sin
⎛ ⎜⎝
2
x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
，
Q
x0
∈
⎛ ⎜⎝
0,
π 2
⎞ ⎟⎠
,∴
2
x0
+
π 3
∈
⎛ ⎜⎝
π 3
,
4π 3
⎞ ⎟⎠
，
( −
3
<
2 sin
⎛ ⎜⎝
2x
+
π 3
⎞ ⎟⎠
（1 分） （2 分） （3 分）
又Q AB = AC1 ， O 是 BC1 的中点， ∴ AO ⊥ BC1 ，
（4 分）
又Q B1C I BC1 = O ， ∴ AO ⊥ 平面 BB1C1C
（5 分）
（Ⅱ） ∵ AB / / A1B1 ,
∴ 直线 A1B1 与平面 BB1C1C 所成的角等于直线 AB 与平面 BB1C1C 所成的角.
( ) ( ) 则 B1 (0,1, 0),C (0, −1, 0), A1 − 3,1, 3 ,C1 − 3, 0, 0 ，
而则则设uAu1u平平Bc⎧⎪⎨⎪⎩uro1nunuu面面r1sur=1⋅⋅u(AnuBuABur11u1u1B,BuBCu3nuu1r11urC1,r2C=01=1C,=−的−3的nnuu一xrr3311一−)⋅x个,nnuu−个uuuBrr22u法31yuC法z=u向r=1=向=01量05(量，−为=为可n3u5ur1得nu5, u−=2r，1nu=(,ur1x0(,=)0y,，(,01z,,)1−)，，3,1) ，
（2 分）
则有
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ a
2
ac = 2
c=1 a2 = b2 +
c2
⇒
a
=
2,
b
=
3
（4 分）
所以椭圆 C1 的方程为
+L+
1 99b99
=1−
1 2
+
1 2
−
1 3
+L+
1 99
−1 100
=
1
−
1 100
=
99 100
.
11．B
故选 C
解析：函数 f ( x) 的图象如图，
(1) 设 f (a)= f (b)=k ,则 k∈(2, 4] 。
由 2+log1 a=k, 2b=k ，
湖南省长沙市2020届高三12月联考数学(理)试题 Word版含答案
湖南省长沙市2017届高三12月联考数学（理科）本试题卷共6页，23题（含选考题） 全卷满分150分，考试用时120分钟第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{|A x x =≥2}，1{|0}4x B x x -=>-，则A B =（ ） A ．∅ B ．[2,4)C ．[2,)+∞D ．(4,)+∞（2）已知复数z 满足11zi z-=+，则||z =（ ） A ．1BC ． 2D．（3）已知数列{}n a 的前n 项和nn S Aq B =+(0)q ≠，则“A B =-”是“数列{}n a 是等比数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分且不必要条件（4）在矩形ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）AB ．C1 D1（5）如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）正视图侧视图俯视图A BCD PA ．272π B ． 27π C．D（6）若变量,x y 满足约束条件4400y x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最小值是__ __．A ．4B ．6C ．8D ．12（7）已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，过点1F 且与x 垂直的直线与双曲线左支交于点,M N ，已知2MF N ∆是等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ） AB ．2C．1D．2（8）ABC ∆是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足2AB a =，2AC a b =+，则向量a ，b 的夹角为（ ）A ．30B ．60C ．120D ．150 （9）执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，则条件框内应填写（ ） A ．3?i > B ．4?i < C ．4?i > D ．5?i <（10）等差数列{}n a 的前n 和为n S ，且1a ＜0，若存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则当n ＞m 时，n S 与n a 的大小关系是（ ）A ．n S ＜n aB ．n S ≤n aC ．n S ＞n aD ．大小不能确定（11）已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）的部分图象如图，则20161()6n n f π==∑（ ） A ．1- B ．0 C ．12D ．1（12）已知函数21()(0)2x f x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A．⎛-∞ ⎝ B．(-∞C．⎛ ⎝ D．⎛ ⎝第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）～（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）、（23）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（13）已知直线:0l mx y ++=与圆22(1)2x y ++=相交，弦长为2，则m =________． （14）在5(21)(1)x x +-的展开式中含3x 项的系数是___________（用数字作答）． （15）有共同底边的等边三角形ABC 和BCD 所在平面互相垂直，则异面直线AB 和CD 所 成角的余弦值为___________．（16）有一支队伍长L 米，以一定的速度匀速前进．排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，6π 512π 1-1到达排头后立即返回，且往返速度不变．如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则传令兵所走的路程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C的对边，且cos sin 0a C C b c --= （I ）求A ；（II ）若AD 为BC 边上的中线，1cos 7B =，2AD =，求ABC ∆的面积．（18）（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，进一步优化能源消费结构，某市决定在一地处山区的A 县推进光伏发电项目．在该县山区居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统计表．以样本的频率作为概率．（I ）在该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X ，求X 的数学期望；（II ）已知该县某山区自然村有居民300户．若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/度进ABD行收购．经测算以每千瓦装机容量年平均发电1000度，试估计该机组每年所发电量除保证正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD CD ⊥，且AD CD ==BC =2PA =．（I ）求证：AB PC ⊥；（II ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．PBCDMA（20）（本小题满分12分）如图，设点,A B的坐标分别为(0)，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-． （I ）求点P 的轨迹方程；（II ）设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//AP OM ，//BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．（21）（本小题满分12分），函数31()||3f x x x a =+-（x R ∈，a R ∈）． （I ）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （II ）若函数()f x 在R 上不单调时：（i ）记()f x 在[1,1]-上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，求()()M a m a -； （ii ）设b R ∈，若2|()|3f x b +≤对[1,1]x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一个题记分． （22）（本小题满分10分）（选修4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为3cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）与曲线1:cos tan x C y θθ⎧=⎪⎨⎪=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A 、B ．（I ）若3πα=，求线段AB 的中点的直角坐标；（II ）若直线l 的斜率为2，且过已知点(3,0)P ，求||||PA PB ⋅的值．（23）（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲）已知函数()|||3|f x x a x =-+-（3a <）． （I ）若不等式()4f x ≥的解集为1{|2x x ≤或9}2x ≥，求a 的值． （II ）若对x R ∀∈，()|3|1f x x +-≥，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案1．命题依据：以一元二次、一元一次不等式的解法切入，然后考查集合的交并运算． 答案：D ．2．命题依据：考查复数代数形式及其乘法、除法、模运算． 答案：A ．1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===-++-．，故选A ． 3．命题依据：具体情境中识别数列的性质，充分条件与必要条件．答案：B ．若0A B ==，则0n S =，故数列{}n a 不是等比数列；若数列{}n a 是等比数列，则1a A q B =+，22a Aq Aq =-，323a Aq Aq =-，由3221a a a a =，得A B =-．选B ．4．命题依据：几何概型．答案：D ．分别以A 、B 为圆心，AB 为半径作弧，交CD 于1P 、2P ，则当P 在线段12P P 间运动时，能使得ABP ∆的最大边是AB，易得121PP CD=，即ABP ∆的最大边是AB1．5．命题依据：由三视图认识空间几何体的结构特征，球的表面积计算．答案：B ．由三视图可知，该几何体是一个正方体切割成的一个四棱锥，则该几何体的外接球的半径为2，从而计算得表面积为24()272ππ=．故选B ． 6．命题依据：线性规划的应用．答案：B ．作出可行域为开放区域，2z x y =+在直线40x y +-=与直线0x y -=的交点(2,2)处取得最小值6．故选B ．7．命题依据：双曲线的标准方程及简单几何性质，离心率求解．答案：C ．由已知22b c a=，即2220c ac a --=，得2210e e --=，解得1e =故选C ．8．命题依据：平面向量基本定理，向量的数量积运算． 答案：C ．易得120． 9．命题依据：算法，程序框图． 答案：D ．ABD PCP 1 P 210．命题依据：等差数列的性质，等差数列的单调性答案：C ．若1a ＜0，存在自然数m ≥3，使得m m a S =，则0d >．因为若d ＜0，则数列是递减数列，则m m S a <，不会有m m a S =．由于1a ＜0，0d >，当m ≥3，有m m a S =，则0m a >，0m S >，而1n m m n S S a a +=+++，显然n n S a >．故选C ．11．命题依据：()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．答案：B ．易得2ω=，由五点法作图可知262ππϕ⨯+=，得6πϕ=．即()sin(2)6f x x π=+．故()16f π=，21()62f π=，31()62f π=-，4()16f π=-，51()62f π=-，61()62f π=，201611111()336(11)062222n n f π==⨯+---+=∑．故选B ． 12．命题依据：函数的零点、方程的根的关系．答案：B ．由题意得即方程()221ln 2x x e x x a -+-=++有正根，即()1ln 2x e x a --=+有正根， 作函数12x y e -=-与()ln y x a =+的图象，则可知0x =时，()1ln 2x a +<故a <B ．13．命题依据：直线方程，圆的方程，直线与圆的位置关系．答案：3m =．由已知可得圆心(1,0)-到直线的距离为d =，所以212+=，解得3m =． 14．命题依据：二项式定理的应用．答案：223355(1)2(1)10C C -+-=-．15．命题依据：线线角，面面垂直．答案：14． 16．命题依据：数学应用，数学建模．答案：(1L +．思路一：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为L v v '+，往返共用时间为L Lt v v v v=+''-+，则传令兵往返路程S v t '=．由于传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L 米，则L vt =．故22()2t v v v L ''-=，可得222()2t v v v tL ''-=．即22()2()0v t L v t L ''--=，解得(1v t L '=+，传令兵所走的路程为(1L ． 思路二：设传令兵的速度为v '，队伍行进速度为v ，则传令兵从队尾到排头的时间为L v v '-，从排头到队尾的时间为Lv v '+，则易得 L L Lv v v v v +=''-+，化简得222v v v v ''-=，得1v v'=，由于队伍与传令兵行进时间相等，故传令兵所走路程为(1L +．17．命题依据：三解形中的恒等变换，正、余弦定理．【分析】（I ）利用正弦定理将边的关系化为角的关系，利用三角恒等变换求出B 值． （II ）先根据两角和差的正弦公式求出sin C ，再根据正弦定理得到边长,,a b c 的比值关系，再在ABD ∆或ACD 利用余弦定理可求,b c 的值，再由三角形面积公式可求结果．【解答】（I ）因为cos sin 0a C C b c --= ，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C +=++，……3分cos 1A A -=，所以1sin(30)2A ︒-=．……5分 在ABC ∆中，0180A ︒︒<<，所以3030A ︒︒-=，得60A ︒=．……6分（II ）在ABC ∆中，1cos 7B =，得sin B =．……7分则11sin sin()72C A B =+=+=8分 由正弦定理得sin 7sin 5a A c C ==．……9分 设7a x =，5c x =，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222cos AD AB BD AB BD B =+-⋅，则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =， 即7,5a c ==，……11分故1sin 2ABC S ac B ∆==．……12分18．命题依据：统计与概率，离散型随机变量的期望，统计思想的应用．数学抽象与应用意识．解：（I ）记在该县山区居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600度为事件A ．由抽样可知， 3()5P A =．……3分 由已知可得从该县山区居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600度的户数为X 服从二项分布，即3~(10,)5X B ，故3()1065E X =⨯=．……6分（II ）设该县山区居民户年均用电量为()E Y ，由抽样可得51510155()1003005007009005005050505050E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（度）……10分 则该自然村年均用电约150000度．又该村所装发电机组年预计发电量为300000度，故该机组每年所发电量除保证正常用电外还能剩余电量约150000度，能为该村创造直接收益120000元．……12分19．命题依据：垂直的判定与证明，空间角的求解，空间向量的应用． 【分析】（I ）利用几何图形的特点，将空间问题平面化后，找出垂直关系，进行证明； （II ）假设存在点M ，利用二面角M AC D --的大小为45确定点M 的位置，再利用平面MAC 的法向量求线面角． 【解答】（I ）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD ==BC =可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， 所以AB ⊥平面PAC ， 所以AB PC ⊥．……4分 （II ）存在．法一：（猜证法）观察图形特点，点M 可能是线段PD 的中点．下面证明当M 是线段PD 的中点时，二面角M AC D --的大小为45．……5分过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ． 过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则M G N ∠是二面角M AC D --的平面角．因为M 是线段PD 的中点，则1MN =，A DBCAN =在四边形ABCD 求得1NG =，则45MGN ∠=．……8分在三棱锥M ABC -中，可得13M ABC ABC V S MN -∆=⋅， 设点B 到平面MAC 的距离是h ，13B MAC MAC V S h -∆=⋅，则ABC MAC S MN S h ∆∆⋅=⋅，解得h =．……10分 在Rt BMN ∆中，可得BM =．设BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin h BM θ==．……12分 法二：（作图法）过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，则MN ⊥平面ABCD ．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则MGN ∠是二面角M AC D --的平面角． 若45MGN ∠=，则NG MN =，又AN ==，易求得1MN =．即M 是线段PD 的中点．……8分 （以下同解法一） 法三：（向量计算法）建立如图所示空间直角坐标系．则(0,0,0)A，C，(0,D ，(0,0,2)P，B，(0,2)PD =-．设PM tPD =（01t ≤≤），则M的坐标为(0,,22)t -．……6分 设(,,)n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则00n AC n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得0(22)0t z ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，则可取(1,1,)1n t =--．……8分 又(0,0,1)m =是平面ACD 的一个法向量，所以|||||cos ,|cos 45||||m n m n mn ⋅<>===解得12t =．即点M 是线段PD 的中点．……10分 此时平面AMC 的一个法向量可取(1,n =-，(BM =-．BM 与平面MAC 所成的角为θ，则sin |cos ,|n BM θ=<>=．……12分20．命题依据：椭圆的方程、轨迹的求解，解析几何中的定值问题，运算能力。
湖南省长沙市第一中学2020届高三第七次大联考数学(理)试题(含解析)
炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U Z =，{}1,2,3,4A =，()(){}|130,B x x x x Z =+->∈，则()U A C B =I （ ） A. {}1,2 B. {}2,3C. {}1,2,3D. {}1,2,3,42. 已知复数12iz i-=+，则z 的共轭复数z =（ ） A. 1355i - B. 1355i + C. 1355i --D. 1355i -+ 3. 函数1(0,1)x y a a a a=->≠的图象可能是（ ）A.B. C. D.4. ()()6121t t -+的展开式中，3t 项的系数为（ ） A. 20B. 30C. -10D. -245. 2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数（注：素数也叫做质数）猜想的一个弱化形式.孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p 使得2p +是素数，素数对(),2p p +称为孪生素数.从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）A.114B.17C.314D.136. 如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是（ ）A.13009，600，11203B. 1200，500，300C. 1100，400，600D. 300，500，12007. 若,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2θ=sin θ=（ ）A.35 B.45C.D.348. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的一点，若OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则p =（ ）A. 2B. 4C. 6D. 89. 在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，PA AB =，E 是PC 的中点，则异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为（ ） A.16B.14C.13D.1210. 直线2x =与双曲线221169x y -=的渐近线交于A ，B 两点，设P 为双曲线上任意一点，若OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r（,a b R ∈，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A. 2ab =B. 224a b +≥C. 2a b -≥D. 2a b +≥11. 已知函数()cos sin 2f x x x =，给出下列命题： ①x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立；②存在常数0T ≠，x R ∀∈恒有()()f x T f x +=成立；③()f x ；④()y f x =在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数. 以上命题中正确的为（ ） A. ①②③④B. ②③C. ①②③D. ①②④12. 已知函数()21ln (1)(0)2x ax a f a x x a =-+-+>的值域与函数()()f f x 的值域相同，则a 的取值范围为（ ） A. (]0,1B. ()1,+∞C. 40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把各题答案的最简形式写在题中的横线上.13. 已知向量()1,4a =r ，()2,b k =-r，且()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，则实数k =______.14. 某中学有学生3600名，从中随机抽取300名调查他们的居住地与学校之间的距离，其中不超过1公里的学生共有15人，不超过2公里的学生共有45人，由此估计该学校所有学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的学生有______人.15. 如图所示，在正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，cos PEF ∠=A ，B ，C ，D ，P 在同一球面上，则此球的体积为______.16. 如图，在ABC △中，AC BC ⊥，D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，1CD =，CAB MBD DMB ∠=∠=∠，则AM =______.三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知等差数列{}n a 和递增的等比数列{}n b 满足：11a =，13b =且35223b a a =+，242b a =+. （1）分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若对任意的*n N ∈，n n kb S ≥恒成立，求实数k 的取值范围. 18. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，1AB AA =，160BAA ∠=︒.（1）求证：111AC B A ⊥； （2）若平面ABC ⊥平面11ABB A ，且AB BC =，求直线1CB 与平面1A BC 所成角的正弦值.19. 2019年上半年我国多个省市暴发了“非洲猪瘟”疫情，生猪大量病死，存栏量急剧下降，一时间猪肉价格暴涨，其他肉类价格也跟着大幅上扬，严重影响了居民的生活.为了解决这个问题，我国政府一方面鼓励有条件的企业和散户防控疫情，扩大生产；另一方面积极向多个国家开放猪肉进口，扩大肉源，确保市场供给稳定.某大型生猪生产企业分析当前市场形势，决定响应政府号召，扩大生产.决策层调阅了该企业过去生产相关数据，就“一天中一头猪的平均成本与生猪存栏数量之间的关系”进行研究.现相关数据统计如下表：（1）研究员甲根据以上数据认为y 与x 具有线性回归关系，请帮他求出y 关于x 的线性回归方程$()$1y bx a =+$；（保留小数点后两位有效数字）（2）研究员乙根据以上数据得出y 与x 的回归模型：$()2 4.80.8y x=+.为了评价两种模型的拟合效果，请完成以下任务：①完成下表（计算结果精确到0.01元）（备注：i e $称为相应于点(),i ix y 的残差）；②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1Q 及2Q ，并通过比较1Q ，2Q 的大小，判断哪个模型拟合效果更好.（3）根据市场调查，生猪存栏数量达到1万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.5元；生猪存栏数量达到1.2万头时，饲养一头猪每一天的平均收入为7.2元.若按（2）中拟合效果较好的模型计算一天中一头猪的平均成本，问该生猪存栏数量选择1万头还是1.2万头能获得更多利润？请说明理由.（利润＝收入－成本）参考公式：()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybx xx nx====---⋅==--∑∑∑∑$，$$y bxa =+$. 参考数据：()()515.3iii x x y y =--=-∑，()52121.2ii x x =-=∑.20. 已知()0,0A x ，()00,B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足2OP OA =u u u r u u u r u u r.（1）求出动点P 的轨迹C 的标准方程；（2）设动直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点，与圆227x y +=相交于两点1P ，2P （两点均不在坐标轴上），求直线1OP 、2OP 的斜率之积. 21. 已知函数()ln 1af x x x =+-（a R ∈，a 为常数）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在(),e +∞内有极值，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为4x ty t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为()2211x y +-=.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）曲线2C ：0,02πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求OB OA的最大值及相应α的值.23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数()33f x x a x =-++. （1）若3a =，解不等式()6f x ≤；（2）若不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，求实数a 的取值范围.炎德·英才大联考长沙市一中2020届高三月考试卷（七）数学（理科）参考答案一、选择题 1-5：CBDCB6-10：BDDBD11-12：DD1. C 【解析】由题()(){}|130,U C B x x x x Z=+-≤∈{}{}|13,1,0,1,2,3x x x Z =-≤≤∈=-，则(){}1,2,3U A C B =I ，故选C.2. B 【解析】1(1)(2)221132(2)(2)555i i i i i z i i i i ------====-++-，∴1355z i =+，故选B. 3. D 【解析】∵0a >，∴10a >，∴函数x y a =需向下平移1a个单位，不过()0,1点，所以排除A.当1a >时，∴101a <<，所以排除B.当01a <<时，∴11a>，所以排除C.故选D.4. C 【解析】()61t +展开式的通项为16r rr T C t +=，所以()()6121t t -+的展开式中3t 项的系数为3266210C C -=-，故选C.5. B 【解析】依题意，20以内的素数共有8个，从中选两个共包含2828C =个基本事件，而20以内的孪生素数有()3,5，()5,7，()11,13，()17,19共四对，包含4个基本事件，所以从20以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为28417P C ==.故选B. 6. B 【解析】根据程序框图得：①300y =，1i =，满足3i <；②400y =，2i =，满足3i <；③500y =，300z =，1200x =，3i =，不满足3i <.故输出的1200x =，500y =，300z =.故选B.7. D 【解析】∵,42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,2πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1cos 28θ===-，∵2cos 212sin θθ=-，sin 0θ>，∴3sin 4θ==，故选D. 8. D 【解析】依题意得，OFM △的外接圆半径为6，OFM △的外接圆圆心应位于线段OF 的垂直平分线4px =上，圆心到准线2p x =-的距离等于6，即有642p p +=，由此解得8p =，故选D.9. B 【解析】取BC 的中点F ，连接EF ，AF ，则//EF PB ，所以AEF ∠或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角.因为ABC △为正三角形，所以60BAC ∠=︒.设2PA AB a ==，因为PA ⊥平面ABC，所以AF =，AE =，EF =，所以1cos 4AEF ∠==，故选B.10. D 【解析】由题意，双曲线的渐近线方程为34y x =±，联立直线2x =，解得32y =±，∴不妨设32,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，32,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，∵OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ，∴22x a b =+，3322y a b =-，∵P 为双曲线C 上的任意一点，∴2233(22)221169a b a b ⎛⎫- ⎪+⎝⎭-=，∴1ab =， ∴222()244a b a b ab ab +=++≥=（a b =时等号成立），可得2a b +≥，故选D.11. D 【解析】①()()()()cos sin 2cos sin 2f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，正确；②()()2f x f x π+=，为周期函数，正确；③()()222sin cos 2sin 1sin x x x x f x ==-32sin 2sin x x =-，令sin t x =，[]1,1t ∈-，则()322y t t t =-，令2'260y t =-=，得3t =±，且()10y -=，39y ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭为最大值，错误；④当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，11sin ,22x ⎡⎡⎤∈-⊆⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，正确.故选D. 12. D 【解析】()1(1)(1)1'ax a xf x x a x x +--+-==，1x >时，()'0f x <；01x <<时，()'0f x >， ∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，()()max 3112f x f a ==-，即()f x 的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.令()f x t =，则()()312y f f x f t t a ⎛⎫==≤-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，∵()f t 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，要使()y f t =的值域为3,12a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，则3112a -≥，43a ≥，∴a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故选D.二、填空题13. -8 14. 360 15. 36π 16. 213. -8 【解析】由已知得，()23,42a b k +=-+r r ，()24,8a b k -=-r r，由于()2a b +r r 与()2a b -r r 共线，所以3(8)4(42)k k --=⨯+，得8k =-.故答案为-8.14. 360 【解析】依题意可知，样本中(]1,2公里的人数所占的比例为45150.1300-=，故全体学生中居住地到学校的距离在(]1,2公里的人数为36000.1360⨯=人.15. 36π 【解析】由题意得，底面ABCD 是边长为4的正方形，cos 2PEF ∠=1PO 为2.易知正四棱锥P ABCD -的外接球的球心在它的高1PO 上，记球心为O，则1AO =，PO AO R ==，12PO =，12OO R =-或12OO R =-（此时O 在1PO 的延长线上），在直角1AO O △中，2222211(2)R AO OO R =+=+-，解得3R =，所以球的体积为334433633V R πππ==⨯=.16. 2 【解析】设CAB MBD DMB θ∠=∠=∠=，在AMB △中，902MBA θ∠=︒-，180BMA θ∠=︒-，由正弦定理得：()()sin 902sin 180AM AB θθ=-︒︒-，即cos 2sin AB AM θθ⋅=，在ACD △中，90ACD ∠=︒，2CDA θ∠=，由正切定义：tan 2AC θ=，在ACB △中，90ACB ∠=︒，BAC θ∠=，由余弦定义：tan 2cos cos AC AB θθθ==，∴tan 2cos 2cos 2sin AM θθθθ⋅==. 三、解答题17.【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由23522423351121b a a q d b a q d ⎧=+⎧=+⎪⇒⎨⎨=+=+⎪⎩⎩， 则231160q q -+=，解得23q =（舍去）或3， 所以3nn b =；代入方程组得2d =，因此21n a n =-.综上，21n a n =-，3nn b =.（2）由题意，()122n n n a a S n +==， 由*n N ∀∈，n n kb S ≥得23n n k ≥，设23n n n c =，222111(1)221333n n n n n n n n n c c ++++-++-=-=， 当1n =，210c c ->；当2n ≥，10n n c c +-<； 由数列{}n c 的单调性可得，{}()2max 49n c c ==， 所以4,9k ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.18.【解析】如图，设AB 的中点为D ，连接CD ，1A D ， 又设2AB =，则1112AD AA ==. （1）在ABC △中，AC BC =，AB 的中点为D ，故AB CD ⊥， 在1ABA △中，1AB AA =，160BAA ∠=︒，所以1ABA △为等边三角形. 又AB 的中点为D ，所以1AB DA ⊥，因为AB CD ⊥，1AB DA ⊥，且1CD DA D =I ， 所以AB ⊥平面1CDA ，∵1CA ⊂平面1CDA ，所以1AC BA ⊥， 又11//AB B A ，所以111AC B A ⊥.（2）因为平面ABC ⊥平面11ABB A ，平面ABC I 平面11ABB A AB =，且AB CD ⊥， 故CD ⊥平面11AA B B ，如图，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()1A，(C ，()1,0,0B -，()1B -，故(1CA =u u u r，(1,0,CB =-u u u r，(1CB =-u u u r，设平面1A CB 的法向量()1111,,n x y z =u r，则有11110x -=--=⎪⎩，令11z =，得()1n =u r，设直线1CB 与平面1A BC 所成角为θ，则111111sin cos ,CB n CB n CB n θ⋅====u u u r u r u u u r u r u u u r u r ， 故直线1CB 与平面1A BC19.【解析】（1）由题知： 4.4x =， 2.2y =，()()()1215.30.2521.2niii nii x x y y bx x ==---===--∑∑$， $ 2.20.25 4.4 3.30ay bx =-=+⨯=$， 故$()10.25 3.30y x =-+.（2）①经计算，可得下表：222221(0.40)(0.15)(0.30)(0.15)(0.20)Q =+-+-+-+，222(0.14)(0.1)Q =+，因为12Q Q >，故模型$()2 4.80.8y x=+的拟合效果更好. （3）若生猪存栏数量达到1万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.2810+=元， 这样一天获得的总利润为()7.5 1.281000062200-⨯=（元）； 若生猪存栏数量达到1.2万头，由（2）模型乙可知，每头猪的成本为4.80.8 1.212+=元， 这样一天获得的总利润为()7.2 1.21200072000-⨯=（元），因为7200062200>，所以选择生猪存栏数量1.2万头能获得更多利润.20.【解析】（1）因为2OP OA =u u u r u u u r u u r，即()())()00002,00,2,x y x x y ==，所以02x x =，0y =，所以012x x =，0y y =， 又因为1AB =，所以22001x y +=，即22112x y ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y +=. 所以曲线C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+.由方程组22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2224384120k x kmx m +++-=.∵直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，∴()()2221(8)4434120km k m ∆=-+-=，即2243m k =+.由方程组227y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()2221270k x kmx m +++-=， 则()()2222(2)4170km k m ∆=-+->.设()111,P x y ，()222,P x y ，则12221kmx x k -+=+，212271m x x k -⋅=+，设直线1OP ，2OP 的斜率分别为1k ，2k ，所以()()1212121212kx m kx m y y k k x x x x ++==()22121212k x x km x x mx x +++=222222222272711771m kmk km m m k k k m m k --⋅+⋅+-++==--+，将2243m k =+代入上式，得2122333444k k k k -+==--.当直线l 的斜率不存在时，由题意知l 的方程为2x =±. 此时，圆227x y +=与l 的交点1P ，2P 也满足1234k k =-. 综上，直线1OP ，2OP 的斜率之积为定值34-. 21.【解析】（1）定义域为()()0,11,+∞U ，()2221(2)1(1)(1)'f x a x a x x x x x -++=-=--，设()()221h x x a x =-++，()224a ∆=+-，当40a -≤≤时，()2240a ∆=+-≤，此时()0h x ≤，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当4a <-时，函数()()221h x x a x =-++图象开口向上，对称轴202a x +=<，又()010h =>， 所以此时()0h x ≥，从而()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，()2240a ∆=+->，设()()221h x x a x =-++有两个不同的实根1x ，2x ，其中1220x x a +=+>，121x x ⋅=，令1201x x <<<，则1x =，2x =令()'0f x >，得10x x <<或2x x >；令()'0f x <，得11x x <<或21x x <<，故函数()f x 在()10,x 上是增函数，在()2,x +∞上是增函数，在()1,1x 上是减函数，在()21,x 上是减函数. 综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是增函数；当0a >时，函数()f x在(2)0,2a ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上是增函数，在(2)2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数，在(2)1,2a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上是减函数.（2）要使()y f x =在(),e +∞上有极值，由（1）知0a >，①则()()221h x x a x =-++有一变号零点在区间(),e +∞上，不妨设2x e >，又因为121x x ⋅=，∴1210x e x e<<<<，又()01h =， ∴只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()211210a e e -++<，∴12a e e>+-，② 联立①②可得：12a e e>+-. 从而1a e -与1e a -均为正数.要比较1a e -与1e a -的大小，同取自然底数的对数， 即比较()1ln a e -与()1ln e a -的大小，再转化为比较ln 1e e -与ln 1a a -的大小. 构造函数()()ln 11xx x x ϕ=>-，则()211ln '(1)xx x x ϕ=---，再设()11ln m x x x =--，则()21'xm x x-=，从而()m x 在()1,+∞上单调递减， 此时()()10m x m <=，故()'0x ϕ<在()1,+∞上恒成立，则()ln 1xx x ϕ=-在()1,+∞上单调递减.综上所述，当12,a e e e ⎛⎫∈+- ⎪⎝⎭时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e e a --=； 当(),a e ∈+∞时，11a e ea -->.22.【解析】（1）∵4y x -=-，∴直线l 的普通方程为：40x y +-=， 直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=.曲线1C 的普通方程为222x y y +=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=， ∴1C 的参数方程为：2sin ρθ=.（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=，令θα=，则4cos sin OA αα=+.又2sin OB α=，∴()1sin sin cos 2OB OA ααα=⋅+ 2111sin sin cos (1cos 2sin 2)224ααααα=+=-+1244πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∵02πα<<，∴32444πππα-<-<，∴242ππα-=，即38πα=时，OB OA.23.【解析】（1）3a =，()3336f x x x =-++≤， 当3x ≤-时，3336x x ---≤，解得32x ≥-，∴x ∈∅； 当31x -<≤时，3336x x -++≤，解得0x ≥，∴[]0,1x ∈； 当1x >时，3336x x -++≤，解得32x ≤，∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 综上所述，不等式()6f x ≤的解集为3|02x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+，等价于()162f x a x >--+恒成立， 即3931x a x a -++>-恒成立.∵()()393393x a x x a x -++≥--+9a =+，∴91a a +>-， 当9a <-时，91a a -->-，解得a ∈∅； 当9a ≥-时，91a a +>-，解得4a >-.∴4a >-时，不存在实数x ，使得()162f x a x ≤--+.。
湖南省长沙市2020年(春秋版)高三上学期期末数学试卷(理科)(I)卷
湖南省长沙市2020年（春秋版）高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2019·新宁模拟) 已知集合M={1，2}，N={2,3}，则M∩N中元素的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）(2017·山东模拟) 变量x，y满足线性约束条件，目标函数z=kx+y仅在点（0，2）取得最大值，则k的取值范围是（）A . ﹣3＜k＜1B . k＞1C . ﹣1＜k＜1D . ﹣1＜k＜33. （2分）如图，该程序运行后输出的结果为（）。
A . 36B . 45C . 55D . 564. （2分）等差数列{an}的前n项为Sn ，若公差d=﹣2，S3=21，则当Sn取得最大值时，n的值为（）A . 10B . 9C . 6D . 55. （2分）已知两条直线y=ax﹣2和3x﹣（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A . 1或﹣3B . ﹣1或3C . 1或3D . ﹣1或﹣36. （2分） (2015高二上·和平期末) 抛物线y=﹣2x2的准线方程是（）A .B .C .D .7. （2分）下列命题①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；④如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．其中真命题的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 38. （2分） (2017高三上·南充期末) 在同一平面内，下列说法：①若动点P到两个定点A，B的距离之和是定值，则点P的轨迹是椭圆；②若动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值是定值，则点P的轨迹是双曲线；③若动点P到定点A的距离等于P到定直线的距离，则点P的轨迹是抛物线；④若动点P到两个定点A，B的距离之比是定值，则点P的轨迹是圆．其中错误的说法个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2018高二下·如东月考) 若复数（为虚数单位），则的虚部为________．10. （1分） (2018高三上·大连期末) 二项式展开式中的常数项为________．11. （1分） (2017高二上·信阳期末) 若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC，则cosC的最小值是________．12. （1分） (2015高三上·和平期末) 已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的圆心到直线l的距离为________．13. （1分） (2018高二下·青铜峡期末) 在全运会期间，4名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有________．14. （1分）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________（把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分）．三、解答题 (共6题；共55分)15. （10分） (2016高二上·长沙开学考) 已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[ ]上的最大值和最小值．16. （15分）某工厂有120名工人，其年龄都在20～60岁之间，各年龄段人数按[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）分成四组，其频率分布直方图如图所示．工厂为了开发新产品，引进了新的生产设备，要求每个工人都要参加A、B两项培训，培训结束后进行结业考试．已知各年龄段两项培训结业考试成绩优秀的人数如表所示．假设两项培训是相互独立的，结业考试也互不影响．年龄分组A项培训成绩优秀人数B项培训成绩优秀人数[20，30）2716[30，40）2818[40，50）269[50，60]64（1）若用分层抽样法从全厂工人中抽取一个容量为40的样本，求四个年龄段应分别抽取的人数；（2）根据频率分布直方图，估计全厂工人的平均年龄；（3）随机从年龄段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，设这两人中AB两项培训结业考试成绩都优秀的人数为X，求X的分布列和数学期望．17. （10分） (2015高二上·东莞期末) 如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，点M是SD的中点，AN⊥SC，且交SC于点N．（1）求证：SC⊥平面AMN；（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．18. （5分） (2018高三上·北京期中) 已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；（Ⅲ）比较与的大小，并加以证明．19. （5分）已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2+3y2=4上，C在直线l：y=x+2上，且AB∥l．（Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；（Ⅱ）当∠ABC=90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．20. （10分）(2017·新课标Ⅰ卷文) 记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（12分）（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共55分)15-1、15-2、16-1、16-2、16-3、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、20-2、。
湖南四大名校内部资料2020届高三统考参考答案(理科数学)
数学(理科)参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
D
C
A
B
D
C
C
B
B
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.【解析】(Ⅰ)由正弦定理得
因为
所以
即
因为
所以
因为
所以
(Ⅱ)由 ，可得
因为
所以
解得 或当 时，源自由余弦定理得 ，所以周长为
当 时，
综上，实数 的取值范围为
(2)当 时
由(1)可知 的极大值点为 ，极小值点为
此时 ，
依题意得 对任意 恒成立
由于此时
所以
所以
即
设 ， ，则
令 (*)，判别式
①当 ，
所以 ， 在 单调递增
所以
即 ，符合题意
②当 时， ，设(*)的两根为 ， ，且
则 ， ，因此
则当 时， ， 在 单调递减
所以当 时，
即
所以抽取的 辆汽车中有 辆是蓝颜色汽车的概率
(Ⅱ) 的可能取值为：
， ， ，……， ，
所以 的分布列为：
0
1
2
……
……
的数学期望为：
(1)
(2)
(1)-(2)得：
所以
21.【解析】(1)由 得
即
由题意，若 存在极大值和极小值，则 必有两个不相等的实数根
由 得
所以 必有一个非零实数根
∴ ，
∴ 且
2020届湖南省长沙市高三上学期期末数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省长沙市高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}121x A x -=>，{}220B x x x =-≤，则A B =I （ ）A ．[1,2)B ．[1,2]C ．(0,3]D ．(1,2]【答案】D 【解析】【详解】 由{}x 1A x 21-=>，{}2B x x 2x 0=-≤得：()1,A =+∞，[]0,2B =，所以(]A B 1,2⋂=，故选D.2．在复平面内，复数11iz =+（i 为虚数单位）对应的点位于（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】分析：先化复数为代数形式，再根据几何意义得对应点，即得点所在象限. 详解：复数21i111i i i+=+=-，其对应的点是(1,1)-，位于第四象限． 故选D ．点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi3．如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 满足2CF FB =u u u r u u u r，那么EF =u u u r( )A ．1123AB AD -u u ur u u u rB ．1132AB AD +u u ur u u u rC ．1223AB AD -u u ur u u u rD ．1142AB AD +u u ur u u u r【答案】C【解析】利用三角形的加法法则，减法法则，线性运算，就可得出结果． 【详解】解：在CEF ∆中，EF EC CF =+u u u r u u u r u u u r.因为点E 为DC 的中点，所以12EC DC =u u u r u u u r.因为点F 为BC 的一个三等分点，所以23CF CB =u u u r u u u r，所以121212232323EF DC CB AB DA AB AD =+=+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量基本定理，向量的运算，属于基础题． 4．函数21x x y e+=（其中e 为自然对数的底）的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为函数为偶函数，所以去掉D,因为当0x > 时22112,02x x x x x y y x e e++=='-=⇒= ，所以当(0,2)x ∈ 时0y '> ，去掉B;当(2,)x ∈+∞ 时0y '< ，去掉C ，因此选A.5．在如图所示的正方形内任取一点M ，其中图中的圆弧为该正方形的内切圆，以及以正方形的顶点为圆心以正方形边长的一半为半径的圆弧，则点M 恰好取自阴影部分的概率为( )A ．12B ．2π C ．12π- D ．22π-【答案】C【解析】设正方形的边长为2，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由测度比是面积比得答案． 【详解】解：设正方形的边长为2，则正方形面积为4． 图中阴影部分的面积可看作8个弓形的面积和， 其面积为21181112442ππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯=- ⎪⎝⎭．∴所求概率24142P ππ-==-． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何概型概率的求法，关键是求出阴影部分的面积，属于基础题．6．()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为( )A ．14B ．-14C ．16D ．-16【答案】A【解析】把511x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得()51311x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项．【详解】解：Q ()()5543251311010513111x xx x x x x x ⎛⎫=+-+-+- ⎪⎛⎝⎫- ⎪⎝⎭⎭+，故它的展开式中的常数项为351(1)14⨯+⨯-=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7．已知α为锐角，且()cos 11α+︒=，则α的值为( ) A ．20︒ B ．40︒ C ．50︒ D ．70︒【答案】B【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和角公式的应用求出结果． 【详解】解：由()cos 11α︒=可得cos 1α=，即2sin 40cos 1cos10α︒=︒，所以cos10sin80cos 2sin 402sin 40α︒︒==︒︒2sin 40cos 40cos 402sin 40︒︒==︒︒， 又α为锐角，故40α=︒，故选：B. 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，和角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8．设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()()0,0E t t b <<.已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，2F 不共线，若2PEF ∆的周长的最小值为3b ，则椭圆C 的离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】D【解析】当P ，E ，1F 共线时，此时2PEF ∆的周长的最小，即可得到23a b =，再根据离心率公式计算即可． 【详解】解：2PEF ∆的周长为2221||||||||||||PE PF EF PE PF EF ++=++， 当P ，E ，1F 共线时，此时周长最小，2121||||||||||23PE PF EF PF PF a b ∴++=+==，22249()a a c ∴=-，2259a c =5c e a ∴==， 故选：D ．【点睛】本题考查了椭圆的简单性质和离心率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题， 9．设三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，2AB AC ==，90BAC ∠=︒，132AA =( )A ．24πB ．18πC ．26πD ．16π【答案】C【解析】直棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心做垂直于底面的直线与中截面的交点，而底面为直角三角形，所以底面外接圆的圆心为斜边的中点，且半径为斜边的一半，根据底面外接圆的半径与球的半径和直棱柱的高的一半构成直角三角形，由题意求出外接球的半径，求出外接球的表面积． 【详解】解：由题意知底面外接圆的圆心为斜边BC 的中点O '，则外接圆的半径2BCr =，而2AB AC ==，90BAC ∠=︒，所以22BC =2r =BC 的中点做垂直于底面的直线交中截面与O 点，则O 为外接球的球心，由题意得：22219132222AA R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以外接球的表面积2426S R ππ==，【点睛】考查直棱柱的外接球的求法及球的表面积公式，属于中档题．10．设n S 是数列{}n b 的前n 项和，若2nn n a S +=，()*2122N n bn n a a n ++=-∈，则数列1n nb ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为( ) A ．9798 B ．9899 C ．99100D ．100101【答案】C【解析】利用两式作差1122n n n a a ---=，代入求出1n b n =+，再利用裂项相消法求出和即可． 【详解】解：当2n ≥时，1112n n n a S ---+=，则()1111222n n n n n n n a a S S -----+-=-=，即1122n n n a a ---=，则12log 21n n b n +==+，从而1111n nb n n =-+， 故129911111111129922399100b b b ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-1991100100=-=. 故选：C ． 【点睛】考查数列的性质，裂项相消法求数列的和，注意式子的灵活变换，属于中档题．11．已知函数()1212log ,18212,x x x f x x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪≤≤⎩，，若()()()f a f b a b =<，则ab 的最小值为（ ） A．2B ．12C．4D【答案】B【解析】画出()f x 的图像，结合图像，根据()()()f a f b a b =<，求得,a b 的取值范围.令()()(]2,4t f a f b ==∈，将,a b 用t 表示，由此求得ab 的表达式，进而利用导数求得ab 的最小值.画出()f x 图像如下图所示，令122log 4x +=，解得14x =.所以1124a b ≤<<≤. 令()()t f a f b ==，由图可知(]2,4t ∈.122log 2bt a =+=，所以24,log 2t a b t ==.所以()24log 242tt ab t =<≤. 构造函数()()24log 142t th t t =≤≤（稍微放大t 的范围）.()2'11ln 2log ln ln 2ln 24422t tt tt t h t -⋅-⋅⋅=⋅=⋅. 令()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅，()'2110ln 2m t t t=--<⋅， 所以()()1ln 14ln 2m t t t t =-≤≤⋅在[]1,4上递减.而()()()218ln 2110,4ln 24ln 2m m -⋅=>=⋅.由于ln e <<， 所以1ln 212<<，()21ln 214<<，()228ln 28<⋅<，所以()()218ln 2404ln 2m -⋅=<⋅. ()()140m m ⋅<， 故存在()01,4t ∈，使()00m t =.所以()h t 在[)01,t 上递增，在(]0,4t 上递减.所以对于()24log 242t ty t =<≤来说，最小值只能在区间端点取得. 当2t =时，224log 212=； 当4t =时，244log 4122=. 所以()24log 242t t ab t =<≤的最小值为12. 故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查指数、对数运算，考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.12．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FA FC =（ ） A ．54B ．43C ．32D 5 【答案】B【解析】设出右焦点F 的坐标和渐近线,OA OB 的方程，由点到直线的距离公式求得BF ，结合直角三角形勾股定理和三角函数的定义、两直线的夹角公式，求得,a b 的关系，由此求得,FA FC 的长，进而求得||||FA FC 【详解】双曲线22221x ya b-=的右焦点(),0F c，渐近线OB的方程为by xa=，即0bx ay-=，渐近线OA的方程为by xa=-，即0bxay+=.所以22bcBF bca b===+，22OB c b a=-=，225433a aAB a⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 所以4tan3ABAOBOB∠==，而()tan tantan tan1tan tanAOF BOFAOB AOF BOFAOF BOF∠-∠∠=∠-∠=+∠⋅∠22431b ba aba--===-，解得2b a=或12b a=-（舍去）.所以44102333a a aAF b a=+=+=.在Rt COF∆中，由射影定理得2OF BF FC=⋅，所以222225522OF c a b a aFCBF b b a+=====，所以10||435||32aFAaFC==.故选：B【点睛】本小题主要考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查直角三角形的射影定理、两直线的夹角公式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题13．已知函数()()()2log 21cos xf x ax x a R =-++∈为偶函数，则a =______.【答案】12【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得()()f x f x -=，即22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++，据此变形分析可得答案． 【详解】解：根据题意，函数2()log (21)cos x f x x x α=-++，其定义域为R ， 若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有22()log (21)cos()log (21)cos x x a x x ax x ---++-=-++， 变形可得：222log (21)log (21)x x ax x -=+-+=，必有12a =； 故答案为：12．【点睛】本题考查函数的性质以及判断，关键是掌握偶函数的定义，属于基础题．14．已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，且3S ，9S ，6S 成等差数列，256a a +=，则8a =______. 【答案】3【解析】设等比数列的公比为q ，讨论1q =不成立，再由等比数列的求和公式，解方程可得q ，再由等比数列的通项公式，即可得到所求值． 【详解】解：由题意可知等比数列的公比1q ≠，否则3S ，9S ，6S 不成等差数列， 于是9362S S S =+， ()91211a q q-∴-()()36111111a q a q qq--=+--，解得63210q q --=，解得312q =-或31q =（舍去），又由256a a +=，得88636a a q q +=，解得683166431112q a q ⨯===+-. 故答案为：3 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，注意讨论公比是否为1，同时考查等差数列中项的性质，以及方程思想和运算能力，属于中档题． 15．若()()()2sin 20f x x ϕϕ=+>的图象关于直线12x π=对称，且当ϕ取最小值时，00,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()0f x a =，则a 的取值范围是______.【答案】(2⎤⎦【解析】直接利用正弦型函数的性质的应用和函数的定义域的应用求出结果． 【详解】解：∵函数()()()2sin 20f x x ϕω=+>的图象关于直线12x π=对称，62k ππϕπ+=+，()3k k Z πϕπ=+∈，当ϕ取最小值是3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴042,333x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2sin 223x π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即a的取值范围是(2⎤⎦.故答案为：(2⎤⎦ 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．16．在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为______.【答案】【解析】推导出PB BC ⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ，则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，推导出AE DE ⊥，从而AE ⊥平面PBC ，进而四面体P ABC -的体积为13P ABC A PBC PBC V P S AE --∆==g g ，由此能求出结果．【详解】解：Q 在四面体P ABC -中，ABC ∆为等边三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，222PB BC PC ∴+=，PB BC ∴⊥，分别取BC 、PC 的中点D 、E ，连结AD 、AE 、DE ， 则AD BC ⊥，AE PC ⊥，DE BC ⊥，且36933AD =-=，4DE =，362511AE =-=，222AE DE AD ∴+=，AE DE \^，PC DE E =Q I ，PC ⊂平面PBC ，DE ⊂平面PBC ，AE ∴⊥平面PBC ，∴四面体P ABC -的体积为：11111861181133232P ABC A PBC PBC V P S AE PB BC AE --∆===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=g g ．故答案为：811．【点睛】本题考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()()sin sin a A B C c B C +-=+.（1）求角C 的值；（2）若26a b +=，且ABC ∆3，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）3π；（2）6或513+【解析】（1）结合三角形内角和及诱导公式对已知进行化简可求cos C ，进而可求C ， （2）由已知，结合三角形的面积公式可求，a ，b 然后结合C 的值及余弦定理可求c ，进而可求周长． 【详解】（1）因为()()sin sin a A B C c B C +-=+由正弦定理得()()sin sin 2sin sin sin sin A C C A C A ππ-=-=， 因为sin 0A ≠，所以()sin 2sin C C π-=， 即sin 22sin cos sin C C C C ==. 因为sin 0C ≠，所以1cos 2C =， 因为0C π<<，所以3C π=.（2）由1sin 32ABC S ab C ∆==，可得4ab =. 因为26a b +=，所以426a a+=，解得1a =或2.当1a =时，4b =，由余弦定理得2222cos 13c a b ab C =+-=，13c =， 所以周长为513+.当2a =时，2b =，由余弦定理得2222cos 4c a b ab C =+-=，2c =，所以周长为6.综上，ABC ∆的周长为6或513+. 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和及诱导公式在三角化简中的应用，还考查了三角形的面积公式及余弦定理，属于基础题．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥.（1）求证：AO ⊥平面11BB C C ；（2）设160B BC ∠=︒，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角111A B C B --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5-【解析】）（1）利用1B C ⊥平面1ABC 可证得1B C AO ⊥，利用三线合一可证得1AO BC ⊥，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形11BB C C 是菱形，∴11B C BC ⊥，∵1AB B C ⊥，1AB BC B =I ，1BC ⊂平面1ABC ，AB Ì平面1ABC ， ∴1B C ⊥平面1ABC ，AO ⊂Q 平面1ABC ，∴1B C AO ⊥，又∵1AB AC =，O 是1BC 的中点，∴1AO BC ⊥，又∵11B C BC O =I ，1B C ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ， ∴AO ⊥平面11BB C C . （2）∵11//AB A B ，∴直线11A B 与平面11BB C C 所成的角等于直线AB 与平面11BB C C 所成的角. ∵AO ⊥平面11BB C C ，∴直线AB 与平面11BB C C 所成的角即为ABO ∠， 即45ABO ∠=︒.不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C 中BO =11CO B O ==，在Rt ABO ∆中，AO BO ==以O 为原点，分别以OB ，1OB ，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则()10,1,0B ，()0,1,0C -，(1A ，()1C ，11A B =u u u u r ，()111,0B C =-u u u u r，设平面111A B C 的一个法向量为()1,,n x y z =u r，则11111133030n A B x z nB C x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u v u u u u v u v u u u u v ，可得()11,3,1n =-u r ， 而平面11BB C C 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，则112122cos ,555n n n n n n ⋅===u r u u r u r u u r u r u u r， ∴二面角111A B C B --的余弦值的大小为5-.【点睛】本题考查线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．19．已知椭图1C ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点与抛物线2C ：()220y px p =>的焦点重合，椭圆1C 的离心率为12，过椭圆1C 的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得的弦长为42（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）过点()4,0A -的直线l 与椭圆1C 交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点？请判断并证明你的结论.【答案】（1）22143x y +=， 28y x =；（2）是，证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的顶点与抛物线的焦点坐标相同，椭圆的离心率，列出方程组，求出a ，b ，即可得到椭圆方程抛物线方程；（2）把直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，1(E x ，1)y -，求得直线EN 的方程，化简整理，由直线恒过定点的求法，可得所求定点．【详解】解：（1）设椭圆1C 的半焦距为c ，依题意，可得2pa =，则2C ：24y ax =， 代入x c =，得24y ac =，即y =±=，则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，2,a b ∴==所以椭圆1C 的方程为22143x y +=，抛物线2C 的方程为28y x =.（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为4x ty =-，联立2243412x ty x y =-⎧⎨+=⎩，得()223424360t y ty +-+=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，则()11,E x y -，由>0∆，解得2t <-或2t >， 且1222434ty y t +=+，1223634y y t =+， 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为(),0Q m ， 因斜率NQ EQ k k =，得2121y y x m x m-=--，即()()12210x m y x m y -+-=，即()()1221440ty m y ty m y --+--=，即()()1212240ty y m y y -++=， 即()2236242403434tt m t t ⋅-+⋅=++，得()()3410m t m t --=--=， 由t 的任意性可知1m =-.当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程即为0y =，也经过点()1,0Q -， 所以当2t <-或2t >时，直线EN 恒过一定点()1,0Q -. 【点睛】本题考查椭圆以及抛物线的方程和简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．20．某市有一家大型共享汽车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的汽车，已知黄、蓝两种颜色的汽车的投放比例为3:1.监管部门为了了解这两种颜色汽车的质量，决定从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，假设每辆汽车被抽取的时能性相同.（1）求抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率；（2）在试驾体验过程中，发现蓝色汽车存在一定质量问题，监管部门决定从投放的汽车中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定：若抽取的是黄色汽车.则将其放回市场，并继续随机地抽取下一辆汽车；若抽到的是蓝色汽车，则抽样结束；并规定抽样的次数不超过()*N n n ∈次，在抽样结束时，若已取到的黄色汽车数以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）135512；（2）分布列见解析，3334n⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.【解析】（1）任取1辆汽车取到蓝色汽车的概率为14，从投放到市场上的汽车中随机抽取5辆汽车进行试驾体验，取到蓝色汽车的数量1~(5,)4X B ，由此能求出抽取的5辆汽车中恰有2辆是蓝色汽车的概率．（2）ξ的可能取值为0，1，2，⋯，n ，1(0)4P ξ==，31(1)44P ξ==⨯，231(2)()44P ξ==g ，⋯，131(1)()44n P n ξ-=-=g ，3()()4n P n ξ==，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【详解】解：（1）因为随机地抽取一辆汽车是蓝色汽车的概率为14， 用X 表示“抽取的5辆汽车中蓝颜色汽车的个数”，则X 服从二项分布，即15,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，所以抽取的5辆汽车中有2辆是蓝颜色汽车的概率32253113544512P C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）ξ的可能取值为：0，1，2，…，n .()104P ξ==，()31314416P ξ==⨯=，()231244P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()131144n P n ξ-⎛⎫=-=⋅ ⎪⎝⎭，()34nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：23313131123444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()13131444n nn n -⎛⎫⎛⎫++-⨯⋅+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭L ， （1）()23133131311224444444n E n ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()13131444nn n n +⎛⎫⎛⎫+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）（1）-（2）得：231131313131444444444n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ()1333114444n n nn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦2313131314444444E ξ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭131314444n n-⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ， 2313333344444n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭331443313414nn ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.所以3334nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 21．已知函数()()()1xxf x ae ea x a R -=--+∈，()f x 既存在极大值，又存在极小值.（1）求实数a 的取值范围；（2）当01a <<时，1x ，2x 分别为()f x 的极大值点和极小值点.且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()()0,11,+∞U ；（2）1k ≤-.【解析】（1）求出函数的导数，结合函数的单调性确定a 的范围即可；（2）求出函数的极值点，问题转化为11(1)1a lna k a -<++g ，设11()(1))1x g x lnx k x -=-++g ，根据函数的单调性确定k 的范围即可． 【详解】解：（1）由()()1xxf x ae ea x -=--+得()()'1x x f x ae e a -=+-+，即()()()1'1xxx f ee x ea -=--，由题意，若()f x 存在极大值和极小值，则()'0f x =必有两个不相等的实数根， 由10x e -=得0x =，所以10x ae -=必有一个非零实数根， ∴0a ≠，1xe a =，∴10a>且11a ≠，∴01a <<或1a >. 综上，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞U .（2）当01a <<时，由（1）可知()f x 的极大值点为10x =，极小值点为2ln x a =-， 此时()11f x a =-，()()211ln f x a a a =-++，依题意得()()111ln 0a k a a a -+-++>对任意01a <<恒成立， 由于此时()()210f x f x <<，所以k 0<； 所以()()()1ln 11k a a a k +>--，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭， 设()11ln 11x x k x g x -⎛⎫=--⎪+⎝⎭，()0,1x ∈，则 ()()()()2221121112111'x x k x k x x x g x ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫⎝⎭=--= ⎪⎝⎭++()22211x x k x x ++=+，令()2210*x x k ++=，判别式244k∆=-. ①当1k ≤-时，0∆≤，所以()'0g x ≥，()g x 在()0,1单调递增， 所以()()10g x g <=，即11ln 11a a k a -⎛⎫<-⎪+⎝⎭，符合题意； ②当10k -<<时，>0∆，设()*的两根为3x ，4x ，且34x x <，则3420x x k+=->，341x x =，因此3401x x <<<， 则当31x x <<时，()'0g x <，()g x 在()3,1x 单调递减， 所以当31x a <<时，()()10g a g >=，即11ln 11a a k a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭， 所以()()120f x kf x +<，矛盾，不合题意； 综上，k 的取值范围是1k ≤-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1l的参数方程为x t y kt⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l的参数方程为3x mmy k ⎧=⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C .（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q 为曲线1C 上的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最大值. 【答案】（1）()22103x y y +=≠；（2）. 【解析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用点到之间的距离公式的应用和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程.1l：(y k x =， 2l：)13y x k=，两式相乘消k 可得2213x y +=， 因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠. （2）直线2C 的直角坐标方程为60x y +-=，由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点.由于1C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数，k απ≠，k Z ∈）， 所以曲线1C上的点),sin Q αα到直线60x y +-=的距离为d ==， 所以当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d的最大值为. 【点睛】 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a b b a+≥. 【答案】（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据()32||f x x -…，可得3131x x -⎧⎨>⎩…或1301x x +⎧⎨⎩…剟或3130x x -+⎧⎨<⎩…，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥； 当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-； 综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭. （2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=， 又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥， 两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。
2020年湖南高考理科数学试题及答案
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题）.1．若z＝1+i，则|z2﹣2z|＝（）A．0B．1C．D．22．设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．43．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥．以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A．B．C．D．4．已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（）A．2B．3C．6D．95．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（x i，y i）（i＝1，2， (20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（）A．y＝a+bx B．y＝a+bx2C．y＝a+be x D．y＝a+blnx6．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+17．设函数f（x）＝cos（ωx+）在[﹣π，π]的图象大致如图，则f（x）的最小正周期为（）A．B．C．D．8．（x+）（x+y）5的展开式中x3y3的系数为（）A．5B．10C．15D．209．已知α∈（0，π），且3cos2α﹣8cosα＝5，则sinα＝（）A．B．C．D．10．已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆．若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为（）A．64πB．48πC．36πD．32π11．已知⊙M：x2+y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线1：2x+y+2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M 的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|•|AB|最小时，直线AB的方程为（）A．2x﹣y﹣1＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x﹣y+1＝0D．2x+y+1＝0 12．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2b B．a＜2b C．a＞b2D．a＜b2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【数学】湖南省长沙市2020届高三统一模拟考试理科数学试卷有答案
（2 分）
则有
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩ a
2
ac = 2
c=1 a2 = b2 +
c2
⇒
a
=
2,
+ 1 ，从而
1 nbn
=
1 n
−
1 n +1
，
故
1 b1
+
1 2b2
+L+
1 99b99
=1−
1 2
+
1 2
−
1 3
+L+
1 99−1 100= Nhomakorabea1
−
1 100
=
99 100
.
11．B
故选 C
解析：函数 f ( x) 的图象如图，
(1) 设 f (a)= f (b)=k ,则 k∈(2, 4] 。
由 2+log1 a=k, 2b=k ，
2x +1 − log2
2−x +1
=
log2
2x +1 2−x +1
=
x
，由
x
的任意性，可得 a
=
1 2
14.3
解析：由题意可知等比数列的公比 q ≠ 1，否则 S3 ， S9 ， S6 不成等差数列，
( ) ( ) ( ) 于是
2S9
=
S3
+
S6
⇒
2a1 1 − q9 1− q
=
a1
1− q3 1− q
（1 分） （2 分） （3 分）
1
又Q AB = AC1 ， O 是 BC1 的中点， ∴ AO ⊥ BC1 ，
长沙四在名校2020届髙三四校(线上)联考理科数学试题及答案
min
4
y g x 图像的对称轴的是
A. x 1 4
B. x 1 2
C. x 3 4
D. x 5 4
6. 《海岛算经》中有这样一个问题，大意为：某粮行用芦席围成一个粮仓装满米，该粮
仓的三视图如图所示（单位：尺，1 尺≈ 0.33 米），己知 1 斛米
的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3, 则估算出该粮仓存放的
相等，则此柱体的体积为
.
y0 15. 己知变量 x, y 满足约束条件x 2 y 8 0 ，在实数 x、y 中插入 7 个实数，使这 9 个
2x y 6 0
数构成等差数列an 的前 9 项，则 a1 x、a9 y ，则数列an 的前 13 项和的最大值为
米约为
A. 43 斛
B. 45 斛 C. 47 斛 D. 49 斛
7. 已知点G 在 ABC 内，且满足2GA 3GB 4GC 0 ，现在ABC 内随机取一点，此
点取自， GAB 、 GAC 、 GBC 的概率分别记为 P1、P2、P3，则
A .P1 P2 P3
B. P3 P2 P1
A. 3
B. 5
C. 2
D. 6
9. 当 x 为实数时， trunc(x) 表示不超过 x 的最大整数，如 trunc(3.1） 3 .已知函数
f x trunc x （其中 x R ），函数 g x 满足 g x g 6 x ，
（理 ） （ 2 ， 8 ）
A. 1 2 i 55
Bபைடு நூலகம் 1 2 i 55
C. 2 1i 55
D. 2 1 i 55
3. 已知 A (1, 2), B (2, 3), C (-1, m),若 BA BC BA BC ，则 AC2 =
湖南省长沙市东春中学2020年高三数学理联考试题含解析
湖南省长沙市东春中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设，则“”是“直线与直线平行”的A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B略2. 已知函数，则的值为（）A．9 B．C．-9 D．参考答案：B3. 数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（）A． B. C. 或 D.参考答案：C略4.知函数为偶函数＜＜，其图像与直线y＝2的某两个交点横坐标为，，的最小值为，则（）A．，B．，C．， D．，参考答案：答案:A5. 下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C解：中，否命题应该是“若，则”，错；中时，有，故至少是充分的，错；中“若，则”是真命题，因此其逆否命题也是真命题，选，而应该是必要不充分条件．6. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，则的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：C,，，因为，因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以函数在上单调递减，所以，选C.7. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】求出双曲线的渐进线方程，可得到值，再由的关系和离心率公式，即可得到答案．【详解】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以，所以双曲线的离心率为．故选A．【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查离心率的求法，考查学生基本的运算能力，属于基础题，8. 若满足且的最大值为6，则的值为（）（A）（B）1 （C）（D）参考答案：B【知识点】线性规划因为可行域为，在，取得最大值，得。
故答案为：B9. 等差数列的前项和分别为，且，则=A. B. C.D．参考答案：C略10. 下列命题中是真命题的个数是（）（1）垂直于同一条直线的两条直线互相平行（2）与同一个平面夹角相等的两条直线互相平行（3）平行于同一个平面的两条直线互相平行（4）两条直线能确定一个平面（5）垂直于同一个平面的两个平面平行A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知两点，为坐标原点，若，则实数t的值为▲参考答案：6/5略12. 当实数满足约束条参考答案：略13. 如果执行上面的框图，输入，则输出的数S= .参考答案：14. 如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，若O为△ABC内一点，且满足||=||=||，则?的值是．参考答案：28【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则=（+），OD⊥BC，即?=0．于是?=（+）?=?+?=?=（+）?（﹣），化简代入即可得出．【解答】解：由题意，||=||=||，则O是外心．如图所示，取BC的中点D，连接OD，AD．则=（+），OD⊥BC，即?=0．∴?=（+）?=?+?=?=（+）?（﹣）=（2﹣2）=（81﹣25）=28．故答案为：28．15. 已知函数，.若,使,则实数的取值范围是________________.参考答案：16. 设点是内一点（不包括边界），且，则的取值范围是.参考答案：17. 若f（x）＝则函数g（x）＝f（x）－x的零点为_____.参考答案：x＝1＋或x＝1三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2020年湖南省长沙市明德华兴中学高三数学理联考试卷含解析
2020年湖南省长沙市明德华兴中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 点A是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点A到抛物线的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于A. B.C. D.参考答案：C2. 不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为( )A．（﹣2，1）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣1，2）参考答案：A考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集解答：解：不等式（1﹣x）（2+x）＞0，∴不等式（x﹣1）（x+2）＜0，∴方程（x﹣1）（x+2）=0的两根为﹣2，1，∴不等式（1﹣x）（2+x）＞0的解集为（﹣2，1），故选：A．点评：本题考查了一元二次不等式的解法，利用了因式分解法，找到与对应方程和二次函数的关系容易得到；属于基础题3. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：4. 设向量,满足||=||=1,且,的夹角为，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：B5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A．B．C． D．参考答案：A6. 命题：“存在”的否定是（）A. 不存在B. 存在C. 对任意D. 对任意参考答案：C7. 设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝对称．则下列判断正确的是 ( )A．p为真 B．﹁q为假 C．p∧q为假 D．p∨q为真参考答案：C8. 函数的一条对称轴方程为A. B. C.D.参考答案：B9. 某学生对函数 f ( x ) ＝x .co s x 的性质进行研究，得出如下的结论：①函数y=f(x)在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减；②点(，0)是函数y＝f(x)图象的一个对称中心；③函数y＝f(x)图象关于直线x＝π对称；④存在常数M >0，使｜f(x)｜≤M｜x｜对一切实数x 均成立．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A①特值法。