正规矩阵
正规矩阵的算子二范数_概述及解释说明
正规矩阵的算子二范数概述及解释说明1. 引言1.1 概述在线性代数和矩阵理论中，正规矩阵是一类特殊的方阵，具有重要的性质和应用价值。
算子二范数是衡量线性变换操作对向量长度影响程度的指标。
本文将探讨正规矩阵的算子二范数及其计算方法，并解释二范数在正规矩阵中的作用。
1.2 文章结构本文分为五个主要部分。
引言部分进行整体概述，介绍文章内容和结构安排；第二部分将详细解释正规矩阵和算子范数的概念；第三部分将介绍计算算子二范数的三种方法：奇异值分解法、特征值分解法和迭代法估计法；第四部分将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系；最后，第五部分总结全文并展望未来可能涉及的问题和研究方向。
1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的概述，以便读者了解正规矩阵的算子二范数及其相应性质。
通过本文可以更好地理解算子二范数对正规矩阵的描述和刻画，并了解到如何计算算子二范数。
同时，本文还将探讨算子二范数与正规矩阵性质之间的关系，帮助读者深入理解这一主题及其应用。
以上是“1. 引言”部分的内容，用于概述文章主要内容、介绍文章结构以及明确文章目的。
接下来的章节将更详细地解释和讨论相关概念和方法。
2. 正规矩阵的算子二范数2.1 正规矩阵概念解释正规矩阵是指满足以下条件的方阵：若A 是正规矩阵，则A 的共轭转置(A*) 与自身的乘积等于自身与其共轭转置的乘积，即A*A* = AA*。
这意味着正规矩阵的特征向量可以相互正交。
2.2 算子范数概念解释算子范数是一种衡量线性变换（或算子）大小的方法。
在本文中，我们关注算子二范数，也称为谱范数。
对于一个n x n 的方阵A，它的算子二范数可以定义为：||A||₂= max { ||Ax||₂: ||x||₂= 1 }，其中||x||₂表示向量x 的二范数。
2.3 解释说明二范数在正规矩阵中的作用正规矩阵中的算子二范数有许多应用和重要性质。
首先，二范数可以用于衡量一个正规矩阵A 所导致的线性变换对向量长度的影响程度。
关于正规矩阵的注记
关于正规矩阵的注记
正规矩阵是一种数学概念，用于描述由元素和列组成的方阵。
它是一种普通矩阵，能够用矩阵乘法进行操作，由唯一标量乘积来表示。
正规矩阵是一种有序的方阵，其元素满足一系列的唯一的条件，且元素的排列符合特定的规则。
正规矩阵的属性主要体现在其与转置矩阵的乘法中。
如果一个矩阵是正规的，则其与自身转置矩阵相乘会得到一个单位矩阵。
正规矩阵会有明确的特征，通常是以全1的列向量和行向量进行组合，之后形成某种特定的相关性。
另外，正规矩阵也可以用于解决一些数学难题，例如三角形和克莱姆代数等。
此外，正规矩阵还可以用于推导出线性不可分的非线性模型，可以用来计算置信度阈值，增加正则化和抑制过拟合。
总之，正规矩阵主要是用来描述由元素和列组成的方阵，而且有许多应用，可以用于解决一些复杂的数学难题，从而有效地提高运算效率。
3正规矩阵
位 根. 4、 A为 实 反 对 称 矩 阵 或 斜 若 Hermite矩 阵 ， 则 的 A 特征值为零或纯虚数 .
1 1 1 1 H 6、A 1 1 ，A - 1 1， 2 0 . A A AA 0 2 ， A是正规矩阵
H H
7、若A为一个斜 rmite He 矩阵， ( )为一个多项式 g 则g( A)是正规矩阵 .
第四章
正规矩阵与矩阵分解
第二节 正规矩阵
定义 正规矩阵举例 正规矩阵的特征与性质
一、定义
定义 设矩阵 M n，若AH A AA H，则称 正规 1 A A 矩阵.
引理1 A M n是正规矩阵 酉等价于 的一切矩阵 A 都是正规矩阵 .
二、正规矩阵举例
1、酉矩阵是正规矩阵 . 2、 正交矩阵是正规矩阵 . 3、He rmite 矩阵是正规矩阵 . 4、斜He rmite 矩阵是正规矩阵 . 5、 实对称矩阵、反对称矩 阵是正规矩阵 .
下述命题等价： 1、 A是正规矩阵 ; 2ห้องสมุดไป่ตู้A是可酉对角化矩阵；
3、
i , j 1
a
n
2 ij
i ；
2 i 1
n
4、A有n个特征向量组成标准正 交基； 5、 存在一个多项式 )，使AH g( A). g(
定理2 设A M n是正规矩阵，且 y是A的不同 x和 特征值的特征向量，则 y. x
定 理2 若U 1、U 2均 为n阶 酉 矩 阵 ， 则 有 (1) U 1U 2是 酉 矩 阵 ； ( 2) U 11是 酉 矩 阵 .
矩阵分析第三章
例 1：在Rn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T, 定义
(α , β ) = α β = β α = ∑i =1 ai bi
T T n
则(α, β)是Rn上的一个内积，从而Rn成为一个欧氏空间。 如果定义
(α , β ) = α T Aβ = β T Aα , 其中A ∈ R n×n > 0 容易验证: 以上定义的(α, β)也是Rn上的一个内积，从而在
则C[a,b]成为欧氏空间。
定义：设 定义 ：设V是C上的n维线性空间，若∀α, β∈V, 都有一个按照 都有一个按照 某一确定法则对应的被称为内积 某一确定法则对应的被称为内积的复数，记为 内积的复数，记为(α, β)，并满 足下列四条性质: (1) (α, β) = ( β , α ) , ∀α, β∈V (2) (kα, β) = k(α, β), ∀α, β∈V, ∀k∈C (3) (α+β, ν) = (α, ν) + (β, ν), ∀α, β, ν∈V (4) (α, α) ≥ 0, 当且仅当α = 0时, (α, α) = 0, ∀α∈V 则称V是n维复欧氏空间、简称为 复欧氏空间、简称为酉空间 、简称为酉空间。 酉空间。 • 定义了内积的复线性空间，称为酉空间 例 4: 在Cn中, ∀α = ( a1 , a2 ,L , an )T , β = (b1 , b2 ,L , bn )T , 定义
(α , β ) 取k= ,则 (β , β )
⇒
(α , β )( β , α ) | (α , β ) |2 2 0 ≤ (α , α ) − = α − (β , β ) || β ||2 |(α, β)| ≤ ||α|| ⋅ ||β||
3内积空间,正规矩阵与H-阵
t
酉空间的性质：
(1) ( , k ) k ( , ) (2) ( , ) ( , ) ( , ) (3) ( ki i , ) ki ( i , )
i 1 i 1 t t t
(4) ( , ki i ) ki ( , i )
b
a
f ( x ) g ( x )d ( x)
b
2
a
f ( x) d ( x)
b
2
a
g ( x) d ( x)
定义：设 V 为欧氏空间，两个非零向量 , 的夹角定义为
, : arccos
于是有
( , )
0 ,
定理：
2
,
2
( , ) 0
例 2 求下面齐次线性方程组
x1 x2 x3 x4 0 x1 2 x2 3x3 4 x4 0 2 x1 3x2 4 x3 5x4 0
其解空间的一个标准正交基底。
i 1 i 1
t
定义：设 V 是 n 维酉空间，i 为其一组 基底，对于 V 中的任意两个向量
xii , y j j
那么 与 的内积
i 1 j 1
n
n
( , ) ( xii , yii )
i 1 j 1
n
n
i , j 1
T
容易验证这是 R 上的一个内积，这样 R 对于这个内积成为一个欧氏空间。 例 3 在线性空间 C[a, b] 中，规定
n m
n m
( f , g ) : f ( x) g ( x)dx
正规矩阵的性质及判定资料
正规矩阵的性质及判定彭志平,何偲钰,邓泽,刘熠*（内江师范学院 数学与信息科学学院,四川 内江 641112）摘 要：根据正规矩阵在数系当中的应用,为了更好的学习和掌握正规矩阵的性质,于是利用伴随矩阵以及全转置矩阵与正规矩阵的关系得到了正规矩阵的一些性质与等价条件,其中由于伴随矩阵与正规矩阵的特殊联系又得到了高次混合伴随阵为正规矩阵的充分条件,为进一步了解正规矩阵奠定了基础.关键词：正规矩阵；伴随矩阵；全转置矩阵；高次混合伴随阵中图分类号：O151.2 文献标识码：A 文章编号:1671-1785(2011)10-0007-04 0 引言酉空间是欧氏空间在复数域上的自然类比. 在一般教材[1,2] 中均介绍了酉空间、酉矩阵和Hermite 矩阵的概念,以及它们的相关性质. 而对正规矩阵均没有提及．正规矩阵是在讨论矩阵的酉等价时产生的一类矩阵[3],它在矩阵分析中占有重要的位置,并且它还推广了酉矩阵、实对称矩阵和Hermite 矩阵．近年来, 许多学者对正规矩阵的一些性质与一些等价条件做了一系列的研究, 主要集中文献[4-7].在欧氏空间中, (R)n M ∈A ,A 是正规矩阵,如果T T AA =A A . 对于实正规矩阵的研究,包[6]给出了实正规矩阵的充要条件是11nnik jk ki kj k k a a a a ===∑∑. 而在酉空间中,为了讨论矩阵的酉等价,得到了复正规矩阵的概念,即：A 是复正规矩阵,如果T T A A =A A , 其中()n M C ∈A 且TA 为A 的共轭转置矩阵. 本文在上述文献的基础上,主要从伴随矩阵, 全转置矩阵以及高次混合伴随阵来进一步研究复正规矩阵的性质以及等价条件. 1 基本概念与引理定义1.1[1] 设矩阵U 是复数域上的n 阶方阵,若T T U U =UU =E ,则称U 为酉矩阵．定义1.2[2] 设矩阵A,B 是复数域上的n 阶方阵,如果存在酉矩阵U ,使得T B =U AU ,那么就称A 酉相似于B ．定义1. 3[4] 设矩阵()n M C ∈A ,如果TTA A =A A ,则称A 是正规矩阵.定义1.4[8] 设m n⨯ij A =(a ),若::⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭mnm11n 11a a B =a a 则称B 为A 的全转置矩阵,记作οB =A . 引理1.1[8] 设A ,B 为n 阶矩阵,则：(1) ()οοοA +B =A +B ; (2) ()()οTT οA =A ; (3) ()οοοAB =A B ;(4) ()()-1οο-1A =A ; (5) ()()ο**οA =A ; (6) ()οοA =A .设m n ⨯ij A =(a )是数域F 上的n 阶方阵,ij A 和ij M 分别为n 阶方阵A 的代数余子式和余子式且记为()*ij A =A ,()*ij A =M .引理1.2[9,10] 设A 和C 为n 阶方阵,其中o o ⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭1-11C =-1,则 （1）()**A =C A C ;（2）C 为对称正交矩阵,且**C =C =C C ;(3) ()()****A =A ,即:两种伴随矩阵的运算可交换次序;若A 可逆,则: ()()*n-2***A =A =C AAC ;(4)()()*n-2***A =A =AA ,即* ** *A =A .引理1.3[11] 设m n ⨯ij A =(a )为复数域上的n 阶方阵()2n ≥, 则()n-2*AA, n>2* A ,n=2A ={.2 正规矩阵的性质性质2.1 若()n M C ∈A 是复正规矩阵,则T A 是复正规矩阵. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TTA A =A A . 又因()TT T T A A=A A ,()TT TT AA=AA . 因此⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T AA =A A ⇒()TTT A A ()TT T=AA.所以T A 是复正规矩阵.性质2.2 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则k A 也是复正规矩阵,其中k C ∈. 证明 因为A 是复正规矩阵,故TT=A . 而()()2k k k ⋅=⋅⋅=⋅TTTA A ,()2k k k ⋅=⋅TTA A A A .故()()k k k k ⋅=⋅TTA A A A . 从而k A 也是复正规矩阵.性质2.3 设()n M C ∈A 是复矩阵. 则A 为正规矩当且仅当k A E +为正规矩阵,k C ∈,E 为n 阶单位矩阵.证明 因为()()()()2k k k k k k k T T T TA E A E A E A E AA A A E ++=++=+++,()()()()2k k k k k k k T TT TA E A E AE A E A A A A E ++=++=+++.由于A 是复正规矩阵, 故TTA A =A A . 因此()()()()k k k k TTA E A E A E A ++=++E . 从而k A E +为正规矩阵.反之,若k A E +为正规矩阵,则必有()()()()k k k k T ΤA E A E A E A E ++=++, 即22k k k k k k TTTTA A A A E AA A A E +++=+++.因此T TA A =AA ,故A 为正规矩性质2.4 若A 为复数域上的n 阶方阵,A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵. 证明 若A 为正规矩阵,故TTA A =A A ,从而()()οοT T A A=A A . 由引理1(3) 知()()οοT T οοA A=AA .再由引理1.1 (2)有()()T TοοοοA A=A A , 因此οA 为正规矩阵.反之,上述过程可逆. 因此A 为正规矩阵当且仅当οA 为正规矩阵.性质2.5 若A ,B 为复数域上的n 阶方阵且A ,B 均为酉矩阵,则AB ,()οAB 为正规矩阵. 证明 因A ,B 为酉矩阵, 故TTA A =A A =E ,TTB B =B B =E , 其中,E 为n 阶单位矩阵. 所以,()()∙∙∙∙∙TT TT T AB AB =B A AB =B A AB =E .同理有()()∙∙∙TT T AB AB =AB B A =E . 因此AB 为正规矩阵. 由性质2.4可知()οAB 为正规矩阵. 性质2.6 设()n M C ∈A 是复正规矩阵,则n A ()N n ∈是复正规矩阵.证明 若2n =时,因为A 为n 阶正规矩阵,故TT=A . 由于()()∙∙∙∙∙∙∙∙∙TT2T T T T T T T T222A =A A ==A =A =A ,故2A 是正规矩阵.对于2n >的情况可以类似地证明. 故由n A ()n N ∈是复正规矩阵. 3 正规矩阵的等价条件定理3.1 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. A 为正规矩阵当且仅当-1A 为正规矩阵.证明 (必要性) 因A 为正规矩阵,故TTA A =A A . 又因为A 可逆,因此()()-1-1T TA A=A A ,即：()()-1-1T T -1-1AA =A A. 由A 可逆知：()()*T -1T TA A=A, 而()()()T **T T-1T TA A A==A A , 故()()-1TT -1A = A . 从而()()TT-1-1-1-1A A=A A ,即-1A 为正规矩阵.(充分性) 若-1A 为正规矩阵,则()()TT-1-1-1-1A A=AA ,即()()-1-1T TA A=A A . 因为A 可逆,故TTA A =A A . 因此A 为正规矩阵.定理3.2 若A , B 均为n 阶复矩阵且A 与B 酉相似. 则A 为正规矩阵当且仅当B 为正规矩阵.证明 若A 是正规矩阵,因A 酉相似于B ,则存在酉矩阵Q , 使得：TQ AQ =B . 又因为TTQ Q =QQ =E ,故T-1Q AQ =Q AQ =B . 因此TTT B =Q A Q ,于是有TTTTTBB =Q AQQ A Q =QAA Q .同理有：T T T T T B B =Q A QQ AQ =QA AQ . 又A 为n 阶复正规矩阵, 故T T A A =A A , 于是T TBB =B B . 因此B 是复正规矩阵.若B 为正规矩阵,同理可证A 为正规矩阵.定理3.3 若A 为复数域上的n 阶非奇异矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当*A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为正规矩阵,则TTA A =A A . 由A 可逆知：*-1A =A A . 又()()()()∙∙∙∙∙∙∙TTTTT-1-1**-1-1-1-1A A =A A A A =A A A A=A A A A,而()()()∙∙∙∙∙TTTT-1**-1-1-1A A =A A A A =A A A . 由定理3.1知：()()TT-1-1-1-1A A =A A ,有()()∙∙TT****A A =A A ,故*A 为正规矩阵.充分性：因*A 是正规矩阵,故()()∙∙TT****A A =A A . 由于A 可逆,故*A 可逆. 故()()()∙∙∙T-1-1-1T**T *T *A A =A A A A =A A A A且()()()∙∙∙T-1-1-1T**T **TA =A A AA =A A A A .因此T T=A ,即A 为正规矩阵.推论3.1 若A 为复数域上的n 阶可逆矩阵. 则A 是正规的当且仅当⋅⋅⋅n **A 个 (2n ≥）也是正规的. 证明 就**A 进行证明,其他的可类似证明. 必要性： 由引理1.2（2）有()()∙∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A=AA AA =AAAA()()∙∙Tn-2TT Tn-2n-2n-2****A A =A A A A =AAA A .所以()()∙∙TT********A A =A A ,即：**A 是正规矩阵充分性: 由定理3.3可有**A 是正规矩阵等价于*A 为正规矩阵,即等价于A 为正规矩阵. 可类似证明***A ,… , ⋅⋅⋅****A 为正规矩阵.定理3.4 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅当()**A 为正规矩阵.证明 必要性：因为A 为可逆正规矩阵,所以TTA A =A A . 由引理1.2及1.3有()()()∙∙TTn-2n-2****A A =C AAC C AAC⎛⎫∙∙ ⎪⎝⎭n-2n-2T T T T n-2n-2=A CAC A=A A CA C .同理有()()∙∙∙n-2T*T Tn-2***A A =AACA A C .所以()**A 为正规矩阵.充分性：由()**A 为正规矩阵有()()()()∙∙TT********A A =A A , 即∙∙n-2n-2T TT Tn-2n-2AACA AC =AACA A C .因为A 为n 阶可逆矩阵,故0≠A 且0≠TA . 又C 可逆的,故有TTA A =A A ,即A 为正规矩阵.可类似证明()**A 为正规矩阵.推论3.2 若A 为复数域上n 阶可逆正规矩阵. 则A 为正规矩阵当且仅()**A 为正规矩阵.推论3.3 设A 为复数域上n 阶可逆矩阵,则A 为正规矩阵,当且仅当 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭m n ****A 个个(,N)m n Î是正规矩阵.证明 我们只证明2,1m n ==时的情形,其它情况可类似证.必要性：()()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T(n-2)(n-1)TT T****(n-2)(n-1)n-2n-2********A A =A A A A =A A CA A C . 因为A 正规,可知*A 正规,从而()()T T****A A=A A . 故()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T************A A =A A ,所以()***A 为正规矩阵.充分性：因为：()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A CA A C ,()()()()⎛⎫∙ ⎪⎝⎭(n-2)(n-1)TT T**(n-2)(n-1)********A A =A A C A A C ,由于()***A 为正规矩阵,所以：()()()()⎛⎫⎛⎫∙∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭TT************A A =A A ,即()()()()(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)T TT T(n-2)(n-1)(n-2)(n-1)********AA CA AC =AA C AA C .又因为A 为n 阶可逆且n-1*A =A ,故*A 可逆,从而有()()T T****A A =A A ,即*A 正规,再由定理3.3有,A 正规.可类似证明⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭n **m **A 个个为正规矩阵.定理3.5 设⎛⎫⎪⎝⎭12A 0A =0A 的矩阵.则1A , 2A 为n 阶正规矩阵当且仅当A 为正规矩阵. 证明必要性：⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT1111TT2222A0A 0A A 0AA ==0A 0A 0A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭TTT 1111T T2222A 0A 0A A 0A A ==0A 0A 0A A . 又因为1A , 2A 为n 阶正规矩阵,可知：A 为正规矩阵. 充分性：A 为正规矩阵,所以TTA A =A A . 即⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭T T 1111TT2222A A 0A A 0=0A A 0A A , 故TT1111A A =A A ,TT2222A A =A A . 即是说：1A ,2A 为n 阶正规矩阵,故原命题成立.推论3.4设⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭123S A A 0 A = A 0 A ,其中i A 为方阵,()1,2,....,,i s s n =≤. 则A 为正规矩阵当且仅当i A ()1,2,....,i s =均为正规矩阵.参考文献[1] 张禾瑞,郝炳新．高等代数(第五版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2007.[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数(第三版)[ M]．北京：高等教育出版社, 2003. 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第三章 内积空间、正规矩阵、Hermite矩阵1
(α1 ,α 2 , , α n ) L
设：1α1 +k2α 2 +L +knα n＝0 k
(α j , k1α1 +k2α 2 +L +knα n )＝(α j , 0) ＝0
k j (α j , α j )＝0
k j＝0, 即k j＝0, j = 1, 2,L , n) (
正交向量组线性无关 那么线性无关向量组是否正交呢？ 那么线性无关向量组是否正交呢？
定义4.3： 子空间， 定义 ： 设 S , T 是C n 的（或 R n ）子空间，若对任意的 x ∈ S 和 y ∈ T 都有
( x, y ) = 0
是正交的， 则称 S 和 T 是正交的，记为 S ⊥ T
定理4.6： 两个正交子空间， 定理 ：设 S , T 是 C n 的（或 R n ）两个正交子空间，那么 （1）S I T = {0} ） （2）dim( S + T ) = dim( S ) + dim(T ) ）
α1 , α 2 ,L , α n
′ ′ α1′, α 2 ,L , α n
度量矩阵 度量矩阵
A B
′ ′ (α1′, α 2 ,L , α n ) = (α1 , α 2 ,L , α n ) P
B = PT AP or
BT = P H AT P
定义1.5: 定义
设V是酉（欧氏）空间，定义 ∀α ∈ V 长度为
(1), A−1 = AH
(2), det A = 1
(3), A ∈ U
T n×n
(1), A = A
−1
T
(2), det A = ±1
(4), if B ∈ U n×n , then AB, BA ∈U
北航硕士研究生矩阵理论2.2 正规矩阵及Schur分解
类似地，可证第二个结论.
证毕
二、正规矩阵 推论1 设A是一个正规矩阵, 则与 A酉相似的矩阵一定 是正规矩阵. 推论2 设 A是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则A必为 对角矩阵.
推论3 实对称矩阵正交相似对角矩阵.
推论4 设 T 是欧式空间 Vn的对称变换，则 在 Vn中存在标准正交基 y1 , y2 ,, yn ，使 T 在该 基下的矩阵为对角矩阵.
二、正规矩阵 现在将 X 1 单位化, 得到一个单位向量
i 2 2 1 , , 3 3 3
对于特征值
T
(9iI A) X 0
求得其一个基础解系
2 9i 解线性方程组
T
X 2 i, 1/ 2,1
将其单位化得到一个单位向量
二、正规矩阵
对于特征值 3
(U R) A(UR) B
因此
1
U AU RBR
H
1
一、Schur引理
n n 推论： A R 且A的特征值均为实数，则存在正交矩阵Q，使得
1 2 T Q AQ 0
n
即任一实方阵正交相似于一个上三角阵，其主对角元为A的特征值.
Q AQ Q AQ diag{1 ,
T 1
, n }
二、正规矩阵
证明： A为正规矩阵，存在酉矩阵U，使得
U AU diag{1 ,
H
, n }
, n }
共轭转置有
U H AU diag{1 ,
所以 i i (i 1, , n) 由的Schur引理可得，存在正交矩阵Q，使得
i 3 2 Q 1 ,2 ,3 3 2 3 2i 3 1 3 2 3 2i 3 2 3 1 3
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最后考虑向量组 γ1, . . . , γt. 显然, (γ1, . . . , γt) = (α1, . . . , αt)D, 其中 D 是对
角矩阵,
其对角线元素依次为
1 |βi
|
,
.
.
.
,
1 |βt |
.
于是,
(γ1, . . . , γt) = (β1, . . . , βt)CD.
因为 CD 是上三角矩阵, 且对角线元素是正数, 所以 CD 可逆. 于是, (γ1, . . . , γt)
显然,α 与 β 正交当且仅当 βH α = 0 当且仅当 αH β = 0. 由定义 4.2, 非零向量的长度必大于 0; 零向量与任何向量均正交; 一个向量 总是正交组.
命题 4.1 不含零向量的正交组必为线性无关的向量组.
107
108
第五章 方阵的标准形
证明 设 α1, α2, · · · , αs 为不含零向量的正交组, 且
按命题 4.1, 规范正交组必为线性无关向量组. 反过来, 一个线性无关向量
组显然未必是正交组, 但我们可以按下述方法求出与之等价的规范正交向量组.
命题 4.3 (Schmidt 正交化) 设 α1, α2, . . . , αt 为一组线性无关向量, 令
β1 = α1,
β2
=
α2
−
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
3. 对于任意非零的 α 均有 (α, α) > 0.
定义 4.2 令 |α| = (α, α), 称为 α 的长度. 长度为 1 的向量称为 单位向 量. 如果 (α, β) = 0, 则称 α 与 β正交. 若一个向量集合中的任意两个不同的向 量均正交, 则称该向量集为正交组；由单位向量组成的正交组称为规范正交组
第五章 方阵的标准形
§5.1
§5.2
§5.3
§5.4 Schmidt 正交化
本节介绍把向量几何化的方法, 以便于进行形象思维及处理更广泛的问题. 在本节, 设所考虑的数域为复Байду номын сангаас域或实数域.
定义 4.1 设 α = (a1, a2, . . . , an)T , β = (b1, b2, · · · , bn)T 都是 n 元列向量, 规定
对 1) 中的分解取共轭转置再取逆可得 2), 取逆可得 3), 取共轭转置可得 4). 当 A 是实矩阵时, A = A.
习题
1. 用 Schmidt 正交化方法将向量组 (1, 1, 0), (1, −1, 0), (0, 1, 2) 规范正交化. 2. 设矩阵 A, B 的列向量组都是规范正交的, 如果 A, B 可乘, 则 AB 的列向量组也是规
α1 = β1,
α2
=
(α2 ,β1 ) (β1 ,β1 )
β1
+ β2,
·································
αt
=
(αt (β1
,β1 ,β1
) )
β1
+
(αt (β2
,β2 ) ,β2 )
β2
+···+
β (αt ,βt−1 )
(βt−1 ,βt−1 )
t−1
+ βt,
(βk+1,
βj )
=
(αt,
βj )
−
k i=1
(αk+1, βi (βi, βi)
)
(βi,
βj )
=
(αk+1,
βj )
−
(αk+1, βj (βj, βj)
)
(βj
,
βj )
= 0.
§ 5.4 Schmidt 正交化
109
其次证明向量组 β1, . . . , βt 与向量组 α1, . . . , αt 等价. 因为
是正交组, γ1, γ2, . . . , γt
是规范正交
组, 并且它们都与向量组 α1, α2, . . . , αt 等价.
证明 首先证明 β1, . . . , βt 是正交组. 对向量个数 t 用数学归纳法. 当 t = 1 时, 结论显然成立. 假设 t = k > 1 时结论也成立. 现在设 t = k + 1, 我们只需证 明 βk+1 和每个 βj 都正交, 1 ≤ j ≤ k. 实际上,
a1α1 + a2α2 + · · · + asαs = 0.
用 α1 做内积可得, a1(α1, α1) + a2(α2, α1) + · · · + as(αs, α1) = 0. 由正交性可得 a1(α1, α1) = 0. 由 α1 = 0 知 α1H α1 = 0, 故 a1 = 0. 类似地可证 a2 = a3 = · · · = an = 0.
根 λ1 一个特征向量.
令
ξ1
=
α |α|
,
则
ξ1
是单位向量,
并且仍为属于
λ1
的特
征向量. 取 η2, . . . , ηn 使得 (ξ1, η2, . . . , ηn) 为可逆矩阵. 对向量组 ξ1, η2, . . . , ηn
进行 Schmidt 正交化可得规范正交组 ξ1, ξ2, . . . , ξn. 每个 n 元列向量均可由
AT = A(ξ1, . . . , ξn) = (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B = T B,
从而 T H AT = B. 将 B 分块,
B = λ1 ∗ . 0 A1
则 A1 为 n − 1 阶矩阵, 而且 |λI − B| = (λ − λ1)|λI − A1. 因此, λ2, . . . , λn 是 A1 的全部特征值. 由归纳假设有 n − 1 阶酉矩阵 T1 使 T1H A1T1 为上三角矩阵, 且对角线元素依次为 λ2, . . . , λn. 令
ξ1, . . . , ξn 线性表示, 特别地, 向量组 Aξ1, . . . , Aξn 也可由其线性表示. 有矩阵 B
§ 5.5 正规矩阵的标准形
111
使得 (Aξ1, . . . , Aξn) = (ξ1, . . . , ξn)B. 因为 Aξ1 = λ1ξ, 故 B 的第一列除第一行 为 λ1 之外, 其余元素均为 0. 令 T = (ξ1, . . . , ξn), 则 T 为酉矩阵, 而且
证明 我们只证明最后一个结论. 设 A = (aij) 是一个正线上三角酉矩阵, 则 AH = A−1, 而且 AH 是下三角矩阵, A−1 是上三角矩阵, 所以 A 必为对角矩阵, 而且 aii = a−ii1. 因为 aii > 0, 所以 aii = 1, 从而 A 必为单位矩阵.
定理 4.1 (QR 分解) 设 A 是一个可逆矩阵, 则
习题
1. 设 A 是方阵，互换 A 的第 i 行和第 j 行，再互换 A 的第 i 列和第 j 列，则所得矩阵
与 A 酉相似.
2. 设 Ai 酉相似于 Bi, i = 1, 2, 则
A1 0 0 A2
酉相似于
B1 0 0 B2
.
§5.5 正规矩阵的标准形
§5.3 讨论了方阵的 Jordan 标准形. 在本节中我们将研究可以酉相似于对角 矩阵的矩阵, 它们的标准形也同样有着深刻的背景和重要的应用.
范正交的. 3. 证明矩阵 A 的属于特征根 λ 的一组线性无关的特征向量经 Schmidt 正交化以后仍为
属于 λ 的特征向量.
定义 4.4 设 A, B 是两个 n 阶矩阵, 若有酉矩阵 U , 使 U H AU = B, 则称 A 与 B 酉相似.
酉相似是一个等价关系. 酉相似的矩阵一定是相似的.
1) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线上三角矩阵之积;
2) A 可唯一地分解成一个酉矩阵和一个正线下三角矩阵之积;
3) A 可唯一地分解成一个正线上三角矩阵和一个酉矩阵之积;
110
第五章 方阵的标准形
4) A 可唯一地分解成一个正线下三角矩阵和一个酉矩阵之积.
进一步, 若 A 是可逆实矩阵, 则上面的分解中矩阵可取作实矩阵.
证明1) 设 A 是一个可逆矩阵, 则由命题 4.4, 有正线上三角矩阵 π 使得 Aπ 是酉矩阵. 令 Q = Aπ, R = π−1, 则 A = QR, 且 Q 是酉矩阵, R 是正 线上三角矩阵. 设 A = Q1R1 是 A 也是 A 的 QR 分解, 则 QR = Q1R1, 从而 Q−1Q1 = RR1−1, 这是一个正线上三角酉矩阵, 所以是单位矩阵. 于是, Q1 = Q, R1 = R, 故分解唯一. 进一步, 设 A 是实矩阵. 由 A = QR 可得 A = A = QR = QR, 这仍为 A 的 QR 分解. 由分解唯一性可知, Q = Q, R = R, 故 Q, R 都是实矩阵.
U =T 1 0 , 0 T1
则 U 为酉矩阵, 且有
U H AU = = =
10 0 T1
H
T H AT
10 0 T1
10
λ1 ∗
10
0 T1H
0 A1
0 T1
λ1
∗∗
,
0 T1H A1T1
这最后矩阵是上三角矩阵, 而且对角线元素依次为 λ1, . . . , λn. 通过取转置可得 出下三角情形的结论.
定理 4.2 (Schur 三角化定理) 设 A 是 n 阶矩阵, λ1, . . . , λn 是 A 的全部 特征值, 则 A 酉相似于一个上 (下) 三角矩阵, 其对角线元素依次为 λ1, . . . , λn.
证明 对矩阵阶数用数学归纳法. 对于一阶矩阵结论显然成立. 假设对于