大学物理 衍射例题

3
4
透镜L
焦距 f
观察屏 P
o
（1）关闭3，4缝
（2）关闭2，4缝 （3）4条缝全开
（1）和（3）的区别 在哪里？
三种情况缝宽a不变，所以夫琅和费衍射包线不变。
（1）光栅缝数为2，d/a = 2 ，缺级级次k = 2，4，6 , …, 中 央极大包线内有三条 谱线
（2）光栅缝数为2，d/a = 4 ，缺级级次k = 4, 8，…, 中 央极大包线内有七条 谱线
单缝上。
(1)已知单缝衍射的第一暗纹的衍射角1=300，求该单
缝的宽度a=?
解： (1) a sin k (k 1,2,3 ) 第a 一级暗纹k0=.15,12=3001.0m sin 1
例4、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一
个单缝上。(2)如果所用的单缝的宽度a=0.5mm，缝 后紧挨着的薄透镜焦距f=1m，求：(a)中央明条纹的 角宽度；(b)中央亮纹的线宽度；(c) 第一级与第二级 暗纹的距离；
(a) sin
a
a
0
2
a
0.5m 2 0.5103 m
2 103 rad
(b) x0 f0 2 103 m 2mm
(c)
x21
2
f( a
) 1 (2 103 1103)m 1mm
a
§22.7 X射线衍射
1895年伦琴发现X 射线。X 射线是波长很短的电磁波。
X 射线的波长： 0.01 ~ 10nm
复习：
例题1. 有一单缝,宽a=0.10mm,在缝后放一焦距为 50cm的会聚透镜,用平行绿光(λ=546.0nm)垂直照 射单缝,试求位于透镜焦平面处的屏幕上的中央明 条纹及笫二级明纹宽度.
分析:单缝夫琅禾费衍射的明条纹宽度定义为相邻 两个暗纹中心的距离.利用半波带概念,容易确定暗 纹中心的位置或角位置.
此时，k
max
d
6m 0.6m
10
在-900<sin<900范围内可观察到的明纹级数为
k=0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 9,共15条明纹
例2、一束平行光垂直入射到某个光栅上，该光束有
两种波长1=4400Å,2=6600Å实验发现，两种波长的 谱线(不计中央明纹)第二次为x.
由单缝夫琅禾费衍射暗纹条件 a sin k
因θ很小,有:
sin tan x
f
即
xk
k
f a
k 1 时,对应中央明纹宽度
x0
x1
x1
2
f a
5.46 mm
第k级明纹宽度
xk
xk 1
xk
k
1 f
a
k
f a
f a
可见,各级明纹宽度相等,与k无关.并且,中央明纹宽 度为其它明纹宽度的两倍.所以,第二级明纹宽度
1.在单缝夫琅和费衍射实验中，波长为λ 的单色光垂 直入射在宽度为 a=4λ的单缝上，对应于衍射角为30o 的方向，单缝处波阵面可分成几个半波带？
2.平行单色光垂直入射在缝宽为 a=0.15mm 的单缝上， 缝后有一焦距为 f=400mm 的凸透镜，在其焦平面上 放置观察屏幕．现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个 第三级暗纹之间的距离为 8mm ，则入射光的波长λ = ————。
3.在单缝夫琅和费衍射实验中，若钠黄光(λ1=589nm) 的中央明纹宽度为4.0mm，则λ2=442nm 的蓝紫色光的 中央明纹宽度为————。
4.在单缝夫琅和费衍射实验中若减小缝宽，其他条件不变， 则中央明条纹宽度和强度怎么变？
a sin 2k 1
2
可有:
a sin 2 3 1 0
2
和
a sin 2 2 1
2
可得
0
5 7
428.6 nm
例5、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个
单缝上。 a=0.5mm，f=1m 。(3)如果在屏幕上离中
央亮纹中心为x=3.5mm处的P点为一亮纹，试求：
(a)该P处亮纹的级数；
（3）光栅缝数为4，d/a = 2 ，缺级级次k = 2，4，6 , …,中 央极大包线内有三条 谱线
I I0
-2
-1
0
1
2
3
2 sin ( /a)
4
I d dd
d
I0
-2
-1
0 2 14
28 sin ( /a)
d
d
d
-2
-1
0 12 3 24 sin ( /a)
d
dd
d
例题2、用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光谱线 （=5900A）问：（1）光线垂直入射；（2）光线 以入射角30°入射时，最多能看到几级条纹？
X射线管
阴极
阳极 （对阴极）
10
4~10
5
V
+
X 射线衍射---劳厄实验
铅
X
屏
射
底
线
片
管
晶体
晶体可看作三维
劳
立体光栅。
厄 斑
根据劳厄斑点的分
点
布可算出晶面间距，掌
握晶体点阵结构。
布喇格父子对伦琴射线衍射的研究：
O. d A . φ. .B
C
d
晶格常数
(晶面间距)
掠射角
光程差 :
AC BC 2d sin
向上，求此光栅的光栅常数d。
解： d sin 1 k11 d sin 2 k22
sin 1 k11 2k1 sin 2 k22 3k2
两谱线重合，1
，所以
2
k1 k2
3 2
6 4
第二次重合k1=6,k2=4
d sin 600 61 d 3.05103 mm
例3、一束波长为 =5000Å的平行光垂直照射在一个
4. 光栅衍射是_干__涉___和__衍__射_的总效应. 光栅方程
(a b)sin k 为_明__纹条件;若 a b 6106m, a=210-6m ,
用λ=600nm的单色光垂直照射, 则最多能看到第__8____级 明纹, 共有___1_3____条明纹
5. 用波长为λ 平行单色光垂直照射在光栅常数 d=2.00×103nm 的光栅上，用焦距 f=0.500m 的透镜将 光聚在屏上 , 测得光栅衍射图像的第一级谱线与透镜 主焦点的距离L=0.1667m . 则可知该入射的光 波长 λ =_________nm .
干涉加强条件（布喇格公式）：
2d sin k k 0,1,2
布喇格公式
2d sin k k 0,1,2
符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后 将相互加强。
讨论： 1. 如果晶格常数已知，可以用来测定X射线的
波长，进行伦琴射线的光谱分析。 2. 如果X 射线的波长已知，可以用来测定晶体
的晶格常数，进行晶体的结构分析。
x2
f a
2.73 mm
例题2. 在复色光照射下的单缝衍射图样中,其中某一 波长的第3级明纹位置恰与波长λ=600nm的单色光的 第2级明纹位置重合,求这光波的波长.
分析: 设未知波长的第3级明纹与λ的第2级明纹在θ 方向重合,说明它们在该方向的光程差相等.
解: 设未知波长为λ0.由单缝衍射明纹条件:
例22.5 有一四缝光栅如图所示。缝宽为a ，光栅常数 d=2a。其中1缝总是开的，而2，3，4缝可以开也可以 关闭。波长为的单色平行光垂直入射光栅 。试画出下 列条件下，夫琅和费衍射的相对光强分布曲线 。I sin
I0
（1）关闭3，4缝；（2）关闭2，4缝；（3）4条缝全 开。
缝平面G
1
2d
k
2106 (sin 30 5900 1010
1)
5,
1
k (a b)(sin sin )
5, 1
光栅补充例题
例1、波长为6000Å的单色光垂直入射在一光栅上，
第二级明纹出现在sin2=0.2处，第4级为第一个缺级。
求(1)光栅上相邻两缝的距离是多少？(2)狭缝可能的 最小宽度是多少？ (3)按上述选定的a、b值，实际上 能观察到的全部明纹数是多少？
6.用每毫米有425条刻痕的平面光栅观察λ=589nm的 钠光谱,垂直入射时, 能看到的最高级谱线是第_______ 级. 若以 i=30o 斜入射时,能看到的最高级谱线是第 _________级, 原来的零级谱线处现在是第_________级。
例22.4 使单色平行光垂直入射到一个双缝上（可以把它 看成是只有两条缝的光栅），其夫琅和费衍射包线的中央 极大宽度内恰好有13条干涉明条纹，试问两缝中心的间隔 d与缝宽a应有何关系？
(b)从P处看，对该光波而言，狭缝处的波阵面可分
割成几个半波带？
(a) a sin (2k 1) 亮纹
2
sin tg x
f
ax 1 k 3
f 2
(b)当k=3时，光程差 a sin ( 2k 1 ) 7
22
狭缝处波阵面可分成7个半波带。
讨论：
1. 一束白光垂直照射在一光栅上 , 在形成的同一级光栅 光谱中, 偏离中央明纹最远的是___红__光______ .
解: (1) d sin k
d
k sin
6m
(2) 光栅第4级缺级，由缺级公式： k d k
可得： a d k 1.5k k
a k 1时, a最小
故： amin 1.5m b d amin 4.5m
(3) 由光栅方程：dsin =k k=0,±1, ±2, ±3 ···
当sin 1时，k kmax
2.光栅光谱中, 假如所有偶数级次的主极大都恰好在单 缝衍射的暗纹方向上, 因而实际上不出现, 那么此光栅每 个透光逢宽度a 和相邻两缝间不透光部分宽度 b 的关系 为___a_=_b_______.