2007高考考场的发挥,审题决定成功,细节决定成败

审题决定成功，细节决定成败高考考场的发挥，取决于四个方面：审题－分析－判断－计算（一）注意审题是在高考中取得最佳成绩的关键问题是数学的心脏.参加高考，就是要解答试卷中提出的各种问题。

什么是审题？审题在解题中占什么地位呢？在这里，向大家介绍卓越的数学教育家G ·波利亚的一项研究成果：他把自己几十年教学和科研的经验集中体现在一张“怎样解题表”中。

这张解题表是根据一般人们在解题过程中的心理活动特征和逻辑思维顺序出现的可能性，科学地列出来的。

全表共四部分，第一部分是“弄清问题”，第二部分是“拟定计划”，第三部分是“实现计划”，第四部分是“回顾”。

在第一部分和第二部分中，G ·波利亚都指出了“怎样审题”这样一个关键问题。

我们不妨摘录其中一部分。

“第一你必须弄清问题”∶“未知数是什么?已知数据是什么?条件是什么?满足条件是否可能?要确定未知数,……，画张图引入适当的符号。

把条件各部分分开，你能否把它们写出来？”进一步的审题是：“你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？”“你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？”“看着未知数！试想出一个具有相同的未知数或相似未知数的熟悉问题”， “这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。

”“你能不能从已知数导出某些有用的东西？”“你是否利用了所有已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要概念？”1． 审题的第一步 就是弄清问题的已知条件和未知条件【例1】（1998年，全国卷）如果()772210721x a x a x a a x ++++=- ，那么，721a a a +++ 的值等于（ ）.(A) – 2 (B) 1- (C) 0 (D) 2【例2】请看下面的一组题：弄清这一组题对于分清恒成立，能成立，恰成立等问题会有意义。

● (2005年，北京卷，理14)若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．● (2005年高考·湖北卷·理17文17)已知向量),,1(),1,(2t x x x -=+=若函数()b a x f ⋅=在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.● (2005年，湖南卷，理21)已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a . （Ⅰ）若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； ● (2000年,上海卷)(Ⅰ)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;(Ⅱ)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.● 已知函数()a x f x x 421++=.(Ⅰ)若此函数在(]1,∞-上有意义, ,试求a 的取值范围.(Ⅱ) 若此函数的定义域是(]1,∞-,试求a 的值.● 已知函数()()2lg xax a x f --=(Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围.(Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.● 已知两个函数x x x x g k x x x f 452)(168)(232++=-+=，，其中k 为实数. (Ⅰ)若对任意的[]33，-∈x ，都有)()(x g x f ≤成立，求k 的取值范围；(Ⅱ)若对任意的[]3321，、-∈x x ，都有)()(21x g x f ≤，求k 的取值范围. ● (2005年，全国卷Ⅲ,理22) 已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （Ⅰ）求)(x f 的单调区间和值域；（Ⅱ）设1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,若对于任意1x []1,0∈,总存在[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围.● 已知命题P ：对实数a ，不等式: 2540ax x -+>对所有实数x 都成立,命题Q ：a满足0342≤+-a a ，若命题“P 或Q ”为真，命题“P 且Q ”为假，求实数a 的取值范围.● 若不等式a x x <-++11的解集非空数集, 试求实数a 的取值范围;● 已知()02,2>>+-=a b c bx ax x f ,试问在区间[]1,1-上是否存在一个x ,使得()b x f ≥成立,请证明你结论.【例4】（2004年，重庆卷，文14）已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是_____________【例3】（2004年,天津卷，理20）已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.（1）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.【例4】（2004年，重庆卷，文14）已知曲线31433y x =+，则过点(2,4)P 的切线方程是_____________本题可以判断点(2,4)P 在曲线31433y x =+上，所以，大部分同学的解法是，由24x y ='=得切线方程为()442y x -=-，即440x y --=.但是,这个结果并不完整,这是因为题目并没有告诉点(2,4)P 是否为切点,而上面的解法是把点(2,4)P 当作切点求解的.其实, 点(2,4)P 也可能不是切点.正确的解法是:设切点为()00,x y ,则020x x y x ='=,切线方程为 ()2042y x x -=-. 因为()00,x y 在切线上,则()200042y x x -=-,从而有 332000144233x x x +-=-, 解得 002,1x x ==-,于是, 过点(2,4)P 的切线方程为440x y --=和20x y -+=.2．审题的第二步就是注意题目的隐含条件【例5】（(1999年，全国卷)给出定点)0)(0,(>a a A 和直线1:-=x l ,B 是直线l上的动点,BOA ∠的角平分线交AB 于点C ,求点C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.解本题时,首先设点()y x C ,,再利用角平分线的性质,或者三角形内角平分线的性质等都可以得到xy bx by 222=-,但是根据题目的要求,求解的结果应是关于y x a ,,的方程,许多考生解到这里就解不下去了,是什么原因呢?就是因为忽略了一个审题的细节:C B A ,,三点共线,注意到这个隐含条件,利用C 在直线AB 上,或利用AC 与AB 的斜率相等,就可以得出()y ax a b -+-=1,将这个式子代入①式就可以得到方程()()[],012122=++--y a ax x a y 下面只剩下对方程②的讨论了.本题的第(Ⅰ)问比较简单,可以求出:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a P ab 2,2.,2,第(Ⅱ)问也可得出()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅-⋅=⋅=422412222121a a b a y AB a S P , 再往下做下去,就要求函数的值域,这需要定义域,如何求a 的范围呢?许多考生不知所措,找不到头绪,其实,审题时对于一个重要的隐含条件熟视无睹了,这就是0>>b a ,再结合(Ⅰ)的结果2=ab 就可以得到函数()a S 的定义域{}2>a a ,下面的解题过程就不困难了.3．审题的第三步就是弄清已知条件之间的相互关系以及已知条件与所求目标之间的相互联系【例7】（2004年，天津卷，理22）椭圆的中心是原点O,它的短轴长为22，相应于焦点)0)(0,(>c c 的准线l 与x 轴相交于点A ，FA OF 2=，过点A 的直线与椭圆相交于Q P ,两点.（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅→→OQ OP ，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）设→→=AQ AP λ)1(>λ，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明→→-=FQ FM λ.首先研究已知条件之间的联系，由已知可得椭圆的方程为12222=+y ax ，准线l 的方程为c a x 2=，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-===-c c a c b c a 22222,2，从而可以求出椭圆的方程及离心率，解决了第（Ⅰ）问。

至于第（Ⅱ）问，增加了一个已知条件：0=⋅→→OQ OP ，这一条件等价于02121=+y y x x ，于是可以利用韦达定理求解，进一步求出直线PQ 的方程。

第（Ⅲ）问则是对审题的一个考验。

这里有两点：第一，0=⋅→→OQ OP 是不是第（Ⅲ）问的条件？有的考生就误认为它是第（Ⅲ）问的条件，结果越作越错，其实，0=⋅→→OQ OP 只是第（Ⅱ）问的条件，而不是第（Ⅲ）问的条件；第二，如何理解→→=AQ AP λ和→→-=FQ FM λ，这两个式子有两层含意：（1）Q P A ,,三点共线，Q M F ,,三点共线，（2）的长度之比等于λ的长度之比等于λ。

有了这样的理解，第（Ⅲ）问就不难解决了。

【例8】 (2005年，湖北卷，理22)已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n （Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b b a n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n >时，对任意b >0，都有.51<n a 要证明（Ⅰ） ,5,4,3,][log 222=+<n n b b a n ,就要关注求证与已知的关系,注意到,求证中[]2log n 出现在分母上,而已知中[]2log n 并不在分母上,就会启发我们.把已知中的11n n n na a n a --≤+,用倒数来表示,即化为 111111,n n n n n a a na a n ---+≥=+即,1111na a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得 .13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- 21222[log ]1112,[log ]. .222[log ]n n b n b a b n a a b b b n +=∴>+=∴<+ 要证明（Ⅰ） ,5,4,3,][log 222=+<n n b b a n ,就要关注求证与已知的关系,注意到,求证中[]2log n 出现在分母上,而已知中[]2log n 并不在分母上,就会启发我们.把已知中的11n n n na a n a --≤+,用倒数来表示,即化为 111111,n n n n n a a na a n ---+≥=+ 即,1111na a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得 .13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- 21222[log ]1112,[log ]..222[log ]n n b n b a b n a a b b b n +=∴>+=∴<+ 4．审题的第四步就是思考所求解的题目与以前曾经做过的哪个题目相类似,即这个题目是否好像见过面?【例9】（2004年，湖南卷）设)(),(x g x f 分别是定义在R 上奇函数和偶函数，当0<x 时，0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)3(=-g ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是（ ）：（A ）),3()0,3(+∞- （B ））3,0()0,3( -（C ）),3()3,(+∞-∞ （D ）)3,0()3,( --∞由)(),(x g x f 一为R 上奇函数，一为R 上偶函数，得到)()()(x g x f x F =为奇函数，而0'))'()(()(')()()('>==+）（x F x g x f x g x f x g x f ，则)(x F 在0<x 时为增函数，经过这一分析，再想，是否见过类似的题目呢？回答是，见过。