2011天津市l理工高等数学竞赛真题答案

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2011年天津理

2011年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1. 是虚数单位，复数 ______A. B. C. D.2. 设，则＂且＂是＂＂的______A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为______A. B. C. D.4. 已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，，则的值为______A. B. C. D.5. 在的二项展开式中，的系数为______A. B. C. D.6. 如图所示，在中，是边上的点，且，，，则的值为______A. B. C. D.7. 已知，，，则______A. B. C. D.8. 对实数与，定义运算“ ”：设函数．若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是______A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 一支田径队有男运动员人，女运动员人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为的样本，则抽取男运动员的人数为______．10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：），则这个几何体的体积为______ ．11. 已知抛物线的参数方程为（为参数），若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与圆相切，则 ______．12. 如图，已知圆中两条弦与相交于点，是延长线上一点，且，．若与圆相切，则的长为______．13. 已知集合，，则集合______．14. 已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求的定义域与最小正周期；（2）设，若，求的大小．16. 学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有个白球、个黑球，乙箱子里装有个白球、个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，若摸出的白球不少于个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（1）求在一次游戏中，①摸出个白球的概率；②获奖的概率；（2）求在两次中获奖次数的分布列及数学期望．17. 如图，在三棱柱中，是正方形的中心，，平面，且．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值；（3）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的长．18. 在平面直角坐标系中，点为动点，，分别为椭圆的左右焦点．已知为等腰三角形．（1）求椭圆的离心率；（2）设直线与椭圆相交于，两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．19. 已知，函数，．（的图象连续不断）（1）求的单调区间；（2）当时，证明：存在，使；（3）若存在均属于区间的，，且，使，证明：．20. 已知数列与满足：，，，且，．（1）求，，的值；（2）设，，证明：是等比数列；（3）设，，证明：．答案第一部分1. A2. A3. B4. D5. C6. D7. C8. B第二部分9.10.11.12.13.14.第三部分15. （1）由，，得所以的定义域为，的最小正周期为．（2）由，得，整理得因为，所以因此即由，得，所以，即16. （1）①设“在次游戏中摸出个白球”为事件，则②设“在次游戏中获奖”为事件，则，又且，互斥，所以（2）由题意可知的所有可能取值为，，．所以的分布列是的数学期望17. （1）方法一：由于，故是异面直线与所成的角．因为平面，又为正方形的中心，，．可得 \（\[ A_1 C_1 = B_1 C_1 = 3. \]\） 因此 \（\[ \cos \angle C_1 A_1 B_1 = \frac{A_1 C_1^2 + A_1 B_1^2 - B_1 C_1^2 }{2A_1 C_1 \cdot A_1 B_1 } = \frac{\sqrt 2 }{3}. \]\） 所以异面直线与所成角的余弦值为．方法二：如图所示，建立空间直角坐标系，点为坐标原点．，，，，．易得 \（\[\begin{split}\overrightarrow {AC} & = \left（ - \sqrt 2 ， - \sqrt 2 ，\sqrt 5 \right）， \\\overrightarrow {A_1 B_1 } & = \left（ - 2\sqrt 2 ，0，0\right），\end{split}\]\） 于是 \（\[\begin{split}\cos \left\langle {\overrightarrow {AC} ，\overrightarrow {A _1 B_1 } } \right\rangle & =\frac{{\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {A_1 B_1 } }}{{ \left|\overrightarrow {AC} \right| \cdot \left|\overrightarrow {A_1 B_1 } \right|}} \\& = \frac{4}{3 \times 2\sqrt 2 } \\& = \frac{\sqrt 2 }{3}，\end{split}\]\） 所以异面直线与所成角的余弦值为．（2）方法一：连接，，又由于，，所以，过点作于点，连接，于是，故为二面角 ——的平面角．在中， \（\[ \begin{split}B_1 R & = A_1 B_1 \cdot \sin \angle RA_1 B_1 \\& = 2\sqrt 2\cdot \sqrt {1 - \left（\frac{\sqrt 2 }{3}\right）^2 } \\& = \frac{{2\sqrt {14} }}{3}. \end{split}\]\） 连接，在中，，， \（\[ \begin{split} \cos \angle ARB_1 & = \frac{AR^2 + B_1 R^2 - AB_1^2 }{2AR \cdot B_1 R} \\& = - \frac{2}{7}， \end{split}\]\） 从而 \（\[ \sin \angle ARB_1 = \frac{3\sqrt 5 }{7}. \]\） 所以二面角 ——的正弦值为．方法二：易知 \（\[ \begin{split}\overrightarrow {AA_1 } & = \left（0，2\sqrt 2 ，0\right）， \\ \overrightarrow {A_1 C_1 } & = \left（ - \sqrt 2 ， - \sqrt 2 ，\sqrt 5 \right）. \end{split} \]\） 设平面的法向量，则 \（\[ \begin{cases} \overrightarrow m \cdot \overrightarrow {A_1 C_1 } = 0 ， \\ \overrightarrow m \cdot \overrightarrow {AA_1 } = 0，\\ \end{cases}\]\） 即 \（\[ \begin{cases}- \sqrt 2 x_1 - \sqrt 2 y_1 + \sqrt 5 z_1 = 0， \\2\sqrt 2 y_1 = 0. \\\end{cases}\]\） 不妨令，可得 \（\[ \overrightarrow m = \left（\sqrt 5 ，0，\sqrt 2\right）， \]\） 同样地，设平面的法向量，则 \（\[\begin{cases}\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A_1 C_1 } = 0， \\\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {A_1 B_1 } = 0. \\\end{cases} \]\） 即 \（\[ \begin{cases}- \sqrt 2 x_2 - \sqrt 2 y_2 + \sqrt 5 z_2 = 0， \\- 2\sqrt 2 x_2 = 0. \\\end{cases} \]\） 不妨令，可得 \（\[\overrightarrow n = \left（0，\sqrt 5 ，\sqrt 2\right）. \]\） 于是 \（\[\cos \left\langle {\overrightarrow m，\overrightarrow n} \right\rangle =\frac{\overrightarrow m \cdot \overrightarrow n}{ \left|\overrightarrow m \right| \cdot \left|\overrightarrow n \right|} = \frac{2}{\sqrt 7 \cdot \sqrt 7 } = \frac{2}{7}，\]\） 从而 \（\[\sin \left\langle {\overrightarrow m，\overrightarrow n} \right\rangle =\frac{3\sqrt 5 }{7}.\]\） 所以二面角 ——的正弦值为．（3）方法一：因为平面，所以．取中点，连接，由于是棱中点，所以且 \（\[ ND = \frac{1}{2}C_1 H = \frac{\sqrt 5 }{2}. \]\） 又平面，所以平面，故．又，所以平面，连接并延长交于点，则由 \（\[ \frac{DE}{AA_1 } = \frac{B_1 E}{B_1 A_1 } = \frac{B_1 D}{B_1 A} = \frac{1}{4}， \]\） 得 \（\[ DE = B_1 E = \frac{\sqrt 2 }{2}， \]\） 延长交于点，可得 \（\[ BF = B_1 E = \frac{\sqrt 2 }{2}. \]\） 连接，在中，所以 \（\[ DM = \frac{ND^2 }{DE} =\frac{5\sqrt 2 }{4}. \]\） 可得 \（\[ FM = \frac{\sqrt 2 }{4}. \]\） 连接，在中， \（\[ BM = \sqrt {FM^2 + BF^2 } = \frac{{\sqrt {10} }}{4}. \]\） 方法二：由为棱的中点，得．设，则 \（\[ \overrightarrow {MN} = \left（\frac{\sqrt 2 }{2} - a，\frac{3\sqrt 2 }{2} - b，\frac{\sqrt 5 }{2}\right） .\]\） 由平面，得 \（\[\begin{cases} \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {A_1 B_1 } = 0， \\ \overrightarrow {MN}\cdot \overrightarrow {A_1 C_1 } = 0.\end{cases} \]\） 即 \（\[\begin{cases} \left（\dfrac{\sqrt 2 }{2} - a\right） \cdot \left（ - 2\sqrt 2 \right） = 0，\\ \left（\dfrac{\sqrt 2 }{2} - a\right） \cdot \left（ - \sqrt 2\right） + \left（\dfrac{3\sqrt 2 }{2} - b\right） \cdot \left（ - \sqrt 2 \right） + \dfrac{\sqrt 5 }{2} \cdot \sqrt5 = 0. \end{cases}\]\） 解得 \（\[\begin{cases} a = \dfrac{\sqrt 2 }{2}， \\ b = \dfrac{\sqrt 2 }{4}.\end{cases}\]\） 故，因此 \（\[\overrightarrow {BM} = \left（\frac{\sqrt 2 } {2}，\frac{\sqrt 2 }{4}，0\right），\]\） 所以线段的长为 \（\[ \left|\overrightarrow {BM} \right| = \frac{{\sqrt {10} }}{4}. \]\） 18. （1）设，，由题意，可得 \（\[ |PF_2 | = |F_1 F_2 |， \]\） 即 \（\[ \sqrt {\left（a - c\right）^2 + b^2 } = 2c. \]\） 整理得 \（\[ 2\left（\frac{c}{a}\right）^2 +\frac{c}{a} - 1 = 0，\]\） 即 \（\[\frac{c}{a} = - 1\left（舍\right），或\ \frac{c}{a} =\frac{1}{2}.\]\） 所以 \（\[ e = \frac{1}{2}. \]\） （2）由（1）知 \（\[ a = 2c，b = \sqrt 3 c， \]\） 可得椭圆方程为 \（\[ 3x^2 + 4y^2 =12c^2 ， \]\） 直线方程为 \（\[ y = \sqrt 3 \left（x - c\right）. \]\） 两点的坐标满足方程组 \（\[\begin{cases} 3x^2 + 4y^2 = 12c^2 ， \\ y = \sqrt 3 \left（x - c\right）. \end{cases}\]\） 消去并整理，得 \（\[ 5x^2 - 8cx = 0. \]\） 解得 \（\[ x _1 = 0，x_2 = \frac{8}{5}c. \]\） 得方程组的解 \（\[ \begin{cases} x_1 = 0， \\ y_1 = - \sqrt 3 c， \end{cases} \begin{cases} x_2 =\dfrac{8}{5}c， \\y_2 = \dfrac{3\sqrt 3 }{5}c. \end{cases}\]\） 不妨设，，设点的坐标为， \（\[\begin{split}\overrightarrow {AM} & = \left（x - \frac{8}{5}c，y - \frac{3\sqrt3 }{5}c\right）， \\ \overrightarrow {BM} & = \left（x，y + \sqrt 3 c\right），\end{split}\]\） 由，得 \（\[ c = x - \frac{\sqrt 3 }{3}y. \]\） 于是 \（\[\begin{split}\overrightarrow {AM} & = \left（\frac{8\sqrt 3 }{15}y - \frac{3}{5}x，\frac{8}{5}y - \frac{3\sqrt 3 }{5}x\right）， \\ \overrightarrow {BM} & = \left（x，\sqrt 3x\right）.\end{split}\]\） 由，即 \（\[\left（\frac{8\sqrt 3 }{15}y -\frac{3}{5}x\right） \cdot x + \left（\dfrac{8}{5}y - \dfrac{3\sqrt 3 }{5}x\right） \cdot \sqrt 3 x = - 2，\]\） 化简得 \（\[18x^2 - 16\sqrt 3 xy - 15 = 0.\]\） 将代入，得 \（\[ c = \frac{10x^2 + 5}{16x} > 0. \]\） 所以．因此，点的轨迹方程是 \（\[ 18x^2 - 16\sqrt 3xy - 15 = 0\left（x > 0\right）. \]\） 19. （1） \（\[ f'\left（x\right） = \frac{1}{x} - 2ax = \frac{1 - 2ax^2 }{x}，x \in \left（0， + \infty\right）， \]\） 令，解得 \（\[x = \frac{{\sqrt {2a} }}{2a}.\]\） 当变化时，的变化情况如下表： \（\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hlinex & \left（0，\frac{{\sqrt {2a} }}{2a}\right） & \frac{{\sqrt {2a} }}{2a} & \left（\frac{{\sqrt {2a} }}{2a}，+ \infty \right） \\ \hlinef'\left（x\right） & + & 0 & - \\ \hlinef\left（x\right） & ↗ & 极大值 & ↘ \\ \hline\end{array}\]\） 所以，的单调递增区间是，的单调递减区间是．（2）当时， \（\[ f\left（x\right） = \ln x - \frac{1}{8}x^2 . \]\） 由（1）知在内单调递增，在内单调递减．令．由于在内单调递增，故 \（\[ f\left（2\right） > f\left（\frac{3} {2}\right）， \]\） 即 \（\[ g\left（2\right） > 0. \]\） 取，则 \（\[ g\left（x'\right） = \frac{{41 - 9{\mathrm{e}}^2 }}{32} < 0. \]\） 所以存在，使，即存在，使．（3）由及（1）的结论知 \（\[ \alpha < \frac{{\sqrt {2a} }}{2a} < \beta， \]\） 从而在上的最小值为．又由，，知 \（\[ 1 \leqslant \alpha \leqslant 2 \leqslant \beta \leqslant 3. \]\） 故 \（\[ \begin{cases}f\left（2\right） \geqslant f\left（\alpha \right） \geqslant f\left（1\right）， \\f\left（2\right） \geqslant f\left（\beta \right） \geqslant f\left（3\right）.\end{cases}\]\） 即 \（\[\begin{cases}\ln 2 - 4a \geqslant - a， \\\ln 2 - 4a \geqslant \ln 3 - 9a.\end{cases} \]\） 从而 \（\[ \frac{\ln 3 - \ln 2}{5} \leqslant a \leqslant \frac{\ln 2}{3}. \]\） 20. （1）由，可得 \（\[b_n = \begin{cases}1，\ n 为奇数， \\2，\ n 为偶数. \\\end{cases} \]\） 又，当时， \（\[ a_1 + a_2 + 2a_3 = 0， \]\） 由，，可得 \（\[ a_3 = - 3； \]\） 当时， \（\[ 2a_2 + a_3 + a_4 = 0， \]\） 可得 \（\[ a_4 = - 5； \]\） 当时， \（\[ a_3 + a_4 + 2a_5 = 0 ，\]\） 可得 \（\[ a_5 = 4. \]\） （2）对任意， \（\[\begin{split}a_{2n - 1} + a_{2n} + 2a_{2n + 1} = 0， &\quad \cdots\cdots ① \\2a_{2n} + a_{2n + 1} + a_{2n + 2} = 0， &\quad \cdots \cdots ② \\a_{2n + 1} + a_{2n + 2} + 2a_{2n + 3} = 0，&\quad \cdots \cdots ③\end{split}\]\） ②③，得 \（\[ a_{2n} = a_{2n + 3} . \quad \cdots \cdots ④ \]\） 将④代入①，可得 \（\[ a_{2n + 1} + a_{2n + 3} = - \left（a_{2n - 1} + a_{2n + 1} \right），\]\） 即 \（\[ c_{n + 1} = - c_n \left（n \in{\mathbf{N}}^* \right） .\]\） 又，故，因此 \（\[ \frac{{c_{n +1} }}{c_n } = - 1， \]\） 所以是等比数列．（3）由（2）可得 \（\[ a_{2k - 1} + a_{2k + 1} = \left（ - 1\right）^k ， \]\） 于是，对任意且，有 \（\[\begin{split}a_1 + a_3 = - 1， \\- \left（a_3 + a_5 \right） = - 1， \\a_5 + a_7 = - 1， \\\vdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\left（ - 1\right）^k \left（a_{2k - 3} + a_{2k - 1} \right） = - 1. \\\end{split} \]\） 将以上各式相加，得 \（\[ a_1 + \left（ - 1\right）^k a_{2k - 1} = - \left（k -1\right）， \]\） 即 \（\[ a_{2k - 1} = \left（ - 1\right）^{k + 1} \left（k + 1\right）， \]\） 此式当时也成立．由④式得 \（\[ a_{2k} = \left（ - 1\right）^{k + 1} \left（k + 3\right）. \]\） 从而 \（\[ \begin{split}S_{2k} & = \left（a_2 + a_4 \right） + \left（a_6 + a_8 \right） + \cdots + \left （a_{4k - 2} + a_{4k} \right） = - k，\\S_{2k - 1} &= S_{2k} - a_{4k} = k + 3.\end{split} \]\） 所以，对任意，， \（\[\begin{split} \sum\limits_{k = 1}^{4n} \frac{S_k }{a_k } & = \sum\limits_{m = 1}^n {\left（\frac{{S_{4m - 3} }}{{a_{4m - 3} }} + \frac{{S_{4m -2} }}{{a_{4m - 2} }} + \frac{{S_{4m - 1} }}{{a_{4m - 1} }} + \frac{{S_{4m} }}{{a_{4m} }}\right）} \\&= \sum\limits_{m = 1}^n {\left（\frac{2m + 2}{2m} - \frac{2m - 1}{2m + 2} - \frac{2m + 3}{2m + 1} +\frac{2m}{2m + 3}\right）} \\&= \sum\limits_{m = 1}^n {\left（\frac{2}{2m\left（2m + 1\right）} + \frac{3}{\left（2m + 2\right）\left （2m + 3\right）}\right）} \\&= \frac{2}{2 \times 3} + \sum\limits_{m = 2}^n {\frac{5}{2m\left（2m + 1\right）} + \frac{3}{\left（2n + 2\right）\left（2n + 3\right）}} \\&< \frac{1}{3} + \sum\limits_{m = 2}^n {\frac{5}{\left（2m - 1\right）\left（2m + 1\right）} + \frac{3}{\left （2n + 2\right）\left（2n + 3\right）}} \\&= \frac{1}{3} + \frac{5}{2} \cdot \left[\left（\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right） + \left（\frac{1}{5} -\frac{1}{7}\right） + \cdots + \left（\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right）\right] + \frac{3}{\left（2n + 2\right）\left（2n + 3\right）}\\& = \frac{1}{3} + \frac{5}{6} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2n + 1} + \frac{3}{\left（2n + 2\right）\left （2n + 3\right）}\\& < \frac{7}{6}. \end{split}\]\） 对于，不等式显然成立．。

天津市历届大学生数学竞赛试题

2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横杠上面。

）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。

2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。

3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。

4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。

5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在；（B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在；（D ） A 、B 、C 均不正确。

2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小；（B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小；（D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。

3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导；（B ）可导，且a f =')1(；（C ）可导，且b f =')1(；（D ）可导，且ab f =')1(。

2011年天津市高考数学试卷(理科)答案与解析

2011 年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分） 1．（ 5 分）（ 2011?天津） i 是虚数单位，复数 =（）A ． 2+iB ． 2﹣ iC ．﹣ 1+2iD ．﹣ 1﹣ 2i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】要求两个复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母上进行复数的乘法运算，最后结果要化简成最简形式．【解答】解：复数 = ==2 ﹣ i故选 B ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是一个基础题，这种题目运算量不大，解题应用的原理也比较简单，是一个送分题目．2 2）2．（ 5 分）（ 2011?天津）设 x ， y ∈R ，则 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x +y ≥4”的（ A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．2222【分析】由“x ≥2 且 y ≥2”推出 “x +y ≥4”可证明充分性；由满足 “x +y ≥4”可举出反例推翻 “x ≥2且 y ≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．2 2【解答】解：若 x ≥2 且 y ≥2，则 x ≥4， y ≥4，所以若 x 2 +y 2≥4，则如（﹣ 2，﹣ 2）满足条件，但不满足所以 “x ≥2 且 y ≥2”是 “x 22+y ≥4”的充分而不必要条件．故选 A ．【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．2 2 2 2≥4；x +y ≥8，即 x +yx ≥2 且 y ≥2．3．（ 5 分）（ 2011?天津）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】通过程序框图的要求，写出前四次循环的结果得到输出的值．【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到 i=1 ， a=2；经第二次循环得到 i=2 ， a=5；经第三次循环得到 i=3 ， a=16；经第四次循环得到 i=4 ， a=65 满足判断框的条件，执行是，输出4故选 B【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环结果，找规律．4．（ 5 分）（ 2011?天津）已知 n7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，S n 为 {a n } 的前 n 项和， n ∈N *，则 S 10 的值为（）A ．﹣ 110B ．﹣ 90C ．90D ．110【考点】等差数列的前 n 项和；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】通过 a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，求出【解答】解： a 7 是 a 3 与 a 9 的等比中项，公差为﹣ 2，所以 a 72=a 3?a 9， ∵{a n } 公差为﹣ 2，∴a 3=a 7﹣ 4d=a 7+8， a 9=a 7+2d=a 7﹣4，2所以 a 7 =（ a 7+8）（ a 7﹣ 4），所以 a 7=8，所以 a 1=20，所以 S 10= =110故选 D【点评】本题是基础题，考查等差数列的前n 项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．5．（ 5 分）（ 2011?天津）在的二项展开式中， x2的系数为（）A ．B ．C ．D ．【考点】二项式定理．【专题】二项式定理．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令 x 的指数为 2，求出展开式中，x 2的系数，即得答案．r 2r ﹣6 r 3﹣ r【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣ 1） 2 C 6 x令 3﹣ r=2 得 r=1所以项展开式中， x 2的系数为﹣故选 C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6．（5 分）（ 2011?天津）如图，在△ABC 中， D 是边 AC 上的点，且AB=AD ，2AB=BD ，BC=2BD ，则 sinC 的值为（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【专题】解三角形．【分析】根据题中条件，在△ABD 中先由余弦定理求出 cosA ，利用同角关系可求 sinA ，利用正弦定理可求 sin∠ BDC ，然后在△ BDC 中利用正弦定理求解 sinC 即可【解答】解：设 AB=x ，由题意可得AD=x ， BD=△ABD 中，由余弦定理可得∴s inA=△ABD 中，由正弦定理可得? sin∠ ADB=∴△BDC 中，由正弦定理可得故选： D．【点评】本题主要考查了在三角形中，综合运用正弦定理、余弦定理、同角基本关系式等知识解三角形的问题，反复运用正弦定理、余弦定理，要求考生熟练掌握基本知识，并能灵活选择基本工具解决问题．7．（ 5 分）（ 2011?天津）已知，则（）A ． a＞ b＞ cB ．b＞ a＞ c C． a＞ c＞b D ．c＞ a＞ b【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】比较大小的方法：找 1 或者 0 做中介判断大小， log 43.6＜ 1，log 23.4＞ 1，利用分数指数幂的运算法则和对数的运算法则对 c 进行化简，得到＞ 1＞b ，再借助于中间值 log 2 进行比较大小，从而得到结果．，【解答】解：∵ log 23.4＞1， log 43.6＜ 1，又 y=5 x是增函数，∴a ＞ b ，＞= =b而 log 23.4＞ log 2 ＞ log 3 ，∴a ＞ c故 a ＞ c ＞ b ．故选 C ．【点评】此题是个中档题．本题考查对数函数单调性、指数函数的单调性及比较大小，以及中介值法，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．8．（ 5 分）（ 2011?天津）对实数 a 与 b ，定义新运算“? ”：．设函数 f（x ）=（x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2），x ∈R ．若函数 y=f （x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．f （ x ） =（ x 2﹣2） ? （x ﹣ x 2）的解析式，并求出 f【分析】根据定义的运算法则化简函数（x ）的取值范围，函数 y=f （ x ）﹣ c 的图象与 x 轴恰有两个公共点转化为 y=f （ x ），y=c 图象的交点问题，结合图象求得实数 c 的取值范围．【解答】解：∵，∴函数 f （ x ）=（ x 2﹣ 2）? （ x ﹣ x 2） =，由图可知，当 c ∈∴c 的取值范围是，故选 B ．【点评】本题考查二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想．属于基础题．二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9．（ 5 分）（2011?天津）一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为12 ．【考点】分层抽样方法．【专题】概率与统计．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员 48 人，女运动员36 人，∴这支田径队共有48+36=84 人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员 48 人，∴男运动员要抽取48× =12 人，故答案为： 12．【点评】本题考查分层抽样，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解决这种问题的依据，本题是一个基础题．10．（ 5 分）（ 2011?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则这个几何体的体积为 6+π m 3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由已知中的三视图，我们易判断已知中几何体的形状，然后根据已知的三视图分析出几何体的相关几何量，代入体积公式，即可求出该几何体的体积．【解答】解：由已知可得已知的几何体是一个圆锥和长方体的组合体其中上部的圆锥的底面直径为2，高为 3，下部的长方体长、宽高分别为：2，3，1则 V 圆锥 =?π?3= πV 长方体 =1 ×2×3=6则 V=6+ π故答案为： 6+π【点评】本题考查的知识是由三视图求体积，其中根据已知中的三视图分析几何体的形状是解答本题的关键．11．（5 分）（ 2011?天津）已知抛物线C 的参数方程为（ t 为参数），若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（222（ r＞ 0）相切，则 r=．x﹣ 4）+y =r【考点】直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质；直线的参数方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．【分析】由抛物线 C 的参数方程为我们易求出抛物线的标准方程，进而根据斜率222为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆（ x﹣ 4）+y =r （ r＞0）相切，我们根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，解方程即可得到答案．【解答】解：∵抛物线 C 的参数方程为2则抛物线的标准方程为：y =8x则抛物线 C 的焦点的坐标为（2， 0）又∵斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点则直线的方程为y=x﹣ 2，即经 x﹣ y﹣2=02 2 2由直线与圆（ x﹣ 4） +y =r ，则r==故答案为：【点评】本题考查的知识点是直线与的圆位置关系，抛物线的简单性质及抛物线的参数方程，其中根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程后，代入点到直线距离公式，构造关于 r 的方程，是解答本题的关键．12．（ 5 分）（ 2011?天津）如图，已知圆中两条弦AB 与 CD 相交于点F，E 是 AB 延长线上一点，且DF=CF=，AF：FB：BE=4：2：1．若CE与圆相切，则CE 的长为．【考点】圆的切线方程．【专题】直线与圆．【分析】设出 AF=4k ， BF=2k ， BE=k ，由 DF ?FC=AF ?BF 求出 k 的值，利用切割定理求出CE．【解答】解：设 AF=4k ，BF=2k ， BE=k ，由 DF?FC=AF ?BF，得 2=8k 2，即 k=，∴AF=2 ， BF=1 ， BE= ， AE=，2= ，由切割定理得 CE =BE ?EA=∴CE=．【点评】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，基本知识掌握的情况，常考题型．13．（ 5 分）（ 2011?天津）已知集合A={x ∈R||x+3|+|x ﹣ 4|≤9} ，B=，则集合 A ∩B= {x| ﹣ 2≤x≤5}．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出集合 A ，求出集合B，然后利用集合的运算法则求出 A ∩B ．【解答】解：集合 A={x ∈R||x+3|+|x ﹣4|≤9} ，所以 A={x| ﹣4≤x≤5} ；集合，，当且仅当t=时取等号，所以B={x|x ≥﹣ 2} ，所以 A ∩B={x| ﹣ 4≤x≤5} ∩{x|x ≥﹣ 2}={x| ﹣ 2≤x≤5} ，故答案为： {x| ﹣ 2≤x≤5} ．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，注意求出绝对值不等式的解集，基本不等式求出函数的值域，是本题解题是关键，考查计算能力．14．（ 5 分）（ 2011?天津）已知直角梯形ABCD 中， AD ∥ BC，∠ ADC=90 °，AD=2 ，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，则的最小值为5．【考点】向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则 A （ 2，0），B（ 1，a），C（ 0， a）， D（0， 0），设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．【解答】解：如图，以直线DA ， DC 分别为 x， y 轴建立平面直角坐标系，则A （ 2， 0）， B（ 1，a）， C（ 0， a）， D（ 0，0）设 P（ 0， b）（ 0≤b≤a）则=（2，﹣ b），=（ 1， a﹣ b），∴=（ 5，3a﹣ 4b）∴=≥5．故答案为5．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共 6 小题，满分80 分）15．（ 13 分）（ 2011?天津）已知函数f（ x） =tan（ 2x+），（1）求 f（ x）的定义域与最小正周期；（2）设α∈（ 0，），若f（）=2cos2α，求α的大小．【考点】正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．【解答】解：（Ⅰ）由 2x+≠+k π， k∈Z．所以 x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为： f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得 tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（ 0，），所以sinα+cosα≠0 因此（ cosα﹣ sinα）2 =即 sin2α= 因为α∈（ 0，），所以α=【点评】本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．16．（ 13 分）（ 2011?天津）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在 1 次游戏中，（i ）摸出 3个白球的概率；（ii）获奖的概率；（Ⅱ）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E（ X ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】概率与统计．【分析】（ I ）（ i ）甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、 2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出22 2 个球，事件数是 C5 C3，摸出 3 个白球事件数为211（ ii ）获奖包含摸出 2 个白球和摸出 3 个C3 C2 C2；由古典概型公式，代入数据得到结果，白球，且它们互斥，根据（i）求出摸出 2 个白球的概率，再相加即可求得结果，注意运算要正确，因为第二问要用本问的结果．（II）连在 2次游戏中获奖次数 X 的取值是0、 1、 2，根据上面的结果，代入公式得到结果，写出分布列，求出数学期望．【解答】解：（Ⅰ）（ i）设“在一次游戏中摸出i 个白球”为事件 A i（ i= ， 0，1， 2， 3），则P（A 3）=，（ii ）设“在一次游戏中获奖”为事件 B，则 B=A 2∪A 3，又P（A 2）=，且 A 2、A 3互斥，所以 P（ B ）=P（ A 2） +P（ A3）=；（Ⅱ）由题意可知X 的所有可能取值为 0， 1， 2．P（ X=0 ） =（ 1﹣）2=，1（1﹣） = ，P（ X=1 ） =C2P（ X=2 ） =（2，） =所以 X 的分布列是X012pX 的数学期望 E（ X ） =0×．【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．17．（ 13 分）（ 2011?天津）如图所示，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， H 是正方形 AA 1B1B 的中心， AA 1=21111．， C H⊥平面 AA B B，且 C H=（1）求异面直线 AC 与 A 1 B1所成角的余弦值；（2）求二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B1的正弦值；（3）设 N 为棱 B 1C1的中点，点 M 在平面 AA 1B 1B 内，且 MN ⊥平面 A 1B1C1，求线段 BM 的长．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何．【分析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．（Ⅰ）求出中的有关向量，然后求出异面直线AC 与 A1B1所成角的余弦值；（Ⅱ）利用求出平面AA 1C1的法向量，通过求出平面 A 1B1C1的法向量，然后利用求二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值；（Ⅲ）设 N 为棱 B 1C1的中点，设 M（ a，b，0），利用 MN ⊥平面 A 1B1C1，结合求出 a， b，然后求线段 BM 的长．方法二：（ I ）说明∠ C1A 1B1是异面直线 AC 与 A 1B1所成的角，通过解三角形C1A 1B1，利用余弦定理，．求出异面直线 AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）连接 AC 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B1R，说明∠ ARB 1为二面角 A ﹣A 1C1﹣B 1的平面角．连接 AB 1，在△ARB 1中，通过，求出二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（III ）首先说明MN ⊥ A1B 1．取 HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，推出ND ⊥ A 1B1．证明 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，延长 EM 交 AB 于点F，连接 NE．连接 BM ，在 Rt △ BFM 中，求出．【解答】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点．依题意得（I ）解：易得，于是，所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（II ）解：易知．设平面 AA 1C1的法向量 =（ x， y， z），则即不妨令，可得，同样地，设平面A1B 1C1的法向量 =（ x， y，z），则即不妨令，可得．于是，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B 的正弦值为．（III ）解：由 N 为棱 B1C1的中点，得．设 M （ a， b， 0），则由MN ⊥平面 A 1B1C1，得即解得故．因此，所以线段BM 的长为．方法二：（I）解：由于AC ∥ A1C1，故∠ C1A 1B1是异面直线AC 与 A 1B 1所成的角．因为 C1H⊥平面 AA 1B1B ，又 H 为正方形 AA 1B 1B 的中心，，可得 A 1C1=B 1C1=3 ．因此．所以异面直线AC 与 A 1B1所成角的余弦值为．（I I ）解：连接 AC 1，易知 AC 1=B1C1，又由于 AA 1=B 1A 1， A 1C1=A 1C1，所以△ AC 1A 1≌△ B1C1A 1，过点 A 作 AR ⊥ A 1C1于点 R，连接 B 1R，于是 B1R⊥ A1C1，故∠ ARB 1为二面角 A ﹣ A 1C1﹣ B 1的平面角．在 Rt△ A 1RB 1中，．连接 AB 1，在△ARB 1中，=，从而．所以二面角 A ﹣A 1C1﹣ B1的正弦值为．（I II ）解：因为 MN ⊥平面 A 1B1C1，所以 MN ⊥ A1B 1．取HB 1中点 D，连接 ND ，由于 N 是棱 B1C1中点，所以 ND ∥C1H 且．又C1H⊥平面 AA 1B1B，所以 ND ⊥平面 AA 1B1B，故 ND ⊥ A 1B 1．又MN ∩ND=N ，所以 A 1B 1⊥平面 MND ，连接 MD 并延长交 A 1B1于点 E，则ME ⊥ A1B1，故 ME ∥AA 1．由，得，延长 EM 交 AB 于点 F，可得．连接 NE ．在 Rt△ ENM 中， ND ⊥ ME ，故2ND =DE ?DM ．所以．可得．连接 BM ，在 Rt△ BFM 中，．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．18．（ 13 分）（2011?天津）在平面直角坐标系xOy 中，点 P（a，b）（ a＞ b＞ 0）为动点， F1，F2分别为椭圆的左、右焦点．已知△ F1PF2为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线PF2与椭圆相交于A， B 两点， M 是直线 PF2上的点，满足，求点 M 的轨迹方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）直接利用 △ F 1PF 2 为等腰三角形得 |PF 2|=|F 1F 2 |，解其对应的方程即可求椭圆的离心率 e ；（Ⅱ）先把直线方程与椭圆方程联立，求得A ，B 两点的坐标，代入，即可求点 M 的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）设 F 1（﹣ c ，0）， F 2（ c ， 0）（ c ＞0）．由题得 |PF 2 |=|F 1F 2|，即=2c ，整理得 2 + ﹣ 1=0 ，得 =﹣ 1（舍），或 = ，所以 e= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知 a=2c ，b= c ，可得椭圆方程为3x 2+4y 2 =12c 2，直线方程为 y=（x ﹣ c ）．A ，B 的坐标满足方程组，消 y 并整理得 5x 2﹣ 8xc=0 ，解得 x=0 ，x=，得方程组的解为，，不妨设 A （ c ，c ）， B （ 0，﹣c ）．设点 M 的坐标为（ x ，y ），则=（ x ﹣ c ， y ﹣ c ）， =（x ， y+ c ）由 y=（ x ﹣ c ）得 c=x ﹣y① ，由=﹣ 2 即（ x ﹣ c ） x+ （y ﹣ c ）（ y+ c ）=﹣ 2．将① 代入化简得 18x 2﹣16xy ﹣ 15=0 ，? y= 代入 ① 化简得 c=＞ 0．所以 x ＞ 0，因此点 M 的轨迹方程为 18x 2﹣ 16xy ﹣15=0（ x ＞ 0）．【点评】本题主要考查椭圆的方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的数学思想，考查解决问题的能力和运算能力．19．（ 14 分）（ 2011?天津）已知 a ＞0，函数 f （x ） =lnx ﹣ ax 2，x ＞ 0．（ f （ x ）的图象连续不断）（Ⅰ）求 f （ x ）的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在 x 0∈（ 2，+∞），使；（Ⅲ）若存在均属于区间 [1，3]的 α，β，且 β﹣ α≥1，使（f α）=f （β），证明．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点；不等式的证明．【专题】导数的综合应用．【分析】（ I ）求导数 fˊ（ x）；在函数的定义域内解不等式 fˊ（x）＞ 0 和 f ˊ（ x）＜ 0 确定函数的单调区间，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．（II ）由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（2， +∞）内单调递减．令．利用函数f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，得到．最后取．从而得到结论；（III ）先由 f （α） =f （β）及（ I）的结论知，从而f（x）在[α，β]上的最小值为 f（ a）．再依 1≤α≤2≤β≤3建立关于 a 的不等关系即可证得结论．【解答】解：（ I），令．当 x 变化时， f' （ x）， f （ x）的变化情况如下表：x（0，）（，+∞）f ′（ x） +0﹣f （ x）增极大值减所以，（f x）的单调递增区间是的单调递减区间是．（II ）证明：当．由（ I）知 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，在（ 2， +∞）内单调递减．令．由于 f（ x）在（ 0， 2）内单调递增，故．取．所以存在x0∈（ 2， x'），使 g（ x0） =0，即存在．（说明： x'的取法不唯一，只要满足x'＞ 2，且 g（ x' ）＜ 0 即可）（III ）证明：由 f （ α）=f （β）及（ I ）的结论知，从而 f （ x ）在 [ α，β]上的最小值为f （ a ）．又由 β﹣ α≥1， α，β∈[1，3] ，知 1≤α≤2≤β≤3．故从而．【点评】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法．20．（ 14 分）（ 2011?天津）已知数列{a n } 与 {b n } 满足：， n ∈N *，且 a 1=2， a 2=4 ．（Ⅰ）求 a 3，a 4， a 5 的值；（Ⅱ）设 c n2n ﹣1 2n+1， n ∈N *，证明： {c n=a+a} 是等比数列；（Ⅲ）设 S k =a 2+a 4+⋯+a 2k ， k ∈N *，证明：．【考点】数列与不等式的综合；等比关系的确定．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）要求 a 3， a 4， a 5 的值；通过赋值方法，利用已知条件化简求解即可．（Ⅱ）化简出a 2n ﹣ 1+a 2n+1， a 2n+1+a 2n+3的关系，即： c n+1 与 c n 的关系，从而证明 {c n } 是等比数列；就是利用（Ⅰ）的，用 2n ﹣ 1， 2n ， 2n+1，替换中的 n ，化简出只含 “a n ”的关系式，就是 a 2n﹣ 1+a 2n +2a 2n+1=0，① 2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0，② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0，③ 然后推出 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1），得到 c n+1=﹣c n （ n ∈N *），从而证明 {c n } 是等比数列；（Ⅲ）先研究通项公式a 2k ，推出 S k 的表达式，然后计算，结合证明的表达式，利用表达式的特征，通过裂项法以及放缩法证明即可；就是：根据 a 2k ﹣1+a 2k+1=（﹣ 1） k，对任意k ∈N * 且 k ≥2，列出 n 个表达式，利用累加法求出 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3 ）．化简 S 2k =（ a 2+a 4）+（a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ，k ∈N * ，，通过裂项法以及放缩法证明：．【解答】 20、满分 14 分．（I ）解：由，可得又 b n a n +a n+1+b n+1a n+2=0，（ I I ）证明：对任意 n ∈N *， a 2n ﹣1+a 2n +2a 2n+1=0， ①2a 2n +a 2n+1+a 2n+2=0， ② a 2n+1+a 2n+2+2a 2n+3=0， ③ ② ﹣③ ，得 a 2n =a 2n+3． ④将④ 代入 ① ，可得 a 2n+1+a 2n+3=﹣（ a 2n ﹣ 1+a 2n+1）即 c n+1=﹣ c n （ n ∈N *）又 c 1=a 1+a 3=﹣ 1，故 c n ≠0，因此是等比数列．（ I II ）证明：由（ II ）可得 a 2k ﹣ 1+a 2k+1=（﹣ 1） k，于是，对任意 k ∈N *且 k ≥2，有将以上各式相加，得 a 1+（﹣ 1）ka 2k ﹣ 1=﹣（ k ﹣1），即 a 2k ﹣ 1=（﹣ 1）k+1（ k+1），此式当 k=1 时也成立．由 ④ 式得 a 2k =（﹣ 1） k+1（ k+3）．从而 S 2k =（ a 2+a 4） +（ a 6+a 8）+⋯+（ a 4k ﹣ 2+a 4k ）=﹣ k ， S 2k ﹣1=S 2k ﹣ a 4k =k+3 ．*所以，对任意 n ∈N ， n ≥2，== ==对于 n=1 ，不等式显然成立．【点评】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．赋值法是求数列前几项的常用方法，注意n=1 的验证，裂项法和放缩法的应用．。

2011年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2011年高考理科数学试题（天津卷）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =+()()().P AB P A P B =棱柱的体积公式.V Sh =圆锥的体积公式1.3V Sh =其中S 表示棱柱的底面面积其中S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的． 1．i 是虚数单位，复数131ii--= A ．2i + B ．2i -C ．12i -+D ．12i --2．设,,x y R ∈则“2x ≥且2y ≥”是“224x y +≥”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件3．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 4．已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为A ．-110B ．-90C ．90D ．1105．在62⎛⎫ ⎝的二项展开式中，2x 的系数为A ．154-B ．154C ．38-D ．386．如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2,2AB CD AB BC BD ==，则sin C 的值为A．3B．6 C．3D．67．已知324log 0.3log 3.4log 3.615,5,,5a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭则A ．a b c >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．c a b >>8．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,, 1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--⎪⎝⎭ C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为___________10．一个几何体的三视图如右图所示（单位：m ），则该几何体的体积为__________3m11．已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩（t 为参数）若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点，且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切，则r =________.12．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且::4:2:1.DF CF AF FB BE ==若CE 与圆相切，则线段CE 的长为__________.13．已知集合{}1|349,|46,(0,)A x R x x B x R x t t t⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B ⋂=________.14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB +的最小值为____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()tan(2),4f x x π=+（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；（II ）设0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()2cos 2,2f αα=求α的大小．16．（本小题满分13分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率；（ii ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X . 17．（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，H 是正方形11AA B B的中心，1AA =1C H ⊥平面11AAB B，且1C H （Ⅰ）求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；（Ⅱ）求二面角111A AC B --的正弦值；（Ⅲ）设N 为棱11B C 的中点，点M 在平面11AA B B 内，且MN ⊥平面11A B C ，求线段BM 的长．18．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-，求点M 的轨迹方程．19．（本小题满分14分）已知0a >，函数2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断）（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当18a =时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =；（Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明ln 3ln 2ln 253a -≤≤．20．（本小题满分14分）已知数列{}n a 与{}n b 满足：1123(1)0,2n n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *n ∈N ，且122,4a a ==．（Ⅰ）求345,,a a a 的值；（Ⅱ）设*2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；（III ）设*242,,k k S a a a k N =++⋅⋅⋅+∈证明：4*17()6nk k kS n N a =<∈∑．2011参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分. BABDCDCB二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分. 9．12 10．6π+ 1113．{|25}x x -≤≤ 14．5 三、解答题15．本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分. （I ）解：由2,42x k k Z πππ+≠+∈，得,82k x k Z ππ≠+∈. 所以()f x 的定义域为{|,}82k x R x k Z ππ∈≠+∈ ()f x 的最小正周期为.2π （II ）解：由()2cos 2,2a f a =得tan()2cos 2,4a a π+=22sin()42(cos sin ),cos()4a a a a ππ+=-+整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin a aa a a a a a+=+--因为(0,)4a π∈，所以sin cos 0.a a +≠因此211(cos sin ),sin 2.22a a a -==即由(0,)4a π∈，得2(0,)2a π∈.所以2,.612a a ππ==即16．本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分13分. （I ）（i ）解：设“在1次游戏中摸出i 个白球”为事件(0,1,2,3),i A i ==则2132322531().5C C P A C C =⋅=（ii ）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B ，则23B A A =，又22111322222222253531(),2C C C C C P A C C C C =⋅+⋅=且A 2，A 3互斥，所以23117()()().2510P B P A P A =+=+= （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P X P X C P X ==-===-====所以X 的分布列是 X 012P9100 2150 49100X 的数学期望921497()012.100501005E X =⨯+⨯+⨯= 17．本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点.依题意得(0,0,0),A B C111A B C（I ）解：易得11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-，于是111111cos ,,3||||3AC A B AC A B AC A B ⋅===⋅⨯所以异面直线AC 与A 1B 1 （II ）解：易知111(0,22,0),(2,AA AC ==- 设平面AA 1C 1的法向量(,,)m xy z =，则11100m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧+=⎪⎨=⎪⎩不妨令x 可得m =，同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量(,,)n x yz =，则11110,0.n AC n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0.⎧+=⎪⎨-=⎪⎩不妨令y =可得n =于是2cos ,,||||7m n m n m n ⋅===⋅从而sin ,m n =所以二面角A —A 1C 1—B（III ）解：由N 为棱B 1C 1的中点，得(22N 设M （a ，b ，0），则2(MN a b =由MN⊥平面A1B1C1，得11110, 0.MN A BMN A C⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即)(0,()(()(0.222aa b⎧-⋅-=⎪⎪⎨⎪-⋅+-⋅+⎪⎩解得4ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故M因此2(24BM=，所以线段BM的长为10||4BM=方法二：（I）解：由于AC//A1C1，故111C A B∠是异面直线AC与A1B1所成的角.因为1C H⊥平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，11AAC H==可得11113.AC B C==因此2221111111111111cos23AC A B B CC A BAC A B+-∠==⋅所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为3（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以11AC A∆≌11BC A∆，过点A作11AR AC⊥于点R，连接B1R，于是111B R AC⊥，故1ARB∠为二面角A—A1C1—B1的平面角.在11Rt ARB∆中，11111sin3B R A B RA B=⋅∠=连接AB1，在1ARB∆中，2221111114,,cos2AR B RABAB AR B R ARBAR B R+-==∠=⋅27=-，从而1sin 7ARB ∠=所以二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值为7（III ）解：因为MN ⊥平面A 1B 1C 1，所以11.MN A B ⊥ 取HB 1中点D ，连接ND ，由于N 是棱B 1C 1中点，所以ND//C 1H且112ND C H ==. 又1C H ⊥平面AA 1B 1B ，所以ND ⊥平面AA 1B 1B ，故11.ND A B ⊥ 又,MNND N =所以11A B ⊥平面MND ，连接MD 并延长交A 1B 1于点E ，则111,//.ME A B ME AA ⊥故由1111111,4B E B D DE AA B A B A ===得12DE B E ==EM 交AB 于点F ，可得12BF B E ==连接NE. 在Rt ENM ∆中，2,.ND ME ND DE DM ⊥=⋅故所以2ND DM DE ==可得FM =连接BM ，在Rt BFM ∆中，BM ==18．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c -> 由题意，可得212||||,PF F F =2.c =整理得22()10,1cc caa a+-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e = （II ）解：由（I）知2,,a c b == 可得椭圆方程为2223412,x y c += 直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y c ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为833(,),(,),(,)5x yAM x c y c BM x y =--=则，由),.y x c c x y =-=得于是838(,),15555AM y x y x =-- ().BM x =由2,AM BM ⋅=-即38()()215555y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --=将22105,0.16x y c x y c x +===>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>19．本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：2112'()2,(0,)2ax f x ax x x -=-=∈+∞，令'()0,f x =解得当x 变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：x(0,2a2a()2a+∞ '()f x +0 - ()f x极大值所以，()f x的单调递增区间是()f x的单调递减区间是).+∞ （II ）证明：当211,()ln .88a f x x x ==-时由（I ）知()f x 在（0，2）内单调递增，在(2,)+∞内单调递减.令3()()().2g x f x f =-由于()f x 在（0，2）内单调递增，故3(2)(),2f f >即g(2)>0.取23419'2,(')0.232e x e g x -=>=<则所以存在00(2,'),()0,x x g x ∈=使即存在003(2,),()().2x f x f ∈+∞=使（说明：'x 的取法不唯一，只要满足'2,(')0x g x ><且即可）（III ）证明：由()()f f αβ=及（I）的结论知2aαβ<<，从而()[,]f x αβ在上的最小值为().f a又由1βα-≥，,[1,3],αβ∈知12 3.αβ≤≤≤≤故(2)()(1),ln 24,(2)()(3).ln 24ln39.f f f a a f f f a a αβ≥≥-≥-⎧⎧⎨⎨≥≥-≥-⎩⎩即从而ln 3ln 2ln 2.53a -≤≤20．本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.（I ）解：由*3(1),,2nn b n N +-=∈ 可得1,n n b ⎧=⎨⎩为奇数2,n 为偶数又1120,n n n n n b a a b a +++++=123123234434543;5;4.=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a（II ）证明：对任意*,n N ∈2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++= ② 21222320,n n n a a a +++++=③ ②—③，得223.n n a a +=④将④代入①，可得21232121()n n n n a a a a ++-++=-+ 即*1()n n c c n N +=-∈ 又1131,0,n c a a =+=-≠故c 因此11,{}n n nc c c +=-所以是等比数列. （III ）证明：由（II ）可得2121(1)k k k a a -++=-，于是，对任意*2k N k ∈≥且，有133********,()1,1,(1)() 1.k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-将以上各式相加，得121(1)(1),k k a a k -+-=-- 即121(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k=1时也成立.由④式得12(1)(3).k k a k +=-+ 从而22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-2124 3.k k k S S a k -=-=+所以，对任意*,2n N n ∈≥，44342414114342414()nnk m m m m k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑ 12221232()2222123nm m m m mm m m m =+-+=--++++∑123()2(21)(22)(22)nm m m m m ==++++∑2253232(21)(22)(23)nm m m n n ==++⨯+++∑ 21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++-+++∑ 151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+⋅-+-++-+-+++ 1551336221(22)(23)7.6n n n =+-⋅++++<对于n=1，不等式显然成立. 所以，对任意*,n N ∈2121212212n nn nS S S S a a a a --++++32121241234212()()()n nn nS S S S S S a a a a a a --=++++++ 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n nn =--+--++----- 22211121()()()41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().4123n n ≤-+=-。

天津市高等数学竞赛试题及答案_4套(05~08)

2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案一、填空：（本题15分，每空3分。

请将最终结果填在相应的横线上面。

） 1．=+++-++∞→xx x x x sin 114lim22x 3 。

2．设函数)(x y y =由方程xyy x arctan22e =+所确定，则曲线)(x y y =在点)0,1(处的法线方程为01=-+y x 。

3．设函数)(x f 连续，则=-⎰xt t x tf x 022d )(d d )(2x xf 。

4．设函数f 和g 都可微，()x,xy f u =，()xy x g v +=，则=∂∂⋅∂∂xv x u ()g yf f y '⎪⎭⎫ ⎝⎛'+'+211 。

5．=-+⎰-21212d 1arcsin sin x x xx x π631-。

二、选择题：（本题15分，每小题3分。

每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。

选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。

）1．函数)(x f 在闭区间[1,2]上具有二阶导数，0)2()1(==f f ，f(x)x x F 2)1()(-=，则)(x F ''在开区间(1,2)内 ( B ) （A ）没有零点；（B ）至少有一个零点；（C ）恰有两个零点；（D ）有且仅有一个零点。

2．设函数)(x f 与)(x g 在开区间(a ,b )内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若)()(x g x f >，则)()(x g x f '>'； ⑵ 若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >。

则（ A ）（A ）两个命题均不正确；（B ）两个命题均正确；（C ）命题⑴正确，命题⑵不正确；（D ）命题⑴不正确，命题⑵正确。

3．设常数0>δ，在开区间()δδ,-内，恒有0)(，)(2>''≤x f x x f ，记⎰-=δδx x f I d )(，则（ C ）(A ) I < 0； (B ) I = 0； (C ) I > 0； (D ) I 非零，且其符号不确定。

(整理)天津市l理工高等数学竞赛真题答案.

2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d af x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰x(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()2002[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x x xϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x x ϕ→→--=⎰⎰ 220(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim33x x x x x u u u u x x ϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故00d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--= 方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d d e 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故0220d 2.de x y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=-五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x xϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x xx ϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x →→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰a可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=, 由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值. 九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222xy x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰11(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+- 十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成，其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z =∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x yn z z=--=∑在xOy面上的投影区域为D, 在极坐标系下表示为:0,02.rθθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d()()d dx yz y z z x x x y z z z x x y∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰d dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d .L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu uus x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性x1cos 00d 1d d 2d d D L us x y x r rn πθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰203(1cos )d .2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y +=含于椭圆22221x y a b +=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求 a 与b 满足的等式; (Ⅱ) 求a 与b 的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+=(4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故a = 从而2b ==由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当22a b ==时, 此椭圆的面积最小.。

2011高中数学天津预赛试题及答案(word版)

2011高中数学联赛天津赛区预赛试题姓名：得分：一选择题(每题6分，共计36分)1、如果⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时总有kx x >sin 成立，则实数k 的取值范围是（） A ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,π B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,π C ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-π2, D ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-π2, 2、已知函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，将)(x f y =的图像绕()1,1-逆时针旋转︒90，所得曲线的方程是（）A 2)(1--=-x fy B 2)(1---=-x f y C 1)1(1-+-=-x f y D 1)1(1+--=-x fy 3、设n 为正整数，,11,111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n y n x 则（） A x y y x > B x y y x = C x y y x < D 以上都有可能4、若直线3-=x y 与曲线a x e y +=相切，则实数a 的值是（）A 4-B 2-C 2D 45、在半径为1的⊙O 上，取一个定点A 和一个动点B.设点P 满足AP//OB 且1=⋅，则P 点的轨迹是（）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 以上都有可能6、将()9d c b a +++展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（） A 49C B 39C C 412C D 312C二、填空题（每小题9分，共54分）1、九个正实数921,,,a a a 构成等比数列，且.15,43654321=+++=+a a a a a a 则 987a a a ++等于 .2、设ABCD O -是正四棱锥，其中.2,3==BC OA 以O 为球心，以1为半径作一个球，则这个球与正四棱锥相交部分的体积是3、若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6πβα=-，则x 的值是4、设A ，B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上.已知△ABC 的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为5、函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且满足03)1(2)(2=+-x xxf x f ，则)(x f 的最小值是6、复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于三、解答题（每小题20分，共60分，每小题只设0分，5分，10分，15分，20分五档）1、在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=︒<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.（1）证明：.θ=∠BAC（2）若点D 到平面ABC 的距离为134，求θcos 的值.2、设f e d c b a ,,,,,为实数，且f ex dx c bx ax ++≥++22对任意实数x 成立，证明：.4422e df b ac -≥-3、设数列{}n a 定义为 .1,132,1211≥++==+n a a a a n n n （1）证明：当1>n 时，;411n n n a a a =+-+（2）证明： 21311121+<+++n a a a2011天津参考答案1234561234562阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。

2011年天津理解析

2011年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、(2011·天津·理,1)i 是虚数单位，复数131i i-=- ( )(A)2i + ( B)2i - (C)12i -- (D)12i - 2、(2011·天津·理,2)设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥”时“224x y +≥”的 ( ) (A)充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件（D ）既不充分而也不必要条件3、(2011·天津·理,3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ( ) （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）64、(2011·天津·理,4)已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，n N *∈,则10S 的值为 ( ) （A ）-110 （B ）-90 （C ）90 （D ）1105、(2011·天津·理,5)在62⎛⎫- ⎝的二项展开式中，2x 的系数为 ( ) （A ）154-（B ）154（C ）38-（D ）386、(2011·天津·理,6)如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB=AD ，2AB=，BC=2BD ，则sinC 的值为（）（A ）3（B 6（C 3（D67、(2011·天津·理,7)已知2log3.45a =，4log3.65b =，3log0.31()5c =，则( )（A ）a b c >> （B ）b a c >> （C ）a c b >> （D ）c a b >> 8、(2011·天津·理,8)对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数22()(2)()f x x x x =-⊗-，x R ∈。

天津市竞赛真题一元函数积分试题解答

a
15．（2010g）已知 f ( x) 的一个原函数为注：考察定积分的计算。解：由 f ( x) 的一个原函数为
π π
π sin x ，则定积分 ∫ π xf ′( x)dx = x 2
．
sin x x cos x − sin x sin x ，有 f ( x) = ( ，于是 )′ = x x x2
1 π ⋅ ) = 4 −π ． 2 2
2 −2
x 2， x ≤ 1， 7．（2015j）设函数 f ( x) = 1 则定积分 ∫ x ， 1 < x ≤ 2，
注：考察积分运算技巧。解：
f ( x)dx =
．
∫
2 −2
f ( x)dx = 2( ∫ x 2 dx + ∫
0
1
∫
e y dy =
2 2
2
t = ln x
∫
ln 2 0
tdet + ∫
2
ln 2 0
e y dy
2
=
t= y
∫
ln 2 0
(tde
t2
+ et dt =
)
∫
ln 2 0
d tet= tet
( )
ln 2 = 2 ln 2 0
3
（解法 2）设函数 y =
ln x ，则 y = ln x 在区间 [1，2] 上连续且单调增加，其反函数为 x = e y ，
∫
1/ 2 −1 / 2
sin x + x arcsin x 1− x2
dx =
．
注：考察齐偶函数积分的性质、积分运算技巧。解：根据奇偶函数的积分性质，
1

2011高中数学天津预赛试题及答案(word版)

2011高中数学联赛天津赛区预赛试题姓名：得分：一选择题(每题6分，共计36分)1、如果⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时总有kx x >sin 成立，则实数k 的取值范围是（） A ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-2,π B ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2,π C ⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-π2, D ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-π2, 2、已知函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，将)(x f y =的图像绕()1,1-逆时针旋转︒90，所得曲线的方程是（）A 2)(1--=-x fy B 2)(1---=-x f y C 1)1(1-+-=-x f y D 1)1(1+--=-x f y3、设n 为正整数，,11,111+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n y n x 则（）A x y y x >B x y y x =C x y y x <D 以上都有可能4、若直线3-=x y 与曲线a x e y +=相切，则实数a 的值是（）A 4-B 2-C 2D 45、在半径为1的⊙O 上，取一个定点A 和一个动点B.设点P 满足AP//OB 且1=⋅，则P 点的轨迹是（）A 椭圆B 抛物线C 双曲线D 以上都有可能6、将()9d c b a +++展开之后再合并同类项，所得的多项式的项数是（） A 49C B 39C C 412C D 312C 二、填空题（每小题9分，共54分）1、九个正实数921,,,a a a 构成等比数列，且.15,43654321=+++=+a a a a a a 则 987a a a ++等于 .2、设ABCD O -是正四棱锥，其中.2,3==BC OA 以O 为球心，以1为半径作一个球，则这个球与正四棱锥相交部分的体积是3、若实数βα，,x 满足βαtan log tan log 33-==x ，且6πβα=-，则x 的值是4、设A ，B 是双曲线的两个焦点，C 在双曲线上.已知△ABC 的三边长成等差数列，且 ∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为5、函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且满足03)1(2)(2=+-x xxf x f ，则)(x f 的最小值是6、复数z 满足())6(223-=+iz i z z ，则z 等于三、解答题（每小题20分，共60分，每小题只设0分，5分，10分，15分，20分五档）1、在四面体ABCD 中，A D ⊥平面BCD ，∠ABD =∠BDC=︒<45θ.已知E 是BD 上一点，满足C E ⊥BD 且BE=AD=1.（1）证明：.θ=∠BAC（2）若点D 到平面ABC 的距离为134，求θcos 的值.2、设f e d c b a ,,,,,为实数，且f ex dx c bx ax ++≥++22对任意实数x 成立，证明：.4422e df b ac -≥-。

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2011年天津市大学数学竞赛试题参考解答 (理工类)一. 填空题（本题15分，每小题3分）: 1. 设()f x 是连续函数, 且0()lim41cos x f x x →=-, 则01()lim 1x xf x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2e .2. 设223()2x f x ax b x +=++- , 若 lim ()0,x f x →∞= 则 a =2,- b =4.- 3. 1e ln d x x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰ e ln .x x C +4. 设(,)f x y 是连续函数, 且(,)(,)d d ,Df x y xy f x y x y =+⎰⎰其中D 由x 轴、y 轴以及直线1x y +=围成,则(,)f x y =1.12xy +5. 椭球面22221x y z ++=平行于平面20x y z -+=的切平面方程为20x y z -++= 和20.x y z -+= 二. 选择题（本题15分，每小题3分）:1. 设()(2)ln(1),f x x x =+- 则()f x 在0x =处(A) (0)2f '=-, (B) (0)0f '=, (C) (0)2f '=, (D) 不可导. 答: (A) 2. 设函数()y f x =具有二阶导数, 且满足方程sin e 0.x y y '''+-=已知0()0,f x '=则(A) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增加, (B) ()f x 在0x 的某个邻域中单调增少, (C) ()f x 在0x 处取得极小值, (D) ()f x 在0x 处取得极大值. 答: ( C) 3. 图中曲线段的方程为()y f x =, 函数()f x 在区间[0,]a()d a f x x '表示(A) 直角三角形AOB 的面积, (B) 直角三角形AOC 的面积, (C) 曲边三角形AOB 的面积, (D) 曲边三角形AOC 的面积. 答: (D)4. 设在区间 [,]a b 上的函数()0,f x > 且 ()0,f x '< ()0.f x ''> 令 1()d ,aS f x x =⎰ 2()(),S f b b a =-31[()()](),2S f a f b b a =+- 则(A) 123,S S S << (B) 312,S S S << (C) 213,S S S << (D) 231.S S S << 答: (C )5. 设曲面22{(,,)|,01},x y z z x y z ∑==+≤≤取上侧为正, 1∑是 ∑在 0x ≥的部分, 则曲面积分 (A) d d 0,x y z ∑=⎰⎰ (B) 1d d 2d d .z x y z x y ∑∑=⎰⎰⎰⎰(C) 122d d 2d d ,y y z y y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ (D) 122d d 2d d ,x y z x y z ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 答: (B)三. (6分) 设函数 ()202[(1)()d ]d 0sin 00xt t u u t ,x ,f x x,x .ϕ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰⎰ 其中函数ϕ处处连续. 讨论()f x 在0x =处的连续性及可导性.解 222[(1)()d ]d (1)()d lim ()limlim2x x x x t x t u u tx u uf x xxϕϕ→→→--==⎰⎰⎰220()d ()d limlim22x x x x x u uu ux x ϕϕ→→=-⎰⎰202()0lim0(0)2x x x f ϕ→⋅=-== 因此, ()f x 在0x =处连续.200300[(1)()d ]d ()(0)lim lim xx x t t u u t f x f x xϕ→→--=⎰⎰ 2020(1)()d lim 3x x x u u x ϕ→-=⎰ 22002200()d ()d 11lim lim 33x x x x x u u u u x xϕϕ→→=-⎰⎰ 1(0)3ϕ=- 因此, ()f x 在0x =处可导, 且 1(0)(0).3f ϕ'=-四. (6分) 设函数()x x t =由方程cos 0t x x +=确定, 又函数()y y x =由方程2e 1y xy --=确定, 求复合函数(())y y x t =的导数d d .t y t=解方程cos 0t x x +=两边对t 求导 d d cos sin 0.d d x x x t x t t -⋅+=当 t=0时, x=0, 故000d cos 1.d sin 1t t x x xt t x ====--=方程2e 1y xy --= 两边对x 求导 2d de 0.d d y y yy x x x-⋅--⋅= 当 0x =时,2,y = 故022d 2.d ex y y x yy xx==-==-=因此,00d d d .d d d 2t x t y yxt xt ====⋅=- 五. (6分) 设函数()f x 在(,)-∞+∞上二阶可导，且0()lim0x f x x→=，记10()()x f xt dt ϕ'=⎰，求)(x ϕ的导数，并讨论)(x ϕ'在0x =处的连续性.解由已知的极限知(0)0,(0)0,f f '== 从而有 10(0)(0)d 0.f t ϕ'==⎰当 0x ≠时, 1100011()()()()d()()d ,x f x x f x t dt f x t x t f u u x x x ϕ'''====⎰⎰⎰从而有 (),0()0,0.f x x x xx ϕ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩因为()lim ()lim0(0),x x f x x xϕϕ→→=== 所以, ()x ϕ在0x =处连续. 当 0x ≠时, 2()()(),xf x f x x x ϕ'-'=在0x =处, 由(0)0,ϕ= 有 200()(0)()()1(0)limlimlim (0)22x x x x f x f x f xx x ϕϕϕ→→→'-'''==== 所以,2()(),0()1(0),0.2xf x f x x x x f x ϕ'-⎧≠⎪⎪'=⎨⎪''=⎪⎩而200000()()()()lim ()limlim lim lim2x x x x x f x f x f x f x x x x x xϕ→→→→→''''=-=- 001()1()(0)1lim lim (0)(0),222x x f x f x f f x x ϕ→→'''-'''====故 ()x ϕ'在0x =处连续. 六. (7分) 设函数()y y x =在(,)-∞+∞上可导, 且满足: 22,(0)0.y x y y '=+=(Ⅰ) 研究()y x 在区间(0,)+∞的单调性和曲线()y y x =的凹凸性.(Ⅱ) 求极限 30()lim.x y x x →解 (Ⅰ) 当0x >时, 有220,y x y '=+>故 ()y x 在区间(0,)+∞单调增加. 从而当0x >时, 22y x y '=+也单调增加. 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸.(或当0x >时, 可得222222()0.y x y y x y x y '''=+⋅=++> 可见, 曲线()y y x =在区间(0,)+∞向下凸. ) (Ⅱ) 由题设知, (0)(0)0.y y '== 应用洛必达法则22322000()()lim lim lim 33x x x y x y x x y x x x→→→'+==[]22011111lim (0).33333x y y x →⎛⎫'=+=+= ⎪⎝⎭七. (7分) 设()f x 在[0,1]上具有连续导数, 且0()1,(0)0.f x f '<≤= 试证211300()d ][()]d .f x x f x x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰证令 2300()()d [()]d ,x xF x f t t f t t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 则 ()F x 在 [0,1]连续, 且对 (0,1)x ∈,30()2()()d [()]x F x f x f t t f x '=-⎰20()2()d ().xf x f t t f x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 又由题设知, 当(0,1)x ∈时, ()0.f x > 令20()2()d (),x g x f t t f x =-⎰则()g x 在[0,1]上连续, 且()2()[1()]0,(0,1),g x f x f x x ''=-≥∈故有()(0)0(0,1).g x g x ≥=∈ 因此()0,(0,1),F x x '≥∈于是()F x 在[0,1]上单调增加, ()(0)0,[0,1].F x F x ≥=∈ 取1x =, 即得 211300(1)()d [()]d 0.F f t t f t t ⎡⎤=-≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰所证结论成立.八. (7分) 设函数()y f x =具有二阶导数, 且()0.f x ''> 直线a L 是曲线()y f x =上任意一点(,())a f a 处的切线, 其中[0,1].a ∈ 记直线a L 与曲线()y f x =以及直线0,1x x ==所围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为().V a 试问a 为何值时()V a 取得最小值. 解切线a L 的方程为 ()()(),y f a f a x a '-=- 即 ()()().y f a x af a f a ''=-+ 于是10()2[()()()()]d V a x f x f a x af a f a x π''=-+-⎰10112()d ()()().322a xf x x f a f a f a π⎡⎤''=-+-⎢⎥⎣⎦⎰可见, ()V a 在[0,1]连续, 在(0,1)可导. 令 1()2[()()]()(32)0323a V a f a f a f a a ππ'''''''=-+=-=,由于 ()0,f a ''> ()V a 在(0,1)内有唯一的驻点2.3a =并且, 当 2(0,)3a ∈时, ()0V a '<; 当2(,1)3a ∈时, ()0,V a '> 因此, ()V a 在23a =处取得最小值.a九. (7分) 计算(sin )d (cos 1)d ,Ly y x x y y -+-⎰其中L 为从点(0,0)O 沿圆周222x y x +=在第一象限部分到点(1,1)A 的路径.解令 sin ,cos 1,P y y Q x y =-=- 则cos (cos 1) 1.Q Py y x y∂∂-=--=∂∂ 取点(1,0).B 作有向直线段,OB 其方程为 0(y x =从0变到1).作有向直线段,BA 其方程为 1(x y =从0变到1). 由曲线L 、有向直线段AB 和BO 形成的闭曲线记为0L (沿顺时针方向), 0L 所围成的区域记为D , 则(sin )d (cos 1)d Ly y x x y y -+-⎰()((sin )d (cos 1)d )AB BOL y y x x y y =---+-⎰⎰⎰d (sin )d (cos 1)d DBAy y x x y y σ=-+-+-⎰⎰⎰(sin )d (cos 1)d OBy y x x y y +-+-⎰101(cos 1)d 04y y π=-+-+⎰ 1sin1 1.4π=-+-十. (8分) 设（1）有向闭曲线Γ是由圆锥螺线 OA ：θθθθθ===z y x ,sin ,cos ，（θ从0变到2π）和有向直线段 AO 构成，其中()0,0,0O ， ()2,0,2A ππ；（2）闭曲线Γ将其所在的圆锥面z =∑是其中的有界部分.（Ⅰ）如果()x z F -=,1, 表示一力场，求F沿Γ所做的功W ；（Ⅱ）如果()x z F -=,1,表示流体的流速，求流体通过∑流向上侧的流量. (单位从略）解（Ⅰ）作有向直线段,AO 其方程为 ⎩⎨⎧==x z y 0(x 从 2π变到0).所求F沿Γ所做的功为d d d W z x y x z Γ=+-⎰()(d d d )OAAOz x y x z =++-⎰⎰()20cos sin sin cos cos d πθθθθθθθθθθ=-++-⎡⎤⎣⎦⎰()02d x x x π+-⎰220(cos sin )d 0πθθθθθ=-+⎰24π=.（Ⅱ）Γ所在的圆锥面方程为z = ∑上任一点处向上的一个法向量为(,,1)x y n z z =--=∑在xOy 面上的投影区域为D , 在极坐标系下表示为: 0,02.r θθπ≤≤≤≤故所求流体通过∑流向上侧的流量为d d d d d d ()()d d x y z y z z x x x y z z z x x y ∑∑⎡⎤Φ=+-=⋅-+--⎣⎦⎰⎰⎰⎰ xd dx x x y∑⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭⎰⎰()200d2cos sin dr r rπθθθθ=-+⎰⎰2232cos sin d32πθθθθθ⎛⎫=-+⎪⎝⎭⎰26π-=.注: (Ⅰ)的另一解法应用Stokes公式，可得W2d d2d dyz x z x y∑∑==-⎰⎰⎰⎰2d x y∑=⎰⎰222000sin2d d sin drr rrπθπθθθθθ=-⋅=-⎰⎰⎰24π=.十一. (8分) 设函数(,)u u x y=在心形线:1cosL rθ=+所围闭区域D上具有二阶连续偏导数, n是在曲线L上的点处指向曲线外侧的法向量(简称外法向),un∂∂是(,)u x y沿L的外法向的方向导数, L取逆时针方向.(Ⅰ) 证明: d d d.L Lu u us x yn y x∂∂∂=-+∂∂∂⎰⎰(Ⅱ) 若222221,u ux y yx y∂∂+=-+∂∂求dLusn∂∂⎰的值.(Ⅰ) 证由方向导数的定义d(cos sin)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=+∂∂∂⎰⎰其中, α是n相对于x轴正向的转角.设1α是L的切向量τ相对于x轴正向的转角, 则1,2παα=+或1.2παα=-故11d(sin cos)d.L Lu u us sn x yαα∂∂∂=-∂∂∂⎰⎰d d.Lu ux yy x∂∂=-+∂∂⎰(Ⅱ) 解应用格林公式22222d ()d d(1)d dD DLu u us x y x y y x yn x y∂∂∂=+=-+∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰由对称性1cos00d1d d2d dDLus x y x r rnπθ+∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰23(1cos)d.2πθθπ=+=⎰十二.(8分) 设圆222x y y+=含于椭圆22221x ya b+=的内部, 且圆与椭圆相切于两点(即在这两点处圆与椭圆都有公共切线).(Ⅰ) 求a与b满足的等式; (Ⅱ) 求a与b的值, 使椭圆的面积最小.解 (Ⅰ) 根据条件可知, 切点不在y 轴上. 否则圆与椭圆只可能相切于一点. 设圆与椭圆相切于点00(,)x y , 则00(,)x y 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在00(,)x y 处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即2002001b x xa y y -=--. 注意到00,x ≠ 因此, 点00(,)x y 应满足 2200222200022001(1)2(2)1(3)1x y a b x y y b a y y ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩由(1)和(2)式, 得222200220.b a y y a b--+= (4)由 (3) 式得 2022.b y b a =- 代入(4) 式 2242222222220.()b a b b a b b a b a-⋅-+=-- 化简得 2222,b a b a=- 或 22420.a b a b --= (5) (Ⅱ) 按题意, 需求椭圆面积S ab π=在约束条件 (5) 下的最小值.构造函数2242(,,)().L a b ab a b a b λλ=+-- 令2322242(24)0(6)(22)0(7)0(8)a b L b ab a L a a b b L a b a b λλλ⎧=+-=⎪=+-=⎨⎪=--=⎩(6) ·a − (7)·b , 并注意到 0λ≠, 可得 242b a =. 代入 (8) 式得644220a a a --=, 故2a =从而22b == 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在,因此当a b ==, 此椭圆的面积最小.。