宜宾市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(文科)(含答案解析)
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年四川省内江市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．已知点(3,0,4)A -，点A 关于原点的对称点为B ，则||AB =（ ） A ．25 B ．12C ．10D ．5【答案】C【分析】根据空间两点间距离公式，结合对称性进行求解即可. 【详解】因为点(3,0,4)A -关于原点的对称点为B ，所以(3,0,4)B -, 因此222||(33)(00)(44)10AB =--+-++=， 故选：C2．为了了解1200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，采用系统抽样方法，则分段的间隔k 为（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．12【答案】B【解析】根据系统抽样的概念，以及抽样距的求法，可得结果. 【详解】由总数为1200，样本容量为40， 所以抽样距为：12003040k == 故选：B【点睛】本题考查系统抽样的概念，属基础题.3．上海世博会期间，某日13时至21时累计入园人数的折线图如图所示，那么在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）A ．13时~14时B ．16时~17时C ．18时~19时D ．19时~20时【答案】B【解析】要找入园人数最多的，只要根据函数图象找出图象中变化最大的即可 【详解】结合函数的图象可知，在13时~14时，14时~15时，…，20时~21时八个时段中，图象变化最快的为16到17点之间 故选：B .【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题. 4．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．332+D ．332+【答案】A【分析】可由三视图还原原几何体，然后根据题意的边角关系，完成体积的求解. 【详解】由三视图还原原几何体如图：其中PA ⊥平面,ABC AB AC ⊥，1PA AB AC ===，则该四面体的体积为111111326V =⨯⨯⨯⨯=.故选：A.5．下面三种说法中，正确说法的个数为（ ） ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l αβ=，则M l ∈．A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】A【分析】对于①，有两种情况，对于②考虑异面直线，对于③根据线面公理可判断.【详解】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故①不正确； 两条异面直线不能确定一个平面，故②不正确； 若M α∈，M β∈，l αβ=，可知M 必在交线上，则M l ∈，故③正确；综上所述只有一个说法是正确的. 故选：A6．如图，将边长为4的正方形折成一个正四棱柱的侧面，则异面直线AK 和LM 所成角的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】D【分析】作出折叠后的正四棱锥，确定线面关系，从而把异面直线的夹角通过平移放到一个平面内求得.【详解】由题知，折叠后的正四棱锥如图所示，易知K 为1BB 的四等分点，L 为1CC 的中点，M 为1DD 的四等分点，1,2BK CL ==， 取1AA 的中点N ，易证//KN LM ，则异面直线AK 和LM 所成角即直线AK 和KN 所成角AKN ∠， 在AKN △中，2AK NK ==2AN =， 故90AKN ∠= 故选：D7．在区间0,1内随机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是（）．A．45B．15C．1725D．825【答案】C【分析】利用几何概型的面积型，确定两数之和小于65的区域，进而根据面积比求概率. 【详解】由题意知：若两个数分别为,(0,1)x y∈，则65x y<+<，如上图示，阴影部分即为65x y<+<，∴两数之和小于65的概率144117255125EBOD AECEBODS SPS-⨯⨯-===.故选：C8．已知实数x、y满足4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，则11yzx-=+的最大值为（）A．1B．12C．13D．2【答案】A【分析】作出可行域，利用代数式11yzx-=+的几何意义，利用数形结合可求得11yzx-=+的最大值.【详解】作出不等式组4030x yyx y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立340y x y =⎧⎨+-=⎩可得13x y =⎧⎨=⎩，即点()1,3A ，代数式11y z x -=+的几何意义是连接可行域内一点(),M x y 与定点()1,1P -连线的斜率， 由图可知，当点M 在可行域内运动时，直线MP 的倾斜角为锐角， 当点M 与点A 重合时，直线MP 的倾斜角最大，此时z 取最大值，即max 31111z -==+. 故选：A.9．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M 、N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在边QB 上找一点P ，使得MPN ∠最大的．”如图，其结论是：点P 为过M 、N 两点且和射线QB 相切的圆的切点．根据以上结论解决一下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点2()1,M -，(1,4)N ，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P的横坐标是（ ）A ．1B ．2C ．1或7-D ．2或7- 【答案】A【分析】根据米勒问题的结论，P 点应该为过点M 、N 的圆与x 轴的切点，设圆心C 的坐标为(),a b ，写出圆的方程，并将点M 、N 的坐标代入可求出点P 的横坐标. 【详解】解：设圆心C 的坐标为(),a b ，则圆的方程为()()222x a y b b -+-=，将点M 、N 的坐标代入圆的方程得()()()()2222221214a b b a b b⎧--+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得12a b =⎧⎨=⎩或710a b =-⎧⎨=⎩（舍去），因此，点P 的横坐标为1，故选：A.10．已知点()2,3A -，()3,2B --，直线:10l mx y m --+=与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．34m ≤-或4m ≥B ．4m ≤-或34m ≥ C ．344m -≤≤ D ．344m -≤≤【答案】B【分析】由()11y m x =-+可求出直线l 过定点()1,1P ，作出图象，求出PA k 和PB k ，数形结合可得PA m k ≤或PB m k ≥，即可求解.【详解】由10mx y m --+=可得：()11y m x =-+，由1010x y -=⎧⎨-=⎩可得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线l ：10mx y m --+=过定点()1,1P ，作出图象如图所示：31421PA k --==--，213314PB k --==--，若直线l 与线段AB 相交，则4m ≤-或34m ≥， 所以实数m 的取值范围是4m ≤-或34m ≥， 故选：B11．若球的半径为10cm ，一个截面圆的面积是236cm π，则球心到截面圆心的距离是（ ） A ．5cm B ．6cm C ．8cm D ．10cm【答案】C【解析】由题意可解出截面圆的半径，然后利用勾股定理求解球心与截面圆圆心的距离． 【详解】由截面圆的面积为236cm π可知，截面圆的半径为6cm ，则球心到截面圆心的距离为221068d =-=cm ． 故选：C ．【点睛】解答本题的关键点在于，球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．12．已知圆()22:22C x y -+=，P 为圆C 外的任意一点，过点P 引圆C 的两条切线PA 、PB ，使得PA PB ⊥，其中A 、B 为切点．在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为（ ） A ．2π B ．πC ．22πD ．2π【答案】D【分析】连接PC 、AC 、BC ，分析可知四边形PACB 为正方形，求出点P 的轨迹方程，分析可知线段PA 所扫过图形为是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.【详解】连接PC 、AC 、BC ，由圆的几何性质可知AC PA ⊥，BC PB ⊥，又因为PA PB ⊥且AC BC =，故四边形PACB 为正方形，圆心()2,0C -2，则2PC ，故点P 的轨迹方程为()2224x y -+=，所以，线段PA 扫过的图形是夹在圆()2224x y -+=和圆()2222x y -+=的圆环， 故在点P 运动的过程中，线段PA 所扫过图形的面积为()2422πππ-⨯=.故选：D. 二、填空题13．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y +的值为__________．【答案】9【详解】阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ， 乙组的平均数：824151810165y+++++= ，解得：5y = ，则:459x y +=+= .点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据． 14．过圆222440x y x y +-+-=内的点()3,0M 作一条直线l ，使它被该圆截得的线段最长，则直线l 的方程是______． 【答案】30x y --=【分析】当直线l 过圆心时满足题意，进而求出答案.【详解】圆的标准方程为：()()22:129C x y -++=，圆心()1,2C -，当l 过圆心时满足题意，02131CM k +==-，所以l 的方程为：330y x x y =-⇒--=. 故答案为：30x y --=.15．秦九韶出生于普州（今资阳市安岳县），是我国南宋时期伟大的数学家，他创立的秦九韶算法历来为人称道，其本质是将一个n 次多项式写成n 个一次式相组合的形式，如可将5432()421022f n n n n n n =---++写成()((((1)4)2)10)22f n n n n n n =---++，由此可得(5)f =__________． 【答案】2022【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】(5)((((51)54)52)510)522(((204)52)510)522((802)510)522(39010)5222000222022.f =-⋅-⋅-⋅+⋅+=-⋅-⋅+⋅+=-⋅+⋅+=+⋅+=+=故答案为：202216．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面正方形ABCD 的中心，点P 在侧面正方形11BB C C 的边界及其内部运动，若1D O OP ⊥，则点P 的轨迹的长度为______．【答案】5【分析】取1BB 中点Q ，利用线面垂直的判定方法可证得1D O ⊥平面OQC ，由此可确定P 点轨迹为CQ ，再计算即可.【详解】取1BB 中点Q ，连接1,OQ D Q ，1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，1DD OC ∴⊥，又四边形ABCD 为正方形，OC BD ∴⊥，又1DD BD D =，1,DD BD ⊂平面11BDD B ，OC ∴⊥平面11BDD B ，又1D O ⊂平面11BDD B ，1D O OC ∴⊥；由题意得：1426DO +=123OQ =+=1813D Q +=， 22211D O OQ D Q ∴+=，1D O OQ ∴⊥；,OQ OC ⊂平面OQC ，OQ OC O =，1D O ∴⊥平面OQC ，1D O OP ⊥，P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动，P ∴点轨迹为线段CQ ；2222215CQ BC BQ ∴=++5三、解答题17．有1000人参加了某次垃圾分类知识竞赛，从中随机抽取100人，将这100人的此次竞赛的分数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图.（1）求图中a的值；（2）估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数.【答案】（1）0.040；（2）750；（3）76.5.【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程，能求出图中a的值；（2）先求出竞赛分数不少于70分的频率，由此能估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数；（3）由频率分布直方图的性质能估计总体1000人的竞赛分数的平均数．【详解】（1）由频率分布直方图得：++++⨯=，(0.0100.0150.0200.015)101aa=．解得0.040∴图中a的值为0.040．-+⨯=，（2）竞赛分数不少于70分的频率为：1(0.0100.015)100.75∴估计总体1000人中竞赛分数不少于70分的人数为10000.75750⨯=．（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，估计总体1000人的竞赛分数的平均数为：x=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．0.01010550.01510650.04010750.02010850.015109576.5【点睛】本题主要考查频率、频数、平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC CC =，AC BC ⊥，1AC 与1A C 交于点D ，E 为1BC 的中点，(1)求证：//DE 平面111A B C ； (2)求证：平面1AC B ⊥平面1A BC ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）根据直棱柱的性质、平行四边形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据直棱柱的性质、菱形的判定定理和性质，结合线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理进行证明即可. (1)在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AB A B ， 且四边形11ACC A 为平行四边形，又11AC A C D =，则D 为1AC 的中点，又E 为1BC 的中点，故//DE AB ，即：11//DE A B ，且DE ⊄平面111A B C ，11A B ⊂平面111A B C ， 所以//DE 平面111A B C ； (2)在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 则1AA BC ⊥，且AC BC ⊥，1AA AC A =，1AA AC ⊂，平面11ACC A ，故BC ⊥平面11ACC A ，因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BC AC ⊥， 又在平行四边形11ACC A 中，1AC CC =，则四边形11ACC A 为菱形，所以11A C AC ⊥，且1BC AC C =， 1BC A C ⊂，平面1A BC ，故1AC ⊥平面1A BC ，因为1AC ⊂平面1AC B ，所以平面1AC B ⊥平面ABC .19．己知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y．(1)当直线ll 与圆C 相交所得的弦长；(2)设直线l 与圆C 交于两点A ，B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程． 【答案】(1)(2)y x =或y x =-【分析】（1）、由题意可知直线l的方程为y =，圆C 的圆心为()0,3求出圆心到直线l 的距离，根据勾股定理即可求出l 与圆C 相交所得的弦长；（2）、设()11,A x y ，因为A 为OB 的中点，所以()112,2B x y ，又因为A ，B 均在圆C 上，将A ，B 坐标代入圆C 方程，即可求出A 点坐标，即可求出直线l 的方程． (1)由题意：直线l 过坐标原点O ，且直线l直线l的方程为y =， 圆C 的方程为22640x y y∴圆C 的方程可化为：()2235x y +-=∴圆C 的圆心为()0,3，半径为R =∴圆C 的圆心到直线l：y =的距离为d ==l ∴与圆C相交所得的弦长为L =(2)设()11,A x y ，A 为OB 的中点 ∴()112,2B x y ，又A ，B 均在圆C 上，()()2211122111640221240x y y x y y ⎧+-+=⎪∴⎨+-+=⎪⎩2211122111640441240x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩ 2211122111640310x y y x y y ⎧+-+=∴⎨+-+=⎩1111x y =±⎧∴⎨=⎩ ∴()1,1A 或()1,1A -∴直线l 的方程y x =或y x =- 20．某种机械设备随着使用年限的增加，它的使用功能逐渐减退，使用价值逐年减少，通常把它使用价值逐年减少的“量”换算成费用，称之为“失效费”．某种机械设备的使用年限x （单位：年）与失效费y （单位：万元）的统计数据如下表所示：（1）由上表数据可知，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．请用相关系数加以说明；（精确到0.01）（2）求出y 关于x 的线性回归方程，并估算该种机械设备使用8年的失效费．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距最小二乘估计计算公式：()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-． 参考数据：()()71i ii x xy y =--=14.00∑，()7217.08ii y y =-=∑14.10．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ0.5 2.3y x =+；失效费为6.3万元． 【分析】（1）根据相关系数公式计算出相关系数r 可得结果；（2）根据公式求出ˆb和ˆa 可得y 关于x 的线性回归方程，再代入8x =可求出结果. 【详解】（1）由题意，知123456747++++++==x，2.903.30 3.604.40 4.805.20 5.904.307y ++++++==，()()()()()()()()72222222211424344454647428i i x x=-=-+-+-+-+-+-+-=∑．∴结合参考数据知：14.000.9914.10r =≈≈．因为y 与x 的相关系数近似为0.99，所以y 与x 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）∵()()()7172114ˆ0.528iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， ∴ˆ 4.30.54 2.3ˆy abx -==-⨯=． ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.5 2.3yx =+， 将8x =代入线性回归方程得ˆ0.58 2.3 6.3y=⨯+=万元， ∴估算该种机械设备使用8年的失效费为6.3万元．21．已知正三棱柱底面边长为26，M 是BC 上一点，1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形．(1)证明：M 是BC 的中点； (2)求点C 到平面1AMC 的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)2.【分析】（1）证明出AM ⊥平面11BB C C ，可得出AM BC ⊥，再利用等腰三角形的几何性质可证得结论成立；（2）计算出三棱锥1C ACM -的体积以及1AC M 的面积，利用等体积法可求得点C 到平面1AMC 的距离. (1)证明：在正三棱柱111ABC A B C -，1CC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，则1AM CC ⊥， 因为1AMC 是以M 为直角顶点的等腰直角三角形，则1AM MC ⊥， 111CC MC C =，则AM ⊥平面11BB C C ，BC ⊂平面11BB C C ，所以，AM BC ⊥，因为ABC 为等边三角形，故点M 为BC 的中点. (2)解：因为ABC 是边长为26266032AM == 1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则1CC BC ⊥，即1CC CM ⊥，所以，221118623CC C M CM =-=-=116323322ACM S CM AM =⋅==△11113323633C ACM ACM V S CC -∴=⋅=⨯=△，设点C 到平面1AMC 的距离为d ，(12192AC M S =⨯=△，11119633C AC M AC MV Sd d -∴=⋅=⨯=，解得2d =.因此，点C 到平面1AMC 的距离为2.22．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 在x 轴上，与直线3470x y -+=相切，且被y轴截得的弦长为C 的面积小于5π． (1)求圆C 的标准方程；(2)设过点()0,3M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OADB ．是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)()2214x y -+=； (2)不存在，理由见解析.【分析】（1）设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，可得出a <，根据已知条件可得出关于实数a 的方程，求出a 的值，可得出r 的值，进而可得出圆C 的标准方程； （2）分析可知直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与圆C 的方程联立，由0∆>可求得k 的取值范围，列出韦达定理，分析可得OD OA OB =+，可求得点D 的坐标，由已知可得出OD MC k k =，求出k 的值，检验即可得出结论. (1)解：设圆心(),0C a ，设圆C 的半径为r，则0r <<375a r +=，由勾股定理可得ra <<由题意可得375a a ⎧+=⎪⎨⎪<⎩1a =，则2r =，因此，圆C 的标准方程为()2214x y -+=. (2)解：若直线l 的斜率不存在，此时直线l 与y 轴重合，则A 、B 、O 三点共线，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程为3y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立()22314y kx x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得()()2216260k x k x ++-+=，()()22622410k k ∆=--+>，解得k <或k > 由韦达定理可得122261kx x k -+=+，12261x x k =+，则()121222661k y y k x x k ++=++=+， 因为四边形OADB 为平行四边形，则()1212222626,,11k k OD OA OB x x y y k k -+⎛⎫=+=++= ⎪++⎝⎭， 因为//OD MC ，则30301OD MC k k -===--，则26332613k k k k ++==---，解得34k =，因为34k k ⎧⎪∉<⎨⎪⎩或k >⎪⎭， 因此，不存直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行.。
四川省宜宾市三中教育集团2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
宜宾市三中教育集团高2023级高二十月月考数学试卷（考试时长：100分钟 总分：150分）第I 卷（选择题）一､单选题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线过点，且倾斜角是，则直线的方程是（ ）A. B.C.D.2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线平面，则的值为（ ）A.B.3C.或3D.或3.若为两两垂直的三个空间单位向量，则（ ）A.4.已知直线与垂直，垂足为，则的值为（ ）A.24B.20C.0D.5.在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，则点到直线的距离为（）C.2l ()2,1-π2l 10x y ++=12y x =-20x +=10y -=l ()4,1,a k k =-- α3,,12b k k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭l ⊥αk 2-2-122-,,a b c223a b c +-= 420mx y +-=250x y n -+=()1,p m n p -+10-1111ABCD A B C D -M 1CC B 1A M6.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A.或B.或C.D.7.某节物理课上，物理老师讲解光线的入射､反射与折射，为了更好地解释光线的路径，物理老师将此问题坐标化如下：已知入射光线从射出，经过直线的点后第一次反射，若此反射光线经过直线上的点时再次反射，反射后经过点，则可以求得直线的斜率为（ ）A.B. C.4 D.38.阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为.根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）B.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知空间中三个向量，则下列说法正确的是（ ）A.与是共线向量B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是D.与的夹角为10.已知直线，当满足一定的条件时，它们的图形可能是（）()()2,3,3,2A B ---:10l mx y m +--=AB m 4m ≤-34m ≥34m ≤-4m ≥344m -≤≤344m -≤≤()6,4A --0x y -=B 1x =C ()0,12D BC 7252Oxyz ()000,,P x y z (),,m a b c =α()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z ()(),,0n u v w uvw =≠l 000x x y y z z u v w---==α270x y z -+-=l 20x y -+=210x z -+=l α1312()()()1,2,0,1,2,1,1,2,1a b c ==-=--a ca⎫⎪⎪⎭c a()1,2,0--ab9012:0,:0l ax y b l bx y a --=-+=,a bA. B.C. D.11.在正三棱柱中，，点满足，其中，则（ ）A.当时，的周长为定值B.当时，三棱锥的体积为定值C.当时，有且仅有一个点，使得D.当时，有且仅有一个点，使得平面三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线平行，则__________.13.在棱长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段，上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为__________.14.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交于点，得到四棱锥；第二步，将剩下的几何体沿平面切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形，若，则的值为__________.111ABC A B C -11AB AA ==P 1BP BC BB λμ=+][0,1,0,1λμ⎡⎤∈∈⎣⎦1λ=1AB P V 1μ=1P A BC -12λ=P 1A P BP ⊥12μ=P 1A B ⊥1AB P ()1:120l x m y m +++-=2:280l mx y ++=m =1111ABCD A B C D -,E F 1,DA BB ,M N 11D A 11A B EN FM ⊥MN P ABCD -,,PB PC PD ,,E F G P AEFG -ACF AEFG 31,52PE PF PB PC ==PGPD四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）在中，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.（1）求直线的方程；（2）求直线的方程及点的坐标.16.（本小题满分15分）如图，在正四棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积；17.（本小题满分15分）如图，已知平行六面体的底面是矩形，且，为与的交点，设.Rt ABC V 90,BAC BC ∠=AD 220x y -+=A ∠0y =B ()1,3BC AC C 1111ABCD A B C D -124,,AA AB E F ==11,BB CC 1A F ∥CDE 1A CDE -1111ABCD A B C D -ABCD 11160,2A AD A AB AB AA ∠∠====1,AD O =AC BD 1,,AB a AD b AA c ===（1）用表示；（2）求异面直线与所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得.（1）求证：平面；（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.19.（本小题满分17分）已知点和非零实数，若两条不同的直线均过点，且斜率之积为，则称直线是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.（1）已知是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；,,a b c11,A O BD 1AO 1BD ABCD 2AB AD E ==DC ADE V AE DC =BE ⊥ADE AB H ADE DHC π4H P λ12l l ､P λ12l l ､P λ1:2l y x =21:2l y x =-1O -O 12l l ､3O -1:2l y x =2l（2）如图，已知点､点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线､上的点（A ､B ､C 与均不重合），且直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，直线是“共轭线对”，求点的坐标；（3）已知点，直线是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线的距离之积的取值范围.()0,1A ()1,0B -()1,0C PQ QR RP ､P Q R ､､PR PQ ､1P QP QR ､4Q RP RQ ､9RP (1,Q -12l l ､2Q -1l O 12l l ､参考答案：题号12345678910答案C ABBCBDDBCACD题号11答案BD12.14.8.D 【详解】因为平面的方程为，所以平面的一个法向量为，同理可得平面与的一个法向量为和，设直线的一个方向向量为，则，不妨取，则，直线与平面所成的角为，则，11.易知，点在矩形内部（含边界）.对于A ，当时，，即此时线段周长不是定值，故A 错误；对于B ，当时，，故此时点轨迹为线段，而平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B 正确.1m =34α270x y z -+-=α()02,1,1m =-20x y -+=210x z -+=()11,1,0m =- ()22,0,1m =-l ()0,,n x y z =102020m n x y m n x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ 1x =()01,1,2n = l αθ01sin cos ,2m θ= P 11BCC B 1λ=11BP BC BB BC CC μμ=+=+P ∈11,CC AB P V 1μ=1111BP BC BB BB B C λλ=+=+P 11B C 11B C ∥11,BC B C ∥1A BC P 1A BC对于C ，当时，，取中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，则，所以或.故均满足，故C 错误；对于D ，当时，，取中点为，所以点轨迹为线段.设，因为，所以，所以，此时与重合，故D 正确.14.解法二：连接交于点，则是底面的中心，连接垂直于底面，连接，交于，可得为的三等分点（靠近，连接并延长，与的交点即为，在平面内作出三角形作，垂足分别为，如图，由题意，，所以，设，则，又由三角形相似得，所以，解得：.12λ=112BP BC BB μ=+ 11,BC B C ,Q H BP BQ QH μ=+ P QH ()11,0,0,,0,,02A P B μ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()1111,0,,,102A P BP A P BP μμμμ⎛⎫⎛⎫=-=-⋅=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0μ=1μ=,H Q 12μ=112BP BC BB λ=+ 11,BB CC ,.M N BP BM MN λ=+ P MN 010,,2P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭A ⎫⎪⎪⎭0111,,,122AP y A B ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭00311104222y y +-=⇒=-P N ,AC BD O O ,PO PO ABCD AF PO H H PO )O EH PD G ,PBD ,ES PO GT PO ⊥⊥,S T 35PS PE PO PB ==3231,53515PS PO HS PO PO ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭PG PD λ=2,3PT HT PO PO λλ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3,,5SE PE GT PG SH SEOB PB DO PD HT GT λ=====1315523PO PO λλ=⎛⎫- ⎪⎝⎭34λ=15.（1）由于所在直线的方程为，故的斜率为，与互相垂直，直线的斜率为，结合，可得的点斜式方程：，化简整理，得，即为所求的直线方程.（2）由和联解，得由此可得直线方程为：，即，关于角A 平分线轴对称，直线的方程为：，直线方程为将方程联解，得，因此，可得点的坐标为.16.（1）在正四棱柱中，两两垂直，且，以A 为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为分别为的中点，所以，AD 220x y -+=AD 12BC AD ∴BC 2k =-()1,3B BC ()321y x -=--250x y +-=BC 220x y -+=0y =()2,0A -AB 023012y x -+=-+2y x =+,AB AC x ∴AC 2y x =-- BC 25,y x =-+∴AC BC ､7,9x y ==-C ()7,9-1111ABCD A B C D -1,,AB AD AA 124AA AB ==1,,AB AD AA x y z ()()()12,2,0,0,2,0,0,0,4C D A ,E F 11,BB CC ()()2,0,2,2,2,2E F则，设平面的法向量为，则，即，令，则有，即，因为，所以，又平面，所以平面；（2）由（1）可知，，，所以与平面所成角的正弦值为.注意到所以点到平面的距离为，而，从而，所以，三角形的面积为所以三棱锥的体积为；17.（1）因为是平行六面体，所以，（2）()()()12,0,0,0,2,2,2,2,2CD CE A F =-=-=-CDE (),,m x y z = 00CD m CE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20220x y z -=⎧⎨-+=⎩1y =0,1x z ==()0,1,1m = ()12021210A F m ⋅=⨯+⨯+-⨯= 1A F m ⊥ 1A F ⊄CDE 1A F ∥CDE ()12,0,2A E =-1111cos ,2A E m A E m A E m⋅===-1A E CDE 121A E =1A CDE 12=()()2,0,0,0,2,2CD CE =-=-0,2,CD CE CD CE ⋅=== CD CE ⊥ CDE 122⨯⨯=1A CDE -1433⨯=1111ABCD A B C D -()11111222AO A A AO c a b a b c =+=-++=+-11BD BA AD a b c=+=-++1111111222A O A A AO A A AC A A AB AD=+=+=++ 32===，，若异面直线与所成角为则，因此异面直线与18.（1）证明：连接，取线段的中点，连接，在中，，在中，，由余弦定理可得：在中，，又平面平面，又平面平面平面，在中，平面平面平面平面.（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，1BD == ()1111322A O BD a b c a b c ⎛⎫⋅=+-⋅-++=- ⎪⎝⎭1AO 1BD ,θ111111cos cos ,A O BD A O BD A BD θ⋅===⋅ 1AO 1BD BE AE O ,DO OC Rt ADE V ,1DA DE DO AE DO ==∴⊥=OEC V 131,π24OE AE EC OEC ∠====212215,OC OC =++⨯=∴=DOC V 2226,DC DO OC DO OC ==+∴⊥,,AE OC O AE OC ⋂=⊂,ABCE DO ∴⊥ABCE DO ⊂,ADE ∴ADE ⊥ABCE ABE V 2,AE BE AB BE AE===∴⊥ ADE ⋂,ABCE AE BE =⊂,ABCE BE ∴⊥ADE E DO l E ,,EA EB l x y z ()()()()1,0,1,1,1,0,2,0,0,0,2,0D C A B -ADE ()10,1,0n =在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则，设平面的法向量为，所以，令，则，由已知解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.19.解：（1）由已知得，又直线的方程；（2）设直线的斜率分别为，则，得（负值舍去），直线的方程为，直线的方程为，联立得；故所求为；xOy AB 2x y +=H (),2,0t t -()()1,1,0,2,1,1HC t t DC =---=-- DHC ()222,,,0,0n x y z n HC n DC =⋅=⋅= ()()110,20t x t y x y z --+-=-+-=1y t =+()21,3,1,1,3x t z t n t t t =-=-∴=-+- πcos 4=1t =H AB 123l l k k =-1232,2l l k k =∴=-∴2l 32y x =-,,PR PQ QR 123,,k k k 122331149k k k k k k =⎧⎪=⎨⎪=⎩12332,,623k k k ===PR ()312y x =-PQ 213y x =+()3,3P ()3,3P（3）设，其中，故由于（等号成立的条件是），故，所以，即原点到直线的距离之积的取值范围为.()()122:1,:1l y k x l y x k-+=++=+0k≠12d d===224559k k ++≥+=22k =[)22910,145k k -∈++12d d ⎡∈⎣O 12,ll 12d d ⎡∈⎣。
2021-2022学年山东省临沂市兰陵县人教版五年级上册期末教学质量监测数学试卷(含答案解析)
2021-2022学年山东省临沂市兰陵县人教版五年级上册期末教学质量监测数学试卷学校:___________姓名: ___________班级: ___________考号: ___________一、填空题1. 3时30分＝( )时 4.05平方米＝( )平方分米 3吨50千克＝( )吨2.3公顷＝( )平方米 2. 的积是( )位小数, 的商的最高位在( )位上。
3. 聪聪坐在教室的第4列第2行, 用数对表示；明明坐在第3列第2行, 用数对( )来表示；强强坐在明明正后方的第一个位置上, 强强的位置用数对表示是( )。
4. 2.5353……用简便形式表示是( ), 保留两位小数约是( )。
5. 一个平行四边形, 面积是, 它的高是8dm, 底是( )dm, 与它等底等高的三角形的面积是( )。
6. 有十张扑克牌, 红桃有5张, 黑桃有3张, 方块有2张。
从十张扑克牌中任意抽一张扑克牌, 抽到( )的可能性最大, ( )的可能性最小。
7. 一个两位小数, 保留一位小数是2.5, 这个两位小数最大可能是( ), 最小可能是( )。
8．当( )时, 的值是6。
9．广场上的大钟5时敲响5下, 8秒敲完, 12时敲响12下, 需要_____秒。
10. 在下面的（ ）里填上“＞”“＜”或“＝”。
1010.9÷( )1010.9⨯ 45÷( )0.40.5÷5.97.8⨯( )48二、判断题11. 两个数的商一定小于这两个数的积。
( )12. 三角形的面积是平行四边形面积的一半。
( )13．把一枚硬币连续向上抛10次, 正面和反面出现的次数可能相同。
( ) 14. 无限小数一定比有限小数大。
( )15．因为表示两个相乘, 所以一定大于。
( )16. 解方程和方程的解都是求方程解的过程。
( )三、选择题17. 商最大的算式是（ ）。
18．三个连续的自然数, 最小的数是m, 最大的数是（ ）。
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年山东省潍坊市高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线x -y +1=0的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．45︒C ．135︒D ．150︒【答案】B【分析】由直线方程求得直线的斜率，再由倾斜角的正切值等于斜率求解．【详解】直线10x y -+=的斜率1k =，设其倾斜角为0180θθ︒≤︒（＜），tan 1θ∴=，得45θ=︒．故选B ．【点睛】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础的计算题． 2．在二项式()412x +的展开式中，含3x 的项为（ ） A ．332x B ．316x C ．38x D ．34x【答案】A【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得含3x 的项．【详解】解：二项式()412x +的展开式的通项公式为142r r rr T C x +=⋅⋅，令3r =，故开式中含3x 项为33334232x C x =⋅⋅， 故选：A3．已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列一定能得到l α⊥的是（ ） A ．l m ∥，m α⊥ B ．l m ⊥，m α∥C ．αβ⊥，l β∥D ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α【答案】A【分析】根据线面垂直的定义和空间直线垂直平行的性质即可判定A 正确，举反例可判定BCD 错误.【详解】A. 若m α⊥，则直线m 与平面α内的所有直线都垂直，又l m ∥，∴l 与平面α内的所有直线都垂直，根据线面垂直的定义可得l α⊥，故A 正确；B.若m α∥，设过m 的平面β与α交于n ，则根据线面平行的性质定理可得//m n ，在平面α内，作直线l n ⊥,则l m ⊥，而此时l 在平面α内，故B 错误；C. 若αβ⊥，设=a αβ，在平面α内作直线l a //，则l β⊄，由线面平行的判定定理可得l β∥，而此时l 在平面α内，故C 错误；D.若l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n ⊂α，当,m n 平行时，l 与平面α可平行，可在内，也可斜交，也可垂直，故D 错误. 故选：A.4．现从甲、乙等7名大学生中选出3人担任北京冬奥会的志愿者，要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．35种【答案】C【分析】利用组合数计算总的选法种数和甲、乙都不入选的选法种数，作差即得所求.【详解】从7人中选3人,有3735C =种选法，其中甲、乙都不入选的有3510C =种选法，所以要求甲、乙至少1人入选，则不同的选法共有351025-=种, 故选：C5．已知直线()()1:2220l m x m y +--+=，直线()2:3250l x m y ++-=，若12l l ⊥，则m =（ ） A ．2或－5 B ．－2或－5C ．2或5D ．－2或5【答案】D【分析】直线1110A x B y C ++=与直线2220A x B y C ++=垂直的充要条件是12120A A B B +=，根据题意即可得到：()()()32220m m m +--+=，然后解得结果即可 【详解】根据题意，由12l l ⊥，则有： ()()()32220m m m +--+= 解得：2m =-或5m = 故选：D6．牙雕套球又称“鬼工球”，取鬼斧神工的意思，制作相当繁复，工艺要求极高．现有某“鬼工球”，由外及里是两层表面积分别为264cm π和236cm π的同心球（球壁的厚度忽略不计），在外球表面上有一点A ，在内球表面上有一点B ，连接AB ，则线段AB 长度的最小值是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD 41cm【答案】A【分析】利用球的表面积公式分别求的外球和内球的半径，两半径之差即为所求. 【详解】设外球和内球的半径分别为R 和r ,则22464,436R r ππππ==,解得4,3R r ==, 当B 在大球的过A 的半径上时AB 的长最小， ∴AB 长度的最小值是()1R r cm -=, 故选：A7．过等轴双曲线()2220x y a a -=>的右焦点F 作两条渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若FMN 的面积为2，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】求出过右焦点F 与y x =垂直的直线，然后与渐近线方程联立，求出点M 的坐标，根据对称性得点N 的坐标，则可得表示出FMN 的面积，然后解方程即可. 【详解】双曲线为22221x y a a-=，右焦点()2,0Fa ，由已知双曲线的一条渐近线方程为y x =， 则过右焦点F 与y x =垂直的直线为2y x a =-+， 联立2y x y x a =⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得2222x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨取22,22M a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则根据对称性得22,22N a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 2222221222FMNa a Sa a ⎛⎫⎛⎫∴=⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+ 解得2a = 故选：B.8．如图，某系统由A ，B ，C ，D 四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A ，B ，C ，D 正常工作的概率都为()01p p <<，则该系统正常工作的概率为（ ）A ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦ B ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦C ．()()2111p p p ⎡⎤---⎣⎦D ．()211p p p ⎡⎤--⎣⎦【答案】C【分析】要使系统正常工作，则A 、B 要都正常或者C 正常，D 必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.【详解】记零件或系统X 能正常工作的概率为()P X ，该系统正常工作的概率为:(){}()()P AB C D P AB C P D ⎡⎤⎡⎤⋃⋂=⋃⎣⎦⎣⎦()()()()()()()11P AB P C P D P A B P C P D ⎡⎤=-=-⋃⎣⎦()()()()()()()2111111P AB P C P D p p p ⎡⎤⎡⎤=---=---⎣⎦⎣⎦,故选：C. 二、多选题9．已知圆221:1O x y +=的半径为1r ，圆222:3440O x y x y +--+=的半径为2r ，则（ ）A ．12r r >B ．12r r <C ．圆1O 与圆2O 外切D ．圆1O 与圆2O 外离【答案】BC【分析】根据圆与圆的位置关系即可求解.【详解】解：圆221:1O x y +=的半径为11r =，圆()22239:224O x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭的半径为232r =，故12r r <,故B 对，A 错；圆心距1252d r r ===+，故圆1O 与圆2O 外切，故C 对，D 错；故选：BC. 10．若()20222202201220221x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则（ ）A ．展开式中所有的二项式系数之和为20222B ．展开式中二项式系数最大的项为第1012项C ．01a =D ．12320220a a a a +++⋅⋅⋅+= 【答案】ABC【分析】利用二项式系数的性质可以判定AB;利用赋值法可以判定CD.【详解】展开式中所有项的二项式系数和为01202220222022202220222C C C ++⋯+=,故A 正确；展开式中第1012项的二项式系数为10112022C ，是所有项的二项式系数中的最大值，故B 正确；在二项式展开式中，令0x =可得01a =，故C 正确；令1x =可得0120220a a a ++⋯+=,∴1202201a a a +⋯+=-=-,故D 错误. 故选：ABC11．如图，已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 线交于两点A ，B ，与抛物线的准线交于点D ，1BF =，则（ ）A ．2BD =B ．32p =C ．点A 到准线的距离为2D ．点F 为线段AD 的中点【答案】ABD【分析】作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，计算得到32p =，逐项分析，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线l 于点C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线l 于点E ．BH x ⊥轴于M ，直线的斜率为3，所以tan 3,HFB ∠=∴,3HFB π∠=所以6BDE π∠=，故||2||2||2DB BE BF ===，故A正确； 又∵1BF =，∴1313,,222p HF HB B ⎛==- ⎝⎭代入抛物线，得32p =（12p =-舍去），故B 正确； 对于C ，由B 选项得，直线AB 方程为：333y x = 2590216x x -+=，即91044x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故94A x =,故点A 到准线的距离为32A px +=，故C 错误； 对于D, 由C 选项得,3AF FD ==, 点F 为线段AD 的中点, 故D 正确. 故选：ABD ．12．如图，点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上运动，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于E ，F 两点．设BP x =，()EF f x =，则（ ）A ．动点E 5B ．线段EF 6C ．324f =⎝⎭ D 33x <<())263f x x =【答案】ABD【分析】作出线段EF 运动形成的图形，根据图形特点对选项一一判断即可． 【详解】线段EF 运动形成的图形如图所示： 动点E 运动形成的轨迹长度为112154BE ED +=+=A 正确； 线段EF 运动形成的图形为平行四边行1BED F 其面积为1136222222BEFS SEF BP ==⨯⋅=⨯=B 正确； 当3BP =31222f =⎝⎭，故C 错误； 33x <<332x -=())263f x EF x ==，故D 正确；故选：ABD三、填空题13．计算：2344A C +=______． 【答案】16【分析】根据排列数和组合数的公式计算即可.【详解】234443416A C +=⨯+=故答案为：16.14．已知向量()1,2,3a =-，()1,3,6b λλ=---，若a b ∥，则实数λ=______． 【答案】1- 【分析】由题意可知136123λλ--==--，解方程，即可求出结果. 【详解】因为a b ∥，所以136123λλ--==--，所以1λ=-. 故答案为：1-.15．甲、乙、丙、丁、戊五名学生参加“劳动技术比赛”，决出第一名到第五名的名次，甲、乙、丙去咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是亚军，乙不是五人中成绩最好的，丙不是五人中成绩最差的，而且五人的成绩各不相同．”则他们五人不同的名次排列共有______种情况．（用数字填写作答） 【答案】14【分析】由题意，可分两类，丙的成绩是最好的和丙的成绩不是最好的，根据分类分步计数原理可得．【详解】解：若丙的成绩是最好的，则有336A =种，若丙的成绩不是最好的，从甲乙丙之外的2人中选1人为成绩最好，再选一人为成绩最差的，其它任意排，故有1122228A A A =种，故共有6814+=种， 故答案为：14．16．如图所示，底面半径为3，高为8的圆柱内放有一个半径为3的球，球与圆柱下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面α与球相切于点F，若平面α与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲线C，且C是以F为一个焦点的椭圆，则C的离心率的最大值为______．【答案】8 17【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点F为焦点，则需要新加一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面α也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆的离心率【详解】根据题意，可再新增一个半径为3的球从圆柱上方放入，设平面α分别交两个球于点1F 和点2F ，则可得：点1F 和点2F 是椭圆的两个焦点当且仅当2G 在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值如上图所示，2G C 为圆柱的高，11O F 为球的半径，则12F F 为2c ，12G G 为2a ，然后建立以1A 为坐标原点，以11A E 为x 轴，以12AG 为y 轴的平面直角坐标系， 易知：21835G A ，113O F圆1O 的方程为：()2239x y -+=设直线12G G 的斜率为k ，则该直线的方程为：5y kx =+ 根据相切可知：点1O 到直线12G G 的距离为32531k k解得：815k =-故直线12G G 的方程为：8515y x则有：196,5G 则123425G G a因1112O F G G ，则直线11O F 的方程为：1538yx联立直线12G G 和直线11O F 的方程：()85151538y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩可解得：17545,1717F 则1195G F a c解得：85c =故椭圆的最大离心率为：817c e a故答案为：817【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题. 四、解答题17．已知双曲线()222:1012x y C a a -=>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，焦距为8，M 是双曲线上的一点．(1)求C 的离心率和渐近线方程； (2)若15MF =，求2MF ．【答案】(1)2e =，y = (2)29MF =【分析】（1）由已知直接求a 、b 、c ，再求离心率和渐近线方程；（2）根据双曲线定义直接求解，注意双曲线上的点到焦点的最小距离为c a -. (1)由题知：b =4c =所以222a c b =-=所以双曲线C 的离心率2e =，渐近线方程为3y x =±. (2)由双曲线定义知：1224MF MF a -==15MF =29MF ∴=，或21MF =又12c a <-=，故21MF =不满足29MF ∴=.18．如图所示，在Rt AOB △中，6OAB π∠=，斜边4AB =．现将Rt AOB △以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=，点D 是线段AB 的中点．(1)求直线CD 与OA 所成角的余弦值； (2)求点B 到平面OCD 的距离． 【答案】63【分析】（1）取OB 中点M ，连接DM ，则可得CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角，在CDM 中计算其余弦值即可；（2）过B 作BN OD ⊥交OD 于N ，通过证明BN ⊥面OCD 可得线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，在ODM △中计算BN 的长度即可. (1)取OB 中点M ，连接DM ，CM ,因为D ,M 分别为BA ，BO 的中点，则//DM AO 则CDM ∠为直线CD 与OA 所成角或其补角， 因为AO ⊥面O ,则DM ⊥面O ， 又CM ⊂面O ，则DM CM ⊥,2BOC π∠=，222215CM OC OM ∴=+=+=，又11343222DM AO ==⨯⨯=, 228CD CM DM ∴=+=36cos 48DM CDM CD ∴∠===, 即直线CD 与OA 所成角的余弦值为64； (2)过B 作BN OD ⊥交OD 于N ， ,,CO OB CO OA OB OA O ⊥⊥=，CO ∴⊥面OAB ，又BN ⊂面OAB ， CO BN ∴⊥，又,BN OD CO OD O ⊥=，BN ∴⊥面OCD ，则线段BN 的长即为点B 到平面OCD 的距离，232OBDSBN =⨯=，3BN ∴=.即点B 到平面OCD 的距离为3.【点睛】19．如图，有三个外形相同的箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同．小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件()1,2,3i A i =表示“球取自第i 号箱”，事件B 表示“取得黑球”．(1)分别求()1P BA ，()2P BA ，()3P BA 和()P B 的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由． 【答案】(1)()1112P BA =，()216P BA =，()313P BA =，()P B 712=.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【分析】（1）利用条件概率公式()()(|)i i i P BA P A P B A =,计算即可求得()1P BA ，()2P BA ，()3P BA ；三式求和即得()P B ；（2）利用条件概率公式分别计算()1|P A B ，()2|P A B ，()3|P A B ，最大者即为所求箱号. (1)由已知可得()()()12313P A P A P A ===,()()()123123|,|,|443P B A P B A P B A ===,∴()111111()(|)3412P BA P A P B A ==⨯=，()222121()(|)346P BA P A P B A ==⨯=，()333131()(|)333P BA P A P B A ==⨯=，∴()P B ()()()1231117126312P BA P BA P BA =++=++=. (2)()()()111112|7712P A B P A B P B ===，()()()22126|7712P A B P A B P B ===，()()()33143|7712P A B P A B P B ===，()3|P A B 最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,M p p -在抛物线C 上．(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)过点M 的直线l 与抛物线C 相交于M ，N 两点，且MFN △的面积为3，求直线l 的方程．【答案】(1)24y x =；1x =- (2)2340x y -+=或240x y +-= 【分析】（1）将点M 代入计算即可；（2）设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，与抛物线方程联立，消去x ，可求出0y ，再求出直线与x 轴交点坐标，再利用0122MFN S y FQ =-△列方程求解即可. (1)由已知得()221p p p =-，解得2p =.所以抛物线C 的方程为24y x =，其准线方程为1x =-; (2)由（1）得()1,2M ，()1,0F ，设直线l 的方程为()21x k y =-+，()00,N x y ，联立()2421y x x k y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩，消去x 得24840y ky k -+-=，024y k ∴+=，则042y k =-又直线l 与x 轴交点坐标为()21,0Q k -+，()0112242211322MFN S y FQ k k ∴=-=--⋅-+-=△ 解得32k或12k =- 所以直线l 的方程为()3212x y =-+或()1212x y =--+， 即2340x y -+=或240x y +-=.21．如图，在多面体ABCDEF 中，平面ACEF ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB AD ⊥，2AD =，1AB BC ==．(1)求证：CD AF ⊥；(2)若四边形ACEF 为矩形，且30EDC ∠=︒，求直线DF 与平面DCE 所成角的正弦值； (3)若四边形ACEF 为正方形，在线段AF 上是否存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23？若存在，请求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析 21 (3)存在，1AP =【分析】（1）利用直角三角形和余弦定理及勾股定理的逆定理经过计算可证得AC ⊥CD ,然后根据已知条件，利用面面垂直的性质定理可证得CD ⊥平面ACEF ,从而证得结论； （2）根据已知条件利用面面垂直的性质定理可证得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.然后利用空间向量运算求得； （3）与（2）同样建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解. (1)∵AD BC ∥，AB AD ⊥，∴四边形ABCD 为直角梯形， 又∵1AB BC ==，∴∠BAC =45°，AC 2∴∠CAD =45°， 又∵AD =2,∴CD 2222?·cos 4222222AD AC AD AC CAD +-∠=+-⨯⨯⨯= ∴222AC CD AD +=,∴AC CD ⊥,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,CD ⊂平面ABCD , ∴CD ⊥平面ACEF , 又∵AF ⊂平面ACEF , ∴CD ⊥AF(2)∵四边形ACEF 为矩形，∴AF ⊥AC ,又∵平面ACEF ⊥平面ABCD , 平面ACEF ∩平面ABCD =AC ,AF ⊂平面ACEF , ∴AF ⊥平面ABCD ,CE ⊥平面ABCD ∴AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系如图所示. ∵AF ⊥平面ABCD ,AF //CE ,∴CE ⊥平面ABCD ， 又∵30EDC ∠=︒，∴CE =CDtan 30°, ∴A (0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE), DF ⎛=- ⎝⎭,由AC ⊥CE ,AC ⊥CD ,CE ∩CD =C ,∴AC ⊥平面CDE , ∴平面CDE 的法向量为()1,1,0AC =,∴直线DF 与平面CDE所成的角的正弦值为··4AC DFAC DF==(3)若ACEF 为正方形，则与（2）同理可得AF ,AB ,AD 两两垂直，以A 为原点，以射线AB 、AD 、AF 为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系.∴A(0,0,0),B (0,1,0),C (1,1,0),D (2,0,0),FE 设()0,0,(0P t t <,平面PBD 的法向量为(),,n x y z =()()2,0,,2,1,0PD t BD =-=-,则2020x tz x y -=⎧⎨-=⎩,令x t =,则2,2y t z ==,(),2,2n t t =,平面ABD 的法向量为()0,0,1m =, ∴22cos ,3m n t ==+,解得1t =， 在线段AF 上存在点P ，使得二面角P BD A --的余弦值为23，线段AP 的长为1.22．如图，已知圆()221:3100F x y -+=，动圆P 过点()23,0F -且与圆1F 内切于点N ，记动圆圆心P 的轨迹为E ．(1)求E 的方程；(2)过点()(),05M m m >的直线l （不与x 轴重合）与E 交于A ，B 两点，点C 与点B 关于x 轴对称，直线AC 与x 轴交于点Q ，已知点()5,0D ，试问MD DQMD DQ-是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)2212516x y +=(2)是定值，为15.【分析】（1）设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ，根据条件可得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，根据椭圆定义即可求出轨迹方程；（2）设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y - ，与椭圆方程联立，然后利用韦达定理求出直线AC 与x 轴交于点Q 的坐标，，直接计算MD DQMD DQ-即可得答案. (1)设动圆圆心P 的坐标为(),x y ，动圆P 的半径为r ， 则由已知2PF r =，110PF r =-， 消去r 得1210PF PF +=，故动圆圆心P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，设为22221,0x y a b a b+=>>，则210a =，5a ∴=，225916b ∴=-=则E 的方程为2212516x y +=；(2)设直线l 的方程为,5x ky m m =+>，11(,)A x y ，22(,)B x y ，22,()C x y -联立221625400x ky m x y =+⎧⎨+=⎩，消去x 得222(1625)32164000k y kmy m +++-=， 21212223216400,16251625km m y y y y k k -∴+=-=++，又直线AC 的方程为121112()y y x x y x x y +=-+- 令0y =， 得112111222122211221()()2()x y x y ky m y ky m ky y m y y x y y y y y y y ++++++===+++2222164003222516251625321625m km k m k k km m k -⎛⎫⋅+- ⎪++⎝⎭==-+， 即25,0Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()()111151255555555MD DQ m MD DQDQ MD m m m m-∴=-=-=-=----MD DQMD DQ -∴是定值，且为15.。
湖北省新洲一中、黄陂一中2021-2022学年高二上学期期末联考数学(文)试题 Word版含答案
2021年秋季新洲一中、黄陂一中期末联考高二数学试卷（文）命题学校：新洲一中 命题老师：蔡敏 审题老师：马金爱考试时间：2022年元月26日上午8:00～10:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 命题“若3a >-,则6a >-”以及它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4 2．已知命题1)1(,0:>+>∀x e x x p 总有，则p ⌝为 （ ）A. 1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使B. 1)1(,0≤+>∀xe x x 总有C. 1)1(,0000≤+>∃x ex x 使 D.1)1(,0≤+≤∀xe x x 总有 3．抛物线22y x =的准线方程为 （ ）A. 12y =-B. 18y =-C. 12x =-D. 18x =-4. 物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查， 5家商场的售价x 和销售量y 之间的一组数据如下表所示：价格x(元) 99.5 1010.5 11 销售量y(件)11 10865由散点图知，销售量y 与价格x 之间有线性相关关系，且回归直线 方程是y ＝－3.2x ＋a ，则a ＝( )A. 40B. －24C.35.6D. 40.5 5．假如执行右上图的算法语句输出结果是2，则输入的x 值是（ ） A.0 B.0或2 C.2 D.-1或26. 接受系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，1000，适当分组后在第一组接受简洁随机抽样的方法抽到的号码为8.抽到的50人中，编号落入区间[1，400]的人做问卷A ，编号落入区间[401，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷C 的人数为( )A.12B.13C.14D.157. 已经抛物线2:C y x =与直线:1,l y kx =+ 则"0"k ≠ 是“直线与抛物线有两个不同交点” 的( )A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分又不必要条件8. 用随机数表法从100名同学(男生20人)中抽选25人进行评教，某男同学被抽到的可能性是( ) A ．0.01 B ．0.04 C ．0.2D ．0.259．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，以|21F F |为直径的圆与曲线渐近线的一个交点为（3,4），则双曲线的方程为 （ ）A.191622=-y xB. 14322=-y xC. 116922=-y xD. 13422=-y x10．下列函数在区间),0(+∞上是增函数的是（ ）A ．x y sin =B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -=ln11．过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的直线交椭圆于A,B 两点，右焦点为2(,0),F c 则2ABF 的最大面积为（ ）A ．2bB ．abC ．acD ．bc12. 已知在R 上可导的函数()f x 的图象如图所示，则不等式()()0f x f x ⋅'<的解集为( )A.(2,0)-B.(,2)(1,0)-∞-⋃-C.(,2)(0,)-∞-⋃+∞D. (2,1)(0,)--⋃+∞ 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 已知函数()y f x =的图象在点()()1,1M f 处的切线方程是13,2y x =+则()()/11f f +=___14．已知实数4，m ，9构成一个等比数列，则圆锥曲线122=+y mx 的离心率为__________.15．对任意的R x ∈，函数ax ax x x f 7)(23++=有三个单调区间，则a 的范围为 16．设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则FA FB FC ++= ．三、解答题（共70分）INPUT x IF 1x < THEN 21y x ∧=+ ELSE2y x x ∧=-END IF PRINT y17．（满分10分）已知命题p ：R x ∈∀，不等式0232>+-mx x 恒成立，命题q ：椭圆13122=-+-m y m x 的焦点在x 轴上．若命题p ∨q 为真命题，求实数m 的取值范围18．（满分12分）由507名画师集体创作的999 幅油画组合而成了世界名画《蒙娜丽莎》，某部门从参与创作的507名画师中随机抽出100名画师，得到画师年龄的频率分布表如下表． （Ⅰ）求a ，b 的值(即①②)；并补全频率分布直方图； （Ⅱ）依据频率分布直方图估量这507名画师年龄的平均数；（III ）在抽出的[20,25)岁的5名画师中有3名男画师,2名女画师.在这5名画师中任选两人 去参与某绘画竞赛，选出的恰好是一男一女的概 率是多少？19．（满分12分）已知圆C:0322=++++Ey Dx y x 关于直线01=-+y x 对称，圆心C 在其次 象限,圆的半径为2. （1）求圆C 的标准方程；（2）是否存在直线与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.20．（满分12分） 已知袋子中放有大小和外形相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个.若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是1.2（1）求n 的值（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，其次次取出的小球标号为.b（i ）记“2a b +=”为大事A ,求大事A 的概率；（ii ）在区间[0，2]内任取2个实数,x y ，求大事“222()x y a b +>-恒成立”的概率21．(满分12分)已知圆22:(2)12A x y ++=，圆A 内肯定点(2,0)B ，圆P 过点B 且与圆A 内切. （Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线2y kx =+与点P 的轨迹交于,C D 两点.问是否存在常数k ，使得以CD 为 直径的圆过坐标原点O ,若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. （满分12分）已知函数2()(23)x f x x ax a e =+--，（1）若2x =是函数()f x 的一个极值点，求实数a 的值；（2）设0a <，当[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒不在直线2y e =上方，求实数a 的取值范围。
2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研(一)数学试题(解析版)
2021-2022学年广东省江门市高二上学期期末调研（一）数学试题一、单选题1．直线2210x y -+=的倾斜角是（ ）． A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】A【分析】先求斜率，再求倾斜角【详解】2210x y -+=，则斜率1k =，设倾斜角是α，0απ≤< ，即tan 1α=， 所以4πα=故选：A2．圆224240x y x y ++-+=的圆心坐标和半径分别为（ ） A ．()2,1-，1r = B ．()2,1-，2r = C ．2,1，1r = D ．2,1，2r =【答案】A【分析】根据圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=的圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】由于圆224240x y x y ++-+=，所以其圆心坐标为42,22-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()2,1-；半径为1=. 故选：A.3．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n =-+，则这个数列的通项公式为（ ）A ．42n a nB ．32n a n =-+C ．1,1,4 2.2n n a n n -=⎧=⎨-+≥⎩D ．1,1,32,2n n a n n -=⎧=⎨+≥⎩【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩进行计算.【详解】当1n =时，11211;a S ==-+=-当2n ≥时，()2212121142;n n n a S S n n n -=-=-++--=-+ 故选：C4．在直三棱柱111ABC A B C 中，1190,,BCA D F ∠=︒分別是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（ ） A ．3010B ．12C ．7010D ．3015【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求. 【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===， 则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =-，()11,0,2AF =-， 设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒， 则11330cos 1056AF BD AF BD α⋅===⨯⋅， 所以270sin 1cos 10αα=-=，即1BD 与1AF 所成角的正弦值是7010. 故选：C.5．抛物线22(0)y px p =>的焦点到直线1y x =+2，则p =（ ） A ．1 B ．2C ．2D ．4【答案】B【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得p 的值.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，其到直线10x y -+=的距离：d == 解得：2p =(6p =-舍去). 故选：B.6．己知12,F F 是椭圆22:1259x y C +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ）A ．36B ．25C ．20D ．16【答案】B【分析】根据椭圆定义可得1210MF MF +=，利用基本不等式可得结果.【详解】由椭圆22:1259x y C +=易知5a =，根据椭圆定义可知12210MF MF a +==， 所以21212252MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当125MF MF ==时，等号成立，所以1225MF MF ⋅≤，即12MF MF ⋅的最大值为25. 故选：B.7．直线()()()222350R m x m y m ++-+=∈与圆22:(1)(2)16C x y -++=相交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．6 B ．4C．D．【答案】D【分析】先求出直线经过的定点P，再由弦长公式AB =AB PC ⊥时，AB 最小，从而可求得结果.【详解】因为()()222350m x m y ++-+=可化为()22350x y m x y ++-+=，令()202350x y x y ⎧+=⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，所以直线AB 恒过定点(1,1)P -，该点在圆内，因为AB =AB 的最小值，即求圆心C 到直线AB 的最大距离d ， 显然当AB PC ⊥时，d PC =最大，AB 最小，又因为圆22:(1)(2)16C x y -++=，所以圆心()1,2C -，216r =，则PC ==故此时2AB ==故选：D.8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为（ ） A ．4x ＋2y ＋3＝0 B ．2x －4y ＋3＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．2x －y ＋3＝0【答案】B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出AB 中点和AB 的斜率后可得． 【详解】因为AC ＝BC ，所以欧拉线为AB 的中垂线，又A (1，0)，B (0，2)，故AB 的中点为1(,1)2，kAB ＝－2，故AB 的中垂线方程为y －1＝1122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即2x －4y ＋3＝0.故选：B ．二、多选题9．若{,,}a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．,,a b a a b -+ B ．,,b c b b c -+ C ．,,a b c a b -+ D ．,,a b a b c c +++【答案】ABD【分析】根据空间向量的共面定理判断即可.【详解】A ：()()12b a b a a ⎡⎤=+-⎦+⎣，A 是； B: ()()12b bc b c ⎡⎤=-++⎣⎦，B 是； C ：{,,}a b c 构成空间的一个基底，故c 无法用,a b 表示，C 不是； D ：()()c a b c a b =++-+，D 是； 故选：ABD10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且35a =，73a =，则（ ）．A ．1d =B ．12d =-C ．918S =D ．936S =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质可求公差和9S ，从而可判断ABCD 的正误. 【详解】因为35a =，73a =，故35142d -==-，故A 错误，B 正确. 而()()91937999836222S a a a a =⨯+=⨯+=⨯=，故C 错误，D 正确.故选：BD.11．已知曲线C 的方程为221282x y m m+=+-，则（ ）A ．当2m =时，曲线C 为圆B ．当5m =时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为7y x =± C ．当1m >时，曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆D ．存在实数m 使得曲线C 【答案】AD【分析】对于AB ，代入曲线C 的方程，结合圆的标准方程与双曲线的性质即可判断； 对于C ，结合选项B 的分析举反例即可排除；对于D ，先由曲线C 为双曲线求得m 的范围，22a b =，分类讨论2m <-与4m >两种况情，从而求得10m =，据此判断即可.【详解】对于A ，当2m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22144x y +=，即224x y +=，所以曲线C 是圆，故A 正确；对于B ，当5m =时，方程221282x y m m +=+-可化为22172x y -=，所以曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =，故B 错误； 对于C ，当1m >时，不妨令5m =，由选项B 可知曲线C 为双曲线，故C 错误；对于D ，假设存在实数m 使得曲线C 因为曲线C 为双曲线，所以(2)(82)0m m +-<，解得2m <-或4m >，，即ca=222c a b =+，易得22a b =， 当2m <-时，曲线C ：()221822y x m m -=--+，则()822m m -=-+，解得10m =，舍去； 当4m >时，曲线C ：221228x y m m -=+-，则228m m +=-，解得10m =，满足题意；综上：存在10m =满足题意，故D 正确. 故选：AD.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，EF 是棱AB 上的一条线段，且12EF =点Q 是棱11A D 的中点，点P 是棱11C D 上的动点，则下列结论正确的是（ ） A ．PQ 与EF 一定不垂直B ．二面角P EF Q --C ．点P 到平面QEF 的距离是定值D ．PEF 【答案】BCD【分析】对于A ，利用特殊位置法，当P 与点1D 重合时即可判断；对于B ，建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法可求得二面角P EF Q --的余弦值的绝对值，从而即可判断；对于C ，由线面平行的判定定理判断得到11//C D 平面QEF ，即可判断；对于D ，利用线面垂直的性质定理可得1BC 是PEF 的高，再利用三角形的面积公式求解即可判断． 【详解】对于A ，当P 与点1D 重合时，由正方体的性质易得PQ ⊥面11AA B B ，而EF ⊂面11AA B B ，所以PQ EF ⊥，故A 错误；对于B ，由于点P 是棱11C D 上的动点，EF 是棱AB 上的一条线段，所以平面PEF 即平面11ABC D ， 建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()11,0,2,2,0,0,2,2,0,0,0,2Q A B D ， 所以()1(1,0,2),(0,2,0),2,0,2QA AB AD →→=-==-，因为平面QEF 即平面QAB ，设平面QAB 的法向量为(),,n x y z =，则00n QA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则(2,0,1)n →=，设平面11ABC D 的法向量为(),,m a b c =，则100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020a c b -+=⎧⎨=⎩，令1c =，则(1,0,1)m →=，设二面角P EF Q --为θ，0πθ≤≤，所以||21310|cos |cos ,1025||||m n m n m n θ→→→→→→⋅+====⨯， 故2231010sin 1cos 11010θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故B 正确； 对于C ，由于11//C D EF ，且11C D ⊄平面QEF ，EF ⊂平面QEF ，所以11//C D 平面QEF ， 又点P 在11C D 上，所以点P 到平面QEF 的距离是定值，故C 正确； 对于D ，由于AB ⊥平面11BB CC ，又1BC ⊂平面11BB CC ，所以1AB BC ⊥，所以1BC EF ⊥，又11//C D EF ，所以1BC 是PEF 的高， 所以11112222222PEFSEF BC =⋅⋅=⨯⨯=，故D 正确. 故选：BCD ．.三、填空题13．已知椭圆2212516x y +=与双曲线2215x y m -=有共同的焦点，则m =______．【答案】4【分析】求出椭圆的焦点，再解方程35m =+. 【详解】解：由题意得椭圆的焦点为()3,0-和()3,0， 所以35m =+4m =． 故答案为：414．已知点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点，则OB =__________.【分析】按照点关于平面对称的规律求出B 的坐标，再利用空间两点的距离公式进行求解即可. 【详解】因为点B 是点()2,1,3A -关于坐标平面yoz 内的对称点， 所以()2,1,3B ，所以22OB==15．如果一个等比数列的前5项和等于10，前10项和等于330，那么这个数列的首项等于__________. 【答案】1031【分析】利用等比数列前n 项和公式得到方程组，两式作商即可求出q ，进而可求得1a . 【详解】设该等比数列的首项为1a ，公比为()1q q ≠，则()()51510110110113301a q S q a q S q ⎧-⎪==-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，所以()()10151113311a q q a q q --=--，即1051331q q -=-， 所以()()55511331q q q-+=-，则5133q +=，即532q =，所以2q ，将2q代入510S =得，()11321012a -=-，解得11031a =，所以这个数列的首项等于1031.故答案为：1031. 16．若两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，则cos AOB ∠=__________.【答案】14##0.25【分析】根据已知可得OC OA m n ⋅=+=，2221OA m n =+=，利用完全平方公式求得mn ，再根据cos ||||mn OA OBAOB OA OB ⋅∠==⋅即可求得答案.【详解】因为两个单位向量(,,0),(,0,)OA m n OB n p ==与向量(1,1,1)OC =的夹角都等于π4，π4AOC BOC ∴∠=∠=，||3OC =，||||1OA OB ==， π||||cos4OC OA OC OA ∴⋅=⋅⋅1==2221OA m n =+=， 又OC OA m n⋅=+，则m n +()()222221212mn m n m n ∴=+-+=-=⎝⎭，即14mn =， n OA OB m ⋅=，4cos ||||1OA OB AOB OA O mn B ⋅∴∠===⋅.故答案为：14.四、解答题17．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）212n n a -=（2）21n nT n =+ 【分析】（1）由等比数列的通项公式求出q 即可求解. （2）由（1）求出n b 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】解：（1）由已知：12a =，32216a a∴22416q q =+即2280q q --=，所以4q =或2q =-（舍去）， ∴11211242n n n n a a q ---==⨯=（2）由（1）知：2log n n b a ==212log 221n n -=- ∴()()1112121n n b b n n +==⋅-+11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭ 12231111n n n T b b b b b b +=++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅111111123352121n n ⎛⎫=-+-++-= ⎪-+⎝⎭11122121nn n ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题.18．在正四面体OABC 中，,,,E F G H 分别是,,,OA AB BC OC 的中点.设OA a =，,.OB b OC c ==(1)用,,a b c 表示,EF FG ； (2)用向量方法证明； ①EF FG ⊥； ②,,,E F G H 四点共面.【答案】(1)12EF b =，1122FG c a =-(2)证明见解析【分析】（1）由题意可得12EF OB =，12FG AC =，再由向量的减法运算即可得到答案； （2）①利用空间向量数量积的运算律求得0EF FG ⋅=，从而可证；②用向量a ，b ，c 分别表示出EG ，EF ，EH ，从而得到EG EF EH =+，再利用空间向量的共面定理即可得证.【详解】（1）因为E ，F 分别是OA ，AB 的中点， 所以//EF OB 且12EF OB =，所以1122EF OB b ==，因为F ，G 分别是AB ，BC 的中点，所以//FG AC 且12FG AC =， 所以1111122222FG AC OC OA c a ==-=-．.（2）①不妨设正四面体的棱长为a ，则由题意知向量a ，b ，c 中，两两之间的夹角均为π3，且a b c a ===，所以2π1cos 322a a b a b a a ⋅=⋅=⨯⨯=，同理22a a c b c ⋅=⋅=，所以()()1110224EF FG b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅=，故EF FG ⊥；②因为()11112222EG OG OE OB OC OA b c a =-=+-=+-，()()1122EH OH OE OC OA c a =-=-=-，12EF b =，所以EG EF EH =+， 所以,,,E F G H 四点共面．19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上一点A 到F 的距离是4，求A 的坐标. 【答案】(1)28y x = (2)()2,4或()2,4-【分析】（1）由题意求得抛物线的焦点与双曲线的渐近线，再由点线距离公式求得p 值，从而得到抛物线方程；（2）由抛物线的定义可求得A 点横坐标，再代入抛物线方程即可得解.【详解】（1）根据题意，抛物线的焦点F 为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的渐近线方程为3y =，即30x ±=， 则焦点F 到双曲线2213xy -=()222113p =+±，解得4p =（负值舍去），故抛物线的方程为28y x =.（2）设()00,A x y ，由抛物线的定义可知042pAF x =+=，即0442x +=，解得02x =，将02x =代入抛物线方程28y x =，得04y =±， 所以A 的坐标为()2,4或()2,4-．20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈.(1)求证：{}3nn a -是等比数列；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S . 【答案】(1)证明见解析 (2)()135122n n ++--【分析】（1）由递推式变形得11313n n nn a a ++-=--，从而利用等比数列的定义即可得证； （2）由（1）求得()321nn n a =⨯-+，再利用分组求和法与等比数列的前n 项和公式即可得解.【详解】（1）因为数列{}n a 的首项11a =，且满足()*143N n n n a a n ++=⨯∈，所以()1133n nn n a a ++-=--，即11313n n nn a a ++-=--， 又1132a -=-，故数列{}3nn a -是以2-为首项，1-为公比的等比数列；（2）由（1）可得()()()132121n n n n a --=-⨯-=⨯-，则()321nn n a =⨯-+，所以()()()212321321321n n n S =+⨯-++⨯-+++⨯-()()()()2213331121n n⎡⎤+++++⎣⎦=-+-+-()313(1)1(1)2131(1)n n ⎡⎤⨯--⨯=--⎣⎦+⨯---()152231n n ++--=. 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，三角形PAD 为等边三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且1,2AB AD AD AB CD ⊥==，E 为棱PC 上的动点.（1）若13PE PC =，AC 交BD 于H ，证明：//EH 平面PAD ；（2）若E 为棱PC 的中点，且过,,A B E 三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为23，求CD 的长，并求直线PC 与该截面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）4，55. 【分析】（1）::1:2AH HC PE EC ==，结合12PE EC =，证得//EH PA ，从而证明//EH 平面PAD . （2）作出截面ABEF ，由其面积求得CD 的长，建立空间直角坐标系，求得PC 的方向向量及截面ABEF 的法向量，由向量间夹角关系求得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）由题意得12PE EC =，又底面ABCD 为梯形，//AB CD ，12AB CD =，∴::1:2AH HC PE EC ==，∴//EH PA . 又EH ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ， ∴//EH 平面PAD .（2）如图，取PD 的中点F ，连接,EF AF ，则EF CD ∥且12EF CD =， 又由题意得//AB CD ，12AB CD =，所以,EF AB EF AB =∥，所以四边形ABEF 为平行四边形， 即四边形ABEF 为所截得的截面.又侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ⋂底面ABCD AD =， 所以AB ⊥平面PAD ，又AF ⊂平面PAD ，所以AB AF ⊥， 所以四边形ABEF 为矩形. 令==AB AD a ，则3AF =，2323ABEF S =四边形2a =，所以2,4AB CD ==， 取AD 的中点O ，连接OP . 由题意得OP ⊥底面ABCD .以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，平行于AB 的直线OG 为y 轴，OP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,3)P ，(1,4,0)C -，(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，13(,2,)22E -， 故33(1,4,3),(0,2,0),(,2,)22PC AB AE →→→=--==-. 设平面ABE 的法向量为(,,),n x y z →=则00n AB n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20332022y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 令1x =，则平面ABE 的一个法向量为(1,0,3).n →=设直线PC 与截面ABEF 所成的角为θ，则(1,0,3)(1,4,3)5sin |cos ,|||.5225n PC θ→→⋅--===⨯ 所以直线PC 与截面ABEF 所成角的正弦值为55. 【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，把线面夹角问题转化为向量间的夹角问题求解. 22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>和双曲线2212y x -=的焦距相同，且椭圆C 经过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆C 的上､下顶点分別为,A B ，点P 在椭圆C 上且异于点,A B ，直线,AP PB 与直线:2l y =-分别交于点,M N .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过y 轴上的定点？请证明你的结论.【答案】(1)2214x y +=(2)是；证明见解析【分析】（1）根据椭圆与双曲线的几何性质及点在椭圆上列出方程，解之即可得解；（2）先利用点在椭圆上及斜率公式证得1214k k ⋅=-，再联立直线方程分别求得,M N 的坐标，从而写出以MN 为直径的圆的方程，令0x =，即证得该圆必经过y 轴上的定点. 【详解】（1）因为双曲线为2212y x -=，所以2213c =+=，又因为椭圆2222:1x y C a b +=和双曲线的焦距相同，所以2223c a b =-=，将12P ⎫⎪⎭代入椭圆方程222213x y a a +=-，可得42425360a a -+=， 解得24a =或294a =（舍去）， 故所求椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）是，证明如下：由（1）得椭圆C ：2214x y +=，所以()()0,1,0,1A B -，令()00,P x y ，则由题设可知00x ≠， 所以直线AP 的斜率0101,y k PB x -=的斜率为0201y k x +=，又点P 在椭圆上，所以()220001,04x y x +=≠，从而有200012200011114y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-， 又易得AP 的方程为()110y k x -=-，直线PB 的方程为()()210y k x --=-， 由112y k x y -=⎧⎨=-⎩，解得13 2x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，由212y k x y +=⎧⎨=-⎩，解得212x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 所以，直线AP 与直线l 的交点13,2M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线PB 与直线l 的交点21,2N k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设点(),Q x y 是以 MN 为直径的圆上的任意一点，则0MQ NQ ⋅=， 故有1231(2)(2)0x x y y k k ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，又1214k k =-，所以以 MN 为直径的圆的方程为22113(2)1240x y k x k ⎛⎫++-+-= ⎪⎝⎭，令0x =，则2(2)120y +-=，解得2y =-+2y =-- 所以以 MN为直径的圆恒过定点(0,2-+或(0,2--.【点睛】关键点睛：本题解决问题的关键有两点，一是利用点在椭圆上证得1214k k ⋅=-，二是以()()1122,,,M x y N x y 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=.。
2021-2022学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(文科)_20220122190805
2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x02．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣15．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0 10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为千亿元．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．2021-2022学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈N，e x＞sin x”的否定是（）A．∀x∈N，e x≤sin x B．∀x∈N，e x＜sin xC．∃x0∈N，＞sin x0D．∃x0∈N，≤sin x0【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x0∈N，≤sin x0，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．B．C．x＝﹣1D．x＝1【分析】由已知抛物线方程以及求出p的值，进而可以求解．【解答】解：由已知抛物线方程可得：2p＝4，所以p＝2，所以准线方程为x＝−＝−1，即x＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质以及准线方程，属于基础题．3．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（）A．（1，1，1）B．（1，1，﹣1）C．（﹣1，﹣1，﹣1）D．（1，﹣1，﹣1）【分析】根据所给的点的坐标，知一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，写出点的坐标．【解答】解：∵点A（1，﹣1，1），一个点关于x轴对称的点的坐标是只有横标不变，纵标和竖标改变，∴点A（1，﹣1，1）关于x轴对称的点的坐标为（1，1，﹣1）故选：B．【点评】本题考查空间中点的对称，是一个基础题，注意点在空间中关于坐标轴和坐标平面对称的点的坐标，这种题目通常单独作为一个知识点出现．4．（5分）设直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0．若l1⊥l2，则a的值为（）A．0或1B．0或﹣1C．1D．﹣1【分析】利用直线与直线垂直的性质直接求解．【解答】解：∵直线l1：ax+（a﹣2）y+1＝0，l2：x+ay﹣3＝0，l1⊥l2，∴a×1+（a﹣2）×a＝0，解得a＝0或a＝1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（5分）下列有关命题的表述中，正确的是（）A．命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的否命题是假命题B．命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是真命题C．命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”D．若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p，q均为假命题【分析】直接利用四种命题的转换和命题真假的判定的应用求出结果．【解答】解：对于A：命题“若a+b是偶数，则a，b都是偶数”的逆命题是：“若a，b 都是偶数，则a+b是偶数”，该命题为真命题，由于逆命题和否命题等价，故否命题为真命题，故A错误；对于B：命题“若a为正无理数，则也是无理数”的逆命题是：若是无理数，则a 也为无理数”是假命题，故B错误；对于C：命题“若x＝2，则x2+x﹣6＝0”的逆否命题为“若x2+x﹣6≠0，则x≠2”，故C正确；对于D：若命题“p∧q”，“p∨（￢q）”均为假命题，则p为假命题，q为真命题，故D 错误．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：命题真假的判定，四种命题的转换，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．6．（5分）执行如图所示的算法框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．【分析】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，进而根据裂项法即可求解．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝++...+的值，S＝++...+＝（1﹣）+（）+...+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7．（5分）方程表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A．m∈（﹣3，1）B．m∈（﹣3，﹣1）∪（﹣1，1）C．m∈（﹣3，0）D．m∈（﹣3，﹣1）【分析】求得方程表示椭圆的条件，根据利用充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：若方程表示椭圆，则，解得：﹣3＜m＜1且m≠﹣1，则方程表示椭圆的充要条件是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}，则：方程表示椭圆的充分不必要条件所对应的集合必须是{m|：﹣3＜m＜1且m≠﹣1}的真子集，选项D，m∈（﹣3，﹣1）符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及椭圆的方程，属于基础题．8．（5分）如图，是对某位同学一学期8次体育测试成绩（单位，分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（）A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差超过15分B．该同学8次测试成绩的众数是48分C．该同学8次测试成绩的中位数是49分D．该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关【分析】利用散点图、极差、众数、中位数、相关性直接求解．【解答】解：由散点图得：对于A，该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且8次测试成绩的极差为：56﹣38＝18，超过15分，故A正确；对于B，该同学8次测试成绩的众数是48分，故B正确；对于C，该同学8次测试成绩的中位数是：＝48分，故C错误；对于D，该同学8次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查散点图、极差、众数、中位数、相关性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）若椭圆的弦AB恰好被点M（1，1）平分，则AB所在的直线方程为（）A．3x﹣4y+1＝0B．3x+4y﹣7＝0C．4x﹣3y﹣1＝0D．4x+3y﹣7＝0【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法求出直线的斜率，然后求解直线方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，两式相减得：+＝0，因为弦AB恰好被点M（1，1）平分，所以有x1+x2＝2，y1+y2＝2．所以直线AB的斜率k＝＝﹣•＝﹣，因此直线AB的方程为y﹣1＝﹣（x﹣1），即4x+3y﹣1＝0，故选：D．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的简单性质的应用，平方差法的应用，考查计算能力，属于中档题．10．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，被誉为“东方魔社”，它是由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中随机地取一点，则该点恰好取自白色部分的概率为（）A．B．C．D．【分析】设大正方形的边长为2，求出白色部分的面积，利用几何概型能求出在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率．【解答】解：如图，设大正方形的边长为2，则最大的三角形是腰长为的等腰直角三角形，角上的三角形是腰长为1的等腰直角三角形，最小的三角形是腰长为的等腰直角三角形，∴白色部分的面积为：S白＝22﹣×﹣××﹣×1×1＝，∴在此正方形中任取一点，则此点取自白色部分的概率为：P＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查概率的运算，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2．若双曲线右支上存在点P，使得PF1与双曲线的一条渐近线垂直并相交于点Q，且PF2⊥PQ，则双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．D．【分析】利用已知条件求出P的坐标，代入双曲线方程，推出a，b的关系，即可得到渐近线方程．【解答】解：PF1的方程：y＝，PF2的方程为：y＝﹣（x﹣c），联立，解得P（，），点P在双曲线上，可得，可得：b4﹣3a2b2﹣4a4＝0，可得：b＝2a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12．（5分）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2+y2＝|x|+|y|流是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C围成的图形的面积是2+π；②曲线C上的任意两点间的臥离不超过2；③若P（m，n）是曲线C上任意一点，则|3m+4n﹣12|的最小值是．其中正确结论的个数为（）A．0B．1C．2D．3【分析】由曲线方程知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，从而通过运算可判断命题①②③的真假．【解答】解：曲线C：x2+y2＝|x|+|y|可知曲线关于原点，x，y轴对称，当x≥0，y≥0时，可得x2+y2﹣x﹣y＝0，可得（x﹣）2+（y﹣）2＝，所以可得是以C（，）为圆心，r＝为半径的半圆，由此可作出曲线C的图象，如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是×+2×π×（）2＝2+π，故命题①正确；曲线上任意两点间距离的最大值为4×＝2，故命题②错误；设圆心C到直线3x+4y﹣12＝0的距离为d＝＝，故曲线上任意一点P（m，n）到直线l的距离的最小值为最小值为﹣，故|3m+4n﹣12|的最小值是，故命题③正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，以及考查由曲线方程研究曲线的相关性质，属中档题．二、填空题：本大题共4小题每小题5分，共20分，把答案13．（5分）椭圆x2+2y2＝4的长轴长为4．【分析】化简椭圆方程为标准方程，然后求解长轴长即可．【解答】解：椭圆x2+2y2＝4，可得，可得a＝2，所以椭圆长轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．14．（5分）某班有40位同学，将他们从01至40编号，现用系统抽样的方法从中选取5人参加文艺演出，抽出的编号从小到大依次排列，若排在第一位的编号是05，那么第四位的编号是29．【分析】求出系统抽样间隔，根据抽取的第一位编号即可写出第四位的编号．【解答】解：系统抽样间隔为40÷5＝8，且抽取的第一位编号是05，所以第四位的编号是5+8×3＝29．故答案为：29．【点评】本题考查了系统抽样应用问题，是基础题．15．（5分）根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y （单位：千亿元）之间的一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x 1.8 2.2 2.6 3.0y 2.0 2.8 3.2 4.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则＝ 1.6；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为 3.65千亿元．【分析】求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解，然后代入计划2022年出口总额达到5千亿元，求解即可．【解答】解：由题意可得：＝2.4．＝＝3．因为样本中心满足回归直线方程，可得3＝2.4﹣0.84，解得＝1.6．，2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为x，则5＝1.6x﹣0.84，解得x＝3.65．故答案为：1.6；3.65．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．16．（5分）已知椭圆和双曲线有相同的焦点F1和F2，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，P为两曲线的一个公共点，且（O为坐标原点）．若，则e2的取值范围是[，+∞）．【分析】设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得|PO|＝c，则∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2＝n，可得m2+n2＝4c2①，m+n＝2a1②，|m﹣n|＝2a2③，进一步求出e2的取值范围．【解答】解：设椭圆C1：+＝1（a1＞b1＞0），双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为C1与C2的共同焦点，则c2＝a12﹣b12，c2＝a22+b22，由|﹣|＝2||，得||＝2||，所以2c＝2|PO|，所以|PO|＝c，所以|OF1|＝|OP|＝|OF2|＝c，所以∠F1PF2＝90°（P为C1与C2的一个公共点），设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m2+n2＝4c2，①m+n＝2a1，②，|m﹣n|＝2a2，③②2+③2，得2m2+2n2＝4（a12+a22），代入①，得2×4c2＝4（a12+a22），所以2c2＝a12+a22，所以+＝2，④又e1＝，e2＝，所以＝，＝，所以④化为+＝2，即＝2﹣，因为e1∈（，]，所以＜e12≤，所以≤＜2，所以﹣2＜﹣≤﹣，所以0＜2﹣≤2﹣＝，即0＜≤，则e22≥，又e2＞1，所以e2≥，所以e2的取值范围为[，+∞），故答案为：[，+∞）．【点评】本题考查椭圆与双曲线的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3）．（Ⅰ）求AC边所在的直线方程；（Ⅱ）求经过AB边的中点，且与AC边平行的直线l的方程．【分析】（Ⅰ）由A、C两点坐标可以写出直线AC斜率，再代入A、C中的一个点就可以求出AC方程．（Ⅱ）求出AB中点，l与AC平行，从而斜率相等，即可设出l，代入A、C中点求得l．【解答】解：（Ⅰ）由题意知AC斜率为k＝＝﹣，所以AC边所在直线方程为y﹣0＝﹣（x﹣4），即3x+4y﹣12＝0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知l可设为3x+4y+m＝0，又AB边中点为（5，），将点（5，）代入直线l的方程得3×5+4×+m＝0，解得m＝﹣29，所以l方程为3x+4y﹣29＝0．【点评】本题考查了直线方程的求解和两直线平行的关系，属于简单题．18．（12分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表：认为作业多认为作业不多总数喜欢手机网游201030不喜欢手机网游51520列总数252550（Ⅰ）若随机抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生．现要从这5名学生中任取2名学生了解情况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【分析】（Ⅰ）利用古典概型直接求解．（Ⅱ）采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，利用列举法求出恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有4种，由此能求出其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率．【解答】解：：（Ⅰ）用A表示“认为作业不多”，用B表示“喜欢手机网游且认为作业多”，则P（A）＝＝，P（B）＝＝．（Ⅱ）若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生，“不喜欢手机网游”与“喜欢手机网游”的人数的比值为＝，∴采用分层抽样方法抽取5人，其中“不喜欢手机网游”的有1人，“喜欢手机网游”有4 人，记“不喜欢手机网游”的1名学生为B，“喜欢手机网游”的4名学生分别为B1，B2，B3，B4，从5名学生中抽取2名学生的所有可能情况有n＝＝10，恰有1名“不喜欢手机网游”学生的情况有：{B，B1}，{B，B2}，{B，B3}，{B，B4}，共4种，∴其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率P＝．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19．（12分）已知圆C的圆心为C（1，2），且圆C经过点P（5，5）．（Ⅰ）求圆C的一般方程；（Ⅱ）若圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，求实数m的取值范围．【分析】（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），再将点P （5，5）代入圆C方程，即可求解．（II）将已知条件转化为两圆相交，再结合圆心距与两圆半径之间的关系，即可求解．【解答】解：（I）设圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r为圆C的半径），∵圆C经过点P（5，5），∴（5﹣1）2+（5﹣2）2＝r2，即r2＝25，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25．（II）由（I）知圆C的圆心为C（1，2），半径为5，∵圆O：x2+y2＝m2（m＞0）与圆C恰有两条公切线，∴圆O与圆C相交，∴|5﹣m|＜|OC|＜5+m，∵，∴，故m的取值范围是．【点评】本题主要考查两圆之间的位置关系，属于基础题．20．（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对中国共产党的热爱，某学校举办了一场党史竞赛活动，共有500名学生参加了此次竞赛活动．为了解本次竞赛活动的成绩，从中抽取了50名学生的得分（得分均为整数，满分为100分）进行统计，所有学生的得分都不低于60分，将这50名学生的得分进行分组，第一组[60，70），第二组[70，80），第三组[80，90），第四组[90，100]（单位：分），得到如下的频率分布直方图．（Ⅰ）求图中m的值，估计此次活动学生得分的中位数；（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计此竞赛活动得分的平均值．若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计在参赛的500名学生中有多少名学生获奖．【分析】（Ⅰ）所有组频率之和为1，每个小长方形面积为该组对应的频率，这样让1减去其它组频率即为所求组频率，所求组频率即为对应长方形面积，面积除以宽得到高就是m值．频率分布直方图中的中位数是频率0.5位置为应的x的值．（Ⅱ）平均值是各组中点值乘以对应的频率之和，不低于平均值的学生人数为总数500乘以不低于平均值的频率．【解答】（Ⅰ）由图知第三组频率为1﹣（0.01+0.04+0.02）×10＝0.30，所以第三组矩形的高为m＝＝0.03．因为前两组的频率为（0.01+0.03）×10＝0.4＜0.5，前三组的频率为（0.01+0.03+0.04）×10＝0.8＞0.5，所以得分的中位数在第三组内，设中位数为x，（0.01+0.03）×10+（x﹣80）×0.04＝0.5，解得x＝82.5，所以估计此次得分的中位数是82.5分．（Ⅱ）由频率分布直方图知，学生得分的平均值为＝65×10×0.01+75×10×0.03+85×10×0.04+95×10×0.02＝82．参赛的500名学生中得分不低于82分的人数为500×[0.02×10+（90﹣82）×0.04]＝260，所以估计此次参加比赛活动学生得分的平均值为82分，参赛的500名学生中有260名学生获奖．【点评】本题考查了频率直方图中的频率、中位数、平均数，频数的求解，考查较基础难度不大．21．（12分）已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，直线y＝3与抛物线E在第一象限的交点为A，且|AF|＝4．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）经过焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与抛物线E相交于P，Q两点，l2与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段PQ，MN的中点，求|FC|•|FD|的最小值．【分析】（Ⅰ）由题意可得|AF|＝3+＝4，求得p，则抛物线E的方程可求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，可得直线PQ与MN的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得C与D的坐标，再求出|FC|与|FD|的值，作积后整理，再由基本不等式求最值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，|AF|＝3+＝4，得p＝2．∴抛物线E的方程为x2＝4y；（Ⅱ）由（Ⅰ）知焦点为F（0，1）．由已知可得两直线PQ、MN的斜率都存在且均不为0．设直线PQ的斜率为k，则直线MN的斜率为﹣，故直线PQ的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得x2﹣4kx﹣4＝0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2＝4k，∵C（x C，y C）为弦PQ的中点，∴x C＝（x1+x2）＝2k．由y C＝kx C+1＝2k2+1，故点C（2k，2k2+1），同理，可得D（﹣，），故|FC|＝＝2，|FD|＝＝2．∴|FC|•|FD|＝4＝．当且仅当，即k＝±1时，等号成立．∴|CF|•|FD|的最小值为8．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系的应用，考查化简运算能力和推理能力，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题．22．（12分）已知点P是圆上任意一点，是圆C内一点，线段AP的垂直平分线与半径CP相交于点Q．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不经过坐标原点O，且斜率为的直线l与曲线E相交于M，N两点，记OM，ON的斜率分别是k1，k2，当k1，k2都存在且不为0时，试探究k1k2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，进而可得答案．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，再计算k1k2＝•，即可得出答案．【解答】解：（Ⅰ）由题意知|PQ|＝|AQ|，又因为|CP|＝|CQ|+|PQ|＝4，所以|CQ|+|AQ|＝4＞|AC|＝2，由椭圆定义知Q点的轨迹是椭圆，所以2a＝4，即a＝2，2c＝2，即c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，所以点Q的轨迹方程为+y2＝1．（Ⅱ）设直线l的方程为y＝x+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，得2x2+4bx+4b2﹣4＝0，所以x1+x2＝﹣2b，x1x2＝2b2﹣2，所以k1k2＝•＝＝＝＝＝，所以k1k2为定值．【点评】本题考查椭圆的方程，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。
四川省泸州市2022-2023学年高二下学期期末数学(文科)试题(教师版)
泸州市高2021级高二学年末统一考试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码枮贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5黑米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.命题“R x ∀∈，e 2xx ≥+”的否定是（）．A.0R x ∃∈，00e 2xx <+ B.R x ∀∈，2x e x <+C.0R x ∃∈，00e 2xx ≥+ D.0R x ∃∉，00e 2xx <+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题的否定分析判断.【详解】由题意可知：命题“R x ∀∈，e 2x x ≥+”的否定是“0R x ∃∈，00e 2x x <+”.故选：A.2.复数z 满足()1i 2i z +=，则z z +=（）．A.2-B.2C.2i- D.2i【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数z ，再结合共轭复数的意义、复数加法求解作答.【详解】依题意，2i (2i)(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z -+====+++-，则1i z =-，所以(1i)(1i)2z z +=++-=.故选：B3.某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（）．A.57周岁以上参保人数最少B.18～30周岁人群参保总费用最少C.C 险种更受参保人青睐D.31周岁以上的人群约占参保人群80％【答案】B 【解析】【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确.B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍，所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误.C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确.故选：B4.在区间[]1,9-上随机选取一个数M ，执行如图所示的程序框图，且输入x 的值为2，然后输出n 的值为N ，则MN ≤的概率为（）．A.15B.25C.310D.35【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图分析可得2N =，再结合几何概型运算求解.【详解】因为2x =，则2242310-⨯+=-≤，可得3,1x n ==；因为3x =，则2343300-⨯+=≤，可得4,2x n ==；因为4x =，则2444330-⨯+=>，输出2n =，即2N =；所以M N ≤的概率()()2139110P --==--.故选：C.5.已知条件p ：函数()21f x x mx =++在区间1(,)2+∞上单调递增，条件4:3q m ≥-，则p 是q 的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出条件p 的等价条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】函数()21f x x mx =++的单调递增区间是[,)2m -+∞，依题意，1(,)[,)22m+∞⊆-+∞，因此122m -≤，解得1m ≥-，显然[1,)-+∞ 4[,)3-+∞，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A6.某企业为了研究某种产品的销售价格x （元）与销售量y （千件）之间的关系，通过大量市场调研收集得到以下数据：x161284y24a3864其中某一项数据※丢失，只记得这组数据拟合出的线性回归方程为： 3.171y x =-+，则缺失的数据a 是（）A.33B.35C.34D.34.8【答案】C 【解析】【分析】由于线性回归直线一定过样本中心点，所以将样本中心点坐标代入可求得结果.【详解】因为点(,)x y 一定在回归方程上，所以将161284104x +++==，24386412644a a y ++++==代入 3.171y x =-+解得34a =.故选：C.7.在样本的频率分布直方图中，共有4个小长方形，这4个小长方形的面积由小到大依次构成等比数列{}n a ，若212a a =，且样本容量为300，则对应小长方形面积最小的一组的频数为（）A.20 B.30C.40D.50【答案】A 【解析】【分析】求出等比数列{}n a 公比的值，分析可知，数列{}n a 前四项的和为1，根据等比数列的求和公式求出1a 的值，利用频数、频率与总容量的关系可求得对应小长方形面积最小的一组的频数.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则212a q a ==，由题意可知，()()441112341112151112a q a a a a a a q--+++====--，解得1115a =，因此，对应小长方形面积最小的一组的频数为113003002015a =⨯=.故选：A .8.已如函数()()ln 1e xf x x x =+-，则()()232f x f x-<的解集为（）A.()(),12,-∞+∞ B.()()0,12,⋃+∞C.()2,12,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭D.()1,2【答案】C 【解析】【分析】求出函数()f x 的定义域，利用导数分析函数()f x 的单调性，由()()232f x f x -<可得出关于x的不等式组，由此可解得原不等式的解集.【详解】函数()()ln 1e xf x x x =+-的定义域为()0,∞+，则()1e 0xf x x x'=+>对任意的0x >恒成立，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，由()()232f x f x-<可得232320x x x ⎧>-⎨->⎩，解得213x <<或2x >，因此，不等式()()232f x f x -<的解集为()2,12,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.故选：C.9.已知定点()2,0P -和直线()()():131225l x y R λλλλ+++=+∈，则点P 到直线l 的距离的最大值为（）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据直线l 的方程先确定出直线所过的定点Q ，然后判断出点P 到直线l 的距离的最大值为PQ ，结合点的坐标求解出结果.【详解】将()()131225x y λλλ+++=+变形得()()23250x y x y λ+-++-=，所以l 是经过两直线50x y +-=和3250x y +-=的交点的直线系.。
四川省宜宾市叙州区第二中学2021学年上学期高二年级第一次月考数学试卷(理科)
四川省宜宾市叙州区第二中学2020-2021学年上学期高二年级第一次月考数学试卷（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数a b c ，，满足0a b <<，01c <<，则下列选项一定成立的是 A ．a c b c +>+B ．ac bc >C ．ac b <D ．bc a <2．若函数()2xf x =，()13xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭则下列选项的命题为真命题的是A ．()()(),0,x f x g x ∀∈-∞>B ．()()(),0,x f x g x ∀∈-∞<-C ．()()(),0,x f x g x ∃∈-∞>-D ．()()(),0,x f x g x ∃∈-∞->3．在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为 A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1D ．()7,1,24．圆2228130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y +-=，则a = A ．0或-1B ．0C ．7D ．-1或75．已知p ：x m ，q ：220x x +-<，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是 A ．{}2m m B ．{}2m m > C ．{}1m mD ．{}1m m -6．已知方程22121x y m m -=++表示椭圆，则实数m 的取值范围是A ．(,1)-∞-B ．(2,)-+∞C ．3(,)2-∞-(1,)⋃-+∞ D ．33(2,)(,1)22--⋃-- 7．已知命题:,sin()sin p x R x x π∀∈-=；命题:,q αβ均是第一象限的角，且αβ>，则sin sin αβ>，下列命题是真命题的是 A ．p q ∧⌝B ．p q ⌝∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧8．已知点(), x y 满足：221x y +=，则x y +的取值范围是A．⎡⎣B ．[]1,1-C．⎡⎣ D．(9．已知圆2216x y +=与x 轴的交点恰为双曲线22219x ya -=（0a >）的左、右顶点，则双曲线的离心率为AB ．32C ．54D10．12F PF ∠xy 111223x y +=++xy ()222210x y C a b a b+=：＞＞123F PF π∠≥212，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭112⎛⎫ ⎪⎝⎭，202，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭102⎛⎫⎪⎝⎭，(4,2)A --x y 111x y x y x a-≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩2z x y =+0a =()2222:10,0x y C a b a b -=>>()23,0-C l 28y x =,A B l F (8,8)A AB x 54e =2(5,0)F 45200x y +-=12p x R ∀∈21()lg()16f x ax x a =-+q 0x ∀>211x ax +<+p q p q a ABCD //AD BC AB BC ⊥24BC AB ==3AD =BC F //EF AB ADE EF EFCD AD AC BC //BE ACD CDEF ABFEB ACD --22221(0)x y a b a b +=>>22(6,1)M A B AB AB280x y ++=2254()122221x y a b-=5c =54c e a ==4a ∴=22225169b c a =-=-=221169x y -=()245200x y +-=0y =5x =0x =4y =()5,0()0,410p =8p =220y x =216x y =3333，m ，B －3n ，n ，所以AB 的中点，2m n+，由点C 在y ＝12上，且A 、122{01m n m m +=-=-．又P1,0，所以AB ＝AP32+，所以直线AB 的方程为y＝32+－1，即直线AB 的方程为3－2y －30 19．若命题p 为真命题，则21016ax x a -+>对任意x R ∈均成立， 当0a =时，显然不符合题意，故201104a a >⎧⎪⎨∆=->⎪⎩，解得2a > 所以命题p 为真2a ⇔>若命题q1ax <+对任意0x >恒成立，即a >==对任意0x >恒成立而函数()f x =()0,+∞为减函数，所以()()0,1f x ∈，即1a ≥所以命题q 为真1a ⇔≥因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 与q 中一个是真命题，一个是假命题， 当p 为真命题，q 为假命题时，a 的值不存在； 当q 为真命题，p 为假命题时，[)1,2a ∈ 综上知，实数a 的取值范围是[)1,220．（1）在未折叠之前有：F 是BC 的中点，则2BF CF AB ===，又//EF AB ，//AE FB ，且0=90B ∠，AB BF =，则四边形ABFE 是正方形，2AE FB ==，1DE AD AE =-=，折叠之后，取CF 中点G ，连接,EG BG ，则112CG CF ==，又1DE CG ==且//DE CF 即//DE CG ，则四边形DEGC 是平行四边形，∴//EG DC ，∵112FG CF DE ===，且//DE CF ，即//DE GF ，∴四边形DEFG 是平行四边形，//DG EF ，DG EF =，∵//AB EF ，AB EF =，∴//AB DG ，AB DG =，四边形ADGB 为平行四边形，//AD BG ，∵//EG DC ，//BG AD ，EG BG G ⋂=，AD DC D ⋂=，∴平面//ACD 平面BGE ，∵BE ⊂平面BGE ，∴//BE 平面ACD（2）因为平面CDEF ⊥平面ABFE ，所以易得,,EA EF ED 两两垂直，因此以E 点为原点，,,EA EF ED 为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,1D ，()0,2,2C ，()2,2,2AC =-，()2,0,1AD =-，()0,2,0AB =，设平面ACD 的法向量为(),,m a b c =，平面ABC 的法向量为(),,n d e f =，由·0·0m AC m AD ⎧=⎨=⎩222020a b c a c -++=⎧⇒⎨-+=⎩，令1a =，得()1,1,2m =-， ·0·0n AC n AB ⎧=⎨=⎩222020d e f e -++=⎧⇒⎨=⎩，令1d =，得()1,0,1n =，·3cos ,6?n m n m n m ===，因为二面角B AC D --是钝二面角，所以其大小为56π21．（1）∵c e a ==a = 即()222222a c a b ==-，∴222a b =，则椭圆方程为：222212x y b b+=又椭圆过点)M，∴22261142b b b +=⇒=，∴28a =，则所求椭圆方程为：22184x y +=（2）当直线AB 的倾斜角是0时，直线AB 的方程是：3y =±，与定圆O ：2283x y +=相切下证任意性，当直线AB 的倾斜角不是0︒时，设直线AB ：x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()222222280184x my nm y mny n x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩，∴12221222282mn y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，∵以AB 为直径的圆过坐标原点，∴OA OB ⊥ 而()()()2212121212x x my n my n m y y mn y y n ⋅=+⋅+=+++，∴()()22121212121x x y y m y y mn y y n +=++++ 22283802m n m -+==+， 即()22813mn +=，圆心O 到直线AB 的距离d ===即直线AB 与圆O ：2283x y +=相切 22．（1）由题意知12c e a ==，22222214c a b e a a -∴===，即2243a b = 又圆心(0,0)到直线0x y -+==b ∴=224,3a b ∴==，故椭圆的方程为22143x y +=（2）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-联立22(4){143y k x x y =-+=，得2222(43)3264120k x k x k +-+-=① 设点1122(,),(,)B x y E x y ，则11(,)A x y -，直线的方程为212221()y y y y x x x x +-=--令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+，再将1122(4),(4),y k x y k x =-=-代入整理得12121224()8x x x x x x x -+=+-②由①得22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++， 代入②整理得1x =，所以直线与x 轴相交于定点(1,0)。
2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)(含答案解析)
2021-2022学年四川省普通高中高三上学期第三次联考数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设复数z=(2+i)(1−3i)，则z的实部与虚部之和为()A. 0B. −10C. 5D. 102.已知集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则A∩B=()A. {x|2<x<7}B. {x|−3<x<2}C. {x|3<x<7}D. {x|−3<x<3}3.“tanα>0”是“α为锐角”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.截至2021年11月15日，《长津湖》的票房已超56亿，该片突出了革命先烈的牺牲精神，也更加显示出如今和平生活的来之不易，某影院记录了观看此片的70位观众的年龄，其中年龄位于区间[10,20)的有10位，位于区间[20,30)的有20位，位于区间[30,40)的有25位，位于区间[40,50]的有15位，则这70位观众年龄的中位数约为()A. 34B. 33C. 32D. 315.若曲线y=x3+ax在点(1,a+1)处的切线方程为y=7x+m，则m=()A. 3B. −3C. 2D.−26.执行如图所示的程序框图，若输出的S=8，则输入的k可能为()A. 9B. 5C. 4D. 37. 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ，则cosC =( )A. ±√24B. √24C. ±14D. 148.函数f(x)=sin(2x −2−x )在[−π2,π2]上的图象大致为( )A.B.C.D.9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，则a 8=( )A. 255B. 257C. 127D. 12910. 在矩形ABCD 中，AB =√3AD =3，DC⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 234B. 5C. 194D. 411. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为12,13，每人每次投壸相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为( )A. 23B. 527C. 13D. 102712. 已知1.584<log 23<1.585，1.5843≈3.97，1.5853≈3.98.设a =log 2(log 34)，b =log 3(log 42)，c =log 4(log 23)，则( )A. b <a <cB. b <c <aC. a <c <bD. c <b <a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (x 3−2x )4的展开式中的常数项等于______．14. 若x ，y 满足约束条件{y +2≥0x +y −3≤03x −2y +6≥0，则3x −y 的最小值为______．15. 已知函数f(x)=tan x2，现有下列四个命题： ①f(x)的最小正周期为2π； ②曲线y =f(x)关于点(π,0)对称； ③若f(α)=12，则tanα=−43；④若f(2α)=2，则sin(α−π4)=13sin(α+π4)． 其中所有真命题的编号是______．16. 设直线x =t(0≤t ≤2)与函数y =x 3的图象交于点A ，与直线y =3x −4交于点B ，则|AB|的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 春见柑橘的学名是春见，俗称耙耙柑，2001年从中国柑橘研究所引进，广泛种植于四川、重庆、江西等地．四川省某个春见柑橘种植基地随机选取并记录了8棵春见柑橘树未使用新技术时的年产量(单位：千克)和使用了新技术后的年产量的数据的变化，得到如下表格： 未使用新技术时的8棵春见柑橘树的年产量使用了新技术后的8棵春见柑橘树的年产量已知该基地共有40亩地，每亩地有55棵春见柑橘树．(1)根据这8棵春见柑橘树年产量的平均值，估计该基地使用了新技术后，春见柑橘年总产量比未使用新技术时增加的百分比；(2)已知使用新技术后春见柑橘的成本价为每千克5元，市场销售价格为每千克10元．若该基地的所有春见柑橘有八成按照市场价售出，另外两成只能按照市场价的八折售出，试估计该基地使用新技术后春见柑橘的年总利润是多少万元．18. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面为直角梯形，CD//AB ，AD ⊥AB ，且PA =AD ，E 为PD 的中点． (1)证明：AE ⊥平面PCD ．(2)若AD =CD =12AB ，求二面角B −PC −D 的大小．19. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，从下面①②③中任意选择两个作为条件，证明另外个成立． ①a 3=9；②S n =n(a n −n +1)； ③数列{1a n a n+1}的前n 项和为n10n+25．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的焦点恰为椭圆D ：x 24+y 23=1长轴的端点，且C 的短轴长为2． (1)求C 的方程；(2)若直线l 与直线y =2x −1平行，且l 与C 交于A ，B 两点，M(1,0)，求MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值．21. 已知函数f(x)=ax 2−(1+2a)x +lnx ． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a =0时，证明：e x x>710−x 2−2f(x)．22. 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系xOy ．(1)写出曲线C的一个参数方程；(2)设P为曲线C上的一个动点，P到x轴，y轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．23. 已知函数f(x)=|x−3|．(1)求不等式f(x)<|3x−1|的解集．(2)若函数g(x)=f(2x)−2|x−6|的最大值为m，证明：(x2+y2+z4)(1x2+1y2+1z4)≥m．参考答案及解析1.答案：A解析：∵z=(2+i)(1−3i)=2+3−5i=5−5i，∴z的实部为5，虚部为−5，∴z的实部与虚部之和为0．故选：A．根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．2.答案：C解析：集合A={x|m<x<m+5}，B={x|−3<x<7}，若A∪B={x|−3<x<8}，则m+5=8，解答m=3，所以A={x|3<x<8}，所以A∩B={x|3<x<7}，故选：C．由并集运算可求得m的值，从而可得集合A，再利用交集运算求解即可．本题主要考查集合的交集和并集运算，考查运算求解能力，属于基础题．3.答案：B解析：若“α为锐角”，则“tanα>0”成立，反之，不一定成立．故选：B．直接利用三角函数的符号和充分条件和必要条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．4.答案：C解析：根据中位数的定义，利用区间端点判断中位数在[30,40)内，×25=35，设中位数是x，则10+20+x−3010解得x=32，所以这70位观众年龄的中位数约为32．故选：C．根据中位数的定义，利用区间端点计算中位数即可． 本题考查了中位数的计算问题，是基础题．5.答案：D解析：由y =x 3+ax ，得y′=3x 2+a ，又曲线y =x 3+ax 在点(1,a +1)处的切线方程为y =7x +m ， ∴{3+a =7a +1=7+m ，解得{a =4m =−2．∴m =−2． 故选：D ．求出原函数的导函数，由题意可得关于a 与m 的方程组，求解得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．6.答案：D解析：由S =k3=8，得k =24，则输入的k 的可能为12，6，3，⋅⋅⋅， ∴结合选项知：D 符合要求， 故选：D ．根据输出结果可得输出时k =24，结合执行逻辑确定输入k 的可能值，即可知答案． 本题考查程序框图，考查学生分析问题的能力，属于容易题．7.答案：A解析：因为S =(a 2+b 2−c 2)sin2C ， 所以12absinC =2abcosC ⋅2sinCcosC ， 又sinC ≠0，所以cos 2C =18，解得cosC =±√24．故选：A ．利用三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式化简已知等式即可求解cosC 的值． 本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，二倍角的正弦公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．8.答案：B解析：f(−x)=sin(2−x −2x )=−sin(2x −2−x )=−f(x) 所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除CD ；令t =2x −2−x 在(0,π2)递增，且x =0时，t =0， x =1时，t =2−12=32， f(1)=sin 32>0，所以y =sin(2x −2−x )在(0,π2)大于0， 排除A ， 故选：B ．根据函数图象的对称性判断函数的图象特点，以及函数值的单调性即可得到结论． 本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性，属于基础题．9.答案：C解析：数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1， ∴S 1+1=2，∴S n +n =2n ，∴S n =2n −n ，∴a 8=S 8−S 7=(28−8)−(27−7)=127． 故选：C ．由数列{S n +n}是公比为2的等比数列，且a 1=1，得到S n +n =2n ，从而S n =2n −n ，再由a 8=S 8−S 7，能求出结果．本题考查等比数列的运算，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：A解析：解：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0)，B(3,0)，D(0,√3)，C(3,√3)， 因为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以M(94,√3)，P(3,√3λ)，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(94,√3)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,√3λ−√3)， 又AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)⋅(3,√3λ)=3λ=2， 所以λ=23则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =94×3+√3(√3λ−√3)=3λ+154=234． 故选：A ．。
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宜宾市2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(文科)班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共12小题，共60分）1、命题“∃x∈R，x2−2x+2<0”的否定是（）A. ∀x∈R，x2−2x+2≥0B. ∃x∈R，x2−2x+2>0C. ∃x∈R，x2−2x+2≥0D. ∀x∈R，x2−2x+2<02、某次生物实验6个小组的耗材质量(单位：千克)分别为1.71，1.58，1.63，1.43，1.85，1.67，则这组数据的中位数是（）A. 1.63B. 1.67C. 1.64D. 1.653、若两直线x−y−k=0与y=k(x−2)互相垂直，则k的值为（）A. 1B. −1C. −1或1D. 24、某市统计局网站公布了2017年至2020年该市政府部门网站的每年的两项访问量，数据如下：下列表述中错误的是（）A. 2017年至2018年，两项访问量都增长幅度较大B. 2018年至2019年，两项访问量都有所回落C. 2019年至2020年，两项访问量都又有所增长D. 从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量都呈逐年增长态势5、某人忘了电脑屏保密码的后两位，但记得最后一位是1，3，5，7，9中的一个数字，倒数第二位是G，O，D中的一个字母，若他尝试输入密码，则一次输入就解开屏保的概率是（）A. 815B. 18C. 115D. 1306、某校高二年级统计了参加课外兴趣小组的学生人数，每人只参加一类，数据如下表：学科类别文学新闻经济政治人数400300100200若从参加课外兴趣小组的学生中采用分层抽样的方法抽取50名参加学习需求的问卷调查，则从文学、新闻、经济、政治四类兴趣小组中抽取的学生人数分别为（）A. 15，20，10，5B. 15，20，5，10C. 20，15，10，5D. 20，15，5，107、若方程x 2m−1+y2m−4表示双曲线，则（）A. m>4B. m<1C. 1<m<4D. 0<m<18、执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）A. 45B. 56C. 57D. 679、抛物线y=−18x2的焦点到准线的距离（）A. 4B. 14C. 2 D. 1410、与圆x2+y2=1和圆x2+y2−10y+21=0都外切的圆的圆心在（）A. 一个圆上B. 一个椭圆上C. 双曲线的一支上D. 一条抛物线上11、已知双曲线x 2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，PF2⊥F1F2，直线PF1与y轴交于点Q，若|OQ|=b4，则双曲线C的渐近线方程为（）A. y=±12x B. y=±2x C. y=±14x D. y=±4x12、直线l 1：3x +4y −12=0分别交坐标轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，三角形OAB 的内切圆上有动点P ，则m =|PO|2+|PA|2+|PB|2的最小值为（ ）A. 16B. 18C. 20D. 22二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、数据6，8，9，10，7的方差为______．14、美好人生路车站早上有6：40，6：50两班开往A 校的公交车，若李华同学在早上6：35至6：50之间随机到达该车站，乘开往A 校的公交车，公交车准时发车，则他等车时间不超过5分钟的概率为______．15、由曲线x 2+y 2=|x|+|y|所围成的图形面积为______ ．16、过椭圆C ：x 24+y 23=1的右焦点作两条相互垂直的直线m ，n ，直线m 与椭圆交于A ，B 两点，直线n 与椭圆交于C ，D 两点，若|AB|+|CD|=7.则下列方程 ：①y =0；②x =1；③x +y −1=0；④x −y −1=0． 其中可以作为直线AB 的方程的是______(写出所有正确答案的序号)． 三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)设p ：x ≤−1或x ≥3，q ：x 2+(a +1)x +a ≥0． (1)若a =−3时，P 是q 的什么条件？(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围． 18、(本小题12.0分)某车间为了确定合理的工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了五次试验，得到数据如下：(1)在给定的坐标系中画出散点图； (2)求出y 关于x 的回归方程；(3)试预测加工9个零件需要多少时间？参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19、(本小题12.0分)已知直线l1：2x−y+1=0，l2：x+y−4=0，l3：3x+4y=0，其中l1与l2的交点为P．(1)求过点P且与l3平行的直线方程；(2)求以点P为圆心，截l3所得弦长为8的圆的方程．20、(本小题12.0分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为x=−1．(1)求抛物线C的标准方程；(2)若AB是过抛物线C的焦点F的弦，以弦AB为直径的圆与直线x=−1的位置关系是什么？先给出你的判断结论，再给出你的证明，并作出必要的图形．21、(本小题12.0分)某校在全体同学中随机抽取了100名同学，进行体育锻炼时间的专项调查．将调查数据按平均每天锻炼时间的多少(单位：分钟)分成五组：[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]，得到如图所示的频率分布直方图．将平均每天体育锻炼时间不少于60分钟的同学定义为锻炼达标，平均每天体育锻炼时间少于60分钟的同学定义为锻炼不达标．(1)求a的值，并估计该校同学平均每天体育锻炼时间的中位数；(2)在样本中，对平均每天体育锻炼时间不达标的同学，按分层抽样的方法抽取6名同学了解不达标的原因，再从这6名同学中随机抽取2名进行调研，求这2名同学中至少有一名每天体育锻炼时间(单位：分钟)在[50,60)内的概率．22、(本小题12.0分)已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)，离心率为√63，短半轴长为1．(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线l：x−y−4=0，问：在椭圆C上是否存在点T，使得点T到直线l的距离最大？若存在，请求出这个最大距离；若不存在，请说明理由．参考答案及解析1.答案：A解析：根据题意，命题∃x∈R，x2−2x+2<0是特称命题，其否定为：∀x∈R，x2−2x+2≥0，所以选：A．根据题意，由特称命题和全称命题的关系，分析可得答案．本题考查命题的否定，注意特称命题和全称命题的关系，属于基础题．2.答案：D解析：把这组数据按照从小到大顺序排列为：1.43，1.58，1.63，1.67，1.71，1.85，×(1.63+1.67)=1.65．所以这组数据的中位数是12所以选：D．把这组数据按照从小到大顺序排列，再求这组数据的中位数．本题考查了求一组数据的中位数应用问题，是基础题．3.答案：B解析：∵直线x−y−k=0，∴y=x−k，∵两直线x−y−k=0与y=k(x−2)互相垂直，∴k⋅1=−1，解得k=−1．所以选：B．根据已知条件，结合两直线垂直，斜率的关系，即可求解．本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．4.答案：D解析：对于选项A，2017年至2018年，独立用户访问总量增长超过20倍，网站总访问量增长超过15倍，两项访问量都增长幅度较大，即选项A正确；对于选项B，2018年至2019年，独立用户访问总量回落，网站总访问量也回落，即两项访问量都有所回落，即选项B正确；对于选项C，2019年至2020年，独立用户访问总量增长，网站总访问量也增长，即两项访问量都又有所增长，即选项C正确；对于选项D，从数据可以看出，该市政府部门网站的两项访问量逐年有增长也有回落，即选项D错误，所以选：D．先分析图表中的数据，然后逐一判断即可得解．本题考查了对数据的分析处理能力，属基础题．5.答案：C解析：由题设，后两位的可能情况有C51C31=15，所以一次输入就解开屏保的概率为115，所以选：C．利用分步计数原理求出后两位的可能组合数，即可求出一次输入就解开屏保的概率．本题考查了古典概型及其概率的计算，属于基础题．6.答案：D解析：根据分层抽样的等比性质性质知：文学小组抽取人数为50×4001000=20人，新闻小组抽取人数为50×3001000=15人，经济小组抽取人数为50×1001000=5人，政治小组抽取人数为50×2001000=10人．所以选：D．利用分层抽样的等比性质求出抽取的样本中所含各小组的人数．本题考查分层抽样的应用，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．7.答案：C解析：方程x 2m−1+y2m−4表示双曲线，可得(m−1)(m−4)<0，解得1<m<4．所以选：C．利用已知条件，列出不等式求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．8.答案：B解析：由图可知，S=11×2+12×3+⋅⋅⋅+15×6=1−12+12−13+⋅⋅⋅+15−16=1−16=56．所以选：B．根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解．本题主要考查数列的求和，考查程序框图的循环结构，属于基础题．9.答案：A解析：由抛物线y=−18x2，即x2=−8y，得抛物线的焦点坐标为F(0,−2)，又抛物线的准线方程为y=2，可得抛物线y=−18x2的焦点到准线的距离是2+2=4．所以选：A．由抛物线方程求得焦点坐标与准线方程，则答案可求．本题考查抛物线的方程与几何性质，是基础题．10.答案：C解析：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；圆x2+y2−10y+21=0的圆心为F(0,5)，半径为2．依题意得|PF|=2+r，|PO|=1+r，则|PF|−|PO|=(2+r)−(1+r)=1<|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．所以选：C．设动圆P的半径为r，然后根据动圆与两圆都外切得|PF|=2+r，|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，即可求解．本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．11.答案：A解析：设F2(c,0)，由OQ//PF2，可得OQ=12PF2，把点P的横坐标x=c代入双曲线x2a2−y2b2=1的方程，可得c 2a2−y2b2=1，则y=±b2a，由已知可得|±b22a|=b4，∴a=2b，ba =12，故双曲线C的渐近线方程为y=±12x.所以选：A．设F2(c,0)，由已知可得OQ=12PF2，把点P的横坐标x=c代入椭圆方程，求得P点纵坐标，可得|±b2 2a |=b4，得到a=2b，代入椭圆离心率公式求解．。