微积分发展简史
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分发展简史
五、微积分创立的历史意义
1、微积分学的创立，极大地推动了数学的发展， 过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分， 往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。
2、一门科学的创立决不是某一个人的业绩， 他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果 的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微 积分也是这样。
３、微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明 产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、 对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。”恩 格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”。 ４、微积分的建立，无论是对数学还是对其他科 学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示 了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促 进作用。
微积分发展简史
微积分的概念 微积分的萌芽 微积分的发展 微积分的建立 微积分创立的积分学是微分学(Differential Calculs)和积 分学(Integral Calculs)统称,英文简称 Calculs, 意为计 算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的 计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分 析。微积分中的基本概念主要是函数、极限、连续、导数、 积分等，其中极限是微积分的基石。
2、微分学的主要内容包括：导数、微分。
3、积分学的主要内容包括：定积分、不定积分。
二、微积分的萌芽
（1）中国数学家的极限、积分思想 “割圆术”（魏晋刘徽） 一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周） 圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）
（2）外国数学家的极限、积分思想
欧几里得(公元前330年～前275年)是古希 腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其 中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法 的萌芽。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1. 运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2. 曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3. 有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4. 当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler ）、伽利略（Galileo ）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（Cavalieri ）等学者都做出了杰出贡献。
1669,巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）至V质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
微积分的发展历史
微积分的发展历史1. 古希腊时期：微积分的起源可以追溯到古希腊时期，早在公元前5世纪，数学家祖克里斯特斯（Zeno of Elea）就提出了诸如阿基里斯赛跑等著名的悖论，引发了对无穷小和无穷大的思考。
2. 阿基米德和群测强微积分：在古希腊和古罗马时期，一些数学家如阿基米德和群测强（Archimedes）开始探索几何学和代数学的基本概念，在解决实际问题的过程中也涉及到了微积分的雏形。
3.牛顿和莱布尼兹的发现：17世纪，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼兹几乎同时独立发现了微积分的基本原理。
牛顿将微积分用于机械学和物理学的研究，而莱布尼兹则用它来解决代数和几何方程。
这两位伟大的数学家将微积分作为一门独立的学科加以发展并系统化。
4. 微积分的形式化建立：18世纪，欧拉（Leonhard Euler）将微积分的概念进一步抽象化和形式化，构建了函数和级数的理论，为微积分的应用奠定了坚实的基础。
5. 国际象棋问题的解决：19世纪初，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）研究国际象棋中的一个问题，首次利用微积分的方法进行了解决。
这个问题不仅使微积分在数学界引起了重视，也增强了人们对微积分的研究兴趣。
6. 分析学的发展：19世纪，数学分析学迎来了一个又一个的里程碑。
来自法国的布尔巴基（Augustin-Louis Cauchy）和庞加莱（Henri Poincaré）等人对极限、连续性和导数等概念进行了严格的定义和证明，进一步完善了微积分的理论。
7.微积分的应用：20世纪初期，微积分得到了广泛应用，特别是在物理学、工程学和经济学等领域。
爱因斯坦的相对论理论、量子力学的发展以及现代金融学等都离不开微积分的支持。
8.持续发展和改进：自20世纪起，微积分一直在不断发展和改进。
函数论、复分析及它们与微积分的关系等新理论的出现，使微积分的应用更加广泛，对更加复杂的问题提供了更加深入的分析。
微积分概念发展史
微积分概念发展史微积分真正成为一门数学学科，是在十七世纪，然而在此这前微积分已经一步一步地跟随人类历史的脚步缓慢发展着。
着眼于微积分的整个发展历史，在此分为四个时期：1.早期萌芽时期。
2.建立成型时期。
3.成熟完善时期。
4.现代发展时期。
早期萌芽时期：1、古西方萌芽时期：公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积与的长度的研究就含有早期微积分的思想，尽管不是很明显。
公元前三世纪，伟大的全能科学家阿基米德利用穷竭法推算出了抛物线弓形、螺线、圆的面积以及椭球体、抛物面体等各种复杂几何体的表面积和体积的公式，其穷竭法就类似于现在的微积分中的求极限。
此外，他还计算出Π的近似值，阿基米德对于微积分的发展起到了一定的引导作用。
2、古中国萌芽时期：三国后期的刘徽发明了著名的“割圆术”，即把圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆周长及面积的方法。
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。
”不断地增加正多边形的边数，进而使多边形更加接近圆的面积，在我国数学史上算是伟大创举。
另外在南朝时期杰出的祖氏父子更将圆周率计算到小数点后七位数，他们的精神值得我们学习。
此外祖暅之提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”，即界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，比欧洲的卡瓦列利原理早十个世纪。
祖暅之利用牟合方盖（牟合方盖与其内切球的体积比为4：Π）计算出了球的体积，纠正了刘徽的《九章算术注》中的错误的球体积公式。
建立成型时期：1.十七世纪上半叶：这一时期，几乎所有的科学大师都致力于解决速率、极值、切线、面积问题，特别是描述运动与变化的无限小算法，并且在相当短的时间内取得了极大的发展。
天文学家开普勒发现行星运动三大定律，并利用无穷小求和的思想，求得曲边形的面积及旋转体的体积。
意大利数学家卡瓦列利与同时期发现卡瓦列利原理（祖暅原理），利用不可分量方法幂函数定积分公式，此外，卡瓦列利还证明了吉尔丁定理（一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。
微积分发展简史
费马在推导求面积的公式时，发现当 n 为 无穷大时，包含的 1/n 和 1/n2 项可以忽略不计。 卡瓦列里将上面讨论的面积看成无限多个他称 之为不可分量（牛顿称之为终结不可分量）的 总和。这个终结不可分量到底是什么？当时没 有人能将它说清楚。牛顿后来甚至重申他已经 放弃了终结不可分量，而卡瓦列里只是说，把 一块面积分割为越来越小的小矩形时，最终就 会得到终结不可分量，面积就是由这些终结不 可分量组成的。
终结不可分量后来发展为无穷小量。
这里的问题是，当把非均匀变化的问题 看成均匀变化时，能表示为两个量的积的形 式，则此时处理非均匀变化问题，可以采 用 ……？？？
用什么方法？我们以后再慢慢讲。 它是积分学的问题。
牛顿与莱布尼茨
实际上在牛顿与莱布尼茨作出他们的冲刺之 前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴 罗的一本书里就能看到求切线的方法、两个函数的 积和商的微分定理、x 的幂的微分、求曲线的长度、 定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。
费马研究的一个问题
假设一个小球正向地面落去，我们想知道下落后 第 4 秒时小球的速度（瞬时速度）。
如果我们考虑用小球下落中时间间隔来代替时 刻，用它在这一段时间间隔内下降的距离除以所用时 间，就得到这一间隔中小球的平均速度。我们可以计 算从第四秒起，间隔为 1/2 秒，1/4 秒，1/8 秒，…… 内的平均速度。显然，时间间隔越短，计算出来的平 均速度就越接近第四秒时的速度。这就是说，我们有 了一个方案：首先计算不同时间间隔内的平均速度， 然后研究当时间间隔越来越小时，它们会趋近于哪一 个数。这个数就是要求的小球在第四秒时第瞬时速 度。
费马推导的问题所在
费马一直没能证明他所做的这些，也 没有把这项工作非常深入地进行下去，但 他坚信最终可以得到一个合理的几何证明。 尽管如此，事实上我们必须承认他是微积 分学的创始人之一。
微积分发展简史
微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
微积分的历程
微积分的历程
微积分是数学中一个重要的分支，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家们就曾经探索过函数的概念，他们发现函数的变化可以用数学表达式来描述，并且可以用来解决实际问题。
17世纪，英国数学家斯特劳斯·斯特劳斯发现了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本概念，即“微分”和“积分”，并且提出了微积分的基本定义。
18世纪，德国数学家勃兰特发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如勃兰特定理、勃兰特-拉格朗日定理等。
19世纪，微积分发展迅速，德国数学家卡尔·马克思发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如马克思定理、马克思-拉格朗日定理等。
20世纪以来，微积分发展迅速，微积分的基本概念和定理得到了进一步的发展，如拉格朗日定理、拉普拉斯定理、拉普拉斯变换等。
微积分的发展历程可以追溯到古希腊时期，它的发展历程经历了17世纪、18世纪、19世纪和20世纪，它的基本概念和定理也得到了进一步的发展，为数学的发展做出了重要贡献。
论述微积分发展简史
论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。
这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。
在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。
这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。
最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。
前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。
中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。
在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。
而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。
这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。
另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。
由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。
微积分发展史简述
微积分发展史简述微积分是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。
它的发展历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才得到了系统的发展和完善。
本文将简要介绍微积分的发展史。
1. 古希腊时期：微积分的雏形在古希腊时期，数学家们对于几何学有着深入的研究。
亚里士多德和欧几里得等人提出了许多与微积分相关的概念，如无穷小量和极限。
然而，由于当时的数学工具和观念的限制，微积分的发展受到了很大的阻碍。
2. 牛顿和莱布尼茨：微积分的创始人17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出微积分学。
牛顿创立了微积分的主要思想和方法，他提出了差分和积分的概念，并建立了微分方程和牛顿运动定律等基本理论。
莱布尼茨独立地发展出了微积分的符号表示法，引入了微积分中的极限和导数的概念。
牛顿和莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了基础。
3. 微积分的完善：极限与连续性18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。
欧拉进一步完善了微积分的符号表示法，并提出了欧拉公式等重要结果。
拉格朗日则对微积分中的极限和连续性进行了系统的研究，提出了拉格朗日中值定理和泰勒展开等重要定理。
这些工作使微积分的理论更加严谨和完备。
4. 微积分的应用：物理学和工程学19世纪，微积分的应用开始扩展到物理学和工程学等实际问题中。
拉普拉斯和傅里叶等数学家使用微积分的方法解决了一系列的物理学问题，为微积分的应用奠定了基础。
同时，微积分也在工程学中得到了广泛的应用，如力学、电磁学和流体力学等领域。
微积分的应用使得工程学的发展取得了重大的突破。
5. 微积分的发展与现代数学的关系20世纪，微积分的发展与现代数学的发展密切相关。
在集合论和数理逻辑的基础上，数学家们对微积分的理论进行了深入的研究和推广。
勒贝格和黎曼等数学家提出了测度论和黎曼积分等新的概念和方法，为微积分的发展带来了新的思路和工具。
同时，微积分也成为了现代数学的重要组成部分，在数学的其他分支中得到了广泛的应用。
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微积分发展简史一．微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。
在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。
在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子?天下篇》中记载了惠施的一段话："一尺之棰，日取其半，万世不竭"，是我国较早出现的极限思想。
但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。
他的"割圆术"开创了圆周率研究的新纪元。
刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。
用他的话说，就是："割之弥细，所失弥少。
割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。
"按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率的近似值3.14。
大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。
其次明确提出了下面的原理："幂势既同，则积不容异。
"我们称之为"祖氏原理"，即西方所谓的"卡瓦列利原理"。
并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。
较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的"穷竭法"。
他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。
但他的方法并没有被数学家们所接受。
后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。
之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。
他的方法通常被称为"平衡法"，实质上是一种原始的积分法。
他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。
但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。
平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。
与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。
刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。
阿基米德、阿波罗尼奥斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。
古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。
二．十七世纪微积分的酝酿微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。
1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。
一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。
这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。
有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。
在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。
这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。
开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。
德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。
他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。
卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。
他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。
他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，既是我国的祖原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。
利用这个原理他建立了等价于下列积分：的基本结果，并解决了开普勒的旋转体体积的问题。
巴罗(I.Barrow,1630-1677)与"微分三角形"。
巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。
他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。
巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任"卢卡斯数学教授"，也是英国皇家学会的首批会员。
当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生-当时才27岁的牛顿来担任。
巴罗让贤已成为科学史上的佳话。
笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)、费马(P. de Fermat,1601-1665)和坐标方法。
笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。
笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的"圆法"以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。
代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。
沃利斯(J. Wallis,1616-1703)的"无穷算术"。
沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。
在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。
其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。
前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。
虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。
因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
三．微积分的创立-牛顿和莱布尼茨的工作1．牛顿的"流数术"牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。
17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。
史托克斯的劝说词中的一句话："在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失"，可以说是科学史上最幸运的预言。
1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。
对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。
在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。
1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文-《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。
在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了"正流数术"（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了"反流数术"；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了"微积分基本定理"。
"微积分基本定理"也称为牛顿-莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。
该定理用我们现代的语言叙述就是：设函数在区间连续，对内任何，令，则。
如果是的一个原函数，则。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。
正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。
1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》。
在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》（简称《分析学》，1669）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，1671）；《曲线求积术》（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。
在《分析学》中，牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的"瞬"，记作，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。
在论文《流数法》中，牛顿又恢复了运动学观点。
他把变量叫做"流"，变量的变化率叫做"流数"，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。
在《流数法》中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题："已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系"；以及反过来"已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系"。
在《流数法》和《分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法》以动力学连续变化的观点代替了《分析学》的静力学不可分量法。