2016年最新等腰三角形和等边三角形知识点和典型例题

新知：等腰三角形

1.等腰三角形的定义：

2.等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形的三线合一

3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）

4.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

5.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明)

6.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴

7.等腰三角形的判定：

1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形(定义)

2.在同一三角形中，等角对等边

8.等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形

9.等边三角形的性质：

⑴等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60°。

⑵等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）

⑶等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或对角的平分线所在的直线。

⑸等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）

⑹等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)

10.等边三角形的判定：

⑴三边相等的三角形是等边三角形（定义）

⑵三个内角都相等（为60度）的三角形是等边三角形

⑶有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形

(4)两个内角为60度的三角形是等边三角形

(5)说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。

(6)等边三角形的性质与判定理解：

11、三角形中的中位线

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：

等腰三角形的性质应用及判定

例1如图，△ABC中，D、E分别是位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：

结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

例一：AC、AB上的点，BD与CE交于点O.出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;

③BE=CD.

1.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）

2.选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形

例2如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D,又延长BA到E，使AE=BD,连接CE,DE,求证：△CDE为等腰三角形

例3如图将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE=a,则下列说法正确的个数有（）

①DC'平分∠BDE ②BC长为(2

2 )a

③△BC'D是等腰三角形④△CED的周长等于BC的长

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

A

E

B C

O D E

A

B C D

例4如图，△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°的∠MDN ，点M,N 分别在AB,AC 上，则△AMN 的周长是

追加练习：

1.如图所示．△ABC 是边长为1的正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB ，AC 于M ，N ，连接MN ，求△AMN 的周长．

2.如图①，△ABC 是正三角形，△BDC 是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 边于M 、N 两点，连接MN 。 探究：线段BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明。

例5已知一个等腰三角形两内角的度数比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ） A.20° B.120° C.20°或120° D.36°

A

M N

D

B

C

例6等腰三角形两边长分别为4和9，则第三边长为

等边三角形的性质应用及判定

例7如图，在等边△ABC 中，点D,E 分别在边BC,AB 上，BD=AE,AD 与CE 交于点F.(1)求证：AD=CE;(2)求∠DFC 的度数。

例8如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC,BC 为边，在Rt △ABC 外作两个等边三角形△ACE 和△BCF ，连接BE,AF 。求证：BE=AF

例9如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N,有如下结论：①△ACD ≌△DCB; ②CM=CN; ③AC=DN.其中正确结论的个数是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个

例10如图，点C 在线段AB 上，在AB 的同侧作等边三角形ACM 和BCN ，连三角形ACM 和BCN ，连接AN ，BN ，若∠MBN=38°，则∠ANB 的大小等于。

B

C

D

A

B

E

例11已知，如图，延长△ABC 的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB,顺次连接D,E,F ，得到△DEF 为等边三角形，求证：（1）△AEF ≌△CDE;(2)△ABC 为等边三角形

等腰直角三角形的性质应用及判定

例12如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，D 是BC 延长线上一点，且AC=CD,则BC:CD=

例13已知，如图，AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边，AD 是 ∠A 平分线，求证：AC+CD=AB

例14两个全等的含30°，60°的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，E,A,C 三点一条直线上，连接BD,取BD 的中点M,连接ME,MC,试判断△EMC 的形状，并说明理由

1.已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA 的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．

F E

D