小学奥数——三角形的等积变形(附答案)word版本

小学奥数三角形的等积变形

我们已经掌握了三角形面积的计算公式：

三角形面积=底乂高十2

这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三

角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定

变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形

在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.

为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：

①等底等高的两个三角形面积相等.

②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相

等.

③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的

面积也是另一个三角形面积的几倍.

例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）

3，它们所对的顶

点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.

同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.

例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底

BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.

例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D

是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.

上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.

例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.

方法X 如右图，将EC 边四尊分（BD 二DE 二EF 二FC 二!BC ）,连结 4

AD. AE, AF.则△AED 、“ADE 、Z\AEF. △AFCS?积.

方法乳如右图，先将BC 四等分，即ED 二土EU 连结AD,再将AD 三

1

等分、即AL = EF-JD -jAT,连结CE 、CF,从而得到四个等积的三角形 ,即厶ABD . A CDF , A CER △為CE 等积.

例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.

方法1 :如下左图，将 BC 边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E ,连结AD AE,从而得到厶ABD

△ ADE △ AEC 的面积比为 1 : 3 : 4.

方法厶 如上右图，先取RC 中点D 再取AB 的+分点氏 连结AIX

DE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD 其面积比为 1 : 3 : 4

.

方法2:如右图，先将 BC 二等分，分点 D 、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC 等积.然后取 AC AB 中点E 、F ,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE 等 积.

方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：

4 +

当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.

例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.

证明：•••△DBC等底等高，

••• S A ABC=S\ DBC

又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOC

S △DOC=^ DBC- S A BOC

• S A AOB=S\ COD

例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.

分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，

把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.

解：①连结BD

②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.

③连结A'。，则厶A CD与四边形ABCD等积.

例5如右图，已知在厶 ABC 中，BE=3AE CD=2AD 若厶ADE 的面积为1平方厘米.求三角形 积.

解法1 :连结BD 在厶ABD 中

•/ BE=3AE,

••• S △ ABD=4SX ADE=4 （平方厘米）.

在厶 ABC 中，T CD=2AD

• S △ ABC=3SX ABD=3X 4=12 （平方厘米）.

解法2:连结CE 如右图所示，在△ ACE 中,

•/ CD=2AD

• S △ ACE=3SX ADE=3（平方厘米）.

在厶 ABC 中，T BE=3AE

• S △ ABC=4SX ACE

=4 X 3=12 （平方厘米）.

例6如下页图，在△ ABC 中，BD=2AD AG=2CG

求阴影部分面积占三角形ABC 面积的几分之几?

BE=EF=FC= *

T AG = 2CG,

2 =2

2 1 同理S A®DE = g S AJfflC !汇沁=訐

• S △ ADG+S\ BDE+S\ CFG

解：连结BG 在厶ABG 中, T BD = 2AD …化砂 广在3C 中,

ABC 的面