小学六年级奥数等积变形

小学六年级奥数-等积变形

小学六年级奥数等积变形（5）
【题目1】如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，BO：DO＝3：2，三角形ABC的面积是18，求三角形ACD的面积。

【题目2】如图，梯形ABCD的面积是64平方厘米，上底AD和下底BC的长度比是3：5，求三角形BOC的面积是多少平方厘米？
【题目3】如图，正方形ABCD的边长是10厘米，E、F分别是AB、BC的中点，求四边形BFGE的面积是多少平方厘米？
【题目4】如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC 的中点，求四边形BGHF的面积是多少平方厘米？
【题目5】如图，平行四边形ABCD的面积是60平方厘米，BE＝2AE，BF：FC＝5：3，四边形ADGE的面积是多少平方厘米？
【题目6】如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABD的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC的面积。

【题目7】如图，如图，在三角形ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC的四等分点，且三角形ABM的面积比四边形CFNG的面积大6平方厘米，求三角形ABC 的面积。

小学奥数几何篇五大模型——等积变换和共角定理(附答案)

等积变换与共角定理我们的目标:掌握三角形等积变换与共角定理的基本模型;学会构造出模型进行解题三角形等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形高相等，面积比等于底之比；如左图1 2 : :S S a b（3）两个三角形底相等，面积比等于高之比；在一组平行线之间的等积变形，如右图；S△ACD=S△BCD；共角定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如下两图例1. 如图三角形ABC的面积为1，其中AE＝３AB，BD=2BC，三角形BDE的面积是多少？例2. 如图，三角形ABC的面积是24，D、E分别是BC、AC和AD的中点，求三角形DEF的面积。

例3.如图，在角MON的两边上分别有A、C、E及B、D、F六个点，并且△OAB、△ABC、△BCD、△CDE 、△DEF 的面积都等于1，则△DCF的面积等于例4.E、M分别为直角梯形ABCD两边的点，且DQ、CP、ME彼此平行，若AD=5，BC=7，AE=5，EB=3.求阴影部分的面积例5.如图，已知CD=5，ＤＥ＝７，ＥＦ＝１５，ＦＧ＝６，线段ＡＢ将图形分成两部分，左边部分面积是３８，右边部分是６５，那么三角形ＡＤＧ的面积是例６. 如图，正方形的边长为１０，四边形ＥＦＧＨ的面积为５，那么阴影部分的面积是例７. 已知正方形的边长为１０，ＥＣ＝３，ＢＦ＝２，则Ｓ＝四边形ＡＢＣＤ例8．如图，平行四边形ABCD，BE=AB，CF=2BC，DG=3DC，HA=4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。

例9. 已知△DEF的面积为7平方厘米，BE=CE，AD=2BD，CF=3AF，求△ABC的面积等积变换与共角定理习题1. 如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形ZCY的面积2. 如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米，FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，下边部分面积是67平方厘米，上边部分是166平方厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米？3. 如图，阴影部分四边形的外界图形是边长为12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方厘米？4. 如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD 的面积。

六年级奥数第3讲等积变形

六年级奥数第3讲等积变形
引言
本文档将介绍六年级奥数第3讲的等积变形。

通过本讲的研究，学生将能够更深入地理解等积变形的概念和方法，并能够应用于相
关问题的解决。

等积变形的定义
等积变形是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变形状、
角度或尺寸等方式进行变换的过程。

在等积变形中，图形的比例关
系和形状特征保持不变。

例题解析
以下是一些关于等积变形的例题解析，以帮助学生更好地理解
和掌握相关知识。

例题1
已知一个长方形的长为12cm，宽为8cm，将其等比例缩小为
原来的一半，请计算缩小后长方形的长和宽分别是多少？
解析：由于题目要求等比例缩小为原来的一半，可以将长和宽都除以2来计算。

因此，缩小后的长方形的长为6cm，宽为4cm。

例题2
一个三角形的底边长为10cm，高为8cm。

将该三角形的底边长保持不变，将高等比例放大为原来的2倍，请计算放大后三角形的高和面积分别是多少？
解析：根据等积变形的性质，底边长不变，高放大为原来的2倍意味着面积放大为原来的2倍。

因此，放大后三角形的高为
16cm，面积为80平方厘米。

总结
通过学习本讲的等积变形概念和例题解析，我们了解到等积变形是指在保持图形面积不变的前提下进行变换的过程。

在计算等积变形时，可以利用比例关系和形状特征来解决相关问题。

希望同学们通过本讲的学习，能够更熟练地运用等积变形的方法解决各类数学问题。

小学奥数几何五大模型

（4）相似模型1、相似三角形：形状相同、大小不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。

3、相似三角形性质：①相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边）的比等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方。

相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有DE BC ∥。

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型结论：因为DE BC ∥，所以ADE ABC △∽△，则①AD AE DE==；②22::ADE ABC S S AD AB =△△。

②::ABO BCO S S AE EC =△△；ED C BA E DCB A③::ACO BCO S S AF FB =△△。

二、五大模型经典例题详解（1）等积变换模型例1、图中的E F G 、、分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？GFE D CBA解析：把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边AB BC CD 、、就被分成了相等的三段。

把点H 和这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1～6。

这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一；阴影部分被分割成了其中的3个三角形。

根据等积变换模型可知，CD 边上的阴影三角形的面积与第1、2个三角形相等；BC 边上的阴影三角形与第3、4个三角形相等；AB 边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等。

因此，阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即：12×12÷3=48。

例2、如图所示，Q E P M 、、、分别为直角梯形ABCD 两边AB CD 、上的点，且DQ CP ME 、、彼此平行，已知5753AD BC AE EB ====、、、，求阴影部分三角形PQM 的面积。

六年级奥数第34讲等积变形

6. 8厘米
30×20×24÷(40×30+30×20)＝8（厘米）。
7. 175.84米
把圆筒展开后，横截面（圆环）变成一个长方形（长是纸的长度，宽是纸的厚度），圆筒横截面（圆环）的面积就是长方形的面积，所以长方形的长（纸的长度）等于圆环的面积除以纸的厚度。3.14×[(38÷2)2-(18÷2)2]÷(0.5÷10)÷100=175.84(米)。
6. 7.25厘米
×π×（）2×3÷[π×（）2]+7=7.25（厘米）
【池中戏水】
1.答案不唯一
2. 6.4厘米
(第2题)
连接AG，在正方形ABCD中，△ABG的底和高分别为正方形边AB与BC，所以，它的面积是正方形ABCD面积的一半。同样，在长方形EBGF中，三角形ABG的底为长方形的长BG，高为长方形的宽EB，所以它的面积也是长方形EBGF面积的一半。由此得出长方形EBGF的面积与正方形的面积相等，即长方形EBGF的面积也为64平方厘米。所以，长方形EBGF的宽为64÷10＝6.4（厘米）。
8. 5倍
设正方体的棱长为，切开后两个长方体的表面积之和是 ×8.长方体的表面积是 ×8× ，底面积是；长方体的表面积是 ×8× ，底面积是，所以长方体的体积是长方体的5倍。
9.
【海上冲浪】
(第1题)
1. 3平方厘米
连结CF。S△BDF=1，则S△CDF=2，S△CBF=3。由于S△ABE= S△CBE，S△AFE= S△CFE，可得S△ABF= S△CBF=3，设S△AFE=S△CFE=a，则有S△ABD:S△ADC=1:2，即（1+2）:（2+a+a）=1:2，求得a=2，所以S△CDFE=1+2=3（平方厘米）。

等积变形问题

等积变形问题引言等积变形问题是数学中的一个重要概念，涉及到几何图形的形状变化和面积的关系。

在这个问题中，我们考虑一个固定面积的图形，在保持面积不变的情况下，改变图形的形状。

这个问题有着广泛的应用背景，例如在工程设计、物理学和经济学中都能找到对等积变形问题的研究。

等积变形问题的定义等积变形问题是指在保持图形面积不变的前提下，通过改变图形的尺寸或者形状，使得其它属性发生相应的改变。

通常情况下，我们会固定一个属性（例如周长、直径等），然后通过调整另外一个属性（例如宽度、长度等）来实现对图形进行等积变形。

等积变形问题的解法1. 基于比例关系的解法在等积变形问题中，最常见且直观的解法就是基于比例关系。

假设我们有一个矩形，并且知道其面积为A。

如果我们要将这个矩形进行等积变换，并且保持其宽度不变，那么我们可以通过调整其长度来实现。

根据矩形的面积公式，我们可以得到长度与宽度之间的比例关系：长度/宽度 = A/宽度。

通过这个比例关系，我们可以计算出新的长度。

同样地，如果我们要保持矩形的长度不变，而调整其宽度来实现等积变换，我们也可以利用比例关系进行计算。

这种基于比例关系的解法适用于各种图形，包括矩形、圆形、三角形等。

2. 基于微积分的解法除了基于比例关系的解法外，我们还可以使用微积分方法来解决等积变形问题。

这种方法通常需要使用到函数的导数和积分等概念。

考虑一个简单的例子：一个圆形区域的面积为A。

现在我们要将这个圆形区域进行等积变换，并且保持其半径不变。

我们可以通过求解一个方程来找到新的半径。

设原始圆的半径为r，新圆的半径为R。

根据圆的面积公式，我们有πr^2 = πR2，即r2 = R^2。

由此可得R = ±r。

根据几何意义可知，R不能取负值，因此新圆的半径为r。

这意味着，在保持圆的半径不变的情况下，进行等积变换得到的仍然是一个圆形。

3. 基于几何变换的解法除了基于比例关系和微积分方法的解法外，我们还可以使用几何变换来解决等积变形问题。

2022-2023学年小学六年级奥数典型题测评卷14《等积变形》(解析版)

【六年级奥数举一反三—全国通用】测评卷14《等积变形》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分15分，每小题3分）1．（2014•迎春杯）如图，大正六边形内部有7个完全一样的小正六边形，已知阴影部分的面积是180平方厘米．那么大正六边形的面积是（）平方厘米．A．240 B．270 C．300 D．360【分析】按题意，显然可以将图进行分割，分割后阴影部分有六个面积相等的小正六边形，而空白部分是3个面积相等的小正六边形，利用面积之比不难求得大正六边形的面积．【解答】解：如图所示，将图分割成面积相等的小正三角形，显然，图中的空白部分的面积和等于3个小正六边形．而阴影部分由6个小正六边形组成，所以，大正六边形是由9个小正六边形组成的．一个小正六边形的面积为：180÷6＝30（平方厘米），大正六边形的面积为：30×9＝270（平方厘米），故选：B．2．（2014•迎春杯）如图，大正方形的边长为14，小正方形的边长为10，阴影部分的面积之和是（）A．25 B．40 C．49 D．50【分析】按题意，将图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，不难求得阴影部分的面积．【解答】解：根据分析，如下图所示，图①逆时针旋转90°，阴影部分可拼成一等腰直角三角形，S＝142÷4＝49故选：C．3．（2006•创新杯）图中，将两个正方形放在一起，大、小正方形的边长分别为10，6，则图中阴影部分面积为（）A．42 B．40 C．38 D．36【分析】由图意可知：阴影部分的面积就等于两个正方形的面积和减去两个空白三角形的面积，利用正方形和三角形的面积公式即可求解．【解答】解：10×10+6×6﹣6×（10+6）÷2﹣10×10÷2＝100+36﹣48﹣50＝38答：阴影部分的面积是38．故选：C。

六年级数学等积变形

六年级数学等积变形1，一个盛水的圆柱形水桶,内底面周长为6028分米，当一个长方形的物体投入水中时，水面上升1分米，量得这个长方体的长为3；14分米，宽为1分米，他的高是多少？2,在长为15厘米，宽为12厘米的长方体水箱中，有10厘米深的水，现沉入一个高为10厘米的圆锥形铁块《全部浸入水中》，水面上升了2厘米，求圆锥的底面积?3,甲，乙两个圆柱体容器，底面积比为4:3,甲容器水深7厘米，以容器水深3厘米，再往两容器中各注入同样多的水，直到水深相等，这时水深多少厘米？4，一个棱长为1分米的正方体木块，从这个木块中各出一个最大的圆锥,求这个圆锥的表面积和体积？5，用一张长3米宽1米的长方形铁皮可以做成无底的圆柱形管子，此圆柱形管子的最大面积是多少？6，一个胶水瓶，它的瓶身呈圆柱形《不包括瓶颈》，容积是32；4立方厘米，当瓶子正放时，瓶内胶水深为8厘米，瓶子倒放时，空余部分为2厘米，则瓶内所装水的体积是多少？7；有A；B两个圆柱形容器，最初在容器A里装有2升水，容器B是空的。

现在往两个容器中以每分钟0；4升的流量注入水，4分钟后，两个容器的水面高度相等。

设B的底面半径为5厘米，那么A的底面直径是多少厘米？8；将一个圆柱体木块沿上下底面圆心切成四块，表面积增加48平方厘米；若将这个圆柱体切成三块小圆柱体，表面积增加50；24平方厘米。

现在把这个圆柱体木块削成一个最大的圆锥体，体积减少多少立方厘米？9；圆钢切削成一个最大的圆锥体，切削掉的部分部分重8千克，这段圆钢重多少㎏？10；棱长是4分米的立方体钢坯切削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方分米？11；一个体积为60立方厘米的圆柱，削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？12；一车箱是长方体，长4米，宽1；5米，高4分米，装满沙，堆成一个高5分米的圆锥，底面积多少㎡13；一个底面周长15；7m高10m的圆柱铁块，熔成一个底面积是25㎡的圆锥，圆锥的高是多少m？14；把一个体积是18㎝³的圆柱削成一个最大的圆锥，削成的圆锥体积是多少㎝³？15；正方体钢材，棱长6分米，把它削成一个最大的圆锥体零件，零件的体积是多少?。

小学六年级奥数 等积变形