四年级奥数讲义-等积变形二 通用版
奥数-等积变形
奥数-教学教案
授课时间：年月日备课时间年月日年级五课程类别课时学生姓名
授课主题三角形等积变形授课教师
教学目标理解和掌握三角形形状变化但是面积不变
教学
重难点
理解三角形形状变化但是面积不变
教学方法讲练结合
教学过程1、课程导入/错题讲解：
点
拨
教学过程2.知识点讲解
学
习
札
记
教学过程
3、例题分析：
1、如图所示三角形ABC，D为AC上一点，CD=2AD。
问：三角形ABC的面积是三角形
ADB的几倍？方法与技巧
2.如图平行四边形ABCD，E为AB中点，F为DB中点。
已知三角形BEF面积为4平方厘米，问：平行四边形ABCD面积是多少平方厘米？
教学过程4、随堂练习
小
提
本课小结
及下节预告。
四下奥数-等积变形.doc
等积变形（1）姓名:如图在三角形ABC中，D是BC的中点，三角形ABD的面积是12,那么三角形ABC 的面积是多少？A: 12 B: 20 C： 24 D: 26（★★★）如图，在梯形ABCD中△刃游的面积为15cm：,求三角形DOC的面积.A: 45 B: 60 C: 75 D: 15（★★★★）如图，破;力为平行四边形，矽平行涉如果△血的面积为6平方厘米.求三角形建的面积•A: 4 B: 6 €： 5 D: 8（★★★★）如图，在平行四边形旭CD中，直线CF交旭于交DA延长线于若Sg =1,求3EF的面积.A: 1 B: 2 C： 3 D: 4（★★★★）如图：已知三角形ABC的面积是88平方厘米，是平行四边形Z）EFC的2倍, 求阴影部分的面积。
A: 44 B: 31 C： 22 D; 30（★★★）如图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的询长是占厘米，求三角形NBC 的面积.A: 4 B: 8 C： 16 D: 20（★★★）如图，与AEFG均为正方形，三角形如丑的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为•DA: 3 B: 6 C：9 D： 123 D等积变形（2） 姓名：BD 长4厘米，DC 长16厘米，B 、C 和D 在同一条直线上.则三角形ABC 的面积是三角 形ABD 面积的（ ）倍；三角形ADC 的面积是三角形ABD 面积的（ ）倍。
A; 3 , 4 B; 4 , 3 C ： 5 , 3 D; S , 4如图，在三角形ABC 中，BC=10厘米，高是6厘米，D 、E 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形DEB 的面积是（ ）平方厘米。
A: 6 B: 6, 5 ('： 7 D: 7. 5三角形.4SC 中，DC = 23D, CE = 3北，三角形如）E 的面积是20平方厘米，三角形.45（? 的面积是（ ）平方厘米。
A:90 B: 100 C; 120 D: 150A; 30B;40 C ： 50 D ： 60 如图, 的面积是（ 三角形ECD 的面积为3,其中CE=3AE, 3D = 4CD,三角形ABC)0 A: 10B; 12 C ： 15 P: 16 如图, X13C 的面积是10平方厘米，将一纺、BC 、 得到一个新的SDEF ，则少EF 的面积为（ 分别延长一倍到D 、E. F 且两两 ）平方厘米。
小学四年级奥数竞赛班讲义 第44讲：等积变形(二)
等积变形（二）【动手算一算】⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？(★★)⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。
求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。
求：三角形DEF的面积。
(★★★)1如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？(★★★)如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。
平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？(★★★)如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？(★★★★)如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？(★★★)2如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。
(★★★★)如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？(★★★★★)【大海点睛】一、重要结论1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S△BCD2．结论㈡⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
小学奥数等积变形2
奥数拓展：等积变形2【例1】重叠面积中的等积变形1.如图是有两个相同的直角梯形重叠而成（单位：厘米），阴影部分的面积是（）平方厘米．2.如图，两个完全一样的直角三角形重叠一部分，图中阴影部分面积是（）平方厘米．A．90 B．75 C．52 D．30【例2】等积变形的灵活运用1.如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积．2.将三角形ABC的BA边延长1倍到D；CB边延长2倍到E，AC边延长3倍到F，如果三角形ABC的面积等于2，那么三角形DEF的面积是_____。
备用图1 备用图23.如图直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一个顶点将这个直角三角形的斜边分成两部分，阴影部分的面积是6 平方厘米，DB长厘米．EBA三．出门考1. 一个等腰三角形的两条边长分别是51米和21米，这个三角形的周长是（ ）米。
2. 如下图，ABCD 为平行四边形，E 、F 分别为AD 、DC 的中点，如果△BFC 的面积为4平方厘米，则△AEB 的面积是（ ）平方厘米．3. 如图是由两个相同的直角梯形重叠而成的，图中只标出三个数据（单位：厘米），图中阴影部分的面积是多少平方厘米？4*.如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)四．课后作业1. 计算，能简算的要简算。
435177-- 4847157+- 74512712⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 4357910910+++ 41327373-+-2. 一根长2米的绳子，先用去41米，又用去21米，这根绳子短了多少米？3. 光明小学拥有一块公顷的菜地，其中青菜占菜地的，黄瓜占菜地的．剩下的种西红柿，西红柿占菜地的几分之几？4. 光明小学拥有一块公顷的菜地，其中种青菜的有公顷，种黄瓜的有公顷．剩下的种西红柿，西红柿有多少公顷？5. 如图将△ABC 的AB 边延长到D ，BC 边延长到E ，CA 边延长到F ，使DB=AB ，EC=2BC ，FA=2AC ，如果三角形ABC 的面积是5平方厘米，那么三角形DEF 的面积是平方厘米．6. 探索规律并计算=-4131 =-5131 =-6151 =-8151 =+4131 =+5131 =+6151 =+8151 我发现每日一练第一天：周天（5月20日）1. 三根电线共长87米，第一根和第二根共长43米，第二根和第三根共长31米。
小学奥数全国推荐四年级奥数通用学案附带练习题解析答案32三角形的等积变形(二)
年 级 四年级 学 科 奥数版 本通用版课程标题三角形的等积变形（二）上一讲我们学习了三角形的面积与底和高之间的关系，在这个基础上，这节课，我们再一起学习一下平行线间的等积变形。
夹在一组平行线间的等积变形：如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
例1 如图，把四边形ABCD 改成一个等积的三角形。
分析与解：本题有两点要求：一是把四边形改成一个三角形；二是改成的三角形与原四边形面积相等。
我们可以利用三角形等积变形的方法，如下图把顶点A 移到CB 的延长线上的点A ′处，△A ′BD 与△ABD 的面积相等，从而△A ′DC 的面积与原四边形ABCD 的面积相等。
这样就把四边形ABCD 等积地改成了△A ′DC 。
问题是A ′位置的选择是依据三角形的等积变形原则。
过A 作一条和DB 平行的直线与CB 的延长线交于A ′点。
具体做法：连接BD ，过A 作BD 的平行线，与CB 的延长线交于A ′。
连接A ′D ，则△A ′CD 与四边形ABCD 等积。
例2 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行于AC ，如果△ADE 的面积为4平方厘米。
求△CDF 的面积。
分析与解：连接AF 、CE 。
∴ADE S △＝ACE S △，CDF S △＝ACF S △。
又∵AC 与EF 平行，∴ACE S △＝ACF S △。
∴ ADE S △＝CDF S △＝4（平方厘米）。
例3 如图，已知正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 的边长为10厘米，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？分析与解：解法一 ：△BEF 的面积 ＝ BE ×EF ÷2，梯形EFDC 的面积＝（EF ＋CD ）×CE ÷2＝BE ×EF ÷2＝△BEF 的面积 ，而四边形CEFH 是它们的公共部分，所以 △DHF 的面积＝△BCH 的面积，进而可得阴影部分△BDF 的面积＝△BCD 的面积＝10×10÷2＝50（平方厘米）。
等积变形2讲义
D
知识大总结 1 等高模型： 1. 等高模型：“二合一”模型 二合 模型. ⑴ 从顶点出发，一分为二. ⑵ 面积之比＝底边长度之比. 面积之比＝底边长度之比 2. 平行线性质： 【今日讲题】 【今 讲题】 例3，例4，例5 【讲题心得】
B
A O
D
C
6. 并排正方形：同方向的一组对角线平行. 并排 方 方向的 组对角线
A
C
1
4. 二合一模型： 模 ⑴ 从顶点出发，将一个三角形分成两个三角形. ⑵ 两个小三角形的面积之比＝底边长度之比. ABD BD ADC DC 【例3】(★★★) 如图 在平行四边形ABCD中， 如图，在平行四边形 中 E为AB中点， 中点 AF＝2CF，△ △AFE的 面积为10平方厘米，问：平行四边形ABCD的面积是多少？
等积变形（二）
本讲主线 1. 等高模型. 2. 添加辅助线 . 3. 平行线的等积变形.
1. 三角形面积＝底×高÷2 2. 等高模型：高线相同，底边相等的两个三角形,面积相等. 3. 比：一种份数关系的表达方式. A 2 ⑴ 形式： A : B 2 :1 或 B 1 ⑵ 化简：同时除以相同的因数. △ABD：△ADC＝BD：DC
D F E B C
【例4】(★★★☆) 图， ABC的面积为2，其中 ，其中AE＝3AB，BD＝2BC， ，△BDE的面 如图，△ 积是多少？
5．平行线性质：夹在平行线间的等底三角形，面积相等. 线 质 夹在 线 的等底 角 相等
A O B
Dபைடு நூலகம்
A
C
【例5】 (★★★☆) 图，在平行 形ABCD中，EF平行AC， ，连接BE、AE、CF、 如图，在平行四边形 BF. 那么，与△BFC面积相等的三角形一共有哪几个？
2011年学而思春季第二讲(等积变形)
第二讲 等积变形一、复习基本面积公式二、三角形如何找高 1、找底边对边的顶点 2、过顶点作底边的垂线锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 （以一直角边为底时， （以一钝角边为底时， 高是另一条直角边） 高在三角形外面）由三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2我们得到：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。
（1）三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。
（2）当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。
（3）一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．三、常用结论1、等底等高的三角形面积相等。
2、平行线所夹的等底三角形面积相等。
如右图，ACD Δ和BCD Δ夹在一组平行线之间， 且有公共底边CD，那么BCD ACD S S ΔΔ=；反之，如果BCD ACD S S ΔΔ=，且A,B 在CD 的同侧，则可知直线AB 平行于CD。
S=ab3、梯形的两条对角线及两腰所夹的两个三角形面积相等。
由上一条结论，△ACD 与△BCD 的面积相等，同时减去 △OCD 的面积，余下的面积也应该相等，即BOD AOC S S ΔΔ=4、等高看底：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．等底看高：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．四、例题讲解 例1 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B，C，D 在同一条直线上。
（1）求三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ （2）求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 解析：（1）观察三角形ABC 与三角形ADC 有什么联系——同高！注意：怎样判断同高 ①有1个公共顶点②该顶点所对边共线根据“等高看底”，它俩的面积比其实就是底边的比，只是要注意底边的数据： 三角形ABC 的底边是BC=12+4=16(厘米)三角形ADC 的底边是DC=4厘米16÷4=4，三角形ABC 的面积是三角形ADC 面积的4倍（2）同理，三角形ABD 与三角形ADC 也是同高的，其面积比等于12÷4=3例2 如图，E 在AD 上，AD 垂直于BC,AD=12厘米，DE=3厘米，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？解析：显然，三角形ABC 与三角形EBC 有相同的底边BC。
小学奥数四年级奥数经典讲义第2讲三角形等积变形 提高教师
第二讲 三角形的等积变形内容概述我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等．②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=，则可知直线AB 平行于CD 。
例题精讲【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。
① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？分析：因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是： 三角形ABD 的面积=12×高÷2=6×高三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍；三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。
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等积变形（二）
【动手算一算】
⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？
②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
(★★)
⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。
求
三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？
如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD
的中点。
求：三角形DEF的面积。
(★★★)
1
如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB
和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？
(★★★)
如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三
角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。
平行四边形ABCD
的面积是多少平方厘米？
(★★★)
如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，
AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
(★★★★)
如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形
BDE的面积是多少？
(★★★)
2
如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长
BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF
的面积。
(★★★★)
如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶
点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和
120，则三角形BDE的面积是多少？
(★★★★★)
【大海点睛】
一、重要结论
1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等
结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等
如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底
边CD，那么S△ACD＝S△BCD
2．结论㈡
⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的
几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的
几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
二、技巧方法
1．平行线的来源
⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形
⑵已知平行
⑶并排摆放的正方形的同方向对角线
2．已知做底边，等高优先找
三、经典例题
等积变形(上)：例3，例5，例6，例7
等积变形(下)：例2，例4，例5，例7
3。