北师大版八年级数学下册3.4 分式方程(1)
巩固练习
1、一个正多边形的每个内角都是172°，求它的 边数n满足的分式方程。
合作交流
ⅰ、根据联合国《2003年世界投资报告》指出， 中国2002年吸收外国投资额达到530亿美元，比 上一年增加了13%。设2001年我国吸收外国投资 额为x亿美元，请你写出x满足的方程。你能写出 几个方程？其中哪一个是分式方程？
北师大版八年级(下)
3.4 分式方程(1)
新知探究
Ⅰ、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用 原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg和15000kg。已知第一块试验田每公顷的产量 比第二块少3000kg，分别求出这两块试验田每公 顷的产量。 (1) 设第一块试验田每公顷的产量为xkg，则第二 块试验田每公顷的产量为 ( x 3000) kg； (2) 根据题意，可得方程
课堂小结
分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
(1) 设该车由高速公路从甲地到乙地所需的时间xh， 则它由普通公路从甲地到乙地所需时间为 2x h ； 480 600 (2) 根据题意，可得方程
x
2x
45
。
新知探究
Ⅲ、观察左右两边的方程，它们有什么不同？
x 2( x 3) 5 x 4
x 2( x 3) 1 2 3
9000 15000 x x 3000
。
新知探究
Ⅱ、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600 km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路。 某客车在高速公路上行驶பைடு நூலகம்平均速度比在普通公 路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的 时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半。 求该车由高速公路从甲地到乙地所需的时间。
巩固练习
2、“退耕还林还草”是在我国西部实施的一项重 要生态工程。某地规划退耕面积共69000公顷，退 耕还林与退耕还草的面积比为5︰3。设退耕还林的 面积为x公顷，那么x满足怎样的分式方程？
巩固练习
3、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备 没有及时到位，只好先用人工装运，6h完成了一 半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，1h 完成了后一半任务。如果设单独采用机械装运xh 可以完成后一半任务，那么x满足怎样的方程？
分母中不含未知数
9000 15000 x x 3000 480 600 45 x 2x
分母中含有未知数
一元一次方程
分式方程
新知归纳
分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
范例讲解 例1、为了帮助遭受自然灾害 地区重建家园，某 学校号召同学们自愿捐款。第一次捐款总额为 4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款 人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好 相等。如果设第一次捐款人数为x人，那么x满足 怎样的方程？
八年级数学下册《3.4分式方程》课件 北师大版
整理，得 4x=-7
检验
4、某自来水公司水费计算办法如下：若每户 每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5 元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每 立方米收取较高的定额费用，1月份，张家
用水量是李家用水量的三分之二，张家当 月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元， 超出5m3的部分每立方米收费多少元？
828 6x 828 x 1.5x
解得：x=46 经检验，x=46，是方程的根，且符合题意。
∴x=46, 1.5x=69
§3.4分式方程
自主学习
3、解方程 3 x x2 2
5 x
1
1 x x2 8x 7
7x
x 3 x2 2 1 x 5 x 1 (x 1)( x 7) x 7
同乘以最简公分母(x-1)(x-7)，得
(x-3)(x-7)+(x2-2)=(x-1)(x-7)+(x-5)(x-1),
x2-10x+21+x2-2= x2-8x+7+ x2-+6x+5
17.5 1.5 5 5 27.5 1.5 5 5 2
x
x
3
解这个方程，得
x=2 经检验，x=2是所列方程的根。 所以超源自5m3部分的水，每立方米收费2元。
5、为了方便广大游客到昆明参加游览“世博 会”，铁道部临时增开了一列南宁——昆明 的直达快车，已知南宁——昆明两地相距 828km，一列普通列车与一列直达快车都由 南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通 快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车 晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两 车的平均速度？
§3.4分式方程
自主学习
1、解方程 x 2 x 4 x 6 x 8 x 1 x 3 x 5 x 7
北师大版八年级数学下册：分式方程课件
所以，该市今年居民用水的价格为2元/m3.
四、随堂练习
1.勤洗手，戴口罩.小明第一次用120元买了若干包口罩,第二次用240元 在同一商家买同样的口罩,这次商家每包优惠4元,结果比上次多买了20包, 求第一次买了多少包口罩?若设第一次买了x包口罩,列方程正确的是( D.).
A. 240 120 4 x 20 x
3
x
11x 3
15
30 15 5. 11x x
3
30
三、典例分析
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3， 则今年居民
用水的价格为
1
1 3
x 元/m3.
30
根据题意，得：
1
1
x
15 x
5.
3
解得：
x3 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
整理
45 15 5.
2x x
3 1 1 2 元 / m3 23
所有房屋出租的租金第一年为9.6万元， 第二年为10.2万元.
第一年所有房屋出租的租金=9.6万元 第二年所有房屋出租的租金=10.2万元
1.你能找出这一情境中的等量关系吗?
找等量 关系
第二年每间房屋的租金 = 第一年每间房屋的租金+ 500.
第一年出租的房屋间数 = 第二年出租的房屋间数.
发掘隐含条件！
在“火神山”医院的建造过程中，有两个工程队共同参其中一项搬运工程，
甲队单独施工1天完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工 作了半天天，总工程全部完成. 乙单独干这项工程需要多长时间？
解:设小亮每小时各加工x个，则小明每小时各加工(x+10)个.
根据题意，得：
150 120 . x 10 x
2013初中八年级数学下册北师大版课件3.4《分式方程》(2)
回顾与思考：
解方程： 3x 1 5x 2 2 4x 2
2
3
6
解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母 （2）去括号 （3）移项 （4）合并同类项 （5）方程两边同除以未知数的系数
例1：解方程
(1) 1 3 x2 x
(2) 480 600 45 x 2x
解：（1）方程两边都乘以 x( x 2) ，得
x 3x 2
解这个方程，得
x3 检验：将 x 3 代入原方程，得
左边=1=右边
所以，x 3 是原方程的根
想一想：解分式方程一般需要几个步骤？
1.去分母. 方程两边同乘以最简公分母,化分式方程
为整式方程
2.解整式方程.
3.检验. 把整式方程的根代入最简公分母,看结果是
否为零,使最简公分母为零的根叫增根,舍去;
使最简公分母不为零的根才是原方程的根.
试一试:
解方程:
1 x 1 2 x2 2x
注意:不是所有的分
(3) 6 x 5 x 1 x(x 1)
(2) x 5 4 2x 3 3 2x
(4) 3 x 1 1 x4 4x
祝同学们学习 进步!
2020春北师大版初中数学八年级下册课件-第1课时 分式方程的概念
03 综合题
8．某工程在进行招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工 程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：
Ⅰ.甲队单独完成这项工程刚好如期完成； Ⅱ.乙队单独完成这项工程要比规定日期多6天； Ⅲ.若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期 完成．
(1)设甲队单独完成这项工程需要x天，请将下表补充完整； 工程总量 所用时间(天) 工程效率
7．(2019·安顺)某生态示范园计划种植一批蜂糖李，原计划总产量 达 36 万千克，为了满足市场需求，现决定改良蜂糖李品种，改良后平 均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克，种植 亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设 原 根计 据划 题平 意均 列亩 方产 程量 为为3x6x－万316千.＋5x克9＝，则20改．良后平均每亩产量为 1.5x 万千克，
A.x－12200＝9x0
B.x＋12200＝9x0
C.1x20＝x－9020
D.1x20＝x＋9020
02 中档题
6．为迎接2019年全国青运会，我市加紧城市建设的步伐，某城区对一条全长
12 000 m的公路进行绿化带改造，计划每天完成绿化带改造任务x m，当x满足的
方程为
2 3
×
12
000 x
甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分类．用 360 万元购买甲型机器
人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价
和为 140 万元．若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正
确的是( A)
A.3x60＝14408－0 x
B.14306－0 x＝48x0
C.3x60＋48x0＝140
分式方程(第一节)课件_北师大版八年级下
B
15 15 1 A. x 1 x 2
15 15 1 C. x 1 x 2
15 15 1 B. x x 1 2 15 15 1 D. x x 1 2
5.某工地因挖土机坏了，调来了72人挖土和 运土。已知3人挖出的土一人恰好全部运走， 怎样调配劳动力才是挖出的土能及时运走但 不窝工?解决这个问题可设x人挖土，其他人 运土，列方程: x 1 ㈡ ㈠ 72 x 72 x
1 13%x 530 530 x 13%
x
2.“退耕还林还草”是我国西部地区实施 的一项重要生态工程。某地规划退耕面 积共69000公顷，退耕还林与退耕还草的 面积比为5︰3.设退耕还林的面积为x公 顷，那么x满足怎样的分式方程？
x 69000 x
=
5 3
3.某运输公司需要装运一批货物，由于机械设 备没有及时到位，只好先用人工装运，6小时 完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同 时进行，1小时完成了后一半任务。如果设单 独采用机械装运x小时可以完成后一半任务， 那么x满足怎样的方程？
1 （ 2x
+
1 1 × 1= 2 ） 12
路程 高速公路
速度
时间
480km
480 x
x
600 2x 2x （1）说出这个问题中的所有等量关系. 1.由普通公路从甲地到乙的时间=2×由高速公 路从甲地到乙的时间 2.走高速公路的速度— 走普通公路的速度= 45
普通公路
600 km
路程 3.速度= 时间
（2）方程是：
480 600 45 x 2x
㈢
x 3x 72
x
3
㈣
3 x 3 72 x
北师大版八年级下册数学《分式方程》分式与分式方程PPT(第3课时)
小丽家今年7月的用水量－小丽家去年12月的用水量 =5m3.
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则
今年的水价为
1
1 3
x
元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得
x 3. 2
经检验， x 3 是原方程的根.
2
3 2
1
1 3
2(元/m3
).
答：该市今年居民用水的价格为2元/m3.
解得x=10. 经检验，x=10是原方程的解，
答：原计划平均每月的绿化面积为10 km2.
随堂练习
6.一轮船往返于A、B两地之间，顺水比逆水快1小时到达.已知 A、B两地相距80千米，水流速度是2千米/小时，求轮船在静水 中的速度. 解：设船在静水中的速度为x千米/小时,根据题意得
80 80 1. x2 x2
方程两边同乘（x-2)(x+2)得 80x+160 －80x+160=x2 －4. 解得 x=±18.
x=－18（不合题意，舍去），
经检验，x=18是原方程的根. 答：船在静水中的速度为18千米/小时.
课堂小结
分式方程的 应用
常见类型
行程问题、工程问题、数字问题、 顺逆问题、利润问题等
一般解题步骤
课程讲授
1 分式方程的应用
解：设该市去年居民用水的价格为x元/m3,则今年的
水价为
1
1 3
x元/m3,根据题意，得
30 15 5.
1
1 3
x
x
解得 x 3 .
2
经检验，x 3 是原方程的根.
2
3 2
八年级数学下册 3.4分式方程(一)导学案(无答案) 北师大版
§3.4 分式方程（一）一、导学目标：（一）教学知识点 1.解分式方程的一般步骤. 2.了解解分式方程验根的必要性. （二）能力训练要求1.通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤.2.使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径.（三）情感与价值观要求1.培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度.2.运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，获得一种成就感和学习数学的自信.二、导学重点：1.解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解决.2.明确解分式方程验根的必要性.三、导学难点：明确分式方程验根的必要性.四、导学方法：探索发现法五、导学设计：（一）温故：列方程：1、有两快面积相同的小麦实验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 ㎏和15000 ㎏，已知第一块的小麦实验田每公顷的产量比第二块少3000㎏，如何设未知数列方程？2、从甲地到乙地有两条路可以走：一条全长600 km普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地的所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间？（二）链接：试说一下什么是分式方程？（三）知新：解方程213-x+325+x=2－624-x［例1］解方程：21-x =x 3. ［例2］解方程：x 300－x 2480=4根使得最简公分母的值为零，那么它就相当于分式方程两边都乘以零，不符合等式变形时的两个基本性质，得到的整式方程的解必将使分式方程中有的分式分母为零，也就不适合原方程了.不适合原方程的整式方程的根，叫原方程的增根.练习：1.解方程：（1）13-x =x 4; （2）1210-x +x 215-=2（四）拓展：理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤；了解解分式方程时可能产生增根的原因，掌握解分式方程的验根方法；会利用分式方程解决简单的社会生产建设和日常生活中的应用问题.一、选择题1.下列各式中，是分式方程的是( )A.x +y =5B.3252z y x -=+ C.x 1 D.5+x y =0 2.关于x 的方程4332=-+x a ax 的根为x =1，则a 应取值( ) A.1 B.3 C.－1 D.－33.方程1+1)1(2-+x x =0有增根，则增根是( ) A.1 B.－1 C.±1 D.04.沿河两地相距s 千米，船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，此船一次往返所需时间为( ) A.b a s +2小时 B.b a s -2小时 C.(b s a s +)小时 D.(ba sb a s -++)小时 5.赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完.当他读了一半时，发现平均每天要多读21页才能在借期内读完.他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是( ) A.21140140-+x x =14 B.21280280++x x =14 C.21140140++x x =14 D.211010++x x =1 二、填空题6.方程457+=x x 的根是________. 7.当x =________时，分式xx ++51的值等于21. 8.如果关于x 的方程x x x a --=+-42114有增根，则a 的值为________. 9.一汽车从甲地开往乙地，每小时行驶v 1千米，t 小时可到达，如果每小时多行驶v 2千米，那么可提前到达________小时.10.我国政府为解决老百姓看病问题，决定下调药品价格.某种药品在2001年涨价30%后，2003年降价70%至a 元，则这种药品在2001年涨价前的价格为________元.三、解答题11.解下列方程 (1)x x x --=+-34231 (2)2123442+-=-++-x x x x x12.下表是某校初三年级的捐款情况表，其中初三(四)班参加捐款同学的平均捐款数比全年级四个班参加捐款同学的平均捐款数多2元，请求出初三(四)班的捐款人数.四、创新训练1， 先阅读某同学解下面分式方程的具体过程.解方程23321441-+-=-+-x x x x 14322341---=---x x x x . ①341028610222+-+-=+-+-x x x x x x . ②34186122+-=+-x x x x . ③∴x 2-6x+8= x 2-4vx +3 , ④∴x=25. ⑤经检验，x=25是原方程的解.请你回答：（1）得到②的具体做法是 ；②得到③的具体做法是 ；得到④的理由是 .（2）上述解法对吗〉若不对，请指出错误的原因，并改正.五、活动与探究若关于x 的方程31--x x =932-x m 有增根，则m 的值是____________.。
北师大版八年级数学下册3.4.1分式方程(一)教案
八年级数学下册《3.4.1分式方程（一）》教案北师大版●课题§3.4.1 分式方程（一）●教学目标（一）教学知识点1.通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义.2.通过观察，归纳分式方程的概念.（二）能力训练要求1.体会到分式方程作为实际问题的模型，能够根据实际问题建立分式方程的数学模型，并能归纳出分式方程的描述性定义.（三）情感与价值观要求在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.●教学重点能根据实际问题的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义.●教学难点能根据实际问题中的等量关系列出分式方程.●教学方法尝试——归纳相结合教科书中提供了多个实际问题，教师鼓励学生尝试，利用具体情境中的数量关系列出分式方程，归纳分式方程的定义.●教具准备投影片三张第一张：小麦试验田问题，（记作§3.4.1 A）第二张：电脑网络培训问题，（记作§3.4.1 B）第三张：几何问题，（记作§3.4.1 C）●教学过程Ⅰ.创设情境，引入新课［师］在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.打开课本.当时，我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要个月，实际完成一期工程用了个月.根据题意，可得方程－=4.（1）我们说，分母中含有字母，我们现在知道它们是不同于整式的代数式——分式.可是，我们也是第一次遇到这样的方程，它和我们学过的一元一次方程一样能刻画现实世界，是一种反映现实世界的数学模型.接下来，我们再来看几个这样的例子.Ⅱ.讲授新课列出刻画现实世界的数学模型——方程.［师］（出示投影片§3.4.1 A）［小麦实验田问题］有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000 kg 和15000 kg.已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000 kg，分别求这两块试验田每公顷的产量.你能找出这一问题中所有的等量关系吗？如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么，第二块试验田每公顷的产量是____________ kg.根据题意，可得方程____________.［师］在这个问题中涉及到了哪几个基本量？它们的关系如何？［生］涉及到三个基本量：总产量，每公顷试验田的产量，试验田的面积.其中总产量=每公顷试验田的产量×试验田的面积.［师］你能找出这一问题的所有等量关系吗？［生］第一块试验田的面积=第二块试验田的面积. （a）［生］还有一个等量关系是：第一块试验田每公顷的产量+3000 kg=第二块试验田每公顷的产量（b）［师］我们接着回答下面的问题：如果设第一块试验田每公顷的产量为x kg，那么第二块试验田每公倾的产量是多少kg呢？［生］根据等量关系（b），可知第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg.［生］根据题意，利用等量关系（a），可得方程：=. （2）［师］,的实际意义是什么呢？［生］它们分别表示第一块试验田和第二块试验田的面积.［师］有没有别的方法列出方程呢？同学们可以以小组为单位讨论，交流.我们看哪一个组思维最敏捷.［生］根据等量关系（a），我们可以设两块试验田的面积都为x公顷，那么表示第一块试验田每公顷的产量，表示第二块试验田每公顷的产量，根据等量关系（b）可列出方程：+3000=（3）［师］接下来，我们再来看一个问题（出示投影片§3.4.1 B）［电脑网络培训问题］王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元.原定的人数是多少？这一问题中有哪些等量关系？如果设原定是x人，那么每人平均分摊____________元；人数增加到原定人数的2倍后，每人平均分摊____________元.根据题意，可得方程.［师］我们先来审题，找到题中的等量关系.［生］由题意，可知：实际参加活动的人数=原定人数×2倍. （c）［生］还有一个等量关系为：原计划每个同学平均分摊的费用=实际每个同学平均分摊的费用+4元. （d）［师］同学们已经过审题，找到了题中的等量关系，接下来该干什么呢？［生］设出未知数，列出方程，将具体实际的问题转化为数学模型.［师］你很棒！下面同学们就分组来完成刚才这位同学所说的，你有几种列方程的方法呢？讨论后，各小组可选代表回答上面的问题.［生］我代表第一小组回答.我们设未知数的方法采用投影片（§3.4.1 B）中方法：设原定是x人，那么每人平均分摊元；人数增加到原来人数的2倍后，每人平均分摊元，根据题意，利用等量关系（d），得方程：－4=. （4）［生］我们组没有按照投影片上的设法，而是设原定每人平摊y元，那么原定人数为人；实际参加活动的每个同学平摊（y－4）元，那么实际参加活动的人数为人，根据题意，利用等量关系（c），得方程：2×=. （5）［师］上面两个组的回答都很精彩，祝贺他们.（鼓掌）从同学们的表现不难看出，用方程这样的数学模型刻画现实世界的情境，同学们掌握得很好.下面我们再来用方程来解决一个几何问题，刻画一个几何模型.（出示投影片§3.4.1 C）图3－2如右图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2a,高AD=h，求内接正方形PQR S的边长.［师生共析］由于SPQR是正方形，SR∥BC，AE⊥SR，所以AE是△ASR的高且ED=SR=正方形SPQR的边长，△ASR的高AE可表示为AD与正方形边长的差.由SR∥BC，可得△ASR∽△ABC，于是有：=（相似三角形对应高的比等于相似比）.所以可设正方形的边长为x，由= 得：=.（其中a、h为常数）（6）［师］你还能找出图中的相似三角形吗？你还能用它的性质列出方程吗？同学们可以在小组内讨论、交流.［生］从上图中可知SPQ R是正方形，所以R Q⊥BC，又因为AD⊥BC，所以AD∥R Q，△ADC∽△R QC.可得=.即=.所以，设内接正方形的边长为2x，根据题意，得=.（a、h为常数）.（7）［师］你们表现得真棒！观察方程：－=4 （1）=（2）+3000=（3）－4=（4）2×=（5）=（其中a、h是常数）（7）上面所得到的方程有什么共同特点？［生］不难发现方程中的未知数都含在分母中，不是一元一次方程.［师］是的.这就是我们今天要认识的一种新的方程——分式方程即分母中含有未知数的方程.方程（6）是什么方程？［生］方程（6）中，分母不含未知数，它是一元一次方程.Ⅲ.随堂练习1.已知鱼塘中有x千克鱼，每千克鱼的捕捞费用是元.现从鱼塘中捕捞101千克鱼花了捕捞费用200元，求x满足的方程.分析：题中的等量关系是：101千克鱼×每千克鱼的捕捞费用=200元.解：x满足的方程是：101×=200.2.补充练习某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人数比为1∶4，那么应抽调的管理人员数x满足怎样的方程？解：抽调管理人员x人后，管理人员有（40－x）人，销售人员有（80+x）人，则=.Ⅳ.课时小结这节课我们从现实情境问题中建立方程这一重要的数学模型，认识了一种新的方程——分式方程.Ⅴ.课后作业1.习题3.62.预习下一部分——分式方程的解法.Ⅵ.活动与探究如右图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm,高AD=80 mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，并求PN=2PQ时，PN 的长是多少？［过程］由于PQMN是矩形，所以AE⊥PN，这样△APN的高可写成AD—ED=AD－PQ，又PN∥BC，因此△APN∽△ABC，于是可找到PN与已知条件的关系.图3－3［结果］设PQ=x mm，则PN=2x mm.PN∥BC→△APN∽△ABC→=，即=160x=9600－120x,x==34所以PN=2x=68（mm）。
北师大版初二数学下册分式与分式方程知识点梳理
第五章分式与分式方程复习总结第一课时知识点梳理肇州三中黄国庆教学目标1•将本章知识点形成知识脉络。
2. 培养学生如何建立完整的知识体系的能力。
教学重点1. 分式的概念及其基本性质。
2. 分式的运算法则。
3. 分式方程的概念、解法。
教学难点分式的运算及分式方程的解法.教学过程一、知识点梳理：1. 分式的定义：如果A B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A叫做分式。
B1）分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母2）分式有意义的条件：分母不为零，即坟墓中的代数式的值不能为零。
3）分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示A^C I A-C其中A B、C为整式（C 0）B BC B B C注：（1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。
（2）应用基本性质时，要注意C M0,以及隐含的B M0。
（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。
3. 分式的通分和约分：关键先是分解因式1）分式的约分定义：利用分式的基本性质，约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。
2）最简分式：分子与分母没有公因式的分式3）分式的通分的定义：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母的分式化成分母相同的分式。
4）最简公分母：取“各个分母”的“所有因式”的最高次幕的积做公分母，它叫做最简公分母4. 分式的运算:1）分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母 的积作为分母。
2）分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置 后，与被除式相乘a c ac a c ad ad■b d bd b d be be3）分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减a b a b a c ad be ad be c c c ，b d bd bd bd5. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程 分式方程。
北师大版八年级数学下册同步精品第五章 分式与分式方程(单元小结)
【解析】原式 a 1 a2 4
a2 4a 4 a2 1
1 a(a 2)
a 1 (a 2)(a 2) (a 2)2 (a 1)(a 1)
a 1 (a 2)(a 1)
考点专练
【例5】.计算： 2 n 1 =
.
n 1 n 1
4.最简公分母的确定方法： 定字母因式：分母中所有字母因式都取； 定次数：同一字母因式的最高次。
5.约分与通分的依据都是: 分式的基本性质
知识专题
四、分式的乘除：
1.分式乘法法则： 两个分式相乘，把分子相乘的积 作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
用符号语言表达： a c ac b d bd
新课标 北师大版 八年级下册
第五章 分式与分式方程
单元小结
本章知识架构
实 列式 际
分式
类比分 数性质
分式的基本性质
类比分 数计算
分式运算
问 题
列方程
分式方程
去分母
整式方程
实际 问题 的解
分式方程的解 检验 整式方程的解
知识专题
一、分式的概念： 1.定义：一般地,用A、B表示两个整式,A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有字母，那么称 为分式. 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母 对任意一个分式，分母都不能为零
①分子分母都是整式 2.分式的概念要点
②分母中含有字母 ③分母不能为零
知识专题
3.分式有意义的条件: B≠0 分式无意义的条件: B = 0
4.分式值为 0 的条件: A=0且 B ≠0 A
5.分式 B > 0 的条件: A>0 ,B>0 或 A<0, B<0 分式 A < 0 的条件: A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0 B