解析几何中的参数方法

参数思想及参数方法在解析几何中的应用

一、知识概要

1．一般曲线的参数方程⎩

⎨⎧==)()

(t g y t f x （t 为参数）x ，y 分别是参数t 的函数。

2．直线的参数方程

设直线l 过定点P 0（x 0，y 0），α为其倾斜角，P （x 、y ）是l 上任一点，P 0P ＝t （有向线段P 0的数量），

则直线l 的参数方程是⎩

⎨⎧+=+=αα

sin cos 00t y y t x x ，当P 点在P 0的上方（右方）时t>0；当P 在P 0的下方（左方）时

t<0。

如果把直线l 看成以P 0为原点，向上或向右为正方向的数轴，则t 是点P 的坐标。设P 1，P 2是直线l 上的两个点，分别对应t 1，t 2（即P 0P ＝t 1，P 0P ＝t 2），则线段P 1P 2的中点对应t 中＝2

2

1t t +；线段P 1P 2的长度为|P 1P 2|＝|t 1－t 2|。

3．圆的参数方程

圆：(x －x 0)2

＋(y －y 0)2

＝r 2

的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=α

α

sin cos 00r y y r x x （α为参数，表θC 的动半径的旋转角）

4．椭圆的参数方程

椭圆：b 2(x －x 0)2＋a 2(y －y 0)2＝a 2b 2

的参数方程为：⎩

⎨⎧+=+=θθsin cos 00b y y a x x （θ为参数，表动点P （x ，y ）

的离心角）

5．双曲线的参数方程

双曲线:b 2(x －x 0)2－a 2(y －y 0)2＝a 2b 2

的参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θ

θtan sec 00b y y a x x （θ为参数，表双曲线上动点P

（x ，y ）的离心角）

6．抛物线的参数方程

抛物线:(y －y 0)2

＝2p(x －x 0)的参数方程为：⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=pt y y pt

x x 2202

0（t 为参数，表动点P （x ，y ）与顶点连

线斜率的倒数）

二、典型例题

（一）轨迹问题

例1 （全国高中联赛） 若动点P （x ，y ）以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点

θ（－2xy ，y 2－x 2

）的运动方程是

A ．以角速度ω在单位圆上顺时针运动

B ．以角速度ω在单位圆上逆时针运动

C ．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动

D ．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动

解：将P （x ，y ）表示成⎩⎨⎧==t

y t

x ωωsin cos （ω>0，t 为参数）又令θ的坐标为（u ，v ），则u ＝－2xy

＝－2cos ωtsin ωt ＝－sin2ωt ＝cos(－2ωt ＋

2

3π)，v ＝y 2－x 2＝sin 2ωt －cos 2

ωt ＝－cos2ω t ＝sin(－2ωt ＋23π)，∴θ（u ，v ）的参数方程为⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

+-=+-=)

232sin()232cos(πωπωt v t u ，显然，ωt 与－2ωt 的旋转方

向是相反的。而P （x ，y ）在单位圆上逆时针运动，∴θ（－2xy ，y 2

－x 2

）以角速度2ω在单位圆上顺时

针运动。选C 。

例2 （2000年希望杯一试18题） 过原点作互相垂直的两条直线，分别交抛物线y ＝x 2

于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。

解：设OA l ：y ＝kx ，则OB l ：y ＝x k 1-

（易知k 应存在且不为0），联立：⎩⎨⎧==2x

y kx y 得A （k ，k 2

），同理B )1,1(2k k -。设AB 中点为M （x ，y ），则⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

+=-=21212

2k k y k k x 消去k 得y ＝2x 2

＋1

例3 （全国高中联赛） 设0

y 2

＝x 有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这两条直线l 与m 的交点的轨迹。

解：本题是过定点弦问题，宜用参数法。在利用四点共圆条件时，应充分挖掘几何条件去转化，比如圆幂定理。

设l 与m 交于点P （x 0，y 0），它们与x 轴的倾角分别为θ1，θ2，于是l ：⎩⎨⎧+=+=101

0sin cos θθt y y t x x ，t 为参数

① m ：⎩

⎨⎧+=+=202

0sin cos θθt y y t x x t 为参数 ②

将①代入y 2

＝x 得t 2

sin 2

θ1＋t(2ysin θ1－cos θ1)＋(y 2

0－x 0)＝0，由韦达定理得

|t 1||t 2|＝|sin |

1

20

2

0θx y -，由参数t 的几何意义得|PA 1||PA 2|＝|sin |

1

20

2

0θx y -。

将②代入y 2

＝x ，同理有|PB 1||PB 2|＝|sin |

2

2

2

0θx y -.∵A 1、A 2、B 1、B 2四点共圆，由圆幂定理得，|PA 1||PA 2|

＝|PB 1||PB 2|,∴sin 2

θ1＝sin 2

θ2,故θ1＝θ2或θ1＝π－θ2.

若θ1＝θ2，则l ∥m，无交点，故舍去。

若θ1＝π－θ2，故过定点A （a ，0），B （b ，0）的直线方程分别为：l ：y ＝k(x －a)

m ：y ＝－k(x －b),联立解得直线的交点P （x 0，y 0）的坐标为：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

-=+=)

(2200a b k y b a x ,∴交点P 的轨迹为直线2b a x +=（除去与x 轴的交点和与y 2

＝x 的交点）

方法二： 设l 的方程为y －kx ＋ka ＝0，m 的方程为：y －k′x＋k′b＝0，于是过l ，m 与y 2

＝x 的四个