同类项、合并同类项、升(降)幂排列
2.3整式的概念(第2课时合并同类项)(教学课件)-七年级数学上册(湘教版2024)
由此受到启发，引出下述概念：
把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项.
新知探究
在多项式x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4.中， －3x2y与7x2y是同类项.
从数的加法满足交换律和结合律，数的乘法满足对加法的分配律受
到启发，可得
x4－3x2y＋5x3＋7x2y＋4.
课本例题
例2 把下列多项式合并同类项：
(1) 2x3－9x3＋x2－7；
解 (1) 2x3－9x3＋x2－7
(2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10；
(2) －3x2y2＋5xy3－7x2y2－8xy3－10
＝ (2－9)x3＋x2－7
＝(－3－7)x2y2＋(5－8)xy3－10
（1）2x－1；
（2）x5+x4+x3+x2+x+1；
（3）4x2－3xy+5y2－2x+6y－1.
（4）x4 + 4x3y+6x2y2+4xy3+y4.
解：（1）次数是1，常数项是－1，一次二项式.
4.已知下列两个多项式相等，求常数a，b的值.
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2， x3+ax2+bx+2 .
解： x3 – 5x2+3x2 – 7x+2
= x3 – 2x2 – 7x+2
= x3+ ax2+ bx+2
所以 a= – 2，b= – 7
习题 2.3
1 下列说法 中错误的是( C )
1.找出下面的同类项：
ሶ -4x3.
合并同类项多项式的加减
合并同类项、多项式的加减［教学目标］1. 会识别同类项、理解合并同类项的理论依据是加法交换律、加法结合律、乘法对加法的分配律的运用。
2. 会把一个多项式中的同类项进行合并。
3. 掌握多项式加减的一般步骤，通过练习，使学生能熟练地进行多项式的加减运算。
4. 会按某个字母的指数把多项式进行降（升）幂排列。
二. 重点、难点：1. 重点：合并同类项、多项式的加减。
2. 难点：合并同类项，按某个字母的指数把多项式进行降（升）幂排列。
三. 教学要点：1. 同类项的定义：所含字母完全相同，并且相同字母的指数也分别相同，这样的项叫同类项。
2. 合并同类项：把多项式的同类项合并成一项，叫做合并同类项。
合并同类项的法则：合并同类项时，只需把同类项的系数相加，所得的结果作系数，含字母的部分不变。
3. 去括号法则：（1）括号前是“＋”号，去括号时去掉括号与括号前的“＋”号，括号里每一项都不改变符号。
（2）括号前是“－”号，去括号时，去掉括号与括号前的“－”号，括号里的每一项都改变符号。
注意：如果利用结合律添括号，括号前是“＋”，添进括号里的项都不改变符号，括号前是“－”号，添进括号里的项都改变符号。
4. 整式的加减：整式的加减的实质是合并同类项。
整式加减的一般步骤：（1）如有括号，则先去括号。
（2）如果有同类项，再合并同类项。
说明：（1）不是同类项的就一定不能合并。
（2）合并同类项时交换某些项时要连同符号一起交换。
（3）合并同类项时要避免重复与遗漏，可先在同类项下面作上相同记号并进行合并。
5. 化简求值问题：已知代数式和代数式中字母的取值，求代数式的值，一般不直接将字母的取值代入代数式，而是先把代数式化简，然后再代入求值。
6. 把多项式按多项式中某字母的指数从大到小（或从小到大）的次序排列，称按这一字母的降幂或升幂排列。
【典型例题】例1. 下列各题中的两个项是不是同类项，为什么？（）与；（）与；（）与；（）与；（）与；（）与121221512333412533605222223323x y x y a b ab abc ab m n n m a - 解：（1）、（4）、（6）是同类项，（1）、（4）中两个项所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，（6）中两项是常数项，常数项是同类项。
2.1.3同类项、多项式的升降幂排列
2.1.3同类项、多项式的升降幂排列一、复习巩固复习单项式和多项式的有关概念二、讲授新课：P64探究1.同类项、合并同类项2．升幂排列与降幂排列：这两种排列有一个共同点，那就是x 的指数是逐渐变小(或变大)的。
我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列。
例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列，可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1，这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列。
按x 的指数从小到大的顺序排列，则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3，这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列。
3．例1：根据教师要求排成一列，下面同学把排列正确的式子写下来。
例如：按x 降幂排列：式子：－11x 7y 5－35x 3＋3x 2y 2－7xy 3＋2y例2：把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列。
说明：π是数字，不是字母，题目中一次项、二次项、三次项系数分别为2π、－π2、3π。
例3：把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列。
(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列。
观察上面两个排列，从字母b 的角度看，它们又有何特点？(由学生参照例题自己解答。
)例4： 把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列。
例5：把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列。
(1)按字母x 的升幂排列得： ；(2)按字母y的升幂排列得：。
注意：(1)重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动；(2)含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列。
三、课堂小结：对一个多项式进行排列，这样的写法除了美观之外，还会为今后的计算带来方便。
在排列时我们要注意：①重新排列多项式时，每一项一定要连同它的符号一起移动，原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；②含有两个或两个以上字母的多项式，常常按照其中某一字母升(降)幂排列。
同类项的定义与概念合并同类项步骤合并同类项的法则
合并同类项法则合并同类项就是利用乘法分配律，同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变。
法则如下：1、合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数之和，且字母连同它的指数不变。
字母不变，系数相加减。
2、同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
像4y与5y，100ab与14ab这样，所含字母相同，并且相同字母的次项的指数也相同的项叫做同类项，所有常数项都是同类项。
（常数项也叫数字因数）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。
注：（1）两个单项式是同类项的条件有两个：一是含有相同的字母；而是相同字母的指数分别相等；（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，只与字母及字母的指数有关；（3）所有的常数项都是同类项。
同类项性质:（1）两个单项式是同类项的条件有两个：一是含有相同的字母；而是相同字母的指数分别相等；（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关，只与字母及字母的指数有关；（3）所有的常数项都是同类项。
例如:1. 多项式3a－24ab－5a－7—a+152ab+29+a中3a与－5a是同类项－24ab与152ab是同类项【同类项与字母前的系数大小无关】2. －7和29也是同类项【所有常数项都是同类项。
】3. －a和a也是同类项【a的系数是1 a的系数是1 】4. 2ab和2ba也是同类项【同类项与系数和字母的顺序无关】5.（3+k）与（3—k）是同类项。
◎同类项的知识点拨合并同类项：多项式中的同类项可以合并，叫做合并同类项。
合并同类项步骤：(1)准确的找出同类项。
(2)逆用分配律，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变。
(3)写出合并后的结果。
在掌握合并同类项时注意：1.如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.2.不要漏掉不能合并的项。
【人教版】七上数学：2.2.1《同类项》四维训练及答案
2.2整式的加减2.2.1同类项知识点一:同类项1.下列各组是同类项的有(B)(1)0.2x2y和0.2xy2;(2)4abc和4ac;(3)-130和15;(4)-5m3n2和4n2m3.A.1组B.2组C.3组D.4组2.在下列各组单项式中,不是同类项的是(C)A.-x2y和-yx2B.-3和100C.-x2yz和-xy2zD.-abc和abc知识点二:合并同类项3.化简下列各式:(1)6a2b+5ab2-4b2a-7a2b;(2)-3x2y+2x2y+3xy2-2xy2;(3)3m2n-mn2-mn+n2m-0.8mn-3n2m;(4)(a+b)3-2(a+b)3-(b+a)3-0.5(a+b)3.原式=(6a2b-7a2b)+(5ab2-4b2a)=-a2b+ab2;(2)原式=(-3x2y+2x2y)+(3xy2-2xy2)=-x2y+xy2;(3)原式=3m2n+(-mn2+n2m-3n2m)+=3m2n-3mn2-2mn;(4)原式=(a+b)3=-(a+b)3.知识点三:升(降)幂排列4.多项式4a2b+3ab2-2b3+a3按a的降幂排列是a3+4a2b+3ab2-2b3,按b的升幂排列第三项是3ab2.拓展点一:利用同类项的概念求字母的值1.若-5x a y与3x2y b-3是同类项,则a+b=6.拓展点二:利用合并同类项求相关字母的值2.已知关于x,y的多项式x2-3kxy-3y2-xy-8中不含xy项,求k的值.2-3kxy-3y2-xy-8=x2+-3y2-8=x2-xy-3y2-8.因为该多项式不含xy项,所以3k+=0.解得k=-.拓展点三:合并同类项的综合运用x=-1时,求-x2+2x+x2-x+1的值.2+2x+x2-x+1=-x2+x2+2x-x+1=(-x2+x2)+(2x-x)+1=x+1.当x=-1时,原式=-1+1=0.拓展点四:根据多项式的特点说明多项式的相关问题4.导学号19054063有一道题,求3a2-4a2b+3ab+4a2b-ab+a2-2ab的值,其中a=-1,b=,小明同学把b=错写成了b=-,但他计算的结果是正确的,请你通过计算说明这是怎么回事.=4a2,当a=-1,b=时,原式=4,与b的值无关.1.(2016·上海中考)下列单项式中,与a2b是同类项的是(A)A.2a2bB.a2b2C.ab2D.3ab2.(2016·广东广州一模)下列各组中的两项是同类项的为(B)A.3m2n2与-m2n3B.xy与2yxC.53与a3D.3x2y2与4x2z23.(2016·湖南常德中考)若-x3y a与x b y是同类项,则a+b的值为(C)A.2B.3C.4D.54.(2015·四川简阳市期中)已知式子ax+bx合并后的结果为0,则下列说法正确的是(D)A.a=b=0B.a=b≠0C.a-b=0D.a+b=05.(2015·广西玉林中考)下列运算中,正确的是(C)A.3a+2b=5abB.2a3+3a2=5a5C.3a2b-3ba2=0D.5a2-4a2=16.(2016·山东潍坊中考)若3x2m y m与x4-n y n-1是同类项,则m+n=3.7.(2015·江苏盐城月考)把(2a+3b)看作一个整体,合并(2a+3b)2-2(2a+3b)2-5(2a+3b)2的结果是-6(2a+3b)2.8.(2015·四川井研县期末)若单项式-2x a y4z2与x3y b z c的差仍是一个单项式,则a=3,b=4,c=2.9.(2015·贵州遵义中考)如果单项式-xy b+1与x a-2y3是同类项,那么(a-b)2 015=1.10.将多项式x3y3-4xy4+x4y+y4-x2y2先按x的降幂排列,再按y的升幂排列,并指出它是几次几项式,常数项和最高次项系数各是多少.3y3-4xy4+x4y+y4-x2y2按x的降幂排列为x4y+x3y3-x2y2-4xy4+y4,按y的升幂排列为x4y-x2y2+x3y3+y4-4xy4,它是六次五项式,常数项为0,最高次项系数为1.11.(2016·江苏连云港期中)合并同类项:(1)7a+3a2+2a-a2+3;(2)3a+2b-5a-b;4ab+8-2b2-9ab-8.原式=2a2+9a+3;(2)原式=-2a+b;(3)原式=-2b2-13ab.广西梧州中考)先化简,再求值:2x+7+3x-2,其中x=2.解原式=5x+5,当x=2时,原式=5×2+5=15.13.导学号19054064华夏中学3名老师带着18名学生去某景点写生,门票有两种购买方法:一种是老师每人a元,学生半价;一种是不论老师学生一律七五折,请你帮他们算一算,按哪种方法购买门票比较省钱.3a+18×a=12a(元),第二种购票方法所需费用为(18+3)×75%a=a(元),因为12a<a,所以第一种购票方法较省钱.。
2024年秋新湘教版七年级上册数学 2.3 整式的概念 教学课件
感悟新知
知识点 3 整式
知3－讲
1. 定义： 单项式和多项式统称为整式 . 2. 代数式、整式、单项式、多项式的关系是： 代数式包含整
式，整式又分为单项式和多项式，其关系如图 2.3-1.
感悟新知
知3－讲
特别解读 1. 单项式是整式 ； 2.多项式是整式 ； 3. 如果一个式子既不是单项式，又不是多项式，
那么它一定不是整式 .
感悟新知
例5
知3－练
感悟新知
解题秘方：利用单项式及多项式的概念识别整式 中的单项式和多项式.
知3－练
例3
知2－练
解题秘方：利用多项式的项及次数的定义进行辨析 .
感悟新知
知2－练
有四项： －3xy， －x3y2，5y2， －6xy2，系数分别为 －3， －1，5， －6，多项式的次数是 5.
感悟新知
知2－练
方法归纳：多项式的项是每一个单项式，包括前 边的符号；多项式的次数不是所有项 的次数之和，是次数最高项的次数 .
感悟新知
知1－练
2-1.[期中·邵阳武冈市] 已知( m － 1)·a|m+1|b3是关于 a， b 的五次单项式，则 m=__－__3____ ．
感悟新知
知识点 2 多项式
知2－讲
1. 相关概念： 几个单项式的和叫作多项式，其中的每个单项 式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次 数最高
的项的次数叫作这个多项式的次数 . 2. 判断一个式子是多项式的条件：
包含运算符号“＋”或 “－”，不符合单项式
多项式,整式知识点总结
多项式,整式知识点总结一、整式。
1. 整式的概念。
- 整式为单项式和多项式的统称。
- 整式中的分母不含有字母。
例如，(1)/(x)不是整式，因为分母含有字母x；而3x + 2，5，-(2)/(3)x^2y等都是整式。
2. 整式的分类。
- 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如，5x，-3，a都是单项式。
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如，在单项式-3x^2y中，系数是-3，次数是2 + 1=3。
- 多项式：几个单项式的和叫做多项式。
例如，2x^2+3x - 1是多项式。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
如多项式x^3 - 2x^2+5x - 3，它的项分别是x^3、-2x^2、5x、-3，常数项是-3，次数是3。
二、多项式。
1. 多项式的项与次数。
- 项：如前面所述，多项式是由几个单项式相加组成的，其中的每个单项式就是多项式的项。
例如，多项式3x^2 - 2x+1有三项，分别是3x^2、-2x、1。
- 次数：多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数。
在多项式4x^3 -2x^2+5中，次数最高的项是4x^3，其次数为3，所以这个多项式的次数是3。
2. 多项式的排列。
- 升幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。
例如，多项式x^2+3x^3 - 2x + 1按x的升幂排列为1 - 2x+x^2+3x^3。
- 降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。
例如，上述多项式按x的降幂排列为3x^3+x^2 -2x+1。
3. 同类项与合并同类项。
- 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
几个常数项也是同类项。
七年级上册第2章整式及其加减2-2整式加减新版沪科版
(2) 运用加法交换律、加法结合律将多项式中的同类项结合；
(3) 利用合并同类项法则合并同类项；
(4) 写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式).
感悟新知
特别解读
知2－讲
1. 合并同类项法则可简记为“一相加，两
不变”. 其中，“一相加”是指各同类项的系数
相加；“两不变”是指字母连同它的指数不变.
解题秘方：合并同类项：将同类项的系数相加， 字母和字母的指数不变 .
感悟新知
(1) 2x 2 － 3x+4x 2 － 6x
解：原式 =(2+4) x 2+(－3－6) x= 6x 2－9x . (2) － 4x 2y+8xy 2 － 9x 2y － 21xy 2+x 2y 2
原式 =(－4－9) x 2y+(8－21) xy 2+x 2y 2 =－13x 2y－13xy 2+x 2y 2.
C. － 4， － 1 D. － 4， 1
感悟新知
解题秘方：根据同类项的定义列出关于 a 和 b 的 方程，解方程即可 .
知1－练
解：因为单项式 －
1 2
xa － 1y3与
1 3
x3yb+2是同类项，
所以 a － 1=3， b+2=3，所以 a=4， b=1．
答案：B
感悟新知
知1－练
2-1.已知2axbn+1与－ 3ab2m是同类项，则(2m － n)x的值 为 ____1______．
知1－练
)
感悟新知
解题秘方：本题主要考查的是同类项的定义，掌 知1－练 握同类项的定义：所含字母相同，相 同字母的指数相同，据此判断即可 .
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2.2整式的加减（1）—同类项、合并同类项、升(降)幂排列
【学习目标】1．理解同类项的概念，在具体情景中，认识同类项。
2. 理解合并同类项的概念，领会合并同类项法则。
3．理解多项式的升(降)幂排列的概念，会进行多项式的升(降)幂排列。
【学习重难点】重点：理解同类项的概念；领会合并同类项法则。
难点：根据同类项的概念在多项式中找同类项。
【学习过程】
一、创设问题情境：
1、⑴、5个人+8个人=
⑵、5只羊+8只羊=
⑶、5个人+8只羊=
2、观察下列各单项式，把你认为相同类型的式子归为一类。
8x 2y ， －mn 2， 5a ， －x 2y ， 7mn 2， 83
， 9a ， －32
xy ， 0， 0.4mn 2， 95
，2xy 2.
观察归为一类的式子，思考它们有什么共同的特征?说出各自的分类标准。
和 ， 和 ， 和 ， 和 分
别是同一类。
因为： 。
3、运用加法交换律，任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置，可以得到几种不同的排
列方式？在众多的排列方式中，你认为那几种比较整齐？
二、自主学习与合作探究：
（一）自学提纲：
请同学们围绕着“什么叫做同类项？什么叫做合并同类项？合并同类项法则是什么？
多项式的升(降)幂排列？”这些问题，自学课文第63页开始到65页“例题1”为止。
并把课文中的空填好。
（二）、自学检测：
1：判断下列说法是否正确，正确地在括号内打“√”，错误的打“×”。
(1)3x 与3mx 是同类项。
( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项。
( )
(3)3x 2y 与－3
1yx 2是同类项。
( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项。
( ) (5)23与32是同类项。
( )
2. 若2a m b 2m+3n 与a 2n-3b 8可以合并成一项，则m 与 n 的值分别是______
3.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列。
(1)按字母x 的升幂排列得： ；
(2)按字母y 的升幂排列得： 。
（三）、知识点归纳： 1.我们常常把具有相同特征的事物归为一类。
8x 2y 与－x 2y 可以归为一类，还有8
3、0与9
5也可以归为一类。
8x 2y 与－x 2y 只有系数不同，各自所含的字母都是x 、y ，并且x 的指数都是2，y 的指数都是1； y 的指数都是2。
像这样， 叫做同
类项(simil a r terms)。
另外，所有的 。
比如，83、0与9
5也是同类项。
2.把 叫做合并同类项
合并同类项后，
3. 通常我们把一个多项式按某个字母的指数 ，这叫
做这个多项式按字母某的降幂（升幂）排列。
三、巩固与拓展
例1：合并下列多项式中的同类项：
(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－2
3yx 2。
例2：k 取何值时，3x k y 与－x 2y 是同类项？
例3：若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体，指出下面式子中的同类项。
(1)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋6
1(s －t)； (2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t 。
例4：把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列。
例5：把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列。
(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列。
四、当堂检测
1.如果12
3237x y a b a b +-与是同类项，那么x = . y = . 2.已知－7x m y 与0.5xy n+1和是一个单项式，则m= ,n= ,这个和为 。
3.若单项式－2x m y n 与ax 3y 2的和为0，则m= ,n= ,a= .
4.已知－2a m bc 2与4a 3b n c 2是同类项，求多项式3m 2n －2mn 2－m 2n+mn 2的值
五、小结与反思
1、我的收获是
2、还有没解决的问题是
六、课外作业： （一） 必做题
1、若4243b a b a m n 与是同类项，则m ＝＿＿＿＿，n ＝＿＿＿＿。
2、在227x 4x 1x 26x -+--+中，2
7x 与＿＿同类项，x 6与＿＿是同类项，－2与＿
＿是同类项。
3、52m n 632a b a b 43
-与可以合并成一项，那么m+n= . 4、化简()()n n 11ab 1ab +-+-（n 是正整数）后的结果为 .
5、在排成每行七天的日历表中取下一个33´方块．若所有日期数之和为189，则n 的值为（ ）
A ．21
B ．11
C ．15
D ．9
6、下列各组中，不是同类项的是（ ）
A 、2235.0ab b a 与
B 、222x y 2x y -与
C 、3
15与 D 、m m
2x 3x --与 7、若-x 2y n 与3yx 2是同类项，则n 的值为（ ）A 、-1；B 、3；C 、1；D 、2.
8、下列等式正确的是（ ）
A 、a 5+a 5=2a 10;
B 、a 5+a 5=a 10 ;
C 、a 5+a 5=2a 5;
D 、x 2y+xy 2=2x 3y 3
9、合并22
2a b 7ab 2ab 33-+的结果为（ ）
A 、22131
ab a b 33-；B 、221
1
ab a b 33--；C 、24ab ；D 、22
a b 3-.
10、合并同类项：
（1）22223x y 5xy 6xy 47x y 9-+-+--
（2）（a-b ）2+3（a-b ）-（a-b ）-7（a-b ）2
12、把多项式5x 3y-y 4-3xy 3+2x 2y 2-7.（a ）按y 的升幂排列:（b ）按y 的降幂排列:。