数学分析第五章 导数和微分
数学分析第五章第一节
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西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若令 x 0 ∆ 注 (2)若令 x= x +∆ 则 x→ ⇔x→x 0 0
f (x)− f (x ) 0 f ′(x ) = lim 0 x→ 0 x x−x 0
, 从而
f (x +∆ )− f (x )可变化为 x 0 0 f 0 即 ′(x ) = lim x 0 ∆→ x ∆ f (x +h − f (x ) ) f (x)− f (x ) 0 0 0 f ′(x ) =lim = lim 0 h 0 x→ 0 x → h x−x 0 f 0 在 例若 ′(x )存 ,则 f (x −∆ )− f (x ) x 0 0 lim =−f ′(x ), 0 x 0 ∆→ x ∆ f (x )− f (x −h ) 0 0 lim = f ′(x ). 0 h 0 → h
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点处的可导性： 例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性：
1 x≠0 xsin (1 f (x) = ) ; x x=0 0 1 2 x≠0 x sin (2 f (x) = ) . x x=0 0
1 xsin f (x)− f (0 ) x =lim 1不 在 存 ) 为 解 (1因 lim sin =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x−0 x x
(四)左右导数 四 左右导数
则称此极限值为函数ƒ(x)在点 0处的右导数.也称 在点x 右导数.也称ƒ(x)在点 0的右 在点x 则称此极限值为函数 在点 在点 可导. 可导 记作
左导数. 也称ƒ(x)在点 x0 左可导 记 限值为函数 ƒ(x)在点 x0 处的左导数 也称 在点 在点 左可导. 作
数学分析5.5微分(含习题详解)
第五章导数和微分5 微分一、微分的概念定义1：设函数y=f(x)定义在点x0的某邻域U(x0)内. 当给x0一个增量△x，x0+△x∈U(x0)时，相应地得到函数的增量为△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果存在常数A，使得△y能表示为△y=A△x +o(△x)，则称函数f在点x0可微，并称上式中的第一项A△x为f在点x0的微分，记作：dy=A△x，或df(x)=A△x.当A≠0时，微分dy称为增量△y的线性主部。
定理5.10：函数f在点x0可微的充要条件是函数f在点x0可导，而且定义中的A=f’(x0).证：先证必要性：若f在点x0可微，则△y=A△x +o(△x)，即=A+o(1)，两边取极限得：f’(x0)==(A+o(1))=A.再证充分性：若f在点x0可导，则f在点x0的有限增量公式为：△y=f’(x0)△x+o(△x)，根据微分的定义，f在点x0可微且有dy=f’(x0)△x.微分的几何意义：(如图)当自变量由x0增加到x0+△x时，函数增量△y= f(x0+△x)-f(x0)=RQ，而微分则是在点P处的切线上与△x所对应的增量，即dy=f’(x0)△x=RQ’，且==f’(x0)=0，所以当f ’(x 0)≠0时，=0. 即当x →x 0时线段Q ’Q 远小于RQ ’。
若函数y=f(x)在区间I 上每一点都可微，则称f 为I 上的可微函数.函数y=f(x)在I 上任一点x 处的微分记作dy=f ’(x)△x ，x ∈I. 特别地，当y=x 时，dy=dx=△x ，则微分也可记为dy=f ’(x)dx ，即 f ’(x)=，可见函数的导数等于函数微分与自变量微分的商。
因此导数也常称为微商。
二、微分的运算法则1、d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)；2、d[u(x)v(x)]=v(x)du(x)+u(x)dv(x)；3、d=；4、d(f ◦g(x))=f ’(u)g ’(x)dx ，其中u=g(x)，或dy=f ’(u)du.例1：求y=x 2lnx+cosx 2的微分。
[高等教育]《数学分析》17第五章 导数与微分
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第五章 导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下：1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。
总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念[学习目的] 使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
[学习要求] 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
[学习重点] 导数的概念。
[学习难点] 导数的概念。
[教学方法]“系统讲授”结合“问题教学”。
[学习程序]一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。
后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
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由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
导数与微分课件
导数的计算
导数的计算可以通过使用导 数的定义和基本的微积分规 则。
导数的应用
导数的应用包括函数的单调 性、极值点和图像与导数的 关系。
微分的定义
增量与微分
微分是通过增量的概念进行定 义的，它描述了函数在某一点 上的变化情况。
微分的几何意义
微分具有几何意义，可以用来 描述件
欢迎来到本次的导数与微分ppt课件！在本课件中，我们将介绍导数和微分的 概念，探讨它们的应用和真实世界中的案例，帮助您更好地理解这一重要的 数学概念。
什么是导数和微分
我们将开始本次课程的旅程，从导数与微分的概念入手。导数是函数在某一点上的变化率或斜率。微分是通过 导数对函数进行近似的方法。让我们深入了解这两个重要的数学概念。
导数和微分的关系
1 密切联系
导数和微分是密切相关的 概念，导数提供了微分的 基础。
2 应用广泛
3 互相补充
导数和微分在数学和实际 应用中都起着重要的作用， 例如函数的图像和曲线拟 合。
通过导数和微分，我们可 以更好地理解函数的性质 和变化规律。
导数的定义
极限的概念
导数的定义涉及到极限的概 念，即函数在某一点上的变 化率。
微分的计算
微分可以通过使用微分的定义 和数学推导方法进行计算。
微分的应用
1
极值问题
微分可以帮助解决极值问题，即找到函数的最大值和最小值。
2
最优化问题
微分还可以应用于最优化问题，例如在限制条件下求函数的最大或最小值。
3
凸函数与微分
微分可以用于研究凸函数，以及凸函数与微分之间的关系。
总结
通过本次课程，我们深入了解了导数与微分的关系，学会了计算导数和微分， 并了解了它们在实际问题中的应用。下一节课，我们将进一步学习函数的积 分。
5-5——华东师范大学数学分析课件PPT
v( x)d u( x) u( x)dv( x) v2(x)
函数 f 在点 x0 可微的充要条件是 f 在点 x0 可
导, 且 d f ( x) x x0 f ( x0)Δ x .
证 (必要性) 如果 f 在点 x0 可微, 据 (1) 式有
于是
Δy A o(1). Δx
f
(
x0
)
lim
Δ x 0
Δ Δ
y x
lim ( A o(1)) A ,
Δ x 0
(4) 式的写法会带来不少好处, 首先可以把导数看
成函数的微分与自变量的微分之商, 即
d y f ( x) ,
(5)
dx
所以导数也称为微商. 更多的好处将体现在后面
积分学部分中.
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
例1 d(x ) x 1 dx ;
d (sin x) cos x dx ; d (a x ) a x ln a dx .
数学分析 第一章 实数集与函数
高等教育出版社
§5 微分
微分的概念
微分的运算法则
微分的 运算法则
高阶微分
微分在近似计算 中的应用
由导数与微分的关系,可方便得出微分运算法则: 1. d (u( x) v( x)) du( x) dv( x); 2. d(u( x)v( x)) v( x)du( x) u( x)dv( x);
Δ S ( x x)2 x2 2x x ( x)2 由两部分组成 :
Δ x 的线性部分 2xΔx 和 Δ x 的高阶部分( Δ x)2. 因
《数学分析》第五章导数和微分1
《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。
导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。
本章首先介绍导数的概念和性质。
导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。
直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。
导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。
导数的计算通常使用极限的概念。
通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。
导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。
接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。
一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。
导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。
通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。
导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。
在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。
总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。
通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。
2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。
[整理]《数学分析》第五章 导数与微分.
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第五章 导数与微分 (计划课时:1 2时)§1 导数的概念 ( 2 时)一． 导数的背景与定义：1． 背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2.导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法.有限增量公式: .0 ),( )(0→∆∆+∆'=∆x x x x f y 例1 ,)(2x x f = 求). 1 (f '例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .)3()(lim000hh x f x f h --→3.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况.例4 设⎩⎨⎧<≥-=.0,,0,cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数.二. 导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2)(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程.三. 可导与连续的关系:Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续.例6 证明函数)()(2x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数.四 导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法..)()(lim )(0xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆(注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(nx x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=.五 导函数的介值性:1 极值的定义例8 证明: 若,0)(0>'+x f 则),(,000δδ+∈∀∍>∃x x x ,有)()(0x f x f <. 2 取极值的必要条件: Th2 (Fermat 定理)3 导函数的介值性:引理 (导函数的介值性)若函数f 在闭区间],[b a 上可导, 且,0)()(<''-+b f a f 则.0)( ),,( ='∍∈∃ξξf b a ( 证 )Th3 (Darboux 定理)设函数)(x f 在区间],[b a 上可导且)()(b f a f '≠'. 若k 为介于)(a f '与)(b f '之间的任一实数, 则.)( ),,(k f b a ='∍∈∃ξξ(设),()(a f k b f '<<'对辅助函数kx x f x F -=)()(,应用系4的结果.) ( 证 ) Ex [1]P 94—95 1—9§2 求 导 法 则( 4时)一 导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式. (只证“⨯”和“÷”)例1 .95)(23π+-+=x x x x f 求).(x f '例2 .ln cos x x y = 求.|π='x y ( ). 1π-例3 .122x x y +-=求.dx dy例4 证明: . ,) (1+---∈-='Z n nx xn n( 用商的求导公式证明 ).例5 证明: .csc ) ( ,sec ) (22x ctgx x tgx -='=' 例6 证明:.sec sec xtgx x dxd=. 二 反函数的导数: 推导公式并指出几何意义.例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 ) Ex [1]P 102 1，2.三 复合函数的导数：推导复合函数的求导公式.例9 设,sin 2x y =求y '.例10 设α为实数，求幂函数)0( ≥=x x y α的导数. 解 ().1ln ln -=⋅=⋅='='αααααααx xx xeey xx例11 ,1)(2+=x x f 求 )0(f '和). 1 (f ' 例12 ),1ln(2++=x x y 求 .y '例13 ,12xtgy = 求 .y ' 四 取对数求导法:例14 设215312)4()2()4()5(++-+=x x x x y , 求 .y '例15 ().s i n ln xx y = 求 .y '例16 设)()(x v x u y =, 其中0)(>x u ,且)(x u 和)(x v 均可导, 求 .y '五 基本求导法则与公式:1 基本求导法则.2基本初等函数导数公式. 公式表: [1]P 101.Ex [1]P 102 3，4.§3 参变量函数的导数1 设曲线C 的参变量方程为⎩⎨⎧≤≤==)().(),(βαψϕt t y t x ,设函数)( ),(t y t x ψϕ==可导且,0)(⇒≠'t ϕ.)()(t t dx dy ϕψ''=证:(证法一) 用定义证明.（证法二） 由 ,0)(⇒≠'t ϕ恒有0)(>'t ϕ或.0)(<'t ϕ)( t ϕ⇒严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, )(t ϕ有反函数, 设反函数为x t (1-=ϕ), 有(),)()(1x t y -==ϕψψ 用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有.)()(t t dtdx dt dydx dt dt dy dx dy ϕψ''==⋅=例1 .sin ,cos t b y t a x == 求.dxdy2 若曲线C 由极坐标)(θρρ=表示,则可转化为以极角θ为参数的参数方程:⎩⎨⎧====.sin )(sin ,cos )(cos θθρθρθθρθρy x 则.tan )()()(tan )(θθρθρθρθθρ-'+'=dx dy 例2 证明:对数螺线2θρe =上所有点的切线与向径的夹角ϕ为常量. Ex [1]P 105 1，2，3.§4 高 阶 导 数一 高阶导数:定义: .)()(lim)(0000xx f x x f x f x ∆'-∆+'=''→∆()().)()( ,)()()1()('=''=''-x f x f x f x f n n 注意区分符号)(0x f ''和().)(0''x f高阶导数的记法.二 几个特殊函数的高阶导数:1. 多项式: 多项式的高阶导数. 例1 求幂函数nx y =(n 为正整数)的各阶导数. 例2. 正弦和余弦函数: 计算())(sin n x 、())(cos n x 、())(sin n kx 、())(cos n kx 的公式.例3． x e 和kxe 的高阶导数： 例4．x1的高阶导数： 例5))((1b x a x ++的高阶导数：例6 分段函数在分段点的高阶导数：以函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=.0 ,,0 ,)(22x x x x x f 求)(x f ''为例.三 高阶导数的运算性质: 设函数)(x u 和)(x v 均n 阶可导. 则1． ()).()()()(x ku x ku n n =2．()).()()()()()()(x v x u x v x u n n n ±=±3． 乘积高阶导数的Leibniz 公式： 约定 ).()()0(x u x u =()∑=-=nk k k n k n n x v x u C x v x u 0)()()().()()()( （ 介绍证法.） 例7 ,cos x e y x= 求 .)5(y解 ⇒====== .10 ,5 ,1352545155505C C C C C C).cos (sin 4)sin cos 5sin 10cos 10sin 5(cos )5(x x e x x x x x x e yx x -=-++--=例8 ),(arctgx f y = 其中)(x f 二阶可导. 求.22dx yd 例9 验证函数x y arcsin =满足微分方程 ) 3 ( .0)12()1()(2)1()2(2≥=-+--++n y n xy n y x n n n并依此求 ).0()(n y解 .11 ,1122='--='y x xy 两端求导,011 22=-'-''-⇒xy x y x 即.0)1(2='-''-y x y x 对此式两端求n 阶导数, 利用Leibniz 公式, 有=---+-+-+++)(1)1()(2)1(1)2(2)2()2()1(n n n n n n n n y C xy y C y x C yx .0)12()1()(2)1()2(2=-+--=++n n n y n xy n yx可见函数x y arcsin =满足所指方程. 在上式中令,0=x 得递推公式).(2)2( n n y n y=+注意到 0)0(=''y 和 1)0(='y , 就有k n 2=时, ;0)0()(=n y12+=k n 时, )0(13)32()12()0(2222)(f k k y n '⋅⋅--= [].!)!12(2-=k四. 参数方程所确定函数的高阶导数:=''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''=⎪⎭⎫⎝⎛=)()()(22t t t dtdx dx dy dt d dx y d ϕϕψ().)()()()()(3t t t t t ϕϕψϕψ''''-''' 例6 .sin ,cos t b y t a x == 求.22dx yd 解 .c t g t abdx dy -= .s i n 3222t a b dx y d -== Ex [1]P 109 1—6.§5 微 分一 微分概念:1. 微分问题的提出: 从求正方形面积增量的近似值入手，引出微分问题.2. 微分的定义:Th1 ( 可微与可导的关系 ).3. 微分的几何意义:二 微分运算法则:一阶微分形式不变性. 利用微分求导数. 微商.例1 已知,cos ln 22x x x y += 求dy 和 .y '例2 已知,)sin(b ax ey += 求dy 和 .y '三 高阶微分：高阶微分的定义： ()()=⋅'='==dx x f d dxx f d dy d y d )()()(2.)())(()(22dx x f dx x f dx dx x f ''=''=⋅''=n 阶微分定义为1-n 阶微分的微分， 即().)()(1n n n ndx x f y dd y d ===-（注意区分符号 )( ),0( ,)(2222x dx d dx dx ==的意义.） 例3 已知.)( ,sin )(2x x u u u f y ====ϕ 求 .2y d以例3为例, 说明高阶微分不具有形式不变性:在例7中, 倘若以u y sin =求二阶微分, 然后代入2x u =, 就有;s i n 4)2(s i n )(s i n )()(s i n22222222dx x x xdx x du u du u y d -=-=-=''= 倘若先把2x u =代入u y sin =, 再求二阶微分, 得到.sin 4cos 2)sin 4cos 2(sin 222222222222dx x x dx x dx x x x x d y d -=-==可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高阶微分不具有形式不变性.四 微分的应用:1. 建立近似公式: 原理: ,dy y ≈∆ 即 ).)(()()(000x x x f x f x f -'+≈ 特别当00=x 时, 有近似公式 .)0()0()(x f f x f '+≈ 具体的近似公式如:x e x nx x x x n +≈+≈+≈1 ,111 ,s i n 等.2. 作近似计算: 原理: .)()()(00.0x x f x f x x f ∆'+=∆+例4 求 97.0 和 3127的近似值.例5 求29sin 的近似值. ( 参阅[1]P 138 E4 ) 3．估计误差：绝对误差估计： ,)(0x x f y ∆'≈∆相对误差估计： ),(ln ln ),0( )(⇒=>=x f y x f y.)(ln x f d ydyy y =≈∆ 例6（ [1]P 138 E5 ）设已测得一根圆轴的直径为cm 43，并知在测量中绝对误差不超过cm 2.0. 试求以此数据计算圆轴的横截面面积时所产生的误差.4. 求速度: 原理: .)(,)( ),(dtdx x f dt dy dx x f dy x f y '='== 例7 球半径R 以sec 2.0cm 的速度匀速增大.求cm R 4=时,球体积增大的速度. [4]P 124 E53 ⅰ)Ex [1]P 116 1—5.。
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例3 求函数 f (x) x2在点x 1处的导数,并求曲线在 点(1 , 1) 处的切线方程.
解: 由定义求得
f '(1) lim f(1 x) f(1) lim (1 x)2 1
x 0
x
x x0
x
lim 2x x2 lim (2 x) 2
x0 x
x 0
由此知道抛物线 y x2在点(1 , 1)处的切线斜率为
k f (x) f (x0 ) , x x0
y
所以当x x0时如果k的极限存在 , 则极限
Q T
k lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
P
O
x
即为曲线在点 P的切线的斜率.
2 导数的定义
定义1: 设函数y f(x) 在点 x 0的某邻某邻域内有定义 ,极限
lim f (x) f (x0 ) xx0 x x0
例2
证明函数f
(
x)
x
sin
1 x
证 因为 0
x 0, 在点x0 0 处不可导. x 0.
f (x) f (0) x0
x sin x
1 x
sin
1, x
当 x 0时极限不存在 , 所以f
在点x 0
0 处不可导.
注:
利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零,
即 C 0.
3 导数的几何意义 f (x0 )等于曲线 y f x在点x0, y0 处切线的斜率, 所以曲线y f x在点x0, y0 处切线方程为：
y y0 3x02 (x x0 )
曲线y x3 在点P的法线方程为
y
x03
1 3x02
(x
x0 )
二 可导与连续的关系
若f (x)在x0可导， 则
f
' (x0 )
lim
x 0
y x
y x
f
' (x0 )
是x 0时的无穷小， 于是
y f ' (x0 )x o(x)
称为f在x0有限增量公式(此外x 0仍成立)。
x0 x x0
x
lim f(x) f(x0 )
xx
0
x -x0
k f (1) 2
所以切线方程为
y 1 2(x 1) 即
y 2x 1.
例4 求曲线y x3 在点P(x0 , y0 ) 处的切线方程与
法线线方程. 解 由于
y x
3x02
3x0x
x2 ,
f x0 xlim0(3x02 3x0x x2 ) 3x02.
所以,曲线y x3 在点P的切线方程为
存在, 则称函数f在点x0处可导, 并称该极限为函数f在点x0
处的导数,记作f (x0 ).
即
f
(x0
)
lim
x0
y x
lim f(x0 x) f(x0 )
(1)
x0
x
lim f(x) f(x0 ) xx0 x x 0
若上 式极极限不存在，则 f在点 x 0处不可导.
3 求函数在某点的导数值
v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
s t
lim s(t0 t) s(t0 )
t 0
t
速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2). 切线的斜率
曲线 y f (x) 在其上一点 P(x0, y0 )
பைடு நூலகம்
曲线y f (x)在其上一点P(x0, y0 )处的切线PT是割线PQ当动点 Q沿曲线无限接近与点P时的位置.因为割线PQ的斜率为
1 两个例子
1). 瞬时速度
设一质点作直线运动，其运动规律为s s(t). 若t0为某一确定的时刻，求其在该时刻的速度. 设t为邻近于t0的时刻，则
v s(t) s(t0 ) t t0
是质点在时间段 [t0, t（] 或[t, t0 ]）上的平均速度.
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为
lim y lim sin(x) lim sin x 1
x x 0
x 0
x
x0 x
故 lim y 不存在， 即f在x 0不可导。
x0 x
三 单侧导数的概念
1) 右导数
定义2:设函数y f (x) 在点x0 的某邻域[x0 , x0 ) 上
有定义, 若右极限
lim y lim f(x0 x) f(x0 )
当x0 0时,由于D(x)为有界函数, 因此得到
f (0) lim f (x) f (0) lim xD(x) 0.
x0 x 0
x0
例6 函数f (x) sin x 在x 0连续,讨论其在x 0可导性.
解
:由于
y x
f (0 x) x
f (0)
sin x x
lim y lim sin x 1 x0 x x0 x
y y0 f x0 x x0
法线方程为:
1 y y0 f (x0 ) (x x0 )
注: 若函数f (x)在x0不可导, 则曲线y f (x)在点(x0, f (x0 ))
可能存在切线.因为函数f (x)在x0不可导, 它的导数可能 是无穷大, 即曲线y f (x)在点(x0, f (x0 ))可能存在与x轴 垂直的切线.
定理4.1 若f在点x0可导， 则f在点x0连续。
分析 : y f '(x0 )x o(x) 0(x 0)
注 : f在点x0可导不一定 f在点x0连续。
例5 证明函数 f (x) x2D(x)仅在点x0 0 处可导, 其中D(x) 为狄利克雷函数.
证 当 x0 0时,由归归结原理可得f (x) 在点x0 0 处不连续, 所以f (x) 在点 x x0处不可导.
(1) 给x0改变量x， 计算函数值f (x0 x),
(2) 计算y f (x0 x) f (x0 ),
(3)
作商
y x
,
(4) 求极限 lim y . x0 x
例1求函数 f (x) x3在点x 1处的导数.
解 (1) f (1 x) (1 x)3 1 3x 3x2 x3 (2)y f (1 x) f (1) (1 x)3 1 3x 3x2 x3 (3) y 3 3x x2 x (4) f '(1) lim y lim (3 3x x2 ) 3 x0 x x0
数学分析第五章 导数和微分
一 导数的定义及几何意义
问题的提出:
在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的， 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?