数学分析 第五章 导数4-5)
高数知识点总结大一第五章
高数知识点总结大一第五章第五章：高数知识点总结在大一学习高等数学时，第五章可能是最具挑战性的章节之一。
这一章主要介绍了导数和微分的概念与运算，它们是解决数学问题、理解和应用自然现象中的数学工具。
本文将对该章的重要知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
1. 导数的定义与几何意义导数是函数在某一点的变化率，用数学符号表示为f'(x)或dy/dx。
它描述了函数图像在某点的切线斜率，可以用来确定函数的极值、函数图像的形态、速度、加速度等概念。
当函数连续可导时，导数存在且唯一。
2. 导数的基本运算法则导数的基本运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则、商法则等。
这些法则可以简化导数的计算，帮助我们更便捷地求解导数。
3. 高阶导数与Leibniz符号高阶导数是指对导数进行多次求导的结果。
例如，f''(x)表示对f'(x)再求导的结果，称为f(x)的二阶导数。
Leibniz符号可以简化高阶导数的书写，例如，f'(x)可以表示为dy/dx。
4. 微分与微分的几何意义微分是导数的另一种表达形式，表示函数在某一点的增量与自变量的增量之间的关系。
微分可以用来确定函数图像的局部线性近似，从而可以估计函数在某一点的近似值。
微分也常用于求解极值和优化问题。
5. 高阶导数与函数的性质通过高阶导数，我们可以了解函数的更多性质。
例如，f''(x)>0表示函数f(x)在某区间上是凸函数，f''(x)<0表示函数f(x)在某区间上是凹函数。
高阶导数还可以用于求解曲线的凹凸性、拐点、拐点类型等问题。
6. 隐函数与求导有些函数不能直接表示为y=f(x)的形式，而是通过方程关联在一起。
这样的函数称为隐函数。
通过隐函数求导，我们可以推导出一个方程中的两个变量之间的关系式。
7. 参数方程与求导参数方程是用参数表示的函数形式，它可以描述一条曲线或曲面。
数学分析第五章第一节
8
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
若令 x 0 ∆ 注 (2)若令 x= x +∆ 则 x→ ⇔x→x 0 0
f (x)− f (x ) 0 f ′(x ) = lim 0 x→ 0 x x−x 0
, 从而
f (x +∆ )− f (x )可变化为 x 0 0 f 0 即 ′(x ) = lim x 0 ∆→ x ∆ f (x +h − f (x ) ) f (x)− f (x ) 0 0 0 f ′(x ) =lim = lim 0 h 0 x→ 0 x → h x−x 0 f 0 在 例若 ′(x )存 ,则 f (x −∆ )− f (x ) x 0 0 lim =−f ′(x ), 0 x 0 ∆→ x ∆ f (x )− f (x −h ) 0 0 lim = f ′(x ). 0 h 0 → h
10
西南财经大学经济数学学院数学分析教研室
点处的可导性： 例 讨论下列函数在 x = 0 点处的可导性：
1 x≠0 xsin (1 f (x) = ) ; x x=0 0 1 2 x≠0 x sin (2 f (x) = ) . x x=0 0
1 xsin f (x)− f (0 ) x =lim 1不 在 存 ) 为 解 (1因 lim sin =lim x→ 0 x→ 0 x→ 0 x−0 x x
(四)左右导数 四 左右导数
则称此极限值为函数ƒ(x)在点 0处的右导数.也称 在点x 右导数.也称ƒ(x)在点 0的右 在点x 则称此极限值为函数 在点 在点 可导. 可导 记作
左导数. 也称ƒ(x)在点 x0 左可导 记 限值为函数 ƒ(x)在点 x0 处的左导数 也称 在点 在点 左可导. 作
大一高数第五章知识点笔记
大一高数第五章知识点笔记在大一高数课程中，第五章是一个非常重要且充满挑战的章节。
本章主要讲解了一元函数的微分学和积分学，涵盖了导数和积分的基本概念、性质和应用。
在这篇文章中，我将为大家总结并梳理第五章的知识点，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章节的内容。
一、导数的定义和性质导数是微分学的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在第五章中，我们学习了导数的定义和性质，并学会了如何计算函数的导数。
导数的定义如下：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，当极限$$\lim_{{\Delta x}\to{0}}\frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}$$存在时，称此极限为函数$f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。
导数具有以下性质：1. 可加性：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2. 可乘性：$(cf)'(x)=cf'(x)$，其中c为常数3. 乘法法则：$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4. 商法法则：$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ （其中$g(x)\neq0$）二、常用函数的导数公式在计算具体函数的导数时，我们需要掌握一些常用函数的导数公式。
以下是一些常见函数的导数：1. 常数函数：$f(x)=C$，导数为$f'(x)=0$，其中C为常数。
2. 幂函数：$f(x)=x^n$，导数为$f'(x)=nx^{n-1}$，其中n为正整数。
3. 指数函数：$f(x)=e^x$，导数为$f'(x)=e^x$。
4. 对数函数：$f(x)=\log_a{x}$，导数为$f'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}$，其中$a>0$，且$a\neq1$。
[高等教育]《数学分析》17第五章 导数与微分
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第五章 导数与微分引 言导数与微分是数学分析的基本概念之一。
导数与微分都是建立在函数极限的基础之上的。
导数的概念在于刻划瞬时变化率。
微分的概念在于刻划瞬时改变量。
求导数的运算被称为微分运算，是微分学的基本运算，也是积分的重要组成部分。
本章主要内容如下：1． 以速度问题为背景引入导数的概念，介绍导数的几何意义；2． 给出求导法则、公式，继而引进微分的概念；3． 讨论高阶导数、高阶微分以及参数方程所确定函数的求导法。
4． 可导与连续，可导与微分的关系。
导数与微分有广泛的应用，特别对研究初等函数变化的性态是极为有效的工具，因此学好本章内容意义非凡。
总起来讲： 1） 什么是导数？2） 导数有何用？3） 怎么算导数？4） 什么是微分？为什么引进？怎么算？§1 导数的概念[学习目的] 使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
[学习要求] 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
[学习重点] 导数的概念。
[学习难点] 导数的概念。
[教学方法]“系统讲授”结合“问题教学”。
[学习程序]一 导数的定义1． 引言（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。
具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的。
后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz ）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。
在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。
问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程)(x f y =，),(00y x p =是其上一点，求)(x f y =通过点p 的切线方程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第5章 导数和微分
意一点 x 都有 f 的一个导数 f ( x0 )与之对应, 这就
定义了一个在区间 I 上的函数，称为 f 在 I 上的
导函数，简称导数,
记作
f ( x) 或
dy dx
.
即
f ( x)
lim
D x0
f (x Dx) Dx
f (x),
x I.
(7)
注 这里 dy 仅为一个记号，学了微分之后就会知
(cos
x)
sin D x
lim Dx0
2 Dx
lim sin( x
D x0
Dx) 2
sin
x.
2
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(iii) 由于
a xD x a x a x aD x 1 a x eD x ln a 1
Dx
Dx
Dx
a x ln a eD xln a 1, D x ln a
因此 (a x ) a x ln a lim eDxlna 1 a x ln a . 特别有 Dx0 Dx ln a
记 为切线与 x 轴正向的夹角，则
f (x0) = tan .
前页 后页 返回
由此可知, f (x0) 0 说明 是锐角; f (x0) 0 说
明 是钝角; f x0 0 说明 0 ( 切线与 x 轴平
行 ).
y
y 0
•
y 0 •
y 0
•
yf (x)
O
x
点击上图动画演示
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前页 后页 返回
证 当 x0 0 时,用归结原理容易证明 f (x) 在点 x0 不连续, 由定理 5.1, f (x) 在点 x0 不可导.
当 x0 = 0 时, 因为 D( x) 1，所以有
高数笔记大一第五章知识点
高数笔记大一第五章知识点高数笔记：大一第五章知识点第五章是大一学生学习高等数学的重要阶段，主要包括一元函数微分学和函数的积分学。
这一章节的内容对于进一步学习数学和应用数学都具有重要的意义。
本文将对第五章的一些关键知识点进行总结和解析，希望对大家在学习高等数学时有所帮助。
一、一元函数微分学1. 导数和微分在第五章，我们学习了一元函数的导数和微分。
导数是函数变化率的极限，表示函数在某一点的切线斜率。
微分是在导数的基础上定义的一个新概念，它表示函数在某一点的微小变化量。
2. 常用函数的导数公式在学习求导的过程中，掌握一些常用函数的导数公式是非常重要的。
例如，幂函数的导数公式、指数函数的导数公式、对数函数的导数公式等。
掌握这些公式可以简化求导的过程，提高计算效率。
3. 高阶导数和导数的几何意义我们不仅可以对函数进行一阶导数，还可以进行二阶导数、三阶导数等。
高阶导数的几何意义是函数曲线的曲率。
通过求解高阶导数，我们可以进一步了解函数曲线的变化规律和形态特征。
4. 隐函数求导在实际问题中，有些函数可能无法显式地表示为关于自变量的函数形式，我们称之为隐函数。
通过隐函数求导的方法，可以求出隐函数的导数和微分。
这在物理、工程、经济等领域的问题中具有广泛的应用价值。
二、函数的积分学1. 定积分的定义和性质定积分是反应函数在一定区间上的积累效果的数值。
定积分的定义是通过将区间等分，求出分割点上函数值与区间长度乘积的极限得到。
定积分具有线性性、积分中值定理、换元积分法等重要性质。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是函数积分学中的核心公式，它将积分与导数联系在一起。
通过牛顿-莱布尼茨公式，我们可以通过求函数的原函数来计算定积分。
3. 不定积分和定积分的关系在第五章，我们学习了不定积分和定积分之间的关系。
不定积分是定积分的逆运算，通过不定积分我们可以求出函数的原函数。
而定积分则是通过对函数在特定区间上的积累效果进行求解。
北大版高等数学教材第五章
北大版高等数学教材第五章第五章导数与微分高等数学是一门应用广泛的学科，内容丰富而繁杂。
其中，导数与微分是其中一个重要且基础的章节。
本文将带您了解北大版高等数学教材第五章的主要内容。
1. 导数的概念与性质在数学中，导数是描述函数变化率的重要指标。
本章首先介绍了导数的概念，并详细解释了导数的几何意义。
随后，文章展示了导数的一些基本性质，如导数的运算法则、导数存在的条件等。
这些性质对于我们理解导数的本质以及后续的学习都具有重要意义。
2. 基本初等函数的导数刚刚学过导数的我们，自然要从最基本的函数开始研究其导数。
本章对常见的初等函数如幂函数、指数函数、对数函数以及三角函数的导数进行了详细的讲解。
通过具体的例子和推导过程，读者将更加深入地理解这些函数的变化规律及其导数的计算方法。
3. 利用导数解题导数不仅是一种用来描述函数变化率的工具，更是解决实际问题的有力武器。
在本章中，我们将学习如何利用导数解题。
通过具体的实例，文章展示了如何根据题目要求建立函数模型，并利用导数性质进行求解。
这一部分内容将帮助读者将抽象的数学理论与实际问题相结合，培养解决实际问题的能力。
4. 高阶导数与导数的应用在本章后半部分，我们将深入讨论高阶导数及其应用。
首先，文章介绍了高阶导数的计算方法，并给出了一些高阶导数的具体例子。
随后，我们将学习导数在近似计算、曲线研究以及最值问题中的应用。
这些应用将帮助读者更好地理解导数与实际问题的关系，以及导数在数学建模中的重要性。
5. 微分的基本概念微分是导数的重要应用之一，也是后续学习微积分的基础。
在本章最后，文章将重点介绍微分的基本概念。
我们将学习微分的定义、微分的计算以及微分在几何问题中的应用。
这一部分内容将为读者进一步学习微积分打下坚实的基础。
总结：北大版高等数学教材第五章主要介绍了导数与微分的概念、性质以及应用。
通过学习该章节，读者将对导数的定义和几何意义有更深入的理解，掌握基本初等函数的导数计算方法，了解导数在实际问题中的应用，以及为后续的微积分学习做好铺垫。
《数学分析》第五章导数和微分1
《数学分析》第五章导数和微分1《数学分析》第五章导数和微分1导数和微分是数学分析中非常重要的概念。
导数以及微分的概念不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、经济、工程等各个学科中都起着关键的作用。
本章首先介绍导数的概念和性质。
导数是描述函数变化快慢的指标，它衡量了函数在其中一点附近的变化率。
直观地说，如果函数在其中一点附近呈现出逐渐增大的趋势，那么该点的导数将是正值；如果函数在其中一点附近呈现出逐渐减小的趋势，那么该点的导数将是负值。
导数的符号和数值都能够揭示出函数局部性质的特点。
导数的计算通常使用极限的概念。
通过定义极限，我们可以精确地计算出函数在其中一点的导数值。
导数的定义以及计算方法是数学分析中的重要内容，对于理解函数的变化规律以及解决实际问题有着重要的帮助。
接下来，本章详细介绍了一阶导数和高阶导数的概念。
一阶导数是函数变化最基本的指标，它描述了函数在其中一点的瞬时变化率；而高阶导数则描述了函数变化率的变化率，它们在一阶导数的基础上进一步深化了对函数性质的研究。
导数和微分在实际问题中有着丰富的应用。
通过导数和微分可以解决各种数学建模中的问题，如最大值、最小值的求解、函数图形的研究、曲线的切线和法线的求解等等。
导数和微分在物理学、经济学、工程学等应用领域也有着广泛的运用，如速度和加速度的求解、最优化问题的分析等。
在本章的最后，还介绍了一些与导数和微分相关的基本定理，如费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
这些定理是导数和微分性质的重要推论，它们在数学分析和应用领域中起着重要的作用。
总之，导数和微分是数学分析中重要的概念，它们具有广泛的应用价值。
通过深入学习导数和微分的概念、性质和计算方法，我们可以更好地理解函数的特性、求解实际问题，为数学和应用科学的发展做出贡献。
2.许寿裳,王薄清.数学分析[M].高等教育出版社,2024.。
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由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即
dy dx
dt dx
dt
2020/3/25
dt 13
例7
求摆线
x y
a(t a(1
sin cos
t) t)
在t
2
处的切线方程.
dy
解 dy dt a sin t sin t
dx dx a acost 1 cos t
对数求导法适用范围:
（1）多个函数相乘或商或函数的幂，
2020/3/25
10
对数求导法适用范围(2):
幂 指 函 数u( x)v( x)的 情 形.
[ f ( x)]
a f (x)
幂函数 指数函数
例5 y x sin x , 求y
幂指函数
解： lny sin x ln x
y cos x ln x sin x 1
(x 4 y3 )2
7
例4 设 x4 xy y4 1, 求y.
解2 方程两边对x求导得
4x3 y xy 4 y3 y 0 将方程两边再对 x求导得
y
4x3 y x 4y3
12x2 2 y xy 12 y2( y)2 4 y3 y 0
y
12 x 2
2 y 12 x 4y3
2020/3/25
4
例3 设 曲 线C的 方 程 为x3 y3 3xy,求 过C上
点( 3 , 3)的切 线方程, 并证 明曲线C在该 点的法 22
线通 过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 3 y2 y 3 y 3xy
y 3 3 (,) 22
y x2 y2 x
1.
33 (,)
22
y
x
y xsinx (cos x ln x sin x ) x
例6：已知 x y y x，求y.
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11
借助第三变量描写函数y(x)
三、由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x y
(t (t
)确定 )
y与x间的函数关系
,
称此为由参数方程所确定的函数.
例如
x 2t,
y
t
2
ax
.
16
例8
求由方程
x y
a cos3 a sin3
t t
表示的函数的二阶导数.
dy
解
dy
dx
dt dx
3a sin2 t cos t 3a cos2 t ( sin t)
tan t
dt
d2y dx 2
sec 2
y
dy
dy dx
dt dx
a sint a(1 cos t )
dt
2a
a
0
a
2020/3/25
a
2a
x
.
15
星形线 (圆内旋轮线)
ห้องสมุดไป่ตู้
一圆沿另一圆内缘无滑动地 滚动，动圆圆周上任一点 所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
x
a
cos 3
.
.
–
a
y
a
sin3
0 2
2020/3/25
y
P
o
dt
dy dx
t 2
sin
1
2 cos
2
1.
当 t 时,
2
x
a(
2
1)
y a
所求切线方程为
y a x a( 1)
2
即 y x a(2 )
2020/3/25
2
14
旋轮线或摆线
一圆沿直线无滑动地滚动，圆上任一点所画出的曲线。
x = a (t – sint)
y = a (1– cost)
上式两边对 x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
y
( x 1)3 x ( x 4)2 e x
1[
1 x
1
1 3( x
1)
x
2
4
1]
2020/3/25
y
9
二、对数求导法
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的 求导方法求出导数.
--------对数求导法
第四节 隐函数、参数方程 确定函数的导数 相关变化率
一、隐函数的导数
二、对数求导法
三、参数方程确定函数的导数
四、相关变化率
五、小结 思考题
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1
一、隐函数的导数
定义: 由方程 F (x, y) 0 所确定的函数 y y(x) 称为隐函数.
例1 x2 y2 1
y 1 x2，称为显函数. 或 y 1 x2 .
解: 方程两边对x求导得
4x3 ( y xy) 4 y3 y 0
y
4x3 x
y 4y3
d (4x3 y) (x 4 y3 ) (4x3 y) d (x 4 y3 )
y dx
dx (x 4 y3 )2
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(12x2 y) ( x 4 y3 ) (4x3 y) (1 12 y2 y)
所求切线方程为 y 3 ( x 3)
2
2
即 x y 3 0.
法线方程为 y 3 x 3 即 y x, 显然通过原点.
2
2
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5
上例中 方程为 x3 y3 3xy 的曲线C的图像 .
x y 3 0.
2020/3/25
6
例4 设 x4 xy y4 1, 求y.
y2(
y)2
y 192x2
2020/3/25
y6
64 x 3
y3
48x3 y2 x 4y3
4x4
3
8
y4
12
y3
2 xy
8
二、对数求导法
观察函数
y
(
x 1)3 x ( x 4)2 e x
1
求y.
解 等式两边取对数得
ln y ln( x 1) 1 ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3
,
t x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 2020/3/25 消参困难或无法消参如何求导?
12
在 方 程
x y
(t ) (t )
中,
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x), y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
隐函数 y 的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解 方程两边对x求导,
由原方程知x 0 时, y 0,
y xy e x e y y 0
解得
dy dx
ex y x ey
,
dy dx
x0
ex y x ey
x0 y0
1.
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则——直接对方程两边求导.
隐函数的显式化
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2
例1 x2 y2 1 y 1 x2，y 1 x2
y 1 x2 y 2x
2 1 x2 y x
y
x2 y2 1 方程两边对x求导,
2x 2 yy 0
y x y
问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?
2020/3/25
3
例2 求由方程xy e x e y 0所确定的