薄壁结构力学
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结构力学 薄壁工程梁理论分解
J xy J xy 1 1 Mx Mx My My Mx 式中，M y ； k Jy k Jx
； k 1 J J x y
2 J xy
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
A A A
a xtds b ytds c tds N z
A A A
aJ xy bJ x cS x M x aJ y bJ xy cS y M y aS y bS x cA0 N z
注意：积分 A 是对所有承受正应力的面积进行的。 若oxy坐标系的原点是剖面的形心，则静矩 S x S y 0
A xtds S y
—静矩
A
y 2tds J x
2 x A tds J y —惯性矩
A xytds J xy
—惯性积
a xytds b y 2tds c ytds M x
A A A
a x2tds b xytds c xtds M y
飞行器结构力学基础
李亚智
航空学院·航空结构工程系
第6章 薄壁工程梁理论 6.1 概述
工程梁：梁式薄壁结构，如机翼悬臂梁、机身简支外伸梁， 剖面几何形状复杂，材料性质复杂的薄壁梁。
y
x
z
实际工程梁结构高度静不定，用力法求解很困难，用 有限元法求解也比较麻烦。 可以先对结构进行简化，略去一些对承力作用弱的元 件，并对外载荷的分布和大小形式也作合理简化和调整， 形成适合工程化分析的理想化模型，然后进行计算。这就 是工程梁理论的思路。 6.1.1 简化假设 （1）棱柱壳体。剖面的几何形状及材料性质沿纵向不变。 横剖面可以发生翘曲（ w w( z) 0 ），但在自身平面 内的投影形状不变； （2）剖面上正应力和切应力沿壁厚 均匀分布。切应力τ平行于壁中线的 切线。
西北工业大学航空学院结构力学课后题答案第六章 薄壁工程梁理论
第六章 薄壁工程梁理论6-1 求如图所示剖面的弯曲正应力，设壁板不受正应力，缘条面积都是2200mm ，已知载荷.105,1056mm N M mm N M y x ⋅⨯=⋅=图中尺寸单位为mm.(a)（a ）解：确定形心坐标轴。
()()mm AAy mm AAx 50480120,804160160=+==+=则在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()50,80,50,80,30,80,70,80----确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
43442442102.31056.21008.1Amm y x A J Amm x A J Amm y A J i i i xy i i y i i x ∑∑∑⨯-==⨯==⨯==求当量弯矩。
()()()()()-19.230M P a508025.842MPa 5080216MPa103080856MPa 34708045072.004132.0,1021154.0110973560196296.014321662=---=-⋅=⋅=-+-=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=⨯⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+==-=，，，，，，σσσσσy x y x J J M M k M J J M M k M J J J k x xy x y y y xy y x x yx xy(b)（b ）解：确定形心坐标轴。
()()mmAAy x 10042002000mm4AA100100=+==+-=在形心坐标轴下，1点、2点、3点、4点的坐标分别为()()()()100,100,100,0,100,0,100,100---。
确定相应于形心坐标轴下的剖面惯性矩，惯性积和总面积。
224x i 224244100()2100()2100()i y i i xy i i i J A y A mm J A x A mm J A x y A mm ==⨯==⨯==-⨯∑∑∑求当量弯矩。
结构力学 薄壁工程梁理论
使得所有结构元件具有 相同的弹性模量，而剖 面的几何形状不变。 引入减缩因数
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
E1 , t1
y
E2 , t 2
E3 , t 3
梁腹板
x
E4 , t 4
梁缘条
桁条（筋条）
设所有元件采用相同的弹性模量 E 。
i
Ei E
（1）变形协调：减缩前后元件的应变相等。
zi i
Ei
i
E
则 i i i
2 J xy J xy J xy 1 1 式中，M y M y M x ； M x M x M y ； k 1 k Jx k Jy JxJ y
M x , M y 分别叫做对x轴和y轴的当量弯矩。
6.2.2 减缩因数法
如果所分析的结构 由不同材料构成，前面 的公式就不能直接使用， 这时可把不同材料向同 Mx 一种材料折算；
1 htb 2
1 1 htb th2 2 8
b Qy h(b h / 6)
Qy th 2
2
h b 6
Sx
bh 4 Qy h(b h / 6)
q
Sx
1 htb 2
剪流方向根据其与剪力的 关系确定。 平衡观点
合力观点
合力的观点较合理。
以后的讨论均按合力的观点（和书上不同）。
Sx
Sx
1 bth th2 8
q
b h/8 Qy h(b h / 12)
静矩有继承性，因此剪流有连 续性，流向某点的剪流总和与流出 该点的剪流总和相同。 但在有集中面积之处，由于静 矩突变，剪流连续性不存在。
例6-4 求圆形开剖面结构在剪力Qy作用 下的剪流。设壁厚为t。 解：x、y轴是形心主轴 计算惯性矩： x R3t J 有两种办法计算惯性矩：
薄壁梁的单元柔度矩阵及其应用
薄壁梁的单元柔度矩阵及应用是研究薄壁梁在力学行为方面的一个重要课题。
薄壁梁是一种特殊的结构元素，其特点是壁厚较薄，横截面很小，力学性能与普通梁相比存在较大差异。
因此，研究薄壁梁的单元柔度矩阵及应用，对于深入了解其力学行为是非常重要的。
薄壁梁的单元柔度矩阵是指薄壁梁的刚度矩阵的逆矩阵。
它可以定量地反映梁的柔度特性，即梁单元对外力的变形反应。
根据梁单元的几何形状、材料性能及荷载情况，可以计算出梁的单元柔度矩阵。
薄壁梁的单元柔度矩阵及应用主要用于结构的稳定性分析、力学结构的敏感性分析、结构的疲劳分析和梁受力分析等。
它可以有效地帮助我们确定薄壁梁的设计参数，从而确保结构的正常运行。
此外，它还可以用于控制薄壁梁结构的受力情况，减少局部的应力集中，以防止结构的损坏。
因此，薄壁梁的单元柔度矩阵及应用在结构力学中具有重要的意义。
它不仅可以帮助我们更好地理解薄壁梁的力学特性，而且还可以为我们提供有用的参数，帮助我们合理地设计薄壁梁结构，以保证结构的安全可靠性。
飞行器结构力学 王生楠 第三章 受剪板式薄壁结构内力和位移计算
取 2-3 杆 N 32 qb Pb / c ； 取 1-6 杆 N 61 Pb / c
验证结构剩余局部 3-6 杆的平衡，满足。 内力图：
P
q=P/c Pb/c
P Pb/c P
q=P/c
P
(d)静定结构。 零力杆端：
N 32 0, N 34 0, N 29 0, N 94 0, N 98 0, N 69 0, N 54 0, N 56 0, N 89 0, N 78 0, N 69 0
分析总体平衡得 N12 P, N 76 P . 对称结构，受对称载荷，内力具有对称性。 取 4-9 杆 ，
q P/a；
取 3-4 杆， N 43 qb Pb / a ；
取 2-3 杆， N 23 qa P ；
取 1-2 杆， q12 0 ； 取 2-9 杆， N 29 qb Pb / a
取总体平衡
M
6
0 ，得 N1 2
2 P， 2
取结点 2
得 N 27
P P ， N 2 3 2 2
取杆 3-2，有 q0
P 2a P 2
取杆 6-3，有 N 63
校核总体平衡，满足。 内力图：
P 0.5P
q0
P 2a
0.5P
2 P 2
0.5P
(f)静定结构。 零力杆端:
段结构静不定次数为 7； 七个四缘条盒段双边连接结构静不定次数为 7×3； 再加两根杆和一 个四边形板，三个约束。因而 f=1+7+7×3+3=32. (o) 几何不变系统，多余约束数 f=31. 一个自由的单层端框有 10 个结点的空心笼式结构为静定结构； 三个单端固定的单层端 框有 10 个结点的空心笼式结构静不定次数为 3×（10-3） ；增加元件法：将开洞处的板补全 后为依次连接两个单端固定的单层端框有 9 个结点的空心笼式结构静不定次数 2×（ （9-3） -1）.因而 f=31. 3-3 平面薄壁结构的形状、尺寸及受载情况如下图所示。求各元件内力并作内力图。
结构力学 薄壁工程梁理论
N 0 tds 0
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
s sMx
Jx
y tds
1 M x s N s M x q 0 ytds 0 ytds z z J x J x z
M x 由材料力学知识知， z Q y
0 ytds
s
表示从自由边到所求应力点处，受正应力的面积对 形心主轴x的静矩，用Sx表示，即
1 (2b)t 3 12
求静矩分布： 1-2段：
1 ytds hts1 0 2 s2 1 32 Sx ytds hts2 0 2 S12 x
s1
y
1 2
Qy
3
3-2段：
2-7段：
s1
s3
O
s2
2 S x 7
h s htb ts3 3 2 2
S x ytds
0 s
q
Qy Jx
Sx
如果剖面上只有My及Qx作用时，同样可以推导出相应 的剪流计算公式。因此，在x轴和y轴为形心主轴且剖面上 的内力为Qy、Mx和Qx、My时，剖面上的剪流计算公式为
q Qy Jx Sx Qx Sy Jy
y
例6-2 求图示槽型截面在剪力Qy 作用下的剪流。剖面周边的厚度 均为t。 解： x轴是对称轴，必然是形心 主轴。 Q
z
z
y
My
Qy
( x, y)
t o
Nz
ds
Qx Mx
x
该点处取微段ds 微段面积为 t ds ，微段上正应力的合力为 t ds。 三个平衡方程：
M x y tds
A
M y x tds
A
N z tds
A
船舶结构力学-第九章薄壁杆件扭转
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
则
It
1 3
s1 t3ds
0
（9-4）
式中，si—壁厚中心线的总长
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
M st It
（9-5）
式中，τ s—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三
个尺度通常满足如下关系：
b t 10
l
t 10
（9-1）
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
将上式代入（9-12），可得杆件得扭率
Ms
n
2G Aiqi
（9-16）
i 1
比较式(9-16)和式（9-2），即得多闭室薄壁截面
得扭转常数计算公式
n
It 2 Aiqi
i1
将上式代入式(9-16) 得
（9-17）
G M s It
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
Ms 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
则
It
1 3
s1 t3ds
0
（9-4）
式中，si—壁厚中心线的总长
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
M st It
（9-5）
式中，τ s—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三
个尺度通常满足如下关系：
b t 10
l
t 10
（9-1）
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
qi Gqi
将上式代入（9-12），可得杆件得扭率
Ms
n
2G Aiqi
（9-16）
i 1
比较式(9-16)和式（9-2），即得多闭室薄壁截面
得扭转常数计算公式
n
It 2 Aiqi
i1
将上式代入式(9-16) 得
（9-17）
G M s It
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
Ms 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
07结构力学及有限元-3第二章薄壁体系
A
1
2
4 5'
A
5 6
3
y
x
z
o
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-3 空间桁架的组成规则
规则1 规则1：在基本四面体上用不在同一平面的三个杆 连接一个结点仍为无多余约束的几何不变体系。 连接一个结点仍为无多余约束的几何不变体系。 规则2 两刚体规则， 规则2：两刚体规则，两个刚体用六根轴线不都相 交于同一轴线， 交于同一轴线，且不在同一平面的链杆相连组成 无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系。 1 空间固定桁架的组成规则：从固定面开始， 2 空间固定桁架的组成规则：从固定面开始， 3 用三根不在同一平面的链杆相连接一个结 点组成无多余约束的几何不变体系。 点组成无多余约束的几何不变体系。
S层时
f = s ( n − 3)
n=3为静定结构。 >3为超静定结构 n=3为静定结构。n>3为超静定结构。 为超静定结构。 为静定结构 n=3时永为静定结构（单排） n=3时永为静定结构（单排）。 时永为静定结构
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则
一、盒式结构 二、笼式结构
每增加一个双连盒段 就增加三次超静定次数 三次超静定次数。 就增加三次超静定次数。 如何计算超静定次数 ？
f = 4 + 3× 6 = 22
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则 一、盒式结构 二、笼式结构
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则 一、盒式结构 二、笼式结构
基本四面体为空间无多余约束的几何不变体系 规则1 规则1：在基本四面体上用不在同 一平面的三个杆连接一个结点仍为 无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系。
1
2
4 5'
A
5 6
3
y
x
z
o
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-3 空间桁架的组成规则
规则1 规则1：在基本四面体上用不在同一平面的三个杆 连接一个结点仍为无多余约束的几何不变体系。 连接一个结点仍为无多余约束的几何不变体系。 规则2 两刚体规则， 规则2：两刚体规则，两个刚体用六根轴线不都相 交于同一轴线， 交于同一轴线，且不在同一平面的链杆相连组成 无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系。 1 空间固定桁架的组成规则：从固定面开始， 2 空间固定桁架的组成规则：从固定面开始， 3 用三根不在同一平面的链杆相连接一个结 点组成无多余约束的几何不变体系。 点组成无多余约束的几何不变体系。
S层时
f = s ( n − 3)
n=3为静定结构。 >3为超静定结构 n=3为静定结构。n>3为超静定结构。 为超静定结构。 为静定结构 n=3时永为静定结构（单排） n=3时永为静定结构（单排）。 时永为静定结构
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则
一、盒式结构 二、笼式结构
每增加一个双连盒段 就增加三次超静定次数 三次超静定次数。 就增加三次超静定次数。 如何计算超静定次数 ？
f = 4 + 3× 6 = 22
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则 一、盒式结构 二、笼式结构
§2. 薄壁体系的几何组成分析
§2-4 空间薄壁结构的组成规则 一、盒式结构 二、笼式结构
基本四面体为空间无多余约束的几何不变体系 规则1 规则1：在基本四面体上用不在同 一平面的三个杆连接一个结点仍为 无多余约束的几何不变体系。 无多余约束的几何不变体系。
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10
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
11
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
12
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
13
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
14
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
15
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
16
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
17
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
18
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
19
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
20
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
21
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
22
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
23
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
24
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
25
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
开口薄壁杆件的约束扭转
47
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
48
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
49
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
50
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
51
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
52
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
53
26
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
27
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
28
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
29
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
30
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
31
薄壁结构力学
第二章
薄壁杆件的自由扭转
32
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
33
闭口薄壁杆件的约束扭转
67
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
68
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
69
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
70
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
71
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
72
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
73
薄壁结构力学
绪
论
1
薄壁结构力学
绪
论
2
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
3
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
4
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
5
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
6
薄壁结构பைடு நூலகம்学
第一章
薄壁梁的弯曲
7
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
8
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
9
薄壁结构力学
第一章
薄壁梁的弯曲
40
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
41
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
42
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
43
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
44
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
45
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
46
薄壁结构力学
第三章
60
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
61
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
62
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
63
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
64
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
65
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
66
薄壁结构力学
第四章
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
74
薄壁结构力学
第五章
薄壁杆件的弯扭耦合分析
75
薄壁结构力学
第六章
薄壁杆件的稳定
76
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
34
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
35
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
36
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
37
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
38
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
39
薄壁结构力学
第三章
开口薄壁杆件的约束扭转
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
54
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
55
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
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薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
57
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
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薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转
59
薄壁结构力学
第四章
闭口薄壁杆件的约束扭转