2020高考数学一轮复习 空间几何体的表面积和体积课件
侧面积等于
()
A．12π cm2
B．15π cm2
C．24π cm2
D．30π cm2
解析：由三视图可知，该几何体是底面半径为3 cm，母 线长为5 cm的圆锥，其侧面积为πrl＝π×3×5＝15π cm2.
答案：B
4．若一个长方体的正视图、侧视图、俯视图分别是面积为4 cm2，6 cm2,24 cm2的矩形，则该长方体的体积为_____ cm3.
(2010·福州模拟)一个容器的外形是一个棱长为2的正
方体，其三视图如图所示，则容器的容积为
()
B.2
C.8
由三视图判断倒置的圆锥，利用条件确定半径与高 代入体积公式
【解析】 由三视图可知，几何体为正方体内倒置的圆锥，
故其体积为 1 12 2 2 .
3
3
【答案】 A
2．(2009·南京调研)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为棱 AA1的中点．若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此 三棱柱的体积为________．
∵OE=2 cm，∠OPE=30°，
∴PE=
=4，
因此，S棱锥侧= ch′ = ×4×4×4=32(cm2)
S表面积=S侧+S底=32+16=48(cm2).
1．三棱锥体积的计算与等体积法 对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面是相对的， 可以变换顶点和底面，使体积容易计算．
2．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、 补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计 算问题的常用方法．
结合图形，确定球心与径，代入表面积公式.
【解析】 设球心为O，球半径为R，△ABC的外心是M，
则O在底面ABC上的射影是点M，在△ABC中，AB＝AC＝2，
∠BAC＝120°，∠ABC＝ (180°－120°)＝30°，AM＝
＝2.因此，R2＝22＋
＝5，此球的表面积等于
4πR2＝20π.
【答案】 20π
解析：设AC＝a，CC1＝b， 则由(a2＋ b2)×2＝a2＋b2，
得b2＝2a2，又
＝6，
∴a2＝8，∴ V= 3 8 4=8 3. 4
答案：
1．球的组合体问题 (1)球的相切问题要抓住两球心的连线过切点这一性质， 否则难以找到数量之间的关系．
(2)与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题 时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元 素间的数量关系，并作出合适的截面图．如球内切于正方体， 切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； 球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的对角 线长等于球的直径．球与旋转体的组合通常作它们的轴截面 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心， 或“切点”、“接点”作出截面图．
2．组合体的表面积要注意重合部分的处理．
(2009·宁夏、海南高考)一个棱锥的三视图如图，则
该棱锥的表面积(单位：cm2)为
()
A.48＋12 C.36＋12
B.48＋24 D.36＋24
由三视图还原几何体，根据各面和特征分别求面 积再求表面积
【解析】 如图所示三棱锥． AO⊥底面BCD，O点为BD的中点， BC=CD=6， BC⊥CD，AO=4，AB=AD. S△BCD=6×6× =18， S△ABD= ×6 ×4=12 . 取BC中点为E.连结AE、OE.
解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z， 则
∴体积V＝xyz＝24. 答案：24
5．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么 这个圆柱的侧面积是________．
解析：底面半径是
所以正方形的边长是2π ＝2
2 S 故圆柱的侧面积是(2 )2＝4πS.
答案：4πS
1．多面体的表面积是各个面的面积之和． 圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这 个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与底面积之和．
2．几何体的展开与折叠 几何体的表面积，除球以外，都是利用展开图求得的．利 用了空间问题平面化的思想．把一个平面图形折叠成一个 几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法， 所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点．
(2009·全国卷Ⅰ)直三棱柱ABC－A1B1C1的各顶点都 在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球 的表面积等于__________．
1．已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径
是
()
A.
B．3
C．4
D．5
解析：设球半径为R，则 πR3 ＝4πR2，∴R＝3.
答案：B
2．已知正方体外接球的体积是
那么正方体的棱长等于 ()
解析：正方体外接球的体积是
则外接球的半径R＝2，
正方体的对角线的长为4，棱长等于
答案：D
3．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的
∴R=
故所求外接球的体积为
V球43R3 Nhomakorabea4
3
g
简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的 折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位置关 系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图，用图及 空间想象能力，有时也与三视图结合.2009年福建卷在解答 题中考查了平面图形的折叠问题及侧面积的计算，巧妙地将 线面垂直、面面垂直的判断与性质与侧面积的计算相结合.
可得AO⊥OE，
∴S△ABC=S△ACD= ×6×5=15， ∴S表=18+12 +15+15=48+12 . 【答案】 A
1．正四棱锥底面正方形边长为4 cm，高与斜高的夹角 为30°，求正四棱锥的侧面积和表面积．(单位：cm2)
解：正四棱锥的高PO，斜高PE，底面边心距OE组成
Rt△POE.
第二节 空间几何体的表面积和体积
柱、锥、台和球的侧面积和体积
圆柱 圆锥
面积 S侧＝ 2πrh S侧＝ πrl
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
体积
面积
直棱柱 S侧＝
正棱锥 S侧＝
正棱台 S侧＝
球
S球面＝
体积
对于不规则的几何体应如何求其体积？ 提示：对于求一些不规则几何体的体积，常用割 补的方法，转化为已知体积公式的几何体进行解决.
3．如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°， E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使 A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．
解：如图，把正四面体放在正方体中．显然，正四面体
的外接球就是正方体的外接球．
∵正四面体棱长为1，
∴正方体棱长为
∴外接球直径2R=
高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
2020高考数学总复习空间几何体的表面积和体积PPT课件
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开图
侧面积公式 S 圆柱侧＝2πrl S 圆锥侧＝πrl
S ＝ 圆台侧 π(r＋r′)l
2.多面体的侧面积和表面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是侧 面展开图的面积，表面积是侧面积与底面积的和．
A.17 27
B.5 C.10 D.1
9
27
3
(2)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的 体积等于________cm3.
(3)三棱锥 P-ABC 中，D，E 分别为 PB，PC 的中点，记三棱
锥
D-ABE
的体积为
V 1，P-A B C
的体积为
V
2，则VV
1＝________.
2
又∵长方体表面积重叠一部分， ∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
1．空间几何体的体积是每年高考的热点，题型为选择题和填 空题．
2．高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度： (1)求简单几何体的体积； (2)求组合体的体积； (3)求以三视图为背景的几何体的体积．
[例 2] (1)如图，网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)， 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为( )
2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一
周所得的几何体的体积为( )
A．12π
B．16π
C．9π
D．24π
解析：选 B 以 AB 为轴旋转一周所得到的几何体为圆
高三数学一轮复习 8.2 空间几何体的表面积与体积
考点1
考点2
考点3
-16-
对点训练1如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 283π, 则它的表面积 是( )
由三视图可知该几何体是球截去18后所得几何体, 则 所78以A×.它1473π的π×B表R.13面=8π2积83πC为,.解2078得×πD4Rπ.2R=82π2+, 34×πR2=14π+3π=17π.
(3)设正四面体棱长为 a,则正四面体表面积为 S1=4·43·a2= 3a2,
其内切球半径为正四面体高的14,即 r=14 ·36a=126a,因此内切球表面积
为 S2=4πr2=π6������2,则������������12 =
3������2 π6������2
=
6π3.
考点1
考点2
考点3
考点1
考点2
考点3
-28-
(2)设球半径为R,过AB作相互垂直的平面α,β,设圆M的直径为AC, 圆N的直径为AD,则BD⊥BC,BC2+BD2+4=(2R)2=12,
∴CD=2 2, ∵M,N分别是AC,AD的中点, ∴MN的长度是定值 2,故选B.
考点1
考点2
考点3
-29-
1.求柱体、锥体、台体与球的表面积的问题,要结合它们的结构 特点与平面几何知识来解决.
2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认 真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系, 并作出合适的截面图.
考点1
考点2
考点3
-27-
解析 (1)∵AB=AC=3,∠BAC=23π,
高考人教版数学(文)大一轮复习课件：第8章第1讲空间几何体的三视图、表面积和体积6
文科数学 第八章：立体几何
文科数学 第八章：立体几何
考情精解读
命题规律 聚焦核心素养
命题规律 考点内容 1.简单空间几何体 的三视图与直观图
2.柱、锥、台、球 的表面积和体积
考纲要求 理解
了解
考题取样 202X全国Ⅰ,T9 202X全国Ⅲ,T3 202X全国Ⅰ,T5 202X全国Ⅰ,T10 202X全国Ⅲ,T12 202X全国Ⅰ,T16
圆的圆心是BC的中点E,底面△A1B1C1外接圆的圆心是B1C1的中点
E1.…………(圆柱EE1是球的内接圆柱,直棱柱ABC-A1B1C1是圆柱EE1的 内接直棱柱)Biblioteka 文科数学 第八章：立体几何
文科数学 第八章：立体几何
文科数学 第八章：立体几何
解后反思 求解几何体外接球的半径主要从两个方面考虑:
扇环
半圆 直径所在的直线
圆
考点2 空间几何体的三视图与直观图（重点）
文科数学 第八章：立体几何
1.三视图的定义 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正 上方视察几何体画出的轮廓线. 注意 (1)画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示.(2) 同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同. 2.三视图的长度特征 “长对正、宽相等、高平齐”,即正视图和俯视图长对正,侧视图和俯视图 宽相等,正视图和侧视图高平齐.
文科数学 第八章：立体几何
考点3 柱体、锥体、台体、球的表面积与体积
文科数学 第八章：立体几何
空间几何体的表面积与体积
名称 几何体
表面积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积=S侧+2S底
2020届山东高三理科数学一轮复习课件第八章§8.1空间几何体的表面积和体积
×60=10.
评析 本题通过长方体考查体积之间的关系,通过体积公式,找出底面面积与高的关系,不需要 求出具体的底面面积和高是多少.
6.(2019天津文,12,5分)已知四棱锥的底面是边长为 2 的正方形,侧棱长均为 5 .若圆柱的一个
底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的
体积为
.
答案
4
解析 本题考查圆柱、正四棱锥的性质,通过计算圆柱的底面半径、高、体积考查学生的空
间想象能力,体现了直观想象的核心素养.
如图所示,圆柱的高|O1O|= 12 |PO|= 12 PA2
AO2
= 1 5
2
1
=1,圆柱的底面半径r= 1 |AO|= 1 ,所以圆
2
2
柱的体积V=πr2·|O1O|=π× 14 ×1= 4 .
则2R= 3 × 2 ,R= 6 ,∴球O的体积V= 4 πR3= 6 π.故选D.
2
3
解法二:令PA=PB=PC=2x(x>0),则EF=x,连接FC,由题意可得FC= 3 .在△PAC中,cos∠APC=
4x2 4x2 4 = 2x2 1 .
2 4x2
2x2
在△PEC中,EC2=PC2+PE2-2PC·PEcos∠EPC=4x2+x2-2×2x·x·2 x22x2 1 =x2+2,在△FEC中,∵∠CEF=
32
又制作该模型所需的原料密度为0.9 g/cm3, 故制作该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g).
易错警示 计算被挖去的四棱锥底面面积时,容易误认为四边形HEFG为正方形,由勾股定理 求得HE= 22 32 = 13 ,错认为底面面积为13.
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第七章立体几何7_2简单几何体的表面积与体积课件理新人教A版
面BCC1B1是边长为 5 的菱形，连接CB1，BC1，易得CB1＝2 3 ，BC1＝2 2 ，且
CB1⊥BC1，所以S侧面BCC1B1＝
1 2
CB1·BC1＝
1 2
×2
3 ×2
2 ＝2
6 ，所以斜三棱柱
ABC－A1B1C1的表面积为4＋2( 5＋ 6)，故选D.
(3)由三视图可知几何体是半径为1的球和底面半径为1，高为3的圆柱，故其表面 积应为球的表面积与圆柱的表面积面积之和，即S＝4π＋2π＋2π×3＝12π，故选 D. [答案] (1)A (2)D (3)D
的表面积为6＋4 2＋2 3，故选A.
(2)由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC－A1B1C1所示．易知正方体的棱长为
2，斜三棱柱的两个底面积的和为2S△ABC＝2×
1 2
×AB×AC＝2，侧面ABB1A1的面积
S侧面ABB1A1＝2×1＝2，侧面ACC1A1为矩形，S侧面ACC1A1＝AA1·AC＝2 5 ，侧
出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为
．
答案：1∶47
3．(必修2·第二章复习参考题改编)一直角三角形的三边长分别为6 cm,8
cm，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为
．
答案：3356π cm2
4．(必修2·习题1.3A组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为
cm,10 ．
答案：3π
和计算能力，广泛应用转化与化归思想.
[基础梳理] 1．多面体的表面积与侧面积 因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是 所有侧面的面积之和 ， 表面积是 侧面积 与 底面面积 之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
2020届高考数学一轮复习通用版讲义空间几何体的表面积与体积
第二节空间几何体的表面积与体积一、基础知识批注——理解深一点1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S 圆柱侧＝2πrlS 圆锥侧＝πrlS 圆台侧＝π(r ＋r ′)l①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. ②圆台、圆柱、圆锥的转化当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：2．空间几何体的表面积与体积公式名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S 表面积＝S 侧＋2S 底 V ＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)S 表面积＝S 侧＋S 底V ＝13Sh台体(棱台和圆台) S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3二、常用结论汇总——规律多一点几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a ，球的半径为R ， ①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ； ②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ； ③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS .( )(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．( ) (3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( ) (4)球的体积之比等于半径之比的平方．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (二)选一选1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C ．16πD ．24π解析：选B 设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π. 2．正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )A ．3 B.32 C ．1D.32解析：选C 由题意可知AD ⊥BC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面DB 1C 1，又AD ＝2·sin 60°＝3，所以V A -B 1DC 1＝13AD ·S △B 1DC 1＝13×3×12×2×3＝1，故选C. 3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π解析：选C 设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h .由图得r ＝2，c ＝2πr ＝4π，h ＝4，由勾股定理得：l ＝22＋(23)2＝4，S 表＝πr 2＋ch ＋12cl ＝4π＋16π＋8π＝28π.(三)填一填4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边长为2，高为3的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h ＝3，所以该几何体的体积V ＝S ·h ＝⎝⎛⎭⎫12×2×3×3＝3 3.答案：3 35．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：设六棱锥的高为h ，斜高为h ′，则由体积V ＝13×⎝⎛⎭⎫12×2×2×sin 60°×6×h ＝23，得h ＝1，h ′＝(3)2＋h 2＝2.所以侧面积为12×2×h ′×6＝12.答案：12考点一 空间几何体的表面积[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )A ．4＋4 2B ．42＋2C ．8＋4 2D.83[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2 ＝12π.故选B.(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且PA ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×⎝⎛⎭⎫12×2×2＋12×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A[解题技法] 求解几何体表面积的类型及求法[题组训练]1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋2 5C ．20＋4 5D ．20＋2 5解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫12×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．20＋2πB ．24＋(2－1)πC ．24＋(2－2)πD ．20＋(2＋1)π解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B.考点二 空间几何体的体积求空间几何体的体积常用的方法有直接法、割补法、等体积法[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )A ．4πB ．2π C.4π3D ．π(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为________．[解析] (1)直接法由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形的圆心角为α，由tan α＝31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π3，则该几何体的体积为2π3×3＝2π.(2)法一：直接法连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平面BB 1D 1D ，所以A 1E 为四棱锥A 1-BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1-BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝13. 法二：割补法连接BD1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，所以V A 1-BB 1D 1D ＝V B -A 1DD 1＋V B -A 1B 1D 1＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝13. [答案] (1)B (2)13［解题技法］1．处理体积问题的思路2．求体积的常用方法[题组训练]1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612D.64解析：选A 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD -A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×32×2＝15，故选C.3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23π B.13＋23π C.13＋26π D ．1＋26π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π.考点三 与球有关的切、接问题 考法(一) 球与柱体的切、接问题[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43πR 3＝32.[答案]32考法(二) 球与锥体的切、接问题[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )A ．123B ．18 3C ．24 3D ．54 3[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34AB 2＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝33AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为13×93×6＝18 3.[答案] B[解题技法]1．“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理：球的内切问题主要是球内切于多面体或旋转体．解答时要找准切点，通过作截面来解决．(2)“接”的处理：把一个多面体的顶点放在球面上即球外接于该多面体．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．2．巧用外接球组合体作图的方法口诀外接球，有难题，作图技巧要牢记； 大圆正视小圆平，对称图形抓对称； 内接图形坐小圆，力求顶点大圆圈； 小圆垂直连心线，位置关系细查看．[题组训练]1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )A ．4π B.163πC.323π D ．16π解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2.故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.2．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝564，所以R 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫PC 22＝758＋1＝838(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝832π. 答案：832π[课时跟踪检测]1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )A.932 B.916 C.38D.316解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343π×23＝932，故选A.2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )A ．4B ．8C ．16D ．20解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×12×6×2×4＝8.故选B.3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16π，所以米堆的体积为V＝14×13π×r 2×5＝π12×⎝⎛⎭⎫16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有3209÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．35 cm 3B ．40 cm 3C ．70 cm 3D ．75 cm 3解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13D.14解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S -ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13，故选C. 法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝13，故选C.6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A.83π3＋833B.43π3＋833C.43π3＋433D.83π3＋433解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V ＝12×13π×22×23＋13×12×4×2×23＝43π3＋833，故选B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π2.答案：9π210．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝32.答案：3211．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的高为________．解析：设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，所以πr 2＋πrl ＝π，即r 2＋rl ＝1，根据圆心角公式2π3＝2πr l ，即l ＝3r ，所以解得r ＝12，l ＝32，那么高h ＝l 2－r 2＝ 2.答案： 212．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．解析：如图，连接AO ，OB ，∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ， 设球O 的半径为R ， 则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R . ∴V S -ABC ＝V A -SBC ＝13×S △SBC ×AO ＝13×⎝⎛⎭⎫12×SC ×OB ×AO ， 即9＝13×⎝⎛⎭⎫12×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π13.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：(1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1-A 2B 2C ＋VC -ABB 2A 2＝12×2×2×2＋13×12×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋(4－3)2＝5， BC ＝22＋(3－2)2＝5， AC ＝(22)2＋(4－2)2＝2 3.则S △ABC ＝12×23×(5)2－(3)2＝ 6.14.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE⊥平面ABCD .(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积63，求该三棱锥E -ACD 的侧面积．解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以BE ⊥AC .因为BD ∩BE ＝B ，BD ⊂平面BED ，BE ⊂平面BED ， 所以AC ⊥平面BED . 又AC ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .(2)设AB ＝x ，在菱形ABCD 中，由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝32x ，GB ＝GD ＝x 2. 因为AE ⊥EC ，所以在Rt △AEC 中，可得EG ＝32x .由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，可得BE＝2 2x.由已知得，三棱锥E-ACD的体积V三棱锥E-ACD＝13·12AC·GD·BE＝624x3＝63，故x＝2.从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.。
高考数学一轮复习第六章第二讲空间几何体的表面积与体积课件
图 6-2-7
解析：设上部圆柱的体积为 V1，则
V1＝π×322×2
3＝9
3π 2.
设中、下部圆台的体积分别为 V2，V3，则
V2＝31×49π＋841π＋247π×3 3
＝1174 3π，
V3＝31×49π＋841π＋247π× 3
＝39
4
3π .
所以该青铜器的体积为 V＝V1＋V2＋V3＝87 2 3π(cm3).故选 A.
因为R2＋R1＝2l ， R2－R1＝4l ，
所以RR12＝＝8l2－＋88lll82，．
因为 R1>0 且 R2>0，所以 l∈(0，2 2).
设圆台的体积为 V， V＝13(πR21 ＋πR22 ＋ πR21 ·πR22 )·h ＝13(πR21 ＋πR22 ＋πR1R2)·h ＝ 135π(R21 ＋R22 ＋R1R2)·(R2－R1). ＝ 135π34(R2＋R1)2＋14(R2－R1)2(R2－R1)
三棱台 ABC-A1B1C1 的体积记为 V1，三棱锥 B-A1B1C 的体积记为
V2，则VV12＝(
)
图 6-2-4
A.74
B.73
C.72
D.7
解析：∵AB∶A1B1＝1∶2， ∴BC∶B1C1＝1∶2. ∴SBCB1∶SB1C1C ＝1∶2，S△ABC∶SA1B1C1＝1∶4. ∴V A1BCB1∶V A1B1C1C＝1∶2. 设三棱台的上、下底面面积分别为 S 和 4S，高为 h，
【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积 之和. (3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.
【变式训练】 1.(2023 年宜宾市期末) 在△ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝2 ，将 △ABC 绕直线 AB 旋转一周，得到的旋转体的表面积为( )
2020版高考数学大一轮复习第八章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积课件理新人教A版
球与空间几何体的接、切问题
[典例引领] (1)(2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为 1，它的两个底 面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
() A．π
π C. 2
3π B. 4
π D. 4
(2)(2019·河南省六市第一次联考)三棱锥 P-ABC 中，AB＝BC＝
15，AC＝6，PC⊥平面 ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球
[典例引领] 角度一 求简单几何体的体积
(1)(补形法)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方 形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 ()
A．90π C．42π
B．63π D．36π
(2)(等积法)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1， E，F 分别为线段 AA1，B1C 上的点，则三棱锥 D1-EDF 的体积为________． 【解析】 (1)法一：(补形法)如图所示，由几何体的 三视图，可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线 部分所得．将圆柱补全，并将圆柱体从点 A 处水平 分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于 下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的12，所以该几何体的体 积 V＝π×32×4＋π×32×6×12＝63π.
所以该圆柱的表面积为 2×π×( 2)2＋2 2π×2 2＝12π.
一直角三角形的三边长分别为 6 cm，8 cm，10 cm，绕斜边 旋转一周所得几何体的表面积为________． 解析：旋转一周所得几何体为以254 cm 为半径的两个同底面的 圆锥，其表面积为 S＝π×254×6＋π×254×8＝3356π(cm2)．
(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为