2015届高考数学(理科)一轮总复习课件：7-7 立体几何中的向量方法(人教A版)
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x， y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 依题意，可得D(0,0,0)， P(0,1， C(0,2,0)，A(2 2，0,0)， M( 2，2,0)． → ＝( 2 ，2,0)－ (0,1， 3 )＝ ( 2 ，1，－ ∴ PM → ＝( 2，2,0)－ (2 2，0,0)＝(－ 2，2,0)， 3)，AM →· → ＝ ( 2，1，－ 3)· → ⊥AM → ，∴AM⊥ ∴PM AM (－ 2，2,0)＝0，即PM PM.
高考总复习 A 数学（理）
抓主干 考 点 解 密
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
第七节
[最新考纲展示]
立体几何中的向量方法
2.能用向量语言表述 3.能用 4.
1．理解直线的方向向量与平面的法向量．
直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)． 算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ 2 ( 2 )
3 ，AD＝
，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为
A．平行 C．垂直
B．异面 D．以上都不对
菜 单
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l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R ； l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0 ； .
α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 ；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 .
；
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研考向 要 点 探 究
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与
悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ |e· n| |e|· |n|
答案：A
菜 单
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利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直
研考向 要 点 探 究 悟典题 能 力 提 升 提素能 高 效 训 练
设直线 l，m的方向向量分别为 a ，b，平面α，β的法向量分别为 u ， v，则
(1)线线平行
线面平行 面面平行 (2)线线垂直 线面垂直 面面垂直
∴
→· → AM CN → ，CN → ＝ AM → |· →| |AM |CN 1 1 0×1＋ ×0＋1× 2 2 2 ＝ . 1 1 5 0＋ ＋1× 1＋0＋ 4 4
＝
2 答案： 5
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(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题．
菜 单
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2．用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的 数量积为零；
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反思总结 1．用向量证平行的方法 (1)线线平行：证明两直线的方向向量共线； (2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
【 例 2】 (2014 年 皖 北 四 市 联 考 ) 已 知 单 位 正 方 体 ABCD －
A1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，试求： (1)AD1与EF所成角的大小； (2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；
____________________[通关方略]____________________ 利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量及
平面的法向量．同时要结合图形根据要证的平行或垂直关系转化为直
线方向向量与平面的法向量之间的关系．
菜 单
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4．若通过解三元一次方程组(仅两个方程组成)求平面的法向量时，
不妨取z＝1.
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1．若平面π1，π2互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的
是( ) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项 A中的两个向 量垂直．
→ ⊥n . ∴CE 又∵CE⊄平面C1E1F， ∴CE∥平面C1E1F. (2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)， → ＝(0,1,0)，FC → ＝ (－1,0，－1)， 由EF → ＝0， m· b＝0， EF ∴ 即 → ＝0， －a－ c＝0. FC m· 取m＝ (－1,0,1)． ∵ m· n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C1E1F⊥平面 CEF.
向量．显然一个平面的法向量有 无数
个，它们是共线向量．
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____________________[通关方略]____________________ 1 ．通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行 于x轴、y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)， k＝(0,0,1)． 2．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． 3 ．若能找出平面的垂线，则垂线上取两个特殊点可构成平面的 一个法向量．
[证明] 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，设BC＝1， 设C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，
1 F(1,1,1)，E11， ，2. 2
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
1 → → ∵C E ＝ 1 ，－ ，0，FC1＝ (－1,0,1)， 1 1 2
向量，则二面角的小大θ＝ n1 ，n2 (或π－ n1，n2 ． )
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____________________[通关方略]____________________ 1．异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化 成空间向量的夹角来求； 2．空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角
利用空间向量证明平行与垂直 【例1】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、
E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
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能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计
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直线的方向向量及平面的法向量 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 (或重合) 的非零向量，一条 直线的方向向量有 无数 个． 2．平面的法向量 直线l⊥ 平面α，取直线 l的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法
.
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3．求二面角的大小 (1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线， → ，CD → AB 则二面角的大小θ＝ ．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法
答案：C
3
)，
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利用向量求空间角 1．两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝
|cos θ|＝
|a· b| |a||b (其中 φ|为异面直线a，b所成的角)．
π 范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是0， ； 2
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解析：以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x， y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 依题意，可得D(0,0,0)， P(0,1， C(0,2,0)，A(2 2，0,0)， M( 2，2,0)． → ＝( 2 ，2,0)－ (0,1， 3 )＝ ( 2 ，1，－ ∴ PM → ＝( 2，2,0)－ (2 2，0,0)＝(－ 2，2,0)， 3)，AM →· → ＝ ( 2，1，－ 3)· → ⊥AM → ，∴AM⊥ ∴PM AM (－ 2，2,0)＝0，即PM PM.
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立体几何中的向量方法
2.能用向量语言表述 3.能用 4.
1．理解直线的方向向量与平面的法向量．
直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)． 算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
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2.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝ 2 ( 2 )
3 ，AD＝
，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为
A．平行 C．垂直
B．异面 D．以上都不对
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l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R ； l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0 ； .
α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0 ；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R
α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0 .
；
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2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与
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平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝ |e· n| |e|· |n|
答案：A
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利用空间向量表示立体几何中的平行、垂直
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设直线 l，m的方向向量分别为 a ，b，平面α，β的法向量分别为 u ， v，则
(1)线线平行
线面平行 面面平行 (2)线线垂直 线面垂直 面面垂直
∴
→· → AM CN → ，CN → ＝ AM → |· →| |AM |CN 1 1 0×1＋ ×0＋1× 2 2 2 ＝ . 1 1 5 0＋ ＋1× 1＋0＋ 4 4
＝
2 答案： 5
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(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题．
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2．用向量证明垂直的方法 (1)线线垂直：证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的 数量积为零；
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反思总结 1．用向量证平行的方法 (1)线线平行：证明两直线的方向向量共线； (2)线面平行：①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；
②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行．
【 例 2】 (2014 年 皖 北 四 市 联 考 ) 已 知 单 位 正 方 体 ABCD －
A1B1C1D1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点，试求： (1)AD1与EF所成角的大小； (2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；
____________________[通关方略]____________________ 利用空间向量证明平行垂直关系的关键是确定直线的方向向量及
平面的法向量．同时要结合图形根据要证的平行或垂直关系转化为直
线方向向量与平面的法向量之间的关系．
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4．若通过解三元一次方程组(仅两个方程组成)求平面的法向量时，
不妨取z＝1.
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1．若平面π1，π2互相垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的
是( ) A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1) B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1) C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1) D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2) 解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项 A中的两个向 量垂直．
→ ⊥n . ∴CE 又∵CE⊄平面C1E1F， ∴CE∥平面C1E1F. (2)设平面EFC的法向量为m＝(a，b，c)， → ＝(0,1,0)，FC → ＝ (－1,0，－1)， 由EF → ＝0， m· b＝0， EF ∴ 即 → ＝0， －a－ c＝0. FC m· 取m＝ (－1,0,1)． ∵ m· n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C1E1F⊥平面 CEF.
向量．显然一个平面的法向量有 无数
个，它们是共线向量．
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____________________[通关方略]____________________ 1 ．通常取直线上两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行 于x轴、y轴或z轴时，直线的方向向量可分别取i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)， k＝(0,0,1)． 2．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量． 3 ．若能找出平面的垂线，则垂线上取两个特殊点可构成平面的 一个法向量．
[证明] 以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系，设BC＝1， 设C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，
1 F(1,1,1)，E11， ，2. 2
(1)设平面C1E1F的法向量n＝(x，y，z)．
1 → → ∵C E ＝ 1 ，－ ，0，FC1＝ (－1,0,1)， 1 1 2
向量，则二面角的小大θ＝ n1 ，n2 (或π－ n1，n2 ． )
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____________________[通关方略]____________________ 1．异面直线所成的角、直线和平面所成的角、二面角都可以转化 成空间向量的夹角来求； 2．空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角
利用空间向量证明平行与垂直 【例1】 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E、F、
E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．
(1)求证：CE∥平面C1E1F；
(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.
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能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计
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直线的方向向量及平面的法向量 1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行 (或重合) 的非零向量，一条 直线的方向向量有 无数 个． 2．平面的法向量 直线l⊥ 平面α，取直线 l的方向向量，则这个向量叫做平面 α 的法
.
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3．求二面角的大小 (1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线， → ，CD → AB 则二面角的大小θ＝ ．
(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法
答案：C
3
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利用向量求空间角 1．两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝
|cos θ|＝
|a· b| |a||b (其中 φ|为异面直线a，b所成的角)．
π 范围是[0，π]，两异面直线所成的角的范围是0， ； 2
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高考理科数学(人教A版)一轮复习课件87空间几何中的向量方法
C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).
(1)因为几何体是直三棱柱,
所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
因为1 =(2,0,0),=(0,1,1),所以 ·1 =0,即 ⊥ 1 .故 MN
∥平面 A1B1C1.
-20-
考点1
考点2
考点3
(2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为
2
2
2
= (0 -1 ) + (20 + 1 -2) + (-30 )
= 2(1 +
0 -2 2
2
) +
小值,即 PQmin=
4
3
27
2
=
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
4
2
8
(0 - 9) + 3,当且仅当 x0=9,x1=9时,PQ 取得最
2 √3
3
.
-12-
知识梳理
考点自诊
5.(2019福建漳州二模,8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和
2.平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α
· = 0,
的法向量,则求法向量的方程组为
· = 0.
-7-
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( × )
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,
2-4 = 0,
· = 0,
则
即 √5
可取 n=(0,2,1).
+ -2 = 0.
(1)因为几何体是直三棱柱,
所以侧棱AA1⊥底面A1B1C1.
因为1 =(2,0,0),=(0,1,1),所以 ·1 =0,即 ⊥ 1 .故 MN
∥平面 A1B1C1.
-20-
考点1
考点2
考点3
(2)设平面 MBC1 与平面 BB1C1C 的法向量分别为
2
2
2
= (0 -1 ) + (20 + 1 -2) + (-30 )
= 2(1 +
0 -2 2
2
) +
小值,即 PQmin=
4
3
27
2
=
ห้องสมุดไป่ตู้
2 2
4
2
8
(0 - 9) + 3,当且仅当 x0=9,x1=9时,PQ 取得最
2 √3
3
.
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知识梳理
考点自诊
5.(2019福建漳州二模,8)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB和
2.平面的法向量的确定:设 a,b 是平面 α 内两不共线向量,n 为平面 α
· = 0,
的法向量,则求法向量的方程组为
· = 0.
-7-
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的方向向量是唯一确定的. ( × )
(2)平面的单位法向量是唯一确定的. ( × )
设 n=(x,y,z)为平面 PMN 的法向量,
2-4 = 0,
· = 0,
则
即 √5
可取 n=(0,2,1).
+ -2 = 0.
高考数学一轮复习第7章立体几何第7节立体几何中的向量方法课件
利用向量证明平行与垂直问题
如图 7-7-2 所示，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中 点，PA＝AB＝1，BC＝2.
(1)求证：EF∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC.
图 7-7-2
[证明] 以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E12，1，12，F0，1，12，E→F＝－12，0，0，A→P＝ (0,0,1)，A→D＝(0,2,0)，D→C＝(1,0,0)，A→B＝(1,0,0).3 分
图 7-7-3
∵PB⊄平面 EFH，且 EH⊂平面 EFH， ∴PB∥平面 EFH.6 分 (2)P→D＝(0,2，－2)，A→H＝(1,0,0)，A→F＝(0,1,1)， ∴P→D·A→F＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，10 分 P→D·A→H＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0， ∴PD⊥AF，PD⊥AH. 又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面 AHF.15 分
利用空间向量求二面角
如图 7-7-5，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点 的五面体中，面 ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°， 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60°.
(1)证明：平面 ABEF⊥平面 EFDC； (2)求二面角 E-BC-A 的余弦值． [解] (1)证明：由已知可得 AF⊥DF，AF⊥FE， 所以 AF⊥平面 EFDC.2 分 又 AF⊂平面 ABEF，故平面 ABEF⊥平面 EFDC.6 分
[规律方法] 1.利用向量证明平行与垂直，充分利用已知的线面垂直关系构 建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运 算．其中灵活建系是解题的关键．
高考数学理一轮总复习教师课件7.7立体几何中的向量方法
【证明】
标系Cxyz.
以 C为坐标原点，CB所在直线为 x轴，CD 所在
直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐 ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
∵ PC＝2，∴ BC＝ 2 3， PB＝4. ∴ D(0,1,0)， B(2 3， 0,0)， 3 3 A(2 3， 4,0)， P(0,0,2)， M ， 0， ， 2 2 → → ∴DP＝ (0，－ 1,2)，DA＝ (2 3， 3,0)， → 3 3 CM＝ ， 0， ， 2 2 (1)法一：令 n＝ (x， y， z)为平面 PAD 的一个法向量， → DP n＝ 0， · 则 → n＝ 0， DA·
C．(0,0,1)
D．(1,1,1)
解析：选 D.设平面 MNP 的一个法向量为 n＝(x， y， z)， → → 由已知得MN＝ (－ 1,1,0)，NP＝ (1,0，－1)， → → ∵ n⊥MN， n⊥NP， → n · MN ＝－x＋ y＝0 y＝ x ∴ ，解得 ， → z＝ x NP＝ x－ z＝0 n· 取 x＝ 1，则 n＝ (1,1,1)．
－ y＋ 2z＝0， 即 ∴ 2 3x＋3y＝0，
1 z＝ y， 2 3 y， 2
x＝－
令 y＝2，得 n＝(－ 3， 2,1)． 3 3 → ∵ n· CM＝－ 3× ＋2×0＋1× ＝ 0， 2 2 → ∴ n⊥CM，又 CM⊄平面 PAD，∴ CM∥平面 PAD.
→ → 法二：∵PD＝ (0,1，－ 2)，PA＝ (2 3， 4，－2)， → → → 令CM＝ xPD＋ yPA，
课前热身
1．若直线 l1，l2 的方向向量分别为 a＝(2,4，－4)， b＝ (－6,9,6)，则 ( A．l1∥l2 C．l1 与 l2 相交但不垂直 ) B． l1⊥l2 D．以上均不正确
2015高考数学(理)一轮复习配套课件7-7立体几何中的向量方法
提示：(1)中，若 n1∥n2，则 α∥β 不成立，可能重合，故(1) 不正确；对于(2)显然不成立；对于(3)，若 n1⊥n2，则 l∥α 不成 x y 立，有可能 l⊂α，所以(3)不正确；对于(4)，若 l1∥l2，则 ＝3 －7 8 ＝ ，∴x＝－14，y＝6，∴x＋y＝－8，故(4)正确. 4
考点 2 空间向量与空间角的关系 1.两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，其夹角为 θ， |a· b| 则 cosφ＝|cosθ|＝ |a||b| (其中 φ 为异面直线 a，b 所成的角)．范 π 围是(0，2]．
2．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 α 的法向量为 n， 直线 l 与平面 α 所成的角为 φ，两向量 e 与 n 的夹角为 θ，则有 |e· n| π | e || n | sinφ＝|cosθ|＝ .取值范围是[0， ]． 2
第七章 立体几何
第7讲 立体几何中的向量方法
1. 理解直线的方向向量与平面的法向量．
2. 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的垂 直、平行关系． 3. 能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括 三垂线定理)． 4. 能用向量方法解决直线与直线、 直线与平面、 平面与平面的夹 角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.
考点 3 求空间的距离 1.点到平面的距离
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，n 为平面 α 的法向量，
→ |AB· n| 则点 B 到平面 α 的距离 d＝ |n| .
2．线面距、面面距均可转化为点面距进行求解． [填一填] 在空间直角坐标系 O－xyz 中，平面 OAB 的一个
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第7章 立体几何 7.6 立体几何中的向量方法
.
||
||
4.空间夹角的向量表示
(1)异面直线所成的角
若异面直线 l1,l2 所成的角为 θ,其方向向量分别是 u,v,
|·|
则 cos θ=|cos<u,v>|=
.
||||
(2)直线与平面所成的角
直线 AB 与平面 α 相交于点 B,设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ,直线 AB
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦
值为( C )
2
A.
2
15
B.
5
6
C.
4
6
D.
3
建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1(√3,1,0),A(0,0,2),
l1∥l2
向量表示
μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得 μ1=λμ2
l1⊥l2
μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0
μ 是直线 l 的方向向量,n 是平面 α l∥α
的法向量
l⊥α
n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量
μ⊥n⇔μ·n=0
μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
α⊥β
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
利用空间向量证明平行、垂直
例1 如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,
BC=√2AB,B1C1
1
BC ,二面角A1-AB-C是直二面角.
||
||
4.空间夹角的向量表示
(1)异面直线所成的角
若异面直线 l1,l2 所成的角为 θ,其方向向量分别是 u,v,
|·|
则 cos θ=|cos<u,v>|=
.
||||
(2)直线与平面所成的角
直线 AB 与平面 α 相交于点 B,设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ,直线 AB
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦
值为( C )
2
A.
2
15
B.
5
6
C.
4
6
D.
3
建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1(√3,1,0),A(0,0,2),
l1∥l2
向量表示
μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得 μ1=λμ2
l1⊥l2
μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0
μ 是直线 l 的方向向量,n 是平面 α l∥α
的法向量
l⊥α
n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量
μ⊥n⇔μ·n=0
μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
α⊥β
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
利用空间向量证明平行、垂直
例1 如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,
BC=√2AB,B1C1
1
BC ,二面角A1-AB-C是直二面角.
2015高考数学一轮课件：第7篇 第7节 立体几何的向量方法
练点 突 破
第7节 立体几何的向量方法
数学 第一人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十九H分)。
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课 时 训考练点 突 破
基础梳理
数学 第二人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十九H分)。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
1．直线的方向向量和平面的法向量及其应用 (1)直线的方向向量和平面的法向量 ①直线的方向向量．直线l上的向量e或与e共线的向量 叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_无__数__ 个． ②平面的法向量．如果表示向量n的有向线段所在直线 垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时 向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______ 个无，数且它们是______向共量线．
(如图(1))．
②设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则 向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小(如图(2)(3)，其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平
面角，图(3)中则为其补角)．
数学 第六人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十九H分)。
基础梳理
(2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是： ①线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方 向向量垂直．
数学 第八人页，教编A辑于版星期·五理：十科三点 四(A十九H分)。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
(2)点面距的求法 设 n 是 平 面 α 的 法 向 量 ， 点 A →在 平 面 α 内 ， 点 B 在 平 面 α
|AB·n| 外，则点B到平面α的距离为______.|n|
(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求 解．
第7节 立体几何的向量方法
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1．直线的方向向量和平面的法向量及其应用 (1)直线的方向向量和平面的法向量 ①直线的方向向量．直线l上的向量e或与e共线的向量 叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有_无__数__ 个． ②平面的法向量．如果表示向量n的有向线段所在直线 垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时 向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有______ 个无，数且它们是______向共量线．
(如图(1))．
②设n1、n2分别是二面角αlβ的两个面α、β的法向量，则 向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的 大小(如图(2)(3)，其中图(2)中向量夹角的大小即为二面角平
面角，图(3)中则为其补角)．
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(2)向量方法证明空间垂直关系的基本途径是： ①线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两直线的方 向向量垂直．
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(2)点面距的求法 设 n 是 平 面 α 的 法 向 量 ， 点 A →在 平 面 α 内 ， 点 B 在 平 面 α
|AB·n| 外，则点B到平面α的距离为______.|n|
(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求 解．
高考数学一轮复习 立体几何中的向量方法(理)课件
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.
1．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，
则下列结论正确的是
()
A．a∥c，b⊥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a∥c. 又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
•
(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 二面角的平面 角的大小 (如图②③)．
提示：（1）设出平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的 坐标a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
1．设直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向 向量为u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1) ＝k(a2，b2，c2)(k∈R)； l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
2．设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； l⊥α⇔u∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
【注意】 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判 断二面角是锐角还是钝角．
(2009·全国卷Ⅰ改编)如图，四棱锥S－ABCD中， 底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝ DC＝SD＝2， 点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S－AM－B的余弦值．
1．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，
则下列结论正确的是
()
A．a∥c，b⊥c
B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b
D．以上都不对
解析：∵c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)，∴a∥c. 又a·b＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴a⊥b.
•
(2)设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量， 则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是 二面角的平面 角的大小 (如图②③)．
提示：（1）设出平面的法向量为n=(x,y,z); (2)找出（求出）平面内的两个不共线的向量的 坐标a=(a1,b1,c1), b=(a2,b2,c2); (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组
1．设直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向 向量为u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔(a1，b1，c1) ＝k(a2，b2，c2)(k∈R)； l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
2．设直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔u⊥n⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0； l⊥α⇔u∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．
【注意】 利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判 断二面角是锐角还是钝角．
(2009·全国卷Ⅰ改编)如图，四棱锥S－ABCD中， 底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝ DC＝SD＝2， 点M在侧棱SC上，∠ABM＝60°. (1)证明：M是侧棱SC的中点； (2)求二面角S－AM－B的余弦值．
2015届高三数学一轮课件：第7章 第7节 立体几何中的向量方法
-D→P ·n＝0， -D→A·n＝0，
即－ 2 y3＋x＋2z3＝y＝0，0，
∴z＝12y， x＝－ 23y，
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第二十一页，编辑于星期五：八点 四十三分。
数学·新课标(理科)山东专用
令 y＝2，得 n＝(－ 3，2,1)． ∵n·C-→M＝－ 3× 23＋2×0＋1×32＝0， ∴n⊥C-→M，又 CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD. 法二 ∵-P→D＝(0,1，－2)，-P→A ＝(2 3，4，－2)， 令C-→M＝x-P→D＋y-P→A ，则
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数学·新课标(理科)山东专用
23＝2
3y，
0＝x＋4y，
32＝－2x－2y，
x＝－1， 方程组有解为y＝14，
∴C-→M＝－-P→D＋14-P→A ，由共面向量定理知C-→M与-P→D、-P→A 共面， 又∵CM⊄平面 PAD，∴CM∥平面 PAD.
5 5.
【答案】 A
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数学·新课标(理科)山东专用
6．(2013·大纲全国卷)已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中，AA1 ＝2AB，则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( )
A.23
B.
3 3
2
1
C. 3
∵PC⊥平面 ABCD， ∴∠PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，∴∠PBC＝30°.
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立体几何中的向量方法【高考一轮复习】PPT课件
课题：
立体几何中的向量方法
3
数学专题二
主备人备课思路： 一 知识梳理 二 要点探究
4
集体备课思路修正：
5
一、利用直线的方向向量与平面的法向量，判定直线
与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．
(1)设直线 l1的方向向量 v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量 v2＝
(a2，b2，c2)．
【2011山东理科】
1．(2012·六安月考)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ 2， AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF.
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设 AC∩BD＝N，连接 NE. 则点 N、E 的坐标分别为
则nn··SSAC＝＝00，，
即
2x－2z＝0， 2y－2z＝0.
取 z＝ 2，得 n＝(2,2， 2)．
易知平面 ASD 的一个法向量为 DC ＝(0， 2，0)． 设二面角 C－AS－D 的大小为 θ，
则 cosθ＝ n·DC ＝ |n|| DC |
10 5.
即二面角 C－AS－D 的余弦值为
10 5.
则l1∥l2⇔ v1∥v2 ⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． l1⊥l2⇔ v1⊥v2 ⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
l3 l1
l2
1．直线a，b的方向向量分别为a＝(1，－1,2)，b＝(－2,2，－4)，
则( )A．a∥b或a来自b重合B．a⊥bC．a与b相交但不垂直
( 22， 22，0)、(0,0,1)．
∴ NE ＝(－ 22，－ 22，1)．
又点A、M的坐标分别是(
7-7第七节 立体几何中的向量方法(理)(2015年高考总复习)
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新课标A版数学
第七章 立体几何
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立体几何
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第七节 ►►立体几何中的向量方法(理)
读教材· 抓基础
研考点· 知规律
拓思维· 培能力
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第七节
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→ m· A′M＝0， 由 → MN＝0， m·
1 λ 2x1－2z1＝0， 得 λy1＋1z1＝0， 2 2
可取m＝(1，－1，λ)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量， → n· NC＝0， 由 → n· MN＝0， λ λ －2x2＋2y2－z2＝0， 得 λ y2＋1z2＝0， 2 2
答案 C
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第七节
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2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1， －4)，则( A．α∥β C．α，β相交但不垂直
答案 C
) B．α⊥β D．以上均不正确
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第七章
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设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的 二面角为θ， → n· AE＝0， 由 → AF＝0， n· 1 y＋3z＝0， 得 －x＋y＋2z＝0. 3 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)．
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→ m· A′M＝0， 由 → MN＝0， m·
1 λ 2x1－2z1＝0， 得 λy1＋1z1＝0， 2 2
可取m＝(1，－1，λ)． 设n＝(x2，y2，z2)是平面MNC的法向量， → n· NC＝0， 由 → n· MN＝0， λ λ －2x2＋2y2－z2＝0， 得 λ y2＋1z2＝0， 2 2
答案 C
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2．若平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－3,5)，n2＝(－3,1， －4)，则( A．α∥β C．α，β相交但不垂直
答案 C
) B．α⊥β D．以上均不正确
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设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，面AEF与面ABC所成的 二面角为θ， → n· AE＝0， 由 → AF＝0， n· 1 y＋3z＝0， 得 －x＋y＋2z＝0. 3 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3)．