高中数学《第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景》23PPT课件 一等奖比赛优质课
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牛顿的“流数术” 牛顿对微积分问题的研究始于1664年秋， 当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对笛 卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻 找更好的方法。就在此时，牛顿首创了小 ○记号表示x的无限小且最终趋于零的增 量．
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说牛顿发明了微积分。
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莱布尼茨的微积分
莱布尼茨当时还没有微积分 的符号，他用语言陈述他的 特征三角形导出的第一个重 要结果：
“由一条曲线的法线形成 的图形，即将这些法线(在 圆的情形就是半径)按纵坐 标方向置于轴上所形成的图 形，其面积与曲线绕轴旋转 而成的立体的面积成正比”。
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重心和引力等微积分基本问题的计算 被重新研究。
意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方 法促进的连续不可分量的几何学》(1635) 中发展了系统的不可分量方法。卡瓦列里 认为线是由无限多个点组成；面是由无限 多条平行线段组成；立体则是由无限多个 平行平面组成．他分别把这些元素叫做线、 面和体的“不可分量”．卡瓦列里建立了 一条关于这些不可分量的普遍原理，后以 “卡瓦列里原理”著称
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在微积分的创立上，牛顿需要与莱布尼 茨分享荣誉
莱布尼茨通常假设曲线z通过原点，这 就将求积问题化成了反切线问题，即：为 了求出在纵坐标为y的曲线下的面积，只需 求出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜 率为．如果是在区间上，由上的面积减去 上的面积 :
伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成 了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给 出了求未定式极限的一个定理，这个定理后由约 翰的学生罗比达编入其微积分著作《无穷小分 析》，现在通称为罗比达法则。
《微积分的创立》课件
导数是描述函数变化率的概念，微分则将导数应用于实际问题。
3 积分
积分是计算曲线下面积或累积变化的数学手段。
微积分的应用ห้องสมุดไป่ตู้
物理学
微积分在物理学中广泛运用于 描述运动、力学、电磁学等现 象。
统计学
微积分在统计学中用于概率分 布、假设检验、参数估计等领 域。
经济学
微积分在经济学中用于分析市 场供需、边际效应、消费者行 为等经济问题。
《微积分的创立》
微积分是现代数学的基石，它的创立是数学史上的一大里程碑。本课件将带 您回顾微积分的创立历程以及其在各领域的应用。
引言
微积分是研究数量变化和累积变化的数学分支，其应用广泛涉及物理、统计、经济等领域。
微积分的发展历程
1
微分学、积分学
2
微积分分为两大分支：微分学研究变化 率，积分学研究累积变化。
结论
微积分的重要性
微积分是现代科学和工程领域不可或缺的数学工具。
未来微积分的发展方向
微积分在数据科学、机器学习等领域中的应用将进 一步扩大。
古希腊时期到牛顿时期
微积分的雏形可以追溯到古希腊时期， 但真正的发展是在牛顿时期。
微积分的创立者
牛顿和莱布尼茨
牛顿和莱布尼茨都被认为是微积分的创立者，他们的贡献和争议至今仍存在。
两人的贡献与争议
牛顿发明了微积分的主要原理，莱布尼茨独立发明并推广了符号微积分。
微积分基本概念
1 极限
极限是微积分中最基本的概念，它描述了函数逼近某个点时的行为。
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第5讲微积分的诞生——人类精神的最高胜利牛顿IsaacNewton(1642—1727)，英国物理学家，数学家，天文学家，经典物理学理论体系的建立者．生平1642年生于英格兰林肯郡的乌尔索普镇的一个农民家庭，1727年卒于伦敦．中学时爱读书，对自然现象有强烈的好奇心，但学习成绩并不出众.1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院．在名师I.巴罗的教导下，牛顿学习了算术、三角、欧几里得的《几何原本》，读了J.开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《两大世界体系对话》、R.胡克的《显微图集》及早期的《哲学学报》等.1665年伦敦大疫，学校停课，牛顿返回故乡．在家乡居住的两年中，牛顿创立了级数近似法以及一般的二项式展开定理，创立了微分(正流数)法，研究了颜色理论和积分(反流数)法，因此他成为微积分发明人之一．牛顿还开始研究重力问题，并把重力理论推广到月球的运行轨道上去．这两年是牛顿一生的重大科学思想孕育、萌发和形成的时期.1667年，牛顿重返剑桥上学.1668年3月1日选为三一学院的正院侣.1669年3月16日接替巴罗教授，任卢卡斯讲座教授．写下了光学讲稿、算术和代数讲稿、《自然哲学的数学原理》(简称《原理》)的一部分及《宇宙体系》等手稿.1672年选为皇家学会会员，1703年为该学会主席.1699年任造币厂厂长，对英国造币及改革币制有功.1705年封为爵士.1715年，牛顿已经73岁的高龄，在和莱布尼茨为微积分发明权争论的时候，他接受对方解一道数学难题的挑战．经过造币厂工作一天的劳累，牛顿在睡觉以前解出了这道难题，找到了寻求与已知曲线族正交的曲线族的一般方法．晚年研究宗教．牛顿逝世后，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂．1．微积分学是微分学和积分学的总称．它是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，在许多数学家工作的基础上，________和________分别独立地创立了微积分学．2．从牛顿的读书笔记可以看出，就数学思想的形成而言，笛卡儿的________和沃利斯的________对他影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上创立微积分的道路．3．1664年秋，牛顿开始研究微积分.1665年11月发明________(微分法)，次年5月又建立了________(积分法).1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，现在称为________．这是历史上第一篇系统的微积分文献．4．牛顿在他的微积分文献《流数简论》中以速度形式引进了________(微商)的概念，提出了微积分的基本问题，建立了“微积分基本定理”．微积分基本定理揭示了“________和________之间的内在联系”．5．1687年，牛顿出版了他的力学名著________，在这本书中最早表述了牛顿创立的微积分学，使得该书成为数学史上的划时代著作．答案：1．牛顿莱布尼茨2.《几何学》《无穷算数》3．正流数术反流数术《流数简论》4．“流数”导数积分5．《自然哲学的数学原理》一、微积分创立的历史背景【例1】结合史料，谈谈微积分创立的时代背景和历史意义．答：微积分作为变量数学的开端，诞生于17世纪下半叶，绝不是偶然的，确有其历史的必然性．经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到空前的解放和提高．大量的实际问题推动着力学、天文学的发展．例如，航海事业需要确定船只在大海中的位置，就要求精确地测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进，必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而在战争中，要求炮弹打得准确，则导致弹道学或抛物体运动的研究．人们从大量这类课题的研究中，总结出力学的一些基本规律，诸如：开普勒关于行星运动的定律；伽利略提出落体定律和惯性定律；牛顿总结出力学运动三大定律等．在各种各样力学运动的研究中，最基本的核心问题有两个：一是已知路程求速度；一是已知速度求路程．在等速运动的情况下，只用初等数学就可以解决这两个问题：速度＝路程÷时间；路程＝速度×时间．但是，十七世纪人们面对着种种变速运动，初等数学就无能为力了．速度成为变量，初等数学或常量数学无法描述变速运动中时间、位置和速度之间的复杂关系，这一矛盾要求数学研究突破常量的传统范围，寻求能够描述和研究变速运动的新工具——变量数学．微积分就是变量数学的基础内容．微积分创立的历史意义：①提供了定量处理与运动、变化等有关的多种现实问题的强有力方法；②解析几何与微积分的建立，标志着数学由初等数学(常量数学)时期向变量数学时期的重要转变；③以极限方法为主要特征的微积分方法蕴涵着基本却又十分重要的数学思想；④微积分的建立，开辟了全新的、广阔的数学领域，其后数学分析大厦逐步建立；⑤微积分的建立，使得数学的基本格局发生了变化，在这之前，数学主要有代数(包括算术)与几何两大领域，而微积分的建立，形成了代数、几何与分析三足鼎立的局面．牛顿与莱布尼茨是怎样发明微积分的，是灵感在一夜之间的闪现还是前人长期努力的结晶？结合史料加以说明．二、微积分基本定理及其应用【例2】牛顿在《流数简论》中提出了微积分的基本问题，并在此基础上建立了微积分基本定理．几乎与此同时，德国数学家莱布尼茨在其《数学笔记》中，创立了积分符号∫和微分符号dy，dx，并明确指出了积分和微分是互逆过程．因而，后人把微积分基本定理也称作“牛顿—莱布尼茨定理”．微积分基本定理揭示了导数和积分之间的内在联系，同时它也提供了计算积分的一种有效方法．根据你对微积分理论的理解，解决下面的问题：一物体做变速直线运动，其速度函数图像如图所示，求该物体在～6s间的运动路程．解：根据定积分的意义可知，若已知做变速直线运动物体的vt函数，则物体在时间区间[t1，t2]内的路程s＝t1t2v(t)dt，其中v(t)≥0.由题图可知v(t)＝2,[0,1],2,[1,3],11,[3,6].3ttttt由变速直线运动的路程公式，可得s＝612v(t)dt＝1122tdt＋132dt＋3613t＋1dt＝1212t＋2t31＋16t2＋t63＝12.25(m)，即物体在12～6s间的运动路程为12.25m.自地面垂直向上发射火箭，已知火箭的质量为m.求：(1)当火箭距离地面的高度为h时，火箭克服重力所做的功；(2)当火箭距离地面的高度h→＋∞时，求火箭克服重力做功的极限．要做到这点，火箭的初速度应为多少？三、微积分在实际问题中的应用微积分的发展与应用几乎影响了现代生活的所有领域．它与大部分科学分支，特别是物理学，关系密切，而经济学亦经常会用到微积分．几乎所有现代技术，如建筑、航空等都以微积分作为基本数学工具．下面就举例说明微积分在实际问题中的应用．【例3】(1)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝1128000x3－380x＋8(0＜x≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，①当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？②当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解：①当x＝40时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5小时，要耗油1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(升)，即当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升．②当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)＝1128000x3－380x＋8·100x＝11280x2＋800x－154(0＜x≤120)．h′(x)＝x640－800x2＝x3－803640x2(0＜x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.当x∈(0,80)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．所以当x＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25.因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值，即当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升．(2)如图，一桥拱的形状为抛物线，已知该抛物线拱的高为常数h，宽为常数b.求证：抛物线拱的面积S＝23bh.证明：如图建立平面直角坐标系，可设抛物线方程为y＝－ax2(a＞0)，将抛物线上一点b2，－h代入方程，则有－h＝－ab22，解得a＝4hb2，所以抛物线方程为y＝－4hb2x2.设抛物线拱一半的面积为s，则有2220422d2bbhSshxxb3220422.233bbhhxbhb某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p＝24200－15x2，且生产x吨的成本为R＝50000＋200x(元)．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)微积分是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用．微积分是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分．十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过的准备工作，分别独立地建立了微积分学．微分学主要研究的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率(或微分)．换言之，计算导数的方法就叫微分学．微分学的另一个计算方法是牛顿法，该算法又叫应用几何法，主要通过函数曲线的切线来寻找点斜率．积分学是微分学的逆运算，即从导数推算出原函数，它为定义和计算面积、体积等提供了一套通用的方法．答案：1．答：从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪．但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了．公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想．作为微分学基础的极限理论来说，早在古代已有比较清楚的论述．比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．刘徽在他的“割圆术”中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这些都是朴素的、也是很典型的极限的思想．到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的要素．归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题．第二类问题是求曲线切线的问题．第三类问题是求函数的最大值和最小值问题．第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力等求积问题．十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题做了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡儿、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论．为微积分的创立作出了贡献．十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作．他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题(微分学的中心问题)，一个是求积问题(积分学的中心问题)．牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源．牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的．牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合．他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数．牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度(微分法)；已知运动的速度求给定时间内经过的路程(积分法)．1684年，莱布尼茨发表了世界上最早公开发表微积分的文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字——《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义，它已含有现代的微分符号和基本微分法则.1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献．莱布尼茨是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．现在我们使用的微积分通用符号就是莱布尼茨当时精心选用的．微积分的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分往往迎刃而解，显示出微积分的非凡威力．由此可见，一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的，微积分也是这样．2．解：(1)根据万有引力定律，当火箭距离地面的高度为x时，引力f(x)＝G·Mm(R＋x)2，其中M，R分别为地球的质量和半径，G为万有引力常数．于是火箭所做的功为W＝0hf(x)dx＝0hG·Mm(R＋x)2dx＝GMm0h(R＋x)－2dx＝－GMm(R＋x)－1h0＝GMm1R－1R＋h，当x＝0时，f(x)＝mg，∴G·MmR2＝mg，即GM＝R2g.故W＝mgR21R－1R＋h.(2)limh→∞W＝limh→∞mgR21R－1R＋h＝mgR.由于所做的功是由最初火箭的动能转化而来，故mgR＝12mv20，从而有v0＝2Rg.将g＝9.8(m/s2)，R＝6.37×106(m)代入，得v0＝1.12×104(m/s)，这就是第二宇宙速度．3．解：每月生产x吨时的利润为f(x)＝24200－15x2x－(50000＋200x)＝－15x3＋24000x－50000(x≥0)，由f′(x)＝－35x2＋24000＝0，解得x＝200或x＝－200(舍去)．因f(x)在[0，＋∞)内只有一个点x＝200使f′(x)＝0，故它就是最大值点，。
微积分的创立数学史课件
古希腊时期，数学家们就开始研究无穷 小的问题，为微积分的产生奠定了基础。
牛顿和莱布尼茨是微积分的创立者，他 们在17世纪末分别独立地创立了微积分。
02
古代微积分思想的萌芽
古希腊时期的微积分思想
03
阿基米德的方法
通过穷竭法计算面积和体积，体现了微积 分的核心思想。
欧多克索斯的穷竭法
微积分学的基本概念与定理
01
02
函数
导数
描述两个变量之间关系的数学表达式。
函数在某一点处的切线斜率，表示函数在该点的变化率。
微积分学的基本概念与定理
• 积分：求一个函数在某个区间内与x轴围成的面积。
微积分学的基本概念与定理
微分基本定理
若函数f(x)在点x处可导，则其导数f'(x)表示f(x)在x处的变化率。
01
工程应用
02
微积分在建筑、机械等领域有广泛应用，如计算面 积、体积、长度等。
03
通过微积分可以优化工程设计，降低成本和提高效 率。
微积分学在17世纪的应用
01
经济应用
02 微积分在经济学中用于分析成本、收益、利润等 问题。
03 通过微积分可以求解最大利润、最小成本等经济 问题。
04
18世纪微积分学的发展与 完善
THANKS
微积分学与其他数学分支的联系
01
与分析学的联系
04
与代数学的联系
02
微积分学是分析学的重要组成部分，与分析学中的其他分支 如实分析、复分析和泛函分析等有着密切的联系。
03
分析学中的许多概念和定理都与微积分学密切相关，如连续 性、可微性、可积性和收敛性等。
05
微积分学与代数学在多个领域有交叉，如代数几何、代数拓 扑和抽象代数等。
人教A版高中数学选修3-1--5.1-微积分产生的历史背景-课件(共23张PPT)
二、微积分的萌芽
（2）外国数学家的极限、积分思想
◆ 欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数 学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其中 对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法 的萌芽。
◆ 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决 抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和 旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分 学的思想。
五、微积分创立的历史意义
4、其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己 独立研究，在大体上相近的时间里先后完成 的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布 尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分 这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。 他们的研究各有长处，也都各有短处。那时 候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论 竟从1699年始延续了一百多年。
由点、线、面的连续运动产生的，
否定了以前自己认为的变量是无穷
小元素的静止集合。他把连续变量
叫做流动量，把这些流动量的导数
叫做流数。牛顿在流数术中所提出
的中心问题是：已知连续运动的路
径，求给定时刻的速度（微分法）；
已知运动的速度求给定时间内经过
的路程(积分国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分 的创始人；1646年7月1日生于莱比锡，1716年11月14日卒于
布
怪的名字《一种求极大极小和切线的新方
尼
法，它也适用于分式和无理量，以及这种 新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一
茨
片说理也颇含糊的文章，却有划时代的意
义。他以含有现代的微分符号和基本微分
法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积
分学的文献。他是历史上最伟大的符号学
者之一，他所创设的微积分符号，远远优
于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大
数学史-第五讲-微积分的创立课件
计算机科学中的应用：微积分在计 算机科学中也有应用，如数值计算、 图像处理、机器学习等领域。
微积分的发展历程
微积分思想的萌芽
牛顿与莱布尼茨的 贡献
微积分在19世纪 的进一步发展
现代微积分的应用 与影响
微积分的创立过程
牛顿的贡献
牛顿对微积分创立的贡献 牛顿的微积分理论体系 牛顿的微积分应用 牛顿的微积分对后世的影响
际分析等
计算机科学： 算法设计、数 据结构、图像
处理等
微积分的未来发展
微积分在未来的应用前景
微积分在科学计算中的应用 微积分在金融领域的应用 微积分在人工智能领域的应用 微积分在物理和工程领域的应用
微积分与其他学科的交叉发展
微积分与计算机科学：数值计算、算法设计、数据科学等领域的应用 微积分与物理学：经典力学、电磁学、量子力学等领域的基础工具 微积分与经济学：边际分析、弹性分析、最优控制等领域的应用 微积分与生物学：细胞动力学、生态学、流行病学等领域的研究工具 微积分与金融学：资产定价、风险管理、投资组合优化等领域的应用 微积分与工程学：机械工程、土木工程、电子工程等领域的基础工具
微积分的思想方法
极限思想的起源
极限思想
极限思想在微积分中的应用
极限思想在数学中的重要性
极限思想在其他领域的应用
导数的定义与几何意义
导数思想
导数在函数分析中的应用
导数在优化问题中的应用
导数在其他领域的应用
积分思想
积分概念：通过求 解总和来描述变量 之间的关系
积分方法：通过求 和、求积等方式来 解决问题
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数学史-第五讲-微积分的创立
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目录
CONTENTS
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53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
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36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
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6、1 半个世纪得酝酿 • 开普勒(德,1571-1630)与旋转体体积 • 1615年《测量酒桶得新立体几何》
无穷小求和思想
V R 4R2 1
3
6、1 半个世纪得酝酿
• 卡瓦列里(意, 1598-1647)得不可分量原理
(1635)
无穷小方法计算面积和体积
a x n dx a n1
6、3 莱布尼兹得微积分 分析微积分得建立
yl
1 2
y2
求切线不过就是求差,求积不过就是求和！
1675年11月11日:dx
ydx dz z
1677年:微积分基本定理
omn.yl 1 y 2 2
6、3 莱布尼兹得微积分
莱布尼兹微积分得发表
第一篇发表得微分学论文: 《一种求极大与极小值和求切线得新 方法》(1684)——数学史上第一篇正式发表得微积分文献。
笛卡儿《几何学》(1637) 沃利斯《无穷算术》(1656)
1665年夏至1667年春: 牛顿科学生涯得黄金岁月 第一个创造性成果:二项定理 (1665)及无穷级数(1666)
6、2 牛顿得“流数术” “流数术”得建立
1、1644年秋,牛顿首创了小O得记号; 2、1665年夏——1667年春 (1)1665年11月发明“正流数法”; (2)1666年5月发明“反流数法”; (3)1666年10月《流数简论》——历史上第一篇系统得微积分文献。
等,并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量, 则她们最终也变为相等。” • 第一篇:解决引力问题 • 第二篇:讨论物体在介质中得运动 • 第三篇:论宇宙体系
6、2 牛顿得“流数术” 《原理》与微积分
牛顿:科学研究虽然就是艰苦而又枯燥得,但要坚持,因 为她给上帝得创造提出证据。
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第五讲产生的历史背景
2.了解促使微生微积分产生的科学问题
3.了解微积分诞生之前，众多数学家所作出的不懈努力
重难点：
重点：了解微积分产生的历史背景
难点：理解微积分产生的历史过程和思想方法
教学过程：
十七世纪中叶，微积分诞生了，它是继欧几里得几何学之后数学中最伟大的创造，它的诞生掀开了数学乃至整个科学发展史崭新的一页。
那么微积分是在怎样的历史背景下产生的呢？
微积分是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及后来的电磁学等提供了必不可少的工具。
微积分并不是凭空产生的，它经历了长时间的酝酿过程。
微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。
这两个方面由于笛卡尔和费马等人的工作，其基础已经具备。
恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进”
到了十七世纪，由于解析几何的创立，使自然科学研究的中心转向自然界的运动和变化，古典算数或几何、代数方法，甚至解析几何对自然界的运动和变化都无能为力了，这就激起了不少数学家致力于寻找解决这些问题的新方法。
那么，促使微问积分产生的科学问题都是什么呢？
一、瞬时速度问题
二、切线问题
三、函数的最值问题
四、面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
瞬时速度问题
已知物体移动的距离表示为时间的函数关系式，求物体在任意时刻的速度和加速度：反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数公式，求速度和距离，如何求不做匀速运动的物体的瞬时速度就成为数学家们的一个当务之急。
分析：
如果物体的运动是匀速的，那么计算它的瞬时速度就是用运动时间去除运动距离。
如果物体的运动不是匀速的，它的瞬时速度就不能用运动时间去除运动距离，因为在给定的瞬间，移动的距离和所用的时间都是零，而零除以零是没有意义的。
已知物体的速度公式求运动的距离也会遇到同样的问题。
求变速运动的物体的瞬时速度或运动距离可以说是微分或积分概念最基本的现实原型之一。
切线问题
马克思曾指出：“全部微分学本来产生于求任意一条曲线上任意一点的切线问题”。
切线概念，古希腊时代已有，例如
欧几里得的《原本》对原的切线的定义为与原仅接触一点的直线。
后来根据圆的切线意义拓展到了曲线的一般定义：“一条与曲线如此相切的直线，使得在这条直线和曲线之间的空间中不能插进其他的直线.”
希腊时代的这种切线定义，只是一种静态的直觉定义，即是一种定性的描述，没有给出求切线的一般方法.
17世纪，光学成为非常重要的研究领域，要研究光线通过透镜的通道，必须知道光线射入透镜的角度以便应用反射和折射定律，而重要的角光线与镜面曲面法线（过曲线的切点与切线垂直的直线）的夹角，法线是垂直于切线的，所以问题在于求法线和切线。
另一个涉及曲线的切线问题出现在运动学的研究中，运动物体在它的轨迹上任何一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.
函数的最值问题
早在16世纪，西欧各军事强国的火炮制造技术就已经非常先进，一个现实的问题就是，发射角多大时炮弹获得最大射程.
17世纪初，意大利科学家伽利略认识到炮弹弹道的抛物线性
质，并断言，在不考虑空气阻力的情况下，当发射角为45度时炮弹的射程最大.此外，他还得到了发射角变化时炮弹所能到达的最大高度.
研究行星的运动也涉及到求最大、最小值的
问题，比如求行星离太阳最远和最近的距离.
面积、体积、曲线长、重心和引力的计算
面积和体积的计算问题古来有之：如曲线围成的面积；曲面围成的体积.17世纪上半叶，随着天文学的长足进步，这方面的问题变得更为突出.
如德国天文学家开普勒给出的行星运动三大定律和其他许多天文问题都涉及到行星运动的轨道、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等计算.
公元前4世纪，欧多克索斯提出计算曲边形面积和体积的方法，此法在17世纪时成为“穷竭法”.
古希腊人曾用穷竭法计算出一些面积和体积，尽管他们只是对于比较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须加上很多技巧，所以这个方法缺乏一般性，这些长度、面积和体积计算问题就成了积分学的基本来源.
在微积分诞生之前，有众多数学家为解决上述问题做出了不懈努力。
开普勒的求积术
1615年，为了研究旋转体的体积，开普勒引入了无穷大和无
穷小概念，并指出：圆是由无数个顶点在圆心的三角形构成，圆周是由这些三角形的无穷小底边构成，把无限小的圆弧看成直线，把无限窄的面看成直线，把无限薄的体看成面。
卡瓦列里不可分量原理
意大利数学家卡瓦列里系统地运用无穷小方法计算面积和体积.他假定：线是由无穷多个点组成，面是由无穷多条线组成，体是由无穷多个面组成.卡瓦列里利用几何方法巧妙地求得若干曲边图形的面积，还证明了旋转体的表面积和体积公式.
笛卡尔、费马、帕斯卡等
法国的笛卡尔的求切线方程的“圆法”、费马、帕斯卡的求极大、极小值的方法以及英国的巴罗的“微分三角”为解决上述问题都做出了独特的贡献.
虽然众多数学家的研究工作为微积分的诞生作出了积极的准备，但是他们的方法粗糙且缺乏一般性，当时还无人认识到求面积、体积、求极值、求瞬时速度和求切线四者之间的内在联系，更未能意识到微分与积分之间的互逆关系，历史的发展需要伟人的推动，在时代的召唤下，牛顿和莱布尼茨脱颖而出，担负起这项伟大的任务.
课堂小结：
一、微积分产生历史背景：
微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念.近代微积
分的产生经过了半个世纪的准备和酝酿，有着深刻的社会背景.随着社会生产力的发展，17世纪上半叶出现了许多重大的科学问题，这些问题的解决需要新的数学工具.
二、促使微积分产生的科学问题
1、瞬时速度问题
2、切线问题
3、函数的最值问题
4、面积、体积、曲线长、重心和引力问题
三、微积分诞生前，众多数学家做的贡献：
1、开普勒的求积术
2、卡瓦列里不可分量原理
3、笛卡尔求切线方程的“圆法”
4、费马求极大值极小值的方法
5、巴罗的“微分三角形”
6、沃利斯的“无穷算术”等.
：微积分产生的历史背景
教。