福建省福州三中2011-2012学年高一数学下学期期末考试试题(扫描版)新人教A版
福建省福州市高一数学下学期期末考试试题(扫描版,无答案)
福建省福州市2016—2017学年高一数学下学期期末考试试题（扫描版，
无答案）
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福建省福州市高一下册第二学期期末联考试题数学含答案【精选】.doc
2019-2020学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高中 一 年 数学 科试卷考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分一、选择题（每题5分，共60分）1．已知向量()1,2a =v ，(3,3)b =--r ， (),3c x =v，若()2//a b c +v v v ，则x =（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-2．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田， 下周六步，径四步问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长 6步，其所在圆的直径是4步，问这块田的面积是（ ）平方步？ A. 6 B.3 C. 12 D. 93．若3π1cos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且2π2πα-≤≤，则sin 2α的值为（ ）A ．429-B ．229-C ．229D ．4294．将函数15cos π26x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭=对应的曲线沿着x 轴水平方向向左平移2π3个单位，得到 曲线为（ ）A ．1πcos 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-B ．1sin 2y x =C ．1πsin 26y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=- D ．1sin 2y x =- 5．化简：21sin 352cos10cos80-=o oo（ ） A ．2- B ．12-C ．1-D ．1 6．如图所示，向量,,,,,OA a OB b OC c A B C ===u u u v u u u v u u u v u vv v 在一条直线上，且4AC CB =-u u u v u u u v则( )A. 1322c a b =+v v vB. 3122c a b =-v v vC. 2c a b =-+v v vD. 1433c a b=-+v v v7．设向量a r 与b r 满足2a =r ，1b =r ，且()b a b ⊥+r r r ，则向量b r 在向量2a b +r r方向上的投影为（ ） A ．12-B ．12C ．1D ． 1-学校 班级 姓名 座号 准考号： .---------密………封…………装…………订………线----------8．函数sin 21cos xy x=+的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知非零向量a r ，b r 满足23a b =r r ，2a b a b -=+r r r r ，则a r 与b r的夹角的余弦值为（ ）A ．23B ．34C ．13D ．1410．设sin5a π=，cos10b π=，5tan12c π=，则（ ）A ．c b a >>B ．a c b >>C ．b a c >> a b c >>11. ()()22cos 0f x x ωω=->3π,04⎛⎫⎪⎝⎭()f x 在区间2π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ω的值为（ ） A ．2B ．38C ．103 D ．23 12．平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，·1AB AD =-u u u r u u u r ，点M 在边CD 上，则·MA MBu u u r u u u r的最大值为（ ） A ．221B ．2C ．5D 31二、填空题（每题5分，共20分）13．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 34π，cos 34π落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为 ． 14．若π1tan 43α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于 ．15．当x θ=时，函数()5sin 12cos f x x x =-取得最大值，则cos θ＝________．16． ①函数()sin π23f x x =+⎛⎫ ⎪⎝⎭关于π6x =对称；②解不等式tan π332x ⎛⎫≥-⎪⎝⎭-的解集为,1223ππππ(),2()k k Z k -++∈；③在ABC △中，1AB =，3AC =，D 是BC 的中点，则·4AD BC =u u u v u u u v；④已知对任意的x R ∈恒有3()()2f x f x π+=，且()f x 在R 上是奇函数， 若当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则112()42f π=-.其中命题正确的是___． 三、解答题（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17．已知向量(3,4)OA =-u u u r ，(6,3)OB =-u u u r ，(5,3)OC m m =---u u u r.(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．18．已知a r ，b r是两个单位向量.(1)若|32|3a b -=r r ，求|3|a b +r r的值；(2)若a r ，b r 的夹角为3π，求向量2m a b =+u r r r 与23n b a =-r r r 的夹角α.19．已知函数()sin f x x =，先将函数()f x 的图象向右平移6π个单位，再将图象的横坐标扩大3倍，纵坐标扩大2倍得到函数()g x .(1)求函数()g x 的解析式，并求出5()4g π的值； (2)设α，[0,]2πβ∈，10(3)213g πα+=，3cos()5αβ+=，求(32)2g βπ+的值.20．设函数()f x a b =⋅r r ，其中向量()2cos ,1a x =r，b r ()m x x +=2sin 3,cos ．(1)求函数()x f 的最小正周期和在[]π,0上的单调递增区间； (2)当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围．21．如图，在海岸线EF 一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC ，该曲线段是函数sin()(0,0,(0,))y A x A ωϕωϕπ=+>>∈，[]4,0x ∈-的图象，图象的最高点为(1,2)B -.边界的中间部分为长1千米的直线段CD ，且CD ∥EF ．游乐场的后一部分边界是以O 为圆心的一段圆弧»DE． (1)求曲线段FGBC 的函数表达式；(2)如图，在扇形ODE 区域内建一个平行四边形休闲区OMPQ ，平行四边形的一边在海岸线EF 上，一边在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧»DE上，且POE θ∠=，求平行四边形休闲区OMPQ 面积的最大值及此时θ的值．22．已知向量()11,,1,sin(2)62a y b x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭r r ，且//a b r r ，设函数()y f x =．（1）若方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根αβ、，写出实数k 的取值范围,并求αβ+的值．（2）若()2()1h x f x =-,5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭求实数λ的值．2017---2018学年度第二学期八县（市）一中期末考联考高一数学参考答案一、选择题：（每小题5 分，共60 分） 二、填空题：（每小题 5 分，共20 分）13. 7π414.25 15. 1213- 16. ②③④三、解答题：（共6大题，17题10分，18~22题每题12分，共70分）17. 解：（1）若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线， ………1分(3,1)AB OB OA -==u u u r u u u r u u u r Q ，(2,1)AC OC OA m m -==--u u u r u u u r u u u r. …………………3分3(1)2m m ∴-≠- ∴． ……………5分 （2）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥u u u r u u u r， ………7分3(2)(1)0m m ∴-+-= …………………………9分…………10分 18．解：（1）因为a r ，b r 是两个单位向量，所以||||1a b ==r r ，又|32|3a b -=r r，∴222(32)9||124||9a b a a b b -=-+=r r r r r r g ，即13a b =r r g . ………2分∴|3|a b +===r r ………4分（2）因为227(2)(23)2||6||2m n a b b a b a b a =+-=+-=-u r r r r r r r r r r g g g ， ………6分||m ====u r ， ………8分||n ====r ………10分则71cos 2||||m n m n α-===-u r r g ur r ，又因为0απ≤≤，所以23πα=. ………12分 19. 解：（1）由题可知：1()2sin()36g x x π=-， ………3分则515()2sin()2sin 2434642g ππππ=⨯-==⨯= ………5分 （2） 因为110(3)2sin[(3)]2sin 232613g πππααα+=+-==，所以5sin 13α=，[0,]2πα∈，则12cos 13α=，………7分又因为3cos()5αβ+=，[0,]αβπ+∈，则4sin()5αβ+=， ………9分所以3124556cos cos[()]cos()cos sin()sin 51351365βαβααβααβα=+-=+++=⨯+⨯=………11分所以(32)11562sin[(32)]sin()cos 2236265g βπππβπββ+=⨯⨯+-=+==. ..…12分20. (1)()16π2sin 22sin 3cos 22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=m x m x x x f …………3分 ∴函数()x f 的最小正周期π=T ， ……………4分Θπ22π6π2x π22πk k +≤+≤+-π6πx π3πk k +≤≤+-∴()Z k ∈ ……………6分∴在[]π,0上的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0，⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π2． …………7分(2) Θ 当∈x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0时，()x f 单调递增∴当6π=x 时，()x f 的最大值等于3+m . …………8分当0=x 时，()x f 的最小值等于2+m . …………9分由题设知()4<x f ，即()44<<-x f∴⎩⎨⎧->+<+4243m m ， …………11分解得：16<<-m . ……………………12分21. (1)由已知条件，得2A =， …………1分又∵34T =，212T πω==，∴6πω=………2分 又∵当1x =-时，有2sin()2,6y πϕ=-+= ∴23πϕ= …………4分∴曲线段FGBC 的解析式为[]22sin(),4,063y x x ππ=+∈-(2)如图，3OC =，1CD =，∴2OD =，6COD π∠=，13PMP π∠=……5分解法一：作1PP ⊥x 轴于1P 点， ……6分 在1Rt OPP ∆中，12cos OP θ=，12sin PP θ= 在1Rt MPP ∆中，1112sin tan3PP MP MP πθ==，∴123sin 33MP θ==……8分（注：学过正弦定理可以采用解法二求线段OM 的长度）（解法二：作1PP ⊥x 轴于1P 点，在1Rt OPP ∆中，12sin PP θ=， 在OMP ∆中，sin120sin(60)OP OMθ=-o o∴sin(60)23sin 2cos 2cos sin12033OP OM θθθθ⋅-==-=-o o ．） ……8分……11分当262ππθ+=时，即6πθ=23． ……12分 232cos 3OM θθ=-22. 解：（1）()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ …………………1分Q 方程()0f x k -=在[,]2x ππ∈上恰有两个相异的实根∴题中问题等价于函数()y f x =与y k =的图像在[,]2x ππ∈上恰有两个不同的交点用五点法画出()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（草图略）…………………4分 ∴由图可知：10.2k -<≤ ……………………5分 Q αβ、关于直线56x π=对称 ∴5.3παβ=+ ……………………6分 （2）()()2cos 43g x h x x λπ⎛⎫=+-⎪⎝⎭4sin 2cos 463x x λππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24sin 212sin 266x x λπ⎡π⎤⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222sin 2216x λλ⎡π⎤⎛⎫=---++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……………………8分5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q ，于是20263x ππ≤-≤，0sin 216x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭……………9分①当0λ<时，当且仅当sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值1，与已知不符．10分 ②当01λ≤≤时，当且仅当sin 26x λπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值221λ+， 由已知得23212λ+=，解得12λ=． ……………11分 ③当1λ>时，当且仅当sin 216x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，()g x 取得最大值41λ-， 由已知得3412λ-=，解得58λ=，矛盾． ……………12分 综上所述，12λ=．。
福建省福州市高一下学期期末数学试卷
福建省福州市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高一下·龙岩期中) 若的角的终边上有一点 ,则的值是（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高一下·南阳期中) 学校举行“好声音”歌曲演唱比赛，五位评委为学生甲打出的演唱分数茎叶图如图所示，已知这组数据的中位数为，则这组数据的平均数不可能为（）．A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·哈尔滨期末) 已知圆上的一段弧长等于该圆内接正方形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（）A .B .C .D .4. （2分）(2019·黑龙江模拟) 设是所在平面内的一点，，则（）A .B .C .D .5. （2分）cos1200°=（）A .B .C .D .6. （2分）(2016·潮州模拟) 对∀α∈R，n∈[0，2]，向量 =（2n+3cosα，n﹣3sinα）的长度不超过6的概率为（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高三上·佛山月考) 已知一组样本数据点用最小二乘法求得其线性回归方程为若的平均数为，则（）A .B . 12C .D .8. （2分）对同一试验来说，若事件A是必然事件，事件B是不可能事件，则事件A与事件B的关系是（）A . 互斥不对立B . 对立不互斥C . 互斥且对立D . 不互斥也不对立9. （2分）已知角α的终边经过点P（2，﹣1），则=（）A . 3B .C . -D . -310. （2分）(2017·长春模拟) 下面四个残差图中可以反映出回归模型拟合精度较好的为（）A . 图1B . 图2C . 图3D . 图411. （2分） (2016高一下·宜春期中) 右面的程序框图中，若输出S的值为126，则图中应填上的条件为（）A . n≤5B . n≤6C . n≤7D . n≤812. （2分）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断错误的是（）A . ω=2B .C . 函数f（x）的图象关于（﹣， 0）对称D . 函数f（x）的图象向右平移个单位后得到y=Asinωx的图象二、填空题 (共5题；共5分)13. （1分） (2016高一下·石门期末) 给出下列命题：（1）函数y=tanx在定义域内单调递增；（2）若α，β是锐角△ABC的内角，则sinα＞cosβ；（3）函数y=cos（ x+ ）的对称轴x= +kπ，k∈Z；（4）函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+ ）的图象．其中正确的命题的序号是________．14. （1分）某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高二学生中抽取的人数为________．15. （1分）已知向量若，则m=________．16. （1分） (2015高三上·苏州期末) 若一组样本数据9，8，x，10，11的平均数为10，则该组样本数据的方差为________ ．17. （1分） (2016高三上·厦门期中) 向量，满足| |=1，| |= ，（ + ）⊥（2 ﹣），则向量与的夹角为________．三、解答题 (共5题；共50分)18. （10分） (2016高一下·天水期末) 已知平面向量 =（1，x）， =（2x+3，﹣x）（x∈R）．（1）若∥ ，求| ﹣ |（2）若与夹角为锐角，求x的取值范围．19. （10分）已知函数f（x）=sin（2x+ ）﹣ sin（2x﹣）（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）当x∈[﹣， ]时，试求f（x）的最值，并写出取得最值时自变量x的取值．20. （5分）随机抽取某中学高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．21. （15分） (2016高二上·孝感期中) 某制造厂商10月份生产了一批乒乓球，从中随机抽取n个进行检查，测得每个球的直径（单位：mm），将数据进行分组，得到如表频率分布表：分组频数频率[39.95，39.97）6P1[39.97，39.99）120.20[39.99，40.01）a0.50[40.01，40.03）b P2合计n 1.00（1）求a、b、n及P1、P2的值，并画出频率分布直方图（结果保留两位小数）；（2）已知标准乒乓球的直径为40.00mm，直径误差不超过0.01mm的为五星乒乓球，若这批乒乓球共有10000个，试估计其中五星乒乓球的数目；（3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间[39.99，40.01）的中点值是40.00）作为代表，估计这批乒乓球直径的平均值和中位数．22. （10分）已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5求：（1）函数f（x）的最小正周期；（2）函数f（x）的单调递增区间．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共50分)18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2024届福建省福州三中数学高一第二学期期末综合测试模拟试题含解析
2024届福建省福州三中数学高一第二学期期末综合测试模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．过点()1,1H -作抛物线24x y =的两条切线,HA HB ，切点为,A B ，则ABH ∆的面积为（ ） A ．554B ．552C ．352D ．55 2．是直线上任意一点，点在圆上运动，则的最小值是 （ ） A ．B ．C ．D ．3．某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，……，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取50名学生进行体质测验.若66号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．16 B ．226C ．616D ．8564．已知042a ππβ<<<<，且5sin cos αα-=4sin 45πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则sin()αβ+=（ ） A ．31010-B ．15C 15D 3105．已知直线l 经过()()1,1,2,3A B 两点，则l 的斜率为（）A ．2B ．23C ．43D ．126．若抛物线228x y =上一点00(,)x y 到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则0y =（ ） A ．72B ．73C ．74D ．77．若1a =，2b =，且a 与b 夹角为60︒，则a b -=（ ） A ．3B ．3C ．2D ．28．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本．记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( ) A ．分层抽样法，系统抽样法 B ．分层抽样法，简单随机抽样法 C ．系统抽样法，分层抽样法 D ．简单随机抽样法，分层抽样法9．下列各命题中，假命题的是（ ）A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12πC ．根据弧度的定义，180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的半径长短有关 10．执行如图所示的程序框图，若输入3k =，则输出S =（ ）A ．13B ．15C ．40D ．46二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
福建省福州市福州第三中学2020-2021学年第一学期期末考试高一数学试卷
函数
f
(x) =
Acos
(x
+
)
A
0,
0,
π 2
的部分图象如图所示．
y
1
Oπ
12
5π x
6
（1）求 f ( x) 的解析式；
（2）若
x
−
π 12
,
π 4，2Fra bibliotekf(
x ) 2
−
mf
(
x)
−
1
0
，求实数
m
的取值范围；
（3）是否存在实数 a ，使得函数 F ( x) = f ( x) − a 在 0, nπ (n N*) 上恰有 2021 个零点？
【解析】 sin 78 sin18 − cos 78 cos162 = sin 78 sin18 + cos 78cos18
= cos(78 −18) = cos 60 = 1 2
3．若函数 f (x) x3 x2 2x 2 的一个零点附近的函数值如下表：
f (1) 2
f (1.5) 0.625
f (1.25) 0.984
6
2
变，得到函数 y = g ( x) 的图象．若 g ( x1 ) g ( x2 ) = −4 ，则 x1 − x2 的值可能为
A． π 6
B． π 4
C． π 3
D． 3π 4
11．设 a
log2 6,b
log3
1 6
，则下列结论正确的是
A． 1 1 1 ab
B． ab 0
C． a b 0
D．
| log2 x |, x 0,
f (b) f (c) f (d) ，则 abcd 的取值范围是_____．
福建省福州市高一下学期数学期末考试试卷
福建省福州市高一下学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二上·湖州月考) 在空间直角坐标系中，已知点，点，则（）A .B .C .D .2. （2分）过两点A(4，y)、B(2，－3)的直线的倾斜角是45°，则y等于（）A . －1B . －5C . 1D . 53. （2分）已知直线的方程为,则下列叙述正确的是（）A . 直线不经过第一象限B . 直线不经过第二象限C . 直线不经过第三象限D . 直线不经过第四象限4. （2分）已知圆C1：，圆C2与圆C1关于直线对称，则圆C2的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）已知直线及两个平面、，下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则6. （2分）若方程表示圆，则k的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）如图（1）所示的几何体是由图（2）中的哪个平面图形旋转后得到的（）A . AB . BC . CD . D8. （2分） (2018高一下·西城期末) 方程表示的图形是（）A . 两个半圆B . 两个圆C . 圆D . 半圆9. （2分） (2018高一下·榆林期中) 若是异面直线，直线，则与的位置关系是（）A . 相交B . 异面C . 平行D . 异面或相交10. （2分）下列条件中，能使直线m⊥平面α的是（）A . m⊥b，m⊥c，b⊂α，c⊂αB . m⊥b，b∥αC . m∩b＝A，b⊥αD . m∥b，b⊥α二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分） (2017高一上·武邑月考) 直线绕其与轴交点旋转90°的直线方程是________．12. （1分）过点（1，2）且与直线平行的直线方程是________.13. （1分） (2015高二上·新疆期末) 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是________．14. （1分） (2018高二上·扬州期中) 若a+b=1，则直线2ax-by=1恒过定点________．15. （1分）如图，E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过点E，F，G的截面平行的棱是________.16. （1分） (2019高三上·上海月考) 若直线与直线所成角的余弦值为，则实数 ________.三、解答题 (共3题；共20分)17. （10分） (2017高一上·福州期末) 如图1，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，E为DC的中点．将△ADE 沿AE折起，使得平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：平面BDE⊥平面ADE（2）求三棱锥 C﹣BDE的体积18. （5分）(2017·新课标Ⅱ卷理) [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4．（Ⅰ）M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|•|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为（2，），点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．19. （5分） (2018高一下·宜昌期末) 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，过点的平面与棱，，分别交于点，，（，，三点均不在棱的端点处）．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若平面，求的值；（Ⅲ）直线是否可能与平面平行？证明你的结论.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共3题；共20分) 17-1、17-2、18-1、19-1、。
福建省福州市高一下册第二学期期末联考试题数学含答案【精校】.doc
一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分）
二、 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 填
空
题：
答案 C A A B C D B A C D D B
（每小题 5 分，共 20 分）
7π
13. 4
2 14.
5
12 15.
13
16. ②③④
三、解答题：（共 6 大题， 17 题 10 分， 18~22 题每题 12 分，共 70 分）
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2019-2020 学年度第二学期八县（市）一中期末考联考
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高中 一 年 数学 科试卷
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考试日期： 7 月 3 日 完卷时间： 120 分钟 满 分： 150 分
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一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
线 1．已知向量
v a
r 1,2 ， b
( 3, 3) ， cv
x,3 ，若 2av
v b
4
34 6
4
2
（ 2） 因为 g (3
) 2sin[ 1 (3
2
3
) ] 2sin 26
10 ， 13
所以 sin
5
，
13
[0, ] ，则 cos 2
12 ， ……… 7 分 13
又因为 cos(
) 3， 5
[0, ] ，则 sin(
) 4， 5
所以
……… 5 分 ……… 9 分
cos cos[(
) ] cos(
2 ) 的值 .
5
2
rr
r
r
20．设函数 f x a b ，其中向量 a 2cos x,1 ， b cos x, 3 sin 2x m ．
福建福州市数学高一下期末阶段练习(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：12727]设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S = A ．5B ．7C ．9D ．112．(0分)[ID ：12724]已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,2b =，若a 与b 的夹角为6π，则a b +=（ ）A ．2BCD ．13．(0分)[ID ：12715]设集合{1,2,3,4}A =，{}1,0,2,3B =-，{|12}C x R x =∈-≤<，则()A B C =A ．{1,1}-B ．{0,1}C ．{1,0,1}-D ．{2,3,4}4．(0分)[ID ：12709]已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-6．(0分)[ID ：12673]在ABC 中，已知,2,60a x b B ===，如果ABC 有两组解，则x 的取值范围是( )A ．23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ．23⎡⎢⎣⎦，C ．23⎡⎢⎣⎭，D ．2,3⎛ ⎝⎦7．(0分)[ID ：12633]阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．48．(0分)[ID ：12631]设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 9．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)ax x f x xx x x ⎧++>⎪=⎨⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A ．[]0,1B ．(]0,1C ．[]1,1-D ．(]1,1-10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生11．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．(0分)[ID ：12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．413．(0分)[ID ：12639]在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ．已知5a =，7b =，8c =，则A C +=A ．90︒B ．120︒C ．135︒D ．150︒14．(0分)[ID ：12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ） A ．68B ．67C ．61D ．6015．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10D ．1或11二、填空题16．(0分)[ID ：12825]在ABC △ 中，若223a b bc -= ，sin 23sin C B = ，则A 等于__________．17．(0分)[ID ：12824]在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ．18．(0分)[ID ：12817]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ，SA AC =，SB BC =，三棱锥S ABC -的体积为9，则球O 的表面积为______． 19．(0分)[ID ：12798]若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=_________20．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .21．(0分)[ID ：12791]如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1DD 、DC 上靠近点D 的三等分点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______.22．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．23．(0分)[ID ：12743]已知函数2,()24,x x mf x x mx m x m ⎧≤=⎨-+>⎩其中0m >，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 24．(0分)[ID ：12734]过点1(,1)2M 的直线l 与圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝4交于A 、B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程为_____．25．(0分)[ID ：12744]已知四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)三、解答题26．(0分)[ID ：12928]某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如表所示． 组号 分组频数 频率第1组 [)160,165 5 0.050 第2组 [)165,170 ① 0.350第3组[)170,17530②第4组 [)175,18020 0.200 第5组[)180,185100.100（1）请先求出频率分布表中,①②位置的相应数据，再完成频率分布直方图； （2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试； （3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A 考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率．27．(0分)[ID ：12920]某校200名学生的数学期中考试成绩频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是[)70,80,[)80,90,[)90,100,[)90,100，[)100,110，[)110,120.()1求图中m 的值；()2根据频率分布直方图,估计这200名学生的平均分；()3若这200名学生的数学成绩中,某些分数段的人数x 与英语成绩相应分数段的人数y 之比如表所示,求英语成绩在[)90,120的人数.28．(0分)[ID ：12911]在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求+a b 的取值范围.29．(0分)[ID ：12892]a b c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边，已知tan 3sin a B b A =. （1）求cos B ；（2）若3a =，b =ABC ∆的面积.30．(0分)[ID ：12876]一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．A 2．B 3．C 4．B 5．A 6．A7．B8．D9．C10．C11．C12．B13．B14．B15．A二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为17．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为318．36π【解析】三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上SC是球O的直径若平面SCA⊥平面SCBSA=ACSB=BC三棱锥S−ABC的体积为9可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形设球的半19．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属20．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：21．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通23．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根则解得故m的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数24．2x﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB最小则分析可得圆心C到直线l的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点25．①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝CD·PDS △PAB ＝AB·PA 由三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．A 解析：A 【解析】1353333,1a a a a a ++===，5153355()25522S a a a a =+=⨯==，选A. 2．B解析：B 【解析】 【分析】先计算a 与b 的模，再根据向量数量积的性质22()a b a b +=+即可计算求值. 【详解】因为()cos ,sin a θθ=，()1,2b =， 所以||1a =，||3b =.又222222()2||2||||cos||6a b a b a a b b a a b b +=+=+⋅+=+π+137=++=， 所以7a b +=，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模的计算，属于中档题.3．C解析：C 【解析】分析：由题意首先进行并集运算，然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解：由并集的定义可得：{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-， 结合交集的定义可知：(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.4．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.5．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】已知,,a b B ，若ABC 有两组解，则sin a B b a <<，可解得x 的取值范围. 【详解】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<.故选A. 【点睛】本题考查已知两边及其中一边的对角，用正弦定理解三角形时解的个数的判断. 若ABC 中，已知,,a b B 且B 为锐角，若0sin b a B <<，则无解；若sin b a B =或b a ≥，则有一解；若sin a B b a <<，则有两解. 7．B 解析：B 【解析】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值. 详解：结合流程图运行程序如下： 首先初始化数据：20,2,0N i T ===，20102N i ==，结果为整数，执行11T T =+=，13i i =+=，此时不满足5i ≥； 203N i =，结果不为整数，执行14i i =+=，此时不满足5i ≥； 2054N i ==，结果为整数，执行12T T =+=，15i i =+=，此时满足5i ≥； 跳出循环，输出2T =.本题选择B 选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．(3)按照题目的要求完成解答并验证．8．D解析：D【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确； ∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.9．C解析：C【解析】x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1，x >1时,()()21,10a a f x x f x x x=++'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立，故a ⩽1，而1+a +1⩾1，即a ⩾−1，综上,a ∈[−1,1]，本题选择C 选项.点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．10．C解析：C【解析】【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．【点睛】本题主要考查系统抽样.11．C解析：C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 12．B解析：B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.13．B解析：B【解析】【分析】由已知三边，利用余弦定理可得1cos 2B =，结合b c <，B 为锐角，可得B ，利用三角形内角和定理即可求A C +的值．【详解】在ABC ∆中，5a =，7b =，8c =，∴由余弦定理可得：2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯， b c <，故B 为锐角，可得60B =︒，18060120A C ∴+=︒-︒=︒，故选B ．【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用．14．B解析：B【解析】【分析】首先运用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出通项n a ，判断n a 的正负情况，再运用1022S S -即可得到答案．【详解】当1n =时，112S a ==-；当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦， 故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩； 所以，当2n ≤时，0n a <，当2n >时，0n a >. 因此，()()()12101234101022612367a a a a a a a a S S +++=-+++++=-=-⨯-=.故选：B ．【点睛】 本题考查了由数列的前n 项和公式求数列的通项公式，属于中档题，解题时特别注意两点，第一，要分类讨论，分1n =和2n ≥两种情形，第二要掌握()12n n n a S S n -=-≥这一数列中的重要关系，否则无法解决此类问题，最后还要注意对结果的处理，分段形式还是一个结果的形式.15．A解析：A【解析】试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d==r=， 化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，解得λ=﹣3或7故选A考点：直线与圆的位置关系．二、填空题16．【解析】由得所以即则又所以故答案为 解析：6π 【解析】 由23sinC sinB = 得23c b =， 所以2223323a b bc b -==⋅，即227a b =， 则222222232243b c a cosA bc b+-=== ，又0A π∈（，）， 所以6A π=． 故答案为6π. 17．3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x 若x 满足|x|≤m 的概率为若m 对于3概率大于若m 小于3概率小于所以m=3故答案为3解析：3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3．故答案为3．18．36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上SC 是球O 的直径若平面SCA ⊥平面SCBSA=ACSB=BC 三棱锥S−ABC 的体积为9可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形设球的半 解析：36π【解析】三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径，若平面SCA ⊥平面SCB ，SA=AC ，SB=BC ，三棱锥S−ABC 的体积为9，可知三角形SBC 与三角形SAC 都是等腰直角三角形，设球的半径为r ， 可得112932r r r ⨯⨯⨯⨯= ，解得r=3.球O 的表面积为：2436r ππ= .点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 19．【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为：【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属解析：46+ 【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：46+【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型. 20．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：解析：60︒【解析】【分析】【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒== 21．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面直线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连接在正方体中所以四边形为平行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等 解析：60【解析】【分析】连接1CD ，可得出1//EF CD ，证明出四边形11A BCD 为平行四边形，可得11//A B CD ，可得出异面直线EF 与11A C 所成角为11BA C ∠或其补角，分析11A BC ∆的形状，即可得出11BA C ∠的大小，即可得出答案.【详解】连接1CD 、1A B 、1BC ，113DE DF DD DC ==，1//EF CD ∴， 在正方体1111ABCD A B C D -中，11//A D AD ，//AD BC ，11//A D BC ∴，所以，四边形11A BCD 为平行四边形，11//A B CD ∴，所以，异面直线EF 与11A C 所成的角为11BA C ∠.易知11A BC ∆为等边三角形，1160BA C ∴∠=.故答案为：60.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.22．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6【解析】【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2n a }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】 数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示要满足存在实数b 使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根则解得故m 的取值范围是【考点】分段函数函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质函数解析：()3+∞，【解析】试题分析：由题意画出函数图象如下图所示，要满足存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b 有三个不同的根，则24m m m -<，解得3m >，故m 的取值范围是(3,)+∞.【考点】分段函数，函数图象【名师点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好地考查考生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等.24．2x ﹣4y+3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大此时直线l 与直线垂直即可算出的斜率求得直线l 的方程【详解】由题得当∠ACB 最小时直线l 与直线垂直此时又故又直线l 过点解析：2x ﹣4y +3＝0【解析】【分析】要∠ACB 最小则分析可得圆心C 到直线l 的距离最大,此时直线l 与直线CM 垂直,即可算出CM 的斜率求得直线l 的方程.【详解】由题得,当∠ACB 最小时,直线l 与直线CM 垂直,此时102112CM k -==-- ,又1CM l k k ⋅=-,故12l k =,又直线l 过点1(,1)2M ,所以11:1()22l y x -=-,即2430x y -+= . 故答案为：2430x y -+=【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系,过定点的直线与圆相交于两点求最值的问题一般为圆心到定点与直线垂直时取得最值.同时也考查了线线垂直时斜率之积为-1,以及用点斜式写出直线方程的方法.25．①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ∴AB ⊥PD 故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC 得PB ⊥平面ABCD 从而PA ∥PB 这是不可能的故②错；S △PCD ＝CD·PDS △PAB ＝AB·PA 由 解析：①③【解析】由条件可得AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．三、解答题26．（1）①35人，②0.300，直方图见解析；（2）3人、2人、1人；（3）35. 【解析】【分析】（1）由频率分布直方图能求出第2组的频数，第3组的频率，从而完成频率分布直方图．（2）根据第3,4,5组的频数计算频率，利用各层的比例，能求出第3,4,5组分别抽取进入第二轮面试的人数．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，利用列举法能出所有基本事件及满足条件的基本事件的个数，利用古典概型求得概率．【详解】（1）①由题可知，第2组的频数为0.3510035⨯=人，②第3组的频率为300.300100=， 频率分布直方图如图所示，（2）因为第3,4,5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=人， 第4组：人，第5组：106160⨯=人， 所以第3,4,5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．（3）设第3组的3位同学为123,,A A A ，第4组的2位同学为12,B B ，第5组的1位同学为1C ，则从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：12,A A （），13,A A （），11,A B （），12,A B （），11,A C （），23,A A （），21,A B （），22,A B （），21,A C （），31,A B （），32,A B （），31,A C （），12,B B （），11,B C （），21,B C （），其中第4组的2位同学12,B B 中至少有一位同学入选的有9种，分别为：11122122A B A B A B A B （，），（，），（，），（，），31321211A B A B B B B C （，），（，），（，），（，），21B C （，），∴第4组至少有一名学生被A 考官面试的概率为93155=． 【点睛】本题考查频率分直方图、分层抽样的应用，考查概率的求法，考查数据处理能力、运算求解能力，是基础题． 27．（1）0.005m =（2）平均数为93（3）140人【解析】【分析】(1)根据面积之和为1列等式解得.(2)频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, (3)先计算出各分数段上的成绩,再根据比值计算出相应分数段上的英语成绩人数相加即可.【详解】解：()1由()1020.020.030.041m ⨯+++=,解得0.005m =.()2频率分布直方图中每一个小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即为平均数, 即估计平均数为0.05750.4850.3950.21050.0511593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.()3由频率分布直方图可求出这200名学生的数学成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有60人,40人,10人,按照表中给的比例,则英语成绩在[)90,100,[)100,110,[)110,120的分别有50人,80人,10人,所以英语成绩在[)90,120的有140人.【点睛】本题考查了频率分布直方图,属中档题.28．(1) 3C π=.(2) .【解析】【分析】（1）根据题意，由余弦定理求得1cos 2C =，即可求解C 角的值； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，再根据ABC ∆为锐角三角形，求得62A ππ<<，利用三角函数的图象与性质，即可求解.【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===，即,a A b B ==∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，即， 则2363A πππ<+<，所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 综上+a b的取值范围为.【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.29．（1）1cos 3B =；（2） 【解析】【分析】 （1）利用正弦定理边角互化思想以及切化弦的思想得出cos B 的值；（2）利用余弦定理求出c 的值，并利用同角三角函数的平方关系求出sin B 的值，最后利用三角形的面积公式即可求出ABC ∆的面积.【详解】（1）因为tan 3sin a B b A =，所以sin tan 3sin sin A B B A =，又sin 0A >，所以sin 3sin cos B B B =，因为sin 0B >，所以1cos 3B =； （2）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，则21179233c c =+-⨯⨯⨯， 整理得2280c c --=，0c >，解得4c =.因为1cos 3B =，所以sin B ==，所以ABC ∆的面积1sin 2S ac B == 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，同时也考查余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.30．（1）19；（2）89. 【解析】 试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为31279= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个故“抽取的卡片上的数字a、b、c完全相同”的概率为31 279=所以“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率为18 199 -=考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．。
福建省福州第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷(含答案)
福州第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的班级、准考证号、姓名填写在答题卡上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1. 已知复数z 满足，则（ ）A. i B. C. D. 12. 已知，是不共线的向量，且，，，若B ，C ，D 三点共线，则（ ）A.B.C.D.3. 已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，．设甲：，乙：，则甲是乙的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A. 至少有一个黑球与都是黑球 B. 至少有一个黑球与都是红球C. 恰有一个黑球与恰有两个黑球D. 至少有一个黑球与至少有一个红球5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 某单位共有A 、B 两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下.设A 、B 两部门的服务满意度得分的第75百分位数分别为，，方差分别为，，则（ ）(1i)1i +=-z 2024z=1-i-a bAB a b =+u u u r r r2AC ma b =+ 32CD a b =+m =123252721l 2l l αβ1l α⊂2l β⊂l αβ= 1l l ∥12l l ∥9π3π9π1n 2n 21s 22sA.， B.，C. ， D. ，7. 已知函数在区间上单调递减，，则（ ）A.B.C.D.8. 已知正四棱台下底面边长为45°，则该正四棱台体积的取值范围是（ ）A.B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9. 下图为2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）A. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增B. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增的12n n >2212s s >12n n >2212s s <12n n <2212s s <12n n <2212s s >()2sin()(0,(0,2π))f x x ωϕωϕ=+>∈π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭π5π136f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ϕ=π34π911π187π91111ABCD A B C D -(0,C. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差大D. 2018~2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元10. 在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A 与互斥，则下列说法正确的是（ ）A. B. A 与相互独立C. D. 11. 如图，一张矩形白纸，，，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点．现分别将，沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面的同侧，则下列命题正确的是（ ）A. 当平面平面时，平面B. 当A ，C 重合于点时，平面C. 当A ，C 重合于点时，三棱锥的外接球的表面积为D. 当A ，C 重合于点时，四棱锥第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12 已知向量满足，且，则___________.13. 某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________.14. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是___________.四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..20379,,A B C ()()()13P A P B P C ===()59P A B = C ()13P AC =B ()127P ABC =()89P A B C ≤ABCD 4AB =AD =N ABE V CDF V BFDE //ABE CDF //AC BFDE P PD ⊥PFMP P DEF -24πP P BFDE -,a b 1,22a a b =+= ()2b a b -⊥b = 12,x x 2212,S S 221212,20,30x x S S ===ABC V A B C a b c 22sin sin sin sin B C C A -=b c15. 已知复数，和均为实数，，其中是虚数单位.（1）求复数的共轭复数;（2）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.16. 在中，角的对边分别为．（1）求的大小；（2）若，且的面积．17. 小明从一幅扑克牌中挑出和共8张牌（和各四个花色：红桃（红色）、方块（红色）、黑桃（黑色）、梅花（黑色））.现从这张牌中依次取出张，抽到一张红色和一张红色即为游戏获胜.现有三种游戏方式，如下表：游戏方式方式①方式②方式③抽取规则有放回依次抽取不放回依次抽取按颜色等比例分层抽样获胜概率（1）分别求出在三种不同游戏方式下获胜的概率；（2）若三种游戏方式小明各进行一次，第一次采取方式①，后两次采用方式②和方式③，那么方式②和方式③按照怎样顺序进行游戏能使得三次游戏中仅连续两次获胜的概率最大？18. 已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）.尺寸大于M 的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M 的零件用于小型机器制造.是的z 2i z +i 1z -11i 1=+--mz z m m i z z 1z m ABC V ,,A B C ,,,2cos 2a b c b C c a -=B 3a =AC ABC V J K J K 82J K 1p 2p 3p（1）若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数；（2）若，现有足够多来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M 的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M 的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H （M ）（单位：元）的取值范围.19. 如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，四边形ABEF 是等腰梯形，，平面平面，三棱锥的体积为.（1）求点E 到平面ABCD 的距离；（2）设G 是棱CD 上一点，若二面角的正切值是3，求CG .20. 点A 是直线PQ 外一点，点M 在直线PQ 上（点M 与P ，Q 两点均不重合），我们称如下操作为“由A 点对PQ 施以视角运算”：若点M 在线段PQ 上，记；若点M 在线段PQ外，记.（1）若M 在正方体的棱AB 的延长线上，且，由对AB 施以视角运算，求的值；（2）若M 在正方体的棱AB 上，且，由对AB 施以视角运算，得到，求的值；（3）若是边BC 的等分点，由A 对BC 施以视角运算，求的值.的60M =(]60,70M ∈,1AB EF AF =∥ABCD ⊥ABEF A BCE -G AE B --()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠=∠()sin ,;sin AP PAM P Q M AQ MAQ∠=-∠1111ABCD A B C D -22AB BM ==1A (),;A B M 1111ABCD A B C D -2AB =1A ()1,;2A B M =AMMB1231,,,,n M M M M - ABC V ()2,n n n ≥∈N ()()(),;,;1,2,3,,1k n k B C M B C M k n -⨯=-福州第三中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】A【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AC第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【13题答案】【答案】25.1【14题答案】【答案】四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1） （2）【16题答案】【答案】（1） （2【17题答案】【答案】（1），，（2）①③②【18题答案】【答案】（1）一区有420个，二区有200个 （2）【19题答案】【答案】（1 （2）【20题答案】【答案】（1）22i z =+2,13⎛⎫⎪⎝⎭2π3B =118p =217p =314p =72000()88000H M <≤133-（2） （3）112。
福州20112012学年度第二学期期末高一质量检查
福州市2011－2012学年度第二学期期末高一质量检查数学（4）参考答案及评分标准一、选择题1.B2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.D9.C 10.B 11.A 12.B 二、填空题13.100 14.3 15.3/7 16.2+22 三、解答题17.解: (Ⅰ)因为角α的终边过点P (－4,3),所以.54cos ,53sin -==αα ············· 3分 85cos 21sin sin cos sin )2cos()sin(tan -==+=+--ααααααπαπα································ 6分(Ⅱ)因为 β为第三象限角,且34tan =β,所以53cos ,54sin -=-=ββ. ········· 8分由(Ⅰ)知,.2571cos 22cos ,2524cos sin 22sin 2=-=-==ααααα ················ 10分 53sin 2sin cos 2cos )2cos(=+=-βαβαβα ·········································· 12分 18.解: (Ⅰ)因为k -=+所以22)(3)(b k a b a k -=+, ··············· 2分又因为1||||==b a ,所以)21(32122k k k k ⋅-+=⋅++, ························ 4分 即2228k k +=⋅. ············································································· 5分所以)0(4412>+=⋅k kk ······································································· 6分(Ⅱ)因为1||||==b a ,若b a //,则1=⋅b a 或1-=⋅b a . ····································· 8分又因为.04412>+=⋅kk b a ,所以1=⋅b a , ······················································· 9分 即kk 4412+=1,解得32±=k ， ··································································· 11分即与平行时, 32±=k . ····································································· 12分19.解: (Ⅰ)T=2π; ·················································································· 1分 列表:)(x f 在区间]1211,12[-的简图: ············ 5分该函数的图象可由)(sin R x x y ∈=的图象先沿x 轴方向向左平移6π个单位得到函数)6sin(π+=x y的图象,再将)6sin(π+=x y 图象上所有点的横坐标缩小为原来的21(纵坐标不变),得到函数)62sin(π+=x y 的图象,最后将函数)62sin(π+=x y 的图象沿y 轴方向向上平移21即得y=f (x )的图象. ····················· 8分注：可以先将)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点的横坐标缩小为原来的21(纵坐标不变),得到函数y =sin2x 的图象,再将函数y =sin2x 的图象沿x 轴方向向左平移12π个单位,得到)62sin(π+=x y 的图象,最后将函数)62sin(π+=x y 的图象沿y 轴方向向上平移21即得y=f (x )的图象.(Ⅱ)]3,6[ππ-∈x 时,]1,21[)62sin(],65,6[62-∈+-∈+ππππx x , 函数m x f x g +=)()(的最小值为2,即m =2. ················································ 10分 故25)62sin()(++=πx x g ,函数g (x )的最大值为7/2. ····································· 12分 20. (Ⅰ) 证明1:∵点1A 是线段AB 的三等分点,∴113AA AB =, ∴11OA OA AA =+ ················· 2分 112()333OB OAOA AB OA OB OA +=+=+-=······································· 4分 同理223OB OAOA +==, ··································································· 5分则122233OB OA OB OAOA OA OA OB +++=+=+; ····································· 6分 证明2:∵A 1、A 2分别为线段AB 的三等分点,∴021=+BA AA , ··························· 2分 又2211,BA OB OA AA OA OA +=+=, ······················································· 4分 故OB OA OA OA +=+21. ····································································· 6分 证明3:取AB 中点P , ∵A 1、A 2分别为线段AB 的三等分点,所以P 亦为A 1、A 2中点. △ABO 中,2=+; △A 1A 2O 中,OP OA OA 221=+.故OA OA +=+21. ····································································· 6分 (Ⅱ)解:一般结论为 1122n n OA OA OA OA OA OB --+=+==+ . ····················· 8分 证明:∵k k AA AB n =,∴k k kOA OA AA OA AB n=+=+, ······························· 10分 而n k n k n k k kOA OA AA OA AB OA AB AB OB AB n n n---=+=+=+-=- ∴k n k k kOA OA OA AB OB AB OA OB n n-+=++-=+ . ····················· 12分解2: 一般结论为1211()2n n OA OA OA OA OB --+++=+.证明1:设P 为线段AB 的中点,则OA OA n +==+-211;OB OA OP OA OA n +==+-222;…))(1()()()()(21122111221OB OA n OA OA OA OA OA OA OA OA OA OA n n n n n +-=++⋅⋅⋅++++=++⋅⋅⋅++-----∴1211()2n n OA OA OA OA OB --+++=+ 证明2:类题(1)证法2,略21.解: (Ⅰ)在Rt △OAB 中,OA =αcos ,AB =αsin . ··············································· 2分 在Rt △ODC 中,360tan == ODCD. 所以αsin 333333===BA DC OD , ··········· 4分故ααsin 33cos -=-=OD OA AD . ·············· 5分(Ⅱ)设矩形ABCD 的面积为S ,则2(cos )sin sin cos 33sin 2sin 2cos 2)2221(2cos 2))22666S DA AB ααααααααααπααα=⋅=-=-=-=+=+-=+- ························ 9分 由.65626,30ππαππα<+<<<得 ························································ 11分所以当262ππα=+,即6πα=时,636331=-=最大S . ····························· 12分 因此,当6πα=时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63······························· 13分 22.解: (Ⅰ)x xx x x b a 2cos 2sin 23sin 2cos 23cos=⋅-⋅=⋅ ································ 2分|cos |22cos 22)2sin 23(sin )2cos 23(cos||22x x x x x x b a =+=-++=+ ∵]2,0[π∈x ,∴cos x >0,x b a cos 2||=+. ··················································· 6分 (Ⅱ)2221)(cos 2cos 42cos )(λλλ---=-=x x x x f ································ 7分 ∵]2,0[π∈x , ∴0≤cos x ≤1 ································································· 8分 ①当λ<0时,当且仅当cos x =0时,f (x )取得最小值－1,这与已知矛盾; ·················· 9分 ②当0≤λ≤1时,当且仅当cos x=λ时, f (x )取得最小值－1－2λ2, ·················· 10分由已知得: －1－2λ2=23-,21=λ. ······························································ 11分③当λ>1时,当且仅当cos x =1时, f (x )取得最小值1－4λ, 由已知得1－4λ=23-,解得85=λ,这与λ>1相矛盾 ··································· 12分.综上所述, 21=λ为所求. ······································································· 13分。