第十二章 电磁感应电磁场(二)作业答案

一. 选择题
[ A ] 1 (基础训练4)、两根很长的平行直导线，其间距离为a ，与电源组成闭合回路，如图12-18．
已知导线上的电流为I ，在保持I 不变的情况下，若将
导线间的距离增大，则空间的
(A) 总磁能将增大． (B) 总磁能将减少．
(C) 总磁能将保持不变．
(D) 总磁能的变化不能确定
【解答】
2
12
m W L I =，距离增大，φ增大，L 增大， I 不变，m W 增大。

[ D ]2（基础训练7）、如图12-21所示．一电荷为q 的点电荷，以匀角速度作圆周运动，圆周的半径为R ．设t = 0 时q 所在点的坐标
为x 0 = R ，y 0 = 0 ，以i 、j
分别表示x 轴和y 轴上的单位矢量，则圆心处O 点的位移电流密度为： (A)
i t R q ωω
sin 42π (B) j t R
q ωωcos 42
π (C) k R q 24πω (D) )cos (sin 42
j t i t R
q ωωω
-π 图 12-21 【解答】设在0—t 的时间内，点电荷转过的角度为ωt ，此时，点电荷在O 点产生的电位移矢量为
0D E ε=, ()222
000cos sin ,444r
q
R q q E e ti tj R R R R ωωπεπεπε=-
=-=-+ 式中的r e 表示从O 点指向点电荷q 的单位矢量。

()2
sin cos 4d dD q J ti tj dt R ω
ωωπ∴=
=-。

[ C ] 3 (基础训练8)、 如图12-22，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L 1的磁场强
度H 的环流与沿环路L 2的磁场强度H 的环流两者，必有： (A) >'⎰⋅1
d L l H ⎰⋅'2
d L l H . (B) ='⎰⋅1
d L l H ⎰⋅'2
d L l H .
(C) <'⎰⋅1
d L l H ⎰⋅'2
d L l H
. (D) 0d 1
='⎰⋅L l H .
【解答】
全电流是连续的，即位移电流和传导电流大小相等、方向相同。

另外，在忽略边界效应的情况下，位移电流均匀分布在电容器两极板间，而环路L1所包围的面积小于电容器极
图12-22
图12-18
)
R O
D
板面积，故选（C ）。

[B] 4 (自测提高6)、如图12-31所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i (t )，则 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零．
(D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零．
【解答】如图所示的载流圆筒等同于一长直螺线管。

在筒内产生
的时变磁场是空间均匀的，在筒外无磁场，所以（C ）错；筒内的时变磁场将产生涡旋感生电场，涡旋电场在筒内不是均匀分布的（
d 2d r B
t
），所以（A ）错；涡旋电场沿任意闭合回路的积分为感生电动势≠0，所以（D ）错；磁场（无论是变化的还是稳恒的）与感生电场都是涡旋场，其相应的场线都是一些闭合曲线，故穿过任意闭合曲面的通量都为零，所以选（B ）。

[B]5.（第十一章：基础训练8） 如图11-30所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的
导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I 为2.0 A 时，测得铁环内的磁感应强度的大小B 为1.0 T ，则可求得铁环的相对磁导率r 为(真空磁导率0 =4×10-7 T ·m ·A -1) (A) 7.96×102 (B) 3.98×102
(C) 1.99×102 (D) 63.3 【解答】根据0r B nI nI μμμ==，代入数据可得答案。

二. 填空题
6 (基础训练11)、一个中空的螺绕环上每厘米绕有20匝导线，当通以电流I =3 A 时，环中磁场能量密度w = 22.6Jm -3 。

【解答】
螺绕环内部0B nI μ=，根据22230011
==22.622
B w n I J m μμ-=⋅⋅
7 (基础训练12)、反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为
⎰⎰⋅=V
S
V S D d d ρ
， ①
⎰⎰⋅⋅∂∂-=S
L S t B l E
d d ， ② 0d =⎰⋅S
S B
， ③
图12-31 图11-30
⎰⋅⎰⋅∂∂+=S
L S t D
J l H
d )(d ． ④
试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的．将你确定的方程式用代
号 填在相应结论后的空白处．
(1) 变化的磁场一定伴随有电场； _____② (2) 磁感线是无头无尾的； ③ (3) 电荷总伴随有电场; _①______ 8（基础训练13）、平行板电容器的电容C 为20.0 F ，两板上的电压变化率为d U /d t =1.50×105 V ·s -1，则该平行板电容器中的位移电流为 3A ． 【解答】
d d d d d D J t t σ
=
= d()d d()d 3A d d d d d d S Q CU U
I SJ C t t t t σ======
9（自测提高11）、 图示12-35为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场E
，其方向垂直纸面向内，E
的大小随时间t 线性增加，P 为柱体内与轴线相距为r 的
一点则
(1)P 点的位移电流密度的方向为_垂直纸面向内里__． (2) P 点感生磁场的方向为__竖直向下___． 【解答】
（1）由于d /d 0d J E t ε=>，故d J 与E 同向， 垂直纸面向里。

（2）由安培环路定理
知：d J 与H 的关系与f J 与H 的关系一样，成右手螺旋关系，故P 点感生磁场的方向竖直向下。

10（自测提高12）、半径为r 的两块圆板组成的平行板电容器充了电，在放电时两板间的电场强度的大小为E = E 0e -t /RC ，式中E 0、R 、C 均为常数，则两板间的位移电流的大小为
2
00t RC
E r e
RC
επ-
，其方向与场强方向_相反 ．
【解答】
0000d d d d t
RC d E D E
J e E t t RC RC
εεε-===-=-。

2=d d d I j S j r π=
11（第十一章： 自测提高15）、 如图11-54所示为三种不同的磁介
质的B ~H 关系曲线，其中虚线表示的是B = 0H 的关系．说明a 、b 、c 各代表哪一类磁介质的B ~H 关系曲线：
a 代表_____铁磁质 __________的B ~H 关系曲线．
B
()d f d l s
H dl J J s
⋅=+⎰⎰⎰
图12-35
b 代表______顺磁质__________的B ~H 关系曲线．
c 代表______抗磁质__________的B ~H 关系曲线． 三. 计算题
12（自测提高20）、平行板空气电容器接在电源两端，电压为U ，如图12-43所示，回路电阻忽略不计．今将电容器的两极板以速率v 匀速拉开，当两极板间距为x 时，求电容器内位移电流密度． 【解答】
U Ex ==常数（电容器一直与电源相连）
，故 U
E x
=， 00U
D E x
εε==
，
则 02d dt d Uv
D J x
ε=
=。

位移电流密度矢量的方向与回路中传导电流方向相反。

13（自测提高21）、设一电缆，由两个无限长的同轴圆筒状导体所组成，内圆筒和外圆筒上的电流方向相反而强度I 相等，设内、外圆筒横截面的半径分别为R 1和R 2，如图12-38所示。

试计算长为l 的一段电缆内的磁场所储藏的能量。

【参考答案】
由安培环路定理知：
101220()()()20
()
r
r R I B r R r R r r R μμπ<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩ 则磁能密度为
2
2
022
028r m r I B w r
μμμμπ== 则
2
1
22002
22
1
d 2d ln 84R r r m m V
R I I l R W w V rl r r R μμμμπππ==
=⎰
⎰。

图12-43
图12-44
r
μ。