概率统计试题1参考答案
1 . 2
三．（本大题10分）。一个盒子中装有4个白球、个红球，现投掷一枚 6 均匀的骰子，骰子投掷出几点就从盒中无放回地取几个球。试求： a）所取的全是白球的概率。
b）如果已知取出的都是白球，那么骰子所掷的点数恰为3的概率是多少？
解：设Ai {骰子投掷出i点}，i 1, 2, a ). 由全概率公式，全是白球的概率
五．（本大题14分）。设（X , Y）的联合密度函数是： A( x 2 1 2 xy ) f ( x, y ) 0 a）说明A 6 / 7； c）求P X Y . 0 x 1, 0 y 2 其它
b）求X 的密度函数及E [ X ]；
解： a ). 由
1 5 12 2 6 xf X ( x )dx x x x dx . 0 7 7 7
6 1 c) P X Y ( x 2 xy )dxdy, 其中 7 2 D D {x y} {0 x 1, 0 y 2} {0 x 1, 莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理： lim P(
n
X1
X n np np(1 p )
x)
1 2
x
0
e
x2 2
dx,
其中 p 0.8.
要使一批产品合格率在76%与84%之间，即要求 1 n X X i [0.76, 0.84], 于是 n i 1 P(0.76 X 0.84) P(0.76n X k 0.84n )
R
2
f ( x, y )dxdy 1
1 2
1
0
2
0
A( x 2
1 xy )dxdy 1 2
1
A 0 0 b). X 的边缘分布密度 f X ( x)
1 ( x 2 xy )dxdy 2
6 . 7
f ( x, y )dy.
(0.1 n ) ( 0.1 n ) 2 (0.1 n ) 1 0.9 (0.1 n ) 0.95, 由 (1.645) 0.95, 可知n满足 0.1 n 1.645 n 16.452 270.6025, 于是，这批产品至少要生产271件.
解： 设至少要生产n件产品. 记 1， 第i件产品合格 Xi 0， 第i件产品不合格 则X 1 X 2 X n 为n件产品中合格的件数, X 1 , X 2 , , X n 相互 独立且X i ~ B(1, 0.8), E [ X i ] 0.8,Var[ X i ] 0.8 (1 0.8) 0.16. 1 n a ). n件产品的合格率为：X X i , 且 n i 1 1 n 1 E[ X ] E[ X i ] 0.8, Var[ X ] 2 n i 1 n 由切比雪夫不等式, 对任意 0， P(| X - E[ X ] | ) Var[ X ] 0.16 . 2 n
( X ) n P t ( n 1) * 1 Sn 2 (66.5 70) 36 P t0.975 (35) 0.05， 15
又有t0.975 (35) 2.0301.经计算得 (66.5 70) 36 1.4. 15 由于 | T | 1.4 t0.975 (35) 2.0301, 因此接受H 0 , T 即可认为考试的平均成绩为70分.
k 1 n
0.76n np P np(1 p )
X k np
n
0.84n np k 1 np(1 p ) np(1 p )
n
0.76 p P n p(1 p )
X k np
15t (35) 15t (35) = 66.5 0.975 ， 66.5 0.975 36 36 15 2.0301 15 2.0301 66.5 ， 66.5 6 6 [61.42475, 71.57525].
b). 由题意，这是一个单个正态总体均值的假设检验问题， 其中方差未知. 提出原假设与备选假设分别为： H 0 : 70; 取统计量： T H1 : 70. ( X ) n ~ t ( n 1), 利用 * Sn
2.设X1 , X 2 ,..., X n 独立同分布，X1 ~ B(1, p)，则P( X k / n) ( C )
A. p; B. D. 1 p;
k Cn (1 p)k p n k . k k C. Cn p (1 p)nk ;
3. 设连续随机变量X的密度函数满足 f ( x) f ( x)，x 是X的分位
3. 设X ~ N (0,1), Y ~ N (1,1)，且X 与Y 相互独立，则P( X Y 1)
2 4. 设X 1 , X 2 ,..., X 5独立同分布，X 1 ~ N (1,1)，则 1 (2 X X X ) 1 2 3 6 2 2. 1 2 ( X 4 X 5 ) 的数学期望是
5.设X1 ,X 2 , ,X n是来自总体X的样本，则下述说法中正确的是 ( D )
A. X ~ N ( , );
2
B. D.
1
2
1
( X
i 1 n i 1
n
i
X ) 2 ~ 2 ( n); ) 2 ~ 2 ( n).
C.
n( X ) ~ t (n ); * Sn
b). 由贝叶斯公式，所求概率 4 P ( A3 B ) P ( A3 ) P ( B | A3 ) 1 3 P ( A3 | B ) P( B ) P( B ) 6 10 3 2 7 . 21 120
四．（本大题10分）。设某次概率统计考试考生的成绩X ~ N ( , 2 )， 从中随机地抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为 x 66.5分，修正样
Var[ X i ]
i 1
n
0.16 . n
2
要使合格率在76%与84%之间，即 0.76 X 0.84 | X - E[ X ] || X - 0.8 | 0.04, 于是，取 0.04，有 0.16 100 P(| X - E[ X ] | 0.04) . 2 n0.04 n 由题意，要求P(0.76 X 0.84) 90%, 只要 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 P(| X - E[ X ] | 0.04) 1 n 1000. 100 0.9 n
, 6. B {取出全为白球}.
4 4 4 6 1 4 1 2 1 3 1 4 2 P( B ) P( Ai ) P( B | Ai ) . 6 10 6 10 6 10 6 10 21 i 1 2 3 4
2
( X
i
二．填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）
1. 如果事件A 、B独立且不相容，则Max{P( A), P( B)} 1.
2. 设二维离散型随机变量( X , Y )的分布列为
( X ,Y ) P
(1, 0) 0.4
(1,1) 0.2
(2, 0) a
(2,1) b
若 E[XY ] 0.8, 则a 0.1.
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 P X X 1 . n n
由于t
1
2
(n 1)=t0.975 (35) 2.0301, 于是置信区间为：
* * Sn t ( n 1) Sn t ( n 1) 1 1 2 2 X ， X n n
0.84 p k 1 n np(1 p ) p(1 p )
n X 0.8 n k 0.76 0.8 0.84 0.8 k 1 P n n 0.8n(1 0.8) 0.8(1 0.2) 0.8(1 0.8)
概率统计试题1参考答案
可能用到的表值： (1.285) 0.9, (1.645) 0.95, (1.96) 0.975, (2.33) 0.99 t0.975 (35) 2.0301, t0.975 (36) 2.0281, t0.95 (35) 1.6896, t0.95 (36) 1.6883
* 本标准差Sn 15分.
a） 在置信度为0.95时，求出学生成绩数学期望的置信区间。 b） 在显著性水平 0.05下，检验是否可以认为这次考试的平均成绩为 70分。
解： a ). 由于
( X ) n ~ t ( n 1), 可得 * Sn
( X ) n P t ( n 1) 1 * 1 Sn 2
x 6 1 1 15 P X Y dx ( x 2 xy )dy . 0 7 0 2 56
六．（本大题14分）.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%， 问这批产品至少要生产多少件？试用如下两种指定的方法求解： a )使用切比雪夫不等式。 b)使用中心极限定理。
数，若x 0,则P( X x ) ( C )
A. C. 2 ; 2 1; B. 1 2 ; D. 2 .
4. 设X , Y 是一维随机变量、方差存在，且相关系数 XY =0，则下述 说法正确的是 ( D )
A. X , Y 不存在任何函数关系； C. Var[ XY ] Var[ X ]Var[Y ]; B. X , Y 独立； D. Var[ X 2Y ] Var[ X ] 4Var[Y ].
概率统计基础知识试题和答案
第一章 概率统计基础知识第一节 概率基础知识一、单项选择题（每题的备选项中，只有1个最符合题意）ZL1A0001.已知5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)(=⋃B A P ，可算得=)(AB P （ ）。
A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5ZL1A0002.已知已知3.0)(=A P ，7.0)(=B P ，9.0)(=⋃B A P ，则事件A 与B （ ）。
A.互不兼容B.互为对立事件C.互为独立事件D.同时发生的概率大于0ZL1A0003.某种动物能活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，如今已活到到20岁的这种动物至少能再活5年的概率是（ ）。
A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6ZL1A0004.关于随机事件，下列说法正确的是（ ）。
A.随机事件的发生有偶然性与必然性之分，而没有大小之别B.随机事件发生的可能性虽有大小之别，但无法度量C.随机事件发生的可能性的大小与概率没有必然联系D.概率愈大，事件发生的可能性就愈大，相反也成立ZL1A0005.（ ）成为随机现象。
A.在一定条件下，总是出现相同结果的现象B.出现不同结果的现象C.在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象D.不总是出现相同结果的现象ZL1A0006.关于样本空间，下列说法不正确的是（ ）。
A.“抛一枚硬币”的样本空间=Ω{正面，反面}B.“抛一粒骰子的点数”的样本空间=Ω{0,1,2,3,4,5,6}C.“一顾客在超市中购买商品件数”的样本空间=Ω{0，1，…}D.“一台电视机从开始使用到发生第一次故障的时间”的样本空间=Ω{0:≥t t } ZL1A0007.某企业总经理办公室由10人组成，现在从中选出正、副主任各一人（不兼职），将所有可能的选举结果构成样本空间，则其中包含的样本点共有（ ）个。
A. 4B.8C. 16D.90ZL1A0008.8件产品中有3件不合格品，每次从中随机抽取一只（取出后不放回），直到把不合格品都取出，将可能抽取的次数构成样本空间，则其中包含的样本点共有（ ）个。
概率论与数理统计练习题(含答案)
第一章 随机事件及其概率练习： 1. 判断正误（1）必然事件在一次试验中一定发生，小概率事件在一次试验中一定不发生。
（B ）（2）事件的发生与否取决于它所包含的全部样本点是否同时出现。
（B ）（3）事件的对立与互不相容是等价的。
（B ） （4）若()0,P A = 则A =∅。
（B ）（5）()0.4,()0.5,()0.2P A P B P AB ===若则。
（B ） （6）A,B,C 三个事件至少发生两个可表示为AB BC AC ⋃⋃（A ） （7）考察有两个孩子的家庭孩子的性别，{()Ω=两个男孩（，两个女孩),(一个男孩，}一个女孩)，则P{}1=3两个女孩。
（B ）（8）若P(A)P(B)≤，则⊂A B 。
（B ） （9）n 个事件若满足,,()()()i j i j i j P A A P A P A ∀=，则n 个事件相互独立。
（B ）（10）只有当A B ⊂时，有P(B-A)=P(B)-P(A)。
（A ） 2. 选择题（1）设A, B 两事件满足P(AB)=0，则©A. A 与B 互斥B. AB 是不可能事件C. AB 未必是不可能事件D. P(A)=0 或 P(B)=0 （2）设A, B 为两事件，则P(A-B)等于(C)A. P(A)-P(B)B. P(A)-P(B)+P(AB)C. P(A)-P(AB)D. P(A)+P(B)-P(AB) （3）以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为(D)A. “甲种产品滞销，乙种产品畅销”B. “甲乙两种产品均畅销”C. “甲种产品滞销”D. “甲种产品滞销或乙种产品畅销”（4）若A, B 为两随机事件，且B A ⊂，则下列式子正确的是(A) A. P(A ∪B)=P(A) B. P(AB)=P(A) C. P(B|A)=P(B) D. P(B-A)=P(B)-P(A) （5）设(),(),()P A B a P A b P B c ⋃===，则()P AB 等于(B)A. ()a c c + B . 1a c +-C.a b c +- D. (1)b c -（6）假设事件A 和B 满足P(B|A)=1, 则(B)A. A 是必然事件 B . (|)0P B A = C. A B ⊃ D. A B ⊂ （7）设0<P(A)<1，0<P(B)<1, (|)(|)1P A B P A B += 则(D)A. 事件A, B 互不相容B. 事件A 和B 互相对立C. 事件A, B 互不独立 D . 事件A, B 互相独立8.,,.,,.D ,,.,,.,,1419.(),(),(),(),()37514131433.,.,.,.,37351535105A B A AB A B B AB A B C AB A B D AB A B P B A P B A P AB P A P B A B C φφφφ≠=≠====对于任意两个事件必有（C ）若则一定独立；若则一定独立；若则有可能独立；若则一定不独立；已知则的值分别为：(D)三解答题1.(),(),(),(),(),(),().P A p P B q P AB r P A B P AB P A B P AB ===设求下列事件的概率：解：由德摩根律有____()()1()1;P A B P AB P AB r ⋃==-=-()()()();P AB P B AB P B P AB q r =-=-=-()()()()(1)()1;P A B P A P B P AB p q q r r p ⋃=+-=-+--=+-________()()1[()()()]1().P AB P A B P A P B P AB p q r =⋃=-+-=-+-2.甲乙两人独立地对同一目标射击一次，命中率分别是0.6和0.5，现已知目标被命中，求它是甲射击命中的概率。
考研数学一(概率统计)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（概率统计）模拟试卷1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则( )．A．AB=B．C．P(A)P(B)=0D．P(A—B)=P(A)正确答案：D解析：选(D)，因为P(A—B)=P(A)一P(AB)．知识模块：概率统计部分2．在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的．在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)，≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于( )．A．{T(1)≥t0}B．{T(2)≥t0)C．(T(3)≥t0)D．{T(4)≥t0}正确答案：C解析：{T(1)≥t0)表示四个温控器温度都不低于临界温度t0，而E发生只要两个温控器温度不低于临界温度t0，所以E={T(3)≥t0}，选(C)．知识模块：概率统计部分3．设A，B为任意两个不相容的事件且P(A)>0，P(B)>0，则下列结论正确的是( )．A．B．C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(A-B)=P(A)正确答案：D解析：因为A，B不相容，所以P(AB)=0，又P(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A-B)=P(A)，选(D)．知识模块：概率统计部分4．设A，B为两个随机事件，其中00且P(B｜A)=，下列结论正确的是( )．A．P(A｜B)=B．P(A｜B)≠C．P(AB)=P(A)P(B)D．P(AB)≠P(A)P(B)正确答案：C解析：知识模块：概率统计部分5．设0，则下列结论正确的是( )．A．事件A，B互斥B．事件A，B独立C．事件A，B不独立D．事件A，B对立正确答案：B解析：知识模块：概率统计部分6．设X和Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为f1(x)，f2(x)，它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则( )．A．f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B．f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C．F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D．F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数正确答案：D解析：可积函数f(x)为随机变量的密度函数，则f(x)≥0且，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数F(x)为分布函数必须满足：(1)0≤F(x)≤1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(-∞)=0，F(+∞)=1，显然选择(D)．知识模块：概率统计部分7．设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)．如果随机变量X与一X分布函数相同，则( )．A．F(x)=F(一x)B．F(x)=一F(一x)C．f(x)=f(一x)D．f(x)=一f(一x)正确答案：C解析：知识模块：概率统计部分8．设随机变量X的密度函数为，则P{a 知识模块：概率统计部分9．设随机变量X～N(μ，σ2)，则P(｜X一μ｜＜2σ)( )．A．与μ及σ2都无关B．与μ有关，与σ2无关C．与μ无关，与σ2有关D．与μ及σ2都有关．正确答案：A解析：知识模块：概率统计部分10．设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令p=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，则( )．A．p＞qB．p＜qC．p=qD．p，q的大小由μ的取值确定正确答案：C解析：知识模块：概率统计部分11．设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意常数a，有( )．A．F(a+μ)+F(a一μ)=1B．F(μ+a)+F(μ一a)=1C．F(a)+F(一a)=1D．F(a一μ)+F(μ一a)=1正确答案：B解析：知识模块：概率统计部分12．设随机变量X～U[1，7]，则方程x2+2Xx+9=0有实根的概率为( )．A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：概率统计部分填空题13．设P(B)=0．5，P(A—B)=0．3，则P(A+B)=__________．正确答案：0.8解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(A+B)=P(A—B)+P(B)=0．8．知识模块：概率统计部分14．设P(A)=0．6，P(B)=0．5，P(A—B)=0．4，则P(B—A)=_________，P(A+B)=__________.正确答案：0.9解析：因为P(A—B)=P(A)一P(AB)，所以P(AB)=0．2，于是P(B—A)=P(B)一P(AB)=0．5—0．2=0．3，P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．6+0．5一0．2=0．9．知识模块：概率统计部分15．设事件A，B相互独立，P(A)=0．3，且，则P(B)=___________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分16．设A，B为两个随机事件，且P(A)=0．7，P(A—B)=0．3，则=_________．正确答案：0.6解析：由P(A—B)=P(A)一P(AB)=0．3及P(A)=0．7，得P(AB)=0．4，则=1一P(AB)=0．6．知识模块：概率统计部分17．设P(A)=0．4，且P(AB)=P(AB)，则P(B)=____________．正确答案：0.6解析：因为P(AB)=P(A+B)=1一P(A+B)，所以P(AB)=1一P(A+B)=1一P(A)一P(B)+P(AB)，从而P(B)=1一P(A)=0．6．知识模块：概率统计部分18．设A，B为两个随机事件，则=_________．正确答案：0解析：知识模块：概率统计部分19．设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为___________．正确答案：解析：A，B，C都不发生的概率为=1一P(A+B+C)，而ABCAB且P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)=，故A，B，C都不发生的概率为．知识模块：概率统计部分20．设事件A，B，C两两独立，满足ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，且P(A+B+c)=，则P(A)=__________．正确答案：解析：由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)且ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，得知识模块：概率统计部分21．有16件产品，12个一等品，4个二等品．从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为_________正确答案：解析：设A={抽取3个产品，其中至少有一个是一等品}，．知识模块：概率统计部分22．设口袋中有10只红球和15只白球，每次取一个球，取后不放回，则第二次取得红球的概率为__________．正确答案：解析：设A1={第一次取红球)，A2={第一次取白球)，B={第二次取红球)，知识模块：概率统计部分23．从n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含a11的概率为，则n=_________．正确答案：9解析：n阶行列式有n!项，不含a11的项有(n一1)(n一1)!个，则=，则n=9．知识模块：概率统计部分24．设一次试验中，出现事件A的概率为P，则n次试验中A至少发生一次的概率为___________，A至多发生一次的概率为___________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分25．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分26．正确答案：4解析：知识模块：概率统计部分27．设X～B(2，p)，Y～B(3，p)，且P(X≥1)=，则P(Y≥1)=_________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分28．设X～N(2，σ2)，且P(2≤X≤4)=0．4，则P(X＜0)=__________．正确答案：0.1解析：知识模块：概率统计部分29．设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且P(X=0)=，则P(X≥1)=_________正确答案：1-e-2解析：知识模块：概率统计部分30．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，则λ=__________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分31．正确答案：2解析：知识模块：概率统计部分32．一工人同时独立制造三个零件，第k个零件不合格的概率为，以随机变量X表示三个零件中不合格的零件个数，则P(X=2)=__________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分33．正确答案：解析：Y的可能取值为2，3，6，知识模块：概率统计部分34．设随机变量X～N(0，1)，且Y=9X2，则Y的密度函数为__________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分35．设随机变量X的概率密度函数为，则Y=2X的密度函数为fY(y)=_________正确答案：解析：知识模块：概率统计部分36．设离散型随机变量X的分布函数为则Y=X2+1的分布函数为_________．正确答案：解析：知识模块：概率统计部分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率统计测验题一答案
一、单项选择题（15分，每小题5分）
1、某人射击中靶的概率为 ，则在第二次中靶之前已经失败3次的概率为(A).
（A） ；（B） ；（C） ；（D）
2、设随机变量 只能取 这四个值，其相应的概率依次为 ，则常数 (B).
(A)1；(B)2；(C)3；(D)4.
3、设随机变量 ，且 ，则 =(A).
三、(10分)10把钥匙中有（取出的这两把钥匙能打开门）= （取出的这两把钥匙至少有一把能打
开门）=1- （取出的这两把钥匙都不能打开门）= .
四、(20分)假设同一年级有两个班，一班50名学生，其中20名女生；二班45名
学生，其中15名女生，从中任选一个班，然后从中任选一名学生.(1)试求选出的是
(2)由(1)得 所求概率为
.
六、(10分)设随机变量 ，求随机变量 的概率密度 .
解：因为 ，所以其概率密度为 .
记 的分布函数为 ，故当 时， =0；当 时，有
.
所以 的概率密度为
(A) ；(B) ；(C) ；(D) .
二、填空题（25分，每小题5分）
1、设 为随机事件， ， ，则 .
2、一袋中装有4只白球、2只红球，从袋中取球两次，每次取1只，取后不放回，则取到2只球都是白球的概率为 .
3、设事件 相互独立， ， ，则 .
4、已知随机变量 ，且 ，则
5、设 的概率密度 ＝ ，则 .
女生的概率；(2)已知选到的是女生,求此女生是一班的概率.
解：设 =“选出一班”， =“选出二班”， =“选出的是女生”，则有
.
(1)由全概率公式，所求概率为
.
(2)由贝叶斯公式，所求概率为 .
2024年概率论与数理统计试卷参考答案与评分标准
2023─2024学年第二学期《概率论与数理统计》课程考试试卷(A 卷)参考答案与评分标准一、填空题(每空3分，共30分)1．在显著性检验中，若要使犯两类错误的概率同时变小，则只有增加样本容量.2．设随机变量X 具有数学期望()E X μ=与方差2()D X σ=，则有切比雪夫不等式{}2P X μσ-≥≤14.3．设X 为连续型随机变量,a 为实常数，则概率{}P X a ==0.4．设X 的分布律为,{}1,2,k k P X x p k === ，2Y X =,若1nkk k xp ∞=∑绝对收敛(n为正整数),则()E Y =21kk k xp ∞=∑.5．某学生的书桌上放着7本书，其中有3本概率书,现随机取2本书,则取到的全是概率书的概率为17.6．设X 服从参数为λ的poisson 分布,则(2)E X =2λ.7．设(2,3)Y N ，则数学期望2()E Y =7.8．(,)X Y 为二维随机变量,概率密度为(,)f x y ,X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 的积分表达式为(())(())(,)d d x E x y E y f x y x y +∞+∞-∞-∞--⎰⎰.9．设X 为总体N （3，4）中抽取的样本14,,X X 的均值,则{}15P X ≤≤＝2(2)1Φ-.(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示)10.随机变量2(0,)X N σ ,n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本，221()(1)ni i Y k X χ==∑ ,则常数k =21n σ.A 卷第1页共4页二、概率论试题(45分)1、(8分)题略解：用A B C 、、，分别表示三人译出该份密码,所求概率为P A B C （）（2分）由概率公式P A B C P ABC P A P B P C （）=1-（）=1-（）（）（）（4分）1-1-1-p q r =1-（）（）（）（2分）2、(8分)设随机变量()1,()2,()3,()4,0.5XY E X D X E Y D Y ρ=====，求数学期望()E X Y +与方差(23)D X Y -.解：(1)()E X Y +=E X E Y （）+（）=1+3=4（3分）(2)(23)4()9()12ov(,)D X Y D X D Y C X Y -=+-（3分）8361244XY ρ=+--（2分）3、(8分)某种电器元件的寿命服从均值为100h 的指数分布,现随机地取16只，它们的寿命i T 相互独立，记161ii T T ==∑，用中心极限定理计算{1920}P T ≥的近似值(计算结果用标准正态分布的分布函数()x Φ表示).解：i i ET D T E T D T 2（）=100，（）=100，（）=1600，（）=160000（3分）{1920}0.8}1P T P ≥=≈-Φ（0.8）（5分）(4分)4、(10分)设随机变量X 具有概率密度11()0x x f x ⎧-≤≤=⎨⎩，，其它,21Y X =+.(1)求Y 的概率密度()Y f y ；(2)求概率312P Y ⎧⎫-<<⎨⎩⎭.解:(1)12Y Y y F y y F y ≤>时（）=0,时（）=1（1分）A 卷第2页共4页212,{}{1}()d Y y F y P Y y P X y f x x<≤≤=+≤=（）=（2分）02d 1x x y ==-（2分）概率密度函数2()=Y Y y f y F y ≤⎧'⎨⎩1,1<（）=0，其它（2分）(2)3102Y YP Y F F ⎧⎫-<<=-=⎨⎬⎩⎭311（）-（-1）=222.（3分）5、(11分)设随机变量(,)X Y 具有概率分布如下,且{}1103P X Y X +===.XY-101013p114q112(1)求常数,p q ；(2)求X 与Y 的协方差(,)Cov X Y ,并问X 与Y 是否独立?解:(1)1111134123p q p q ++++=+=，即（2分）由{}{}{}{}{}101011010033P X Y X P Y X pP X Y X P X P X p +====+========+，，（2分）可得16p q ==（1分）X 01Y -11P1212P7121614(2)EX 1（）=2,E Y 1（）=-3,E XY 1（）=-6（3分）,-Cov X Y E XY E X E Y （）=（）（）（）=0（2分）由..ij i j P P P ≠可知X 与Y 不独立（1分）三、数理统计试题(25分)1、(8分)题略.A 卷第3页共4页证明:222(1)(0,1),(1)X n S N n χσ-- ,22(1)X n S σ-相互独立（4分）2(1)Xt n - ,即(1)X t n - （4分）2、(10分)题略解：似然函数2221()(,)2n i i x L μμσσ=⎧⎫-=-⎨⎬⎩⎭∑2221()ln ln(2)ln() 222ni i x n n L μπσσ=-=---∑（4分）由2222411()ln ln 0,022n ni i i i x x L L nμμμσσσσ==--∂∂===-+=∂∂∑∑可得221111ˆˆ,()n n i i i i x x n n μσμ====-∑∑为2,μσ的最大似然估计(2分)由221ˆˆ(),()n nE E μμσσ-==可知11ˆni i x n μ==∑为μ的无偏估计量，2211ˆ()ni i x n σμ==-∑为2σ的有偏估计量(4分)3、(7分)题略解：01: 4.55: 4.55H H μμ=≠（2分）检验统计量x z =，拒绝域0.025 1.96z z ≥=（2分）而0.185 1.960.036z ==>（1分）因而拒绝域0H ，即不认为总体的均值仍为4.55（2分）A 卷第4页共4页。
概率论与数理统计(I)期末考试样卷1参考答案
教研室（系）主任签名： 分院（部）领导签名：第 页 （共 页）概率论与数理统计（I ）期末考试样卷1参考答案一、填空题( 每小题3分，共24分)1． 在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3个记录其纪念章的号码。
则最小号码为5的概率=235101/12C C =。
2． 设事件,A B 都不发生的概率为0.2，且()()0.6P A P B +=，则,A B 同时发生的概率为_____0.2_____. 3． 已知111(),(),()432P A P B A P A B ===，则()P A B = 1/3 。
4． 设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，则X 的分布律为5． 设连续型随机变量X 的分布函数为0,0,()s i n ,0,21,,2x F x A x x x ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 则A =____1______，||6P X π⎛⎫<= ⎪⎝⎭____1/2______方差为0.02的正态分布，设Ф(x)为标准正态分布函落在区间（9.95,10.05）内的概率为 0.9876 。
立同服从(0,1)N ，则21~ni i X X ==∑2()n χ.X 与Y 独立，则(2)Var X Y -=_____13_____ )列结论中肯定正确的是（ D ）.； （B ）,A B 相容；()B ； （D ）()()P A B P A -=.()0P B >，则下列选项必然成立的是( A ).)； （B ）()(|)P A P A B ≤； )； （D ）()(|)P A P A B ≥.Y X ,独立，记21Z X Y =-+，则~Z （ C ）.1)-； （C ）(2,8)N ； （D ）(2,9)N . EXEY ，则（ B ）.； （B ）DY DX Y X D +=+)(； （D ）X 与Y 不独立.应量为：甲厂家是乙厂家的2倍；乙、丙两厂相等。
概率统计参考答案（习题一）
概率统计参考答案（习题一）1、 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点：（1） 同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。
解：设三枚骰子点数之和为k ，k=3,,4,5,…,18;则样本空间为{k |k 3,4,...,18}Ω==,且事件A={k |k 11,12,...,18}=，事件B={k |k 3,4,...,14}=。
（2） 解：设从盒子中抽取的3只电子元件为(i,j,k)，(i,j,k)为数列1,2,3,4,5的任意三个元素构成的组合。
则Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。
2、 下列式子什么时候成立？解：AUB=A ：成立的条件是B ⊂A ；（2）AB=A ：成立的条件为A ⊂B 。
3、 设A 、B 、C 表示三事件，试将下列事件用A 、B 、C 表示出来。
解：（1） 仅A 发生：ABC ；（2） A 、B 、C 都发生：ABC ；（3） A 、B 、C 都不发生：ABC ；（4） A 、B 、C 不都发生：ABC ；（5） A 不发生，且B 与C 中至少发生一事件：(A B C)；（6） A 、B 、C 中至少有一事件发生：AUBUC ；（7） A 、B 、C 中恰好有一事件发生：ABC+ABC+ABC ；（8） A 、B 、C 中至少二事件发生： BC ABC ABC ABC A +++=（AB ）U （AC ）U （BC ）；（9） A 、B 、C 中最多一事件发生：BC ABC ABC ABC A +++=(AB)U(AC)U(BC)------------------。
4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问：（1）什么条件下，P(AB)取得最大值，最大值是多少？解：由P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）得到P（AB）=P（A）+P（B）-P（AUB）<=0.5+0.6-0.6=0.5，此时，P（AUB）=0.6。
概率统计试题及答案
概率统计试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪项不是概率论的基本概念？A. 随机事件B. 必然事件C. 随机变量D. 函数答案：D2. 随机变量X服从标准正态分布，其概率密度函数为：A. f(x) = 1/√(2π)e^(-x^2/2)B. f(x) = 1/π(1+x^2)C. f(x) = 1/2e^(-|x|)D. f(x) = 1/√(2π)e^(-x^2)答案：A3. 以下哪个选项是大数定律的描述？A. 随着试验次数的增加，事件发生的概率趋近于其频率B. 随机变量的期望值等于其方差C. 随机变量的方差等于其期望值的平方D. 随着样本容量的增加，样本均值的分布趋近于正态分布答案：A4. 两独立随机变量X和Y的协方差为0，以下哪个结论是正确的？A. X和Y一定相互独立B. X和Y一定相关C. X和Y一定正相关D. X和Y一定负相关答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 如果随机变量X的概率密度函数为f(x)，则其期望E(X)等于______。
答案：∫xf(x)dx2. 概率P(A)表示事件A发生的______。
答案：概率3. 假设检验中的零假设通常用符号______表示。
答案：H04. 随机变量X的方差Var(X)是衡量X的______的度量。
答案：离散程度三、计算题（每题10分，共30分）1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X的期望和方差。
答案：期望E(X) = λ，方差Var(X) = λ。
2. 已知随机变量X和Y相互独立，X服从参数为μ和σ^2的正态分布，Y服从参数为μ'和σ'^2的正态分布，求Z=X+Y的期望和方差。
答案：E(Z) = μ + μ'，Var(Z) = σ^2 + σ'^2。
3. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，不放回地随机抽取3个球，求至少抽到1个红球的概率。
答案：1 - (3/8)^3 = 0.9375。
初三概率统计试题及答案
初三概率统计试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 一个袋子里有5个红球和3个白球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A. 0.5B. 0.6C. 0.8D. 0.4答案：B2. 抛一枚均匀的硬币，连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 1答案：A3. 一个班级有50名学生，其中30名男生和20名女生，随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.3答案：D4. 一个袋子里有10个球，其中3个是红球，7个是蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A. 0.3B. 0.7C. 0.5D. 0.25答案：A5. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 0.8答案：A6. 一个袋子里有3个红球和2个白球，随机抽取两个球，两个都是红球的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.75D. 0.33答案：A7. 一个袋子里有4个红球和6个蓝球，随机抽取一个球，抽到蓝球的概率是多少？A. 0.6B. 0.4C. 0.5D. 0.3答案：A8. 一个袋子里有7个红球和3个白球，随机抽取一个球，抽到白球的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.33D. 0.25答案：C9. 一个袋子里有10个球，其中5个是红球，5个是蓝球，随机抽取两个球，两个都是红球的概率是多少？A. 0.25B. 0.5C. 0.1D. 0.05答案：C10. 一个袋子里有6个红球和4个蓝球，随机抽取一个球，抽到蓝球的概率是多少？A. 0.4B. 0.6C. 0.5D. 0.25答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个袋子里有8个红球和2个白球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是________。
答案：0.82. 抛一枚均匀的硬币，连续抛三次，至少有一次正面朝上的概率是________。