新人教A版高中数学第1章集合与函数概念1.2.2函数的表示法第1课时函数的表示法课件必修1
2019/7/17
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易错点 忽略函数的定义域致误 例 5 已知 f( x－1)＝2x＋ x，求 f(x). 错解 令 t＝ x－1，则 x＝(t＋1)2， 所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3， 所以f(x)＝2x2＋5x＋3. 正解 令 t＝ x－1，则 t≥－1，x＝(t＋1)2， 所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3， 所以f(x)＝2x2＋5x＋3(x≥－1).
反思与感悟
跟踪训练1 画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)； 解 y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1). (2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1). 解 y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉 －1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).
x 1234 f(x) 3 2 4 1
解析 由题设给出的表知f(3)＝4，则f(f(3))＝f(4)＝1.故填1.
1
4.已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，则f(x)的解析 式为__f_(x_)_＝__2_x_＋__7_. 解析 设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17， 所以a＝2，b＝7，所以f(x)＝2x＋7.
易错警示
跟踪训练 5 已知 f(1＋1x)＝x12－1，求 f(x). 解 令 t＝1＋1x(x≠0)，则 x＝t－1 1(t≠1)， 所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)， 所以f(x)＝x2－2x(x≠1).
解析答案
当堂检测
1
1.已知f(x＋2)＝6x＋5，则f(x)等于( C ) A.18x＋17 B.6x＋5 C.6x－7 D.6x－5 解析 设x＋2＝t，得x＝t－2， ∴f(t)＝6(t－2)＋5＝6t－7， ∴f(x)＝6x－7，故选C.
同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的， 为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。 • 作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。 • 二、听文科课要注重在理解中记忆 • 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然 后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间 的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。 • 三、听英语课要注重实践 • 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
1
5.已知f(x)为二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)的表达 式. 解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵f(0)＝c＝0， ∴f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋(2a＋b)x＋a＋b， f(x)＋x＋1＝ax2＋bx＋x＋1＝ax2＋(b＋1)x＋1. ∴又f(2axa＋＋＋b1b＝)＝＝1b，f＋(x)1＋，x＋∴1，ab＝＝1212， .
例3 (1)已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x－1，求f(x)；
解 ∵f(x)是一次函数，
∴设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.
又∵f[f(x)]＝4x－1，∴a2x＋ab＋b＝4x－1，
即aa2b＝＋4b，＝－1，
题型探究
重点突破
题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x∈Z)； 解 这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1) 所示.
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)). 解 因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3 之间的一部分，如图(2)所示.
c＝1，
故 f(x)＝x2＋1.
题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知 f1＋x x＝1＋x2x2＋1x，求 f(x)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x). 解 方法一 (换元法)令 x＋1＝t(t≥1)， 则x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1). 方法二 (配凑法)∵x＋2 x＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1. 又∵ x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).
第一章 1.2.2 函数的表示法
第1课时
函数的表示法
学习 目标
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.
栏目 索引
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自主学习 重点突破 自查自纠
知识梳理
知识点 函数的三种表示方法
表示法 解析法 图象法 列表法
数学表达式
x
123
f(x) 2 1 1
x
123
(1)f[g(1)]＝___1__；
g(x) 3 2 1
(2)若g[f(x)]＝2，则x＝__1___.
解析 (1)由表知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1；
(2)由表知g(2)＝2，又g[f(x)]＝2，得f(x)＝2，
再由表知x＝1.
题型三 待定系数法求函数解析式
列表法
的值相对应的函数值
的函数值
只能近似地
直观、形象地表示出函数的变化情况，
图象法
对应的函数
(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ 答 不一定. 并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有 函数，如 D(x)＝01， ，xx∈ ∈Q∁R，Q. 列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自 变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.
1
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时 间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是( ) C
解析 由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A； 又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C.
1
3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝___1__.
∴f(x)＝12x2＋12x.
课堂小 1.函数结三种表示法的优缺点
2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描 点；(5)连线. 3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法 等.
编后语
• 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。 • 一、听理科课重在理解基本概念和规律 • 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，
反思与感悟
跟踪训练3 已知二次函数f(x)满足f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，求该二次 函数的解析式.
解 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， 由 题 意 得
c＝1， a＋b＋c＝2，
4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，
反思与感悟
跟踪训练4 已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝_x_2_－__4_x_＋__3_. 解析 方法一 (换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1， 可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3. 方法二 (配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3 ＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3， 所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3， 即f(x)＝x2－4x＋3.
题型二 列表法表示函数 例2 已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________.
反思与感悟
跟踪训练2 已知函数f(习
定义 表示两个变量之间的对应 表示两个变量之间的对应关 来表示两个变量之间的对应
思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？ 答 三种表示方法的优、缺点比较：
优点 ①简明、全面地概括了变量间的关系； 解析法 ②可以通过解析式求出任意一个自变 量所对应的函数值
不够形
不通过计算就可以直接看出与自变量 一般只能表
a＝2， 解得b＝－13
∴f(x)＝2x－13或 f(x)＝－2x＋1.
或ab＝ ＝－ 1. 2，
(2)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x). 解 ∵f(x)是二次函数， ∴设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 由f(0)＝1，得c＝1， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x. 左边展开整理得2ax＋(a＋b)＝2x， 由恒等式原理知a2＋a＝b＝2，0， 解得ab＝ ＝1－，1. ∴f(x)＝x2－x＋1.
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念讲义教案 新人教A版
学习资料1。
2 函数及其表示1.2。
1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．（重点、难点) 2。
了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3.能够正确使用区间表示数集．(易混点)1．通过学习函数的概念,提升数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，提升数学运算素养．3．借助f（x)与f（a）的关系，培养逻辑推理素养。
1．函数的概念定义设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x），x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的值的集合｛f(x)｜x∈A｝（2）f（x）与f（a)有何区别与联系？提示：（1)这种看法不对．符号y＝f（x）是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y ＝f(x）仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时,除用符号f(x)外，还常用g(x)，F（x),G(x)等来表示函数．(2)f（x)与f(a）的区别与联系:f(a）表示当x＝a时，函数f（x)的值，是一个常量，而f（x)是自变量x的函数，一般情况下,它是一个变量，f（a）是f（x）的一个特殊值，如一次函数f （x）＝3x＋4,当x＝8时，f(8）＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念（1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x｜a≤x≤b｝闭区间[a，b]｛x｜a〈x<b｝开区间(a，b）｛x|a≤x<b｝半开半闭区间[a，b）{x｜a〈x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R｛x｜x≥a｝{x｜x＞a}{x｜x≤a｝｛x|x＜a｝符号(－∞，＋∞) ［a，＋∞）(a，＋∞)(－∞，a］（－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗?（2)“∞”是数吗?如何正确使用“∞”？提示：(1）不是任何数集都能用区间表示，如集合｛0｝就不能用区间表示．(2）“∞"读作“无穷大”，是一个符号,不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝错误!的定义域是（）A．［－1，＋∞)B．[－1,0）C．（－1,＋∞) D．（－1，0）C［由x＋1>0得x〉－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞）．］2．若f（x）＝11－x2,则f(3)＝________。
人教版高中A版数学新课标（理科目录）
人教A版高中数学目录必修1 第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示集合的含义与表示1.1.2集合间的基本关系集合间的基本关系1.1.3集合的基本运算集合的基本运算1.2函数及其表示1.2.1函数的概念函数的概念1.2.2函数的表示法函数的表示法1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大(小)值1.3.2奇偶性奇偶性第二章基本初等函数2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算指数与指数幂的运算2.1.2指数函数及其性质指数函数及其性质2.2对数函数2.2.1对数与对数运算对数与对数运算2.2.2对数函数及其性质对数函数及其性质2.3幂函数第三章函数的应用3.1函数与方程3.1.1方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点 3.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型模型3.2.2函数模型的应用实例函数模型的应用实例 必修2第一章空间几何体1.1空间几何体的结构空间几何体的结构1.2空间几何体的三视图和直观图1.3空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质性质2.3直线、平面垂直的判定及其性质性质第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率3.2直线的方程直线的方程3.3直线的交点坐标与距离公式公式第四章圆与方程4.1圆的方程圆的方程4.2直线、圆的位置关系直线、圆的位置关系4.3空间直角坐标系空间直角坐标系必修3第一章算法初步1.1算法与程序框图1.1.1算法的概念算法的概念1.1.2程序框图和算法的逻辑结构辑结构1.2基本算法语句1.2.1输入、输出、赋值语句赋值语句1.2.2条件语句条件语句1.2.3循环语句循环语句1.3算法与案例第二章统计2.1随机抽样随机抽样2.2用样本估计总体用样本估计总体2.3变量间的相关关系变量间的相关关系2.1随机抽样2.1.1简单随机抽样简单随机抽样2.1.2系统抽样系统抽样2.1.3分层抽样分层抽样2.2用样本估计总体2.2.1用样本的频率分布估计总体2.2.2用样本的数字特征估计总体2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关两个变量的线性相关第三章概率3.1随机事件的概率随机事件的概率3.2古典概型古典概型3.3几何概型几何概型3.1随机事件的概率3.1.1随机事件的概率随机事件的概率3.1.2概率的意义概率的意义3.1.3概率的基本性质概率的基本性质3.2古典概型3.2.1古典概型古典概型3.2.2随机数的产生随机数的产生3.3几何概型3.3.1几何概型几何概型3.3.2均匀随机数的产生均匀随机数的产生必修4第一章三角函数1.1任意角和弧度制任意角和弧度制1.2任意的三角函数任意的三角函数1.3三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式1.4三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 1.5函数y=Asin（ωx+ψ）1.6三角函数模型的简单应用三角函数模型的简单应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.2平面向量的线性运算平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积平面向量的数量积2.5平面向量应用举例平面向量应用举例第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式弦和正切公式3.2简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换 必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理1.2应用举例应用举例第二章数列2.1数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法2.1等差数列等差数列2.3等差数列的前n项和项和2.4等比数列等比数列2.5等比数列的前n项和项和第三章不等式3.1不等关系与不等式不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性单的线性3.4基本不等式：基本不等式：选修二选修2-1选修2-2选修2-3选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系命题及其关系1.2充分条件与必要条件充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程曲线与方程2.2椭圆椭圆2.3双曲线双曲线2.4抛物线抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数变化率与导数1.2导数的计算导数的计算1.3导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1.4生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 1.5定积分的概念定积分的概念1.6微积分基本定理微积分基本定理1.7定积分的简单应用定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明2.3数学归纳法数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念 3.2复数代数形式的四则运算复数代数形式的四则运算 选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计. 1.2排列与组合排列与组合1.3二项式定理二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 2.2二项分布及其应用二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步及其初步。
高中数学第一章集合与函数概念121函数的概念课件新人教A版必修1
A．11
B．12
C．13
D．10
【答案】C
【解析】f[f(1)]＝f(3)＝9＋3＋1＝13.
4.下列各组函数中，表示同一个函数的是( )
A．y＝x－1 和 y＝xx2＋－11
B．y＝x0 和 y＝1
C．f(x)＝x2 和 g(x)＝(x＋1)2
D．f(x)＝
xx2和 g(x)＝
x x2
【答案】D
【答案】B 【解析】根据函数的存在性和唯一性(定义)可知，B不 正确.
2.函数 f(x)＝ xx－－21的定义域为(
)
A．[1,2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1，＋∞)
【答案】A 【解析】由题意可知，要使函数有意义，需满足xx－－21≠≥00，，
即 x≥1 且 x≠2.
3.已知f(x)＝x2＋x＋1，则f[f(1)]的值是( )
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.(1)y＝x＋x＋120； (2)y＝ 2x＋3－ 21－x＋1x. 【解析】(1)由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1. 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2 且 x≠－1}.
求函数的定义域
【例 2】求下列函数的定义域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝x＋1 1； (3)y＝ x－1＋ 1－x；(4)y＝xx2＋－11. 【解题探究】求函数的定义域，即是求使函数有意义的那 些自变量 x 的取值集合.
【解析】(1)函数 y＝2x＋3 的定义域为{x|x∈R}. (2)要使函数有意义，即分式有意义，则 x＋1≠0，x≠－1. 故函数的定义域为{x|x≠－1}. (3)要使函数有意义，则1x－－1x≥≥00，， 即xx≥≤11，， 所以 x＝1， 从而函数的定义域为{x|x＝1}. (4)因为当 x2－1≠0，即 x≠±1 时，xx2＋－11有意义，所以原函 数的定义域是{x|x≠±1}.
高中数学人教版A版必修一课时作业及解析：第一章1-2函数及其表示
高中数学人教版A版必修一第一章集合与函数概念§1.2函数及其表示1．2.1 函数的概念课时目标 1.理解函数的概念，明确函数的三要素.2.能正确使用区间表示数集，表示简单函数的定义域、值域.3.会求一些简单函数的定义域、值域．1．函数(1)设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的__________，使对于集合A中的____________，在集合B中都有________________和它对应，那么就称f：________为从集合A到集合B的一个函数，记作__________________．其中x 叫做________，x的取值范围A叫做函数的________，与x的值相对应的y值叫做________，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的________．(2)值域是集合B的________．2．区间(1)设a，b是两个实数，且a<b，规定：①满足不等式__________的实数x的集合叫做闭区间，表示为________；②满足不等式__________的实数x的集合叫做开区间，表示为________；③满足不等式________或________的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为______________．(2)实数集R可以用区间表示为__________，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“__________”，“－∞”读作“________”．我们把满足x≥a，x>a，x≤b，x<b的实数x的集合分别表示为________，________，________，______.一、选择题1．对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有()①y 是x 的函数②对于不同的x ，y 的值也不同③f (a )表示当x ＝a 时函数f (x )的值，是一个常量 ④f (x )一定可以用一个具体的式子表示出来 A ．1个B ．2个 C ．3个D ．4个2．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②3．下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A ．y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1B ．y ＝x 0和y ＝1C ．f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2D ．f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x(x )24．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为y ＝2x 2－1，值域为{1,7}的“孪生函数”共有( )A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个 5．函数y ＝1－x ＋x 的定义域为( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1} 6．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，－1]二、填空题7．已知两个函数f (x )和g (x )的定义域和值域都是{1,2,3}，其定义如下表：8．如果函数f (x )满足：对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )f (b )，且f (1)＝1，则f (2)f (1)＋f (3)f (2)＋f (4)f (3)＋f (5)f (4)＋…＋f (2011)f (2010)＝________. 9．已知函数f (x )＝2x －3，x ∈{x ∈N |1≤x ≤5}，则函数f (x )的值域为______________．10．若函数f (x )的定义域是[0,1]，则函数f (2x )＋f (x ＋23)的定义域为________． 三、解答题11．已知函数f (1－x1＋x )＝x ，求f (2)的值．能力提升12．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11∶00到12∶00他骑了多少千米？(5)他在9∶00～10∶00和10∶00～10∶30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？13．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域；(3)画出函数的图象．1．函数的判定判定一个对应关系是否为函数，关键是看对于数集A 中的任一个值，按照对应关系所对应数集B 中的值是否唯一确定，如果唯一确定，就是一个函数，否则就不是一个函数．2．由函数式求函数值，及由函数值求x ，只要认清楚对应关系，然后对号入座就可以解决问题．3．求函数定义域的原则：①当f (x )以表格形式给出时，其定义域指表格中的x 的集合；②当f (x )以图象形式给出时，由图象范围决定；③当f (x )以解析式给出时，其定义域由使解析式有意义的x 的集合构成；④在实际问题中，函数的定义域由实际问题的意义确定．§1.2 函数及其表示 1．2.1 函数的概念知识梳理1．(1)对应关系f 任意一个数x 唯一确定的数f (x ) A →B y ＝f (x )，x ∈A 自变量 定义域 函数值 值域 (2)子集2．(1)①a ≤x ≤b [a ，b ] ②a <x <b (a ，b ) ③a ≤x <b a <x ≤b [a ，b )，(a ，b ] (2)(－∞，＋∞) 正无穷大 负无穷大 [a ，＋∞) (a ，＋∞) (－∞，b ] (－∞，b ) 作业设计1．B [①、③正确；②不对，如f (x )＝x 2，当x ＝±1时y ＝1；④不对，f (x )不一定可以用一个具体的式子表示出来，如南极上空臭氧空洞的面积随时间的变化情况就不能用一个具体的式子来表示．]2．C [①的定义域不是集合M ；②能；③能；④与函数的定义矛盾．故选C.] 3．D [A 中的函数定义域不同；B 中y ＝x 0的x 不能取0；C 中两函数的对应关系不同，故选D.]4．B [由2x 2－1＝1,2x 2－1＝7得x 的值为1，－1,2，－2，定义域为两个元素的集合有4个，定义域为3个元素的集合有4个，定义域为4个元素的集合有1个，因此共有9个“孪生函数”．]5．D [由题意可知⎩⎨⎧1－x ≥0，x ≥0，解得0≤x ≤1.]6．B 7．3 2 1解析 g [f (1)]＝g (2)＝3，g [f (2)]＝g (3)＝2， g [f (3)]＝g (1)＝1. 8．2010解析 由f (a ＋b )＝f (a )f (b )，令b ＝1，∵f (1)＝1， ∴f (a ＋1)＝f (a )，即f (a ＋1)f (a )＝1，由a 是任意实数，所以当a 取1,2,3，…，2010时，得f (2)f (1)＝f (3)f (2)＝…＝f (2011)f (2010)＝1.故答案为2010. 9．{－1,1,3,5,7}解析 ∵x ＝1,2,3,4,5，∴f (x )＝2x －3＝－1,1,3,5,7. 10．[0，13]解析 由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤1，0≤x ＋23≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤12，－23≤x ≤13，即x ∈[0，13]．11．解 由1－x 1＋x＝2，解得x ＝－13，所以f (2)＝－13.12．解 (1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米． (2)10∶30开始第一次休息，休息了半小时． (3)第一次休息时，离家17千米． (4)11∶00至12∶00他骑了13千米．(5)9∶00～10∶00的平均速度是10千米/时；10∶00～10∶30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．13．解 (1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A＝[2＋(2＋2h)]h2＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0<h<1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示．1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．函数的三种表示法(1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系．一、选择题1．一个面积为100cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x (x >0)2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．33．如果f (1x )＝x1－x，则当x ≠0时，f (x )等于( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x－1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( )A ．2x ＋1B ．2x －1C ．2x －3D ．2x ＋75．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12)的值为( ) A ．1B ．15C ．4D ．306．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( )二、填空题7．一个弹簧不挂物体时长12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3kg 物体后弹簧总长是13.5cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________________________________________________．8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________．三、解答题10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小； (3)求函数f (x )的值域．能力提升12．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6·时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)可以表示为( )A ．y ＝[x10] B ．y ＝[x ＋310]C ．y ＝[x ＋410]D ．y ＝[x ＋510]13．设f (x )是R 上的函数，且满足f (0)＝1，并且对任意实数x ，y ，有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的解析式．1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等． 2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．1．2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法知识梳理(1)数学表达式 (2)图象 (3)表格 作业设计1．C [由x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100.∴y ＝50x (x >0)．]2．B [由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错．]3．B [令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，故选B.] 4．B [由已知得：g (x ＋2)＝2x ＋3，令t ＝x ＋2，则x ＝t －2，代入g (x ＋2)＝2x ＋3，则有g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1，故选B.]5．B [令1－2x ＝12，则x ＝14，∴f (12)＝1－(14)2(14)2＝15.] 6．B [当t <0时，S ＝12－t 22，所以图象是开口向下的抛物线，顶点坐标是(0，12)；当t >0时，S ＝12＋t 22，开口是向上的抛物线，顶点坐标是(0，12)．所以B 满足要求．]7．y ＝12x ＋12解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，k ＝12.所以所求的函数解析式为y ＝12x ＋12.8．f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)解析 ∵f (x )＝2f (1x )＋x ，①∴将x 换成1x ，得f (1x )＝2f (x )＋1x .②由①②消去f (1x )，得f (x )＝－23x －x3，即f (x )＝－x 2＋23x (x ≠0)．9．f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8 解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， 则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b .∴⎩⎨⎧a 2＝4ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝83或⎩⎨⎧a ＝－2b ＝－8.10．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由f (0)＝f (4)知⎩⎨⎧f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，f (0)＝f (4)，得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②设f (x )＝0的两实根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca . 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－b a)2－2·c a＝10.即b 2－2ac ＝10a 2.③由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f (x )＝x 2－4x ＋3.11．解 因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … －5 0 3 4 3 0 －5 …连线，描点，得函数图象如图：(1)根据图象，容易发现f (0)＝3，f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)<f (0)<f (1)．(2)根据图象，容易发现当x 1<x 2<1时，有f (x 1)<f (x 2)． (3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．12．B [方法一 特殊取值法，若x ＝56，y ＝5，排除C 、D ，若x ＝57，y ＝6，排除A ，所以选B.方法二 设x ＝10m ＋α(0≤α≤9)，0≤α≤6时， [x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＝[x 10]，当6<α≤9时，[x ＋310]＝[m ＋α＋310]＝m ＋1＝[x10]＋1， 所以选B.]13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1)，即f (0)＝f (x )－x (x ＋1)．又f (0)＝1， ∴f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1.第2课时分段函数及映射课时目标 1.了解分段函数的概念，会画分段函数的图象，并能解决相关问题.2.了解映射的概念．1．分段函数(1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的____________的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的______；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应_____________________________________．2．映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中____________确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的__________．一、选择题1．已知，则f(3)为()A．2B．3C．4D．52．下列集合A到集合B的对应中，构成映射的是()3．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间客房每天的定价与住房率有如下关系：A．100元B．90元C．80元D．60元4．已知函数，使函数值为5的x的值是()A．－2B．2或－5 2C．2或－2D．2或－2或－5 25．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16m元，则该职工这个月实际用水为() A．13立方米B．14立方米C．18立方米D．26立方米6．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列不能表示从P到Q的映射的是()A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13xC．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x二、填空题7．已知，则f(7)＝____________.8．设则f {f [f (－34)]}的值为________，f (x )的定义域是______________．9．已知函数f (x )的图象如下图所示，则f (x )的解析式是__________________．三、解答题 10．已知，(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．11．如图，动点P从边长为4的正方形ABCD的顶点B开始，顺次经C、D、A绕周界运动，用x表示点P的行程，y表示△APB的面积，求函数y＝f(x)的解析式．能力提升12．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B一定是() A．∅B．∅或{1}C．{1}D．∅13．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．1．全方位认识分段函数(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．2．对映射认识的拓展映射f：A→B，可理解为以下三点：(1)A中每个元素在B中必有唯一的元素与之对应；(2)对A中不同的元素，在B中可以有相同的元素与之对应；(3)A中元素与B中元素的对应关系，可以是：一对一、多对一，但不能一对多．3．函数与映射的关系映射f：A→B，其中A、B是两个“非空集合”；而函数y＝f(x)，x∈A为“非空的实数集”，其值域也是实数集，于是，函数是数集到数集的映射．由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．第2课时 分段函数及映射知识梳理1．(1)对应关系 (2)并集 (3)分别作出每一段的图象 2．都有唯一 一个映射 作业设计 1．A [∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2.] 2．D3．C [不同的房价对应着不同的住房率，也对应着不同的收入，因此求出4个不同房价对应的收入，然后找出最大值对应的房价即可．] 4．A [若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2， 若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故选A.]5．A [该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎨⎧mx ， 0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．]6．C [如果从P 到Q 能表示一个映射，根据映射的定义，对P 中的任一元素，按照对应关系f 在Q 中有唯一元素和它对应，选项C 中，当x ＝4时，y ＝23×4＝83∉Q ，故选C.] 7．6解析 ∵7<9，∴f (7)＝f [f (7＋4)]＝f [f (11)]＝f (11－3)＝f (8)． 又∵8<9，∴f (8)＝f [f (12)]＝f (9)＝9－3＝6. 即f (7)＝6.8.32 {x |x ≥－1且x ≠0}解析 ∵－1<－34<0，∴f (－34)＝2×(－34)＋2＝12.而0<12<2，∴f (12)＝－12×12＝－14.∵－1<－14<0，∴f (－14)＝2×(－14)＋2＝32.因此f {f [f (－34)]}＝32.函数f (x )的定义域为{x |－1≤x <0}∪{x |0<x <2}∪{x |x ≥2}＝{x |x ≥－1且x ≠0}．9．f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋1， －1≤x <0，－x ，0≤x ≤1解析 由图可知，图象是由两条线段组成，当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b ，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.当0<x <1时，设f (x )＝kx ，将(1，－1)代入，则k ＝－1. 10.解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R .由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0,1]，当x >1或x <－1时，f (x )＝1，所以f (x )的值域为[0,1]．11．解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎨⎧ 2x ， 0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.12．B [由题意可知，集合A 中可能含有的元素为：当x 2＝1时，x ＝1，－1；当x 2＝2时，x ＝2，－ 2. 所以集合A 可为含有一个、二个、三个、四个元素的集合．无论含有几个元素，A ∩B ＝∅或{1}．故选B.]13．解 根据题意可得d ＝k v 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中，解得k ＝12500.∴d ＝12500v 2S .当d ＝S 2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 2 (0≤v <252)12500v 2S (v ≥252).§1.2习题课课时目标 1.加深对函数概念的理解，加深对映射概念的了解.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.通过具体实例，理解简单的分段函数，并能简单应用．1．下列图形中，不可能作为函数y＝f(x)图象的是()2．已知函数f：A→B(A、B为非空数集)，定义域为M，值域为N，则A、B、M、N的关系是()A．M＝A，N＝B B．M⊆A，N＝BC．M＝A，N⊆B D．M⊆A，N⊆B3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点()A．必有一个B．一个或两个C．至多一个D．可能两个以上4．已知函数，若f(a)＝3，则a的值为()A.3B．－ 3C．±3D．以上均不对5．若f(x)的定义域为[－1,4]，则f(x2)的定义域为()A．[－1,2]B．[－2,2]C．[0,2]D．[－2,0]6．函数y＝xkx2＋kx＋1的定义域为R，则实数k的取值范围为() A．k<0或k>4B．0≤k<4C．0<k<4D．k≥4或k≤0一、选择题1．函数f (x )＝xx 2＋1，则f (1x )等于( )A ．f (x )B ．－f (x )C.1f (x )D.1f (－x )2．已知f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则f (x )的定义域为( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－1,2]D ．[－3，3]3．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是()4．与y ＝|x |为相等函数的是( )A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．D ．y ＝3x 35．函数y ＝2x ＋1x －3的值域为( )A ．(－∞，43)∪(43，＋∞)B ．(－∞，2)∪(2，＋∞)C ．RD ．(－∞，23)∪(43，＋∞)6．若集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝{y |y ＝x 2＋2}，则A ∩B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(0，＋∞)二、填空题7．设集合A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，点(x，y)在映射f：A→B的作用下对应的点是(x－y，x＋y)，则B中点(3,2)对应的A中点的坐标为____________．8．已知f(x＋1)＝x＋2x，则f(x)的解析式为___________________________________.9．已知函数，则f(f(－2))=______________________________.三、解答题10．若3f(x－1)＋2f(1－x)＝2x，求f(x)．11．已知，若f(1)＋f(a＋1)＝5，求a的值．能力提升12．已知函数f(x)的定义域为[0,1]，则函数f(x－a)＋f(x＋a)(0<a<12)的定义域为()A．∅B．[a,1－a] C．[－a,1＋a]D．[0,1]13．已知函数(1)求f(－3)，f[f(－3)]；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若f(a)＝12，求a的值．1．函数的定义域、对应关系以及值域是构成函数的三个要素．事实上，如果函数的定义域和对应关系确定了，那么函数的值域也就确定了．两个函数是否相同，只与函数的定义域和对应关系有关，而与函数用什么字母表示无关．求函数定义域时，要注意分式的字母不能为零；偶次根式内的被开方式子必须大于或等于零．2．函数图象是描述函数两个变量之间关系的一种重要方法，它能够直观形象地表示自变量、函数值的变化趋势．函数的图象可以是直线、光滑的曲线，也可以是一些孤立的点、线段或几段曲线等．3．函数的表示方法有列举法、解析法、图象法三种．根据解析式画函数的图象时，要注意定义域对函数图象的制约作用．函数的图象既是研究函数性质的工具，又是数形结合方法的基础．§1.2习题课双基演练1．C[C选项中，当x取小于0的一个值时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义．]2．C[值域N应为集合B的子集，即N⊆B，而不一定有N＝B.]3．C[当a属于f(x)的定义域内时，有一个交点，否则无交点．]4．A[当a≤－1时，有a＋2＝3，即a＝1，与a≤－1矛盾；当－1<a<2时，有a2＝3，∴a＝3，a＝－3(舍去)；当a≥2时，有2a＝3，∴a＝32与a≥2矛盾．综上可知a ＝ 3.]5．B [由－1≤x 2≤4，得x 2≤4，∴－2≤x ≤2，故选B.]6．B [由题意，知kx 2＋kx ＋1≠0对任意实数x 恒成立，当k ＝0时，1≠0恒成立，∴k ＝0符合题意．当k ≠0时，Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4，综上，知0≤k <4.]作业设计1．A [f (1x )＝1x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＝f (x )．] 2．C [∵x ∈[－3，3]，∴0≤x 2≤3，∴－1≤x 2－1≤2，∴f (x )的定义域为[－1,2]．]3．C [C 选项中，和a 相对应的有两个元素0和1，不符合映射的定义．故答案为C.]4．B [A 中的函数定义域与y ＝|x |不同；C 中的函数定义域不含有x ＝0，而y ＝|x |中含有x ＝0，D 中的函数与y ＝|x |的对应关系不同，B 正确．]5．B [用分离常数法．y ＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3. ∵7x －3≠0，∴y ≠2.] 6．C [化简集合A ，B ，则得A ＝[1，＋∞)，B ＝[2，＋∞)．∴A ∩B ＝[2，＋∞)．]7．(52，－12)解析 由题意⎩⎨⎧ x －y ＝3x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝52y ＝－12.8．f (x )＝x 2－1(x ≥1)解析 ∵f (x ＋1)＝x ＋2x＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1. 由于x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．9．4解析 ∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，又∵4≥0，∴f (4)＝4，∴f (f (－2))＝4.10．解 令t ＝x －1，则1－x ＝－t ，原式变为3f (t )＋2f (－t )＝2(t ＋1)，①以－t 代t ，原式变为3f (－t )＋2f (t )＝2(1－t )，②由①②消去f (－t )，得f (t )＝2t ＋25. 即f (x )＝2x ＋25.11．解 f (1)＝1×(1＋4)＝5，∵f (1)＋f (a ＋1)＝5，∴f (a ＋1)＝0.当a ＋1≥0，即a ≥－1时，有(a ＋1)(a ＋5)＝0，∴a ＝－1或a ＝－5(舍去)．当a ＋1<0，即a <－1时，有(a ＋1)(a －3)＝0，无解．综上可知a ＝－1.12．B [由已知，得⎩⎨⎧ 0≤x ＋a ≤1，0≤x －a ≤1⇒⎩⎨⎧－a ≤x ≤1－a ，a ≤x ≤1＋a . 又∵0<a <12，∴a ≤x ≤1－a ，故选B.]13．解 (1)∵x ≤－1时，f (x )＝x ＋5，∴f (－3)＝－3＋5＝2，∴f [f (－3)]＝f (2)＝2×2＝4.(2)函数图象如右图所示．(3)当a ≤－1时，f (a )＝a ＋5＝12，a ＝－92≤－1； 当－1<a <1时，f (a )＝a 2＝12，a ＝±22∈(－1,1)； 当a ≥1时，f (a )＝2a ＝12，a ＝14∉[1，＋∞)，舍去． 故a 的值为－92或±22.。
人教新课标数学必修1 第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法
y= 1 ×10×(14-x)sin60°= 5
3
x+35
3 ,10<x≤14.
2
2
综上所得,函数的解析式为
53 x, 2
y= 10 3,
0 x 4, 4 x 10,
53 2
x
35
3,
10 x 14.
(2)f(x)的图象如图所示:
由图象,可知 y 的取值范围是 0≤y≤10 3 , 即函数 f(x)的值域为[0,10 3 ].
x 4,
例
2.已知函数
y=
x
2
2x,
x 2,
x 0, 0 x 4, x 4.
(1)求 f{f［f(5)］}的值;
(2)画出函数的图象.
解：(1)∵5>4,∴f(5)=-5+2=-3.∵-3<0,∴f［f(5)］=f(-3)=-3+4=1. ∵0<1<4,∴f{f［f(5)］}=f(1)=12-2×1=-1,即 f{f［f(5)］}=-1.
(1)写出 y=f(x)的解析式,指出函数的定义域; (2)画出函数的图象并求出函数的值域.
解：(1)分类讨论: ①当 P 在 BC 上运动时,易知∠B=60°,则知
y= 1 ×10×(xsin60°)= 5 3 x,0≤x≤4.
2
2
②当 P 点在 CD 上运动时,
y= 1 ×10×2 3 =10 3 ,4<x≤10. 2
1, -1
问题2：这个函数的解析式有什么特点？ 函数h(x)是分段函数,在定义域的不同部分,其解析式不同.
1、分段函数的定义：指在定义域的不同部分,有不同对应法则的函数.
人教版高中数学必修1《函数的表示法》高一上册PPT课件(第1.2.2-1课时)
PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
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[合作探究· 攻重难]
函 数表 示 法的 选 择
例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图
象法、解析法表示出来． [解] ①列表法如下：
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[解] (1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜． 在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
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(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平， 学习情况比较稳定而且成绩优秀， 张城同学的数学成绩 不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平， 但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
优点
缺点
①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意
解析法
不够形象、直观
一个自变量所对应的函数值
列表法 不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值
一般只能表示部分自变量的函数值
直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的 只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误
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图象的画法及应用
例2作 出 下 列 函 数 的 图 象 并 求 出 其 值 域 ． 2
(1)y＝ － x， x∈ {0,1， － 2,3}； (2)y＝， x∈ [2， ＋ ∞ )； (3)y＝ x2＋ 2x， x∈ [－ 2,2)． x
[解] (1)列表
高中数学 第一章 集合与函数概念 函数的概念课件 新人教A必修1
❖ 本节重点：函数的概念、定义域、值域的求 法．
❖ 本节难点：(1)函数概念的理解．
❖ (2)实际应用问题中函数的定义域和复合函数 定义域．
❖ (一)对函数y＝f(x)涵义的理解，应明确以 下几点：
❖ ①“A，B是非空数集”，若求得自变量取 值范围为∅，则此函数不存在．
❖ ②定义域、对应法则和值域是函数的三要 素，实际上，值域是由定义域和对应法则 决定的，所以看两个函数是否相等，只要 看这两个函数的定义域与对应法则是否相 同．
❖ (1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租 出多少辆车？
❖ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁
[解析] (1)当每辆车的月租金为 3600 元时，未租出的 车辆数为：(3600－3000)÷50＝12，所以这时租出了 88 辆车．
(2)设每辆车的月租金为 x 元，则租赁公司的月收益为： f(x)＝(100－x－530000)(x－150)－x－530000×50，整理得：f(x) ＝－5x02 ＋162x－2100＝－510(x－4050)2＋307050.所以当 x＝ 4050 元时，f(x)最大，其最大值为 307050.即当每辆车的月租 金为 4050 元时，租赁公司的月收益最大，最大值为 307050 元．
❖ [分析] (1)据函数的定义：“对于集合A中的 任意一个元素，在集合B中有唯一确定的元素 与之对应”进行判断．
❖ (2)给定函数的解析式，也就给定了由定义域 到值域的对应法则，只要将自变量允许值代 入，就可以求得对应的函数值．
[解析] (1)①由 x2＋y2＝2 得 y＝± 2－x2，因此由它不能 确定 y 是 x 的函数，如当 x＝1 时，由它所确定的 y 的值有两 个±1.
②由 x－1＋ y－1＝1，得 y＝(1－ x－1)2＋1，所以当 x 在{x|x≥1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的 y 值与之 对应，故由它可以确定 y 是 x 的函数．
人教版A版必修一第一章 集合与函数概念1.2.2 第1课时
答 不能用解析法表示，用图象法表示为宜.
思考 3 答
你能在同一个坐标系内画出这四个函数的图象
(可以将离散的点用虚线连接)吗？
思考4 答
根据图象，你对王伟、张城、赵磊同学的数学学
习情况的分析是怎样的？
王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情 况比较稳定而且成绩优秀 . 张城同学的数学成绩不稳定， 总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大 . 赵磊 同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上 升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高.
(3)列表法的优点：不需计算便可以直接看出自变量对应
的函数值.
例1
某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本
需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y＝f(x).
解 这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}.
用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}.
用列表法可将函数y＝f(x)表示为
笔记本数x
钱数y
1
5
2
10
3
15
4
20
5
25
用图象法可将函数y＝f(x)表示为
反思与感悟
函数的三种表示方法都有各自的优点，
有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种
来表示.
|x | 跟踪训练1 函数y＝x＋ 的图象是图中的( x
)
解析 函数的定义域为{x|x≠0}，故排除A，B；
故2a＋b＝b＋1且a＋b＝1，
1 1 解得 a＝ ，b＝ ， 2 2
1 2 1 ∴f(x)＝ x ＋ x. 2 2
例3 已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式. 解 设x＋1＝t， 则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
度高中数学第一章集合与函数的概念1.2函数及其表示1.2.1第一课时函数的概念课件新人教A版必修1
想一想 1:表中比赛天数与金牌数这两个变量之间存在什么关系? (每一个比赛天数都唯一对应着一个确定的金牌数,即金牌数是比赛天数 的函数) 想一想 2:比赛天数是金牌数的函数吗? (不是,由函数定义知,我们要检验两个变量之间是否具有函数关系,只要 检验: ①定义域和对应关系是否给出; ②根据给出的对应关系,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一 确定的函数值y与之对应)
答案:集合A,B是非空数集,函数的值域是集合B的子集.
自我检测
1.(函数概念)下列对应: ①M=R,N=N*,对应关系f:“对集合M中的元素取绝对值与N中的元素对应”; ②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应关系f:x→y=x2,x∈M,y∈N; ③M={三角形},N={x|x>0},对应关系f:“对M中的三角形求面积与N中元素 对应.” 是集合M到集合N上的函数的有( (A)1个 (C)3个 (B)2个 (D)0个 A )
(A)① (C)③ (B)② (D)④
)
解:对应关系若能构成从M到N的函数,须满足:对M中的任意一个数,通过对 应关系在N中都有唯一的数与之对应, ①中,当x=4时,y=42=16∉N,故①不能构成函数; ②中,当x=-1时,y=-1+1=0∉N,故②不能构成函数; ③中,当x=-1时,y=-1-1=-2∉N,故③不能构成函数;
方法技巧 判定图象是否是函数的图象的方法: (1)任取一条垂直于x轴的直线l; (2)在定义域内移动直线l; (3)若l与图象有一个交点,则是函数,若有两个或两个以上的交点,则不是 函数.
即时训练2-1:(2017·上海高一月考)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2≤ x≤2},值域为N={y|0≤y≤2},则函数y=f(x)的图象可能是( )
高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法课件 新人教A版必
探究点一 函数的表示方法 某同学购买 x(x∈{1，2，3，4，5})张价格为 20 元的 科技馆门票，需要 y 元．试用函数的三种表示方法将 y 表示成 x 的函数．
[变条件]画出下列函数的图象： (1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或 x<－1)． 解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或 x<－1)是抛物线 y＝x2 －x 去掉－1≤x≤1 之间的部分后剩余曲线．如图(2)．
作函数图象的基本步骤 (1)列表：取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列 表表示； (2)描点：在平面直角坐标系中描出表中相应的点； (3)连线：用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图 象.
3.作出下列函数的图象： (1)y＝x＋2，|x|≤3； (2)y＝x2－2，x∈Z 且|x|≤2.
2．y 与 x 成反比，且当 x＝2 时，y＝1，则 y 关于 x 的函
数关系式为( C )
A．y＝1x
B．y＝－1x
C．y＝2x
D．y＝－2x
3．若 f(x＋2)＝2x＋3，则 f(3)的值是( C )
A．9
B．7
C．5
D．3
4．已知函数 f(x)由下表给出，则 f(3)等于___3_____． x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3
第一章 集合与函数概念
1 . 2 . 2 函数的表示法
第 1 课时 函数的表示法
1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．2．会 根据不同的需要选择恰当方法表示函数．