考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
考研数学三必背知识点：概率论与数理统计
概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、 随机事件及其概率运算律名称 表达式交换律A B B A +=+ BA AB =结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()(分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+条件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式∑==ni iiA B P A P B P 1)()()(贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞==1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努力概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-两件事件相互独立相应公式)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、随机变量及其分布1、分布函数性质)()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤<2、 散型随机变量分布名称 分布律0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k二项分布),(p n Bn k p p C k X P k n kk n ,,1,0,)1()( =-==-泊松分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ几何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k超几何分布),,(n M N H),min(,,1,,)(M n l l k C C C k X P nNkn MN k M +===--3..续型随机变量分布名称密度函数 分布函数均匀分布),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(指数分布)(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x e x x F xλ 正态分布),(2σμN+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ标准正态分布)1,0(N+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ⎰∞---=xt t ex F d21)(222)(σμσπ三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y C o v Y X C o v =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X a b C o v d bY c aX Cov =++8、常见数学分布的期望和方差分布 数学期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(λP λλ几何分布)(p G p1 21pp -超几何分布),,(n M N H N M n1)1(---N mN N M N M n均匀分布),(b a U 2b a + 12)(2a b - 正态分布),(2σμN μ2σ指数分布)(λEλ1 21λ五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X 1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E nX n11)(11(1)若n X X 1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X 1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n =η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X 的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距： 2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序统计量：设样本),(21n X X X 的观察值),(21n x x x ，将n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤ ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤ 为样本),(21n X X X 的次序统计量。
概率论与数理统计考研复习资料
概率论与数理统计复习第一章 概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集.必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算1.A ⊂B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生.2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生.3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生.4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生.5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生.6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德•摩根律B A B A = B A B A =三. 概率的定义与性质1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率.(1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ;(3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…),P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+…2.性质(1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 .(2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n ,P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ⊂B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) .(4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) .(5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n()()()()+∑+∑-∑=≤<<≤≤<≤=nk j i k j i nj i j i ni i n A A A P A A P A P A A A P 11121…+(-1)n-1P(A 1A 2…A n )四.等可能(古典)概型1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型.2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0).2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0).P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)=()()i ni i B A P B P∑=1当P(A)>0, P(B i )>0时,有贝叶斯公式P (B i |A)=()()()()()()∑==ni i i i i i B A P B P B A P B P A P AB P 1. 六.事件的独立性1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B 为相互独立的事件.(1)两个事件A,B 相互独立⇔ P(B)= P (B|A) .(2)若A 与B ,A 与B ,A 与B, ,A 与B 中有一对相互独立,则另外三对也相互独立.2.三个事件A,B,C 满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C 三事件两两相互独立. 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C 三事件相互独立.3.n 个事件A 1,A 2,…,A n ,如果对任意k (1<k ≤n),任意1≤i 1<i 2<…<i k ≤n.有()()()()kkii i i i i A P A P A P A A A P 2121=,则称这n 个事件A 1,A 2,…,A n相互独立.第二章 随机变量及其概率分布一.随机变量及其分布函数1.在随机试验E 的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量.2.随机变量X 的分布函数F(x)=P{X ≤x} , x 是任意实数. 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x)单调不减,即若x 1<x 2 ,则 F(x 1)≤F(x 2). (3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x). (4)P{x 1<X≤x 2}=F(x 2)-F(x 1). 二.离散型随机变量 (只能取有限个或可列无限多个值的随机变量)1.离散型随机变量的分布律 P{X= x k }= p k (k=1,2,…) 也可以列表表示. 其性质为: (1)非负性 0≤P k ≤1 ; (2)归一性 11=∑∞=k k p .2.离散型随机变量的分布函数 F(x)=∑≤xX kk P 为阶梯函数,它在x=x k (k=1,2,…)处具有跳跃点,其跳跃值为p k =P{X=x k } .3.三种重要的离散型随机变量的分布(1)X~(0-1)分布 P{X=1}= p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .(2)X~b(n,p)参数为n,p 的二项分布P{X=k}=()kn k p p k n --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1(k=0,1,2,…,n) (0<p<1) (3))X~π(λ)参数为λ的泊松分布 P{X=k}=λλ-e k k !(k=0,1,2,…) (λ>0) 三.连续型随机变量1.定义 如果随机变量X 的分布函数F(x)可以表示成某一非负函数f(x)的积分F(x)=()dt t f x⎰∞-,-∞< x <∞,则称X 为连续型随机变量,其中f (x)称为X 的概率密度(函数). 2.概率密度的性质(1)非负性 f(x)≥0 ; (2)归一性 ⎰∞∞-dx x f )(=1 ;(3) P{x 1<X ≤x 2}=⎰21)(xx dx x f ; (4)若f (x)在点x 处连续,则f (x)=F / (x) .注意：连续型随机变量X 取任一指定实数值a 的概率为零,即P{X= a}=0 .3.三种重要的连续型随机变量的分布 (1)X ～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布⎩⎨⎧=-0)(1a b x f其它b x a << . (2)X 服从参数为θ的指数分布.()⎩⎨⎧=-0/1θθx ex f 00≤>x x 若若 (θ>0). (3)X~N (μ,σ2)参数为μ,σ的正态分布222)(21)(σμσπ--=x ex f -∞<x<∞, σ>0. 特别, μ=0, σ2 =1时,称X 服从标准正态分布,记为X~N (0,1),其概率密度2221)(x e x -=πϕ , 标准正态分布函数⎰=Φ∞--xt dt e x 2221)(π, Φ(-x)=1-Φ(x) .若X ～N ((μ,σ2), 则Z=σμ-X ~N (0,1), P{x 1<X ≤x 2}=Φ(σμ-2x )-Φ(σμ-1x ).若P{Z>z α}= P{Z<-z α}= P{|Z|>z α/2}= α,则点z α,-z α, ±z α/ 2分别称为标准正态分布的上,下,双侧α分位点. 注意：Φ(zα)=1-α , z 1- α= -z α.四.随机变量X 的函数Y= g (X)的分布 1.若g(x k ) (k=1,2,…)的值全不相等,则由上表立得Y=g(X)的分布律.若g(x k ) (k=1,2,…)的值有相等的,则应将相等的值的概率相加,才能得到Y=g(X)的分布律. 2.连续型随机变量的函数若X 的概率密度为f X (x),则求其函数Y=g(X)的概率密度f Y (y)常用两种方法： (1)分布函数法 先求Y 的分布函数F Y (y)=P{Y ≤y}=P{g(X)≤y}=()()dx x f ky X k∑⎰∆其中Δk (y)是与g(X)≤y 对应的X 的可能值x 所在的区间(可能不只一个),然后对y 求导即得f Y (y)=F Y /(y) .(2)公式法 若g(x)处处可导,且恒有g /(x)>0 (或g / (x)<0 ),则Y=g (X)是连续型随机变量,其概率密度为()()()()⎩⎨⎧'=0y h y h f y f X Y其它βα<<y其中h(y)是g(x)的反函数 , α= min (g (-∞),g (∞)) β= max (g (-∞),g (∞)) .如果f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 α= min (g (a),g (b)) β= max (g (a),g (b)) .第三章 二维随机变量及其概率分布 一.二维随机变量与联合分布函数1.定义 若X 和Y 是定义在样本空间S 上的两个随机变量,则由它们所组成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量.对任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P{X ≤x,Y ≤y}称为(X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数. 2.分布函数的性质(1)F(x,y)分别关于x 和y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- ∞)=0, F(-∞,y)=0, F(-∞,-∞)=0, F(∞,∞)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) . (4)对于任意实数x 1<x 2 , y 1<y 2P{x 1<X ≤x 2 , y 1<Y ≤y 2}= F(x 2,y 2)- F(x 2,y 1)- F(x 1,y 2)+ F(x 1,y 1)二.二维离散型随机变量及其联合分布律1.定义 若随机变量(X,Y)只能取有限对或可列无限多对值(x i ,y j ) (i ,j =1,2,… )称(X,Y)为二维离散型随机变量.并称P{X= x i ,Y= y j }= p i j 为(X,Y)的联合分布律.也可列表表示.2.性质(1)非负性 0≤p i j ≤1 .(2)归一性∑∑=i jij p 1 .3. (X,Y)的(X 和Y 的联合)分布函数F(x,y)=∑∑≤≤x x yy ij i j p三.二维连续型随机变量及其联合概率密度1.定义 如果存在非负的函数f (x,y),使对任意的x 和y ,有F(x,y)=⎰⎰∞-∞-yxdudv v u f ),(则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称f(x,y)为(X,Y)的(X 和Y 的联合)概率密度. 2.性质 (1)非负性 f (x,y)≥0 . (2)归一性 1),(=⎰⎰∞∞-∞∞-d x d y y x f .(3)若f (x,y)在点(x,y)连续,则yx y x F y x f ∂∂∂=),(),(2(4)若G 为xoy 平面上一个区域,则⎰⎰=∈Gdxdy y x f G y x P ),(}),{(.四.边缘分布1. (X,Y)关于X 的边缘分布函数 F X (x) = P{X ≤x , Y<∞}= F (x , ∞) . (X,Y)关于Y 的边缘分布函数 F Y (y) = P{X<∞, Y ≤y}= F (∞,y)2.二维离散型随机变量(X,Y) 关于X 的边缘分布律 P{X= x i }=∑∞=1j ij p = p i·( i =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙i i p .关于Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= ∑∞=1i ij p = p·j( j =1,2,…) 归一性11=∑∞=∙j j p .3.二维连续型随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度f X (x)=⎰∞∞-dy y x f ),( 归一性1)(=⎰∞∞-dx x f X关于Y 的边缘概率密度f Y (y)=x d y x f ⎰∞∞-),( 归一性1)(=⎰∞∞-dyy f Y五.相互独立的随机变量1.定义 若对一切实数x,y ,均有F(x,y)= F X (x) F Y (y) ,则称X 和Y 相互独立.2.离散型随机变量X 和Y 相互独立⇔p i j= p i ··p ·j( i ,j =1,2,…)对一切x i ,y j成立.3.连续型随机变量X 和Y 相互独立⇔f (x,y)=f X(x)f Y(y)对(X,Y)所有可能取值(x,y)都成立.六．条件分布1．二维离散型随机变量的条件分布定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的j,若P{Y=y j }>0,则称 P{X=x i |Y=y j }为在Y= y j 条件下随机变量X 的条件分布律. 同样,对于固定的i,若P{X=x i }>0,则称,}{},{jj i j j i p p y Y P y Y x X P ∙=====P{Y=y j |X=x i }为在X=x i 条件下随机变量Y 的条件分布律.第四章 随机变量的数字特征一.数学期望和方差的定义随机变量X 离散型随机变量 连续型随机变量分布律P{X=x i }= p i ( i =1,2,…) 概率密度f (x)数学期望(均值)E(X)∑∞=1i i i p x (级数绝对收敛)⎰∞∞-dx x xf )((积分绝对收敛)方差D(X)=E{[X-E(X)]2}[]∑-∞=12)(i i i p X E x ⎰-∞∞-dx x f X E x )()]([2=E(X 2)-[E(X)]2 (级数绝对收敛) (积分绝对收敛) 函数数学期望E(Y)=E[g(X)] i i i p x g ∑∞=1)((级数绝对收敛) ⎰∞∞-dx x f x g )()((积分绝对收敛)标准差σ(X)=√D(X) .二.数学期望与方差的性质1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c 2D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X ±Y)=E(X)±E(Y) .3. X 与Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , D(X ±Y)=D(X)+D(Y) .4. D(X) = 0 ⇔P{X = C}=1 ,C 为常数.三.六种重要分布的数学期望和方差 E(X) D(X)1.X~ (0-1)分布P{X=1}= p (0<p<1) p p (1- p)2.X~ b (n,p) (0<p<1) n p n p (1- p)3.X~ π(λ) λ λ4.X~ U(a,b) (a+b)/2 (b-a) 2/12 5.X 服从参数为θ的指数分布 θ θ2 6.X~ N (μ,σ2) μ σ2 四.矩的概念随机变量X 的k 阶(原点)矩E(X k ) k=1,2,… 随机变量X 的k 阶中心矩E {[X-E(X)] k }随机变量X 和Y 的k+l 阶混合矩E(X k Y l ) l=1,2,…随机变量X 和Y 的k+l 阶混合中心矩E{[X-E(X)] k [Y-E(Y)] l}第六章 样本和抽样分布一.基本概念总体X 即随机变量X ; 样本X 1 ,X 2 ,…,X n 是与总体同分布且相互独立的随机变量;样本值x 1 ,x 2 ,…,x n 为实数;n 是样本容量.统计量是指样本的不含任何未知参数的连续函数.如：样本均值∑==n i i X n X 11 样本方差()∑--==n i i XX n S 12211 样本标准差S样本k 阶矩∑==n i k i k X n A 11( k=1,2,…) 样本k 阶中心矩∑-==n i ki k X X n B 1)(1( k=1,2,…),}{},{∙=====i j i i j i p p x X P y Y x X P二.抽样分布 即统计量的分布 1.X 的分布 不论总体X 服从什么分布, E (X ) = E(X) , D (X ) = D(X) / n .特别,若X~ N (μ,σ2 ) ,则X ~ N (μ, σ2/n) .2.χ2分布 (1)定义 若X ～N (0,1) ,则Y =∑=ni i X 12~ χ2(n)自由度为n 的χ2分布.(2)性质 ①若Y~ χ2(n),则E(Y) = n , D(Y) = 2n .②若Y 1~ χ2(n 1) Y 2~ χ2(n 2) ,则Y 1+Y 2~ χ2(n 1 + n 2).③若X~ N (μ,σ2 ), 则22)1(σS n -~ χ2(n-1),且X 与S 2相互独立.(3)分位点 若Y~ χ2(n),0< α <1 ,则满足αχχχχαααα=<>=<=>--))}(())({()}({)}({22/122/212n Y n Y P n Y P n Y P的点)()(),(),(22/122/212n n n n ααααχχχχ--和分别称为χ2分布的上、下、双侧α分位点. 3. t 分布(1)定义 若X~N (0,1),Y~ χ2(n),且X,Y 相互独立,则t=nY X~t(n)自由度为n 的t 分布. (2)性质①n →∞时,t 分布的极限为标准正态分布.②X ～N (μ,σ2 )时, nS X μ-~ t (n-1) .③两个正态总体相互独立的样本 样本均值 样本方差X~ N (μ1,σ12 ) 且σ12=σ22=σ2 X 1 ,X 2 ,…,X n1 X S 12Y~ N (μ2,σ22 ) Y 1 ,Y 2 ,…,Y n2Y S22则212111)()(n n S Y X w +---μμ~ t (n 1+n 2-2) , 其中 2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w(3)分位点 若t ~ t (n) ,0 < α<1 , 则满足αααα=>=-<=>)}({)}({)}({2/n t t P n t t P n t t P的点)(),(),(2/n t n t n t ααα±-分别称t 分布的上、下、双侧α分位点.注意: t 1- α (n) = - t α (n).4.F 分布 (1)定义 若U~χ2(n 1), V~ χ2(n 2), 且U,V 相互独立,则F =21n V n U ~F(n 1,n 2)自由度为(n 1,n 2)的F 分布.(2)性质(条件同3.(2)③)22212221σσS S ~F(n 1-1,n 2-1)(3)分位点 若F~ F(n 1,n 2) ,0< α <1,则满足)},({)},({21121n n F F P n n F F P αα-<=>ααα=<>=-))},(()),({(212/1212/n n F F n n F F P的点),(),(),,(),,(212/1212/21121n n F n n F n n F n n F αααα--和分别称为F 分布的上、下、双侧α分位点. 注意:.).(1),(12211n n F n n F αα=-第七章 参数估计一.点估计 总体X 的分布中有k 个待估参数θ1, θ2,…, θk .X 1 ,X 2 ,…,X n 是X 的一个样本, x 1 ,x 2 ,…,x n 是样本值.1.矩估计法先求总体矩⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k θθθμμθθθμμθθθμμ 解此方程组,得到⎪⎩⎪⎨⎧===),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k μμμθθμμμθθμμμθθ ,以样本矩A l 取代总体矩μ l ( l=1,2,…,k)得到矩估计量⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===∧∧∧),,,(),,,(),,,(2121222111k k k k k A A A A A A A A A θθθθθθ,若代入样本值则得到矩估计值. 2.最大似然估计法若总体分布形式(可以是分布律或概率密度)为p (x, θ1, θ2,…, θk ),称样本X 1 ,X 2 ,…,Xn的联合分布∏==ni k i k x p L 12121),,,,(),,,(θθθθθθ 为似然函数.取使似然函数达到最大值的∧∧∧kθθθ,,,21 ,称为参数θ1, θ2,…,θk 的最大似然估计值,代入样本得到最大似然估计量.若L(θ1, θ2,…, θk )关于θ1, θ2,…, θk 可微,则一般可由 似然方程组0=∂∂i L θ 或 对数似然方程组 0ln =∂∂iLθ (i =1,2,…,k) 求出最大似然估计. 3.估计量的标准(1) 无偏性 若E(∧θ)=θ,则估计量∧θ称为参数θ的无偏估计量.不论总体X 服从什么分布, E (X )= E(X) , E(S 2)=D(X), E(A k )=μk =E(X k ),即样本均值X , 样本方差S 2,样本k 阶矩A k 分别是总体均值E(X),方差D(X),总体k 阶矩μk 的无偏估计,(2)有效性 若E(∧θ1 )=E(∧θ2)= θ, 而D(∧θ1)< D(∧θ2), 则称估计量∧θ1比∧θ2有效. (3)一致性(相合性) 若n →∞时,θθP →∧,则称估计量∧θ是参数θ的相合估计量.文 - 汉语汉字 编辑词条文，wen ，从玄从爻。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。
-频率和概率的关系，概率的基本性质。
-古典概型和几何概型的概念。
-条件概率和乘法定理。
-全概率公式和贝叶斯公式。
-随机变量和概率分布函数的概念。
-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。
2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。
-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。
-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。
3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。
-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。
4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。
-样本统计量和抽样分布的概念。
-点估计和区间估计的概念。
-假设检验的基本思想和步骤。
-正态总体的参数的假设检验和区间估计。
5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。
-矩估计的原理和方法。
-最小二乘估计的原理和方法。
-一般参数的假设检验和区间估计。
6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。
-回归分析的一般原理。
-简单线性回归的估计和检验。
7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。
-秩相关系数的计算和检验。
8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。
-正态总体参数的拟合优度检验。
-贝叶斯估计的基本思想和方法。
9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。
-时间序列预测的方法和模型。
-质量控制的基本概念和控制图的应用。
以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。
云南省考研数学复习资料概率论与数理统计重点考点详解
云南省考研数学复习资料概率论与数理统计重点考点详解概率论与数理统计作为数学的重要分支，被广泛应用于各个领域。
云南省考研数学科目中，概率论与数理统计也是重中之重的复习内容。
为了帮助考生更好地复习，本文将详细解析云南省考研数学复习资料中概率论与数理统计的重点考点。
一、随机事件与概率随机事件是指在相同实验中，可能出现也可能不出现的事件。
概率是研究随机事件发生的可能性大小的数值。
云南省考研数学中，随机事件与概率是概率论与数理统计的基础内容，考生需要深入了解和掌握。
1.1 随机事件的定义与性质随机事件的定义是指在相同的试验中，可能发生也可能不发生的事件。
随机事件有以下几个性质：- 必然事件：在任何一次实验中都会发生的事件，其概率为1。
- 不可能事件：在任何一次实验中都不会发生的事件，其概率为0。
- 互斥事件：不能同时发生的事件。
- 对立事件：至少有一个事件发生的事件。
1.2 概率的定义与性质概率的定义是指某一事件发生可能性大小的数值表示。
概率具有以下性质：- 非负性：概率是非负的。
- 规范性：必然事件的概率为1。
- 可列可加性：对于两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
二、离散型随机变量与分布离散型随机变量是指在一定范围内可能取到的值是有限或可数的，而分布则是研究离散型随机变量各个取值的概率分布情况。
云南省考研数学中，离散型随机变量与分布是概率论与数理统计中的重要内容之一。
2.1 离散型随机变量的概念与性质离散型随机变量是指在一定范围内可能取到的值是有限或可数的随机变量。
离散型随机变量具有以下性质：- 取值有限或可数- 概率函数为非负函数- 各个可能取值的概率之和为12.2 二项分布二项分布是指在进行一系列相同的独立实验中，某一事件发生的次数满足一定的概率分布。
二项分布的概率质量函数计算公式为P(X=k)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为事件发生的次数，p为事件发生的概率。
概率论与数理统计考点归纳
概率论与数理统计考点归纳1. 引言概率论与数理统计是数学中的两个重要分支，它们研究随机现象的规律和利用数据推断总体特征。
在实际应用中，概率论与数理统计广泛应用于自然科学、社会科学、工程技术等领域。
本文将从以下几个方面对概率论与数理统计的考点进行归纳和总结。
2. 概率论考点2.1 随机变量与概率分布•随机变量的定义、分类和常见概率分布：离散随机变量、连续随机变量、二项分布、泊松分布、正态分布等。
•期望、方差和协方差的定义和性质，以及它们与随机变量的关系。
•大数定律和中心极限定理的概念和应用。
2.2 一维随机变量的分布特征•分布函数、概率密度函数和概率质量函数的定义和性质。
•分位数和分位点的概念和计算方法。
•随机变量的矩、协方差和相关系数的定义和计算。
•常见分布的特征：均匀分布、指数分布、正态分布等。
2.3 多维随机变量的分布特征•多维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布的定义和性质。
•多维随机变量的矩、协方差矩阵和相关系数矩阵的定义和计算。
•多维正态分布的定义和性质，以及多维正态分布的应用。
2.4 随机变量的函数的分布特征•随机变量函数的分布：线性变换、和、积、商的分布。
•随机变量函数的期望、方差和协方差的计算方法。
3. 数理统计考点3.1 抽样与抽样分布•抽样的概念和方法：随机抽样、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样、整群抽样等。
•抽样分布的概念和性质：样本均值的抽样分布、样本比例的抽样分布、样本方差的抽样分布等。
•中心极限定理在抽样分布中的应用。
3.2 参数估计•点估计的概念和方法：矩估计、最大似然估计等。
•点估计的性质：无偏性、有效性、一致性等。
•置信区间的定义和计算方法。
3.3 假设检验•假设检验的基本步骤：建立原假设和备择假设、选择检验统计量、确定显著性水平、计算拒绝域、做出判断。
•假设检验的错误和功效：第一类错误、第二类错误和功效的概念和计算。
•常见假设检验方法：正态总体均值的假设检验、正态总体方差的假设检验、两样本均值的假设检验等。
概率论与数理统计知识点总结
概率论与数理统计知识点总结概率论和数理统计是现代科学领域中广泛应用的数学分支。
它们研究和揭示了随机现象背后的规律和规则，为科学研究和决策提供了重要的工具。
本文将对概率论和数理统计的一些基本知识点进行总结和概述。
一、概率论概率论是研究随机试验和随机现象的理论。
在概率论中，我们关注的是事件发生的可能性大小，用概率来描述事件的可能性大小。
1.1 事件与样本空间在概率论中，我们首先要确定一个随机试验的所有可能结果构成的集合，这个集合称为样本空间。
样本空间通常用S表示。
当我们关注一个或一组特定的结果时，我们将其称为事件。
1.2 概率概率是描述事件发生可能性的数值，它的取值范围在0到1之间。
当一个事件发生的可能性接近1时，我们说该事件具有很高的概率；反之，当事件发生的可能性接近0时，我们说该事件具有很低的概率。
1.3 基本概率公式在概率论中，我们可以采用不同的方法来计算事件的概率。
基本概率公式是最基本的计算概率的方法。
它表达了事件A在样本空间中所有可能结果的比率。
其计算公式为：P(A) = m/n其中，m表示事件A发生的次数，n表示样本空间中可能结果的总数。
1.4 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、数理统计数理统计是研究如何从样本中推断总体特征的一门学科。
在数理统计中，我们通过对样本数据的搜集和分析，得出总体的统计特征，并对总体做出推论。
2.1 总体和样本在数理统计中，我们关注的是统计总体，它是我们所要研究的对象的全体。
当我们从总体中抽取一部分个体进行研究时，这部分个体称为样本。
通过对样本的分析，我们可以推断出总体的一些特征。
2.2 抽样方法在数理统计中，我们需要选择合适的抽样方法来获得样本数据。
常用的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
考研数学《概率论与数理统计》知识点总结
第一章 概率论的基本概念定义： 随机试验E 的每个结果样本点组成样本空间S ，S 的子集为E 的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．A ⊂B ，A 发生必导致B 发生．2．A B 和事件，A ，B 至少一个发生，A B 发生． 3．A B 记AB 积事件，A ，B 同时发生，AB 发生． 4．A －B 差事件，A 发生，B 不发生，A －B 发生． 5．A B=?，A 与B 互不相容(互斥)，A 与B 不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．A B=S 且A B=?，A 与B 互为逆事件或对立事件，A 与B 中必有且仅有一个发生，记B=A S A -=．事件运算： 交换律、结合律、分配率略．德摩根律：B A B A =，B A B A =．概率： 概率就是n 趋向无穷时的频率，记P(A)． 概率性质: 1．P (?)=0．2．(有限可加性)P (A 1 A 2 … A n )=P (A 1)+P (A 2)+…+P (A n )，A i 互不相容．3．若A ⊂B ，则P (B －A)=P (B)－P (A)． 4．对任意事件A ，有)A (1)A (P P -=．5．P (A B)=P (A)+P (B)－P (AB)．古典概型： 即等可能概型，满足：1．S 包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同． 等概公式：中样本点总数中样本点数S A )A (==n k P ． 超几何分布：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n N k n D N k D p ，其中ra C r a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛． 条件概率： )A ()AB ()A B (P P P =． 乘法定理：)A ()A B ()AB C ()ABC ()A ()AB ()AB (P P P P P P P ==．全概率公式：)B ()B A ()B ()B A ()B ()B A ()A (2211n n P P P P P P P +++= ，其中i B 为S 的划分．贝叶斯公式： )A ()B ()B A ()A B (P P P P i i i =，∑==nj j j B P B A P A P 1)()()(或)()()()()()()(B P B A P B P B A P B P B A P A B P +=．独立性： 满足P (AB)=P (A)P (B)，则A ，B 相互独立，简称A ，B 独立． 定理一： A ，B 独立，则．P (B |A)=P (B)．定理二： A ，B 独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立． 第二章 随机变量及其分布(0—1)分布：k k p p k X P --==1)1(}{，k =0，1 （0<p <1）．伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A 及A ．二项式分布： 记X~b （n ，p ），kn kkn p p C k X P --==)1(}{． n 重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变．其中A 发生k 次，即二项式分布．泊松分布： 记X~π（λ），!}{k e k X P k λλ-==， ,2,1,0=k ．泊松定理： !)1(lim k e p p C k kn k knn λλ--∞→=-，其中λ=np ．当20≥n ，05.0≤p 应用泊松定理近似效果颇佳．随机变量分布函数： }{)(x X P x F ≤=，+∞<<∞-x ．)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<．连续型随机变量： ⎰∞-=xt t f x F d )()(，X 为连续型随机变量，)(x f 为X 的概率密度函数，简称概率密度．概率密度性质：1．0)(≥x f ；2．1d )(=⎰+∞∞-x x f ；3．⎰=-=≤<21d )()()(}{1221x x x x f x F x F x X x P ；4．)()(x f x F ='，f (x )在x 点连续；5．P {X=a }=0．均匀分布： 记X~U(a ，b )；⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它，，01)(bx a ab x f ；⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=b x b x a a b a x a x x F ，，，10)(． 性质：对a ≤c <c +l ≤b ，有 指数分布：⎪⎩⎪⎨⎧>=-其它，，001)(x e x f x θθ；⎩⎨⎧>-=-其它，，001)(x e x F x θ． 无记忆性： }{}{t X P s X t s X P >=>+>． 正态分布： 记),(~2σμN X ；]2)(ex p[21)(22σμσπ--=x x f ；t t x F xd ]2)(ex p[21)(22⎰∞---=σμσπ．性质： 1．f (x )关于x =μ对称，且P {μ-h <X ≤μ}=P {μ<X ≤μ+h }；2．有最大值f (μ)=(σπ2)-1．标准正态分布： ]2exp[21)(2x x -=πϕ；⎰∞--=Φxt t x d ]2ex p[21)(2π．即μ=0，σ=1时的正态分布X ~N(0，1)性质：)(1)(x x Φ-=-Φ．正态分布的线性转化： 对),(~2σμN X有)1,0(~N X Z σμ-=；且有)(}{}{)(σμσμσμ-Φ=-≤-=≤=x x X P x X P x F ．正态分布概率转化：)()(}{1221σμσμ-Φ--Φ=≤<x x x X x P ；1)(2)()(}{-Φ=-Φ-Φ=+<<-t t t t X t P σμσμ．3σ法则： P =Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P =Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P =Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P 多落在(μ-3σ，μ+3σ)内． 上ɑ分位点： 对X~N(0，1)，若z α满足条件P {X>z α}=α，0<α<1，则称点z α为标准正态分布的上α分位点．常用 上ɑ分位点： 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10 3.0902.5762.3261.9601.6451.282Y 服从自由度为1的χ2分布：设X 密度函数f X (x )，+∞<<∞-x ，若Y=X 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≤>-+=000)]()([21)(y y y f y f y y f X XY ，，若设X ~N(0，1)，则有⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00021)(221y y e y y f y Y ，，π定理：设X 密度函数f X (x )，设g (x )处处可导且恒有g ′(x )>0(或g ′(x )<0)，则Y=g (X)是连续型随机变量，且有h (y )是g (x )的反函数；①若+∞<<∞-x ，则α=min{g (?∞)，g (+∞)}，β=max{g (?∞)，g (+∞)}；②若f X (x )在[a ，b ]外等于零，g (x )在[a ，b ]上单调，则α=min{g (a )，g (b )}，β=max{g (a )，g (b )}．应用： Y=aX +b ~N(a μ+b ，(|a |σ)2)．第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤≤= ，记作：},{y Y x X P ≤≤．),(),(),(),(},{112112222121y x F y x F y x F y x F y Y y x X x P +--=≤<≤<．F （x ，y ）性质： 1．F （x ，y ）是x 和y 的不减函数，即x 2>x 1时，F （x 2，y ）≥F （x 1，y ）；y 2>y 1时，F （x ，y 2）≥F （x ，y 1）． 2．0≤F （x ，y ）≤1且F （?∞，y ）=0，F （x ，?∞）=0，F （?∞，?∞）=0，F （+∞，+∞）=1． 3．F （x +0，y ）=F （x ，y ），F （x ，y +0）=F （x ，y ），即F （x ，y ）关于x 右连续，关于y 也右连续． 4．对于任意的(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 2>x 1，y 2>y 1，有P {x 1<X ≤x 2，y 1<Y ≤y 2}≥0．离散型（X ，Y ）：0≥ij p ，111=∑∑∞=∞=ij j i p ，ij yy x x p y x F i i ∑∑=≤≤),(．连续型（X ，Y ）：v u v u f y x F yxd d ),(),(⎰⎰∞-∞-=．f (x ，y )性质： 1．f (x ，y )≥0．2．1),(d d ),(=∞∞=⎰⎰∞∞-∞∞-F y x y x f ．3．y x y x f G Y X P G⎰⎰=∈d d ),(}),{(． 4．若f (x ，y )在点(x ，y )连续，则有),(),(2y x f yx y x F =∂∂∂．n 维： n 维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．边缘分布： F x (x )，F y (y )依次称为二维随机变量（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布函数，F X (x )=F (x ，∞)，F Y (y )=F (∞，y )． 离散型： *i p 和j p *分别为（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘分布律，记}{1i ij j i x X P p p ==∑=∞=*，}{1j ij i j y Y P p p ==∑=∞=*． 连续型：)(x f X ，)(y f Y 为（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘密度函数，记⎰∞∞-=y y x f x f X d ),()(，⎰∞∞-=x y x f y f Y d ),()(． 二维正态分布：]})())((2)([)1(21exp{121),(2222212121212221σμσσμμρσμρρσπσ-+-------=y y x x y x f ． 记(X ，Y )~N (μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)]2)(exp[21)(21211σμσπ--=x x f X ，∞<<∞-x ．]2)(exp[21)(22222σμσπ--=y y f Y ，∞<<∞-y ． 离散型条件分布律：jij j j i j i p p y Y P y Y x X P y Y x X P *=======}{},{}{．*=======i ij i j i i j p p x X P y Y x X P x X y Y P }{},{}{．连续型条件分布：条件概率密度：条件分布函数：含义：当0→ε时，)|(d )|(}|{||y x F x y x f y Y y x X P Y X xY X =≈+≤<≤⎰∞-ε．均匀分布： 若⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,0),(,1),(Gy x Ay x f ，则称(X ，Y)在G 上服从均匀分布． 独立定义：若P {X ≤x ，Y ≤y }=P {X ≤x }P {Y ≤y }，即F (x ，y )=F x (x )F y (y )，则称随机变量X 和Y 是相互独立的． 独立条件或可等价为：连续型：f (x ，y )=f x (x )f y (y )；离散型：P {X =x i ，Y =y j }=P {X =x i }P {Y =y j }．正态独立： 对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互对立的充要条件是：参数ρ=0．n 维延伸： 上述概念可推广至n 维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n -1元)的．定理：设（X 1，X 2，…，X m ）和（Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立，则X i 和Y j 相互独立．又若h ，g 是连续函数，则h （X 1，X 2，…，X m ）和g （Y 1，Y 2，…，Y n ）相互独立．Z=X+Y 分布： 若连续型(X ，Y )概率密度为f (x ，y )，则Z=X+Y 为连续型且其概率密度为 ⎰∞∞-+-=y y y z f z f Y X d ),()(或⎰∞∞-+-=x x z x f z f Y X d ),()(．f X 和f Y 的卷积公式： 记⎰∞∞-+-==y y f y z f z f f f Y X Y X Y X d )()()(*⎰∞∞--=x x z f x f Y X d )()(，其中除继上述条件，且X 和Y 相互独立，边缘密度分别为f X (x )和f Y (y )．正态卷积：若X 和Y 相互独立且X ~N (μ1，σ12)，记Y ~N (μ2，σ22)，则对Z=X+Y 有Z ~N (μ1+μ2，σ12+σ22)．1．上述结论可推广至n 个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布． 伽马分布：记),(~θαΓX ，0>α，0>θ．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，00)(1)(1x e x x f x θαααθ，其中⎰+∞--=Γ01d )(t e t tαα．若X 和Y 独立且X ~Γ(α，θ)，记Y ~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n 个独立Γ分布变量之和．XYZ =： ⎰∞∞-=x xz x f x z f X Y d ),()(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x xz f x f x z f Y X X Y d )()()(．XYZ =分布： ⎰∞∞-=xxzx f x z f XY d ),(1)(，若X 和Y 相互独立，则有⎰∞∞-=x x z f x f x z f Y X XY d )()(1)(． 大小分布：若X 和Y 相互独立，且有M =max{X ，Y }及N =min{X ，Y }，则M 的分布函数：F max (z )=F X (z )F Y (z )，N 的分布函数：F min (z )=1－[1－F X (z )][1－F Y (z )]，以上结果可推广到n 个独立随机变量的情况．第四章 随机变量的数字特征数学期望： 简称期望或均值，记为E (X )；离散型：k k k p x X E ∑=∞=1)(．连续型：⎰∞∞-=x x xf X E d )()(．定理： 设Y 是随机变量X 的函数：Y =g (X )(g 是连续函数)．1．若X 是离散型，且分布律为P {X =x k }=p k ，则：k k k p x g Y E )()(1∑=∞=．2．若X 是连续型，概率密度为f (x )，则：⎰∞∞-=x x f x g Y E d )()()(．定理推广： 设Z 是随机变量X ，Y 的函数：Z =g (X ，Y )(g 是连续函数)．1．离散型：分布律为P {X =x i ，Y =y j }=p ij ，则：ij j i i j p y x g Z E ),()(11∑∑=∞=∞=． 2．连续型：⎰⎰∞∞-∞∞-=y x y x f y x g Z E d d ),(),()(期望性质：设C 是常数，X 和Y 是随机变量，则：1．E (C )=C ．2．E (CX )=CE (X )．3．E (X +Y )=E (X )+E (Y )． 4．又若X 和Y 相互独立的，则E (XY )=E (X )E (Y )．方差： 记D (X )或Var(X )，D (X )=Var(X )=E {[X －E (X )]2}．标准差(均方差)： 记为σ(X )，σ(X )= ．通式：22)]([)()(X E X E X D -=． k k k p X E x X D 21)]([)(-∑=∞=，⎰∞∞--=x x f x E x X D d )()]([)(2．标准化变量：记σμ-=x X *，其中μ=)(X E ，2)(σ=X D ，*X 称为X 的标准化变量． 0)(*=X E ，1)(*=X D ．方差性质： 设C 是常数，X 和Y 是随机变量，则：1．D (C )=0． 2．D (CX )=C 2D (X )，D (X +C )=D (X )．3．D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2E {(X －E (X ))(Y －E (Y ))}，若X ，Y 相互独立D (X +Y )=D (X )+D (Y )． 4．D (X )=0的充要条件是P {X =E (X )}=1．正态线性变换： 若),(~2ii iN X σμ，i C 是不全为0的常数，则),(~22112211i i ni i i ni n n C C N X C X C X C σμ∑∑+++== ．切比雪夫不等式：22}{εσεμ≤≥-X P 或221}{εσεμ-≥<-X P ，其中)(X E =μ，)(2X D =σ，ε为任意正数．协方差：记)]}()][({[),Cov(Y E Y X E X E Y X --=．X 与Y 的相关系数：)()(),Cov(Y D X D Y X XY =ρ．D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov(X ，Y )，Cov(X ，Y )=E (XY )－E (X )E (Y )．性质： 1．Cov(aX ，bY )=ab Cov(X ，Y )，a ，b 是常数．2．Cov(X 1+X 2，Y )=Cov(X 1，Y )+Cov(X 2，Y )． 系数性质：令e =E [(Y －(a +bX ))2]，则e 取最小值时有)()1(]))([(2200min Y D X b a Y E e XY ρ-=+-=，其中)()(00X E b Y E a -=，)(),Cov(0X D Y X b =．1．|ρXY |≤1．2．|ρXY |=1的充要条件是：存在常数a ，b 使P {Y =a +bX }=1．|ρXY |越大e 越小X 和Y 线性关系越明显，当|ρXY |=1时，Y =a +bX ；反之亦然，当ρXY =0时，X 和Y 不相关． X 和Y 相互对立，则X 和Y 不相关；但X 和Y 不相关，X 和Y 不一定相互独立． 定义： k 阶矩(k 阶原点矩)：E (X k )． n 维随机变量X i 的协方差矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n c c c c c c c c c 212222111211C ， =E {[X i －E (X i )][X j －E (X j )]}． k +l 阶混合矩：E (X k Y l)．k 阶中心矩：E {[X －E (X )] k }．k +l 阶混合中心矩： E {[X －E (X )]k [Y －E (Y )]l }．n 维正态分布：)}()(21ex p{det )2(1),,,(1T 221μX C μX C ---=-n n x x x f π ，T21T 21),,,(),,,(n n x x x μμμ ==μX ．性质：1．n 维正态随机变量(X 1，X 2，…，X n )的每一个分量X i (i =1，2，…，n )都是正态随机变量，反之，亦成立． 2．n 维随机变量(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布的充要条件是X 1，X 2，…，X n 的任意线性组合l 1X 1+l 2X 2+…+l n X n 服从一维正态分布(其中l 1，l 2，…，l n 不全为零)．3．若(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布，且Y 1，Y 2，…，Y k 是X j (j =1，2，…，n )的线性函数，则(Y 1，Y 2，…，Y k )也服从多维正态分布．4．若(X 1，X 2，…，X n )服从n 维正态分布，则“X i 相互独立”与“X i 两两不相关”等价．第五章 大数定律及中心极限定理弱大数定理：若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(X k)=μ，则对任意ε>0有11lim1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμknknXnP或→μPX，knkXnX11=∑=．定义：Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有则称序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收敛于a．记伯努利大数定理：对任意ε>0有1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∞→εpnfP An或0lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∞→εpnfP An．其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．中心极限定理定理一：设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布，且E(X k)=μ，D(X k)=σ2 >0，则n→∞时有σμnnXknk)(1-∑=N(0，1)或nXσμ-~N(0，1)或X~N(μ，n2σ)．定理二：设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μ k，D(X k)=σ k2 >0，若存在δ>0使n→∞时，}|{|1212→-∑+=+δδμkknknXEB，则nknkknkBX)(11μ==∑-∑~N(0，1)，记212knknBσ=∑=．定理三：设),(~pnbnη，则n→∞时，Npnpnpn~)1()(--η(0，1)，knknX1=∑=η．第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．定义：样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．定义：样本p分位数：记x p，有1．样本x i中有np个值≤x p．2．样本中有n(1－p)个值≥x p．箱线图：x p选择：记⎪⎩⎪⎨⎧∈+∉=++NnpxxNnpxxnpnpnpp当，当，][211)()()1]([．分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数．分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数．分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数．图形：图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X<Q1－1.5IQR或X>Q3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值．抽样分布：样本平均值：样本方差：样本标准差：样本k阶(原点)矩：kinikXnA11=∑=，k≥1 样本k阶中心矩：kinikXXnB)(11-∑==，k≥2经验分布函数：)(1)(xSnxFn=，∞<<∞-x．)(xS表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数．自由度为n 的χ2分布：记χ2~χ2（n），222212nXXX+++=χ，其中X1,X2,…,X n是来自总体N(0，1)的样本．E(χ2 )=n，D(χ2 )=2n．χ12+χ22~χ2（n1+n2）．⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其他，，)2(21)(2122yexnyfynn．χ2分布的分位点：对于0<α<1，满足αχχαχα==>⎰∞yyfnPn)(222d)()}({，则称)(2nαχ为)(2nχ的上α分位点．当n充分大时(n>40)，22)12(21)(-+≈nznααχ，其中αz是标准正态分布的上α分位点．自由度为n 的t分布：记t~t(n)，nYXt/=，其中X~N(0，1)，Y~χ2(n)，X，Y相互独立．h(t)图形关于t=0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0，1)分布．t分布的分位点：对于0<α<1，满足ααα==>⎰∞t t hnttPnt)(d)()}({，则称)(ntα为)(nt的上α分位点．~ 近似的min Q1 M Q3 max由h (t )对称性可知t 1－α(n )=－t α(n )．当n >45时，t α(n )≈z α，z α是标准正态分布的上α分位点．自由度为(n 1，n 2)的F分布： 记F ~F (n 1，n 2)，21n V n U F=，其中U~χ2(n 1)，V~χ2(n 2)，X ，Y 相互独立．1/F ~F (n 2，n 1) F 分布的分位点：对于0<α<1，满足αψαα==>⎰∞y y n n F FP n n F ),(2121d )()},({，则称),(21n n F α为),(21n n F 的上α分位点．重要性质：F 1－α(n 1，n 2)=1/F α(n 1，n 2)．定理一： 设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，则有),(~2n N X σμ，其中X 是样本均值．定理二：设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为 X ，2S ，则有1．)1(~)1(222--n S n χσ；2．X 与2S 相互独立．定理三：设X 1,X 2,…,X n 是来自N (μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为X ，2S ，则有)1(~--n t nS X μ．定理四：设X 1,X 2,…,X n 1 与Y 1,Y 2,…,Y n 2分别是来自N (μ1，σ12)和N (μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为 X ，Y ，21S，22S，则有1．)1,1(~2122212221--n n F S S σσ．2．当σ12=σ22=σ2时，)2(~)()(21121121-++-----n n t n n S Y X w μμ，其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w，2w w S S =． 第七章 参数估计定义： 估计量：),,,(ˆ21n X X X θ，估计值：),,,(ˆ21nx x x θ，统称为估计． 矩估计法：令)(ll X E =μ=li n i l X n A 11=∑=(k l ,,2,1 =)(k 为未知数个数)联立方程组，求出估计θˆ． 设总体X 均值μ及方差σ2都存在，则有 X A ==1ˆμ，212212122)(11ˆX X n X X n A A i n i i n i -∑=-∑=-===σ． 最大似然估计法：似然函数：离散：);()(1θθi ni x p L =∏=或连续：);()(1θθi ni x f L =∏=，)(θL 化简可去掉与θ无关的因式项．θˆ即为)(θL 最大值，可由方程0)(d d=θθL 或0)(ln d d=θθL 求得． 当多个未知参数θ1，θ1，…，θk 时：可由方程组0d d =L i θ或0ln d d =L iθ（k i ,,2,1 =）求得． 最大似然估计的不变性：若u =u (θ)有单值反函数θ=θ(u )，则有)ˆ(ˆθu u=，其中θˆ为最大似然估计． 截尾样本取样： 定时截尾样本：抽样n 件产品，固定时间段t 0内记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m ≤t 0)和失效产品数量． 定数截尾样本：抽样n 件产品，固定失效产品数量数量m 记录产品个体失效时间(0≤t 1≤t 2≤…≤t m )．结尾样本最大似然估计： 定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e （θ），θ即产品平均寿命．产品t i 时失效概率P {t =t i }≈f (t i )d t i ，寿命超过t m 的概率θm t m et tF -=>}{，则)(}){()(1i mi mn m m nt P t t F CL =-∏>=θ，化简得)(1)(m t s m e L ---=θθθ，由0)(ln d d =θθL 得：mt s m )(ˆ=θ，其中s (t m )=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t m ，称为实验总时间． 定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s (t 0)=t 1+t 2+…+t m +(n －m )t 0，)(01)(t s m e L ---=θθθ，mt s )(ˆ0=θ，． 无偏性： 估计量),,,(ˆ21nX X X θ的)ˆ(θE 存在且θθ=)ˆ(E ，则称θˆ是θ的无偏估计量． 有效性：),,,(ˆ211n X X X θ与),,,(ˆ212n X X X θ都是θ的无偏估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D ≤，则1ˆθ较2ˆθ有效．相合性： 设),,,(ˆ21nX X X θθ的估计量，若对于任意0>ε有1}|ˆ{|lim =<-∞→εθθP n ，则称θˆ是θ的相合估计量． 置信区间：αθθθ-≥<<1)},,,(),,,({2121n n X X X X X X P ，θ和θ分别为置信下限和置信上限，则),(θθ是θ的一个置信水平为α-1置信区间，α-1称为置信水平，10<<α．正态样本置信区间： 设X 1，X 2，…，X n 是来自总体X ~N (μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：枢轴量W W 分布 a ，b 不等式 置信水平 置信区间其中z α/2为上α分位点 θ置信区间的求解： 1．先求枢轴量：即函数W =W (X 1，X 2，…，X n ；θ)，且函数W 的分布不依赖未知参数．如上讨论标注2．对于给定置信水平α-1，定出两常数a ，b 使P {a <W <b }=α-1，从而得到置信区间．(0－1)分布p 的区间估计：样本容量n >50时，⇒--∞→)1,0(~)1()(lim N p np np X n n {}⇒-≈<--αα1)1()(2z p np np X n P0)2()(222222<++-+X n p z X n p z n αα⇒若令22αz n a +=，)2(22αz X n b +-=，2X n c =，则有置信区间(a ac b b 2)4(2---，a ac b b 2)4(2-+-）．单侧置信区间： 若αθθ-≥>1}{P 或αθθ-≥<1}{P ，称(θ，∞)或(∞-，θ)是θ的置信水平为α-1的单侧置信区间．正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为α-1）待估 其他 枢轴量W 的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知ασμz nX +=，ασμz nX -=μ σ2未知αμt n S X +=，αμt nSX -= σ2μ未知2122)1(αχσ--=S n ，222)1(αχσS n -=两个正态总体 μ1－μ2 σ12，σ22 已知μ1－μ2 σ12=σ22=σ2 未知σ12/σ22μ1，μ2 未知ασσ-=1222122211F S S ，ασσF S S 122212221=单个总体X ~N (μ，σ2)，两个总体X ~N (μ1，σ12)，Y ~N (μ2，σ22)．第八章 假设实验定义： H 0：原假设或零假设，为理想结果假设；H 1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设． 第Ⅰ类错误：H 0实际为真时，却拒绝H 0．第Ⅱ类错误：H 0实际为假时，却接受H 0．显着性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．P {当H 0为真拒绝H 0}≤α，α称为显着水平．拒绝域：取值拒绝H 0．临界点：拒绝域边界．双边假设检验：H 0：θ=θ0，H 1：θ≠θ0．右边检验：H 0：θ≤θ0，H 1：θ>θ0．左边检验：H 0：θ≥θ0，H 1：θ<θ0．正态总体均值、方差的检验法(显着性水平为α)原假设H 0备择假设H 1检验统计量拒绝域 1 σ2已知μ≤μ0μ>μ0z ≥z α μ≥μ0 μ<μ0 z ≤－z α μ=μ0μ≠μ0|z |≥z α/22 σ2未知μ≤μ0μ>μ0t≥tα(n－1) μ≥μ0μ<μ0t≤－tα(n－1) μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n－1)3 σ1，σ2已知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δz≥zαμ1－μ2≥δμ1－μ2<δz≤－zαμ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|z|≥zα/24 σ12=σ22=σ2未知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δt≥tα(n1+n2－2)μ1－μ2≥δμ1－μ2<δt≤－tα(n1+n2－2)μ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2－2)5 μ未知σ2≤σ02σ2>σ02χ2≥χα2(n－1)σ2≥σ02σ2<σ02χ2≤χ21－α(n－1)σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n－1)或χ2≤χ21－α/2(n－1)6 μ1，μ2未知σ12≤σ22σ12>σ22F≥Fα(n1－1，n2－1)σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1－α(n1－1，n2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或F≤F1－α/2(n1－1，n2－1)7成对数据μD≤0 μD>0 t≥tα(n－1)μD≥0 μD<0 t≤－tα(n－1)μD=0 μD≠0 |t|≥tα－2(n－1)检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体．关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显着水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．。
考研数学三概率论与数理统计知识点
2017考研数学三之概率论与数理统计知识点
来源：文都图书
在数学三的三门科目中，概率论与数理统计不仅是考研数学中的难点，而且考生得分率普遍较低。
与微积分和线性代数不同的是，概率论与数理统计并不强调解题方法，也很少涉及解题技巧，而非常强调对基本概念、定理、公式的深入理解。
其主要知识点有以下几点：
1.随机事件和概率：包括样本空间与随机事件;概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式);条件概率与概率的乘法公式;事件之间的关系与运算(含事件的独立性);全概公式与贝叶斯公式;伯努利概型。
2.随机变量及其概率分布：包括随机变量的概念及分类;离散型随机变量概率分布及其性质;连续型随机变量概率密度及其性质;随机变量分布函数及其性质;常见分布;随机变量函数的分布。
3.二维随机变量及其概率分布：包括多维随机变量的概念及分类;二维离散型随机变量联合概率分布及其性质;二维连续型随机变量联合概率密度及其性质;二维随机变量联合分布函数及其性质;二维随机变量的边缘分布和条件分布;随机变量的独立性;两个随机变量的简单函数的分布。
4.随机变量的数字特征：随机变量的数字期望的概念与性质;随机变量的方差的概念与性质;常见分布的数字期望与方差;随机变量矩、协方差和相关系数。
了解了主要知识点后，我们再通过汤家凤老师的2017《考研数学接力题典1800》（数学三）来适量做题，巩固我们对知识点的认识和掌握。
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概率论与数理统计必考知识点一、随机事件和概率1、随机事件及其概率2、概率的定义及其计算二、随机变量及其分布1、分布函数性质bP=≤)FX(b)()P-aX≤b<=)F(()bF(a2、离散型随机变量3..连续型随机变量三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布 ∑∑======⋅jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(∑∑======⋅iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、离散型二维随机变量条件分布Λ2,1,)(),()(=========⋅i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j iΛ2,1,)(),()(=========⋅j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、连续型二维随机变量( X ,Y )的分布函数⎰⎰∞-∞-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰∞-+∞∞-=yY dudv v u f y F ),()( ⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(5、二维随机变量的条件分布 +∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)(),()(四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：∑+∞==1)(k k k p x X E 连续型随机变量：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(2、数学期望的性质(1)为常数C ,)(C C E = )()]([X E X E E = )()(X CE CX E =(2))()()(Y E X E Y X E ±=± b X aE b aX E ±=±)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E ΛΛ+=+ (3)若XY 相互独立则：)()()(Y E X E XY E = (4))()()]([222Y E X E XY E ≤ 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性质(1)0)(=C D 0)]([=X D D )()(2X D a b aX D =± 2)()(C X E X D -<(2)),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=± 若XY 相互独立则：)()()(Y D X D Y X D +=± 5、协方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互独立则：0),(=Y X Cov6、相关系数：)()(),(),(Y D X D Y X Cov Y X XY ==ρρ 若XY 相互独立则：0=XY ρ即XY 不相关7、协方差和相关系数的性质(1))(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2)),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++8五、大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2σμ==X D X E 对于任意0>ξ有2)(})({ξξX D X E X P ≤≥-或2)(1})({ξξX D X E X P -≥<-2、大数定律：若n X X Λ1相互独立且∞→n 时，∑∑==−→−ni iDni i X E n X n11)(11(1)若n X X Λ1相互独立，2)(,)(i i i i X D X E σμ==且M i ≤2σ则：∑∑==∞→−→−ni iPni i n X E nX n11)(),(11(2)若n X X Λ1相互独立同分布，且i i X E μ=)(则当∞→n 时：μ−→−∑=Pn i i X n 11 3、中心极限定理(1)独立同分布的中心极限定理：均值为μ，方差为02>σ的独立同分布时，当n 充分大时有：)1,0(~1N n n XY nk kn −→−-=∑=σμ(2)拉普拉斯定理：随机变量),(~)2,1(p n B n n Λ=η则对任意x 有： ⎰∞--+∞→Φ==≤--xt n x x dtex p np np P )(21})1({lim 22πη(3)近似计算：)()()()(11σμσμσμσμσμn n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-Φ--Φ≈-≤-≤-=≤≤∑∑==六、数理统计1、总体和样本总体X 的分布函数)(x F 样本),(21n X X X Λ的联合分布为)(),(121k nk n x F x x x F =∏=Λ2、统计量(1)样本平均值：∑==ni i X nX 11(2)样本方差：∑∑==--=--=ni i ni i X n X n X X n S 122122)(11)(11(3)样本标准差：∑=--=ni i X X n S 12)(11(4)样本k 阶原点距：Λ2,1,11==∑=kXn A ni ki k(5)样本k 阶中心距：∑==-==ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1Λ(6)次序统计量：设样本),(21n X X X Λ的观察值),(21n x x x Λ，将n x x x Λ21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x x ≤≤≤Λ，记取值为)(i x 的样本分量为)(i X ，则称)()2()1(n X X X ≤≤≤Λ为样本),(21n X X X Λ的次序统计量。
),min(21)1(n X X X X Λ=为最小次序统计量；),max(21)(n n X X X X Λ=为最大次序统计量。
3、三大抽样分布(1)2χ分布：设随机变量n X X X Λ21,相互独立，且都服从标准正态分布)1,0(N ，则随机变量222212n X X X Λ++=χ所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布，记为)(~22n χχ性质：①n n D n n E 2)]([,)]([22==χχ②设)(~),(~22n Y m X χχ且相互独立，则)(~2n m Y X ++χ (2)t 分布：设随机变量)(~),1,0(~2n Y N X χ，且X 与Y 独立，则随机变量：nY X T =所服从的分布称为自由度的n 的t 分布，记为)(~n t T性质：①)2(,2)]([,0)]([>-==n n nn t D n t E ②222)(21)1,0()(lim σμπ--∞→==x n e N n t(3)F 分布：设随机变量)(~),(~2212n V n U χχ，且U 与V 独立，则随机变量2121),(n V n U n n F =所服从的分布称为自由度),(21n n 的F 分布，记为),(~21n n F F 性质：设),(~n m F X ，则),(~1m n F X七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用),,(21n X X X Λ∧θ估计总体参数θ，称),,(21n X X X Λ∧θ为θ的估计量，相应的),,(21n X X X Λ∧θ为总体θ的估计值。
(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值 2、点估计中的矩估计法：（总体矩=样本矩）离散型样本均值：∑===ni i X n X E X 11)( 连续型样本均值：dx x xf X E X ⎰+∞∞-==),()(θ离散型参数：∑==ni iXnX E 1221)(3、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：n X X X Λ,,21取自X 的样本，设)]()()[,(~θθP X X P x f X i ==或则可得到概率密度：])()(),,([),(),,,(1121121∏∏∏=========ni in i in n ni in P x X P x X XX X P x f x x x f θθθΛΛ或基本步骤： ①似然函数：])([),()(11∏∏===ni ini iP x f L θθθ或②取对数：∑==ni iX f L 1),(ln ln θ③解方程：0ln ,,0ln 1=∂∂=∂∂kLL θθΛ最后得：),,(,),,,(212111n k k n x x x x x x ΛΛΛ∧∧∧∧==θθθθ（注：专业文档是经验性极强的领域，无法思考和涵盖全面，素材和资料部分来自网络，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。