九年级数学圆的内接四边形同步练习含答案
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年单选题版
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题~~第1题~~(2020北仑.九上期末) 下列四个结论，不正确的是（ ）①过三点可以作一个圆； ②圆内接四边形对角相等③平分弦的直径垂直于弦；④相等的圆周角所对的弧也相等A . ②③B . ①③④C . ①②④D . ①②③④考点： 垂径定理;圆心角、弧、弦的关系;圆内接四边形的性质;确定圆的条件;~~第2题~~(2020柳州.九上期末) 如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B=70°，则∠D 的度数是（ ）A . 110°B . 90°C . 70°D . 50°考点： 圆内接四边形的性质;~~第3题~~(2020无锡.九上期中) 如图所示，已知四边形ABDC 是圆内接四边形，∠1=112°，则∠CDE=（ ）A . 56°B . 68°C . 66°D . 58°考点： 圆内接四边形的性质;~~第4题~~(2019江干.九上期末) 如图，在⊙O 中，点A 、B 、C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝( )A . 70°B . 110°C . 120°D . 140°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第5题~~(2019三门.九上期末) 如图，A ，B 是⊙O 上的两点，C 是⊙O 上不与A ，B 重合的任意一点.如果∠AOB ＝130°，那么∠A CB 的度数为（ ）答案答案答案答案答案A . 65° B . 115° C . 130° D . 65°或115°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第6题~~(2019江北.九上期末) 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，若∠BAC ＝20°，则∠ADC 的度数是（ ）A . 90°B . 100°C . 110°D . 130°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第7题~~(2019余杭.九上期末) 如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ）A . 70°B . 80°C . 110°D . 140°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第8题~~(2019连云港.九上期末) 如图，点B ，C ，D 在⊙O 上，若∠BCD ＝130°，则∠BOD 的度数是（ ）A . 50°B . 60°C . 80°D . 100°考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;~~第9题~~(2019杭州.九上期末)已知ABCD 是一个以AD 为直径的圆内接四边形，分别延长AB 和DC ，它们相交于P ，若∠APD=60°，AB=5，PC=4，则⊙O 的面积为（ ）A . 25πB . 16πC . 15πD . 13π考点： 圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;~~第10题~~(2019浙江.九上期末) 如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC=50°，则∠DBC 的度数为（ ）答案A . 50° B . 60° C . 80° D . 90°考点： 垂径定理;圆内接四边形的性质;2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题答案1.答案：D2.答案：A3.答案：A4.答案：D5.答案：D6.答案：C7.答案：C8.答案：D9.答案：D10.答案：C。
圆内接四边形的性质定理及其推论习题课件 2023—2024学年鲁教版(五四制)数学九年级下册
AD∶BD＝1∶3, AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为
()
A． 5
B．2 2
C．3 D．2 3
【点拨】
∵四边形 BCED 是半圆 O 的内接四边形， ∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C. ∴△ADE∽△ACB.∴DBCE＝AADC. ∵AE＝DE＝2，∴∠A＝∠ADE. ∴∠A＝∠C.∴AB＝BC. 连接 BE，∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC.
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数． 解：∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形． 又∵EO⊥CD，∴CF＝DF. ∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC. ∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC. ∴△DCE是等边三角形．∴∠AEB＝60°. ∴△ABE是等边三角形．∴∠A＝60°.
又∵OA＝OC，AC＝4，∴OA＝2 2.
∴⊙O 的半径为 2 2. 【答案】 B
3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径， 连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是 () A．25° B．30° C．32° D．35°
【点拨】 连接BE.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°. ∴∠BED＝∠BAD＝60°. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°. ∴∠BDE＝90°－∠BED＝90°－60°＝30°.
【点拨】 由题意可知∠AEF＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC.∴AAEB＝EBFC＝35. ∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°.∴∠BEA＝90°. ∴cos∠BAC＝AAEB＝35.易得 sin∠BAC＝45.
∴在 Rt△ ABE 中，BE＝AB·sin∠BAC＝6×45＝254.
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版
九上数学每日一练：圆内接四边形的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_圆_圆内接四边形的性质练习题1.(2019拱墅.九上期末) 如图，在△ABC 中，AB =AC ， 以AB 为直径的⊙O 分别交BC ， AC 于点D ， E ， 连结EB ，交OD 于点F ．（1） 求证：OD ⊥BE ．（2） 若DE = ，AB =6，求AE的长．（3） 若△CDE 的面积是△OBF 面积的 ，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．考点： 垂径定理;圆周角定理;圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;2.(2019鄞州.九上期末) 如图1，△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，点D 是AC 上异于A ，C 的一个动点，射线AD 交底边BC 所在的直线于点E ，连结BD 交AC 于点F ．（1） 求证：∠ADB=∠CDE ：（2） 若BD=7，CD=3，①求AD·DE 的值；②如图2，若AC ⊥BD ，求tan ∠ACB（3） 若tan ∠CDE= ，记AD=x ，△ABC 的面积和△DBC 面积的差为y ，直接写出y 关于x 的函数解析式．考点： 圆内接四边形的性质;相似三角形的判定与性质;3.(2019宁波.九上期中) 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．（1） 如图1，若四边形ABCD 是圆美四边形，求美角∠A 的度数．（2） 在(1)的条件下，若⊙O 的半径为5．①求BD 的长．②如图2，在四边形ABCD 中，若CA 平分∠BCD ，则BC+CD 的最大值是．答案解析答案解析（3） 在(1)的条件下，如图3，若AC 是⊙O 的直径，请用等式表示线段AB ，BC ，CD之间的数量关系，并说明理由．考点：含30度角的直角三角形;圆内接四边形的性质;4.(2020昌平.九上期末) 如图，已知 ，.（1） 求证：是等边三角形；（2） 求 的度数．考点： 等边三角形的判定与性质;圆内接四边形的性质;5.(2020宁波.九上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，已知⊙M 的半径为5，圆心M 的坐标为(3，0)，⊙M 交x 轴于点D ，交y 轴于A ，B 两点，点C 是 上的一点(不与点A 、D 、B 重合)，连结AC 并延长，连结BC ，CD ，AD 。
圆内接四边形的性质判定定 理习题及答案
17.已知：如图所示，平分. (1)求AC和DB的长； (2)求四边形ACBD的面积.
18.在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，为垂足. 求证：E、B、C、F四点共圆.
19.如图，矩形ABCD中，AD=8,DC=6,在对角线AC上取一点O,以OC为半径 的圆切AD于点E,交BC于点F,交CD于点G. (1)求⊙O的半径； (2)设，请写出之间关系式，并证明.
12.如图，AB为半圆O的直径，C、D为半圆上的两点，，则 .
三、解答径，⊙O交AB、AC于D、
E，求证：.
14.求证：在圆内接四边形ABCD中，. 15.在等边三角形ABC外取一点P,若，求证：P、A、B、C四点共圆.
16.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，M为CD中点，N为AB中点，于点 E，连接ON、ME，并延长ME交AB于点F.求证：.
角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC 查四点共圆的判定方
上,且AE=AF. (1)证明:B,D,H,E四点共圆; (2)证明:CE平分∠DEF.
法及利用四点共圆的
性质证明角相等问题. 2.处理过程:第(1)小题
只要证明四边形BDHE
的内对角互补即可,但
该小题的的难点恰在
于如何证明内对角互
5.圆内接四边形ABCD中，BA与CD的延长线交于点P,AC与BD交于点E,则
图中相似三角形有
A.5对 B.4对 C.3对 D.2对
6.如图，已知圆内接四边形ABCD的边长为，则四边形ABCD面积为
A. B.8 C. D.
T6
T7
T12
7.如图，在以BC为直径的半圆上任取一点P,过弧BP的中点A作于D.连接
题
共圆问题,引导学生作
圆内接四边形的性质判定定理习题及答案
圆内接四边形的性质与判定定理习题及答案2.处理过程：让学生独立完成这两道自测题成两组,每一组推荐一名同学说出解题思路和答案.例1 (2011·课标全国卷)如图3,D,E分别为△ABC 的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于方程x2-14x+mn=0的两个根.(1)证明:C,B,D,E四点共圆;(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径. 1.选题立意:本题考查三角形相似、四点共圆的基本知识与方法,考查推理论证能力及运算求解能力.2.处理过程：第(1)小题是证明四点共圆问题，那么要证四点共圆,我们有那些方法呢?通过提问让学生在大脑中搜索相关知识,寻找最佳解题方案这样问题可以转化为证明Rt△ADE与似,从而利用本节的推论来证明四点共圆题是计算问题，关键是引导学生如何确定圆心的位置.根据圆的性质可知,圆心即为该圆弦的中垂线的交点，问题就转化为在矩形AFHG半径了.3.老师点评：证明四点共圆主要是利用圆内接四能力锤炼:能说的让学生说,学生能做的让学生做第(2)小题实际上是证明角相等问题,请一个学生用分析法来寻求证明思路.当学生“找路”有困难时，及时正确引导，同时注意引导方式3.老师点评：解答平面几何问题时不仅要用到几何定理，而且还要用到各种不同的推理形式，推理策略，有时还要使用“添加辅助线”之类的技巧性较高的方法.在几何学习中，除了运用逻辑推理外，还要应用观察、比较、类比、直觉、猜想、归纳、概括等合情推理.如图6,已知△ABC 中,AB=AC,D 是△ABC 外接圆劣弧AC ⌒上的点(不与A,C 重合),延长BD 到E. (1)求证:AD 的延长线平分∠CDE;(2)若∠BAC=30°,△ABC 中BC 边上的高为2+ 3 ,求△ABC 外接圆的面积.设计意图:检验所学习的知识，从而熟练掌握本节的重点，形成相应的数学能力.1. 如图7,在Rt △ABC 中,∠BCA=90°,以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点,D 为AC 的中点,连结BD 交⊙O 于F 点.求证:BC BE = CF EF. 2. 如图8,AB 为⊙O 的弦,CD 切⊙O 于P,AC ⊥CD 于C,BD ⊥DC 于D,PQ ⊥AB 于Q,求证:PQ 2=AC ·BD.3. 如图9,已知AP 是⊙O 的切线,P 为切点,AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于B,C 两点,圆心O 在∠PAC 的内部,点M 是BC 的中点.(1)证明:A,P,O,M 四点共圆; (2)求∠OAM+∠APM 的大小.4.E,EG 平分∠E,且与BC 、AD F5.如图11,已知PA 、PB 是圆O 的切线分别是切点,C 为圆O 上不与A 重合的另一点,若∠ 一、 选择题1. 下列关于圆内接四边形叙述正确的有2. 3. 4.C.12aD.13a5.圆内接四边形ABCD 中，BA 与CD 的延长线交于点P,AC 与BD 交于点E,则图中相似三角形有A.5对B.4对C.3对D.2对6.如图，已知圆内接四边形ABCD 的边长为2,6,4AB BC CD DA ====，则四边形ABCD 面积为A.163 B.8 C.323D.DT6 T7 T127.如图，在以BC 为直径的半圆上任取一点P ,过弧BP 的中点A 作AD BC ⊥于D.连接BP 交AD 于点E,交AC 于点F,则:BE EF =A.1:1B.1:2C.2:1D.以上结论都不对8.直线370x y +-=与20kx y --=与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k = B.3 C.-6 D.6二、填空题9.圆内接四边形ABCD 中，cos cos cos cos A B C D +++= . 10.三角形三边长为5,12,13,则它的外接圆圆心到顶点的距离为 . 11.圆内接四边形ABCD 中，::1:2:3A B C ∠∠∠=，则D ∠= .12.如图，AB 为半圆O 的直径，C 、D 为半圆上的两点，20BAC ∠=，则ADC ∠= .三、解答题13.如图，锐角三角形ABC 中，60A ∠=，BC 为圆O 的直径，⊙O 交AB 、AC 于D 、E ，求证：2BC DE =.DBOCEA14.求证：在圆内接四边形ABCD 中，AC BD AD BC AB CD ⋅=⋅+⋅.15.在等边三角形ABC 外取一点P ,若P A P B P C =+，求证：P 、A 、B 、C 四点共圆.16.如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，M 为CD 中点，N 为AB 中点，AC BD ⊥于点E ，连接ON 、ME ，并延长ME 交AB 于点F.求证：MF AB ⊥.ABC17.已知：如图所示，10,8,AB cm BC cm ==CD 平分ACB ∠. (1)(2)18.求证：19.E,交BC 于点F,(1)求⊙(2)设∠圆内接四边形的性质与判定定理(参考答案)一、 选择题1-5 BBCAB 6-8 DAB 二、填空题9. 0 10.13211.90 12.110三、解答题13.法一：302ABE ABE AB AE ∠=⇒∆=在Rt 中，12A D A E D E A D EA CB AC A B B C ∆∆⇒===∽ 法二：连接BE, 30ABE DE∠=⇒ 的度数为6060DOE ⇒∠=即ODE ∆为正∆ OD DE ⇒=14.在AC 上取点E,使1,23ADE ∠=∠∠=∠又A EB C A D E B D C A E B D A D B CA DB D⇒∆∆⇒=⇒⋅=⋅∽ ①1A D E A D B C D E A B D A C D A B D E C D∠=∠⇒∠=∠∠=∠∆∆又得∽AB BDBD EC AB CD EC CD⇒=⋅=⋅即 ② ①+②即可15.延长PC 至D,作CAD BAP ∠=∠，并取AD=AP ，则A D P A B P A B P A C D ∆≅∆⇒∠=∠⇒P 、A 、B 、C 四点共圆16.,DE EC DM MC EM DM ⊥=⇒=M D E D E M ⇒∠=∠ 90EAF AEF MDE AEF DEM MEC ⇒∠+∠=∠+∠∠=∠+∠=17.(1)6,52AC BD ==(2)49ACB ADB ABCD S S S ∆∆=+=四边形18.法一：连结EF,,9090180DE AB DF AC AED AFD ⊥⊥⇒∠+∠=+=⇒A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF BEF C ⇒∠=∠⇒∠+∠90180B E D D E F CD A F C =∠+∠+∠=+∠+∠=321BEADCPBAC法二： A 、E 、D 、F 四点共圆DEF DAF ⇒∠=∠9090A E F D E F D A F C⇒∠=-∠=-∠=∠19.(1)10156104OE AO R R AEO ADC R CD AC -∆∆⇒=⇒=⇒=∽ (2)90EFB EGC βα∠=∠⇒+=。
3.6 圆内接四边形 浙教版数学九年级上册同步练习(含解析)
3.6 圆内接四边形基础过关全练知识点 圆内接四边形及其性质1.(2020浙江湖州中考)如图,已知四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,则∠ADC的度数是( )A.70°B.110°C.130°D.140°2.【易错题】(2022浙江温州鹿城二模)如图,点B在AC上,∠AOC=100°,则∠ABC等于( )A.50°B.80°C.100°D.130°3.(2021辽宁盘锦中考)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴负半轴上,点B在y轴正半轴上,☉D经过A,B,O,C四点,∠ACO=120°,AB= 4,则圆心D的坐标是 .()4.【教材变式·P97课内练习T1】如图,AB是半圆O的直径,∠D=120°,则∠BAC= °.5.(2019浙江台州中考)如图,AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线,点D关于AC的对称点E在边BC上,连结AE.若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为 .6.【易错题】【新独家原创】如图,小明把一副三角尺放到圆中,斜边AC重合,点A、B、C、D均在圆上,其中∠ACB=30°,∠CAD=45°,点P 是圆上任意一点(不与A、B、C、D重合),则∠APB的度数为 .7.如图,已知AD是△ABC的外角平分线,与△ABC的外接圆交于点D.()(1)求证:DB=DC;(2)过D分别作DP⊥AC于点P,DQ⊥BE于点Q,求证:△CDP≌△BDQ.能力提升全练8.【一题多解】(2023浙江温州龙港期中,6,★☆☆)已知在圆的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,则∠D的度数为( )A.40°B.60°C.100°D.120°9.(2023浙江杭州萧山期中,7,★★☆)如图,点A、B、C、D、E都是☉O上的点,AC=AE,∠D=130°,则∠B的度数为( )A.130°B.128°C.115°D.116°10.【数学文化】(2020湖南株洲中考,18,★★☆)斛是中国古代的一种量器.据《汉书·律历志》记载:“斛底,方而圜(huán)其外,旁有庣(tiāo)焉.”意思是说:“斛的底面为正方形的四个顶点都在一个圆上,此圆外有一个同心圆.”如图所示,问题:现有一斛,其底面的外圆直径为五尺(即5尺),“庣旁”为五寸(即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.5尺),则此斛底面的正方形的边长为 尺.11.【等面积法】(2023浙江杭州西湖期中,19,★★☆)如图,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,∠ADB=∠CDB.(1)试判断△ABC的形状,并给出证明;(2)若AB=2,AD=1,求CD、BD的长度.素养探究全练12.【推理能力】如图1,在☉O中,弦AD平分圆周角∠BAC,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中“爪形A”.如图2,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC,(1)证明:圆中存在“爪形D”;(2)若∠ADC=120°,求证:AD+CD=BD.答案全解全析基础过关全练1.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=70°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°.2.D 如图,在优弧AC(不与点A、C重合)上取点D,连结AD、CD,由圆周角定理得∠ADC=1∠AOC=50°,2∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴∠ABC=180°-50°=130°,故选D.3.答案 (-3,1)解析 ∵四边形ABOC为圆内接四边形,∴∠ABO+∠ACO=180°,∵∠ACO=120°,∴∠ABO=180°-120°=60°.∵∠AOB=90°,∴AB为☉D的直径,∴D为AB的中点,在Rt△ABO中,∵∠ABO=60°,∴∠OAB=30°,AB=2,∴OA=23,∴OB=12∴A(-23,0),B(0,2),∴点D的坐标为(-3,1).4.答案 30解析 ∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠B+∠D=180°,∵∠D=120°,∴∠B=60°,∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC=30°.5.答案 52°解析 由已知得,∠D=180°-∠ABC=116°,∵点D关于AC的对称点E在边BC上,∴∠D=∠AEC=116°,∴∠BAE=∠AEC-∠ABC=116°-64°=52°.6.答案 30°或150°解析 当点P在优弧BCA上时,∠APB=∠ACB=30°;当点P在劣弧AB上时,四边形ACBP为圆内接四边形,∴∠APB+∠ACB=180°,∴∠APB=180°-30°=150°.∴∠APB的度数为30°或150°.7.证明 (1)∵AD是△ABC的外角平分线,∴∠EAD=∠DAC,∵四边形ABCD为圆内接四边形,∴∠BAD+∠DCB=180°,∵∠EAD+∠BAD=180°,∴∠EAD=∠DCB,∵∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC.(2)∵AD平分∠EAC,DP⊥AC,DQ⊥BE,∴DQ=DP,在Rt△CDP与Rt△BDQ中,DC=DB, PD=QD,∴Rt△CDP≌Rt△BDQ(HL).能力提升全练8.D 解法一:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,∴∠A∶∠B∶∠C∶∠D=2∶3∶7∶6,∴∠D=180°×63+6=120°,故选D.解法二:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°,∵∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶7,设∠A=2x,∠B=3x,∠C=7x,∴2x+7x=180°,解得x=20°.∴∠B=60°,∴∠D=180°-∠B=120°,故选D.9.C 如图,连结AC、CE,∵点A、C、D、E都是☉O上的点,∴∠CAE+∠D=180°,∵∠D=130°,∴∠CAE=180°-130°=50°,∵AC=AE,×(180°-50°)=65°,∴∠ACE=∠AEC=12∵点A、B、C、E都是☉O上的点,∴∠AEC+∠B=180°,∴∠B=180°-65°=115°,故选C.10.答案 22解析 如图,∵四边形CDEF为正方形,∴∠D=90°,CD=DE,∴CE为直径,∠ECD=45°,由题意得AB=5尺,∴CE=5-0.5×2=4尺,∵CD2+DE2=CE2,CD=DE,∴2CD2=16,∴CD=22尺.11.解析 (1)△ABC是等腰直角三角形.证明:∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°,∵∠ADB=∠CDB,∴AB =BC ,∴AB =BC ,又∵∠ABC =90°,∴△ABC 是等腰直角三角形.(2)在Rt △ABC 中,AB =BC =2,∴AC =2,在Rt △ADC 中,AD =1,AC =2,∴CD =AC 2―AD 2=3,过A 作AE ⊥BD 于E ,过C 作CF ⊥BD 于F,如图,则△ADE 和△CDF 均是等腰直角三角形,∴AE =22AD =22,CF =22CD =62,∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =S △ABD +S △BCD ,∴12×1×3+12×2×2=12×22BD +12×62BD ,∴BD =2+62.素养探究全练12.证明 (1)∵AB =BC ,∴AB =BC ,∴∠ADB =∠CDB ,∴DB 平分圆周角∠ADC ,∴圆中存在“爪形D”.(2)如图,延长DC至点E,使得CE=AD,连结BE,∵∠A+∠DCB=180°,∠ECB+∠DCB=180°,∴∠A=∠ECB,∵CE=AD,AB=BC,∴△BAD≌△BCE(SAS),∴∠E=∠ADB,BD=BE,由(1)知,DB平分圆周角∠ADC,∠ADC=120°,∠ADC=60°,∴∠ADB=12∴∠E=∠ADB=60°,∴△BDE是等边三角形,∴DE=BD,∴AD+CD=BD.。
3.6《圆内接四边形》课时练习(含答案) 2021--2022学年浙教版数学九年级上册
浙教版数学九年级上册3.6《圆内接四边形》课时练习一、选择题1.如图,四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为（）A.50°B.80°C.100°D.130°2.如图，⊙O中，ABDC是圆内接四边形，∠BOC=110°，则∠BDC的度数是（）A.110°B.70°C.55°D.125°3.如图，四边形ABCD内接于半圆O，已知∠ADC=140°，则∠AOC的大小是（）A.40°B.60°C.70°D.80°4.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB=110°，则∠α=( )A.70°B.110°C.120°D.140°5.圆内接四边形ABCD，∠A，∠B，∠C的度数之比为3∶4∶6，则∠D的度数为( )A.60°B.80°C.100°D.120°6.如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，则∠BOD的度数是( )A.50°B.60°C.80°D.100°7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且=，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC，若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（）A．45° B．50° C．55° D．60°8.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，点P在AC的延长线上，PD是⊙O的切线，延长BC交PD于点E．则下列说法不正确的是（）A.∠ADC=∠PDOB.∠DCE=∠DABC.∠1=∠BD.∠PCD=∠PDA二、填空题9.如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=115°，则∠BOD等于．10.如图,四边形ABCD内接于圆,AD=DC,点E在CD的延长线上.若∠ADE=80°，则∠ABD的度数是．11.如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,若四边形ABCO为平行四边形,则∠ADB= ．12.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB=36°，∠ABO=30°，则∠D= ．13.如图,四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=130°,连接OC,点P是半径OC上任意一点,连接DP,BP,则∠BPD可能为度（写出一个即可）．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=BD=2，AD=1，则AC= ．三、解答题15.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，E是AD延长线上一点，且AC=BC，求证：DC平分∠BDE。
非学科数学学培训 圆内第四大定理之圆内接四边形(资料附答案)
自学资料一、圆内接四边形【知识探索】1．如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆．2．圆内接四边形的对角互补．【错题精练】例1．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD=AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：①OA⊥DB；②CD+CB=2CE；③∠CBA−∠DAC=∠ACB；④若∠DAB= 90∘，则CD+CB=√3CA．其中正确的结论（）第1页共25页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训A. ①③④；B. ①②④；C. ②③④；D. ①②③．【答案】D，例2．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30∘，BD是⊙O的直径，如果CD=4√33则AD=．【答案】4．的值是例3．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则EFGH （）A. ；B. ；C. ；D. 2．【答案】C例4．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，则该半圆的半径为第2页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（）．A. cmB. 9 cmC. cmD. cm【解答】C【答案】C例5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，∠C=2∠BAD．（1）求∠BOD的度数；（2）求证：四边形OBCD是菱形；（3）若⊙O的半径为r,∠ODA=45∘，求△ABD的面积（用含r的代数式表示）．【解答】（1）解：∠A+∠C=180，∠C=2∠A，∴∠A=60∘，∴∠BOD=2∠A=120∘（2）证明：连接OB，OC，OD，可以得出△BOC是等边三角形，∴OB=OC=OD=CD，∴四边形OBCD是菱形；（3）解：过D做DH⊥AB与H，∵DH=√62r，BH=√62r，AH=√22r，∴S△ABD=3+√34r2．第3页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】（1）∠BOD=2∠A=120∘；（2）略；（3）S△ABD=3+√3r2．4例6．如图，已知四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E，F在AC上，AB=AD，∠BFC=∠BAD=2∠DFC．（1）若∠DFC=40∘，求∠CBF的度数；（2）求证：CD⊥DF．【解答】（1）解：∵∠ADB=∠ACB，∠BAD=∠BFC，∴∠ABD=∠FBC，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∴∠CBF=∠BCF，∵∠BFC=2∠DFC=80°，∴∠CBF=50∘；（2）证明：令∠CFD=α，则∠BAD=∠BFC=2α，∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°，即∠BCD=180∘−2α，又∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=90∘−α，∴∠CFD+∠FCD=α+(90∘−α)=90°，∴∠CDF=90°，即CD⊥DF．【答案】（1）∠CBF=50∘；（2）CD⊥DF．例7．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．第4页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训（1）求证：△ABD为等腰三角形．（2）求证：AC⋅AF=DF⋅FE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠DCB+∠DAB=180∘，∵∠MCD+∠DCB=180∘，∴∠MCD=∠DAB，∵CD为∠BCA的外角的平分线，∴∠MCD=∠ACD，∵∠DCA和∠DBA都对弧AFD，∴∠DCA=∠DBA，∴∠DAB=∠DBA，∴DB=DA，∴△ABD为等腰三角形．（2）证明：由（1）知AD=BD，BC=AF，则弧AFD=弧BCD，弧AF=弧BC，∴∠BDC=∠ADF，弧CD=弧DF，CD=DF①∴∠BDC+∠BDA=∠ADF+∠BDA，即∠CDA=∠BDF，而∠FAE+∠BAF=∠BDF+∠BAF=180∘，∴∠FAE=∠BDF=∠CDA，同理∠DCA=∠AFE∴在△CDA与△FAE中，∠CDA=∠FAE，∠DCA=∠AFE，∴△CDA∽△FAE，∴即CD⋅EF=AC⋅AF，又由①有AC⋅AF=DF⋅EF．【答案】（1）略；（2）略．例8．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD．（1）求证：AE=BD；（2）若AC⊥BC，求证：AD+BD=CD．第5页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训【答案】例9．（1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A．（2）依已知条件和（1）中的结论：①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系；②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系．第6页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】【答案】见解析例10．如图1，已知△ABC，AB=AC，以边AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：DE=DC．（2）如图2，连接OE，将∠EDC绕点D逆时针旋转，使∠EDC的两边分别交OE的延长线于点F，AC 的延长线于点G．试探究线段DF、DG的数量关系．【答案】（1）证明：∵四边形ABDE内接于⊙O，第7页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第8页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【解答】第9页共25页自学七招之智慧树神拳：知识内容体系化，思维导图来助力非学科培训第10页共25页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训【答案】【举一反三】1．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D=78∘，则∠EAC=度．【答案】27．2．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE，若∠D=78∘，则∠EAC=（）A. 37°；B. 32°；C. 21°；D. 18.5°．【答案】C．3．已知，如图：AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．给出以下四个结论：①∠EBC=22.5°；②AE=2EC；③劣弧AE是劣弧DE的2倍；④DE=DC．其中不正确结论的序号是（）A. ①B. ④C. ③D. ②【解答】【答案】D4．如图，已知四边形ABEC内接于⊙O，点D在AC的延长线上，CE平分∠BCD交⊙O于点E，则下列结论中一定正确的是（）A. AB=AEB. AB=BEC. AE=BED. AB=AC【解答】【答案】C5．已知△ABC．（1）如图，AC⊥AB，点D为BC上一点，∠ABD=∠BAD，∠EAC=∠CAD，求证：AE∥BC．（2）如图，点P是BC上一点，且∠APC＜90°，以AP为一边作正方形APMN，若NC⊥BC，则∠ACB= °，并证明你的结论．【答案】6．已知如图，四边形ABCD内接于⊙O，直径AF⊥BC于点H，AD与BC的延长线交于点E，连接BD．（1）若BC=8，FH=2，求⊙O得半径长；（2）若∠EDC=70∘，求∠ADB的度数．【解答】（1）解：由垂径定理得BH=4，OH=r−2，由勾股得：r=5；（2）解：连接AC，由垂径定理得：AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠EDC=70∘，∴∠ABC=∠ACB=70∘，∵∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=70∘．【答案】（1）5；（2）70°．7．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【答案】8．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（-3，0），C（，0））（1）求⊙M的半径；（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH．（3）在（2）的条件下求AF的长．【答案】9．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2）请证明你认为正确的命题．【解答】【答案】见解析10．已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于D，交AC于E，（1）如图①，若AB=6，CD=2，求CE的长；（2）如图②，当∠A为锐角时，使判断∠BAC与∠CBE的关系，并证明你的结论；（3）若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与圆O相交于E．请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与（2）中你得出的关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请说明理由．【解答】【答案】见解析11．我们学过圆内接三角形，同样，四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，下面我们来研究它的性质．（I）如图（1），连接AO、OC，则有．∴，同理∠BAD+∠BCD=180°，即圆内接四边形对角（相对的两个角）互补．（II）在图（2）中，∠ECD是圆内接四边形ABCD的一个外角，请你探究外角∠DCE与它的相邻内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系．（III）应用：请你应用上述性质解答下题：如图（3）已知ABCD是圆内接四边形，F、E分别为BD、AD延长线上的点，如果DE平分∠FDC，求证：AB=AC．【解答】【答案】见解析1．如图，已知⊙O中，直径MN=10，正方形ABCD的四个顶点分别在半径OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45∘，试求AB的长．【解答】解：∵ABCD是正方形，∴∠DCO=90∘．∵∠POM=45∘，∴∠CDO=45∘．∴CD=CO．∴BO=BC+CO=BC+CD．∴BO=2AB．连接AO，∵MN=10，∴AO=5．在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，AB2+(2AB)2=52，解得：AB=√5，则AB的长为√5．【答案】√5．2．如图所示，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求四边形ADBC的面积．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90∘．在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，∴BC=√AB2−AC2=√62−22=4√2．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠DCA=∠BCD．∴．∴AD=BD．∴在Rt△ABD中，AD=BD=3√2，AB=6．∴四边形ADBC的面积=S△ABC+S△ABD=12AC⋅BC+12AD⋅BD=12×2×4√2+12×3√2×3√2=9+4√2．故四边形ADBC的面积是9+4√2．【答案】9+4√2．3．（2015秋•嵊泗县期中）如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APN的度数（写出解题过程）；（2）写出图②中∠APN的度数和图③中∠APN的度数；（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系（直接写答案）【解答】【答案】。
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第2章对称图形——圆
2.4第3课时圆的内接四边形
知识点圆内接四边形的性质
1．如图2－4－30所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．若∠BCD＝110°，则∠BAD 的度数为()
A．140°B．110°C．90°D．70°
图2－4－30
图2－4－31
2．如图2－4－31，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是()
A．115°B．105°C．100°D．95°
3．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠D的度数是() A．60°B．90°C．120°D．30°
4．如图2－4－32，四边形ABCD内接于⊙O.若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC 的大小为()
A．45°B．50°C．60°D．75°
图2－4－32
图2－4－33
.如图2－4－33，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且∠D＝130°，则∠BAC ＝________°.
6．如图2－4－34，四边形ABCD内接于⊙O.若∠BOD＝130°，则∠DCE＝________°.
图2－4－34
7．如图2－4－35，四边形ABCD为圆的内接四边形，DA，CB的延长线交于点P，∠P ＝30°，∠ABC＝100°，则∠C＝________°.
图2－4－35
图2－4－36
8．如图2－4－36，△ABC为⊙O的内接等边三角形，D为⊙O上一点，则∠ADB＝________°.
9．如图2－4－37，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC ＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．
图2－4－37
10．已知：如图2－4－38，四边形ABCD是圆的内接四边形，延长AD，BC相交于点E，F是BD延长线上的点，且DE平分∠CDF.求证：AB＝AC.
图2－4－38
11．[2016·淮安清河区二模] 如图2－4－39，在⊙O 的内接五边形ABCDE 中，∠CAD ＝35°，∠AED ＝115°，则∠B 的度数是( )
A ．50°
B ．75°
C ．80°
D ．100°
图2－4－39
图2－4－40
12．如图2－4－40，⊙O 是钝角三角形ABC 的外接圆，连接OC.已知∠BAC ＝y °，∠BCO ＝x °，则y 与x 之间的函数表达式为______________(不必写出自变量的取值范围)．
13．教材练习第3题变式如图2－4－41，在⊙O 中，点A ，B ，C 在⊙O 上，且∠ACB ＝110°，则∠α＝________．
14. [2016·南京高淳区一模] 四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，已知∠BOD ＝100°，则∠BCD 的度数为________．
图2－4－41
图2－4－42
15．[2016·南京溧水区一模] 如图2－4－42，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝110°.点E 在AD ︵
上，则∠E ＝________°.
16．如图2－4－43，AD 为圆内接三角形ABC 的外角∠EAC 的平分线，它与圆交于点D ，F 为BC 上的点．
(1)求证：DB ＝DC ；
(2)请你再补充一个条件使直线DF 一定经过圆心，并说明理由．
图2－4－43
17．如图2－4－44，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
图2－4－44
详解详析
1．D [解析] ∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°(圆内接四边形的对角互补)． 又∵∠BCD ＝110°，
∴∠BAD ＝70°.故选D .
2．B [解析] ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°， 而∠BCD ＋∠DCE ＝180°， ∴∠DCE ＝∠BAD. 而∠BAD ＝105°，
∴∠DCE ＝105°. 故选B .
3．B [解析] ∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝2∶3∶4， ∴设∠A ＝2x ，则∠B ＝3x ，∠C ＝4x. ∵四边形ABCD 为圆内接四边形， ∴∠A ＋∠C ＝180°，
即2x ＋4x ＝180°，解得x ＝30°， ∴∠B ＝3x ＝90°，
∴∠D ＝180°－∠B ＝180°－90°＝90°.故选B . 4． C
5．40 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.
∵∠B ＝180°－∠D ＝50°， ∴∠BAC ＝90°－∠B ＝40°.
6．65 [解析] ∵∠BOD ＝130°， ∴∠A ＝1
2
∠BOD ＝65°.
∵∠A ＋∠BCD ＝180°，∠DCE ＋∠BCD ＝180°， ∴∠DCE ＝∠A ＝65°.
7．70 [解析] ∵∠ABC ＝100°，∠P ＝30°， ∴∠PAB ＝∠ABC －∠P ＝70°.
∵四边形ABCD 为圆的内接四边形， ∴∠C ＋∠BAD ＝180°. ∵∠BAD ＋∠PAB ＝180°， ∴∠C ＝∠PAB ＝70°. 8．120.
9．证明：∵A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点， ∴四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.
又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°，
∴∠A ＝∠BCE. ∵BC ＝BE ，
∴∠BCE ＝∠E ，∴∠A ＝∠E ，
∴AD ＝DE ，即△ADE 是等腰三角形．
10．证明：∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ABC ＋∠ADC ＝180°.
∵∠ADC ＋∠CDE ＝180°，
∴∠ABC ＝∠CDE.
∵∠FDE ＝∠ADB ＝∠ACB ，∠CDE ＝∠FDE ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴AB ＝AC.
11．D [解析] ∵四边形ACDE 是圆内接四边形， ∴∠AED ＋∠ACD ＝180°. ∵∠AED ＝115°， ∴∠ACD ＝65°. ∵∠CAD ＝35°，
∴∠ADC ＝80°.
∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠B ＋∠ADC ＝180°， ∴∠B ＝100°，故选D . 12．y ＝x ＋90 13．140°
14． 130°或50° 15．125
16． (1)证明：∵∠DCB ＋∠BAD ＝180°，∠BAD ＋∠DAE ＝180°， ∴∠DCB ＝∠DAE.
∵∠DBC ＝∠CAD ，∠CAD ＝∠DAE ， ∴∠DBC ＝∠CAD ＝∠DAE ＝∠DCB ，
∴DB ＝DC.
(2)答案不唯一，如：
若F 为BC 的中点，则DF 经过圆心．
理由：∵△DBC 是等腰三角形，F 是BC 的中点， ∴DF 是底边BC 的垂直平分线．
∵圆内接三角形的圆心是三边垂直平分线的交点， ∴DF 必过圆心．
17． (1)证明：∵∠E ＝∠F ，∠ECD ＝∠FCB ， ∴∠E ＋∠ECD ＝∠F ＋∠FCB ，
即∠ADC ＝∠ABC.
(2)∵∠A ＋∠BCD ＝180°，∠ECD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠A ＝∠ECD.
∵∠EDC ＝∠A ＋∠F ，
∠EDC ＋∠E ＋∠ECD ＝180°，
∴2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°.
又∵∠E ＝∠F ＝42°，∴∠A ＝48°.
(3)由(2)中的结论可知2∠A ＋∠E ＋∠F ＝180°， ∴2∠A ＋α＋β＝180°，解得∠A ＝90°－1
2(α＋β)．。