2019高考数学试题汇编之计数原理(解析版)

所以a=C2=n(n-1)

所以[n(n-1)(n-2)

专题13计数原理

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12B．16C．20D．24

【答案】A

【解析】由题意得x3的系数为C3+2C1=4+8=12，故选A．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式(2+x)9的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．

【答案】1625

【解析】由题意，(2+x)9的通项为T

r+1=C r(2)9-r x r(r=0,1,29)，当r=0时，可得常数项为9

T=C0(2)9=162；若展开式的系数为有理数，则r=1,3,5,7,9，有T,T,T,T,T共5个项．故19246810

答案为：162，5．

【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，

计算要细心，确保结果正确．

3．【2019年高考江苏卷理数】设(1+x)n=a+a x+a x2+

012+a x n,n≥4,n∈N*．已知a2=2a a．n324

（1）求n的值；

（2）设(1+3)n=a+b3，其中a,b∈N*，求a2-3b2的值．【答案】（1）n=5；（2）-32．

【解析】（1）因为(1+x)n=C0+C1x+C2x2+

n n n +C n x n，n≥4，n

n(n-1)(n-2)

,a=C3=，

2n3n

n(n-1)(n-2)(n-3)

a=C4=．

因为a2=2a a，

324

n(n-1)n(n-1)(n-2)(n-3)

]2=2??，6224

解得n=5．

（2）由（1）知，n=5．

4．

【山东省郓城一中等学校 2019 届高三第三次模拟考试】已知二项式 2x - ? (n ∈ N*) 的展开式中第 = C r (2 x )

n -r

- ? ，

x ? ?

= C r 2

6-r (-1)r

6- 2 r

，

(1+ 3) n = (1+ 3) 5

= C 0 + C 1 3 + C 2 ( 3)2 + C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 + C 5 ( 3)5

5 5

= a + b 3 ．

解法一：

因为 a, b ∈ N * ，所以 a = C 0 + 3C 2 + 9C 4 = 76, b = C 1 + 3C 3 + 9C 5 = 44 ，

从而 a 2 - 3b 2 = 762 - 3 ? 442 = -32 ．

解法二：

(1- 3)5 = C 0 + C 1 (- 3) + C 2 (- 3) 2 + C 3 (- 3)3 + C 4 (- 3) 4 + C 5 (- 3)5

5 5

= C 0 - C 1 3 + C 2 ( 3)2 - C 3 ( 3)3 + C 4 ( 3)4 - C 5 ( 3)5 ．

5 5

因为 a, b ∈ N * ，所以 (1- 3) 5 = a - b 3 ．

因此 a 2 - 3b 2 = (a + b 3)( a - b 3) = (1+ 3) 5 ? (1- 3) 5 = (-2) 5 = -32 ．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．

1 ?n ?

x ?

2 项与第

3 项的二项式系数之比是 2︰5，则 x 3 的系数为

A ．14

【答案】C

B ． -14

C ．240

D ． -240

【解析】二项展开式的第 r + 1 项的通项公式为 T

r +1

? 1 ?r

由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2︰5，可得： C 1

: C 2

= 2 : 5 ．即

n n

2n 2

= ， n (n - 1) 5

解得 n = 6 或 n = 0 （舍去）．所以T

r +1

令 6 - 3 2

r = 3 ，解得 r = 2 ，所以 x 3 的系数为 C 2 26-2 (-1)2

= 240 ．故选 C ．

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能力，属

于中档题．

【解析】令 x = 1，得展开式的各项系数和为 (1+ )(2 - )5

= 1+ a ，

∴ 1 + ?? 2 x - ? = 1 + ?? 2 x - ? = 2 x - ? + 2 x - ? ，

所求展开式中常数项为 2 x - ? 的展开式的常数项与 x 项的系数和， 2 x - ? 展开式的通项为 T x ? x 6．【山东省淄博市 2019 届部分学校高三阶段性诊断考试试题数学】 x -

? 展开式的常数项为【解析】 x - ? 展开式的通项公式为T r +1 = C 8 1 ?8 r = C r ? (-1)r ? x 3 ，

a 1

5．【广东省深圳市高级中学 2019 届高三适应性考试（6 月）】已知 (1+ )(2 x - )5 的展开式中各项系数

x x

的和为 2，则该展开式中常数项为

A ． -80

B ． -40

C ． 40

D ． 80

【答案】D

a 1 1 1

∴1 + a = 2 ， \ a = 1，

? a ?? 1 ?5 ? 1 ?? 1 ?5 ? 1 ?5 1 ? 1 ?5

? x ?? x ? ? x ?? x ? ? x ? x ? x ?

? 1 ?5

x ?

? ?

1 ?5 1 = C r (

2 x )5-r ? (-1)r ( )r = (-1)r 25-r C r x 5-2r ，

r +1 5 5

令 5 - 2r = 1 得 r = 2 ；令 5 - 2r = 0 ，无整数解，

∴展开式中常数项为 8C 2 = 80 ，故选 D ．

【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题．二项展开式定理的问题也

是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二

项展开式的通项公式T

r +1

= C r a n -r b r ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数

和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用．

? 1 ?8 ?

3 x ?

A ． -56

【答案】D

B ． -28

C ． 56

D ． 28

? ?

3 x ?

r ? x 8-r ? (- 1 3 x ) 8 4 8- r

令 8 - 4

r = 0 ，得 r = 6 ，∴所求常数项为： C 6 ? (-1)6 = 28 ，故选 D ．

【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项系数的问题，属于基础题．

7．【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试】安排 A ， B ， C ， D ， E ， F ，共 6 名义工照顾甲，乙，

r 2 甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有_________种．（用．．．． + 2 + 3 n n

丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工 A 不安排照顾老人甲，

义工 B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有

A ．30 种

B ．40 种

C ．42 种

D ．48 种

【答案】C

【解析】 6 名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：C 2C 2 = 90 种安排方法，

其中 A 照顾老人甲的情况有： C 1 C 2 = 30 种，

B 照顾老人乙的情况有：

C 1 C 2 = 30 种，

A 照顾老人甲，同时

B 照顾老人乙的情况有：

C 1 C 1 = 12 种，

∴符合题意的安排方法有： 90 - 30 - 30 +12 = 42 种，故选 C ．

【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解．

8．【上海市浦东新区 2019 届高三下学期期中教学质量检测（二模）数学试题】二项式(2 x -

的常数项为第_________项．

【答案】4

1 2 x

展开式

【解析】由二项式展开式的通项公式得：T r +1 = C 6 （2x ）6–r （ - 1

2 x ）r ＝ C r （–1）r 26–2r x 6–2r ，

令 6–2r ＝0，得 r ＝3，∴T 4 为常数项，即二项式 (2 x - 1

)6 展开式的常数项为第 4 项，故答案为：4．

【点睛】本题考查了二项式展开式的通项，属基础题．

9．【河北省唐山市 2019 届高三第二次模拟考试】将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中

．

数字作答）

【答案】660

【解析】若甲校 2 人，乙、丙、丁其中一校 2 人，共有 C 2C 2 A 3 种，

若甲校 3 人，乙、丙、丁每校 1 人，共有 C 3 A 3 种，则不同的分配方案共有 C 2C 2 A 3 + C 3 A 3 = 660 种，

故答案为：660．

【点睛】本题考查排列组合，分类讨论思想，对每个学校人数讨论是关键，是基础题．

10．【上海市交大附中 2019 届高三高考一模试卷数学试题】已知

（1 + x ）（1 + x ）（1 + x ） +?+（1 + x ） = a + a x + a x 2 +?+ a x （n

∈ N *），且 0

n + 2 + 3 n n +?+ 2 2 ）n ，即（ x - ）6 的展开式的通项公式为T x x

? r 2m +1 ，

因为15a = 8b ，所以15C m = 8C m +1 ，即15 (2m )! = 8 ，解得 m = 7 ．

m !m ! m !(m + 1)!

（x 2 + ）n 展开式中的二项式系数和为

( 【解析】由 ? x 2 + 1 ?n 展开式中的二项式系数和为 64，可得 2n = 64 ，解得

a + a + a +?+ a = 126 ，那么（ x - 0 1 2 n 1 x

）

的展开式中的常数项为_________．

【答案】–20

【解析】∵（1 + x ）（1 + x ）（1 + x ） +?+（1 + x ） = a + a x + a x 2 +?+ a x （n

∈ N *）， 0

令 x = 1 ，可得 a + a + a +?+ a = 2 + 22 n = 0 1 2 n （1 - 2n ） = 2n +1 - 2 ，∴ 2n +1 - 2 = 126 ，∴ n = 6 ，

1 - 2

那么（ x - 1 1

r +1 = C r （ - 1）? x 3-r ， 6

令 3 - r = 0 ，求得 r = 3 ，可得展开式中的常数项为 -C 3 = -20 ，故答案为：–20．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，

属于基础题．

11．【江西省南昌市南昌外国语学校 2019 届高三高考适应性测试数学试卷】设m 为正整数， (x + y )2m 展

开式的二项式系数的最大值为 a ，x + y )2m +1 展开式的二项式系数的最大值为 b ，若15a = 8b ，则 m =

_________．【答案】7

【解析】 (x + y )2m 展开式中二项式系数的最大值为 a = C m ，

(x + y )2m +1 展开式中二项式系数的最大值为 b = C m +1

(2m + 1)!

2m +1

【点睛】本题考查了二项式定理及二项式系数最大值的问题，解题的关键是要能准确计算出二项式系数

的最大值．

1 12．【北京市首都师范大学附属中学 2019 届高三一模数学试题】若 x

64，则 n 等于_________，该展开式中的常数项为_________．

【答案】6

x ? n = 6 ，

x + ? = x + ? 的展开式的通项公式为T r +1 = C 6r ? x 12-2r ? x - r = C 6r ? x 12-3r ，

13．【广东省 2019 届高三六校第一次联考数学试题】若 a = ? (2sinx - cosx)dx ，则（

0 6 ∴（ - x ）6 展开式的通项公式为T x = C r ? ( )

= 4 （- 1）C x - x 2 ， ∴（ -

x ）6 的展开式中，常数项是 46-（ - 1）4C 4 =240 ，故答案为 240． x b ?n (

14．河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评】二项式 ax + ? a > 0，b > 0)的展开式中，【解析】依题得 2n = 256 ，所以 n =8，在 ? ax + b ?n ? 的展开式中令 x =1，则有 a + b 又因为 ? ax + b ?n (ax )8-r ? b ? = C r (a )8-r b r x 8-2r ，令展开式的通项公式为T = C r x ? ? x ? ? ?

? 2 1 ?n ? 2 1 ?6 ?

x ? ? x ?

令12 - 3r = 0 ，解得 r = 4 ，故该展开式中的常数项为 C 4 = C 2 = 15 ，

本题正确结果为：6，15．

【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系

数的性质，属于中档题．

π 0

常数项为_________．

【答案】240

【解析】

a = ? π

(2sinx - cosx)dx = (-2cosx - sinx) |π = (2 - 0) - (-2 - 0) = 4 ，

- x ）的展开式中令 4

-6 = 0 ，即 r = 4 ．

r +1 ? 4 ?6-r 6 ? x ? r 6-r r r 6 3r -6

4 4

【点睛】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系

数是解题关键．

【

x ?

设“所有二项式系数和”为 A ，“所有项的系数和”为 B ，“常数项”值为 C ，若 A = B = 256，C = 70 ，则

含 x 6 的项为_________．

【答案】 8x 6

x ? ( )8 = 256 ，所以 a+b =2，

r r +1

8 - 2r = 0 ? r = 4 ．所以得到 C 4 a 4b 4 = 70 ? ab = 1，ab = -1 （舍）

，当 ab = 1 时，由 a + b = 2 得 8

a =

b = 1 ．所以令 8 - 2r = 6 ? r = 1 ，所以 T = C 1 x 6 = 8 x 6 ，故答案为： 8x 6 ．

15．【山东省烟台市 2019 届高三 5 月适应性练习（二）】设 n = ?

|sin x | dx 在，则 - 2 ? (1+ x)n 展开 - 2 ? (1+ x)n

展开式中 x 2 的系数为 4 + (-2) ? 6 = -8 ．故答案为： -8 ．（1）甲校安排 1 名教师，分配方案种数有 C （

C 1 C 4 A 2 + C 2C 3A 2）= 150 ；（2）甲校安排 2 名教师，分配方案种数有 C （

C 1 C 3A 2 + C 2C 2）= 140 ；

【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：

（1）求展开式中的特定项．可依据条件写出第 r ＋1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可．

（2）已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项写出第 r ＋1 项，由特定项

得出 r 值，最后求出其参数．

式中 x 2 的系数为_________．

【答案】 -8

2π 0

? 1 ? ? x ?

【解析】由题意， n =

2π | sin x |dx = ?

π | sin x |dx + ?

2π | sin x |dx = ?

π s in xdx + ?

2π (- sin x)dx =

0 π 0 π

- cos x π + cos x 0

2π π

= 4 ， (1+ x)4 的通项公式为 T

r +1

= C r ?14-r ? x r = C r x r ，

4 4

当 r = 2 时， T = C 2 x 2 = 6 x 2 ，当 r = 3 时， T = C 3 x 3 = 4 x 3 ，故

? 1 ?

? x ?

【点睛】本题考查了定积分的计算、二项式定理，正确求出n 值，是解题的关键．

16．【湖南省师范大学附属中学 2019 届高三考前演练（五）】习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察

时首次提出“精准扶贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省

示范性高中安排 6 名高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所

学校至少 1 人，因工作需要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．

【答案】360

【解析】方法 1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少 1 人，可分四种情况：

1 5

2 5

（3）甲校安排 3 名教师，分配方案种数有 C 3C 1 C 2 A 2 = 60 ；

3 2 2

（4）甲校安排 4 名教师，分配方案种数有 C 4C 1 C 1 = 10 ；

2 1

由分类计数原理，可得共有150 + 140 + 60 + 10 = 360 （种）分配方案．

方法 2：由 6 名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，

（1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有C 1 种，其余 5 名分成一人组和

2 3 4 5

四人组有 C 4 A 2 种，共 C 4A 2C 1 = 20（种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有C 3C 1 A 2 = 40（种），

2 5 2 2 5 2 2

则第一种情况共有 20 + 40 = 60 （种）；

（2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有C 3C 2 A 2C 1 = 40 （种），李老师分配到三人组有

2 2 2

C 2C 2C 1 A 2 = 120 （种），李老师分配到两人组有 C 1 C 1 C 3 C 2 = 80 （种），所以第二种情况共有

5 2 4 2

40 + 80 + 120 = 240 （种）；

（3）对于第三种情况，共有 C 1 C 1 C 2C 2 = 60 （种）；

2 4 2

综上所述，共有 60 + 240 + 60 = 360 （种）分配方案．

【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类

讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

17．【上海市复旦大学附属中学 2019 届高三高考 4 月模拟试卷数学试题】袋中装有 5 只大小相同的球，编

号分别为 1，，，，，若从该袋中随机地取出 3 只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是_________

（结果用最简分数表示）．【答案】

【解析】从 5 只球中随机取出 3 只，共 C 3 = 10 种情况，

而取出的 3 只球的编号之和为奇数，有 2 偶 1 奇和 3 只全为奇数两种情况，

若取出 3 只球中有 2 只偶数 1 只是奇数，则有 C 1 C 2 = 3 种情况，

若取出的 3 只球中有 3 只是奇数则有 C 3 = 1 种情况，

C 1 C 2 + C 3 4 2

所以取出的球的编号之和为奇数的概率为 3 2 3 = = ．

C 3 10 5

故答案为：

．

【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运

用．

18．【河北省衡水市 2019 届高三四月大联考数学试题】现有一圆桌，周边有标号为 1，2，3，4 的四个座

位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、

乙不能相邻，则所有选座方法有_________种．（用数字作答）

【答案】8

【解析】先按排甲，其选座方法有C1种，由于甲、乙不能相邻，

所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有A2种，

所以共有坐法种数为C1?A2=4?2=8种．故答案为：8．

【点睛】排列、组合问题由于其思想方法独特、计算量大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题原则，如特殊元素、位置优先原则，先取后排原则，先分组后分配原则，正难则反原则等，只有这样我们才能有明确的解题方向．同时解答组合问题时必须考虑周全，做到不重不漏，正确解题．