[工学]第五讲：直线与平面及平面与平面的相对位置关系相交_点、直线和平面的综合题

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例4：试过定点K作特殊位置平面的法线。
h
h h
h h
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h
（ c）
（ a）
（ b）
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例5：平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否 垂直于该平面。 不垂直
e f
X
O
e
f
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两平面垂直的几何条件 若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的 所有平面都垂直于该平面。
垂直问题
掌握线面垂直的投影特性及作图方法。了解面面垂直的 投影特性及作图方法。
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例 试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直 线EF相交 。
X
O
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分析 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面 P交于H；连接KH，KH即为所求。
K F H E
1
m
X
e’
m e k 1
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2
O
l
n
5
垂直--直线与平面垂直;
平面与平面垂直
直线与平面垂 直的几何条件： 若一直线垂直于 平面内的任意两条 相交直线，则直线 与平面互相垂直。
定理1 若一直线垂直于一平面，则该直线的水平投影必 垂直于该平面的水平线的水平投影；其正面投影必垂直于 该平面的正平线的正面投影。
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B
K F
N
C
L
2
例1：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 a b e ● m(n)
f
c
d
步骤： １．空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面， 它们的正面投影都积聚成直线。 交线必为一条正垂线，只要求 得交线上的一个点便可作出交 线的投影。
２．作 图 O e X ① 求交线 a n ● ② 判别可见性 c 从正面投影上可看出， d ● 在交线左侧，平面ABC在上， m 其水平投影可见。 f b 还有何办法判别？ 可通过正面投影直 如何判别？ 还可通过重影点判别可见性。 观地进行判别。
1
PV 2 e
1
a
e
2 a
k
f 1
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1
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点、直线、平面综合问题——
距离问题


基本问题：点到直线的距离 点到平面的距离 衍生问题: 两直线间距离(平行和交叉) 直线到平面的距离 两平面间的距离
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距离问题

根据要求求距离
d’
距离 的 实长
a’ k’ c’ e’
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例 试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60 °， 与H面的夹角为45 °。
X
O
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分析：平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的 夹角互为余角。
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作图过程
m k
|zM-zN|
m n
|yM-yN|
h n
X O
m n n
30° 45° NM
直径任取
k
|yM-yN|
m n
|zM-zN|
m
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h
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作图
PV m 1 2 n
1．过点K作平面 KMN// ABC平面。
h
X
2．求直线EF与 平面KMN的交点 OH 。 3．连接KH，KH 即为所求。
h
n
2
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m 1
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直线与平面、平面与平面的相对位置— —相交（含垂直） 点、直线、平面综合问题——
距离问题——作垂直、求实长(度量) 相对位置关系(定位) 角度问题(度量)

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平面与平面相交
两平面相交，其交线为直线， 交线是两平面的共有线，同时交线 M 上的点都是两平面的共有点。 求两平面交线的问题可以看作是 求两个共有点的问题。 要讨论的问题： ① 求两平面的交线 方法： ⑴ 确定两平面的两个共有点。 ⑵ 确定一个共有点及交线的 方向。 ② 判别两平面之间的相互遮挡关系， 即：判别可见性。 A
n k
X
O
k n
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定理2（逆） 若一直线的水平投影垂直于一平面水 平线的水平投影；其正面投影垂直于该平面正平线的 正面投影，则该直线必垂直于该平面。
X
O
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例3：平面由BDF给定，试过定点K作平面的法线。
n
c a
X O
a
c n
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f d
因为AD 直线不在 ABC平面上， 所以两平面 不垂直。
f d
20与已知直线EF正交。
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分析——过已知点A作平面垂直于已知直线EF，
并交于点K，连接AK，AK即为所求。
A
E
K
F
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作图
2
k
2
f
例：求图中点A到 平面CDE的距离。 解题要点： 1、作垂线; 2、求垂足; O 3、连接线段,求实长.
X
c a k
e
作图结果要求：表示 距离的线段的投影、 实长都须作出。
d
距离问题

根据要求求距离
d’ k’
例：求点A到直线CD的距离。 解题要点： 1、作垂面; 2、求垂足; 3、求实长.
a’ e’
A
D
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反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的 任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。
两平面垂直
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两平面不垂直
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例6 平面由BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面。
h
c
g
a
a
c
g
h
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例题 试判断ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是 否垂直。 结论：
●
X
２．作
图
e
●
b m n
●
a f
1(2)
c
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在FH上，在上方，点 Ⅱ在BC上，在下方，故fh可见 ，n2不可见。
求两平面的交线
2 k
PV n l QV
两一般位置平面相 交，求交线步骤： 1．用求直线与平面交 点的方法，作出两平面 的两个共有点K、E。 2．连接两个共有 点，画出交线KE。
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求角度

求直线AB与P平面的夹角。
b’ p’
a’ X a b O
p
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分析
L
P
f
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小结－－本讲基本要求
相交问题
1．熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投 影具有积聚性）交点的求法和求两个面的交线的作图方法（ 其中一平面的投影具有积聚性）。 2．熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一 般位置面、面相交求交线的作图方法。 3．熟练掌握利用重影点判别投影可见性的方法。
例2：求两平面的交线MN， 并判别可见性。 b e m f ● a
步骤： １．空间及投影分析
平面EFH是一水平面，它的 正面投影有积聚性。ab与ef n 1 h ● ● 的交点m 、 b c与f h的交点 ● 2 n即为两个共有点的正面投影， c 故mn即交线MN的正面投影。 O h
c’ L
QV
B
a’
解题要点： 1.求线先定面; 2.明确平面的迹 线表示.
L
A
b’ d’
X
Q
a c b d
B
O
A Q
QH
求角度

直线的倾角－－用直角三角形法 平面的倾角－－用最大斜度线 两直线的夹角－－求角所在平面实形 直线与平面的夹角－－借助垂线 两平面的夹角－－作垂面
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X
d
O
k
L
P K
e
a
A
距离的实 长
距离问题

解题要点： 1.从空间理解概念; 2.明确作图思路.
K 求两交叉直线的公垂线。 C
l’
a’ c’ b’
D
K C A
D
E L
P B
A k’
c k
d’
E L
F
P
X
OB
F
a
l
b d
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空间几何元素之间相对位置关系
例：经过A点求作直线AB ，使其与Q平面平行，且 与直线CD相交。