山东省聊城市冠县三中届高三数学上学期开学试卷文(含解析)【含答案】

2015-2016学年山东省聊城市冠县三中高三（上）开学数学试卷（文科）一.选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设R为实数集，集合S={x|log2x＞0}，T={x|x2＞4}，则S∩（∁R T）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}2．设命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为（）A．存在x＞0，log3x＞log4B．存在x＞0，log3x≤log4C．任意x＞0，log3x≤log4D．任意x＞0，log3x=log43．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．4．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．305．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．46．若函数f（x）=为奇函数，g（x）=，则不等式g（x）＞1的解集为（）A．（﹣∞，e﹣1）B．（﹣∞，0）∪（0，e）C．（e，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）7．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．39．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．10．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A （﹣3，4），且法向量为=（1，﹣2）的直线（点法式）方程为：1×（x+3）+（﹣2）×（y ﹣4）=0，化简得x ﹣2y+11=0．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A （1，2，3），且法向量为=（﹣1，﹣2，1）的平面的方程为（ ）A ．x+2y ﹣z ﹣2=0B ．x ﹣2y ﹣z ﹣2=0C ．x+2y+z ﹣2=0D ．x+2y+z+2=0E ．+11．已知e 是自然对数的底数，函数f （x ）=e x+x ﹣2的零点为a ，函数g （x ）=lnx+x ﹣2的零点为b ，则下列不等式成立的是（ ）A ．f （1）＜f （a ）＜f （b ）B ．f （a ）＜f （b ）＜f （1）C ．f （a ）＜f （1）＜f （b ）D ．f （b ）＜f （1）＜f （a ）12．如图，已知在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA⊥底面ABCD ，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ≤），则四棱锥P ﹣ABCD 的体积V 的取值范围是（ ）A ．[）B ．（]C ．（]D ．[）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）=x2016，则f′[（）]= ．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且．若c=10，则△ABC 的面积是．15．如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若： =2：1则直线PF1的斜率为．16．已知平面区域Ω=，直线l：y=mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分.17．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．（1）求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；（2）若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．18．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， =（2b﹣c，ccosC），=（a，cosA），且∥．（1）求角A的大小；（2）求函数y=2sin2B+cos（﹣2B）的值域．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2015-2016学年山东省聊城市冠县三中高三（上）开学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题.（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设R为实数集，集合S={x|log2x＞0}，T={x|x2＞4}，则S∩（∁R T）=（）A．{x|1＜x＜2} B．{x|1≤x＜2} C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】解对数不等式求得S、解一元二次不等式求得T，再根据补集的定义求得∁R T，从而求得S∩（∁R T）．【解答】解：∵log2x＞0=log21，∴x＞1，∴S={x|x＞1}，∵x2＞4，∴|x|＞2，∴x＞2或x＜2，∴T={x|x＞2或x＜2}，∴∁R T={x|﹣2≤x≤2]，∴S∩（∁R T）={x|1＜x≤2}．故选：C．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．2．设命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为（）A．存在x＞0，log3x＞log4B．存在x＞0，log3x≤log4C．任意x＞0，log3x≤log4D．任意x＞0，log3x=log4【考点】命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p“任意x＞0，log3x＞log4x”，则非p为：存在x＞0，log3x≤log4x；故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．已知复数z=a+bi（a，b∈R，且ab≠0），若z（1﹣2i）为实数，则=（）A．2 B．﹣2 C．﹣D．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】直接把复数z=a+bi代入z（1﹣2i），然后由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：∵z（1﹣2i）=（a+bi）（1﹣2i）=（a+2b）+（b﹣2a）i为实数，∴b﹣2a=0，即．故选：A．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．4．某空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．10 B．15 C．20 D．30【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，分别求出棱柱和棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视力可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱，切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，∵底面面积S=×4×3=6，高h=5，故组合体的体积V=Sh﹣Sh=Sh=20，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A．﹣1 B．C．D．4【考点】循环结构．【专题】算法和程序框图．【分析】计算i=1，2，3，4，5发现每4次一个循环，得到i=8时输出S．【解答】解：由已知程序框图得到①i=1，S=﹣1；②i=2，S=；③i=3，S=；④i=4，S=4；⑤i=5，S=﹣1…所以i=8时与i=4时的S值相等；故选：D．【点评】本题考查了程序框图中，循环结构的执行次数与输出值；关键是读懂框图，明确执行结束时的i值．6．若函数f（x）=为奇函数，g（x）=，则不等式g（x）＞1的解集为（）A．（﹣∞，e﹣1）B．（﹣∞，0）∪（0，e）C．（e，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数f（x）=为奇函数，求得a值，进而分类讨论满足不等式g（x）＞1的x范围，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴f（0）=0，即a=﹣1，∴g（x）=，当x＞0时，解g（x）=﹣lnx＞1得：x∈（0，e﹣1），当x＜0时，解g（x）=e﹣x＞1得：x∈（﹣∞，0），故不等式g（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（（0，e﹣1），故选：D．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，指数不等式和对数不等式的解法，函数的奇偶性，难度中档．7．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1的中点，用过平面AMN和平面DNC1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如下图，则该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为（）A．①、②、③B．②、③、④C．①、③、④D．②、④、③【考点】简单空间图形的三视图．【专题】常规题型；空间位置关系与距离．【分析】由三视图的定义可得答案．【解答】解：由直观图可知，该几何体的正（主）视图、侧（左）视图、俯视图依次为②③④，故选B．【点评】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x2+（y﹣3）2=1相切，则双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用圆心（0，3）到双曲线﹣=1的渐近线bx±ay=0的距离等于半径1，可求得a，b之间的关系，从而可求得双曲线离心率．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为bx±ay=0，依题意，直线bx±ay=0与圆x2+（y﹣2）2=1相切，设圆心（0，2）到直线bx±ay=0的距离为d，则d===1，∴双曲线离心率e==3．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离，考查分析、运算能力，属于中档题．9．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．【考点】等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．【解答】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．10．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（﹣3，4），且法向量为=（1，﹣2）的直线（点法式）方程为：1×（x+3）+（﹣2）×（y﹣4）=0，化简得x﹣2y+11=0．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A（1，2，3），且法向量为=（﹣1，﹣2，1）的平面的方程为（）A．x+2y﹣z﹣2=0 B．x﹣2y﹣z﹣2=0 C．x+2y+z﹣2=0 D．x+2y+z+2=0E．+【考点】类比推理．【专题】计算题；推理和证明．【分析】类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则=（x﹣1，y﹣2，z﹣3），利用平面法向量为=（﹣1，﹣2，1），即可求得结论．【解答】解：类比平面中求动点轨迹方程的方法，在空间任取一点P（x，y，z），则=（x﹣1，y﹣2，z﹣3）∵平面法向量为=（﹣1，﹣2，1），∴﹣（x﹣1）﹣2×（y﹣2）+1×（z﹣3）=0∴x+2y﹣z﹣2=0，故选：A．【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．由于平面向量与空间向量的运算性质相似，故我们可以利用求平面曲线方程的办法，构造向量，利用向量的性质解决空间内平面方程的求解．11．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式成立的是（）A．f（1）＜f（a）＜f（b）B．f（a）＜f（b）＜f（1）C．f（a）＜f（1）＜f（b）D．f（b）＜f（1）＜f（a）【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】首先判断两个函数的单调性，再由定义知f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，从而可判断0＜a＜1＜b；从而再利用单调性判断大小关系．【解答】解：易知函数f（x）=e x+x﹣2在R上是增函数，g（x）=lnx+x﹣2在（0，+∞）上也是增函数；又∵f（a）=0，f（1）=e+1﹣2＞0，g（b）=0，g（1）=0+1﹣2＜0，∴0＜a＜1＜b；故f（a）＜f（1）＜f（b）；故选C．【点评】本题考查了函数的单调性的判断与应用及函数零点的判定定理的应用，属于基础题．12．如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，AB=1，PA•AC=1，∠ABC=θ（0＜θ≤），则四棱锥P﹣ABCD的体积V的取值范围是（）A．[）B．（] C．（] D．[）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】先根据条件得到四边形ABCD的面积S=sinθ，由余弦定理可求得AC=，即可得到PA，进而表示出四棱锥P﹣ABCD的体积，整理后再借助于三角函数的取值范围即可解题．【解答】解：由已知，四边形ABCD的面积S=sinθ，由余弦定理可求得AC=，∴PA=，∴V=•∴V=•=•所以，当cosθ=0，即θ=时，四棱锥V﹣ABCD的体积V的最小值是当cosθ=0，即θ=0时，四棱锥V﹣ABCD的体积V的最小值是∵0＜θ≤∴P﹣ABCD的体积V的取值范围是[）故选A【点评】本题主要考查棱锥的体积计算，熟练掌握余弦函数的图象和性质是解答的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f（x）=x2016，则f′[（）]= 1 ．【考点】导数的运算．【专题】导数的概念及应用．【分析】根据导数的运算法则求导，再代值计算即可．【解答】解：∵f（x）=x2016，∴f′（x）=2016x2015，∴f′[（）]=2016×[（）]2015=1，故答案为：1．【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，且．若c=10，则△ABC 的面积是24 ．【考点】正弦定理；三角形的面积公式．【专题】计算题；解三角形．【分析】由题意得acosA=bcosB，结合正弦定理化简得sin2A=sin2B，所以2A=2B或2A+2B=180°．由于a、b不相等，得A≠B，因此A+B=90°，可得△ABC是直角三角形．根据c=10和，利用勾股定理算出b=6且a=8，即可得到△ABC的面积．【解答】解：∵，∴acosA=bcosB，结合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B∵A、B是三角形的内角∴2A=2B或2A+2B=180°，可得A=B或A+B=90°∵，得a、b的长度不相等∴A=B不成立，只有A+B=90°，可得C=180°﹣（A+B）=90°因此，△ABC是直角三角形设b=3x，a=4x，可得c==5x=10∴x=2，于是b=6且a=8，由此可得△ABC的面积是S=ab=×8×6=24故答案为：24【点评】本题给出△ABC的边角关系，叫我们判断三角形的形状并求三角形的面积，着重考查了利用正弦定理解三角形、诱导公式和二倍角正弦的公式等知识，属于中档题．15．如图，椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，上顶点A，离心率为，点P为第一象限内椭圆上的一点，若： =2：1则直线PF1的斜率为．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设出直线方程，利用： =2：1，可得A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍，利用椭圆的离心率，即可求得直线PF1的斜率．【解答】解：设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的直线方程为y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0∵： =2：1∴A到直线PF1的距离是F2到直线PF1的2倍∴=2×∴|﹣b+kc|=4|kc|∵离心率为，∴∴b= c∴∴k=﹣或k=∵点P为第一象限内椭圆上的一点，∴k=故答案为【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．已知平面区域Ω=，直线l：y=mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1] ．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）=，当直线与x轴重合时，P（M）=1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大．三、解答题：本大题共5小题，共70分.17．某学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，现采用分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．（1）求应从初级教师，中级教师，高级教师中分别抽取的人数；（2）若从抽取的6名教师中随机抽取2名做进一步数据分析，求抽取的2名均为初级教师的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（1）先求出每位教师被抽到的概率，再用每层的教师数乘以每位教师被抽到的概率，即得应从每层教师中抽取的人数；（2）在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，列出抽取2名教师的所有可能结果．从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师的结果，利用古典概型的概率计算公式计算；【解答】（1）解：学校有初级教师21人，中级教师14人，高级教师7人，分层抽样的方法从这些教师中抽取6人对绩效工资情况进行调查．从初级教师、中级教师、高级教师中分别抽取的学校数目为3，2，1．（ 2 ）解：在抽取到的6名教师中，3名初级教师分别记为A1，A2，A3，2名中级教师分别记为A4，A5，高级教师记为A6，则抽取2名教师的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15种．从6名教师中抽取的2名教师均为初级教师（记为事件B）的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种．所以P（B）==．【点评】本题考查了列举法计算基本事件数及事件发生的概率，解答此题的关键是列举时做到不重不漏，是中档题．18．在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边， =（2b﹣c，ccosC），=（a，cosA），且∥．（1）求角A的大小；（2）求函数y=2sin2B+cos（﹣2B）的值域．【考点】正弦定理的应用；平面向量的综合题．【专题】计算题．【分析】（1）由∥，得（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，再利用正弦定理及三角函数的恒等变换可得2sinBcosA=sinB，根据锐角三角形ABC中，sinB＞0，可得，从而求得A的值．（2）在锐角三角形ABC中，∠，故，利用三角函数的恒等变换化简函数y的解析式为1+sin（2B﹣），再根据正弦函数的定义域和值域求出函数y的值域．【解答】解：（1）由∥，得（2b﹣c）cosA﹣acosC=0，…∴（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC=0，2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）=sin（π﹣B）=sinB．…在锐角三角形ABC中，sinB＞0，∴，故有．…（2）在锐角三角形ABC中，∠，故．…∴=．…∵，∴，∴，，∴函数y=2sin2B+cos（﹣2B）的值域为．…【点评】本题主要考查两个向量数量积公式，三角函数的恒等变换以及正弦定理的应用，属于中档题．19．在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为．（1）求证：平面ABD⊥平面CBD；（2）若M是AB的中点，求三棱锥A﹣MCD的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AO⊥平面BCD，由此能证明平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，利用向量法能求出三棱锥A﹣MCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：菱形ABCD中，记AC，BD交点为O，AD=5，∴OA=4，OD=3，翻折后变成三棱椎A﹣BCD，在△ACD中，AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos∠ADC=25+25﹣2×，在△AOC中，OA2+OC2=32=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，又AO⊥BD，OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD，又AO⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面CBD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OA，OC，OD两两互相垂直，分别以OA，OC，OD所在直线为坐标轴建系，则A （0，0，4），B（0，﹣3，0），C（4，0，0），D（0，3，0），M（0，﹣，2），=（4，，﹣2），=（4，0，﹣4），=（4，﹣3，0），设平面ACD的一个法向量=（x，y，z），则由，得，令y=4，得=（3，4，3），∵=（），∴A到平面ACD的距离d===．∵在边长为5的菱形ABCD中，AC=8，∴S△ACD==12，∴三棱锥A﹣MCD的体积V===．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点为A，P（，）是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由题设可得c2﹣c+=0①，又点P在椭圆C上，可得⇒a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡），由△=0，得m2=2k2+1，假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．【解答】解：（1）F（c，0），A（0，b），由题设可知，得c2﹣c+=0①…又点P在椭圆C上，∴⇒a2=2②b2+c2=a2=2③…①③联立解得，c=1，b2=1…故所求椭圆的方程为+y2=1…（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，消去y，整理，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0（﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又2k2+1＞0，所以△=0，得m2=2k2+1…假设存在M1（λ1，0），M2（λ2，0）满足题设，则由=||=1对任意的实数k恒成立．所以，解得，或，所以，存在两个定点M1（1，0），M2（﹣1，0），它们恰好是椭圆的两个焦点．…【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．21．已知函数f（x）=x3+x2﹣ax﹣a，x∈R，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（3）当a=1时，设函数f（x）在区间[t，t+3]上的最大值为M（t），最小值为m（t）．记g（t）=M（t）﹣m（t），求函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，由此可求a的取值范围；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增，再进行分类讨论：①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减，因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f（t+3）中的较小者，从而可得g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值；②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，比较f（﹣1），f（1），f（t），f（t+3）的大小，从而可确定函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值．【解答】解：（1）求导函数可得f′（x）=（x+1）（x﹣a），令f′（x）=0，可得x1=﹣1，x2=a＞0，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：故函数的递增区间为（﹣∞，﹣1），（a，+∞），单调递减区间为（﹣1，a）（2）由（1）知函数在区间（﹣2，﹣1）内单调递增，在（﹣1，0）内单调递减，从而函数在（﹣2，0）内恰有两个零点，∴，∴，∴0＜a＜∴a的取值范围为；（3）a=1时，f（x）=，由（1）知，函数在（﹣3，﹣1）上单调递增，在（﹣1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增①当t∈[﹣3，﹣2]时，t+3∈[0，1]，﹣1∈[t，t+3]，f（x）在[t，﹣1]上单调递增，在[﹣1，t+3]上单调递减因此函数在[t，t+3]上的最大值为M（t）=f（﹣1）=﹣，而最小值m（t）为f（t）与f （t+3）中的较小者由f（t+3）﹣f（t）=3（t+1）（t+2）知，当t∈[﹣3，﹣2]时，f（t）≤f（t+3），故m （t）=f（t），所以g（t）=f（﹣1）﹣f（t）而f（t）在[﹣3，﹣2]上单调递增，因此f（t）≤f（﹣2）=﹣，所以g（t）在[﹣3，﹣2]上的最小值为②当t∈[﹣2，﹣1]时，t+3∈[1，2]，﹣1，1∈[t，t+3]，下面比较f（﹣1），f（1），f （t），f（t+3）的大小．由f（x）在[﹣2，﹣1]，[1，2]上单调递增，有f（﹣2）≤f（t）≤f（﹣1），f（1）≤f（t+3）≤f（2）∵f（1）=f（﹣2）=﹣，f（﹣1）=f（2）=﹣∴M（t）=f（﹣1）=﹣，m（t）=f（1）=﹣∴g（t）=M（t）﹣m（t）=综上，函数g（t）在区间[﹣3，﹣1]上的最小值为．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类讨论是解题的关键．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】（Ⅰ）根据直径的性质即可证明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）结合割线定理进行求解即可求⊙O的直径．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE是⊙O的直径，则∠BED+∠EDB=90°，∵BC⊥DE，∴∠CBD+∠EDB=90°，即∠CBD=∠BED，∵AB切⊙O于点B，∴∠DBA=∠BED，即∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）由（Ⅰ）知BD平分∠CBA，则=3，∵BC=，∴AB=3，AC=，则AD=3，由切割线定理得AB2=AD•AE，即AE=，故DE=AE﹣AD=3，即可⊙O的直径为3．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用和证明，根据相应的定理是解决本题的关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ﹣）=m，（m∈R）（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．【考点】圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（1）直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可．（2）直接利用点到直线的距离个数求解即可．【解答】解：（1）消去参数t，得到圆的普通方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9，由ρsin（θ﹣）=m，得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m=0，所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y+m=0．（2）依题意，圆心C到直线l的距离等于2，即，解得m=﹣3±2．【点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即 6﹣a+＜5，即 a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。